Ing. Arturo Espinoza M.
CURSO: FORMULACIÓN DE ALIMENTOS MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL Y NO LINEAL. INTRODUCCION. La programación lineal es un algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeter indetermi minado nado,, formul formulado ado a través través de ecuacio ecuaciones nes lineal lineales es y desigu desiguald aldade adess buscand buscando o siempr siempree optimizar la función obetivo. !ara !ara el caso caso de la form formul ulaci ación ón de raci racion ones es,, la func funció ión n obe obeti tivo vo cons consis iste te en dete determ rmin inar ar las las proporciones en las cuales las materias primas deben ser mezcladas para satisfacer los re"uerimientos del animal y de las personas al m#nimo costo posible. La programación programación lineal es un procedimien procedimiento to matemático matemático relativamente relativamente reciente cuyo desarrollo es catalogado por muc$os como uno de los avances cient#ficos más importantes tomando en cuenta su impacto y campo de aplicación en las ciencias, tales como la ingenier#a, econom#a, sociolog#a, biolog#a entre otras. o tras. %e desarrolló durante la segunda guerra mundial para planificar los ingresos y los los egre egreso sos, s, reduc reducie iend ndo o los los cost costos os de la guer guerra ra y ma&im ma&imiz izand ando o el da'o da'o en el enemi enemigo go.. Los Los fundadores de la técnica son (eorge )antzig, "uien publicó el algoritmo simple&, en *+-, o$n von /eumann y Leonid 0antorovic$. La precisión en la formulación de raciones es importante para lograr un balance adecuado de los nutrientes en la fabricación de alimentos concentrados al menor costo posible, con el fin de obtener un buen rendimiento productivo y reproductivo para el caso de animales. En la actualidad, e&isten numerosos programas de formulación de raciones, "ue en algunos casos resultan costosos y como la programación lineal es una $erramienta para representar, buscar la solución y analizar problemas de optimizaci optimización1 ón1 esto es, ma&imizar ma&imizar o minimizar minimizar alg2n obetivo, para lo cual para la construcción construcción de modelos de programación lineal es necesario cumplir con los siguientes re"uisitos3 *4 )efinir la función obetivo "ue la optimización desea alcanzar. En el balance de raciones la función obetivo es formular a m#nimo costo1 54 )efinir las restricciones y criterios de decisión. Estos l#mites y criterios de decisión se refieren a las restricciones en cuanto a la utilización de las materias primas y a las caracter#sticas bromatológicas de la ración a formular1 64 7anto la función obetivo como las restricciones deben ser ecuaciones lineales o desigualdades lineales.
CASO 1: FORMULACIÓN DE RACIONES PARA PARA RUMIANTES %e desea formular una ración para vacas lec$eras en producción, con un peso vivo promedio de 899 :g, una producción diaria de lec$e de 58 :g corregida al ; de grasa y con siete semanas de lact lactan anci cia. a. La diet dietaa base base de los los anim animal ales es está está const constit itui uida da por por past pasto o :i:uy :i:uyo o (Pennisetum clandestinum) cuyas caracter#sticas nutricionales son descritas en la tabla *. El consumo diario de materi materiaa seca seca tiene tiene "ue ser *<,6 0g=d#a 0g=d#a,, utiliz utilizando ando como forra forraee 89;. 89;. Los re"uerimi re"uerimient entos os nutricionales para esta categor#a de animales de acuerdo con las recomendaciones del />? son
*
Ing. Arturo Espinoza M. 5<,+ Mcal E/l=d#a y 5,-@ :g de prote#na bruta !B4=d#a. %e desea "ue la relación forrae C concentrado sea de 8939, respectivamente.
Tabla 1 .Composición qu ímica del alimento base y de las materias primas disponibles.
Materia prima :i:uo Ma#z grano eno de avena Mogolla (rasa Frea
Energ#a Mcal=:g *,@ *,<5 *,5 *,6@ 5,8@ 9
!B ;4 *+ *6 * 9 5<*
D!recio 9,5 9, 9,5 9,5< *,6 *,@
DGalores e&presados en euros.
CASO 2: PROBLEMA DE ELABORACIÓN DIETAS PARA PERSONAS El problema de las dietas se presenta cuando en una institución como una escuela o un $ospital debe dise'ar una dieta "ue cumpla con ciertos re"uisitos m#nimos de nutrientes, pero tratando de obtener el menor costo. El mismo tipo de problema sirve para realizar die tas para adelgazar, por eemplo, donde lo "ue se pretende es minimizar las calor#as, o para las granas donde se debe alimentar animales utilizando a"uellos productos "ue ofrezcan los nutrientes necesarios al menor precio. A continuación se da un caso espec#fico. %e necesita dise'ar una dieta para estudiantes al menor costo posible pero satisfaciendo sus necesidades básicas de 5 99 :cal diarias y de no menos de * 999 g de comida1 las necesidades básicas también incluyen 5 L de agua, aun"ue el l#"uido no debe necesariamente provenir de los alimentos, y cantidades espec#ficas de prote#nas, grasas y carbo$idratos. En el cuadro se indican las caracter#sticas de cada tipo de alimento por porción de *99 g y los re"uerimientos diarios m#nimos promedio para cada estudiante. La dieta debe también incluir al menos * $uevo, 599 g de vegetales y *99 g de lec$e o "ueso.
Alimento
!"l
A#$" ml
P%ote&n"' (#)
G%"'" (#)
C"%*o+i,%"to'(#)
P%e!io(B'-#)
P"n $e/o' (2)
5@ *@9
6< 88
< **
*, **
@5 *
59 5@
A%%o0 Pollo Le!+e F%iole' $e'o 3e#et"le' Re4. minimo
**9 5@9 88 **9 5@9 6@ 599
-5 @@ +9 8@9 <9 5L
5 69 6,8 8 59 5 *99
9,5 6,8 * *@ 9 @9
56 9 ,< 5* 9 *< 6-@
*@ 5 *9 *5 @@ *6
5
Ing. Arturo Espinoza M.
Es necesario saber cuántos gramos o porciones de cada alimento debe incluir la dieta. )ebido a "ue la dieta se debe armar con los oc$o alimentos disponibles, el problema tiene oc$o variables. Es conveniente e&presar la dieta en porciones de *99 g ya "ue toda la información está dada por porción.
CASO 5: FORMULACION DE ALIMENTOS PARA PECES %e desea formular @9 :g de alimento para peces onivoros y carn#voros , tomando en cuenta los re"uerimientos nutricionales, seg2n su fase y el sistema de maneo deseado , como se muestran en la siguiente tabla3
oni/o%o 6"'e
larviculturaCalevinae
'i'tem" ,e m"neo
intensivoC superintesivo 6@ a @ 6a< < * 6 a 6,@ 9, a 9,-@ 59 @@
7%otein" min 8 e9t%"!to ete%eo min 8 6i*%" m"9 8 !eni0"' m"9 8 !"l!io m"9 8 6o'6o%o min 8 ene%#i" !"l-1# min !"%*o+i,%"to' tot"le' m"9 8
crecimiento engorde intensivo
crecimiento engorde superintesivo
5< a 6@ 6a< < * 6 a 6,@ 9, a 9,8 6<9 @*
65 a 6@ 6a< < * 6 a 6,@ 9, a 9,-@ 6<9 @*
!"%ni/o%o' 6"'e
crecimiento engorde
'i'tem" ,e m"neo 7%otein" min 8 e9t%"!to ete%eo min 8 6i*%" m"9 8 !eni0"' m"9 8 !"l!io m"9 8 6o'6o%o min 8
intensivo 6@ a @ < a*< < * 6,@ 9,8 a 9,-@
crecimiento engorde superintesivo 9 a @ *9 a *< < * 6,@ 9,8 a 9,-@
Los ingredientes disponibles son3 INGREDIENT ES
%M S
%CENIZA S
%HCARBON O
ENERGIA(Kcal/100 g)
PreciB!/K g
"ari#a $e car#e
&'&
'
&0'&*
+'&
0'0*
+&'0
1*
,ai- ,li$
.1'
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.'1 +
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1'
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ra $e !2a
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+'0+
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+'*
"ari#a $e !a#gre
&&'. 1
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0'0
'+
1'&
&.'++
1
a rec"ill arr-
$e
%PROTEIN A
%GRAS A
6
Ing. Arturo Espinoza M. clilla! $e arr-
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'*+
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arrcill 34e5ra$
.'* 1
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Al,i$# $e 24ca
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0'
1'*
*'
&
Aceie
100
0
100
0
0
.00
1&
OTROS CASOS APLICATI3OS. Fn $ospital se propone elaborar una dieta balanceada para el desayuno de sus pacientes con las siguientes caracter#sticas3 a) E l desayuno debe aportar no menos de <9 calor#as b) El consumo m#nimo de prote#nas en el desayuno debe ser de 5@ g. c) Los alimentos "ue se $an de utilizar son amón, $uevo, lec$e, pan y "ueso fresco1
Las caracter#sticas de cada uno de estos alimentos se dan a continuación3
!lantéelo considerando "ue el desayuno no debe llevar más de dos $uevos y "ue solo se incluirá una pieza de pan si se incluye una porción de amón.
