CAPITULO 3 ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS POR INTERVALOS NTERVALOS DE CONFIANZA 3.1 INTRODUCCIÓN: Este método consiste en construir un intervalo alrededor del parámetro conjuntamente con una probabilidad asociada, llamada nivel de confianza. El cual señala la probabilidad de que el parámetro se encuentre al interior de dicho intervalo. La formulación general de lo que se llama un Intervalo de Confianza es la siguiente:
P(θˆ d θ θˆ d) 1 α Donde: θˆ
= Estimador Puntual.
d = Error Err or de Estimación.
= Parámetro. 1- = Nivel de Confianza.
Observaciones:
A menor magnitud del error d, mejor es la estimación en precisión. El nivel de confianza 1- debe ser cercano a 1, para que la estimación sea confiable. Confiable no es lo mismo que preciso. La confiabilidad se logra con el nivel de confianza, y la precisión, con la magnitud del error de estimación.
Una buena estimación es Confiable y Precisa.
Procedimiento General en la construcción de un Intervalo de Confianza: 1) Decidir el parámetro que se va a estimar, y el mejor estimador puntual θˆ . 2) Tener una función que relacione el estimador con el parámetro. y=f( θˆ ,), con una distribución de probabilidad conocida. 3) Decidir el nivel de confianza a usar (si es que no está dado) (1-).
CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
- 21 – 21 –
4) Determinar los límites del intervalo: a y b (de la distribución de probabilidad), tal que P(a
3.2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
DE UNA POBLACIÓN.
Caso 1: Cuando se conoce la varianza poblacional
2
:
Sabemos que si X~N(,2) para una muestra aleatoria de tamaño n m.a(n)= X1,X2,...,Xn.
σ 2 X μ La media muestral X ~ N μ, ==> ~ N(0,1) σ n n / 2
P(a < y < b) =1- P(a
Xμ σ
/2 1-
b) 1 α α
a Z( ) 2
n
0
α
b Z(1 - ) 2
Despejamos tenemos:
aσ bσ 1 α P Xμ n n aσ bσ P X μ X 1 α n n σ σ P X a μ X b 1 α n n σ σ P X b μXa 1 α n n α
Finalmente se tiene b Z(1 - ) y a = -b (Por simetría de distribución normal) 2
α σ
α σ
P X Z1 μ X Z1 1 α 2 n 2 n
Observación: Mientras mayor sea la varianza o la desviación estándar, mayor va a ser el tamaño de muestra (n) que se necesita para hacer una buena estimación.
CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
- 22 – 22 –
Error de estimación y tamaño de muestra: d Z
σ
n
=>
Z2σ 2 n 2 d
CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
- 23 –
Ejemplo 7: Se desea conocer la estatura media de los alumnos de cierta Universidad, de estudios anteriores, se sabe que existe una desviación estándar de 7 cm. Se tomó una muestra aleatoria de 50 estudiantes y la estatura promedio de esta muestra fue de 1,74 m. Estimar un intervalo de 95% de confianza para la estatura promedio de los estudiantes de esta universidad. Solución:
α σ
α σ
P X Z1 μ X Z1 1 α 2 n 2 n
=0,05 (nivel de confianza del 95%). n= 50 (estudiantes de la muestra) X = 174 cm (media muestral), =7 cm (varianza poblacional)
α Z1 Z(1 0,025) Z(0,975) 1,96 (obtenido desde la tabla normal) 2
P174 1,96
7 7 0,95 μ 174 1,96 50 50
P(172,06 < <175,94)=0,95
Caso 2: Cuando no se conoce la varianza poblacional
2
:
Para poder estudiar el caso en que la varianza poblacional es desconocida, se estudiará primero las características de la función de distribución de probabilidades t-student.
Características de la distribución t-student: 1) Es una distribución simétrica:
-K
K
2) Depende de un solo parámetro llamado “Grado de libertad ” que depende del tamaño de la muestra (n)
CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
- 24 –
3) Se forma a través del siguiente cuociente: Si tenemos: Z ~ N(0,1) (Normal =0, 2=1). V ~ 2(n) (Chi – cuadrado en n grados de libertad)
t student(n)
Z V n
Con esto, podemos volver al estudio del problema de determinar el Intervalo de confianza para la media de una población con varianza poblacional desconocida.
Intervalo de Confianza para la media con varianza poblacional desconocida: n
En este caso se usa la varianza muestral: S 2 y
(X
i
X) 2 1
i 1
n
y con ello la estadística:
Xμ ~ t student(n 1) S n
Entonces, el intervalo: P(a
Xμ b) 1 α S n
esta vez, a y b provienen de la distribución t- student. /2
/2
Despejando tenemos: S S P( X b μ X a ) 1 α n n
1- a=t(/2)
0
b=t(1- /2)
De lo anterior:
α S α S P X t n 1 (1 ) μ X t n 1 (1 ) 1 α 2 n 2 n
1
Ver anexo a este capítulo.
CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
- 25 –
t(n-1)
Ejemplo 8: Se desea estimar con un 95% de confianza el gasto promedio mensual en el rubro alimentación, por familia en un sector del país. Se tomó una muestra preliminar de 30 familias, registrándose el monto del rubro deseado, obteniéndose los siguientes datos en miles de pesos: X1=125 X7=120 X13=300 X2=180 X8=150 X14=250 X3=200 X9=165 X15=150 X4=240 X10=185 X16=195 X5=260 X11=215 X17=178 X6=290 X12=228 X18=220 a) Estimar un intervalo de 95% de confianza para el
X19=270 X25=268 X20=290 X26=290 X21=200 X27=252 X22=170 X28=300 X23=165 X29=195 X24=240 X30=170 gasto promedio de las familias en
alimentación. No se conoce la varianza de la población, solo la muestral se puede calcular desde los datos de la tabla (S).
α S α S P X t n 1 (1 ) μ X t n 1 (1 ) 1 α 2 n 2 n Desde la tabla de datos: Media: X 215,36 (miles de $). Desviación Estándar: S = 53,36 (miles de $). n=30. Además =0,05. Desde la tabla de la distribución t-student se tiene que tn-1(1-/2)=t29(0,975)=2,0452. Reemplazando:
P 215,36 2,0452
53,36 53,36 0,95 μ 215,36 2,0452 30 30
P(195,45 < <235,29) =0,95 El error de estimación es d= 2,0452
53,36 =19,92. 30
Interpretación: El gasto mensual promedio de las familias de este sector está entre $195.450.- y $235.090.- con un 95% de Confianza.
CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
- 26 –
b) Si se sabe que en este sector del país viven 75.000 Familias. ¿Cuál es el total de dinero que se gasta este sector en el rubro alimentación? El intervalo de confianza que se estimó para el promedio en la letra a), se multiplica por la cantidad de familias (75 mil). Y tenemos un nuevo intervalo de confianza para el gasto total del sector: IC: 14.658.750 ; 17.646.750 en miles de $. Es decir, el gasto total del sector está con un nivel de confianza del 95%, entre $14.658.750.000.- y $17.646.750.000. c) Suponga que la anterior muestra se desea usar para obtener una muestra definitiva de familias para estimar el gasto promedio en alimentación con un error no superior a los $6.000.-
Z2σ 2 n 2 . Con un 95% de confianza Z=1,96 (para 1-/2), y usando la varianza de la d muestra anterior: S2=(53,36)2 , d=6.
(1,96) 2 (53,36) 2 303,8 304 familias. n 2 6
3.3 INTERVALO DE CONFIANZA PARA ESTIMAR UNA PROPORCIÓN P En este caso, se trata de determinar la magnitud con que se presenta un determinado atributo en la población. Por ejemplo: Tasa de Cesantía Xi= Xi ~ Bernoulli (p)
1 si tiene el atributo. 0 si no tiene el atributo.
(1) E(X)=p (2) V(X)=pq Para una muestra aleatoria de tamaño n: X1,X2, ....., Xn
n
Y X i ~ Binomial(n, p) i 1
(1) E(Y)=E(Xi)=np (2) V(Y)=V(Xi)=npq CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
- 27 –
X i a la proporción muestral que posee el atributo. Entonces: Si se llama: pˆ n n Xi 1 n 1 i 1 E X i np p (1) E( pˆ) E n n i 1 n n Xi pq 1 n 1 i 1 ˆ V X npq (2) V( p) V i n n 2 n n2 i 1 Luego, por Teorema del Límite Central 2 X E(X) ~ N(0,1) V(X) P(a y b) 1 α , donde y
pˆ p ~ N(0,1) pq n
pˆ p b) 1 α pq n pq pq P(a ) 1 α pˆ p b n n P(a
pq pq P pˆ b p pˆ a 1 α n n pˆqˆ pˆqˆ P pˆ - Z(1 - α2 ) p pˆ Z(1 α2 ) 1 α n n En la varianza, como se desconoce p se usa pˆ , quedando:
α pˆqˆ p pˆ Z 1 α pˆqˆ 1 α P pˆ Z1 2 n 2 n
2
Ver Capítulo 1.
CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
- 28 –
Error de estimación y tamaño de muestra: Z 2 pˆqˆ α pˆqˆ n 2 es el tamaño de muestra que se necesita para estimar p con d Z1 d 2 n (1-)% de confianza.
Observación: Para determinar el tamaño de muestra n se requiere tener una estimación previa de p, si esta no existiera se usa el criterio de máxima variabilidad, que consiste en asumir que p y q son iguales a 0,5 (este criterio entrega el mayor tamaño de muestra).
Ejemplo 9: Se tomó una muestra de 28 estudiantes en una Universidad, con el fin de estimar con un 95% de confianza, la proporción de ellos que está a favor de determinada ley. 12
X
i
12 respondieron afirmativamente.
i 1
a) Estime con un 95% de Confianza la proporción de estudiantes que están a favor de esta ley.
α pˆqˆ p pˆ Z 1 α pˆqˆ 1 α P pˆ Z1 2 n 2 n donde pˆ
α 12 0,4285 qˆ 1 0,4285 0,5715 n=28 =0,05 Z 1 Z(0,975) 1,96 28 2
Luego, reemplazando estos valores:
0,4285 * 0,5715 0,4285 * 0,5715 P 0,4285 1,96 p 0,4285 1,96 0,95 28 28 P0,4285 0,1833 p 0,4285 0,1833 0,95
CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
- 29 –
d=0,1833 es el error de estimación. Notar que se tiene un error grande, porque la muestra es pequeña (n=28). Finalmente el Intervalo de Confianza queda: P(0,2452 < p < 0,6118) = 0,95 . Es decir IC: 0,2452 ; 0,6118. Interpretación: Con un 95% de Confianza, la proporción de estudiantes que están a favor de esta ley está entre 24,52% y 61,18%. b) ¿Qué tamaño de muestra se requiere para tener un error de un 4%, con un 95% de confianza, usando la muestra anterior como preliminar? Z 2 pˆqˆ (1,96) 2 * 0,4285 * 0,5715 n 2 587,975 588 estudiantes. d (0,04) 2
3.4 INTERVALO DE CONFIANZA PARA ESTUDIAR LA VARIANZA 2: Para estudiar la estimación de un Intervalo de Confianza para la varianza, se estudiará primero la función de distribución de probabilidades chi- cuadrado.
La distribución Chi-cuadrado: En el Capítulo 1 se estudió que si X ~ N(, 2), entonces Z
Xμ σ
~ N(0,1) .
Si se eleva Z al cuadrado se obtiene una nueva función de distribución de probabilidades, que se conoce como Chi-Cuadrado.(2). 2
=>
X μ Z ~ χ 2 σ 2
CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
Chi – cuadrado con 1 grado de libertad.
- 30 –
Gráficamente: =0,025 1.96 -3
-2
-1
0
1
2
3
3,84= 1,962
0
Distribución Normal (0,1)
Distribución Chi- cuadrado (1)
Intervalo de Confianza para 2: Para una muestra aleatoria de tamaño n: X1, X2, ......., Xn con media poblacional conocida, se tiene: 2
X μ (1) Z i i ~ χ 2 (n) n grados de libertad3. σ i 1 i 1 n
2
n
Si no se conoce (media poblacional), se usa su estimador insesgado X, con lo cual se pierde un grado de libertad, entonces: 2
X X ~ χ 2 (n 1) (n-1) grados de libertad. (2) Z i 2 i σ i 1 i 1 n
n
Con esto se tiene dos casos para obtener un intervalo de confianza para la varianza: Caso 1: Media Poblacional conocida. Caso 2: Media Poblacional desconocida.
Caso 1: Cuando la media poblacional es conocida: De (1) se tiene el siguiente intervalo de confianza:
X X b) 1 α P(a i σ i 1 n
Despejando 2:
/2 /2
a
a=
2
/2
b=
2
1-/2
3
Los grados de libertad, indican el número de variables independientes que se pueden manejar.
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- 31 –
n X i μ 2 2 1 1 σ P a i 1 2 b 1 α P n 1 α a b σ X i μ 2 i 1 n n 2 (X i μ) 2 (X i μ) nσˆ 2 nσˆ 2 2 2 i 1 i 1 σ P 1 α P b σ a 1 α b a
nσˆ 2 nσˆ 2 2 σ 2 α 1 α ( Intervalo de Confianza que viene de (1), es decir de P 2 α (1 ) χ χ n ( 2 ) n 2 una 2 con n grados de libertad, cuando se conoce la media poblacional )
Caso 2: Cuando la media poblacional es desconocida: De (2) se tiene el siguiente Intervalo de Confianza (siguiendo pasos análogos al caso anterior).
X X b) 1 α P(a i σ i 1 n
/2 /2
a=
2
Despejando : n 2 X X i 1 b 1 α P P a i 1 2 a σ
a
2
/2
b=
-
2
1-/2
1 σ 1 α n b 2 X μ i i 1 2
n n 2 (X i X) 2 (X i X) (n - 1)σˆ 2 (n - 1)σˆ 2 2 2 i 1 i 1 1 α P σ σ 1 α P b b a a
CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
- 32 –
(n - 1)σˆ 2 (n - 1)σˆ 2 2 P 2 σ 2 α 1 α ( Intervalo de Confianza que viene de (2), es decir α χ χ n -1 ( 2 ) (1 ) n 1 2 de una 2 con n-1 grados de libertad, cuando no se conoce la media poblacional )4
Ejemplo 10: En el ejemplo anterior se entregó esta tabla que consiste en una muestra preliminar de 30 familias, registrándose el monto del gasto en el rubro alimentación, los datos se encuentran en miles de pesos: X1=125 X7=120 X13=300 X19=270 X25=268 X2=180 X8=150 X14=250 X20=290 X26=290 X3=200 X9=165 X15=150 X21=200 X27=252 X4=240 X10=185 X16=195 X22=170 X28=300 X5=260 X11=215 X17=178 X23=165 X29=195 X6=290 X12=228 X18=220 X24=240 X30=170 a) Estimar con un 95% de confianza la varianza para el gasto familiar en alimentación. Se desconoce la media poblacional, por lo tanto utilizamos el Intervalo de Confianza para el caso 2
(n - 1)σˆ 2 σˆ 2 (n 1) 2 P 2 σ 2 α 1 α α χ χ n -1 ( 2 ) (1 ) 2 n -1 De los datos: n = 30; X = 215,36 (miles de $); S = 53,36 (miles de $). Además = 0,05 De la tabla de la distribución Chi – Cuadrado: 2
2
χ n 1 (1 α2 ) χ 29 (0,975) 45,722 y el otro extremo: 2
2
χ n 1 ( α2 ) χ 29 (0,025) 16,047 Y el estimador σˆ 2 S 2 (53,36) 2 2847,3 . Reemplazando:
29 * 2847,3 2 29 * 2847,3 P σ 0,95 45 , 722 16,047 P1805,95 σ 2 5145,62 0,95 IC: 1805,95 ; 5145,62 en (miles de $ )2.
4
Para este caso se usa estimador insesgado de la varianza, ver anexo del capítulo.
CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
- 33 –
b) Estimar con un 95% de confianza la desviación estándar para el gasto familiar en alimentación.
P1805,95 σ 2 5145,62 0,95 => P(42,496 < <71,73) IC: 42,496 ; 71,73 en (miles de $ ).
3.5 PROBLEMAS PROPUESTOS: 1. El monto de los dividendos pagados por los deudores hipotecarios del banco XYZ se distribuye aproximadamente normal con varianza 25 UF2. Se selecciona aleatoriamente 15 deudores habitacionales del banco y se registra el monto de los dividendos a pagar por cada uno de ellos, obteniéndose los siguientes datos: 25 26 12,5 a.
24,2 17 19,4
22,4 16,8 21
29,5 26,4 20
30 24,5 23
Estime la media usando un intervalo de confianza del 95%
b. Determine el tamaño de muestra, de modo que el error de estimación para la media poblacional sea de 1,56 U.F.
2. Un fabricante de fibras sintéticas desea estimar la tensión de ruptura media de una fibra. Diseña un experimento en el que se observan las tensiones de ruptura (en libras) de 16 hilos del proceso seleccionados aleatoriamente. Las tensiones son: 20,8 19,9 20,6 19,7 20,6 20,2 20,4 19,6 21 19,8 21,1 20,3 20,9 19,6 20,9 20,7 Suponiendo que la tensión de ruptura de una fibra se encuentra modelada por una distribución normal con desviación estándar de 0,45. a.
Construir un intervalo del 98% de confianza para el valor medio real de la tensión de ruptura.
b. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son apropiadas para la interpretación del intervalo de confianza?
CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
- 34 –
i.
La probabilidad de que la tensión media se encuentre dentro de los límites del intervalo es0,98.
ii.
Aproximadamente el 98% de todos los intervalos de confianza calculados en base a muestras de tamaño 16, obtenidas del proceso de fabricación de fibras incluirán el verdadero valor promedio de la tensión de ruptura.
iii.
La probabilidad de que la tensión de ruptura para cualquier fibra se encuentre fuera de los límites de confianza es 0,02.
3. El volumen de producción diaria de una empresa se considera como una variable aleatoria normal, con parámetros desconocidos, se selecciona aleatoriamente una muestra aleatoria de 20 días y se registra el volumen de producción, obteniéndose los siguientes datos:
Xi = 856
Xi2 = 37.706
En base a esta información, construya un intervalo de confianza del 95% para la media verdadera de la producción diaria.
4. Una muestra aleatoria de los salarios por hora para nueve mecánicos de automóviles proporcionó los siguientes datos (en dólares): 10,5 12 8,5 11 10 9 9,5 11,5 13 Bajo el supuesto de que l muestreo se llevo a cabo en una población normal. Construya un intervalo de confianza para la media para los siguientes niveles de confianza: a.
90%
b. 95% c.
99%
5. Se seleccionan 50 spots publicitarios de los transmitidos por los canales de TV. y se mide el tiempo de duración de éstos (en segundos), obteniéndose los siguientes datos:
Xi = 2.496 a.
Xi2 = 134.142
Estime el tiempo medio que duran los spots publicitarios televisivos con un 95% de confianza.
b. ¿Cuáles son los supuestos que validan su estimación?
CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
- 35 –
6. Se ha establecido que el precio de venta de un artículo es una variable aleatoria normal con desviación estándar de $8. ¿Cuál debería ser el tamaño muestral de modo de asegurar que la amplitud del intervalo del 99% de confianza para tiene una amplitud de $2?.
7. Una gran sociedad usa miles de ampolletas cada año. La marca utilizada en el pasado tiene una duración media de 1000 hrs. Con una desviación estándar de 100 hrs. Se ofrece a esta compañía una nueva marca de precio un tanto inferior a la anterior. Para saber si esta nueva marca es conveniente se toma una muestra aleatoria de 25 ampolletas de la nueva marca obteniéndose : X =985, S=90,2. Mediante un intervalo de confianza del 95% para . ¿Qué recomendación daría usted a la compañía?
8. En una gran tienda comercial, se seleccionó al azar una muestra de 50 clientes morosos. Obteniéndose los siguientes datos: Monto de la deuda (miles de $) Número de Clientes a.
40 3
50 6
60 10
70 18
80 8
100 5
El jefe de ventas estima que el porcentaje de clientes que tiene una deuda de $60.000.- se encuentra entre el 12,6% y 27,4%. Basándose en esta muestra. ¿Cuál es la confiabilidad de esta estimación?.
b. Construya un intervalo para la desviación estándar del monto de la deuda con un nivel de confianza del 80%, interprete el resultado.
9. En una fabrica se empaca automáticamente la producción . Se sabe que el peso de los paquetes se distribuye normal con una desviación estándar de 2,74 Kgs. Al obtenerse una muestra aleatoria se estableció que el peso promedio por paquete es de 16,4 Kgs. ¿ De qué tamaño debe ser la muestra para tener un nivel de confianza del 90% de que el peso promedio poblacional por paquete quedara en el intervalo 14,8 Kgs. Y 18 Kgs?.
10. Con la finalidad de realizar un estudio y análisis del número de letras impagas de los clientes de una empresa comercial, un auditor selecciona una muestra de 16 clientes, mediante un muestreo aleatorio simple, de una cartera de 1.600 clientes. La información obtenida fue la siguiente: N° de letras impagas: 3 1
5 0
4 3
CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
0 2
2 4
1 6
3 2
2 5 - 36 –
a.
Determine un intervalo de Confianza del 95% para el total de letras impagas.
b. Determine un intervalo de confianza del 90% para la proporción de clientes que adeudan menos de 5 letras impagas. c.
Suponga que el auditor desea estimar el promedio de letras impagas y requiere que el error de estimación no sea superior al 2%. ¿Cuál es el tamaño de muestra que cumple con estas condiciones de precisión?. (Asuma como muestra piloto, la muestra de 16 clientes seleccionada anteriormente).
11. La compañía metropolitana del cobre determinó, a partir de un estudio de todas las facturas de ventas emitidas el año 2000 que la utilidad bruta media por factura de ventas en ese año fue de US$ 14,5. En el año 2001 la gerencia decidió obtener esta información a partir de una muestra de facturas. Se seleccionó una muestra aleatoria de 500 facturas entre las 85.500 facturas emitidas el año 2001 y se determinó la utilidad bruta (X) para cada una de ellas. Los resultados fueron los siguientes: n=500 . Xi = US$ 9.200,5
Xi2= 302.400,2
Construya un intervalo de confianza del 90% para la utilidad bruta media por facturas de ventas emitidas en el año 2001. Interprete su resultado.
12. Con el objeto de estimar el promedio de cuentas por cobrar al final de un período de un mes en una distribuidora de artículos electrodomésticos, el contador toma una muestra aleatoria de 36 cuentas obteniéndose los siguientes resultados.
Xi =$422,8
; Xi2= $5.827,59.
Xi en miles de pesos. Establezca una estimación del 90% de confianza para el monto promedio de cuentas por cobrar.
13. Se extrajo una muestra aleatoria de 38 instrumentos de renta fija transados en remate en el año 2001, observando de ellos la TIR mayor. Se obtuvieron los siguientes resultados:
Xi =372,6 a.
; Xi2=3.743,95
Obtener una estimación por intervalos del valor medio de la TIR mayor de los instrumentos de renta fija con una confianza del 95%.
b. Responda a. Si = 2 , con = 0,05. CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
- 37 –
14. Un analista financiero quiere conocer la proporción de accionistas que planean vender por lo menos la cuarta parte de sus acciones el próximo mes. Realizada una encuesta aleatoria en 800 individuos que poseen acciones, 200 de ellos planean vender al menos una cuarta parte de ella el próximo mes. a.
Construya un intervalo de confianza del 95% para la verdadera proporción de accionistas que planean vender más acciones de acuerdo a lo establecido.
b. Si el analista desea estimar el tiempo promedio que transcurre entre la colocación y ejecución de una orden del mercado, para ello muestrea 45 órdenes y descubrió que el tiempo medio de ejecución era de 24,3 minutos con una desviación estándar de 3,2 minutos. Estime con un intervalo del 95%, el nivel promedio del tiempo de ejecución.
15. Una agencia publicitaria ha lanzado una campaña para promover un nuevo producto. Uno de los comerciales fue proyectado en un mercado de prueba, y se telefoneó a una muestra de espectadores para verificar la retención del mensaje. Los que vieron el aviso fueron clasificados según el porcentaje de evocación del mensaje, obteniéndose: Tasa de Recordación 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 a.
Número de Personas 2 5 12 23 9 6
Determine, con un 98% de confianza, el porcentaje medio de recordación del mensaje y explíquelo.
b. Estime el porcentaje de recordación del comercial en aquellas personas que lo recuerdan entre un 20 y un 40%, explique. c.
Si se desea estimar el porcentaje medio de recordación del comercial con una confianza del 98%, y un error de estimación no superior al 2%. ¿Cuántas encuestas telefónicas habría que realizar?. Justifique.
CAPÍTULO 3: I NTERVALOS DE CONFIANZA PROF.W.ARANDA
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16. En el envase de una botella de aceite dice “Contenido Neto 300 cc”. Se tomó una muestra de 16 botellas. Registrándose el contenido siguiente: 305 307 295 281 275 282 300 274 289 295 294 290 300 301 281 293 a. Estime con un 95% de confianza el contenido promedio de las botellas de aceite. b. ¿Cuál es el tamaño de la muestra que permitiría bajar el error de estimación a la mitad, con el mismo nivel de confianza?.
17. En el área de producción de una fábrica de engranajes industriales, el gerente está preocupado por que se cumplan las especificaciones técnicas de uno de sus productos, ya que variaciones de los pesos en más del 5%, con respecto a la especificación media estandarizada (27 gramos), produce producto no conforme arriesgando la pérdida del cliente. Se tomaron muestras durante toda la semana. Los pesos (en gramos), fueron los siguientes: 32 23 25 29 28 23 27 23 30 31 28 25 26 26 25 29 Sabiendo que se trabaja con una confianza del 95% a.
23 25 24 30
26 29 30 26
¿Se están respetando las especificaciones técnicas estandarizadas para los engranajes en estudio?
b. Se sabe que la proporción de la producción que está sobre la media estandarizada es del 37%. (incluyendo el valor igual). ¿Qué se puede concluir a través de la muestra anterior, con la misma confianza? c.
Determine el Intervalo de Confianza para la desviación estándar con un nivel de significación del 5%.
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3.6 ANEXO: Observación respecto al estimador para la varianza poblacional 2: Es importante observar que el E.M.V (estimador máximo verosímil) para la varianza es: n
S2
(X
i
X) 2
i 1
n
Pero, existe otro estimador de la varianza, que es el ESTIMADOR INSESGADO: n
S2
(X
i
X) 2
i 1
n -1
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