Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales-2

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y PARCIALES 1. Resuelva en forma analítica el problema de valores iniciales siguientes en el intervalo de x= 0 a 2:

dy  yx 2  1.1y , donde y(0)=1. Grafique la solución. dx

2. Utilice el método de Euler con h=0.5 y 0.25, para resolver el problema anterior. Grafique los resultados en la misma grafica para comparar en forma visual la exactitud de los dos tamaños de paso. 3. Emplee el método de Heun con h=0.5 para resolver el problema 1. Itere el corrector hasta que  s  1% 4. Use el método de RK clásico de cuarto orden con h=0.5 para resolver el problema 1 5. Repita los problemas 1 ,2,3, 4, pero para el problema de valores iniciales siguiente, en el intervalo de x=0 a 1,

dy  1  2 x  y dx

, y  0  1

6. Utilice los métodos de a) Euler, b) Heun (sin iteración) para resolver:

d2 y  0.5t  y  0 dt 2

,donde y(0)=2 y ’ (0)=0

Resuelva de x= 0 a 4, con h= 0.1. Compare los métodos por medio de graficar las soluciones. 7. Resuelva el problema siguiente con el método de RK de cuarto orden:

d2 y dy  0.6  8 y  0 .Donde y(0) = 4 y y´(0) = 0. Resuelva de x = 0 a 5 con h = 0.5. 2 dx dx Grafique sus resultados. 8.

Resuelva la ecuación que se presenta a continuación, de t = 0 a 3, con h = 0.1, con los métodos de a) Heun (sin corrector), b) RK de cuarto orden:

9.

Solucione numéricamente el problema de t = 0 a 3,

dy  ysen3  t  , y  0   1 dt

dy   y  t2 dt

y  0  1

Utilice el método RK de cuarto orden, con un tamaño de paso de 0.5 10. Use los métodos de a) Euler y b) RK de cuarto orden para resolver:

dy  2 y  4e  x dx dz yz 2  dx 3 En el rango de x= 0 a 1, con un tamaño de paso de 0,2, con y(0) = 2, y z(0) = 4 11. Investigue sobre el enfoque de RK – Fehlberg para llevar a cabo el mismo cálculo del ejemplo 25.12, de x= 0 a 1, con h= 1. 12. Haga un programa amistoso para el usuario para el método de Heun con corrector iterativo. Pruébelo para el problema 8 METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS

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13. Desarrolle un programa de computadora para el usuario para el método clásico de RK de cuarto orden. Pruebe el problema 9. 14. Realice un programa de computadora para el usuario para sistema de ecuaciones, con el empleo del método RK de cuarto orden. Use este programa en el problema 10. 15. El movimiento de un sistema acoplado masa resorte (véase la figura) esta descrito por la ecuación diferencial ordinaria que sigue:

d 2x dx m 2  c  kx  0 dt dt

Donde x = desplazamiento desde la posición de equilibrio (m) , t = tiempo (s), m = 20 kg masa, y c = coeficiente de amortiguación (N.s/m). El coeficiente de amortiguamiento c adopta tres valores, 5 (subamortiguado), 40 (amortiguamiento critico), y 200 (sobreamortiguado). La constante del resorte es k = 20 N/m. La velocidad inicial es de cero y el desplazamiento inicial es x = 1 m. Resuelva esta ecuación con el uso de un método numérico durante el periodo de tiempo 0< t < 15 . Grafique el desplazamiento versus el tiempo para cada uno de los tres valores del coeficiente de amortiguamiento sobre la misma curva. 16. Si se drena agua desde un tanque cilíndrico vertical por medio de abrir una válvula en la base, el líquido fluirá rápido cuando el tanque este lleno y despacio conforme se drene. Como se ve, la tasa a la que el nivel del agua disminuye es:

dy  k y dt

, donde k es una constante que depende de la forma del agujero y del

área de la sección transversal del tanque y agujero drenaje. La profundidad del agua y se mide en metros y el tiempo en minutos. Si k = 0.06, determine cuanto tiempo se requiere para vaciar el tanque si el nivel del fluido se encuentra en un inicio a 3m. Resuelva con la aplicación de la ecuación de Euler y escriba un programa de computadora en Excel. Utilice un paso de 0.5 minutos. 17. El siguiente es una ecuación diferencial de segundo orden con valor inicial:

METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


d 2x dx  5 x   x  7  sen t   0   dt 2 dt Donde:

dx  0   1.5 dt Observe que

  1.

y

x  0  6

Descomponga la ecuación en dos ecuaciones diferenciales de

primer orden. Después de la descomposición. Resuelva el sistema de t = 0 a 15, y grafique sus resultados. 18. Si se supone que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede modelar la velocidad de un objeto que cae, como un paracaidista, por medio de la ecuación diferencial siguiente:

c dv  g  d v2 dt m Donde v es la velocidad (m/s), t = tiempo (s), g es la aceleración de la gravedad (9.81m/s2), cd = coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m), y m= masa (kg). Resuelva para la velocidad y distancia que recorre un objeto de 90 kg con coeficiente de arrastre de 0.225 kg/m. Si la altura inicial es de 1 km, determine en que momento choca con el suelo. Obtenga la solución con a) el método de Euler, y b) el método de RK de cuarto orden. 19. Un tanque esférico tiene un orificio circular en el fondo a través del cual fluye líquido (véase la figura ). La tasa de flujo a través del agujero se calcula como:

Qsal  CA 2 gH Donde

Qsal = flujo de salida (m3/s), C = coeficiente obtenido en forma empírica, A = área

del orificio (m2), g = constante gravitacional (=9,81 m/s2) y H = profundidad del líquido dentro del tanque. Emplee alguno métodos numéricos a fin de determinar cuánto tiempo tomaría que el agua fluyera por completo de un tanque de 3m de diámetro con altura inicial de 2.75 m. Observe que el orificio tiene un diámetro de 3 cm y C= 0.55.



20. Para simular una población se utiliza el modelo logístico:

dp  k gm 1  p / pmax  p dt Donde p= población, kgm = tasa máxima de crecimiento en condiciones ilimitadas, y pmax es la capacidad de carga. Simule la población mundial entre 1950 y 2000, con el empleo de algún método numérico. 21. El balance de calor de estado estacionario de una barra se representa como:

d 2T  0.15T  0 dx 2 Investigue una solución analítica para una barra de 10 m con T(0) = 240 y T(10) = 150 22. Use el enfoque de diferencias finitas con

x  1para resolver el problema 21

23. Emplee el método de diferencias finitas para resolver:

7

d2y dy  2  yx0 dx 2 dx

Con las condiciones de frontera y(0) = 5 y y(20) = 8,

x  2

24. Utilice el método de diferencias finitas para solucionar

d 2T 4  1x107 T  273  4 150  T   0 2 dx

…….. (*)

Obtenga una solución para las condiciones de frontera T(0) = 200 y T(0.5)= 100

x  0.01 25. Es frecuente que las ecuaciones diferenciales como la del ejercicio 24 se puedan simplificar si se linealizan los términos no lineales. Por ejemplo, para linealizar el término a la cuarta potencia de la ecuación (* , ejercicio 24), se puede usar una expansión en series de Taylor de primer orden; así:

1x107 T  273  1x107 Tb  273  4 x107 Tb  273 T  Tb  4

4

3

Donde Tb es la temperatura base acerca de la que se linealiza el término. Sustituya esta relación en la ecuación (* ejercicio 24) y luego resuelva la ecuación lineal resultante con el enfoque de diferencias finitas. Emplee

Tb  150 y x  0.01 para

obtener

su solución. 26. a) Use menores para expandir el determinante de:

2    8   10

8 4 5

10  5  7   

b) Investigue y emplee el método de potencias para determinar el valor propio más alto y el vector propio correspondiente, para el inciso a) METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


27. Investigue y emplee el método de potencias para determinar el valor propio más bajo y el vector propio correspondiente para el problema 26. 28. Desarrolle un programa de computadora amigable para el usuario para implantar el enfoque de diferencias finitas para resolver una EDO lineal de segundo orden. Pruébelo con la duplicación del ejercicio 24. 29. Desarrolle un programa amistoso para el usuario para encontrar el valor propio más alto con el método de la potencia. Pruébelo con la duplicación del ejercicio 26. 30. Desarrolle un programa amistoso para el usuario a fin de resolver el valor propio más pequeño con el método de la potencia. Pruébelo con la duplicación del ejemplo 27 31. Emplee la herramienta Solver de Excel para solucionar directamente (es decir, sin linealizacion) el problema 27.6 con el uso del enfoque de diferencias finitas. Emplee

x  0.1 para obtener su solución. 32. Use MATLAB para integrar el par siguiente de EDO, de t= 0 a 100

dy1  0.35 y1  1.6 y1 y2 dt

dy2  0.04 y1 y2  0.15 y2 dt

Donde y1 = 1 y y2 = 0.05 en t= 0. Desarrolle una gráfica de espacio estacionario (y1 versus y2) de sus resultados. 33. La ecuación diferencial que sigue se utiliza para analizar la vibración de un amortiguador de un auto:

d2x dx 1.2(10 ) 2  107  1.5(109 ) x  0 dt dt 6

Transforme esta ecuación en un par EDO. a) use Matlab para resolver las ecuaciones, de t=0 a 0.4, para el caso en que x=0.5, y dx/dt = 0 en t = 0. b) Emplee Matlab para determinar los valores y vectores propios para el sistema. 34. Use algún código de Matlab para integrar:

dx  ax  bxy dt a) dy  cy  dxy dt Donde a = 1.5, b = 0.7, c = 0.9 y d = 0.4. Emplee las condiciones iniciales de x = 2 y y = 1 e integre de t = 0 a 30

dx   x   y dt dy b)  rx  y  xz dt dz  bz  xy dt Donde   10 , b = 2.666667 y r = 28. Utilice las condiciones iniciales de x = y = z = 5 e integre de t = 0 a 20. METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


35. Utilice diferencias finitas para resolver la ecuación diferencial ordinaria con valores en la frontera :

d 2u du 6 u  2 2 dx dx

Con condiciones de frontera u(0) = 10 y u(2) = 1. Grafique los resultados u versus x. Utilice x  0.1 36. Resuelva para la EDO no dimensionada, por medio del método de diferencias finitas, que describa la distribución de la temperatura en una barra circular con fuente interna de calor S.

d 2T 1 dT  S 0 dr 2 r dr En el rango 0< r < 1, con las condiciones de frontera

T  r  1  1

dT dr

r 0

0

Para S = 1, 10 y 20 k/m2. Grafique la temperatura versus el radio 37. Obtenga el conjunto de ecuaciones diferenciales para un sistema de cuatro resortes y tres masas (figura inferior) que describa su movimiento en el tiempo. Escriba las tres ecuaciones diferenciales en forma matricial.

vector de aceleración  matriz k / mvector de desplazamiento  0 Observe que cada ecuación ha sido dividida entre la masa. Resuelva para los valores propios y frecuencias naturales para los valores siguientes de masa y constantes de los resortes: k1 = k4 = 15N/m, k2 = k3 = 35 N/m, y m1 = m2 = m3 = 1.5 kg

38. Considere el sistema masa – resorte que se ilustra en la figura de la parte inferior. Las frecuencias para las vibraciones de la masa se determinan con la solución para los valores propios y con la aplicación de Mx  kx  0 , que da como resultado:

 m1 0 0 m 2   0 0

0   x1   2k   0   x2    k m3   x3   k

k 2k k

k   x1  0     k   x2   0 2k   x3  0

Al elegir x  x0em como solución se obtiene la matriz siguiente:

 2k  m1 2   k  k 

k 2k  m2 2 k


  x01  k 0     m   k   x02  e  0 2 0  2k  m3   x03   


39. Hombeck (1975) propuso la siguiente EDO parásita no lineal:

dy1  5  y1  t 2  dt Si la condición inicial es y1 (0)  0.08 , obtenga una solución de t=0 a t=5: a) Analítica b) Con RK-4 con tamaño de paso constante de 0.03125 c) Investigue el uso de la función ODE45 de Matlab y aplíquelo al problema 40. Un balance de masa para un producto químico completamente mezclado en un reactor se escribe así

V

dc  F  Qc  kVc 2 dt

Donde V = volumen (12m3), c = concentración (g/m3), F = tasa de alimentación (175 g/min), Q = tasa de flujo (1 m3/min), y k = tasa de reacción de segundo orden (0.15 m3/g/min). Si c(0) = 0. Resuelva la EDO hasta que la concentración alcance un nivel estable. Use el método de Euler (h = 0.5) y grafique sus resultados. Pregunta adicional: Si se ignora el hecho de que las concentraciones iniciales deben ser positivas, encuentre un rango de condiciones iniciales de modo que se obtenga una trayectoria muy diferente de la que se obtuvo con c(0) = 0. Relacione sus resultados con las soluciones de estado estable.





41. Sí cen  cb 1  e0.12t ; calcule la concentración en el flujo de salida de una sustancia conservativa (no reactiva) para un reactor único mezclado completamente, como función del tiempo. Use el método de Heun (sin iteración) para efectuar el cálculo. Emplee valores de cb  40 mg / m3 , Q = 6 m3/min, V = 100 m3, y c0 = 20 mg/m3. Haga el cálculo de t = 0 a 100 min con h = 2. Grafique sus resultados junto con la concentración del flujo de entrada versus tiempo 42. Se bombea agua de mar con una concentración de 8000 g/m3 hacia un tanque bien mezclado, a una tasa de 0.6 m3/h. Debido al diseño defectuoso, el agua se evapora del tanque a una tasa de 0.025 m3/h. La solución salina abandona el tanque a una tasa de 0.6 m3/h. a) Si originalmente el tanque contiene 1 m3 de la solución que entra, ¿cuánto tiempo después de que se enciende la bomba de salida quedara seco el tanque? METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


b) Use métodos numéricos para determinar la concentración de sal en el tanque como función del tiempo. 43. Un cubo de hielo esférico (una “esfera de hielo”) que mide 6 cm de diámetro es retirada de un congelador a 0oC y colocada en una pantalla de malla a temperatura ambiente To = 20oC. ¿Cuál será el diámetro del cubo de hielo como función del tiempo fuera del congelador (si se supone que toda el agua que se funde gotea de inmediato a través de la pantalla)?. El coeficiente de transferencia de calor h para una esfera en un cuarto tranquilo es alrededor de 3 W/(m2.K). El flujo calorífico de la esfera de hielo al aire está dado por:

Flujo 

q  h To  T  A

Donde q = calor y A = área superficial de la esfera. Use un método numérico para hacer el cálculo. Observe que el calor latente de la fusión es de 333 kJ/kg, y la densidad del hielo es aproximadamente de 0.917 kg/m3. 44. Las ecuaciones siguientes definen la concentración de tres reactivos:

dca  10ca cc  cb dt dcb  10ca cc  cb dt dcc  10ca cc  cb  2cc dt Si las condiciones iniciales son de ca = 50, cb = 0 y cc = 40, encuentre las concentraciones para los tiempos de 0 a 3 s. 45. El compuesto A se difunde a través de un tubo de 4 cm de largo y reacciona conforme se difunde. La ecuación que gobierna la difusión con la reacción es:

D

d2A  kA  0 dx 2

En un extremo del tubo se encuentra una fuente grande de A con concentración de 0.1 M. En el otro extremo del tubo esta un material que absorbe con rapidez cualquier A y hace que la concentración sea 0 M. Si D = 1.5x10-6 cm2/s y k=5x10-6s-1, ¿Cuál es la concentración de A como función de distancia en el tubo? 46. En la investigación de un homicidio o de una muerte accidental, con frecuencia es importante estimar el tiempo que ha transcurrido desde la muerte. De observaciones experimentales, se sabe que la temperatura superficial de un objeto cambia con una tasa proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la del ambiente circundante, o temperatura ambiente. Esto se conoce como ley de Newton del enfriamiento. Así, si T(t) es la temperatura del objeto al tiempo t, y T a es la temperatura ambiente constante:



dT  k T  Ta  dt Donde k>0 es una constante de proporcionalidad. Suponga que en el momento t = 0 se descubre un cuerpo y se mide su temperatura, To se supone que en el momento de la muerte, la temperatura del cuerpo Ta, era el valor normal de 37oC. Suponga que la temperatura del cuerpo al ser descubierto era de 29.5 oC, y que dos horas después era de 23.5oC. La temperatura ambiente es de 20oC. a) determine k y el tiempo de la muerte b) Resuelva la EDO en forma numérica y grafique los resultados. 47. La reacción A  B tiene lugar en dos reactores en serie. Los reactores están bien mezclados pero no en estado estable. El balance de masa de estado no estable para cada tanque de agitado de los reactores es el siguiente.

dCA1 1   CA0  CA1   kCA1 dt  dCB1 1  CB1  kCA1 dt  dCA2 1   CA1  CA2   kCA2 dt  dCB2 1   CB1  CB2   kCA2 dt  Donde CAo = concentración de A en la entrada del primer reactor, CA1 = concentración de A a la salida del primer reactor (y en la entrada del segundo), CA2 = concentración de A en la salida del segundo reactor. CB1 = concentración de B en la salida del primer reactor (y en la entrada del segundo), CB2 = concentración de B en el segundo reactor,

 = tiempo de residencia de cada reactor, y k = tasa constante para la reacción de A para producir B. Si CAo = 20, encuentre las concentraciones de A y B en ambos reactores durante sus primeros 10 minutos de operación. Utilice k = 0.12 /min y  = 5 min, y suponga que las condiciones iniciales de todas las variables dependientes son cero. 48. Un reactor de procesamiento por lotes no isotérmico esta descrito por las ecuaciones siguientes:

dC 10 / T  273   e C dt dT 10 / T  273   1000e C  10 T  20  dt Donde C es la concentración del reactante y T es la temperatura del reactor. Inicialmente, el reactor se encuentra a 15oC y tiene una concentración de reactante C de 1.0 g.mol/L. Encuentre la concentración y temperatura del reactor como función del tiempo.



49. El sistema siguiente es un ejemplo clásico de EDO rígidas que ocurre en la solución de una reacción química cinética:

dc1  0.013c1  1000c1c3 dt dc2  2500c2 c3 dt dc3  0.013c1  1000c1c3  2500c2 c3 dt Resuelva las ecuaciones de t = 0 a 50, con condiciones iniciales c1(0) = c2(0) = 1, y c3(0) = 0. Si usted tiene acceso al software de MATLAB, INVESTIGUE sobre el uso tanto la función estándar (por ejemplo, ode 45) como la rígida (por ejemplo, ode 23s) para obtener sus soluciones. 50. Los modelos depredador presa se desarrollaron de manera independiente en la primera parte del siglo XX, gracias al trabajo del matemático Vito Volterra y del biólogo norteamericano Alfred Lotka. El ejemplo más simple es el siguiente sistema EDO:

dx  ax  bxy dt dy  cy  dxy dt Donde x,y =numero de presas y depredadores, respectivamente, a=razón de crecimiento de la presa, c=razón de muerte del depredador, b y d= razón que caracteriza el efecto de la interacción depredador presa sobre la muerte de la presa y el crecimiento del depredador , respectivamente. Los términos que se multiplican (es decir, los que involucran xy) hacen que las ecuaciones sean no lineales. Resolver el sistema de Lotka-Volterra pero utilice el método de a) Euler , b) Heun (sin iterar el corrector), c) RK de cuarto orden, y d) la función ode 45 de MATLAB. En todos los casos use variables de precisión sencilla, tamaño de paso de 0.1, y simule de t = 0 a 20. Elabore graficas de estado-espacio para todos los casos.(a=1.2, b=0.6, c=0.8, d=0.3) , condiciones iniciales x=2, y=1 en t=0 51. Un modelo sencillo basado en las dinámicas del fluido atmosférico son las ecuaciones de Lorenz:

dx   x   y dt dy  rx  y  xz dt dz  bz  xy dt Lorenz desarrolló estas ecuaciones para relacionar la intensidad del movimiento de fluido atmosférico, x, con las variaciones de temperatura, “y” “z” en las direcciones



horizontal y vertical, respectivamente. Analizar el sistema con   10, b  2.6667, r  28 . Emplee como condiciones iniciales x  y  z  5 , en t=0 Resuelva las ecuaciones de Lorenz usando el método de a) Euler, b) Heun (sin iterar el corrector), c) RK de cuarto orden, y d) la función ode 45 de MATLAB. En todos los casos emplee variables de precisión sencilla y un tamaño de paso de 0.1 y simule de t = 0 a 20. Para todos los casos desarrolle graficas de estado – espacio. 52. La ecuación siguiente se utiliza para modelar la deflexión de mástil de un bote sujeto a

d2y f 2  L  z 2 dz 2 EI

la fuerza del viento :

Donde f = fuerza del viento, E = módulo de elasticidad, L = longitud del mástil, e I = momento de inercia. Calcule la deflexión si y = 0 y dy/dz = 0 en z = 0. Para su cálculo utilice valores de parámetro de f = 60, L = 30, E = 1.25 x 108, e I = 0.05. 53. Efectúe el mismo calculo que en el problema 52, pero en vez de usar una fuerza del viento constante, emplee una fuerza que varié con la altura de acuerdo con la ecuación

f  z 

200 z 2 z / 30 e 5 z

54. Un ingeniero ambiental está interesado en estimar la mezcla que ocurre entre un lago estratificado y una bahía adyacente (véase la figura inferior). Un trazador conservativo se mezcla instantáneamente con el agua de la bahía y después se monitorea la concentración del trazador durante el periodo que se muestra a continuación en los tres segmentos. Los valores son: t

0

2

4

6

8

12

16

20

c1

0

15

11

7

6

3

2

1

c2

0

3

5

7

7

6

4

2

c3

100

48

26

16 10

4

3

2

Con el empleo de balances de masa, el sistema puede modelarse con las EDO simultáneas siguientes:

dc1  Qc1  E12  c2  c1   Ei 3  c3  c1  dt dc V2 2  Ei 2  c1  c2  dt dc V3 3  Ei 3  c1  c3  dt V1

Donde V1 = volumen del segmento i, Q = flujo y Eij = la tasa de mezcla difusiva entre los segmentos i y j. utilice los datos y las ecuaciones diferenciales para estimar las E si V1 = 1 x 107, V2 = 8 x 106, V3 = 5 x 106 y Q = 4 x 106. Para su análisis, emplee el método de Euler con tamaño de paso de 0.1.



55. Las dinámicas del crecimiento de la población son importantes en varios estudios de planeación tales como el transporte y la ingeniería de los recursos hidráulicos. Uno de los modelos más simples de dicho crecimiento incorpora la suposición de que la tasa de cambio de la población p es proporcional a la que existe en cualquier momento r.

dp  Gp ……………….(55.1) dt Donde G = tasa de crecimiento (anual). Este modelo tiene sentido intuitivo porque entre mayor sea la población más grande será el número de padres potenciales. Al tiempo t = 0, una isla tiene una población de 6000 personas. Si G = 0.075 por año, emplee el método de Heun (sin iteración) para predecir la población en t = 20 años, con el uso de un tamaño de paso de 0.5 años. Grafique p versus t, en papel estándar y semilogarítmico. Determine la pendiente de la línea sobre la gráfica semilogarítmica. Analice sus resultados. 56. Aunque el modelo del problema anterior funciona en forma adecuada cuando el crecimiento de la población es ilimitado, falla ante la existencia de factores tales como falta de comida, contaminación y falta de espacio, los cuales inhiben el crecimiento. En tales casos, la tasa de crecimiento se considera que es inversamente proporcional a la población. Un modelo de esta relación es:

G  G´ pmax  p  …………….(56.1) Donde G´ = tasa de crecimiento dependiente de la población (por persona-año) y pmax = población máxima sostenible. Así cuando la población es pequeña (p<
dp  G´ pmax  p  p dt Para la misma isla que se estudió en el problema 56, emplee el método de Heun (sin iteración) para predecir la población en t = 20 años, con el uso de un tamaño de paso de METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA

0.5 años. Emplee valores de G = 10-5 por persona-año y pmax = 20000 personas. Al tiempo t = 0, la isla tiene una población de 6000 personas. Grafique p versus t e interprete la forma de la curva. 57. El parque nacional Isla Royal es un archipiélago de 210 millas cuadradas compuesto de una sola isla grande y muchas pequeñas, en el lago Superior. Alrededor de 1900 llegaron alces y hacia 1930, su población se acercaba a 3000, por lo que devastaban la vegetación. En 1949, los lobos cruzaron un puente de hielo desde Ontario. Desde finales de la década de 1950, se registran los números de alces y lobos, como se muestra a continuación. (Un guion indica que no hay datos). Año

Alces Lobos

Año

Alces

Lobos

1960

700

22

1972

836

23

1961

-

22

1973

802

24

1962

-

23

1974

815

30

1963

-

20

1975

778

41

1964

-

25

1976

641

43

1965

-

28

1977

507

33

1966

881

24

1978

543

40

1967

-

22

1979

675

42

1968

1000

22

1980

577

50

1969

1150

17

1981

570

30

1970

966

18

1982

590

13

1971

674

20

1983

811

23

a) Integre las ecuaciones de Lotka-Volterra de 1960 a 2020, determine los valores de los coeficientes que arrojan un ajuste óptimo. Compare su simulación con los datos que usan un enfoque de series de tiempo y comente los resultados. b) Grafique la simulación de a) pero emplee un enfoque de estado-espacio. c) Después de 1993, suponga que los administradores de la vida silvestre atrapan un lobo por año y lo llevan fuera de la isla. Pronostique cómo evolucionaría tanto la población de lobos como de alces hacia el año 2020. Presente sus resultados tanto como una serie de tiempo como una gráfica de estado-espacio. Para este caso, así como para el inciso d) use los coeficientes que siguen: a = 0.3, b = 0.01111, c = 0.2106, d = 0.0002632. 58. Un cable cuelga de dos apoyos en A y B (véase la figura inferior). El cable sostiene una carga distribuida cuya magnitud varía con x según la ecuación.

   x  w  wo 1  sen    2l A   



Donde wo = 1000 lbs/ft. La pendiente del cable (dy/dx) = 0 en x = 0, que es el punto más bajo del cable. También es el punto donde la tensión del cable alcanza un mínimo de To. La ecuación diferencial que gobierna el cable es:

  x  d 2 y wo   1  sen   2 dx To   2l A   Resuelva esta ecuación con el uso de un método numérico y grafique la forma del cable (y versus x). Para la solución numérica se desconoce el valor de T o, por lo que la solución debe utilizar una técnica iterativa, similar al método del disparo, para converger en un valor correcto de hA para distintos valores de To

59. La ecuación diferencial básica de la curva elástica para una viga volada (véase la figura en la parte inferior) está dada por:

El

d2y  P  L  x  dx 2

Donde E = módulo de elasticidad e I = momento de inercia. Resuelva para la deflexión de la viga con el empleo de un método numérico. Se aplican los valores siguientes de parámetro: E = 30000 ksi, I = 800 in4, P = 1 kip, L = 10ft. Compare sus resultados numéricos con la solución analítica.

y

PLx 2 Px3  2 EI 6 EI

60. La ecuación diferencial básica de la curva elástica para una viga con carga uniforme (véase la figura en parte inferior) está dada por: METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


EI 

d 2 y wLx wx 2   dx 2 2 2

Donde E = módulo de elasticidad e I = momento de inercia. Resuelva para la deflexión de la viga con los métodos de a) diferencias finitas ( x  2 ft ), y b) Investigue en qué consiste el método del disparo y aplíquelo en este caso. Aplique los siguientes valores de parámetros: E = 30000 ksi, I = 800 in4, w = 1 kip/in, L = 10 in. Compare sus resultados numéricos con la solución analítica.

y

61.

wLx3 wx 4 wL3 x   12 EI 24 EI 24 EI

Un estanque se drena a través de un tubo como se observa en la figura inferior. Con suposiciones simplificadoras, la ecuación diferencial siguiente describe cómo cambia la profundidad con el tiempo:

dh d2  2g  h  e dt 4 Ah Donde h = profundidad (m), t = tiempo (s), d = diámetro del tubo (m), A(h) = área de la superficie del estanque como función de la profundidad (m2), g = constante gravitacional (= 9.81 m/s2) y e = profundidad de la salida del tubo por debajo del fondo del estanque (m). Con base en la tabla siguiente de área-profundidad, resuelva esta ecuación diferencial para determinar cuánto tiempo tomaría que el estanque se vaciara dado que h(0) = 6 m, d = 0.25 m, e = 1 m. h, m A(h), 10 m2

6

5

4

3

2

1

0

1.17

0.97

0.67

0.45

0.32

0.18

0



62.

Los ingenieros y científicos utilizan modelos masa-resorte para entender la dinámica de las estructuras sujetas a la influencia de disturbios, tales como terremotos. En la figura de la parte inferior se ilustra una representación como estas para un edificio de tres plantas. En este caso, el análisis se limita al movimiento horizontal de la estructura. Los balances de fuerza que se desarrollan para este sistema son los siguientes.

 k1  k2  k  w2  X 1  2 X2 0  m1  m1  k k  k k  2 X 1   2 3  w2  X 2  3 X 3 0 m2 m2  m2  k  k  3 X 2   3  w2  X 3  0 m3  m3  Determine los valores y vectores propios y represente en forma gráfica los modos de vibración de la estructura por medio de dibujar las amplitudes versus la altura para cada uno de los vectores propios. Normalice las amplitudes de modo que el desplazamiento del tercer piso sea igual a uno. .63.

Son comunes los circuitos eléctricos en los que la corriente varia con el tiempo, en lugar de permanecer constante. Cuando se cierra súbitamente el interruptor, se



establece una corriente transitoria en el lado derecho del circuito que se muestra en la figura inferior. Las ecuaciones que describen el comportamiento transitorio del circuito de la figura , se basa en las leyes Kirchohoff, que establecen que la suma algebraica de las caídas de tensión alrededor de un ciclo cerrado es cero. Asi: L (63.1)donde L

di q  Ri   E (t )  0 , dt c

di es la caída de voltaje a través del inductor , L=inductancia, dt

R=resistencia, q= carga del capacitor, C=capacitancia, E(t)= fuente de voltaje variable en el tiempo , además i 

dq (63.2). dt

Las ecuaciones (63.1) y (63.2) son un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que se pueden resolver

analíticamente, por ejemplo si

E (t )  E0 sent , R  0 , la solucion exacta es:

q(t )  Donde

 E0



L  p2   2  p

sen pt 

E0 sen t L( p   2 ) 2

p  1 / LC , los valores de q y dq/dt son cero para t=0. Use un

procedimiento numérico para resolver las ecuaciones (63.1) y (63.2) y compare los resultados con la solución analítica, suponga que L=1, E0=1, C=0.25 ,  2  3.5 Resuelva el sistema anterior de t = 0 a 0.5, si q = 0.1 e i = -3.281515 en t = 0. Utilice un valor de R = 50 y los mismos parámetros indicados. 64.

Para un circuito sencillo RL, la ley de Kirchoff del voltaje requiere que (si se cumple la ley de ohm).

L

di  Ri  0 dt

Donde i = corriente, L = inductancia y R = resistencia. Resuelva para i, si L = 1, R = 1.5 e i(0) = 0.5. Resuelva este problema en forma analítica y con algún método numérico. Presente sus resultados en forma gráfica. 65.

En contraste con el problema 64, las resistencias reales no siempre siguen la ley de ohm. Por ejemplo, la caída del voltaje quizá sea no lineal y la dinámica del circuito quede descrita por una relación como la siguiente.

 i  i 3  di L  R     0 dt  I  I   Donde todos los demás parámetros se definen como el problema 64 e I es una corriente conocida de referencia e igual a 1. Resuelva para i como función del tiempo en las mismas condiciones que se especifican para el problema 64.



66.

Los ingenieros mecánicos a menudo presentan problemas relacionados con el movimiento periódico de los cuerpos libres. Para abordar tales problemas se requiere conocer la posición y velocidad de un cuerpo en función del tiempo. Tales funciones son invariablemente la solución de EDOs y se basan en el movimiento de Newton. Considere el péndulo simple cuyo peso W está suspendido de un cable sin peso de longitud “ l ”. Las únicas fuerzas que actúan sobre esta partícula son su peso y la tensión “R” en el cable. La posición de la partícula en cualquier instante está completamente especificada en términos del ángulo  y “ l ” . El diagrama del cuerpo libre muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula y la aceleración. Es conveniente aplicar las leyes del movimiento de Newton en la dirección “x”, tangente a la trayectoria de la partícula:

 F  Wsen 

W a g

donde: g= constante gravitacional (32.2 ft/s2) y a=aceleración en la dirección “x” . La aceleración angular de la particula (  ) es:  



a . l



En coordenadas polares:   d 2 / dt 2 :

Wsen  

W l W l d 2 d 2 g  ó  sen  0 g g dt 2 l dt 2

Esta ecuación es no lineal de segundo orden. En general, es difícil o imposible resolverla analíticamente. Se tienen dos opciones para resolverla: reducirla a una forma donde sea posible resolverla analíticamente o aplicar una técnica de aproximación numérica para resolverla directamente. Solución analítica: Usando expansión en serie de potencias para sen , se tiene:

sen   

3 3!



5 5!



7 7!

 ...

Para desplazamientos angulares pequeños sen   cuando se expresa en radianes , por tanto, para desplazamientos pequeños la ecuación se convierte en:

d 2 g   0 dt 2 l que es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Esta aproximación es muy importante pues es fácil de resolver analíticamente. La solución analítica tiene la forma:

 (t )  0 cos


g t l


donde  0 es el desplazamiento en t=0, y se supone la velocidad ( v 

d ) es cero dt

en t=0. Al tiempo requerido por el péndulo para un ciclo completo de oscilación se le llama “periodo” y esta dado por: T  2

l g

Solución numérica: Las suposiciones hechas en la solución analítica de la EDO, nos llevan a concluir que no es una solución exacta, para alcanzar la exactitud debemos usar un método numérico. Para resolverla se puede usar el método de Euler o RK-4 previamente convirtiendo la ecuación en un sistema EDO:

d v dt dv g   sen dt l Resuelva el sistema EDO con 0 



l  2 ft para un péndulo de 1 m de longitud y

4

luego compare con la solucion numérica del problema lineal con las mismas condiciones iniciales usando el método RK-4 y Euler, t  0.2 67.

En la sección 8.4 se presenta una ecuación diferencial de segundo orden que se utiliza para analizar las oscilaciones no forzadas de un amortiguador de auto. Dado que m = 1.2 x 106 g, c = 1 x 10

7

g/s, y k = 1.25 x 109 g/s2, use algún método

numérico para resolver cual es el caso en que x(0) = 0.4 y dx (0)/dt = 0.0. Resuelva para ambos desplazamientos y la velocidad de t = 0 a 0.5 s 68.

La tasa de enfriamiento de un cuerpo se expresa como :

dT  k T  Ta  dt Donde T = temperatura del cuerpo (oC), Ta = temperatura del medio circundante (oC) y k = constante de proporcionalidad (min-1). Así, esta ecuación especifica que la tasa de enfriamiento es proporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo y del ambiente circundante. Si una bola de metal se calienta a 90 oC y se sumerge en agua que se mantiene a un valor constante de Ta = 20oC, utilice un método numérico para calcular el tiempo que toma que la bola se enfrié a 40 oC, si k = 0.25 min-1. 69.

La tasa de flujo calorífico (conducción) entre dos puntos de un cilindro calentado por un extremo está dada por:

dQ dT  A dt dx Donde  = una constante, A = área de la sección transversal del cilindro, Q = flujo calorífico, T = temperatura, t = tiempo, y x = distancia a partir del extremo calentado. Debido a que la ecuación involucra dos derivadas, la ecuación se simplificara haciendo que METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


dT 100  L  x  20  t   dx 100  xt Donde L es la longitud de la barra. Combine las dos ecuaciones y calcule el flujo de calor de t = 0 a 25 s. La condición inicial es Q(0) = 0 y los parámetros son   0.5 cal.cm/s, A = 12 cm2, L = 20 cm, y x = 2.5 cm. Grafique sus resultados. 70.

La ecuación diferencial ordinaria siguiente describe el movimiento de un sistema amortiguado resorte – masa (véase la figura en la parte inferior):

m

d 2x dx dx a  bx3  0 2 dt dt dt

Donde x = desplazamiento a partir de la posición de equilibrio, t = tiempo, m = 1 kg masa, y a = 5N/(m/s)2. El término de amortiguamiento es no lineal y representa el amortiguamiento del aire. El resorte es un resorte cubico y también es no lineal con b = 5 N/m3. Las condiciones iniciales son: Velocidad inicial Desplazamiento inicial

dx  0.5 m/s dt x 1 m

Resuelva esta ecuación con algún método para el periodo de tiempo o < t < 8 s. Grafique el desplazamiento y la velocidad versus el tiempo, y grafique el retrato fase – plano (velocidad versus desplazamiento) para todos los casos siguientes. a) Ecuación lineal similar

m

d 2x dx  2  5x  0 2 dt dt

b) La ecuación no lineal con solo un término de resorte no lineal

d 2x dx  2  bx3  0 2 dt dt c) La ecuación no lineal con solo un término de amortiguamiento no lineal

d 2x dx dx m 2 a  5x  0 dt dt dt d) La ecuación por completo no lineal en la que tanto el término de amortiguamiento como el de resorte son no lineales.

d 2x dx dx m 2 a  bx3  0 dt dt dt



71.

Un sistema amortiguado y forzado resorte-masa (véase la figura en la parte inferior) tiene la ecuación diferencial ordinaria siguiente para su movimiento:

m

d 2x dx dx a  kx  Fo sen  t  2 dt dt dt

Donde x = desplazamiento a partir de la posición de equilibrio, t = tiempo, m = 2 kg masa, a = 5 N/(m/s)2 y k = 6 N/m. El término de amortiguamiento es no lineal y representa el amortiguamiento del aire. La función de la fuerza Fosen(wt) tiene valores de Fo = 2.5 N y w = 0.5 rad/s. Las condiciones iniciales son Velocidad inicial

dx  0 m/s dt

Desplazamiento inicial

x 1m

Resuelva esta ecuación con el empleo de algún método numérico durante el periodo de tiempo 0 < t < 15 s. Grafique el desplazamiento y la velocidad versus el tiempo, y grafique la función de fuerza sobre la misma curva. Asimismo, desarrolle una gráfica separada de la velocidad versus el desplazamiento.

72.

La distribución de temperatura en una aleta de enfriamiento cónica y ahusada (véase la figura en la parte inferior) esta descrita por la ecuación diferencial siguiente, que a sido no dimensionada.

d 2u  2  du      pu   0 2 dx  x  dx  METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


Donde u = temperatura (0 < u < 1), x = distancia axial (0 < x < 1), y p es un parámetro no dimensional que describe la transferencia de calor y la geometría.

p

hL 4 1 k 2m 2

Donde h = coeficiente de transferencia de calor, k = conductividad térmica, L = longitud o altura de cono, y m = pendiente de la pared del cono. La ecuación tiene las condiciones de frontera siguientes.

u  x  0  0

u  x  1  1

Resuelva esta ecuación para la distribución de temperatura con el empleo de métodos de diferencias finitas. Para las derivadas utilice diferencias finitas exactas de segundo orden análogas, escriba un programa de computadora para obtener la solución y grafique la temperatura versus la distancia axial para distintos valores de p = 10, 20, 50 y 100.

73.

Las dinámicas de un sistema forzado resorte – masa – amortiguador se representa con la EDO de segundo orden siguiente:

m

d 2x dx  c  k1 x  k3 x3  P cos  wt  2 dt dt

Donde m = 1 kg, c = 0.4 N. s/m, P = 0.5 N, y w = 0.5/s. Utilice un método numérico para resolver cual es el desplazamiento (x) y la velocidad (v = dx/dt) como función del tiempo del tiempo con condiciones iniciales x = v = 0. Exprese sus resultados en forma gráfica como graficas de series de tiempo (x y v versus t) y grafica de planofase (v versus x). Haga simulaciones para un resorte a) lineal (k1 = 1; k3 = 0) y b) no lineal (k1 = 1; k3 = 0.5). 74.

La ecuación diferencial para la velocidad de alguien que practica el salto de Bungee es diferente según si el saltador ha caído una distancia en la que la cuerda está



extendida por completo y comienza a encogerse. Así, si la distancia recorrida es menor que la longitud de la cuerda, el saltador solo está sujeto a las fuerzas gravitacionales y de arrastre. Una vez que la cuerda comience a encogerse, también deben incluirse las fuerzas del resorte y del amortiguamiento de la cuerda. Estas dos condiciones se expresan con las ecuaciones siguientes:

c dv  g  sign  v  d v 2 dt m

xL

c dv k   g  sign  v  d v 2   x  L   v dt m m m

xL

Donde v = velocidad (m/s), t = tiempo (s), g = constante gravitacional (= 9.81 m/s 2), signo (x) = función que devuelve -1, 0 y 1, para x negativa, cero y positiva, cero y positiva, respectivamente, cd =coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m), m = masa (kg), k = constante de resorte de la cuerda (N/m),  = coeficiente de amortiguamiento de la cuerda (N.s/m), y L = longitud de la cuerda (m). Determine la posición y velocidad del saltador dadas por los parámetros siguientes: L = 30 m, m = 68.1 kg, cd = 0.25 kg/m, k = N/m, y  = 8 kg/s. haga el cálculo de t = 0 a 50 s y suponga que las condiciones iniciales son x(0) = v(0) = 0 75.

En los problemas 1 – 5, resuelva la ecuación diferencial usando el método de Heun. a) Tome h = 0.1 y de 20 pasos con el programa 9.2. Luego tome h = 0.05 y de 40 pasos con el programa 9.2 b) Compare la solución exacta y(2) con las dos aproximaciones obtenidas en el apartado (a). c) ¿Se comporta el error global final de las aproximaciones obtenidas en el apartado (a). como se espera cuando h se divide entre dos? d) Dibuje las aproximaciones y la solución exacta en una misma gráfica. 2 1. y´ t  y con y  0   1,

y  t   et  t 2  2t  2 4 3t 1 e t  3 3

2. y´ 3 y  3t con y  0   1, y  t   3. y´ ty con y  0   1,

y  t   et

4. y´ e2t  2 y con y  0   5. y´ 2ty 2 con y  0   1, 76.

2

/2

1 1 , y  t   e 2t  te 2t 10 10

y  t   1/ 1  t 2 

Consideremos un proyectil que dispara hacia arriba y luego cae siguiendo una trayectoria rectilínea. Si la resistencia del aire es proporcional a la velocidad, entonces el problema de valor inicial para la velocidad v(t) es:

v´ 10 

K v M


con

v  0   v0 LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA

Siendo vo la velocidad inicial, M la masa y K el coeficiente de resistencia del aire. Supongamos que vo = 40 m/s y K/M = 0.1. Use el método de Heun con h = 0.5 para resolver el problema de valor inicial

v´ 10  0.1v

en

0, 4

con

v  0   40

 t /10  100 en una misma gráfica. Dibuje su solución y la solución exacta v  t   140e

(Observe que la velocidad límite es -100 m/s) 77.

En psicología, la ley de estímulo-respuesta de Wever-Fechner establece que la tasa de variación dR/dE de la reacción R ante un estímulo E es inversamente proporcional al estímulo. Si llamamos valor umbral al mínimo nivel de estímulo So que es posible detectar, entonces el problema de valor inicial que modela esta situación es:

R´

k S

R  So   0

con

Supongamos que So  0.1 y que R  0.1  0 . Use el método de Heun con h  0.1 para resolver

R´

1 en  0.1, 5.1 S

con

R  0.1  0.1

78. y pruebe que cuando se utiliza el Investigue sobre el método de Taylor de orden N para resolver EDOs método de Taylor de orden N con tamaños de paso h y h/2, entonces el error global final se reduce, aproximadamente, en un factor de 2 N 79. Investigue sobre el método de Taylor para EDOs y pruebe que el método de Taylor 3/ 2 falla cuando queremos aproximar la solución y  t   t del problema de valor inicial

y´ f  t , y   1.5 y1/ 3 con

y  0  0 . Justifique su respuesta. ¿Cuál es el problema?

2 80. a) Verifique que la solución del problema de valor inicial y´ y , y  0   1 en el

intervalo  0,1 es y  t   1/ 1  t  . 2 b) Verifique la solución del problema de valor inicial y´ 1  y , y  0   1 en el intervalo

0,  / 4 es y  t   tan  t   / 4 c) Use los resultados de los apartados problema de valor inicial

(a) y (b) para deducir que la solución del

y´ t 2  y 2 , y  0   1 tiene una asíntota vertical entre

 / 4 y 1 (localizada cerca de t  0.96981) 2 81. Consideremos el problema de valor inicial y´ 1  y , y  0   1.

 2 3  4 a) determine las expresiones de y  t  , y  t  e y  t  .

b) Evalué las derivadas en t  0 y úselas para calcular los cinco primeros términos del desarrollo de Maclaurin de tan  t  . METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


82. En los problemas 1 – 5, resuelva la ecuación diferencial usando el método de Taylor. a) Tome h = 0.1 y de 20 pasos con el programa 9.3. Luego tome h = 0.05 y de 40 pasos con el programa 9.3 b) Compare la solución exacta y(2) de las aproximaciones obtenidas en el item (a). c) ¿Se comporta el error global final de las aproximaciones obtenidas en el apartado (a). Como se espera cuando h se divide entre dos? d) Dibuje las aproximaciones y la solución exacta en una misma gráfica. 2 1. y´ t  y con y  0   1,

y  t   et  t 2  2t  2 4 3t 1 e t  3 3


y  t   et

4. y´ e2t  2 y con y  0  

2

/2

1 1 , y  t   e 2t  te 2t 10 10

y  t   1/ 1  t 2 

5. y´ 2ty 2 con y  0   1,

83. En los ejercicios 1 a 5 resuelva la ecuación diferencial usando el método de Runge – Kutta de orden N=4. a) Tome h = 2 y dé dos pasos calculando los valores a mano. Luego, tome h = 0.1 y dé cuatro pasos calculando los valores a mano. b) Compare la solución exacta y(0.4) con las dos aproximaciones calculadas en el apartado (a). c) ¿Se comporta el error global final de las aproximaciones obtenidas en el apartado a) como se espera cuando h se divide entre dos? 2 1. y´ t  y con y  0   1,

y  t   et  t 2  2t  2 4 3t 1 e t  3 3


y  t   et

4. y´ e2t  2 y con y  0   5. y´ 2ty 2 con y  0   1,

2

/2

1 1 , y  t   e 2t  te 2t 10 10

y  t   1/ 1  t 2 

84. Pruebe que cuando se usa el método de Runge - Kutta de orden N = 4 para resolver el problema de valor inicial y´ f  t  en  a, b  con y  a   0 el resultado es:

y b  85. Resuelva

el

sistema

h M 1   f  tk   4 f tk 1/ 2   f tk 1   , 6 k 0

x´ 2 x  3 y, y´ 2 x  y

con

la

condición

inicial

x  0   2.7 e y  0   2.8 en el intervalo 0  t  1.0 . La curva poligonal formada por METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


las coordenadas de la solución numérica cuya grafica se ve en la parte inferior puede compararse con la solución exacta.

x t   

86. Resuelva

el

69 t 3 4t e  e 25 50

sistema

x´ 3x  y,

y t  

e

y´ 4 x  y

69 t 1 4t e  e 25 25

con

la

condición

inicial

x  0   0.2 e y  0   0.5 en el intervalo 0  t  2 . La curva poligonal formada por las coordenadas de la solución numérica obtenida se muestra en la figura inferior y puede compararse con la solución exacta

1 1 x  t   et  tet 5 10

87. Resuelva

el

e

sistema

1 1 y  t   et  tet 2 5

x´ x  4 y,

y´ x  y ,

con

la

condición

inicial

x  0   2 e y   0   3 en el intervalo o  t  2 . La curva poligonal formada por las coordenadas de la solución numérica obtenida se muestra en la figura

y puede

compararse con la solución exacta.

x  t   2et  4et cos 2  t   12et cos  t  sen  t  y  t   3et  6et cos 2  t   2et cos  t  sen  t 



y´ x  y con la condición inicial x  0   1 e y  0   1

88. Resuelva el sistema x´ y  4 x,

en el intervalo 0  t  1.2 usando como tamaño de paso h  0.05 . La curva poligonal formada por las coordenadas de la solución numérica obtenida se muestra en la figura y puede compararse con la solución exacta

x t  

3e 

29 t / 2

 3e 29 t / 2 e   2 29 e3t / 2

29 t / 2

y t  

7e 

 7e 29 t / 2 e   2 29 e3t / 2

29 t / 2

29 t / 2

e 2e3t / 2

29 t / 2

e 2e3t / 2

29 t / 2

89. En los ejercicios siguientes: a) Compruebe que la función x(t) es la solución b) Reformule la ecuación diferencial de segundo orden como un sistema de dos ecuaciones de primer orden c) Use el método de Euler con tamaño de paso h = 0.1 para calcular a mano x1 y x2 d) Use el método de Runge – Kutta con tamaño de paso h = 0.05 para calcular a mano

x1 1) 2 x´´ t   5x´ t   3x  t   45e

2t

con x  0   2 y x´0   1

x  t   4et / 2  7e3t  9e2t 2) x´´ t   6 x´ t   9 x  t   0 con x  0   4 y x´ 0   4

x  t   4e3t  8te3t 3) x´´ t   x  t   6cos  t  con x  0   2 e x´ 0   3 METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


x  t   2cos  t   3sen  t   3tsen  t  90. Resuelva x´ x  xy, y´  y  xy con x  0   4 e y  0   1 en 0,8 tomando h = 0.1. Las trayectorias de este sistema son curvas cerradas y la trayectoria poligonal obtenida con la solución numérica es una de las curvas de la figura

91. Resuelva

x´ 3x  2 y  2 xy 2 , y´ 2 x  y  2 y3 con

x  0   0.8 e y  0   0.6 en 0, 4

tomando h  0.1 . De acuerdo con la teoría cualitativa, el origen se clasifica, para este sistema, como un foco asintóticamente estable. La trayectoria poligonal obtenida con la solución numérica es una de las curvas de la figura .

92. Resuelva x´ y 2  x 2 , y´ 2 xy con x  0   2.0 e y  0   0.1 en 0.0,1.5 tomando h = 0.05. De acuerdo con la teoría cualitativa, el origen se clasifica, para este sistema, como un punto de silla inestable. La trayectoria poligonal obtenida con la solución numérica es una de las curvas de la figura



93. Resuelva x´ 1  y, y´ x 2  y 2 con x  0   1.2 e y  0   0.0 en 0,5 tomando h = 0.1. De acuerdo con la teoría cualitativa, el punto (1,1) se clasifica, para este sistema, como un foco asintóticamente estable. La trayectoria poligonal obtenida con la solución numérica es una de las curvas de la figura .

94. Resuelva x´ x3  2 xy 2 , y´ 2 x 2 y  y 3 con x  0   1.0 e y  0   0.2 en 0, 2 tomando h = 0.025. Este sistema tiene un punto crítico inestable en el origen. La trayectoria poligonal obtenida con la solución numérica es una de las curvas de la figura.

95. Resuelva x´ x 2  y 2 , y´ 2 xy con x  0   2.0 e y  0   0.6 en 0.0,1.6 tomando h = 0.02. Este sistema tiene un punto crítico inestable en el origen. La trayectoria poligonal obtenida con la solución numérica es una de las curvas de la figura .



96. Resuelva los siguientes problemas en 0< t< 5 utilizando el método de Euler hacia adelante con h = 0.5, calculando manualmente. Repita con h = 0.01 en MATLAB. Evalué los errores comparando con las soluciones exactas

que se muestran más

adelante

y  0  1

a) y´ry  1, b) y´3 y  e1 ,

y  0  1

c) y´ r 2  y ,



y  0   0.5

d) y´ y y  0,

y  0  1

e) y´ y



1/ 2

 sen  t  , y  0   1

Solución exacta: Caso

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

t

y

y

y

y

Y

0

1.0000

1.0000

0.5000

1.0000

1.0000

1

1.3313

0.2088

0.4482

0.5000

0.6147

2

0.7753

0.06890

1.7969

0.3333

0.7458

3

0.4043

2.4955E-2

4.9253

0.2500

0.4993

4

0.2707

9.1610E-3

9.9725

0.2000

-0.2714

5

0.2092

3.3692E-3

16.980

0.1666

-2.2495

Sugerencia: La solución de b) puede oscilar con h=0.5, pero se recomienda a los estudiantes intentarlo de todos modos 97. Resuelva: y´´ t   0.05 y´ t   o.15 y  t   0,

y´ 0  0, y  0  1

Y encuentre los valores de (1) y (2) utilizando el método de Euler hacia adelante con h=0.5 98. Resuelva los siguientes problemas en 0 < t < 5 utilizando el método de Euler hacia adelante con h=0.1 y h=0.01 (escriba su propio programa en Matlab). Evalúe los errores con las soluciones exactas que se muestran más adelante.

y  0   1, y´ 0   0

a) y´´8 y  0,

b) y´´0.01 y´  2 y  sen  t  , 2

y  0   1, y´ 0   0

c) y´´2ty´ty  0,





y  0   0, y´ 0   1

y  0   1, y´ 0   0

d) et  y y´´ t , Solución exacta:

Caso

(a)

(b)

(c)

(d)

t

y

y

Y

y



99.

0

1.0

0.0000

1.0000

1.0000

1

-0.9514

0.8450

0.8773

1.0629

2

0.8102

0.9135

0.5372

1.3653

3

-0.5902

0.1412

0.3042

1.8926

4

0.3128

-0.7540

0.1763

2.5589

5

-0.0050

-0.9589

0.1035

3.2978

Resuelva las siguientes ecuaciones para o < t < 5

utilizando el método de Euler

modificado:

4 y´ 3 y  7 z  2t , y  0   1

7z´=-2y+8z,

z(0)=0

Utilice tanto h= 0.01 como h = 0.001 100. Un tanque cónico contiene agua hasta una altura de 0.5 m desde el fondo. El tanque tiene un agujero de 0.02 m de radio en el fondo. El radio del tanque en y está dado por r = 0.25y, donde r es el radio y y es la altura medida desde el fondo. La velocidad del agua que sale por el agujero está dada por v2  2gy , donde g = 9.8 m/s2. Utilice el método de Euler hacia adelante (con h = 0.001s) para averiguar cuantos minutos tardara el tanque en vaciarse. 101. Un circuito que se muestra en la figura inferior, tiene una autoinductancia de L = 100 mH, una resistencia R = 20 k  y una fuente de voltaje de DC de 10 V. Si el interruptor se cierra en t = 0, la corriente I(t) cambia según:

L

dI  t   I  t  R  E.I (0)  0 dt

a) Determine la corriente I en t = 1, 2, 3, 4 y 5 ms por el método de Euler hacia adelante con h = 0.01 ms. b) Evalúe el error comparando la solución numérica con la solución analítica dada por

I  t    E / R  1  exp  Rt / L   . c) Investigue el efecto de h repitiendo los cálculos anteriores con h = 0.1 ms

102.

Un tubo en U de 0.05 m de radio está lleno inicialmente con agua, pero separado con una partición de modo que el nivel del agua en la rama vertical izquierda esta 0.2 m

más alto que el nivel de agua en la rama vertical derecha. En t = 0 la partición se METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS LIC. MAT. JUAN C. CURI GAMARRA

retira repentinamente. El nivel de agua en la rama vertical izquierda, yA, medido desde el plano medio entre dos superficies, satisface

LyA ´´ 2 gy A Donde L es la longitud total de agua en el tubo (se supone que es 1 m) y g = 9.8 m/s2. Ignore la fricción en el tubo y calcule el nivel del agua por el método de Euler hacia adelante para 0 < t < 10 s y encuentre en que momentos yA alcanza mínimos y máximos. Utilice h = 0.1 s. 103.

Repita el problema anterior suponiendo que hay fricción en el tubo, de modo que la ecuación del movimiento está dada por.

Ly´Á  2 gyA   yÁ Donde  = 0.8m/s . Utilice h = 0.001 s 104.

La densidad numérica (número de átomos por cm3) del radioisótopo yodo – 135 satisface

dNi  t   i Ni  t  dt Donde N(t) es la densidad numérica del yodo – 135 y i es

su constante de

desintegración, igual a 0.1044 h-1 . Si Ni(0) = 105 átomos /cm3 en t = 0, calcule Ni (t) en t = 1 h por el método de Euler modificado (Heun). Utilice h = 0.05 h. 105.

El producto de la desintegración del yodo-135 (considerado en el problema anterior) es xenón-135, que también es radiactivo. La constante de desintegración del Xenon135 es x  0.0753h1 . La densidad numérica del xenón satisface:

dN x  t   x N x  t   i Ni  t  dt Donde Nx es la densidad numérica del xenón y Ni es la densidad numérica del yodo definida en el problema anterior. Suponiendo que Nx(0)=0, escriba un programa para calcular Ni y Nx con base en el método de Euler modificado (Heun). (Puesto que las ecuaciones diferenciales son lineales, utilice soluciones de forma cerrada para cada incremento de tiempo). Encuentre la solución para 0 < t < 50 h y grafique. Utilice h = 0.1 h 106.

Investigue el método de Runge Kutta de 2° orden, encuentre y(1) para la siguiente ecuación empleando el método de Runge – Kutta de segundo orden con h = 0.5:

y´=107.

v , t+y 2

y   0  1

Investigue el método de Runge Kutta de 2° orden Calcule y(2) para la siguiente ecuación utilizando el método de Runge - Kutta de segundo orden con h = 1:

y´´ +0.2y´+0.003ysen  t   0, y  0   0, y´ 0   1 METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


108.

Investigue el método de Runge Kutta de 2° orden Encuentre el valor de y(1) resolviendo:

109.

y´ 0  0 , considere h = 0.5

y´´ - 0.05y´+0.15y = 0,

Resuelva la siguiente ecuación diferencial 2y´´ +  y´  y  0, 2

y  0   0, y´ 0   1

Por el método de Runge – Kutta de segundo orden con h = 0.5 y evalué y(1) y y´(1) 110.

Un problema de valor inicial de una ecuación diferencial ordinaria está dado por:

y´´´= - y,

y  0   y´´ 0   0

Utilice el método de Runge – Kutta de cuarto orden con h = 0.2 para calcular y(0.4). 111.

a) Un tanque de 50 gal lleno de agua contiene sal a una concentración de 10 oz/gal. Con objeto de reducir el contenido de sal, se agrega agua dulce a razón de 2 gal/min. Si el tanque se mezcla bien y el agua sale del tanque con la misma velocidad de flujo, el contenido de sal satisface:

y´1  t     2 / 50  y1 Donde y1  t  es la concentración de sal en onz/gal y t es el tiempo en minutos. Aplique el método de Runge – Kutta de cuarto orden con h=1 min para averiguar cuánto tardara la concentración de sal en llegar a 1/10 de su valor inicial. b) El agua que sale del tanque ingresa en otro con capacidad de 20 gal, en el cual también se vierte agua dulce con una velocidad de 3 gal/min. Mezclándose bien. La concentración de sal en este tanque satisface:

y´2  t     5/ 20  y2  t    2 / 20  y1  0   0 Donde y1(t) es la concentración de sal en el tanque de 50 gal del inciso anterior. Utilice el método de Runge – Kutta de cuarto orden para averiguar en qué momento la concentración de sal en el tanque de 20 gal llega a su máximo. Suponga que el agua del segundo tanque es dulce en t = 0 112.

Calcule y(1) resolviendo la siguiente ecuación por el método de Runge – Kutta de





cuarto orden con h = 1, y´= - y / t+y2 , 113.

Encuentre la solución de :

y  0  1

y´  t   1/ 1  y 2  , y  0   1

Para t = 1 y t = 2 empleando el método de Runge – Kutta de cuarto orden con h = 0.5 yh=1 114.

Se dispara una bala al aire con un ángulo de 45 grados respecto del suelo a

u  v  150 m / s , donde u y v son las velocidades horizontal y vertical, respectivamente. Las ecuaciones del movimiento están dadas por:

u´ cVu, u  0   150m / s

(A)

v´  g  cVv, v  0   150m / s Donde u y v son funciones del tiempo, u = u (t) y v = v (t), y METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


V2 = u2 + v2 , c = 0.005 m-1 (coeficiente de arrastre) , g = 9.8 m/s2 (aceleración debida a la gravedad) Las ecuaciones del movimiento pueden resolverse por uno de los métodos de Runge – Kutta. La trayectoria de la bala puede calcularse integrando.

x´ u

y

y´ v

O bien:

x   u  t´ dt´ t

0

(B)

y   v  t´ dt´ t

0

A continuación listamos un guion basado en el método de Euler hacia adelante que resuelve la ecuación (A) y evalúa la ecuación (B) clear; clg u=150; v=150; h=1; c=0.005; t=0; ub=u; vb=v; y=0; x=0; n=1; u_rec(1)=u; v_rec(1)=v; t_rec(1)=t; x_rec(1)=x; y_rec(1)=y; while y>=0 vel1=sqrt(ub*ub+vb*vb); k1=h*(-c*vel1*ub); l1=h*(-9.8-c*vel1*vb); u=ub+k1;

v=vb+11;

x=x+h*(ub+u)/2; y=y+h*(vb+v)/2; ub=u; vb=v; n=n+1; t=t+1; u_rec(n)=u; v_rec(n)=v; t_rec(n)=t; x_rec(n)=x; y_rec(n)=y; end plot(x_rec, y_rec) xlabel(´x´); ylabel(ý´) a) Ejecute el guion y grafique la trayectoria de la bala. b) Reescriba el guion utilizando el método de Runge – Kutta de cuarto orden en una forma vectorial. Encuentre, con un error de menos del 0,1%, la distancia horizontal que alcanza la bala. 115.





Se muestra la solución de y´=  1 1  y 2 por el método de Runge – Kutta de segundo orden para dos valores de h distintos:

t

h=0.1

h=0.2

Y

y



0.0

1.0000000

0.1

0.9487188

0.2

0.8946720

1.0000000

0.8947514

a) Estime el error local de y(0.2) con h = 0.1. b) Estime el valor más exacto de y (0.2) c) Si el error local debe satisfacer Eh  0.00001 , estime h. 116.

Para la ecuación dada por: y´ 3 y  exp 1  t  ,

y  0  1

Encuentre un incremento de tiempo óptimo para el método de Runge – Kutta de cuarto orden que satisfaga Eh  0.0001 . (Ejecute el método de Runge – Kutta de cuarto orden para un intervalo con un valor de h y vuelva a ejecutarlo para dos intervalos con h/2) 117.

La temperatura inicial de una pieza de metal es de 25oC. La pieza se calienta internamente mediante una corriente eléctrica a razón de Q = 3000 W. La ecuación para la temperatura es:

dT 1 Q   A T 4  2984   hc A T  298 ,   dt V  c 

T  0   298K

Donde T esta en kelvin y k=60 W/mk (conductividad eléctrica) σ = 5.67x10-8 W/m2K4 (Constante de Stefan-Boltzmann) A = 0.25 m2 (área superficial) 118.

Deduzca ecuaciones de diferencia para el siguiente problema de valor en la frontera:

2 y ''( x)  y( x)  e 0.2 x ,

con

las

condiciones

de

frontera:

y(0)  0.1 , y '(10)   y(10) , suponga que la retícula tiene espacio unitario. 119.

118.

Deduzca ecuaciones de diferencia para i = 1 e i = 10 en el problema anterior, suponiendo

que

y´1  y 1 y

y

las

condiciones

frontera

cambian

a

y´10   0

Deduzca ecuaciones de diferencia para:

  p  x   '  x   ' q  x    x   S  x  , 119.

de

0 xH

La ecuación diferencial para un cable flexible de 50 m de longitud, fijo en los dos extremos, está dada por

y´´ x   w  x  / T ,

y  0   y  50   0

Donde x esta em metros, y(x) es el desplazamiento del cable medido desde el nivel de los extremos está dada por:

w  x   20 1  exp  x / 25  kg / m METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


Determine la forma del cable. (Utilice 10 intervalos de retícula) 120.

Considere una aleta de enfriamiento con área de sección transversal variable y perímetro variable. Suponiendo que la temperatura a través de cualquier sección transversal perpendicular al eje es uniforme, la temperatura en la dirección axial es la solución de la ecuación

  kA  x  T '  x   ' P  x  hcT  x   P  x  hcT Donde k es la conductividad térmica, P(x) es el perímetro, A(x) es el área de sección transversal y T es la temperatura del entorno. Las condiciones de frontera están dadas por :

T(0)=100oC

kT´ H   hc T  H   T  Donde H es la longitud de la aleta y hc es el coeficiente de transferencia de calor por convección. Resuelve el problema anterior suponiendo las siguientes constantes:

hc  30 w / m2 K

H  0.1m, k  100 w / mK ,

T  20o C

A  x   ( 0.005 0.05  0.25x ) m2 Px  A  x  / 0.005  0.01m (Utilice 10 intervalos de retícula). 121.

Considere una celda unitaria cilíndrica en un reactor nuclear de agua ligera que consiste en una varilla de combustible y moderador, como se muestra en la figura .

El flujo térmico de neutrones en la celda satisface la ecuación de difusión de neutrones dada por



1 d d Dr   r    a   r   S  r  r dr dr

Donde D es el coeficiente de difusión.



a

Es la sección transversal de absorción y

S es la fuente de neutrones. Las constantes para el UO2 y el H2O se muestran en la figura. Las condiciones de frontera son:

´ 0   ´1  0 a) Utilice cinco puntos de retícula para todo el dominio con un intervalo constante de 0.25 cm y deduzca ecuaciones de diferencia por cada punto de retícula. b) Resuelva las ecuaciones de diferencia deducidas en (a) por la solución tridiagonal. METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


122.

Se tiene un material en plancha con espesor de 0.2 cm. El lado izquierdo está perfectamente aislado, pero la temperatura de la superficie derecha esta fija en 0 oC. La plancha tiene una fuente de calor distribuida. La ecuación de temperatura está dada por T ´´ x   q  x  / k. Elabore un programa para calcular la distribución de temperatura empleando 10 intervalos de retícula. Suponiendo que la conductividad térmica es k=30 W/m2K, ejecute el programa para las dos siguientes distribuciones de la fuente de calor: 3 a) q  x   200kW / m

3 b) q  x   100exp  10 x  kW / m

Compare los resultados con las siguientes soluciones analíticas:



a) T  x   10 / 3 0.04  x 2





b) T  x   0.033 e2  2  10 x  e10 x 123.



La ecuación de difusión para una geometría cilíndrica está dada por



1  p  r  r´ r  ´q  r   r   S  r  r

Considerando los tres puntos de retícula que se muestran en la figura 11.10, podemos deducir ecuaciones de diferencia integrando la ecuación desde el punto medio entre i – 1 e i hasta el punto medio entre i e i+1. Suponiendo que los coeficientes son constantes, como se ilustra en la figura, y el espaciado de la retícula no es uniforme, deduzca las ecuaciones de diferencia integrando el volumen entre a y b.

123.

La ecuación para el desplazamiento de una membrana circular sometida a una presión constante P (véase la figura) está dada por.

y´´ r  

1 y´ r    P / T , r

0.2m  r  0.5m

Donde r es la coordenada radial, y es el desplazamiento de la membrana (positivo hacia abajo), T es la tensión (400kg/m) y la presión se da como P=800kg/m2. Las condiciones de frontera son y(0.2) = y(0.5) = 0. Determine el desplazamiento de la membrana, y (r).



124.

El cuerpo esférico de un material de radio 0.05 m se calienta con una fuente de calor distribuida por

S  r   300exp 20  r  0.05 Donde r es el radio en metros y las unidades de S son W/m3. La superficie de la esfera está expuesta al aire. El calor escapa al aire circundante por convección con el coeficiente de transferencia de calor hc  20W / m2 K . En el estado estacionario, la distribución de la temperatura es la solucion de la ecuación.



1 d 2 d r k T r   s r  r 2 dr dr

Las condiciones de frontera son:

T ´ 0   0 k´ hc T  T  R   ,

T  20o C

a) Escriba las ecuaciones de diferencia para la temperatura utilizando cuatro intervalos de retícula equiespaciados. b) Resuelva las ecuaciones de diferencia por la solución tridiagonal. 125.

Un extremo de una aleta de enfriamiento rectangular de longitud H=0.1 m está conectada a una fuente de calor a 200 oC. La aleta transfiere calor tanto por radiación como por convección al entorno que está a 20 oC. Suponiendo que tanto la aleta como el entorno son cuerpos negros, la temperatura de la aleta satisface la ecuación de difusión no lineal.

 AkT ´´ x   Phc T  x   T   Po T 4  x   T4   0 Donde k=120W/mK (conductividad térmica) A=1.5x10-4 m2 (área de sección transversal de la aleta) P=0.106 m (perímetro de la aleta) hc=100W/m2K (coeficiente de transferencia de calor por convección)

 =5.67x10-8 W/m2K4 (constante de Stefan-Boltzmann) T =293 K (temperatura del entorno) METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


Las condiciones de frontera están dadas por

T  0   500  273K T ´ H   0 Si se supone que el extremo derecho de la aleta está perfectamente aislado. a) Deduzca una ecuación de diferencia para la ecuación diferencial anterior empleando 10 intervalos de retícula igualmente espaciados b) Resuelva la ecuación de diferencia mediante sustituciones sucesivas. c) Repita (b) utilizando la iteración de Newton. 126. En los ejercicios siguientes use el método de diferencias finitas para calcular las tres filas de la solución aproximada de la ecuación de la onda a mano o con calculadora. a) Utt ( x, t )  4U xx ( x, t ), 0  x  1, 0  t  0.5 con las condiciones de contorno:

U (0, t )  0 , U (1, t )  0 , 0  t  0.5 U ( x, 0)  sen( x) , 0  x  1 tome h=0.2 , k=0.1 , r=1 ut ( x, 0)  0 ,0  x  1

b) Utt ( x, t )  4U xx ( x, t ), 0  x  1, 0  t  0.5

U (0, t )  0 , U (1, t )  0 , 0  t  0.5 3  5x , 0 x   2 5 U ( x, 0)   15  15 x , 3  x  1  5  4 ut ( x, 0)  0 ,0  x  1 tome h=0.2 , k=0.1 , r=1 127. En los problemas siguientes use un programa numérico para resolver la ecuación de las ondas Utt ( x, t )  c 2U xx ( x, t ), 0  x  a, 0  t  b , con las condiciones de contorno:

U (0, t )  0 , U (a, t )  0 , 0  t  b U ( x, 0)  f ( x) ut ( x, 0)  g ( x) ,0  x  a empleando los valores dados en cada caso a) a=1, b=1, c=1, f ( x)  sen( x) , g ( x)  0 , tome h=0.1, k=0.1 b) a=1, b=1, c=1, f ( x)  x  x 2 , g ( x)  0 , tome h=0.1, k=0.1

 2 x , 0  x  0.5 , g ( x)  0 , tome h=0.1, k=0.1 2  2 x 0.5  x  1

c) a=1, b=1, c=1, f ( x)  

d) a=1, b=1, c=2, f ( x)  sen( x) , g ( x)  0 , tome h=0.1, k=0.05



128. En los problemas siguientes use el método de las diferencias progresivas para calcular las tres primeras filas de la malla que se construye para la ecuación del calor que se da. Realice las operaciones a mano o calculadora. a) Ut ( x, t )  U xx ( x, t ), 0  x  1, 0  t  1 , con la condición inicial

U ( x,0)  sen( x) , para t  0 , 0  x  1 , y las condiciones de contorno: U (0, t )  0 , x  0 , 0  t  0.1 U (1, t )  0 , x  1 , 0  t  0.1 b) Ut ( x, t )  U xx ( x, t ), 0  x  1, 0  t  1 , con la condición inicial

U ( x, 0)  1  2x  1 , para t  0 , 0  x  1 y las condiciones de contorno: U (0, t )  0 , x  0 , 0  t  0.1 U (1, t )  0 , x  1 , 0  t  0.1 130. Resuelva la ecuación del calor Ut ( x, t )  c 2U xx ( x, t ), 0  x  1, 0  t  1 con la condición inicial U ( x,0)  f ( x) , para t  0 , 0  x  1 , con las condiciones de contorno:

U (0, t )  0 , x  0 , 0  t  0.1 U (1, t )  0 , x  1 , 0  t  0.1 para los valores que se dan: a)

f ( x)  sen( x)  sen(2 x) , h  0.1 , k  0.01 r  1

b)

f ( x)  3  3x  1  3x  2 , h  0.1 , k  0.01 r  1

131. Determine el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas p1, p2,p3,p4 que se usa para calcular las aproximaciones a la función armónica U ( x, y) en el cuadrado

R   x, y  :0  x  3, 0  y  3 , los valores en la frontera son: U ( x, 0)  10 ,U ( x,3)  90, 0  x  3 U (0, y )  70 ,U (3, y )  0 , 0  y  3 resuelva el sistema de ecuaciones para hallar p1, p2,p3,p4 132. Determine el sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas q1, q2,…,q6 que se usa para calcular las aproximaciones de la función armónica U ( x, y) , en el cuadrado:

R   x, y  :0  x  3, 0  y  3 , los valores en la frontera son: U ( x,3)  90 ,U y ( x, 0)  90, 0  x  3 U (0, y )  70 ,U (3, y )  0 , 0  y  3 Resuelva el sistema para hallar q1, q2,…,q6 133. Use un programa para calcular aproximaciones a la función armónica U ( x, y) en el cuadrado R 

 x, y  :0  x  1.5,

0  y  1.5 . Tome h=0.5 y los valores en la

frontera: METODOS NUMERICOS Y COMPUTACION-MA-FIIS


U ( x, 0)  x 4 ,U ( x,1.5)  x 4  13.5 x 2  5.0625, 0  x  1.5 U (0, y)  y 4 ,U (1.5, y )  y 4  13.5 y 2  5.0625 , 0  y  1.5 Dibuje la solución aproximada y compárela con la solución exacta

U ( x, y)  x4  6 x 2 y 2  y 4 134. Use una malla de orden 5x5 para determinar un sistema de nueve ecuaciones con nueve incógnitas p1, p2,p3,…,p9 para calcular aproximaciones de la función U ( x, y) que es armónica en el cuadrado R 

 x, y  :0  x  4,

0  y  4 y verifica las

condiciones de contorno:

U ( x, 0)  10 ,U ( x, 4)  120, 0  x  4 U (0, y )  90 ,U (4, y )  40, 0  y  4 calcule p1, p2,p3,…,p9



Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales-2

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