Instituto Tecnológico de Tepic
¿Qué es la Programación no Lineal? En este Ensayo se desarrolla el tema de “Programación no Lineal”, contestando a las incógnitas:: “¿Qué es la Programaci incógnitas Programación ón no Lineal?”, Lineal ?”,
Investigación de Operaciones Ruth Janeth Abrego Amaro
Montserrat Esther Álvarez Caballé
“¿Qué son los puntos de Inflexión?, “¿Cuáles son los multiplicadores de LAGRANGE?”, entre otras.
Instituto Tecnológico de Tepic
Investigación de Operaciones Ensayo: ¿Qué es la Programación no Lineal? Catedrático. Ruth Janeth Abrego Amaro Alumno. Montserrat Esther Álvarez Caballé
¿Qué es la Programación no Lineal? Un modelo de Programación No Lineal (PNL) se ocupa de optimizar una función objetivo, donde las variables de decisión se expresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un modelo de optimización, donde su resolución se centra como el objeto de estudio de este ensayo.
La popularidad de la resolución de problemas mediante la programación lineal se debe a la habilidad que esta tiene para modelar problemas grandes y complejos, además de su resolución en un intervalo de tiempo mediante el uso del método Simplex, por parte de los usuarios.
Sin embargo, muchos problemas reales no se pueden representar o aproximar como un Programa Lineal debido a su naturaleza o a la no Linealidad de la función objetivo o de laguna o varias de sus restricciones.
Para la resolución de este tipo de problemas se necesita la unión de él algebra lineal, el cálculo multivariado, análisis numérico y técnicas de computación. Como en todo problema en esta se engloban algunas áreas especiales como son al diseño de algoritmos de computación, la geometría, el análisis de conjuntos convexos y funciones, y la programación cuadrática.
La optimización arroja información que es fundamental para el análisis matemático, la cual es muy usada en las ciencias aplicadas, por citar algunos ejemplos, en el diseño de ingenierías, en el análisis de regresión, en el control de inventarío y en la exploración geofísica.
Introducción
Aunque los problemas de programación lineal son muy comunes y cubren un amplio rango de aplicaciones, en la vida real uno se tiene que enfrentar con cierta frecuencia a otro tipo de problemas que no son lineales. Cuando el conjunto de restricciones, la función objetivo, o ambos, son no lineales, se dice que se trata de un Problema de Programación no Lineal (PPNL). El papel fundamental que juega la Programación no Lineal en la Investigación de Operaciones (IO) se refleja con exactitud en el hecho de que es el tema central de este trabajo. La programación no lineal es una poderosa herramienta en el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades, también es sumamente importante en la modernización de los problemas de la vida real como en la teoría de matemática de amplia aplicación, las igualdades y desigualdades están sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar.
Programación no Lineal
Un modelo de Programación Lineal (PNL) es aquel donde las variables de decisión se expresan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un modelo de optimización. Esta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde existen economías o deseconomías de escala o en general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se cumplen. Es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar (o minimizar), cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales. De una manera general, el problema de Programación no Lineal consiste en encontrar x=(x1,x2,…,xn) Para Maximizar f(x), sujeta a: gi(x)<= bi , para i = 1,2, …,m y x>=0, Donde f(x) y las g i(x) son funciones dadas de n variables de decisión. No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan a este formato. Sin
embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos casos especiales importantes de este problema, haciendo algunas suposiciones sobre las funciones. Existen tipos diferentes de problemas de programación no lineal, lo cual depende de las características de las funciones f(x) y g(x). Se emplean varios algoritmos para los diferentes tipos de problemas. Para ciertos tipos donde las funciones tienen formas simples, los problemas pueden resolverse de manera relativamente eficiente. En algunos tipos incluso la solución de pequeños problemas representa un gran reto. Los problemas de programación no lineal se presentan en muchos formas distintas, al contrario del método simplex para programación lineal no se dispone de un algoritmo que resuelva todos estos tipos especiales de problemas. Se han desarrollado algoritmos para algunas clases de problemas de programación no lineal. Los métodos de programación no lineal se pueden clasificar, de manera general en algoritmos directos o indirectos. Ejemplos de los Métodos Directos, se encuentran los algoritmos de gradiente, en donde se busca el máximo de un problema siguiendo la mayor tasa de aumento de la función objetivo. En los Métodos Indirectos, el problema original se sustituye por otro del cual se determina el óptimo, como ejemplo de este caso se encuentran la programación cuadrática, la programación separable y la programación estocástica.
Optimización Clásica Si la restricción no existe, o es una restricción de igualdad, con menos o igual número de variables que la función objetivo, entonces, el cálculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de una función.
Puntos de Inflexión Un punto de la grafica donde hay un cambio en la concavidad de la grafica se le llama punto de inflexión. Para encontrar el punto de inflexión de una función f(x), si es que este existe, se obtiene la segunda derivada de f(x), se iguala a cero y se resuelve la ecuación con la resultante. Para verificar que en efecto se trata de un punto de inflexión se debe observar que g ’’(y)/f ’’(x) para xx0 tienen signos opuestos.
Método de los multiplicadores de Lagrange El método Lagrangiano, o de Lagrange es utilizado para identificar los puntos estacionarios de problemas de optimización con restricciones de igualdad. Le procedimiento se puede desarrollar formalmente como sigue. Sea: L(X,λ) = f(x) – λg(x) Donde X y λ son los valores factibles que satisfacen las condiciones necesarias para puntos estacionarios. A la función L se le llama Función de Lagrange, y a los parámetros λ se les llama Multiplicadores de Lagrange. Por definición, esos multiplicadores tienen la misma interpretación que los coeficientes de sensibilidad del método jacobiano.
Las ecuaciones
,
,
Expresan las condiciones necesarias para determinar los puntos estacionarios de f(x) sujetos a g(x)=0.
Interpretación Lagrange
de
los
multiplicadores
de
Uno de los resultados más importantes de la Programación Matemática, es que la valoración marginal de los recursos, cuyo uso esta fijado por las restricciones, viene dada por los multiplicadores asociados a los mismos. Sea el problema: Max f (x) s.a g(x) = b. Sea (x*, ë*) una solución óptima de dicho problema. Se trata, por tanto, de un punto crítico de la función de Lagrange asociada al problema: L(x, ë) = f (x) – ët (g(x) – b) es decir, (x*, ë*) verifican: ∇xL(x*, ë*) = ∇x f (x*) – Jg(x*)ë* = 0 ∇ë L(x*, ë*) = – g(x*) + b = 0 Para distintos valores del segundo miembro de las restricciones (vector b), se obtendrían, lógicamente, distintas soluciones óptimas del problema anterior. Consideremos entonces la solución óptima como una función del vector b, y supongamos que esta función es diferenciable:
x* = x(b) ë* = ë(b) Los valores óptimos de la función objetivo pueden considerarse como una función de b, f (x(b)), e igualmente la función vectorial de las restricciones, g(x(b)). Derivando, tanto una como otra con respecto a b, obtenemos, respectivamente: ∇b f (x(b)) = Jb(x(b)) ∇x f (x(b)) Jb g(x(b)) = Jb(x(b)) Jx g(x(b)) Teniendo en cuenta las condiciones de optimalidad de primer orden ∇x f (x*) – Jx g(x*) ë* = 0 y multiplicándolos por Jb(x(b)): Jb(x(b)) ∇x f (x(b)) – Jb(x(b)) Jx g(x(b)) ë* = 0 sustituyendo por las expresiones anteriormente obtenidas, resulta: ∇b f (x(b)) – Jb g(x(b)) ë* = 0 Finalmente, como g(x(b)) = b, derivando esta expresión con respecto a las variables bi, obtenemos que Jb g(x(b)) = I(m×m), por tanto:
. L*= b f(x(b)), L-=¬f(x(b)) es decir, la variación del valor óptimo de la función objetivo f (x*) producida por variaciones infinitesimales del segundo miembro de una restricción, está representada por el multiplicador óptimo ëi asociado a la misma. En otras palabras, el valor óptimo del
multiplicador de Lagrange asociado a una determinada restricción nos proporciona una medida de la sensibilidad del valor óptimo de la función objetivo ante cambios en el recurso de dicha restricción. En los problemas de mínimo, se suele tomar la función de Lagrange como: L(x, ë) = f (x) + ët [g(x) - b], En cuyo caso se verifica que )) L-= ↕
Esta interpretación general tiene una traducción económica concreta según sea la función objetivo y la expresión de las restricciones. Es por ello que los multiplicadores de Lagrange reciben la denominación de precios de cálculo por cuanto permiten determinar las consecuencias de una modificación marginal de una restricción.
Conclusiones La programación no lineal tiene la limitante de la no existencia de un algoritmo único para cualquier problema no lineal, así como lo hace el método Simplex en la Programación Lineal, lo cual complica un poco más su estudio. Los métodos de solución de programación no lineal se pueden clasificar en términos generales como procedimientos directos o indirectos. La mayoría de los Problemas de Programación no Lineal requieren de la ayuda de Software de computadora para poder llegar a su solución completa.
BIBLIOGRAFIA 1.- http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_no_lineal 2.- http://es.scribd.com/doc/63169644/8/Puntos-de-inflexion 3.- http://jorgesosasanchez.wordpress.com/unidad-3/3-3problemas-no-restringidos-programacion-no-lineal/3-3-1multiplicadores-de-lagranje-lambda/ 1.- Métodos y modelos de investigación de operaciones, Volumen 1 Escrito por Juan Prawda,Juan Prawda Witenberg pág. 831
2.- Investigación de operaciones: una introducción Escrito por HAMDY A. AUTOR TAHA pág. 719
3.- Investigación de Operaciones Escrito por Taha - Hamdy
4.- Tesis sobre Programación no Lineal Escrito por Lic. Ramón Cantú Cuellar UANL 1995
5.-Formulación y Resolución de Modelos de Programación Matemática en Ingeniería y Ciencia. Escrito por Enrique Castillo, Antonio J. Conejo, Pablo Pedregal, Ricardo García y Natalia Alguacil
6.- Antología de Investigación de Operaciones Escrito por Ing. José Alberto Limón Cortaza
