Estimación por intervalos de confianza.pdf

9. Estimación on por intervalos de confianza Estad´ıstica Inge In geni nier´ er´ıa Infor nf orm´ mátic at ica a

Curso 2009-2010

Contenidos

1

Estimaci´ on por intervalos de confianza on

2

Estimaci´ on por intervalos bajo normalidad on Estimación on de la media poblacional µ. Varianza conocida Determinaci´ on on del tama˜ no muestral para controlar el error de estimaci´ no on on

Estimación on de la media poblacional µ. Varianza desconocida Determinaci´ on on del tama˜ no muestral para controlar el error de estimaci´ no on on

Estimación on de la diferencia de medias A. Varianzas conocidas B. Varianzas desconocidas e iguales

Estimaci´ on on de la varianza Estimación on del cociente de varianzas 3

Estimaci´ on por intervalos en poblaciones no normales on Estimación on de la media. Varianza conocida Estimación on de la media en poblaciones no normales. Varianza desconocida Estimaci´ on on de la proporci´ on en distribuciones binomiales on

Contenidos

1


2

Estimaci´ on por intervalos bajo normalidad on Estimación on de la media poblacional µ. Varianza conocida Determinaci´ on on del tama˜ no muestral para controlar el error de estimaci´ no on on

Estimación on de la media poblacional µ. Varianza desconocida Determinaci´ on on del tama˜ no muestral para controlar el error de estimaci´ no on on

Estimación on de la diferencia de medias A. Varianzas conocidas B. Varianzas desconocidas e iguales

Estimaci´ on on de la varianza Estimación on del cociente de varianzas 3

Estimaci´ on por intervalos en poblaciones no normales on Estimación on de la media. Varianza conocida Estimación on de la media en poblaciones no normales. Varianza desconocida Estimaci´ on on de la proporci´ on en distribuciones binomiales on


Estimación on por intervalos La estimaci´ on on por intervalos de un par´ ametro ametro desconocido θ proporciona informaci´ on on acerca de los valores de los par´ ametros ametros que estamos estimando una indicaci´ on del nivel de confianza que se le puede dar a los on posible po sibless valores de los parámetros ametro s Un intervalo de confianza para θ es de la forma L θ U , donde los extremos inferior y superior L y U depe de penden nden del valor numérico erico obtenido obteni do en una muestra para un cierto estad´ estad´ıstico T , escogido seg´ un un el par´ parámet ametro ro θ que queremos estimar.

≤ ≤

L y U son variables son variables aleatorias (distintas aleatorias (distintas muestras producen distintos valores de L y U )

Estimaci´ on por intervalos de confianza

A partir de la distribuci´ on de T , y para un valor α, 0 < α < 1, determinamos los valores de L y U que hacen que P (L

≤ θ ≤ U ) = 1 − α

⇒ hay probabilidad 1 − α de que al seleccionar la muestra, ésta produzca un intervalo que contenga el verdadero valor de θ

El intervalo resultante, IC 100(1−α) % , se denomina intervalo de confianza del 100(1 α) % para θ

−


Interpretación del

IC 100(1 α) %

−

:

Si obtenemos un n´ umero elevado (infinito) de muestras aleatorias y calculamos para cada una de ellas el correspondiente IC 100(1−α) % para θ, entonces el 100(1 α) % de estos intervalos contendrán el verdadero valor de θ.

−

En la práctica s´ olo se obtiene una muestra aleatoria, y calculamos un intervalo de confianza. Este intervalo contendrá o no al verdadero valor del parámetro θ no tiene sentido atribuir una probabilidad al hecho de que s´ı lo contenga se dice que el intervalo contiene a θ con una confianza de 100(1 α) % (y no con una probabilidad de 100(1 α) %)

⇒

⇒ −

−


Longitud y precisión

La longitud de un intervalo de confianza, U L, es una importante medida de la calidad de la informaci´ on obtenida de la muestra.

−

La mitad de esta longitud se conoce como precisi´ on. cuanto mayor sea la longitud de un intervalo, mayor confianza tendremos en que contenga al verdadero valor del par´ ametro cuanto mayor sea la longitud del intervalo, tendremos menos informaci´ on acerca del verdadero valor del par´ ametro


Intervalos bilaterales y unilaterales Este intervalo de confianza se denomina intervalo bilateral (proporciona los dos extremos del intervalo) Puede resultar conveniente el cálculo de un intervalo unilateral para el extremo inferior L θ

≤

con L tal que P (L

≤ θ) = 1 − α,

o intervalo unilateral para el extremo superior θ con U tal que P (θ

≤ U ) = 1 − α

≤ U


Cantidades pivotales (I) Dada una m.a.s. (X 1 ,..., X n ) de una poblaci´ on X con distribuci´ on F θ , siendo θ = (θ1 ,...,θk ), se llama cantidad pivotal para θi a una funci´ on de la muestra (por tanto, es v.a.) y de θi , C (X 1 ,..., X n ; θi ), donde θi es la u ńica cantidad desconocida y cuya distribuci´ on no depende de θi , ni de ning´ un otro parámetro desconocido.

Ejemplo.

Sabemos que ¯ X

≡ N (

µ, σ ):

X

≡ N

 √  µ,

σ

n

,

o también:

¯ X

−√ µ = √ n X ¯ − µ ≡ N (0, 1) σ

σ/ n

por tanto, si conocemos σ, ¯ − µ √ X C (X ,..., X ; µ) = n 1

es una cantidad pivotal para µ.

n

σ


Cantidades pivotales (II)

Elegida una cantidad pivotal C (X 1 , ..., X n ; θi ), podemos construir un intervalo de confianza para θi de la siguiente manera: Elegimos dos valores c 1 y c 2 tales que P (c 1

≤ C (X 1,..., X ; θ ) ≤ c 2) = 1 − α n

i

Despejamos θi en ambas desigualdades para obtener los extremos del intervalo L y U .

Estimaci´ on por intervalos bajo normalidad Estimaci´ on de la media poblacional

Estimaci´ on de la media.

X

µ.

Varianza conocida

≡ N (

µ, σ ), σ conocida

Queremos estimar µ a partir de (X 1 , ..., X n ) mediante un IC del 100(1 α) % σ ¯ X tiene distribuci´ on N µ,

−

 √  n

⇒ Z = σ/¯ −√ µ ≡ N (0, 1) X

n

(cantidad pivotal para µ)

α a

Area = – area = 2 2

−−z z /

/2

a 2 α

P ( z α/2

− ≤ Z ≤ z α/2) = P

−

z α/2

a α

Area =– area = 2

¯ X

0

2

z /2 a z /2 α

≤ σ/ −√ nµ ≤ z α/2



=1

−α



X

µ.

Varianza conocida

≡ N (



−

 √  n

⇒ Z = σ/¯ −√ µ ≡ N (0, 1) X

n

α a



−−z z /

0

/2

a 2 α

 −

¯ P X

z α/2

σ

√ n ≤ µ ≤

a α

Area =– area = 2

z /2 a z /2 α

 √

σ ¯ X + z α/2

n

=1

−α

2



X

µ.

Varianza conocida

≡ N (



−

 √  n

⇒ Z = σ/¯ −√ µ ≡ N (0, 1) X

n


α a


−−z z /

/2

a 2 α

σ √ − z α/2 n

¯ L = X

y

a α

Area =– area = 2

0

z /2 a z /2 α

σ ¯ U = X + z α/2

√ n

2



X

µ.

Varianza conocida

≡ N (


Ejemplo: Cuando una se˜ nal que tiene valor µ es enviada desde un punto A a un punto B, el valor recibido tiene distribuci´ on normal de media µ y varianza 4 (es decir, al transmitir la se˜ nal, se a˜ nade un ruido aleatorio de distribuci´ on N (0, 2)). Para reducir el error, se env´ıa el mismo valor 9 veces, de manera que el valor medio recibido es x¯ = 9. Calculemos el intervalo de confianza del 95 % para µ. Se tiene: z α/2 = z 0,05/2 = z 0,025 = 1,96, σ = 2 y n = 9 el intervalo para µ es 2 2 9 1,96 , 9 + 1,96 = (7,69, 10,31) 3 3

⇒

−

×

×



Tenemos una confianza del 95 % de que el verdadero valor enviado esté entre 7,69 y 10,31.



X

µ.

Varianza conocida

≡ N (


Determinación del tamaño muestral para controlar el error de estimación Longitud del IC 100(1−α) % para µ: σ √ L = 2 · z α/2 n cuanto mayor sea el nivel de confianza, para n y σ fijos, mayor será L Error que cometemos al estimar un par´ ametro mediante su estimador:

| − X ¯ |

E = µ

si podemos controlar el tama˜ no muestral, podemos escoger n para tener una confianza del 100(1 α) % de que E sea menor que una cierta cota : σ 2 n = z α/2 

−

 



X

µ.

Varianza conocida

≡ N (


Se quiere medir la velocidad de un nuevo modelo de procesador, y para ello se va a ejecutar un programa de simulaci´ on en algunos ordenadores, con dicho modelo incorporado. Suponiendo que la variable aleatoria X , tiempo de ejecuci´ on, es normal, de varianza 9, obtener el tama˜ no muestral necesario para obtener un intervalo de longitud 2 y de nivel de confianza 95 % para el tiempo medio de ejecuci´ on del programa de simulaci´ on. Como la longitud del intervalo es 2z α/2

σ

3

√ n = 2 ⇒ 1,96 √ n = 1 ⇒ n = 1,962 ∗ 9 = 34,57

es decir, n ha de ser 35 para asegurarse una confianza de al menos el 95 %.



X

µ.

Varianza desconocida

≡ N (

µ, σ ), σ desconocida

Queremos estimar µ a partir de (X 1 , ..., X n ) mediante un IC 100(1−α) % ¯ µ X √ no es cantidad pivotal, pues es función de dos parámetros Z = − σ/ n

desconocidos. ¯ µ X t = tiene distribuci´ on t n−1 , ya que: s n−1 / n

−√

¯ X

−√ µ ≡ N (0, 1),

σ/ n

(n

s n2−1

2

− 1) σ2 ≡ χ −1 , n

t =

¯ X ¯ X

µ −√

s n−1 / n

=

−√ µ

σ/ n

 − (n

s n2−1

1) σ2 n 1

−

t es una cantidad pivotal para µ

P ( t n−1;α/2

−

≤ t ≤ t ;α/2) = P n1

−

¯ X

µ ≤ s − 1−/√ ≤ t −1;α/2 n

t n−1;α/2

n

n



=1

−α



X

µ.


≡ N (


Queremos estimar µ a partir de (X 1 , ..., X n ) mediante un IC 100(1−α) % ¯ µ X √ no es cantidad pivotal, pues es función de dos parámetros Z = − σ/ n

desconocidos. ¯ µ X t = tiene distribuci´ on t n−1 , ya que: s n−1 / n

−√

¯ X

−√ µ ≡ N (0, 1),

σ/ n

(n

s n2−1

2

− 1) σ2 ≡ χ −1 , n

t =

¯ X ¯ X

µ −√

s n−1 / n

=

−√ µ

σ/ n

 − (n

t es una cantidad pivotal para µ

− t −1;α/2 s √ −n1

¯ L = X

n

n

y

s n−1 ¯ = + U X t n−1;α/2

√ n

s n2−1

1) σ2 n 1

−



X

≡ N (

Longitud del IC 100(1−α) % para µ: s n−1 L = 2 t n−1;α/2 n

√

Error de estimaci´ on E menor que  si tomamos: n=



t n−1;α/2



Determinación del tamaño muestral

·

µ.

S





2

Estimaci´ on por intervalos bajo normalidad Estimaci´ on de la diferencia de medias

Estimaci´ on de la diferencia de medias. Poblaciones normales independientes. Varianzas conocidas (X 1 , ..., X nX ), (Y 1 ,..., Y nY ) m.a.s. de dos poblaciones normales independientes N (µX , σX ) y N (µY , σX ), respectivamente, con varianzas conocidas. Queremos construir un IC para la diferencia µX µY . ¯ Y ¯ (µX µY ) X Z = N (0, 1) es cantidad pivotal para la 2 2 σX σY +

− −

−

nx

ny



diferencia µX

−

≡

− µ

¯ L = X

− Y ¯ − z α/2

Y .



2 σX

nX

+

2 σY

nY

y

¯ U = X

− Y ¯ + z α/2



2 σX

nX

+

2 σY

nY


Estimaci´ on de la diferencia de medias. Poblaciones normales independientes. Varianzas desconocidas e iguales (X 1 ,..., X nX ) m.a.s. N (µX , σX ) (Y 1 ,..., Y nY ) m.a.s. N (µY , σX )



2 y σ 2 desconocidas e iguales. con σX Y

Queremos construir un IC para la diferencia µX µY . ¯ Y ¯ (µX µY ) X Cantidad pivotal: t = t nX +nY −2 1 1 S p +

− −

−



nX

¯ L = X

¯ Y

− − t

nX +nY −2;α/2 S p



1

nX

−

≡

nY



con S p 2 =

(nX −1)s n2−1;X +(nY −1)s n2−1;Y nX +nY −2

1

+

nY

¯ U = X

− Y ¯ + t

nX +nY −2;α/2 S p



1

nX

+

1 nY




Ejemplo: Se piensa que los estudiantes de licenciatura de periodismo pueden esperar un mayor salario promedio en su primer trabajo que el que esperan los estudiantes de administraci´ on, y para comprobarlo, se desea construir un intervalo de confianza del 90 % para la diferencia de medias, suponiendo que la varianza en ambos salarios es la misma. Se obtienen dos muestras aleatorias simples de ambos grupos, que proporcionan los siguientes datos: nP = 10, x¯P = 16250, s n2−1;P = 1187222,22, nA = 14, x ¯A = 15400, s n2−1;A = 1352307,69. Se obtiene que S p = 1133,48, y puesto que t nP +nA −2;0,05 = 1,717, se tiene que el intervalo de confianza para la diferencia entre los salarios es (44,135, 1655,865).

Estimaci´ on por intervalos bajo normalidad Estimaci´ on de la varianza

Estimaci´ on de la varianza.

X

≡ N (

µ, σ ), µ desconocida

Queremos estimar σ a partir de (X 1 ,..., X n ) de una poblaci´ on N (µ, σ), con µ y σ desconocidos, mediante un IC del 100(1 α) %

−

Cantidad pivotal para σ: (n

s n2−1

− 1) σ ≡ χ2−1

area =

2

α

area =

2

2

α

2

2 χn−1;α/2

χn−1;1−α/2



n

s 2

≤ (n − 1) σ−21 ≤ χ2−1;α/2

P χ2n−1;1−α/2

n

n



=1

−α

Estimaci´ on por intervalos bajo normalidad Estimaci´ on de la varianza

Estimaci´ on de la varianza.

X

≡ N (

µ, σ ), µ desconocida

Queremos estimar σ a partir de (X 1 ,..., X n ) de una poblaci´ on N (µ, σ), con µ y σ desconocidos, mediante un IC del 100(1 α) %

−

Cantidad pivotal para σ: (n

s n2−1

− 1) σ ≡ χ2−1

area =

2

α

2

2

L = (n

− 1) χ2

n−1;α/2

area =

α

2

2 χn−1;α/2

χn−1;1−α/2

s n2−1

n

y

U = (n

− 1) χ2

s n2−1

n−1;1−α/2

Estimaci´ on por intervalos bajo normalidad Estimaci´ on del cociente de varianzas

Estimaci´ on del cociente de varianzas. Poblaciones normales independientes (X 1 , ..., X nX ) y (Y 1 ,..., Y nY ) m.a.s. de dos poblaciones normales independientes N (µX , σX ) y N (µY , σX ), respectivamente. 2 /σ 2 . Queremos construir un IC para el cociente σY X

Cantidad pivotal para

s n2−1;Y

1

2 σY 2 : σX

L = 2 s n−1;X F nY −1,nX −1;α/2

2 s n2−1;X /σX

F = 2 2 s n−1;Y /σY

y

≡ F

nX −1;nY −1

s n2−1;Y

U = 2 F nX −1,nY −1;α/2 s n−1;X

Estimaci´ on por intervalos en poblaciones no normales Estimaci´ on de la media. Varianza conocida

Estimaci´ on de la media. Varianza conocida Poblaci´ on no normal con varianza conocida Queremos estimar la media mediante un IC del 100(1 Si tomamos una m.a. (X 1 , ..., X n ), con n Central del L´ımite: Z =

otico IC asint´

¯ X

− α) %

≥ 30, según el Teorema

−√ µ −−−→ →∞ N (0, 1) n

σ/ n

(o aproximado) para µ:

¯ L = X

σ

− z α/2 √ n

y

σ ¯ U = X + z α/2

√ n

Para tama˜ nos muestrales peque˜ nos, el intervalo asint´ otico no es apropiado

.

Estimaci´ on por intervalos en poblaciones no normales desconocida

Estimaci´ on de la media. Varianza desconocida Poblaci´ on no normal con varianza desconocida Queremos estimar la media mediante un IC del 100(1

− α) %

No podemos utilizar directamente el TCL porque σ es desconocida, pero si tomamos una m.a.s. (X 1 ,..., X n ), con n 30, se cumple que:

≥

¯ X

− µ →∞ √ −−−→ t = 2 N (0, 1) s / n n

n−1

Intervalo asintótico (o aproximado) para µ: ¯ L = X

−

s n−1 z α/2 n

√

y

s n−1 ¯ U = X + z α/2

√ n

Para tama˜ nos muestrales peque˜ nos, el intervalo asint´ otico no es apropiado

Estimaci´ on por intervalos en poblaciones no normales Estimaci´ on de la proporci´ on en distribuciones binomiales

Estimaci´ on de la proporci´ on. Poblaciones binomiales Poblaci´ on binomial con parámetro p desconocido Queremos construir un IC para p X Para una muestra (X 1 , ..., X n ) el estad´ıstico pˆ = , con X n

≡ B (n, p )

verifica (teorema de DeMoivre-Laplace): ˆ p

− p −−−→ →∞ N (0, 1) p (1 − p ) n

 P

 −

n

p ˆ

− p ≤ z α/2 z α/2 ≤ p (1 − p )



n

  ≈

1

−α



≡ B (n, p )


− p −−−→ →∞ N (0, 1) p (1 − p )

 

ˆ P p

− z α/2



p (1

n

n

− p ) ≤ p ≤ pˆ + z

n

α/2



p (1



− p ) ≈ 1 − α n



≡ B (n, p )


− p −−−→ →∞ N (0, 1) p (1 − p )

 

ˆ P p

− z α/2



p (1

n

n

− p ) ≤ p ≤ pˆ + z

n

α/2



p (1



− p ) ≈ 1 − α n

los l´ımites del intervalo contienen el parámetro desconocido p

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