Descripción: Intervalos de confianza: - Concepto de intervalo de confianza - Estimacion de intervalo de confianza para la media poblacional. * Con poblacion conocida * Con poblacion desconocida - Estimac...
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Resolución de Ejercicios de Estadística en el tema de intervalos de confianzaDescripción completa
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Descripción: Intervalos de Confianza
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Deber 9 sobre Intervalos de confianza EPNDescripción completa
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INTERVALOS DE CONFIANZA, EJEMPLOS Medias con varianza po!aciona! desconocida, "#es$ras %&'
Un ingeniero de control de calidad midió el espesor de la pared de 25 botellas de vidrio de dos litros. La media muestral es 4.05 mm, mientras que la cuasi desviación estándar muestral es de 0.08 mm. Encuentra un intervalo de conian!a del "0# para la media del espesor de la pared de las botellas. $olucion% &atos% x =
4.05mm; s
=
0.08mm; n
=
25; t
α
2
, n −1
=
1.7109
En este problema nos pide realizar un intervalo de confianza p ara la media con varianza desconocida y el tamaño de la muestra es menor que 30:
'eempla!ando en la ormula. x
( t 1−
α /
2
s
)n*+
n
4.05 ±1.7109 *
0.08 25
= 4.0226;
4.0774
'espuesta% El intervalo de conian!a del "0# para la media del espesor de la pared de las botellas está entre 4.022- mm 4.0//4mm Proporciones(
omadas al a!ar una muestra de 500 personas en cierta comunidad, se encontró que 220 le1an algn periódico 3abitualmente. alcule con un nivel de conian!a del "5# el intervalo en que se encuentra la verdadera proporción proporción de lectores de periódicos. periódicos. $olucion% &atos% n 5006 pˆ
220
=
500
=
0.44; qˆ =
500 − 220
=
500
0.56; z para un nivel de conian!a α
2
del "5# es de +."'eempla!ando en la ormula% ( 7 1−
α /
ˆ * (1 p
− pˆ )
2
0.44 ±1.96 *
n
0.44 * 0.56 500
=
( 0.3965; 0.4835)
'espuesta% El intervalo con un nivel de conian!a del "5# en que se encuentra la verdadera proporción proporción de lectores de periódicos periódicos está entre ".-5# 48.5# Una multinacional está estudiando la posibilidad posibilidad de instalar un nuevo sistema de producción es sus empresas6 antes de 3acerlo decide consultar a sus traba9adores. omo no tiene ninguna reerencia previa sobre la opinión de sus empleados supone que tal opinión está dividida en dos partes iguales 50# a avor 50# en contra. $i desea una coniabilidad en la encuesta del "8# con un error má:imo del # ;cuál debe ser el tamaivel de conian!a conian!a "8#
2
?plicamos la ormula% n@
z * p * q α
2
2.326 2 * 0.5 * 0.5 0.03 2
2
E
=
1502.85
'espuesta% $i desea una coniabilidad en la encuesta del "8# con un error má:imo del # el tama
$e estudia las tasas de combustión de dos propelentes sólidos utili!ados en los sistemas de escape de emergencia de aeroplanos. $e sabe que las tasas de combustión de dos propelentes tienen la misma desviación estándar de valor cmAs. $e prueban dos muestras aleatorias de 20 espec1menes para cada muestra aleatoria. Las medias muestrales de las tasas de combustión son +8 cmAs 24 cmAs. onstrua un intervalo de conian!a del ""# para la dierencia entre las medias de las tasas de combustión. ;BuC tama
n
Dropelente 2 ⇒
n2
1
20 espec1menes,
x
20 espec1menes,
x 2
1
+8 cmAs, 24 cmAs,
σ 1 = σ 2 =
3cm / s 3cm / s
! α )""# 2.5/2
⇒ enemos
dos muestras con varian!as poblacionales conocidas, independiente del tama
( 7 1−
x1 − x 2
α
n1
2
32
)+8*24(2.5/-
+
2 σ 2
n2
32
*-(2.5/-0."48/ *8.44"6 *.55-+ + 20 20 'espuesta% El intervalo de conian!a del ""# para la dierencia entre las medias de la tasa de combustión está entre *.55-+cmAs *8.44" cmAs
Dara obtener el tama
z * α
n1
2
2
σ 1
z α *
+
2 σ 2
n2
≤ E
⇒ &espe9amos
n ≥ z
α
2 2
$uponiendo que ambas poblaciones tienen el mismo tama
2
+ σ 2 n
2
≤ E
n%
σ + σ * E 2
2
1
2
2
= 2.576
2
*
+ /.4-52 ≈ 4
9 9 2
⇒
'espuesta% El tama
Bueremos estudiar la inluencia que puede tener el tabaco con el peso de los ni
n
5 mu9eres,
1
x
1
.- Gg,
s
1
0.5 Gg
Fadres no umadoras ⇒ n2 2/ mu9eres, x 2 .2 Gg, s1 0.8 Gg En ambos grupos los pesos de los reciCn nacidos provienen de sendas distribuciones normales de medias desconocidas, desconocidas, con varian!as que son desconocidas e iguales. alcular en cuanto inlue el que la madre sea umadora en el peso de su 3i9o con un nivel de signiicación del 5#= $olucion% enemos dos muestras los datos para ambas muestras. Las varian!as poblacionales son desconocidas el tama
x1 − x 2
( t 1− ) n1 α
2
+ n2 −
2)
s c
2
+
s c
n1
n2
. )+
Dara reempla!ar en esta órmula, primero debemos 3allar la desviación desviación estándar combinada% s
c
=
( n1 − 1) * s12
+
(n2
−
1) * s 22
n2
−
2
(35 − 1) * 0.5 2
+
(27 − 1) * 0.8 2
n1
+
0.-4/ 35 + 27 − 2 on un nivel de signiicación del 5#, esta ser1a la curva de la t*$tudent s c =
Firando en la tabla para -0 grados de libertad, los valores que corresponden a% t 60; 0.975
=
2
'eempla!ando 'eempla!ando en la ormula )+% ).-*.2( 20.-4/
1 35
+
x1 − x 2
( t 1− ) n1 α
2
+ n2 −
1 0.4(20.+-58 0.4(0.+27
2) s c
1 n1
+
1 n2
.
'espuesta% El intervalo de conian!a para el peso en que supera un 3i9o de madre no umadora al de otra umadora está comprendido comprendido con un nivel de conian!a del "5# entre 0.0-84 Gg 0./+- Gg. Di)erencia de proporciones( En una ciudad se toma una muestra aleatoria de "8 empresarios de los cuales 48 3an sido poseedores de acciones de una teleónica. En otra ciudad se selecciona otra muestra aleatoria de +2/ empresarios, de los cuales 2+ 3an sido poseedores de acciones de eleónica. Hbtener un intervalo del "5# de conian!a para la dierencia entre las proporciones de empresarios que 3an sido poseedores de este tipo de acciones en ambas ciudades.
$olucion% &atos% 48
n1
= 98; pˆ 1 =
n2
= 127; pˆ 2 =
ˆ1 ;q
98 21
127
98 − 48
=
ˆ2 ;q
98 127 − 21
=
127
! α para un nivel de conian!a del "5# es de +."2
ˆ1 'eempla!ando 'eempla!ando en la ormula% p 0.49 − 0.17 ± 1.96 *
(0.2014; 0.4386)
− pˆ 2 ( 7
0.49 * 0.51 98
+
1− 2 α
0.17 * 0.83 127
pˆ 1 * qˆ1
+
n1
pˆ 2 * qˆ 2 n2
0.32 ± 1 .96 * 0.0605
'espuesta% El intervalo del "5# "5# de conian!a para la dierencia dierencia entre las proporciones proporciones de empresarios que 3an sido poseedores de este tipo de acciones en ambas ciudades está entre 20.+4# 4.8-#. Varianzas $e sabe por e:periencia que el tiempo que tarda el servicio de ca9a de una empresa prestadora del servicio de agua de una región para atender a los clientes que llegan a eectuar el pago mensual del servicio se distribue normalmente. $e pide estimar el intervalo de conian!a para la desviación estándar poblacional poblacional del tiempo requerido para atender los pagos que eectan los clientes, con un nivel de conian!a del "5#, si para el eecto se tomó una muestra aleatoria de 25 clientes que arro9ó una desviación estándar de +.8 minutos. Solucion: Datos:
n = 25; s = 1.8 min utos; x
2
=
α
2
39.364; x12
α −
=
12.401
2
(Nota: para buscar en la tabla de la chi-cuadrado es similar a la de la T Student en la primera columna están los grados de libertad y en la primera fila la probabilidad).
'eempla!ando en la ormula%
(n − 1) * s 2 (n − 1) * s 2 ; 2 2 x 1− 2 (n − 1) x 2 (n − 1) α
'espuesta% El intervalo de conian!a para la desviación estándar poblacional del tiempo requerido para atender los pagos que eectan los clientes, con un nivel de conian!a del "5# está entre +."/54 -.2/05 minutos.