SEMINARIO INTERVALOS DE CONFIANZA Ejemplo 1: Deseamos valorar el grado de conocimientos en Historia de una población de varios miles de alumnos. Sabemos, por estudios anteriores, que la desviación típica poblacional es =2,3. Nos proponemos estimar pasando una prueba a 100 alumnos.
La media de esta muestra de 100 alumnos ha resultado ser x =6,32. Halla el intervalo de confianza de
con
un nivel de confianza del 95%.
a) Se desea estimar μ: El grado de conocimiento en Historia de los Alumnos. b) Análisis n 100 x
6.32
2.3 2
Varianza conocida
Pobla Poblacio cion n no norm normal al
Nivel Nivel de confi confiaza aza 1 0.95 z 1.96
Error Error estad estadar ar de la media media mues muestra trall x es
x
2.3
100
n
0.23
c) Haremos uso de la estadística Z Caso I-i d) Hallando el intervalo de confianza
L1
x z1
L2
L1
6.32 6.32 1.96 1.96 0.23 0.23
L2
6.32 .32 1.96 .96 0.2 0.23
L1
6.32 0.45 5.87
L2
6.32 0.45 6.77
x z1
2
n
2
n
x z 0.975 x z 0.975
6.32 6.32 1.96 1.96
n
n
6.32 6.32 1.96 1.96
2.3 100 2.3 100
e) Interpretación
El grado de conocimiento en Historia de los Alumnos varía entre
5.87
y
6.77
con una confianza del 95%.
Esto quiere decir, que aunque no sabemos el valor de estará entre 5,87 y 6,77 con una probabilidad del 95%
, “podemos asegurar que
Ejemplo 2: En el ejemplo anterior, y manteniendo el nivel de confianza en el 95%, ¿cuál ha de ser el tamaño de la muestra para que el error máximo admisible sea e =0,20? 2
n n
Z 1
2
2
e 1.96
2
2
2.3
0.20
2
508.05 508
2
Ejemplo 3: De una población Normal de media desconocida y desviación típica se extrae la siguiente muestra: 82, 78, 90, 89, 92, 85, 79, 63, 71.
= 6,
a) Determina el intervalo de confianza al 98% para . b) Determina el tamaño muestral para que, con la misma confianza, el intervalo de confianza tenga una amplitud igual a 4,66. Pasos: solución a) a) Se desea estimar μ: La media poblacional de los datos. b) Análisis n9 x
81
6 2
Varianza conocida
Poblacion normal
Nivel de confiaza 1 0.98 z 2.326
Error estadar de la media muestral x es
x
6
9
n
2
c) Haremos uso de la estadística Z Caso I-iii d) Hallando el intervalo de confianza
L1
x z1
L2
L1
81 2.326 2
L2
81 2.326 2
L1
81 4.65 76.35
L2
81 4.65 85.65
x z1
2
n
2
n
x z 0.99 x z 0.99
81 2.326
n
n
81 2.326
6 9 6 9
e) Interpretación La media poblacional de los datos varía entre 76.35 y 85.65 con una confianza del
98%. Esto quiere decir, que aunque no sabemos el valor de
, “podemos asegurar que
estará entre 76.35 y 85.65 con una probabilidad del 95% Solución b) 2
Z 1
n
2
e
2
2.326
n
2
2
6
2
2
2.33
35.88 36
Ejemplo 4: Un fabricante de pilas alcalinas sabe que la duración (horas) de estas sigue una Normal de media desconocida y varianza 2 =3600 h. Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95 %, ha obtenido, para , el intervalo de confianza [372,6 ; 392,2]. a) ¿Cuál fue el valor que obtuvo para la media de la muestra? ¿Cuál fue el tamaño muestral utilizado? b) ¿Cuál sería el error (e) de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y un nivel de confianza del 86,9%? Solución a) L1
L2
x z0.975 x z0.975
x 1.96 x 1.96 2 x x
n 60
n
n
x 1.96 x 1.96
372.6
392.2
372.6
n
764.8
382.4
382.4 9.8 n
60
117.6
n 117.6 n
12
n 144
60 n 60 n
Solución b) 2
n e
2
Z 1
2
225
2
e
2
2
1.51
e
60
2
2
e
2
2
1.51
60
2
225
36.48
36.48
e 6.04
Ejemplo 5: El número de errores diarios que se cometen al intentar conectar con una determinada red informática se distribuye normalmente con media des conocida. Para intentar conocer dicha media se realiza un M.A.S. de tamaño 10 días; resultando: 2,3,4,5,4,3,5 , -1.98, 1.98,1 errores. ¿Obtener un intervalo de confianza para la media de errores cometidos diariamente con un nivel de significación del 1%? a) Se desea estimar μ: La media de errores diarios que se cometen al intentar conectar con una determinada red informática. b) Análisis n 10 x
2.7
s 2.1 Varianza 2 desconocida estimado( 2
s2 )
Poblacion normal
Nivel de significancia
0.01 t 3.250
Error estadar de la media muestral x es
s
2.1
0.66 n 10 c) Haremos uso de la estadística t Caso II-iv
s x
d) Hallando el intervalo de confianza s
L1
x t1
L2
L1
2.7 3.250 0.66
L2
2.7 3.250 0.66
L1
2.7 2.15 0.55
L2
2.7 2.15 4.85
x t1
2
, n 1
n s
2
, n 1
n
x t 0.995,9 x t 0.995,9
s
2.7 3.250
n s n
2.7 3.250
2.1 10 2.1 10
e) Interpretación La media de errores diarios que se cometen al intentar conectar con una determinada red informática varía entre 0.55 y 4.85 con una confianza del 99%.
Ejemplo 6: Tomada, al azar, una muestra de 120 estudiantes de una Universidad, se encontró que 54 de ellos hablaban inglés. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de estudiantes que hablan el idioma inglés entre los estudiantes de esa Universidad.
Se desea estimar la proporción de estudiantes que hablan el idioma inglés Observamos que la proporción muestral de estudiantes que hablan el idioma inglés es:
p
54
0.45 q 0.55
120
Para un nivel de confianza del 90% el valor de Z=1.645
El error estándar para la proporción muestral es:
s p
p q
0.45 0.55 120
n
0.05
Los limites para P son: p z 1
p q
0.45 1.645
L1
L1
0.45 1.645 0.05 0.45 0.08
L1
0.37
L2
0.45 1.645 0.05 0.45 0.08
L2
0.53
2
n
0.45 0.55 120
Interpretación Se tiene una confianza del 90% que el porcentaje de estudiantes que hablan el idioma inglés varía entre el 37% y 53%. Ejemplo 7: Se investigó que el 26% de quienes visitan un determinado sitio deportivo de Internet son mujeres. El porcentaje se basó en una muestra de 380 visitantes. a) Hallar el intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional de usuarios mujeres. b)¿Cuál es el margen de error asociado con la proporción estimada de mujeres? c) ¿Qué tamaño debería tener la muestra si queremos tener un margen de error del 3%?
Solución a)
Se desea estimar la proporción poblacional de usuarios mujeres visitan un determinado sitio deportivo de Internet Observamos que la proporción muestral de usuarios mujeres es:
p 0.26 q 0.74
Para un nivel de confianza del 95% el valor de Z=1.96
El error estándar para la proporción muestral es:
s p
p q
0.26 0.74
380
n
0.02
Los limites para P son: p z 1
p q
0.26 1.96
L1
L1
0.26 1.96 0.02 0.26 0.04
L1
0.22
L2
0.26 1.96 0.02 0.26 0.04
L2
0.30
n
2
0.26 0.74 380
Interpretación Se tiene una confianza del 90% que la proporción poblacional de usuarios mujeres visitan un determinado sitio deportivo de Internet varía entre el 22% y 30%. Solución b) 0.26 0.22 0.04 4% Solución c) 2
n n
Z1
PQ
2
2
e 1.96
2
0.26 0.74 2
0.03
821.2 821
