ecuaciones diferenciales resuelto circuitos electricos

1. Recuerde que la ecuación diferencial de la carga instantánea, q  t  , en el capacitor de un circuito en serie LRC , se describe con

L

d 2q 2

dt

R

dq dt



1 C



q  E t

Use la transformada de Laplace para calcular q  t  cuando

L  1h, R  20, C  0.005 f , E t   150 V , t

 0, q 0   0

e i 0   0 . ¿Cuál

es la corriente i  t  ? L  1h, R  20, C

 0.005 f , E t   150 V ,t  0, q  0  0 e

Se tiene la ecuación : d 2q

d 2q

R

dq

 20

dq



1

q  E (t ) dt 2 dt c Reemp Reemplaza lazando ndo los valore valoress : L



1

dt 2 dt 0.005 Donde Donde los valor valor es :

q  150

q(0)  0 i (0)  0

q '(0)  0

Aplica Aplicando ndo Laplac Laplace e ‹

 d 2q  dq 1  dt 2  20 dt  0.005 q    

‹

150

s 2Q(s)  s*q(0)  q'( 0)  20(sQ(s)  q( 0))  200Q(s 0Q(s) 

( s 2  20s  200)Q(s )  Q(s) 

150 s

150 s( s 2  20s  200)

1 Q(s)  150* 50 * s(s 2  20s  200) Por Fraccio Fracciones nes Parciale Parciale s :

1 s( s 2  20 s  200)



A s



Bs  C s 2  20s  200

1  A(s 2  20s  200)  Bs2 A  B  0

 Cs 20 A  C  0

200 A  1 A 

1 200

B

1 200

C 

1 20

150 s

 0

i 0

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Reem Reempla plazan zando do : Q(s)  Q(s)  Q(s) 

1 1 s  1 1 10 *  2 200 200 s s  20 s  200 1 1 1 s  20 *  * 200 s 200 (s  10)2  100



 1 1  10 s  10 *     200 s 200  (s  10)2  100 (s  10)2  100  1

Aplic Aplicand ando o Laplac Laplace e Invers Inversa a: ‹

1

Q(s)    2100  * 

q(t )  2.

1 200





1

 e  200

‹

10t

1

1 1      s  200 

‹

1

 s  10  10   ( s  10)2  100 (s  10)2  100     

cos(10t )  e10t sen(10t ) 

Una batería de voltaje constante E 0 carga al capacitor de la figura. Divida la

 ecuación  20  entre L y defina a 2 

R L

y a

1   . Utilice la trasformada de Laplace LC 2

demostrar que la solución q  t  de q '' 2 q '  2 q 

E 0 L

E 0

L

R

para

C

, sujeta a q  0, i 0   0 , es

      E0C 1  e t  cos h  2   2 t  sen h  2   2 t   ,    2   2      t q  t    E0C 1  e 1  t   ,      t     2 2 2 2  E0C 1  e  cos    t  2 2 sen    t  ,       

      

Solución:

q  0, i 0   0 Teniendo la ecuación diferencial con las condiciones iniciales entonces aplicamos la transformada de Laplace y la propiedad de linealidad a ambos miembros de la ecuación:

E 0    q   L   L q''  2 q '  2















E 0  1  s Q  sq ( 0 )  q'( 0 )  2 ( sQ  q ( 0 ))   Q    L  s  2

2

Reemplazamos las condiciones iniciales entonces la ecuación resulta:

s 2Q

E 1  2 ( sQ )   2 Q  0   L  s 

Factorizando el término ‘Q’, tenemos:

Q ( s2

 2 s   2 ) 

E 0  1    L  s 

Despejamos ‘Q’, obteniendo:

E 0  Q   2 L  s( s

 2   2 s   )  ……..(*) 1

Descomponemos la división que tenemos en dos sumandos, usando fracciones parciales; para ello hallamos ‘A’,’B’ y ‘C’.

A Bs  C  2 s s  2 s  2



1 s( s 2

 2 s   2 )

Efectuando el mínimo común múltiplo y cancelando denominadores:

A( s 2

 2 s   2 )  s( Bs  C )  1

Agrupando términos semejantes:

s 2 ( A  B )  s( 2  A  C )   2 A  1 Igualando coeficientes:















A  B  0 2  A  C  0  2 A  1 Resolviendo las ecuaciones y hallando los valores de las incógnitas:

A 

1

 2

B   C  

1

 2 2   2

Reemplazando en (*):

1 2    s  2  2  E 0 1  Q   2  2 2  L   s s  2 s        1 2

Factorizamos  en el segundo miembro

1 s  2     Q    L2  s s 2  2 s   2  …….(**) E 0

 2  Pero

1

LC , entonces reemplazando en (**) tenemos:

1 s  2    Q  E0 C   2 2  s   2   s s  















1  s  2  Q  E0 C   2 2 2  s s (  )        …..(***) Comenzamos a analizar los valores de



Si    , entonces (***) tenemos:

2

  2 :

2   2 es negativo; por lo que factorizamos el signo en

1  s  2  Q  E0 C   2 2 2   s ( s   )  (    ) 

Separamos el numerador de la ecuación y tenemos:

 1 s    Q  E0 C    s ( s   ) 2  ( 2   2 ) 

  2   2  2 ( s   ) 2  (  2  2 )     2

Aplicamos transformada inversa de Laplace a ambos miembros y obtenemos:

  2 2 s       1   L1 Q   E0 CL 1   2 2 2  s ( s   )  (    ) 2  2 ( s   ) 2  (  2  2 )   

  t  q ( t )  E0 C  1  e  cosh  2  2 t      Si    entonces tenemos en la ecuación (***)

 2

  2

senh 

2



2

 t    















 1 s  2   Q  E0 C   2  s ( s )     Desmembramos lo que está entre paréntesis y tenemos:

1   1  Q  E0 C   2    s ( s ) ( s   )   Aplicamos transformada inversa a ambos miembros y tenemos

 L Q   E0 CL    2   s s ( )   s ( )     1

q( t ) 

 1 1 



1

 E0 C 1  e  t 1   t 

2 2 Si    , entonces    es positivo entonces la ecuación (***) se mantiene

1  s  2  Q  E0 C   2 2 2   s ( s   )     

Reescribiendo los numeradores y acomodando se tiene:

 1 s   Q  E0 C     s ( s   ) 2  ( 2   2 )  Aplicamos transformada inversa y tenemos:

  2  2  2 ( s   ) 2  (  2  2 )     2

















 s   1  L1 Q   E0 CL 1   2 2 2 s  ( s   )  (    )

  t  q ( t )  E0 C 1  e  cos 2   2 t     

   2   2 2 2 2 2    ( s   )  (    )     2

 2

  2

sen 

2

   t    

3. Use la transformada de Laplace para determinar la carga q  t  en un circuito

   0 y E t   E0ekt , k  0 . Examine dos casos:

RC en serie, cuando q 0 k



1 1 y k  RC RC

4. Usar la transformada de Laplace para determinar la carga q  t  en el capacitor en un circuito en serie RC , sujeto a las condiciones iníciales dadas: a) q  0  0 , R  2.5,

C  0.08 f , E  t 



E t

b) q  0   q0 , R  10

C  0.1 f , E  t 



E t

5

30et 30

3

t

1.5

t

2

















R

dq dt

2.5



dq

1 q  E (t ) C

 12.5q  5(t  3)

dt

Aplicamos transformada de Laplace

 dq   12.5L q  5L (t  3)      dt 

2.5 L 

e3 s 2.5Q( s) s  q(0) 12.5Q( s)  5 s Como q(0)  0 despejamos:

Q(s) 

2e3 s s(s  5)

Aplicamos la transformada inversa de Laplace 1

L

Q(s)  L

1

 2e3 s    ( 5) s s   

 1  1  1  1  e3 s   5 s 5 s  5 

Q(t )  2L1 

 2  2 e 5(t 3) (t  3 )  5 5 

q(t )  

30et ; 0  t  1.5  q  0   q0 , R  10 C  0.1 f , E  t  0; 1.5  t b)

















10

dq dt

 10q  30et (t 1.5)  30et

Aplicamos la transformada inversa de Laplace

 dq   10L q  30L et (t  1.5)  30L e t        dt 

10 L 

Q( s)s  q(0)  Q(s ) 

3 s  1

 3e 1.5 s L et  e1.5 

1.5 s 1.5 1.5 3e1.5  Q(s) s  1  q0  s  1 s 1





3

5. (a) Con la transformada de Laplace determine la corriente i  t  en un circuito en serie LR con un solo bucle, cuando i  0   0, L  1h, R  10 y E  t  es la que muestra la figura.



E t

1

sen t ,0  t   2

3 2

3 2

t

1

(b) Use un programa de computo para gráficas, para trazar la de i  t  en el intervalo 0  t  6 . Con la gráfica estime imax e imin , los valores máximo y mínimo de la corriente. DATOS

















di  Ri  E (t ) dt  di  10i  sin t  sin t (t  3 ) dt 2

L

    di    L10i  L sin t  L sin t  (t  3 ) 2   dt  

L 

sI ( s )  i( s )  10 I (s )  sI ( s )  i( s )  10 I (s ) 

sI ( s )  i( s )  10 I ( s ) 

sI( s )  i( s) sI( s )  i( s)

 10I ( s)   10I ( s) 

I ( s ) (s  10)  I ( s )



1 s 2  1

2

s 2  1 1 s 2  1 1 s 2  1

 s

2

 1 (s  10)

e

e

s 2  1

1 s 2  1

e

 1 (s  10)



e

1

1

1

 s

1



e



As  B

s

2

1

3 s 2



3 s 2



3 s 2



3 s 2



3 s 2

e e

3 s 2



   L sin(t  3 )  2  

 

L sin t cos 3

L

  cos t  

L

  cos t   s

s2  1

s s2  1

3 s 2



s

s

2

 1 (s  10)

C

 s  10

As2  10 As  Bs  10B  Cs2  C  1 s 2 ( A  C )  0

A  C......(I )

    sin 3 cos t   2 2  



















B  A 

10 101 1 101 1

C  

101

 s  10  1  2    101  s  1  s  10    1

e



3

s

2





s 2  1 (s  10) s

 s

2

 1 (s  10)



e



3 s

Ds  E

s

2

 1

2



 Ds  E F   2     s  1  s  10    F

 s  10

Ds2  10Ds  Es  10E  Fs2  F s 2 ( D  F )  0 D  F ......(I ) s (10D  E )  1. 1........(II )

10 E  F

 0.........(III )

de ( II ) tenemos que E  10 F

 1........( IV )

( IV )  10( III )

1 101 10 D  101 10

E 

s



















3 s

3  2

I ( s )

 Ds  E  e 2 F  2     s  1  s  10  101   

1

 s

2

 1 (s  10)

e



3 s 2

 10s  1 10   2     s  1  s  10    s

s

2

 1 (s  10)

3 s    1  s  10 1 e 2  10s  1 10     I ( s )     101   s 2  1  s  10 101   s 2  1  s  10     

aplicandoL1

1

L



I ( s )

3 s         2   1101  L1  2 s   L1  210   L1  21   e101    s  1    s  1    s  1 

  10s   1   10        1 1 1     L  L  2 L    2    s  1   s  1  s  1      

3  10 (t  )   3 3   10t 2 10 sin t  e   (t  3 ) 10 cos(t  )  sin(t  )  10e i( s )   cos t  10  101  2  2 2  

1

0  t 

3 2

3  10 ( t  )    3 3 10t 2 i( s )   cos t  10 sin t  e   sin t 10 cos(t  )  sin(t  )  10e  101  2 2   

1

t 

3 2



















(4) y EI 4  W ( x)  y (4) y L EI 4  Wo  WoH ( x  )  y 2 Aplicamos Laplace EI s Y (s)  s Y (0)  s Y (0)  sY (0)  Y (0)   4

3

2 '

EI s Y (s)  C1s  C2   4

Wo  1

''

Wo s

'''

Wo s

L

e

 s Wo 2

L

e

 s Wo 2

s

L

1  e 2   C1s  C 2  EI  s s L Wo  1  2 s 1  C 1 C 2 Y ( s)   5  e 5   3  4 EI  s s  s s

s Y (s)  4

 s

AplicamosTransformada AplicamosTrans formada Inversade Inversa de Laplace Wo  x 4

 L  Y ( x)     x   EI  4!  2  

4

 L  1  C1 2 C 2 3   x  x  2  4!  2! 3!

H x 

 4  L 4  L  C1 2 C 2 3 Y ( x)   x   x   H  x    x  x 24 EI   2   2   2 6  L  Wo 4 C1 2 C 2 3 0x   24 EI x  2 x  6 x , 2  Y ( x)   4  L  Wo  x4    x  L    C1 x2  C 2 x 3 ,  x   Wo

s



















Para los valores en la Frontera y '' (L )  0 y ''' (L )  0 4  L   C1 2 C 2 3 x  x     x  x Y ( x)  24 EI  6  2   2 3  Wo L  ' 3  x   x     C1 x  C 2 x 2 Y ( x)  6 EI 2  2   2  Wo L  '' 2  x   x     C1  C2 x  0 Y ( x)  2 EI   2    L   Wo ''' Y ( x)  x   x     C2  0  EI  2   Wo L x  x    C 2  0  2 EI

Wo

C 2



4

WoL

2 EI

  L   L  L  2 EI  2  Wo

2

2

 WoL2 C    0  1 EI 2 

 3L2  WoL2    C 1   2 EI  0 2 EI  4  Wo

C 1



WoL2

8 EI

Y ( x) 

Wo

24

 x

4

4  L   WoL2  x      2   16

x

2



2

WoL

12

x3



















4 EI y   (x)  0  (k  0 0))H(x (x L L// 3) 3)  (0  k) Y H(x  2 L/ L/ 3) 3)

Aplicando L 4 EI L{ y   (x)}  k L{H(x  L/ 3) 3)  H(x  2 L/ 3) 3)}

 1  Ls3 1  23Ls  EI  s Y (s)  s y(0)  s y '(0)  sy''(0)  y'''(0)   k  e  e  s  s  como y (0)  0 , y '(0)  0, entonces : 4

3

2

 1  Ls3 1  23Ls  EI  s Y (s)  sc1  c2   k  e  e  s s   4

DespejamosY DespejamosY (s) k s Y (s)  EI 4

 1  Ls3 1  2 3Ls   e  e   sc1  c2 s s 

ke  Ls / 3 ke2 Ls / 3 c1 c2 Y (s)    3 4 EIs5 EI s 5 s s 1 Aplican Aplicand o L 1

L

{Y(s)} 

k  1   Ls / 3 1  1  2 Ls / 3 1  1  1  1  1     L e L e c L c L        4 1 2 3 E I  s 2  s 2    s   s 

4  2 L  2L   L   x H (x ) 4 H(x   )   k  L x2 x3 3  3   3  c  c2 y (x)  x 3  1 2 EI  4! 4! 6     

Sabem



















Derivando Derivando y (x)para x  2 L / 3, ya queneces que necesitamos itamosevalua evaluarr y ''(L)  0, y'''(L)  0 :

    y'(x)    3 3 2  k  4  x  L   4  x  2 L    c x  c x ; 2L / 3  x 2     1  24 EI   3 3 2           y''(x)    2 2  k 12  x  L   12  x  2L    c  c x ; 2L / 3  x     1 2  24 EI   3 3         y'''(x)   k   x  L    x  2 L    c2 ; 2 L / 3  x  EI  3  3  Evaluamos Evaluamos : y '''(L) (L)  0 k  L  2L  L     L     c2  0  EI  3  3   k  2 L   L         c2  0 EI  3   3   k L

kL





















8. Encuentre la flexión y  x  de una viga en voladizo, empotrada en su extremo izquierdo y libre en el derecho, cuando la carga se define como

  2  w0 1  L x  , w  x     0 , 

0x L

2

L

2

 x  L

9. Una viga esta empotrada en su extremo izquierdo y simplemente apoyado en el derecho. Calcule la flecha y  x  , cuando la carga es como en el problema 6. problema 6. W(x)

w0 ; 0

<

x < L/2

0 ; L/2 ≤ x < L





















EId (4 )  W ( x ) escribiendoen formacompacta L  transfor transforma mada da delapl de laplace ace funcionde dehea heavisid viside e   funcion EIdy EIdy 4  w( x) escribie escribiendoen ndoen forma compac compacta ta w( x)



w( x)  g (t )  h(t )  g (t )

 (t  a)

w( x)  w0  w0  (t  l / 2) EIy EIy (4 )

 w0  w0(t  l / 2)

aplicam aplicamos oslapl laplace acea a am ambos bos miemb miembros ros

   L w

EIL EIL y (4 )

0

 w0 (t  l / 2)

l  s   1 e 2  EI  s 4Y ( s)  s3 y (0)  s 2 y '(0)  sy ''(0)  y '''(0)  w0    s s   





















l  s   2 w 1 e C C Y ( s)  0  5  5   31  42 EI  s s  s s  

aplicamo aplicamoss L1 l     s  2 w 1 e C C   L1 Y (s )  L1  0  5  5   31  42   s  s s   EI  s     C1x 2 C2 x 3 w0  x 4 ( x  l / 2)4 ( x  l / 2)    y( x)    4! 3! EI  4!  2!

y( x) 

w0

24 EI

x

4

 ( x  l / 2) ( x  l / 2)   4

C1 x 2

2



C2 x 3

6

0 0  x  l / 2 ( x  l / 2)   x  l / 2 0  w0 4 C1 x 2 C2 x3 4  24 EI  x  ( x  l / 2) ( x  l / 2)   2  6 ( ) 

0  x l / 2

( x  l / 2) toma toma el valor valor de 0





















10. Una viga uniforme de longitud L sostiene una carga concentrada w0 en x  Está empotrada en su extremo izquierdo y libre en el derecho. Emplee la transformada de Laplace para determinar la flexión y  x  partiendo de

EI

d4y

1    w x L,   0  4 2 dx  

Donde y  0  0, y '  0   0, y ''  L   0, y '''  L   0 11. Resuelva problema

la ecuación diferencial del 10, con las condiciones

w0

0, y '  0   0, 0, y  L   0, y '  L   0 . y  0  0, En este caso, la viga esta empotrada en ambos extremos

x L y

1 L. 2





















AHORA HALLAMOS LAS CONSTANTES C1 y C2,UTILIZANDO LAS CONDICIONES DE FRONTRERA y(L)=0, y'(L)=0 , EN LA FUNCION EN

l 2

 x  l

l ( x  ) W 2 Y ( x)  O EI 6 Y (l )  0 WOl

24 EI

 C 1 

3

 C1

x2

2

 C2

x3

6

C2l

0 3 WOl 

 C2l    3 24 EI 

C 1   

PARA CONSEGUIR LA SEGUNDA ECUACION DERIVAMOS LA























Y ( x) 

3WOl x2 8 EI 2



5WO x3 4EI 6

l ( x  ) W 2 Y ( x)  O 6 EI

,0  x 

l

2

3



3WOl x2

5WO x3 l ,  xl  8EI 2 4EI 6 2

Sistemas de Ecuaciones Lineales























Resuelva el sistema si R1  10, R2

120, i3  0  0 y E t   0,



0  t  2

(b) calcule la corriente i1  t  Solución:

 5, L  1h, C  0.2 f , i2  0  0 ,

t  2























LD( Dq3  i2 )  R1i2  E R1Dq3 

       LD2 q3  LDi2  R1 i2  E ..........8 '

1 q3  R1i2  0..............8'' C

De 3 LDi1

 R2 i3 

1 q3 C

 E ...............9























( s  10) I  sI  120 (1  e2 s )  2 3 s  10 sI2  (5s  5) I 3  0 Resolviendo por determinantes:

120(1  e2 s ) s 0

s

5 s  5

1  e2 s (5 s  5)120( )

120s  120

(1 (120s  120)e2 s























145e5/3t  180e2t  36 i2 (t )   144e 5/ 3(t 2)  180e 2(t 2) 145e5/3t  180e2t  14

; 0  t  2

;t

2

Hallando i3(t) Reemplazando

d (145e5/ 3t

i2 (t ) en una de la primera ecuación del sistema inicial.

 180e2t  36) d



di3 d

 10(145e5/3t  180e2t  36)  120

























1

4























d 2q

dq

1























21. Una viga uniforme en voladizo, de longitud L , está empotrada en su extremo



























4



























2

2

2

























































































































































































































































































































ecuaciones diferenciales resuelto circuitos electricos

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