Optica No Lineal

ÓPTICA NO LINEAL FOTORREFRACTIVA EN EL RECONOCIMIENTO RECONOCIMIENTO DE PATRONES Jorge Enrique Rueda Parada

Grupo de Investigación Óptica Moderna Universidad de Pamplona, Pamplona, Colombia, A.A.1046 Vicerrectoría de Investigaciones  [email protected]  jruedap2003@unipampl ona.edu.co

Resumen. La óptica no lineal estudia la interacción de la luz y la materia, cuando el material responde no

linealmente a la amplitud de un campo eléctrico. La propagación de los haces de luz en un medio se determina  por el índice de refracción. Si el índice de refracción del medio se puede controlar con la iluminación de un haz de luz, entonces la propagación de un haz de luz se puede manipular con otro haz de luz. Esto lleva a una gran variedad de innovación tecnológica basada en control de luz por la misma luz. De otro lado, en óptica lineal el índice de refracción n  es una constante dependiendo de la frecuencia de la luz; luego sólo en este caso, la reflexión y refracción son independientes de la intensidad del haz de luz. El efecto fotorrefractivo es un fenómeno óptico no lineal, pero los fenómenos no lineales por efecto fotorrefractivo no son causados directamente por el campo electromagnético de la luz l uz que perturba el material, como si sucede en los materiales no lineales puros, esta especial característica característica de los materiales materiales fotorrefractivos permite generar efectos de orden superior con intensidades de la radiación electromagnética relativamente bajas, p.e. 1mW/cm2. A la par con el descubrimiento del fenómeno fotorrefractivo, año 1966 por Ashkin et Ashkin  et al , quienes estudiaban las  propiedades electro-ópticas electro-ópticas de cristales ferroeléctricos, ferroeléctricos, también se han venido estudiando sus potenciales aplicaciones, entre ellas, registro de hologramas dinámicos; en esta aplicación ocurre acoplamiento de energía entre los haces de registro, como también entre el haz de lectura y el haz difractado; ello se conoce como mezcla de ondas. El efecto de acoplamiento entre haces, ha permitido el desarrollo de aplicaciones en óptica computacional, almacenamiento almacenamiento de información, procesado de imágenes, interconexión óptica, redes n euronales, generación de armónicos, dispersión dispersión Raman y Brillouin, auto-enfoque, amplificación amplificación óptica, conjugación conjugación de fase, síntesis óptica de circuitos lógicos, acopladores, multiplexado de información, modulares ópticoelectrónicos, metrología óptica de alta resolución y correladores para reconocimiento de patrones, tema central de la discusión, entre otras aplicaciones. Algunas de las ventajas de los medios fotorrefractivos, respecto a los medios convencionales, que amerita resaltar son la alta capacidad de almacenamiento, en teoría, un cristal de LiNbO3 de 1 cm cm3 puede almacenar 1.55x1015  hologramas, permiten el borrado borrado o fijado de la información, información, y  presentan alta sensibilidad, sensibilidad, haciéndolos haciéndolos apropiados para aplicaciones aplicaciones en tiempo tiempo real.

Palabras Claves . Optica no lineal Fotorrefractiva; Correlacion Optica; Efecto Talbot; Transformada de Fourier  Fraccionaria. vector densidad de polarización P(r,  t ) y el vector  campo eléctrico E(r, t ) define físicamente el sistema y se gobierna por las características del 1. INT INTROD ODUC UCC CION ION medio; el medio se dice ser no-lineal si esta La linealidad o no linealidad es una propiedad del relación es no lineal. medio a través del cual viaja la luz. La no linealidad lin ealidad es un comportamiento no exhibido cuando la luz En la teoría electromagnética, la respuesta del viaja en el espacio libre, así que, la Luz la  Luz interactúa material a la iluminación de luz es descrita por la con luz debido a un medio material . La presencia ecuación siguiente: de un campo óptico modifica las propiedades del P = ε 0 χ (1) E + ε 0 χ ( 2) EE + ε 0 χ ( 3) EEE + ... (1) medio, el cual a su vez, modifica otro campo óptico donde P es la polarización inducida del medio, ε0 es o el mismo campo original. La relación entre el la constante dieléctrica del vacío. E  es el campo

eléctrico de la luz y  χ(1),  χ(2) y  χ(3) son constantes. La óptica lineal esta descrita por  χ(1)  la cual está relacionada con el índice de refracción: n 2 = 1 + χ ( 1) (2) La respuesta óptica no lineal del medio caracterizado por los parámetros χ(2) y χ(3) da lugar  a numerosos fenómenos y aplicaciones ap licaciones interesantes. El término de segundo orden χ(2)EE es responsable del doblado de frecuencia de una onda monocromática ( generación  generación del segundo armónico), armónico), el mezclado de dos ondas monocromáticas genera una tercera onda cuya frecuencia es la suma o diferencia de frecuencias de las ondas originales (conversión (conversión de frecuencia), frecuencia), el uso de dos ondas para amplificar una tercera onda (amplificación), amplificación), y la adición de retroalimentación de un amplificador paramétrico para crear un oscilador. El término de tercer orden χ(3)EEE es responsable de fenómenos diversos como  generación de tercer armónico, armónico, mezclado de cuatro ondas, ondas, dispersión Raman y Brillouin, Brillouin, auto-enfoque,  auto-enfoque, amplificación óptica y óptica y conjugación  conjugación de fase. fase. Para intensidades bajas de luz, los términos de orden superior son muy pequeños, así la óptica se describe adecuadamente solo por el primer término ε0χ(1)E. El segundo término se puede considerar  como una modificación del primer término por: ∆χ (1) = χ( 2) E (3) Para un medio óptico típico,  χ(1) es del orden de 1. Para luz de intensidad ordinaria similar a la luz solar a nivel del mar, el campo eléctrico de la luz es del orden de 10V/cm y  ∆χ(1) es del orden de 10-810-10. Para haces láser con potencia moderada, el campo eléctrico asociado es comparable a un campo eléctrico interatómico de cerca de 10x106 V/cm. La iluminación de materiales apropiados por  tal haz láser induce un cambio significante del índice de refracción lo que puede afectar la  propagación del haz de luz. Antes de 1961, muchas propiedades ópticas no lineales en la materia no fueron descubiertos. Las investigaciones mostraban que la transmisión, reflexión, y refracción de luz en materiales transparentes no eran afectadas por la intensidad de la luz ni por la presencia de otro haz. Este es el régimen de la óptica lineal y se aplica el principio de superposición. Así en el régimen de la óptica lineal, la intensidad de salida de la luz es siempre  proporcional a la intensidad de entrada y la

frecuencia de salida es siempre igual a la luz de entrada en al base de la estructura del material. El fenómeno de óptica no lineal refuta las anteriores conclusiones, dando las herramientas para manipular u controlar la frecuencia e intensidad de un haz láser, y por lo tanto abre un nuevo y amplio dominio de aplicaciones ópticas. La razón para las interpretaciones lineales de la luz fue que antes de crear un haz de luz coherente no  podía obtenerse un efecto efecto no n o lineal razonable: sólo con el primer láser fue posible detectar evidencia significativa del fenómeno no lineal. En 1961, un experimento de generación del segundo armónico da la primera confirmación experimental de la teoría no lineal. Un láser de rubí con una longitud de onda de 0.6943 µm fue enfocado frente a una superficie de una lámina cristalina de cuarzo. La radiación emergente fue examinada con el espectrómetro y se encontró que contenía radiación de dos veces la frecuencia de entrada (es decir, longitud de onda igual a 0.34715 µm). Por otro lado, en 1966 se descubre el efecto fotorrefractivo, y con él la óptica no lineal con  bajas intensidades de luz, este es un fenómeno en el cual el índice local de refracción se cambia por la variación espacial de la intensidad de luz. Cuando el cristal se ilumina con radiación electromagnética espacialmente no homogénea, existe la  probabilidad de que algunos electrones sufran transiciones a la banda de conducción. Así, se crea una distribución de carga espacial y por ende un campo de carga espacial. Tal campo induce un cambio de índice de refracción por efecto Pockels. Entonces es posible registrar un holograma por la interferencia de dos haces en el medio fotorrefractivo; el holograma o red de índices se  puede borrar iluminando el holograma con luz. lu z. Los materiales tales como LiNbO3, BaTiO3, SBN, BSO, son medios muy eficientes para la generación de conjugación de fase y holografía en tiempo real usando niveles de intensidad relativamente bajos (1W/cm2). Los siguientes cinco grupos de materiales tienen tales características fotorrefractivas: fotorrefractivas: Ferroeléctricos Ferroeléctricos (LiNbO (LiNbO3, LiTa O3, BaTiO3, KNbO3, SBN), Silenitas (Bi 12SiO20 (BSO), Bi12GeO20 (BGO), Bi12TiO20 (BTO)), Semiconductores (GaAs:Cr, InP:Fe, CdTe), y Cerámicas piezoeléctricas (tipo PLZT), Orgánicos (poly(N-vinylcarbazole) (poly(N-vinylcarbazole) o PVK, poly(silane)). poly(silane)).

El acoplamiento de haces, conocido como mezcla de ondas, ocurre naturalmente en un medio fotorrefractivo, haciendo de estos materiales  potencialmente importantes para holografía en tiempo real. Cuando se superponen dos haces de radiación coherente en un medio fotorrefractivo, se forma una red de índices estacionaria. Esta red de índices está corrida espacialmente π/2 respecto al  patrón de intensidad resultado de la superposición de los haces. Tal corrimiento espacial de fase, que también se puede manipular, permite una transferencia de energía no reciproca cuando se  propagan estos dos haces a través del medio. La  propiedad única de transferencia de energía no reciproca se puede utilizar en aplicaciones tales como resonadores fotorrefractivos, ventana de transmisión no recíproca, elementos influyentes  para giroscopio láser, conjugadores de fase, interconexión óptica, redes neuronales, interferometría de fase conjugada, etc. La respuesta de un material fotorrefractivo, del grupo silenitas, tiene la siguiente forma(Mills, 1998): 1 ~ ~ ; (4)  P i = χ ( 1 )  E  χ ( 2 )  E   j +  j E  k 

∑ j

ij

∑

2 !  jk 

ijk 

donde, P  j es la polarización eléctrica del material,  E k   es una componente de campo de carga eléctrica aplicado o interno ( E  sc: campo de carga espacial, generado por la radiación electromagnética que  perturba el material) y E  j  la componente eléctrica del campo óptico; χ(1) y χ( 2)   son la susceptibilidad eléctrica lineal y no lineal, respectivamente. Así, el fenómeno responsable de la no-linealidad del material es el efecto electro-óptico Pockels; en cuyo caso, la contribución a la no-linealidad se debe a la  presencia de componentes de campo de carga eléctrica E k.  Por otro lado, el efecto electro-óptico, asociado al fenómeno fotorrefractivo, es causado  por el campo eléctrico de carga espacial, el cual se genera por interacción de la radiación electromagnética con el material. De otro lado, la respuesta local de un material fotorrefractivo está relacionada con el comportamiento del campo de carga espacial y índice de modulación m(x,y)  de la distribución de intensidad sobre el material fotorrefractivo. El método más usado para el estudio del efecto fotorrefractivo es la técnica holográfica, aunque experimentalmente puede ser el más complicado. Consiste en iluminar el material activo con un

sistema de franjas de interferencia producido por  dos haces coherentes. La técnica holográfica considera dos posibles configuraciones: la geometría de transmisión y la de reflexión. En la primera ambos haces inciden por  la misma cara del cristal fotorrefractivo, mientras que en el segundo caso, cada haz incide por una de las caras opuestas entre sí. En algunos resultados que se muestran en este artículo, se aplica la configuración por transmisión. A continuación, se describen las condiciones geométricas para el registro y la lectura de una red elemental, y las expresiones para la eficiencia de difracción. En este sentido, existen dos modelos teóricos sobre el efecto fotorrefractivo, un primer modelo fue  presentado por Kukhtarev et al.; este modelo  predice que la respuesta del campo de carga espacial a la modulación de la distribución de intensidad es lineal. El otro modelo fotorrefractivo es el modelo de Moharam   et al ., este modelo  permite demostrar que el modelo lineal de Kuktarev solo es válido para modulaciones dentro del intervalo m ≤ 0.4 . El modelo de Moharam muestra también, que para valores del índice de modulación dentro del intervalo 0.4 < m ≤ 1 la respuesta del campo de carga espacial es no lineal. 1.1 Formul ación del efecto fotorr efr activo 

El modelo consiste, básicamente, de cuatro ecuaciones, las cuales representan:   − α w   , (5)  I ( x, z ) =  I o exp  z    ⋅ [1 + m ⋅ cos( K ⋅ x ) ] θ cos   w   la intensidad del patrón de luz, donde son  parámetros del material el coeficiente de absorción αw, el espesor  z atravesado por la luz y el ancho del cristal x; m  es la modulación espacial, K   es el módulo del vector de onda del patrón de interferencia en el interior del material, e I o  es la intensidad máxima del patrón I ( x, y); 2θw  es el ángulo que forman entre sí los haces que generan tal patrón de interferencia. La acción del patrón de intensidad sobre las propiedades físicas del medio fotorrefractivo, está representada en las denominadas ecuaciones del material o modelo de Kukhtarev: ∂n( x, t ) + e µ ⋅ n( x, t ) ⋅  E  ( x, t ) + V   ; (6)  J ( x, t ) = e D ∂ x



sc

 Lx 

Esta primera representa la densidad de corriente, donde D  es la constante de difusión; V   el voltaje aplicado; L x el ancho del cristal; n( x,t )= n D + n L( x,t ), siendo n D la concentración de portadores libres en la oscuridad y n L la concentración portadores libres  por foto-excitación. El primer término de la Ec.(6), es la densidad de corriente por difusión y el segundo es la contribución por  drift . La generación de portadores, ∂n( x, t ) = g ( x) − n( x, t ) − n D + 1 ∂ J ( x, t ) ; (7) e ∂ x ∂t  τe donde  g ( x) = g   I ( x)   es la rata de generación de o

 I o

 portadores libres, siendo  g o = α I o ⋅ ηe , α el hω coeficiente de absorción, hω   la energía de un fotón y  η e la eficiencia cuántica de generación de un electrón por foto-excitación. Finalmente, el campo eléctrico de carga espacial es, t  ; (8) 1  E  sc ( x, t ) = −

ε s

∫ 0 J ( x, t )dt + G(t )

donde G( x) se determina usando la condición de frontera  Lx   V  − E  ( x, t )  dx = V ; la solución de las

∫   Lx 0

 sc

   

Ec.(6)-Ec.(8) se puede obtener, aplicando dicha condición de frontera y la condición inicial  E  sc(x,0)=0. En la práctica, es de interés conocer la solución del modelo para el estado saturado del campo eléctrico de carga total; esta solución se obtiene teniendo en cuenta que en el estado saturado la densidad de corriente es constante, es decir que ∂n = 0 , entonces, sí se aplica esta ∂t 

condición en la Ec.(7), se obtiene que la densidad de portadores generados es n( x) = n D + τe g ( x) ; se reemplaza la densidad de portadores en la ecuación Ec.(6) para obtener la densidad de corriente, y con ella, mediante la Ec.(8) y la condición de frontera dada para el E  sc, finalmente el resultado es la expresión para el campo de carga espacial en el estado estacionario, cuyo valor efectivo viene dado  por la siguiente expresión: 1 − m 2 − 1 ; (9) e 2 2  E  sc = M  ⋅  E o + E D ;  M  = m donde M  se conoce como la modulación reducida. Siempre la solución del modelo debe conducir a la determinación del campo de carga espacial, pues mediante este el la respuesta del material fotorrefractivo queda definido.

Desde el punto de vista físico, reducir las ecuaciones del material a su forma lineal, implica despreciar los armónicos de orden superior de la red fotoinducida; experimentalmente, la respuesta lineal se logra manipulando la modulación del  patrón de intensidad, tal que m<0.4; en estas condiciones la red fotorrefractiva será de perfil sinusoidal puro y por lo tanto no existirán componentes armónicas de la red. Por otro lado, cuando la modulación es tal que m>0.4, las ecuaciones del material son no-lineales; entonces las componentes armónicas no son despreciables. En la práctica, la red de índice generada en un medio fotorrefractivo por el patrón sinusoidal que representa la Ec.(5), no es sinusoidal pura, como consecuencia, en parte, de las dimensiones finitas del medio; físicamente esto implica que las variables físicas involucradas en el modelo, p.e. el campo E , no siguen la variación del patrón de luz; entonces la respuesta del material es no-lineal; dicho de otra forma, en el proceso de lectura de la red se observará componentes armónicas de difracción de orden superior, donde cada componente se produce en un ángulo de incidencia regido por la ley de conservación del momentum Bragg . En la correlación óptica basada en medios fotorrefractivos, esta no linealidad es de interés técnico, pues con la manipulación de la misma se  puede controlar el desempeño del correlador. 1.2 Té cni ca hol ogr áfica fotorrefr acti va 

Antes de entrar en detalle en la implementación de correladores, es necesario abordar la técnica holográfica fotorrefractiva. En este sentido, a continuación se presenta un estudio sobre la holografía por transmisión, en la aproximación “estado estable” del registro; además, se asume un acople débil entre los haces que interactúan durante el proceso de registro y lectura del holograma, en otras palabras se desprecia la transferencia de energía entre los haces ópticos externos, es decir se considera que la respuesta del medio fotorrefractivo es lineal. En la Fig.1 se muestra el arreglo clásico de la técnica holográfica por transmisión, y el cual se usa  para registrar una red de volumen:

 propagándose en la dirección [ 1 10 ] , entonces la  birrefringencia inducida viene dada por: 1 δn = no3 γ e E  sce ; (11) 2

Figura 1. Arreglo holográfico por transmisión. CD: cubo divisor; M1,2,3: espejos; Lw: fuente láser de escritura; LR : fuente láser de lectura.  En el estado estable y con efectos de acople débil, las amplitudes de las ondas planas Ψr  y Ψo , que  provienen del láser de registro Lw de longitud de onda λ w , interfieren en el material fotorrefractivo  para producir una red de fase, cuyo índice de modulación complejo viene dado por la siguiente expresión[9], ; 2 ⋅ Ψr * ⋅ Ψo ⋅ exp( − α w ⋅ z) m( x, y, z ) = [ I r  + I o ] ⋅ exp( − α w ⋅ z ) + I  R ⋅ exp[ − α R ⋅ ( L z − z ) ] ⋅ Φ Rw

(9) donde I r  e I o son las intensidades de las ondas Ψr  y Ψo , respectivamente. El parámetro I  R  representa la intensidad de la onda plana Ψ R , la cual proviene del láser de lectura LR   de longitud de onda λ R ; α w y α R   son los coeficientes de absorción del material de registro para λ w y λ R , respectivamente. El parámetro L z es el espesor del material y Φ Rw es la eficiencia cuántica relativa de foto-generación de portadores de carga del haz de lectura, con respecto a la eficiencia cuántica de la radicación de registro; para el caso particular de un cristal de BSO, Φ Rw =0.0625, para λ w =514 nm y λ R =633 nm. La red de fase o red de índices fotoinducida en el material, se puede representar de la siguiente forma: ∆n = δn exp(iφ) ⋅ exp(iK g  x) + c.c. , (10) 2 donde  K  = 4π ⋅ no sin θ w , siendo no  el índice de  g  λw refracción correspondiente a la radiación que induce la red; δn es la birrefringencia inducida por  efecto electro-óptico lineal, la cual depende de la configuración del corte cristalográfico de medio fotorrefractivo; p.e. para la configuración transversal, caras del cristal paralelas a los planos cristalográficos ( 1 10) , (110 ) y (100 ) ; y con la luz

donde γ e  es el coeficiente electro-óptico efectivo;  E  sc es el campo de carga espacial efectivo y tiene la forma dada a partir de los modelos de Kukhtarev y Moharam, analizados anteriormente. El parámetro φ  es el corrimiento de fase entre el patrón de interferencia y la red foto-inducida; este término de fase, para el caso de materiales fotorrefractivos  para-eléctricos viene dado por:  E   φ = tan −1  D ; (12)  E    o

de esta expresión podemos inferir, por un lado, que el corrimiento se puede manipular con el campo aplicado al cristal y por el otro lado, que cuando la red se genera, exclusivamente, bajo el mecanismo de difusión, entonces el corrimiento es de π/2. Este comportamiento del fenómeno fotorrefractivo cobra real importancia en el amplificador de señales ópticas, específicamente en el problema de optimización de la eficiencia de dicho proceso. 1.3 Reconstr ucción de los haces de registr o 

De acuerdo con la Fig.1, la lectura del holograma se realiza mediante la onda Ψ R , la cual puede, o no, tener la misma longitud de onda que la radiación del láser de escritura. Por otro lado, debido a que la red es de volumen, la reconstrucción de alguno de los haces de registro está sujeta a la condición de  Bragg ( ver Fig.2.a) ), la cual exige la conservación del momentum; una forma de representar esta ley es la siguiente: r * k d i = k  Ri + K  g  ; (13) i = k i = 2π / λi , siendo i   el vector de donde k d  k d   R  R onda del haz difractado o haz reconstruido y k  Ri  es el vector de onda del haz de lectura. Esta ley establece, que el haz difractado se observará, únicamente, si el ángulo de incidencia del haz de lectura es igual al ángulo de Bragg ,   i  ; (14) θ B = sin −1 λ R ⋅ K  g       2  

*

 i : interior del material.

Del término imaginario de la anterior ecuación se  puede definir la eficiencia de difracción considerando que θ R=θ B, una interacción débil del haz de lectura sobre el medio fotorrefractivo y una eficiencia de difracción muy baja, entonces:  − α R ⋅ L z  2   π ⋅ ∆n ⋅ L z  2 ;  I d  η=

a). Reconstrucción onb). Reconstrucción off Bragg .  Bragg . Figura 2. Condición de Bragg en la esfera de Edwald, para la geometría de transmisión. Cabe recordar, que esta ley se formuló para una red de longitud infinita. Sin embargo, en la situación real esta ley se viola, pues la red es de longitud finita; entonces la difracción se produce dentro de un intervalo angular  ∆θ B, denominado off-Bragg . Este caso, tiene la particularidad de que la eficiencia de difracción se hace máxima en θ R=θ B y se apantalla en la medida que el ángulo del haz de lectura se desvíe de θ B. La condición de Bragg se esquematiza en la Fig.2.a) usando el diagrama de la esfera de Edwald. Tal comportamiento de las redes de volumen, de extensión finita, fue establecido por  Kogelnik en 1969, mediante el modelo de ondas acopladas. Cuando la longitud de onda del haz de lectura es diferente a la de los haces de registro, entonces el ángulo de lectura también se puede calcular  mediante la siguiente relación: sin θ R λ R   (15) = sin θ w λ w Puestas las condiciones, propias del registro de volumen para la reconstrucción de uno de los haces de escritura, entonces la amplitud total que emerge del cristal, debida a la onda de lectura Ψ R , se  puede representar mediante la siguiente ecuación:   − α R ⋅ L z     π ⋅ ∆n ⋅ L z     π ⋅ ∆n ⋅ L z   ;   Ψ = exp  Ψ R ⋅ cos λ ⋅ Cosθ    − i ⋅ Ψ R ⋅ sin λ ⋅ Cosθ      2 ⋅ Cosθ R      R    R  R    R  

(16) donde el término real representa la onda de lectura después de atravesar la red y el término imaginario es el haz generado fuera del cristal por efecto de la difracción del haz de lectura, el cual es la reconstrucción de uno de los haces de escritura; según la Fig.1, el haz difractado corresponde a la reconstrucción de Ψo . 1.4 Efici encia de difr acción on-Br agg 

 I  R

    = exp   ⋅     2 ⋅ Cosθ R    λ R ⋅ Cosθ R  

(17) donde I d   es la intensidad del haz difractado Ψd  . 1.5 Eficiencia de difr acción off -Br agg 

La teoría de ondas acopladas proporciona la siguiente expresión para la eficiencia de difracción de una red finita: ; πn R 2   2   η=

κ  ∆k  B   κ = ⋅ ∆n 2 2 2 ⋅ sin  L z κ  + λ R n R 2 − sin 2 θ B    4 ∆ k  B     κ  + 2

4

(18)- (19) donde κ  es la constante de acoplamiento; siendo n R y  θ B el índice de refracción y el ángulo de Bragg, respectivamente, para la longitud de onda λR . La magnitud del parámetro off-Bragg  viene dado por la siguiente ecuación: ; (20) 2π sin ( 2θ B ) ∆k  = ⋅ ∆θ  B

λ R n R 2 − sin 2 θ B

 B

2. CORRELADORES OPTICOS FOTORREFRACTIVOS El procesamiento de señales mediante la correlación óptica y/o digital, aun hoy ocupa un nivel importante como propuesta solución al  problema de reconocimiento de formas, de verificación de identidad, localización o como herramienta de control de posición. El problema se idealiza bajo los parámetros: fidelidad del 100% en la identificación, respuesta en tiempo real, cero requerimientos de estabilidad del sistema, inmunidad del 100% a los cambios de contraste de la escena donde se encuentra el objetivo, varianza controlable (invariante-variante) a los cambios de escala, los cambios de posición angular y/o traslaciones del objetivo; factores que son inherentes a los objetos reales. La implementación óptica del correlador está ligada a las propiedades de la transformada de Fourier; el  principio del proceso es un filtrado óptico a nivel del plano espectral, seguido de una transformación de Fourier. La industria, la medicina, la seguridad y el campo militar, son algunas áreas de acción del  procesamiento de señales mediante el uso del

correlador. En tales áreas, algunas aplicaciones exigen tratar grandes volúmenes de información en tiempo real; es aquí, donde el paralelismo del  procesado de señales cobra real importancia y donde los materiales fotorrefractivos son una alternativa interesante. Hoy por hoy, el fenómeno fotorrefractivo continúa en vigencia, deducible de los continuos aportes registrados en los diferentes medios de comunicaciones científicas. Entre los tantos trabajos, que involucran materiales fotorrefractivos, se encuentra la implementación de correladores ópticos. En este sentido, se muestran los resultados de investigación correspondientes a la implementación de arreglos de correlación y la caracterización de los mismos. El contexto conceptual, base de la investigación, utilizado para la implementación e interpretación de la correlación óptica es el efecto fotorrefractivo y la transformada de Fourier fraccionaria. Un vistazo minucioso y retrospectivo, sobre los registros relacionados con la correlación óptica  basada en materiales fotorrefractivos, nos conduce al primer informe publicado en la revista “Applied Optics/1975 ” por Peter Nisenson y Robert A. Sprague. Este es un trabajo experimental en el cual se diserta sobre las características entre un  Joint  Transform Correlator   (JTC) y un   Vander Lugt  Correlator   (VLC), en las dos configuraciones se utiliza un cristal fotorrefractivo de BSO como medio de registro ubicado sobre el plano espectral. Sin quitarle mérito alguno, a ninguno de los trabajos que aquí se omita mencionar, los referenciados contienen los aspectos revelantes que sirven de ilustración y de base para abordar la correlación óptica en el ambiente de la óptica no lineal fotorrefractiva. M. Pepper, J. Au Yeung, D. Fakete y Yariv (1978)  proponen un correlador óptico basado en un mezclado de cuatro ondas degenerado. Mas tarde Jeffrey O. White y Amnon Yariv (1980) son los  primeros en reportar la construcción de un  procesador óptico no lineal basado en el mezclado de cuatro ondas usando un cristal de BSO, demuestran que éste puede operar como correlador  óptico.

Un correlador JTC basado en un BSO y trabajando en régimen no degenerado fue presentado por  L. Pichon y J. P. Huignard (1981). La novedad del arreglo es el bajo nivel energético de trabajo (potencia de la radiación de escritura 200mW). Consideran que la varianza a la traslación del objetivo, observada en sus resultados experimentales, es un efecto secundario debido a la violación de la ley Bragg, también investigaron los efectos del volumen versus el enfoque del plano de Fourier. M. G. Nicholson  et al. (1987) proponen un correlador óptico basado en el mezclado de cuatro ondas no degenerado y muestran que la salida del correlador se puede ajustar mediante control sobre el índice de modulación del plano espectral. La manipulación conveniente de la intensidad de los haces de entrada al cristal se traduce en un mecanismo para mejorar la relación señal ruido sobre el plano de correlación. Un complemento a este trabajo fue publicado por O. Daniel   et al. (1995), los resultados son teóricos, la configuración del correlador es un JTC y el medio de registro es un cristal de BSO ubicado en el plano de Fourier. Los resultados muestran una correlación no lineal como consecuencia de la variación del índice de modulación del plano espectral. J. Khoury, G. Asimellis y C. Woods (1995) presentaron resultados numéricos sobre la respuesta no lineal de un JTC basado en una configuración incoherentecoherente con mezclado de cuatro ondas. La síntesis del filtro espacial en un medio fotorrefractivo, ha dado pie a dirigir esfuerzos hacia el estudio de los efectos secundarios sobre las  propiedades de la correlación (traslación, rotación y cambio de escala); al respecto, a continuación se citan algunos trabajos. C. Chang   et al.  (1992) proponen el correlador  híbrido, invariante a la rotación, basado en el filtro armónico circular generado por computador; la función de transferencia óptica de este filtro se registra en un cristal fotorrefractivo de BaTiO3. Un correlador compacto (dimensiones 60cmx30cmx30cm) fue propuesto por Rajbenbach et al . (1992), el dispositivo utiliza un BSO y opera a una rata de 100ms por cuadro. Un sistema para el reconocimiento de rostros lo propuso Li   et al . (1993); en un cristal de LiNbO3  almacenaron

cuarenta hologramas de rostros de referencia, donde cada holograma es una combinación de varias imágenes y cada combinación corresponde a la historia de una misma persona con diferentes condiciones de iluminación, escalas, posiciones angulares y expresiones faciales. Los materiales fotorrefractivos han permitido la construcción de correladores que operan en el visible o en el infrarrojo. Con respuesta en el visible están el BSO, el BTO, el BGO, el BaTiO 3, el LiNbO3, entre otros. El GaAs trabaja en el infrarrojo, este cristal es potencialmente importante debido a su alta rata de operación; Duncan et al . (1992) reportaron un correlador basado en un GaAs, trabajando a 1000 cuadros/segundo.  Neifeld y Psaltis (1993) presentaron la construcción de un correlador invariante a la traslación, usando un disco compacto óptico y un cristal fotorrefractivo. Sobre el disco se almacena un gran número de imágenes de referencia y con la imagen objetivo se construye el filtro espacial en un material fotorrefractivo. Sin embargo, la varianza a la traslación deja de ser un problema no deseado, si la aplicación de interés es controlar la posición del objetivo. En la década de los noventa, la correlación tomó una forma más amplia gracias a la generalización de la transformada de Fourier, hoy conocida como la Transformada Fourier Fraccional ( Fractional   Fourier Transform (FRFT) ). La FRFT de una imagen contiene información espacio-espectral; esta característica de la FRFT redefine las  propiedades de la operación de correlación. La correlación clásica y la correlación fraccional difieren principalmente en sus propiedades; una de esas diferencias es la varianza a la traslación, propia de la correlación fraccional. Con respecto a este tópico, Grannieri et al   (1996) proponen un correlador fotorrefractivo sensible a la traslación de los objetos en la escena de entrada. Otras contribuciones apuntan hacia la síntesis de filtros invariantes a la escala y a la rotación. Los métodos propuestos consisten en usar múltiples imágenes de referencia del mismo objeto, con diferentes tamaños y posiciones angulares; las memorias fotorrefractivas son apropiadas para la construcción de este tipo de filtros, gracias a que  permiten el multiplexado de imágenes.

Entre algunos de los aportes más recientes, está la implementación de un JTC binario (Cook N. J. et  al . 1998) usando un BSO en el plano de Fourier; se estudia la resistencia al ruido aditivo Gaussiano. En el año 2000 Wenyi Feng et al  y A. Zhang et al  introdujeron el concepto de filtros basados en la transformada “Wavelet ”. El grupo de Wenyi enfocó su aplicación al reconocimiento de rostros. Estudiaron la distorsión al corrimiento, rotación, escala y presencia de ruido en la escena. A. Zhang et al   implementaron un JTC, estudiaron el desempeño del correlador en cuanto a discriminación y tolerancia al ruido. J. Rueda et al   presentan en el 2001 los resultados experimentales de la implementación de un correlador  fotorrefractivo de transformación conjunta fraccionario, en el 2002 la implementacion de correlador fotorrefractivo basado en un fake zoom lens y la transformada de Fourier fraccional, y en el 2004 los resultados sobre la implementación de un correlador basado en el efecto Talbot, correlador  que tiene como novedad la detección del sentido de rotación del objetivo. En términos prácticos, el teorema de correlación es un mecanismo "simple" para calcular una operación de correlación; en la Fig.3 se ilustra el diagrama de flujo de un correlador de imágenes. Un dispositivo óptico basado en el esquema de esta figura es conocido con el nombre de “correlador óptico” por  transformada de Fourier, donde las funciones a comparar son  f ( x, y ) , la cual representa la escena que contiene la letra “J” y  g ( x, y ) la cual representa la escena que contiene la letra “E”.

Figura 3. Principio de un correlador de imágenes  por transformada de Fourier; G y H: módulos de los espectros de g y f, respectivamente; OP: operador  de superposición ó multiplicación; C: plano de correlación. El procedimiento inicia con el cálculo de los espectros de Fourier  G(u,v)= F q{ g ( x,y)} y  H (u,v)= F r { f ( x,y)}. Luego, sobre el plano espectral se multiplica la transformada G(u,v) por el conjugado de la transformada H (u,v). Finalmente,

se calcula la transformada de Fourier   F  p{ H *(u,v).G(u,v)} y de esta forma se genera la correlación entre las dos funciones, sobre el plano de salida. En el lenguaje técnico de procesamiento de imágenes, f ( x,y) representa la imagen objetivo, h( x,y) = F -r { H  (u,v)} la respuesta impulso del filtro y H (u,v) el filtro ó función de transferencia óptica del filtro. La siguiente figura muestra los resultados numéricos del modelado de un correlador clásico.

Objetivo

Escena

Correlación

Figura 4. Resultado numérico. El desempeño de un correlador se evalúa en función de los parámetros energía de entrada y salida, ancho y alto del pico de correlación,  presencia de ruido en la escena de entrada, aparición de picos de correlación indeseables; además del grado de tolerancia a la rotación, traslación y cambios de escala del objetivo. Se aceptan como criterios de desempeño, la relación entre la Energía máxima del Pico y la Energía total en la salida del Correlador (PCE,  Peak-toCorrelation Energy), esto es el cociente debido a la intensidad máxima del pico de correlación dividido entre la energía total del plano de correlación; se asume que la escena de entrada corresponde al objetivo y que está ubicado en el origen. El  parámetro PCE permite establecer un criterio sobre el ancho del pico de correlación y a su vez es una medida del nivel de similitud entre dos imágenes. Un filtro ideal se caracteriza por un PCE=1, esto significa que toda la energía del plano de correlación está concentrada en un punto, es decir, que el pico de correlación se aproxima a un Delta Dirac. Otro criterio es la Eficiencia Optica (OE,  Optical   Efficiency); la OE se interpreta como la medida de atenuación energética ejercida por el filtro, sobre la energía óptica utilizada para iluminar la escena de entrada. Un filtro ideal se caracteriza por un valor  OE=1, esto indica que la atenuación es nula, es decir, que la energía total en el plano de correlación es idéntica a la energía que entra al filtro. Para el caso de filtros pasivos, la OE toma valores entre 0 y 1. Los filtros construidos sobre materiales fotorrefractivos son un ejemplo de filtros activos,

esto implica que puede ocurrir algún efecto de amplificación; sin embargo, este fenómeno se  puede controlar . La Relación Señal a Ruido (SNR,  Signal to Noise  Ratio), define el cociente entre el valor esperado  para la intensidad del pico de correlación en el origen y la varianza del mismo, suponiendo objetos centrados. Este parámetro de calidad se puede utilizar para controlar falsas detecciones, las cuales son factibles cuando la correlación presenta fluctuaciones por efecto de la presencia de ruido en la escena de entrada; en otras palabras, este criterio es una medida de la tolerancia del correlador al ruido. Un filtro ideal se caracteriza por una SNR → ∞. 2.1 Teorema de corr elación general izado 

La correlación, entre las funciones f  y g , en su forma general se define de la siguiente manera: C  p,q,r (x, y) = F  p  F q { g ( xo , yo )} ⋅ F r { f ( xo , yo )}* (21) . donde p, q y r  son los órdenes de la transformación de Fourier. Cuando C -1,1,1( x, y), este es el caso que corresponde a la correlación clásica. La Ec.(21) es una función de correlación si y solo si la operación satisface el criterio de Sharpness: . (22) 1 1 1 + − =0 π π π             tan p   tan q   tan r      2     2     2  

Cuando el criterio de Sharpness no se cumple, la consecuencia es la distorsión del pico de correlación; en este caso, un factor de fase cuadrático aparece, siendo este el responsable de tal distorsión. Por otro lado, se debe anotar, que a diferencia de la correlación clásica, la correlación fraccional es variante a la traslación del objetivo, esto ocurre  para C  p,q,r ( x, y)  ≠ C-1,1,1( x, y). Esta propiedad de la correlación fraccional, resulta atractiva para su aplicación dentro de un sistema de control de  posicionamiento de una pieza o herramienta. Un correlador fraccional es un instrumento que  permite, en paralelo, discriminar objetos en una escena y detectar la posición de los mismos con diferente grado de sensibilidad. El primer correlador óptico fue construido por  VanderLugt (VLC), también conocido como correlador 4f; los resultados se publicaron en el año

1964. Dos años después, Tejedor y Goodman  propusieron otra arquitectura óptica para calcular  operaciones de correlación, el arreglo se conoce como JTC. Estas dos arquitecturas son la base de las diferentes configuraciones de correladores ópticos. Por otro lado, un correlador requiere del uso de soportes para almacenar imágenes; en sus inicios la emulsión fotográfica era el medio de almacenamiento disponible, así la operatividad del correlador óptico estaba limitada a funcionar en tiempo diferido. La óptica y la electrónica se acoplan a través de moduladores espaciales de luz (moduladores de cristal líquido, moduladores acusto-ópticos, moduladores magneto-ópticos, espejos deformables, moduladores electro-ópticos fotorrefractivos, entre otros) y cámaras de video CCD; esto representó un paso importante para el desarrollo de correladores ópticos flexibles a las condiciones impuestas por la aplicación. Así, las ventajas de las técnicas ópticas (rapidez y capacidad de procesamiento en paralelo) y la versatilidad de los métodos digitales permiten realizar procesos de correlación en tiempo real. La discusión presentada en los anteriores  parágrafos permite afirmar, que la información óptica codificada en un medio fotorrefractivo se  puede almacenar de forma temporal ó permanente; que mediante la técnica holográfica basada en la mezcla de cuatro ondas, se puede registrar la amplitud compleja de una onda en un medio fotorrefractivo y que la lectura o borrado de la información almacenada en tal medio es posible. En este sentido, los materiales fotorrefractivos se  pueden usar para sintetizar filtros espaciales para el reconocimiento de patrones mediante un arreglo óptico. Antes de abordar la discusión relativa a la correlación óptica, usando materiales fotorrefractivos, es importante dar un vistazo a los arreglos clásicos VLC y JTC; la diferencia fundamental de estos arreglos y los correladores  basados en medios fotorrefractivos, es el medio de soporte del filtro espacial; en tales casos, el filtro se sintetiza en medios no activos, por ejemplo, en emulsión fotográfica ó en moduladores espaciales de cristal líquido previa composición digital del mismo. 2.2 Ar quit ectur a clásica no f otorr efracti va VLC 

Consiste en la síntesis de un filtro complejo -filtro adaptado-, ubicado sobre el plano espectral de un

 procesador 4 f , constituye lo que hoy se conoce como correlador de Vander Lugt. La Fig.5 es el arreglo de un procesador 4 f ; una onda plana monocromática ilumina el plano (xo,yo), el cual contiene la escena a filtrar, compuesta por las letras “Q, R, R”. Sobre el plano espectral (u,v) se ubica el filtro y en el plano (x,y) se observa la correlación. Las lentes L1 y L2 son lentes positivas de longitud focal f ; la primera lente permite obtener la transformada de Fourier de la escena de entrada sobre el plano espectral y la segunda lente genera la transformación de Fourier, sobre el plano (x,y), de la distribución de amplitud que emerge del filtro, así el resultado de este filtrado es la correlación entre la escena de referencia y la escena de entrada. El filtro adaptado es un registro holográfico de la distribución espectral del objetivo, el soporte físico de este holograma es un medio de alta resolución, el cual puede ser emulsión fotográfica o un modulador espacial. Una desventaja del arreglo 4 f  es el posicionamiento del filtro, acción que está sujeta a una fina precisión en la ubicación del mismo; este es un problema particular del filtro registrado en emulsión de haluros de plata, en cuyo caso el medio de registro se debe remover una vez que ha sido expuesto, para efectuar el proceso de revelado del mismo; aun si el revelado se hace “insitu”, estos medios no pueden competir con los materiales fotorrefractivos si tenemos en cuenta que los medios fotorrefractivos permiten la actualización del filtro y no requieren del  procedimiento de revelado utilizado sobre las  placas de haluros de plata.

Figura 5. Arreglo VLC. L1 y L2 son lentes de longitud focal + f . La iluminación es una onda plana monocromática. (xo,yo) es el plano de entrada, (u,v) es el plano de Fourier y (x,y) es el plano de correlación. 2.3 Ar quitectur a no fotorrefr activa JTC 

Para un mejor entendimiento del funcionamiento del correlador, es conveniente describirlo en dos  pasos, tal como se muestra en la Fig.6.. Obsérvese en la Fig.6.a), que el objetivo y la referencia están

sobre el mismo plano de entrada, de tal forma que sus respectivas transformadas de Fourier se superponen sobre el medio de registro. 2.3.1 Registro del fil tro 

Sobre el plano focal de la lente L positiva, se obtiene la interferencia entre el espectro de Fourier  del objetivo y el espectro de Fourier de la referencia; según la Fig.6.a), tanto el objetivo como la referencia es la letra “ R ”. Un detector  cuadrático, ubicado a nivel del plano espectral (u,v), almacena la distribución de intensidad de este plano, así el filtro es sintetizado físicamente en dicho dispositivo.

b). Lectura del filtro. a). Registro del filtro. Figura 6. JTC. L lente de focal + f ; DEC densidad espectral conjunta; PC es el plano de correlación. 2.3.2 Lectur a del fil tro 

Esta es la etapa de filtrado en la cual se obtiene la correlación. Observando la Fig.6.b), el filtro es iluminado por una onda plana monocromática, esta radiación se difracta en el filtro y a través de la lente L se genera su transformada de Fourier sobre el plano (x,y); el resultado sobre este plano es la generación de un pico de energía DC centrado con respecto a dos picos de menor energía, los cuales corresponden a los términos de correlación cruzada  R ⊗ R y − R ⊗ R .

espectral (X,Y), dos lentes convergentes L1 y L2 de longitud focal f , el objeto de referencia r ( x′, y ′)   y el objeto a filtrar o reconocer  o( x′′, y ′ ) . En la Fig.7.a) la distancia cristal-objeto de referencia es 2 f  y el arreglo de la Fig.7.b) es un 4 f . 2.4.1.1 Construcción del f il tr o 

Según la Fig.7.a)., un holograma de Fourier del objeto de referencia se almacena en el cristal fotorrefractivo. En este proceso, por una parte, una onda plana monocromática ilumina el objeto referencia, de transmitancia r ( x ′, y ′) ; luego sobre el plano focal de la lente L1, el cual coincide con el  plano del cristal, se produce la distribución espectral de Fourier de dicho objeto, campo que se  puede simbolizar de la siguiente forma: Ψr  ≅ F 1{r ( x′, y ′)} ⋅ exp[i ⋅ ( − X  ⋅ k  x + Z ⋅ k  z )] , (24) donde k  x  y k  z  son las componentes del vector de onda k r  = ( − k  x , 0 , k z ) en el interior del material. Por otro lado, el campo Ψ r   interfiere con la onda  plana Ψ  p , cuyo vector de onda es k  p = (k  x ,0, k z ) ;  por simplicidad, se considera una onda plana de amplitud unidad, es decir: Ψ p = exp[i ⋅ ( X  ⋅ k  x + Z ⋅ k  z ) ] . (25)

a). Construcción del filtro.

2.4 Corr elador es clásicos fotor refr activos 

En este caso, la función de transferencia de un filtro espacial registrado en un medio fotorrefractivo, es un holograma de volumen; entonces la función de transferencia del filtro se puede expresar de la siguiente forma:   (23) π ⋅ ∆n ⋅ d     ,  H  ≈ exp − i ⋅  λ ⋅ cos θ      R  R   2.4.1 Arquitectura PVL C 

Por simplicidad, el funcionamiento de este arreglo de correlación se discute en dos etapas; la primera corresponde a la fase de registro del filtro, la cual esquematiza la Fig.7.a), y la segunda es la etapa de filtrado u obtención de la correlación según la Fig.7.b). Este correlador está constituido por un cristal fotorrefractivo ubicado a nivel del plano

b). Etapa de filtrado Figura 7. Arreglo PVLC. DH es un divisor de haz; CD es un cubo divisor de haz; CCD es una cámara de video; M1 y M2 son espejos; L1 y L2 son lentes  positivas de igual longitud focal. El filtro es un cristal fotorrefractivo sobre el cual, en paso a), quedó registrado el holograma del objeto de referencia (r); o es el objeto de prueba. El cristal es sensible a la intensidad del patrón de interferencia generado por las ondas Ψr  y Ψ p , esta

distribución de intensidad foto-induce una red de índices proporcional a dicho patrón, vía efecto electro-óptico de primer orden. De esta forma, la función de transferencia óptica del filtro de correlación H ( X ,Y ) queda sintetizado como un holograma de volumen de solo fase. Si se asume una baja eficiencia de difracción del filtro, entonces, de la Ec.(23), se puede considerar la siguiente expresión: π ⋅ ∆n ⋅ d  ∝ Ψ + Ψ ⋅ Ψ + Ψ * . (26)  H  ≈  p r   p r  λ R ⋅ cos θ R

de tal forma que k o = − k r  , en tal situación el

2.4.1.2 Etapa de fi ltrado 

La formulación matemática de las configuraciones PVLC y PJTC tienen bases similares, ellas difieren en la velocidad de respuesta. En el PVLC, la escena en el haz de lectura puede renovarse rápidamente debido a que este haz no “interviene” en la formación del filtro. La Fig.8 muestra un arreglo PJTC; en este caso, la síntesis del filtro depende tanto del objeto de referencia como del objeto a identificar. Lo anterior implica, que el tiempo de respuesta del correlador estará condicionado por el tiempo de respuesta del material; el tiempo de respuesta de los materiales fotorrefractivos del grupo silenitas es del orden de 10ms.

De acuerdo con la Fig.7.b), el campo difractado del objeto o( x′′, y ′ )  y generado sobre el plano focal de la lente L2, Ψo ≅ F 1{o( x′ , y ′ )} ⋅ exp[i ⋅ ( − X ⋅ k  x − Z ⋅ k  z ) ] , (27) se difracta en el volumen del filtro H ( X ,Y ) (difracción que satisface la condición de Bragg); la amplitud compleja de esta difracción se materializa en la siguiente expresión: Ψd  = H ( X , Y ) ⋅ F 1{o( x′ , y′ )} ⋅ exp[i ⋅ ( − X ⋅ k  x − Z ⋅ k  z )] . (28) Si se tiene en cuenta la Ec.(26), entonces el campo de la Ec.(28) toma la siguiente forma:  Ψ p 2 + Ψr  2 ⋅ F 1{o( x′′, y′ )} ⋅ exp[i ⋅ ( − X  ⋅ k  x − Z ⋅ k  z ) ] +    Ψd  ∝  + F (1) {r ( x′, y′)}* ⋅ F 1{o( x′′, y′ )} ⋅ exp[i ⋅ ( X ⋅ k  x − Z ⋅ k  z )] +  + F (1) {r ( x′, y′)} ⋅ F 1{o( x′ , y′′)} ⋅ exp[i ⋅ ( − X  ⋅ 3k  − Z ⋅ k  )]  x  z   

; (29) entonces el resultado es la generación de tres haces, claramente determinados por los tres términos de la Ec.(29); la interpretación física de estos términos es la siguiente: a) Primer término = Haz transmitido, con vector  de onda k o = −k  p .

b)  Segundo término = Armónico de difracción, con vector de onda k + = −k r . = Armónico de difracción, c) Tercer término con vector de onda k − = (−3k  x ,0,−k z ) . Si cada haz se observa en el plano focal de una lente convergente, en su orden, el resultado será: la imagen del objeto de transmitancia o( x ′′, y ′ ) , la correlación o( x, y) ⊗ r ( x, y)   y la convolución o( x, y) ∗ r ( x, y ) , respectivamente. De acuerdo con la discusión previa sobre la difracción de hologramas de volumen, el armónico k − no se observará, para la dirección de lectura mostrada en la Fig.7.b) ; esto implica que para observar la convolución, es necesario orientar el haz de lectura

armónico k + no se genera. Finalmente, eligiendo el segundo término de la Ec.(29) y aplicado el operador transformador de Fourier de orden p = –1, que de acuerdo con el esquema de lectura se obtiene a través de la lente L1, se obtiene entonces la función de correlación: C ( x, y ) ≈ [ o( x, y ) ⊗ r ( x, y )] ∗ δ( x, y ) . (30) 2.4.2 Ar quitectura PJTC 

2.4.2.1 Construcción del f il tr o 

Las escenas o( x ′ , y ′′) y r ( x ′, y ′)  son iluminadas  por dos ondas planas monocromáticas. En la Fig.8.a), a través de las lentes L1 y L2, las transformadas de Fourier   F 1{r ( x′, y ′)} y  F 1{o( x ′′, y ′′)}  interfieren en el volumen del cristal, de tal forma que la distribución de amplitud compleja sobre el material fotorrefractivo es, Ψr ,o ≅  F 1{o} ⋅ exp[i ⋅ ( X  ⋅ k  x + Z ⋅ k  z ) ] + F 1 {r } ⋅ exp[i ⋅ ( − X  ⋅ k  x + Z ⋅ k  z ) ] ; (31) la intensidad de esta distribución de amplitud, genera un holograma de volumen; en otras  palabras, la función de transferencia óptica del filtro se materializó en el cristal. Este holograma también se ajusta a la Ec.(26), entonces H ( X ,Y ) toma la siguiente forma,  1 2 . 1 2 1 * 1  F  { o} +  F  { r }  + F  { r } ⋅ F  { o} ⋅ exp[i ⋅ ( X  ⋅ 2 k  x ) ] +   H ( X , Y ) ∝    1 { r }  F 1{ o} ∗ exp[i (  X  2k  ) ]    F  + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅  x  

(32)

2.4.2.2 Etapa de lectur a 

Siguiendo la Fig.8.b), la onda plana - Ψ p - de amplitud unidad y con vector de propagación k  p = − k o   se difracta del filtro; entonces la

distribución de amplitud emergente tiene la siguiente forma,  Ψ 2 + Ψ 2  ⋅ exp[i ⋅ ( − X  ⋅ k  − Z ⋅ k  )] +  ; (33) r    x  z   p     Ψd  ∝  + F 1{r }* ⋅ F 1{o} ⋅ exp[i ⋅ ( X  ⋅ k  x − Z ⋅ k  z )] +   + F 1{r } ⋅ F 1 {o}∗ ⋅ exp[i ⋅ ( −  X  ⋅ 3k  − Z ⋅ k  )]   x  z    

este resultado muestra la generación de tres haces, un haz transmitido DC y dos órdenes de difracción, k +  y k − . De la discusión sobre el PVLC podemos inferir, que para la configuración mostrada en la Fig.8.b), el segundo término de la Ec.(33) en la  práctica no se genera.

a). Construcción del filtro.

los resultados de la implementación de dos PVLC fraccionarios; en uno de ellos la FRFT se obtiene mediante el arreglo óptico denominado de Lohmann Tipo II modificado ó   Fake Zoom Lens (FZL), mediante este arreglo se estudió la influencia del espesor del cristal fotorrefractivo sobre la varianza espacial del correlador; en el segundo arreglo PVLC fraccionario, la FRFT se obtiene por propagación libre. Finalmente se presentan los resultados de la implementación de un PJTC fraccional; este correlador está basado en el arreglo Tipo I de Lohmann para obtener la FRFT, y se estudia el comportamiento de la varianza del correlador a la rotación del objeto de prueba, versus el orden fraccional del filtro. Se concluye la discusión con la  presentación de los resultados de la implementación de un correlador basado en el efecto Talbot. 2.5.1 Correlador basado en la FRFT obtenida  mediante un F ZL

b). Etapa de filtrado Figura 8. Arreglo PJTC. DH es un divisor de haz; CD es un cubo divisor de haz; CCD es una cámara de video; M1 y M2 son espejos; L1 y L2 son lentes  positivas de igual longitud focal. Por otro lado, la onda k + = ( k  x ,0,−k  z )  se transforma a través de la lente L1 y sobre su plano focal se observará el término de correlación o( x, ) ⊗ r ( x, y) . Un resultado similar se obtendrá si el haz de lectura Ψ p  se propaga en la dirección k  p = −k r . Es importante resaltar, que en un PJTC

la detección de la señal de correlación está favorecida por una alta relación Señal/Ruido; ello es la consecuencia de la ausencia del orden DC sobre el plano de salida ( x, y). En un JTC son necesarios procedimientos adicionales para filtrar  del plano de salida el término de fondo continuo. 2.5 Resultados de la implementación óptica de  correladores f otorrefr activos 

La siguiente discusión es sobre los resultados de la implementación óptica de correladores fotorrefractivos está basada en la transformada de Fourier Fraccionaria ( FRFT) óptica. Se presentan

A continuación, se muestran los resultados de la implementación de un correlador fotorrefractivo, cuya sensibilidad a las traslaciones del objeto de  prueba se debe a la propiedad de varianza espacial de la correlación fraccionaria y/o al espesor del cristal utilizado en la síntesis del filtro. En esta aplicación, se tiene en cuenta el arreglo óptico FZL,  propuestos por Lohmann, para obtener la FRFT; a diferencia del tipo I y II, el arreglo FZL permite obtener una serie fraccionaria de la función de entrada, sin necesidad de cambiar las lentes para cada orden fraccionario, a razón de conservar  constante el parámetro de escala Q  sobre toda la serie. En la Fig.9 se muestra el arreglo FZL, donde la amplitud de la iluminación sobre la transparencia u(xo) es uniforme. La focal efectiva del arreglo se modifica ajustando, convenientemente, las distancias d y D; es decir, que a cada focal efectiva del arreglo, corresponde una FRFT dentro del intervalo fraccionario [-1,1], y donde las FRFT tienen en común el mismo factor de escala Q. Las distancias de propagación d, D y la focal efectiva f e del arreglo óptico vienen definidas por la siguiente expresión [36]: (34)    π   ;    π   ; d  =  f o 1 + tan p    D =  f o 2 + sin  p     4     2    

 f e =

 f o

  π  

sin  p     2  

lente L3 (f=+20cm), se produce sobre el plano de la cámara CCD la distribución de intensidad de la correlación fraccionaria, entre el objeto de prueba y el objeto de referencia; el objeto de prueba se desplazó en la dirección del eje yo. Figura 9. Arreglo FRFT Fake Zoom Lens. fo es la longitud focal de la lente; u(xo) es la transparencia; u p(x) es la FRFT de orden p de u(xo). La Fig.10 esquematiza el funcionamiento del correlador implementado, cada lente identificada con f e  representa un FZL; el correlador  representado por el diagrama de flujo, corresponde a un PVLC fraccionario. Las funciones de entrada h(xq) y g(xq) representan el objeto de referencia y el objeto de prueba, respectivamente; igualmente,  F r {h( xr )} y  F q { g ( xq )} sus correspondientes FRFT de orden r y q. Para conservar la escala relativa entre las transformadas de h y g es necesario establecer  q=r, consecuentemente, se debe establecer p=-1  para que la condición de correlación, dada por la Ec.(22), se cumpla.

Figura 10. Diagrama de flujo de funcionamiento del PVLC fraccional. La Fig.11 muestra el esquema del arreglo del correlador óptico implementado. En un cristal fotorrefractivo de BSO se almacena el patrón de interferencia debido a la superposición del haz de referencia y la FRFT de orden r, de la transparencia ubicada sobre el plano objeto; la FRFT de esta transparencia sobre el plano del cristal, se produce a través del arreglo óptico FZL; arreglo constituido  por las lentes L1 y L2 de distan cias focales +10cm; de esta forma se sintetiza el filtro en el BSO. Se estableció un tiempo de registro de 2min y tiempos de exposición en la lectura de 700ms. Por sencillez técnica operacional del correlador, el objeto de  prueba es la transparencia utilizada para la síntesis del filtro; la transparencia es binaria y contiene la letra E  (tipo “arial”) de tamaño 2mmx1mm, y se dispuso sobre un sistema de desplazamiento micrométrico. Posterior al registro del filtro se cierra la ventana de bloqueo VB y a través de la

Figura 11. Vista superior del arreglo experimental. E: espejo; VB: ventana de bloqueo del haz de referencia; BS: cubo divisor de haz. L1 y L2: lentes de longitud focal +10cm; L3: lente de longitud focal f=+20cm. La Tab.1 contiene los valores de los parámetros d y D, utilizados para la obtención de los resultados de las Figs.12-13, la incertidumbre indicada en estos valores se refiere al error en la ubicación de los elementos por corte de la componente decimal, de cada valor calculado. Tabla 1. Valores utilizados en la valoración experimental del correlador  .q=r d [cm] D [cm] 1.0 20.0±0.00 30.0±0.00 0.9 18.5±0.04 29.8±0.07 0.8 17.2±0.06 29.5±0.01 0.7 16.1±0.02 28.9±0.01 0.6 15.0±0.09 28.0±0.09 La fuente de iluminación es un láser de Ar +, sintonizado en la longitud de onda de 514 nm y  potencia nominal de 55 mW; la distribución de amplitud del haz de referencia y del haz objeto sobre la transparencia es uniforme y el ángulo entre estos haces es de 16º, aproximadamente. Por otro lado, en este estudio se utilizaron tres cristales de BSO, cuyos espesores Lz son 1mm, 3mm y 6mm, y la cara del cristal paralela al plano (X,Y) es cuadrada (dimensiones: 10mmx10mm); la configuración cristalográfica es (110 ) , (1 1 0) y ( 001) ; la cara (110 )   se orientó paralelamente al  plano (X,Y), y para mejorar la eficiencia de difracción se aplicó un voltaje de 7kV,  perpendicular a la cara (1 1 0) . Los resultados muestran, por un lado que la sensibilidad del correlador a la traslación aumenta

en la medida que se disminuye el orden fraccional, y por el otro, que existe una dependencia importante a tal sensibilidad, debido al espesor del cristal utilizado. Obsérvese en cada resultado de las Figs.12-13, exhiben sensibilidad diferente bajo el mismo orden fraccional, resultado que no es el esperado según las propiedades de la correlación fraccional, y es en este sentido que la conclusión apunta a tener en cuenta una sensibilidad adicional debida al espesor del filtro.

implementación es un PVLC fraccional, pero la FRFT se obtiene mediante el uso del arreglo de la Fig.14. Se utilizó las Ecs.(35) para calcular el radio de curvatura R q de la onda esférica que ilumina el  plano objeto y el parámetro Zq , respectivamente, en la Tab.2 se muestran los valores utilizados en el experimento.

Figura 14. Arreglo para obtener la FRFT sin lentes Q ;  z = Q ⋅ sin ϕ ; ϕ = qπ / 2 (35)  Rq = q tan ϕ / 2

a).

b).

c). Figura 12. Intensidad normalizada del pico de correlación versus el desplazamiento vertical del objeto de prueba para tres cristales BSO de espesores: a) 1mm, b) 3mm y c) 6mm.

a). b). Figura 13. Comparación de la sensibilidad del correlador a la traslación del objetivo, entre los cristales de menor y mayor espesor, y los ordenes fraccionales: En a) q=1.0, se observa un apantallamiento relativo al espesor del cristal, aproximado, del 20% y en b) q=0.6, se produce un apantallamiento relativo al espesor del cristal, aproximado, del 5% . 2.5.2 Correlador basado propagación li bre 

en

la

FRFT

por 

Esta implementación es una aplicación del modelo de propagación libre para la obtención óptica de la FRFT. Igual que en el caso anterior, está

La Fig.15 es el esquema del correlador  implementado; la lente L1, de longitud focal +100cm, tiene la función de emisor esférico para el  plano objeto; se eligió un parámetro Q=40cm para los tres ordenes fraccionales de prueba. La forma de ejecutar una secuencia de correlaciones versus traslación por cada orden fraccional, es similar al  procedimiento descrito para funcionar el correlador  anterior. Se utilizó un cristal de BSO, de espesor  Lz=4.73 mm y corte cristalográfico (110 ) , ( 1 10) y (100 ) . Adicionalmente, el cristal se perturbó mediante un campo eléctrico externo Eo=0.743 kV/mm; el campo se aplicó perpendicular al plano (110 )  y la luz incide sobre la cara ( 1 10) .

Figura 15. Vista superior del arreglo experimental. E:espejo; VB: ventana de bloqueo del haz de referencia; BS: cubo divisor de haz. L1: lente de longitud focal +100cm; L2: lente de longitud focal f=+30cm. Tabla 2. Valores utilizados en la valoración experimental del correlador de la Fig.15 . q=r Zq [cm] R q [cm] 1.0 40.0±0.00 40.0±0.00 0.9 39.5±0.01 46.8±0.03 0.8 38.0±0.04 55.0±0.05

La fuente óptica del correlador es un láser de He Ne de emisión en la longitud de onda 543 nm, y una potencia de salida de 4 mW. El haz que incide sobre el divisor de haz BS, fue convenientemente expandido y colimado; el haz objeto y el haz de referencia forman un ángulo de 16º entre sí. La transparencia, ubicada sobre el plano (xo,yo), contiene la letra  E  (“arial”), de tamaño 2mmx1mm. La lente L2, de distancia focal +30 cm, permite obtener una FRFT de orden –1, sobre el plano de la CCD. Los resultados de esta implementación se muestran en la Fig.16; se representa en forma gráfica el valor del pico de correlación versus el desplazamiento del objeto de prueba, para tres ordenes fraccionales. En general, tanto éste correlador como el basado en el FZL para obtener  la FRFT, exhiben varianza espacial. Mas que dar un  juicio comparativo, sobre las diferencias relativas a la sensibilidad a la traslación exhibida por cada uno de estos dos arreglos (se recuerda que en cada caso los cristales utilizados son de diferente espesor) es importante resaltar, que desde el punto de vista de construcción y funcionamiento, el caso de  propagación libre ofrece mayor flexibilidad tanto en el alineamiento del sistema holográfico como en el funcionamiento del correlador mismo. En este caso, cambiar de orden fraccional, con lo que se modifica la sensibilidad a la traslación, tan solo requiere mover el plano objeto y el cristal ó el  plano objeto y la lente; por razones obvias mover el cristal no es un procedimiento recomendable.

Figura 16. Intensidad del pico de correlación versus desplazamiento vertical del objeto de prueba. Desviación estándar: ¢ 0.06; o 0.04; l 0.03. 2.5.3 Correlador PJTC fr accional 

La implementación de este correlador es una aplicación del arreglo Tipo I propuesto por  Lohmann; la valoración del correlador se centró en el estudio de la varianza a la rotación versus el orden fraccional de las dos transformadas de Fourier que componen el filtro conjunto. Este es un correlador basado en el mezclado de cuatro ondas degenerado, disposición que permite el procesado

de la señal de entrada en tiempo casi real; el tiempo de respuesta del correlador, por cada correlación, depende del tiempo de formación del filtro conjunto, tiempo que se puede manipular mediante el campo aplicado y mediante la intensidad de los haces de registro. La Fig.17 muestra el esquema del arreglo experimental; el láser y el cristal fotorrefractivo, utilizados en esta implementación, son los que se utilizaron en la implementación del PVLC de la Fig.15. Los objetos R y O utilizados son aviones  binarios, el tamaño de cada avión es de 0.8x0.8mm2; la transparencia O se dispuso sobre un sistema de rotación controlado, de precisión 0.001º. Sobre el plano del cristal BSO, se forma y registra el patrón de interferencia debido a la superposición de las FRFT de las transparencias R  y O; paralelamente al proceso de registro de este  patrón de interferencia, sobre la cámara CCD, se  produce la distribución de intensidad de la correlación entre los objetos R y O, a través de la lente L3 (distancia focal +30cm); la lente está dispuesta para obtener, sobre el plano de la CCD, una FRFT de orden uno del haz difractado del BSO; el haz de lectura es el reflejado del espejo E2, el cual está orientado en contra propagación del haz R.

Figura 17. Arreglo experimental. LD: lámina divisora de haz; E1-E3: espejos; R: Objeto de referencia; O: objeto de prueba. L1 y L2 son lentes de longitud focal +38cm; L3: lente de longitud focal +30cm. El ángulo entre los haces R y O fue aproximadamente de 8º; para mantener igual condición de desenfoque de la FRFT de R y O, el cristal se orientó de tal forma que estos dos haces tengan igual ángulo de incidencia sobre el plano del BSO. Las distancias Zq=Zr  se calcularon mediante las Ecs.(36); las distancias entre L1y BSO, y L2 y BSO son iguales a Zq=Zr . La longitud focal de las lentes L1 y L2 son +38cm. Por otro parte, se aplicó

al BSO un voltaje de 7kV perpendicular al plano (110 ) . ,  z p = Q ⋅ tan  p π    (36) Q  f  =   4     π   sin p     2   La Fig.18 muestra los resultados obtenidos en la valoración del correlador; esta implementación ha  permitido demostrar que la varianza a la rotación de la correlación no tiene un comportamiento único,  por el contrario, bajo el dominio de la FRFT la correlación posee diferentes niveles de tolerancia a la rotación; el nivel de tolerancia a la rotación se reduce a medida que los ordenes fraccionales r=q disminuyen. En este sentido, el correlador se puede acondicionar con diferentes niveles de sensibilidad.

aquella a la cual se presenta la primera auto-imagen  positiva o la distancia entre dos auto-imágenes semejantes consecutivas. Auto-imágenes negativas se generan a distancias determinadas por la siguiente expresión:  Z  (38) α= impar;  Z  = α ⋅ T  α

2

de las anteriores expresiones se deduce que entre dos auto-imágenes positivas existe una negativa o viceversa. Cuando la red se ilumina con una onda esférica monocromática de radio R, entonces las auto-imágenes son réplicas escaladas de la transparencia. Las distancias a las cuales se  producen tales auto-imágenes vienen definidas por  la siguiente expresión: 1 α=1, 2, 3, ...; (39) =1+ 1  Z α  R α Z T  la primera auto-imagen positiva o negativa se  producen a y , +  R ⋅ Z T  −  R ⋅ Z T   Z  =

Figura 18. Intensidad normalizada del pico de correlación versus rotación del objeto de prueba. 2.5.4 Corr elador basado en el efecto Talbot 

La formación de auto-imágenes o réplicas de un objeto iluminado con luz coherente se conoce como efecto Talbot. Todo objeto con frecuencias espaciales discretas y localizadas sobre los llamados anillos de Montgomery, permite la generación del efecto Talbot. Las redes de Ronchi son un ejemplo de este tipo de estructuras  periódicas. Lord Rayleigh demostró la periodicidad longitudinal del campo difractado por la red y obtuvo la expresión analítica para la separación entre las auto-imágenes sucesivas de una red 1-D; la distancia a la cual se produce una auto-imagen depende de la longitud de onda de la radiación y de la forma del frente de onda que ilumina el objeto de Montgomery. Por ejemplo, la distancia a la cual se  producen auto imágenes de una red de Ronchi, de  periodo espacial d , iluminada con una onda plana monocromática de longitud de onda λ es: 2 d 2  Z  = α ⋅ = α ⋅ Z  α=1, 2, 3, ...; (37) α

λ

T 

siendo Z α la distancia de separación entre la red y un plano de auto-imagen positiva; la auto-imagen  positiva se refiere a que la réplica está en contraste directo con respecto a la red. Z T   se conoce con el nombre de distancia Talbot; esta distancia, es

 Z  =

 R + Z T 

2 R + Z T 

respectivamente. El cristal fotorefractivo Bi12SiO20 (BSO) exhibe buena sensibilidad de registro de auto-imágenes. En la Fig.19 se muestra el arreglo de tal correlador; obsérvese, que ahora las autoimágenes son almacenadas en el cristal fotorrefractivo como un holograma de volumen. Las auto-imágenes son un caso particular de la difracción de Fresnel; por lo tanto, el estudio conceptual y fenomenológico del efecto Talbot se  puede abordar a partir de la FRFT. Si partimos del caso particular, para obtener la FRFT, referido en la Fig.14, entonces, el comportamiento longitudinal del campo difractado de un objeto de Montgomery, de periodo espacial d   y transmitancia t ( xo ,yo), iluminado con una onda esférica de curvatura R, se concluye que, a la distancia Z  p, la FRFT de orden p de t ( xo ,yo) es:   x  y   ; (40)  F  p {t ( x , y )} = t  o , o   o

o

  M   M   

en palabras, la FRFT de orden p de la transparencia coincide con la auto-imagen escalada de la transparencia; el escalamiento implica que el  periodo espacial de la auto-imagen, correspondiente al orden p, sigue el comportamiento representado  por la siguiente expresión[41]: π   dp = d cos   p   ; (41)   2   donde el plano de la auto-imagen de orden p, dista 2 de la transparencia una distancia  Z  = Z  = 2αd p .  p

α

λ

El arreglo de la Fig.19 se utilizó para correlacionar 

estructuras periódicas bidimensionales binarias, de celda unidad cuadrada (0.12x0.12 mm2) y separación entre celdas de ≈0.26 mm2; las transparencias involucradas en el proceso de correlación se iluminaron con un frente de onda  plano; la característica de la iluminación utilizada en esta aplicación, implica que las auto-imágenes son réplicas exactas de la transparencia de entrada, en estas condiciones de iluminación, según la Ec.(41), cada auto-imagen coincide con la FRFT de orden q=0. Constituyen el arreglo de la Fig.19, un láser de He Ne de longitud de onda 543nm; expandido y colimado antes del divisor de haz (BS); el ángulo entre el haz objeto y haz de referencia es θw≈25º. Sobre el plano objeto, se ubican la transparencia de  prueba en un sistema de tres grados de libertad (traslaciones Xo y Xo; rotación sobre el eje Z), las traslaciones y rotación son controladas con una  precisión de 20µm y 0.1º, respectivamente. El cristal BSO y el plano objeto se separan una distancia Z α=ZT. El cristal registra la distribución de intensidad que produce la superposición del haz de referencia y la auto-imagen de la transparencia ubicada en el plano objeto. El cristal BSO, de espesor Lz=4.73 mm y corte cristalográfico (110 ) , ( 1 10 ) y (100 ) , se perturbó mediante un campo eléctrico externo Eo=0.743 kV/mm; el campo se aplicó perpendicular al plano (110 )  y la luz incide sobre la cara ( 1 10 ) . La ejecución del correlador  sigue el mismo procedimiento descrito para los casos anteriores, donde se inicia con la síntesis del filtro; luego se cierra VB y se procede al registro de la intensidad del plano de salida mediante la cámara CCD.

resultados en la Fig.20. Los armónicos generados sobre el plano de salida, se dan como resultado del registro holográfico de auto-imágenes en el material fotorrefractivo. Una consecuencia de este tipo de registro, es la transferencia de energía entre los armónicos generados; ello solo se observó cuando la transparencia utilizada para la lectura se somete a ligeros desplazamientos o rotaciones, con respecto a la posición del objeto utilizado en la síntesis del filtro; las imágenes de la Fig.20 sustentan lo anterior. Por otro lado, se puede observar que la dirección de transferencia de energía se puede asociar al sentido del movimiento; hecho que resulta de especial interés en el caso de la rotación del objeto, de esta forma, este correlador   permite determinar el sentido de rotación del objetivo. El comportamiento energético de los armónicos, resulta de especial interés en el control de microposicionamiento; además, la sensibilidad del correlador a los cambios de estado cinético de los objetos sometidos a comparación, se puede ajustar  al requerimiento mediante el periodo espacial de la estructura de los objetos que se correlacionan.

(0,0,-0.1º) (0,0,0) (0,0,0.1º) a). Rotación sobre Z. (-): sentido antihorario.

b). Objeto de Montgomery utilizado. Figura 20. Resultado experimental de la autocorrelación del objeto d), usando el arreglo Talbot. (Xo,Yo,θz)=(traslación en Xo, traslación en Yo, rotación sobre Z).

Figura 19. Arreglo experimental del correlador  Talbot. L: lente de longitud focal +20 cm; E: espejo; VB: ventana de bloqueo del haz de referencia; BS: cubo divisor de haz. Láser He-Ne de longitud de onda 543 nm. Se ejecutaron pruebas de auto-correlación con el objetivo en rotación sobre el eje Z; se presentan los

RECONOCIMIENTOS Al Grupo de Óptica y Tratamiento de Señales de la Universidad Industrial de Santander –  Bucaramanga – Colombia, y al Centro de Investigaciones Ópticas – CIOp, La Plata Argentina, entidades en cuyos laboratorios se obtuvieron los resultados experimentales que se  presentan en este artículo; a los Doctores Nestor 

Bolognini, Myrian Tebaldi y María Del Carmen Lasprilla, por sus invaluables aportes a esta investigación; a COLCIENCIAS por el apoyo financiero que permitió el desarrollo de la misma.

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