Ejercicios Probabilidad Condicional Teorema de Bayes e In Depend en CIA de Eventos

Universidad Alas Peruanas

Estadística y Probabilidades

Escuela Profesional de Ingeniería Industrial, Sistemas y Electrónica

III Ciclo / 2009-2

EJERCICIOS PROBABILIDAD CONDICIONAL, TEOREMA DE BAYES E INDEPENDENCIA DE EVENTOS Ejercicio 9: Una compañía de desarrollo urbano esta considerando la posibilidad de construir un centro comercial en un sector de Lima. Un Un elemento elemento vital en esta consideración es es un proyecto de una autopista que unes unes este sector sector con el centro de la ciudad. Si el municipio aprueba esta autopista, hay una posibilidad de 0.90 de que la compañía construya el centro comercial en tanto que si la autopista no es aprobada la probabilidad es de 0.20. Basándose en la información disponible, el presidente de la Cia estima que hay una probabilidad de 0.60 que la autopista sea aprobada. a) Cuál es la probabilidad probabilidad que la compañía compañía construya el centro comercial comercial b) Dado que el centro comercial fue construido. ¿cual ¿cual es la probabilidad de que la autopista haya sido aprobada? SOLUCION: Sean los eventos: A: la autopista es aprobada B: el centro comercial es construido A =A ∩B

A∩ B

∪

B

AB

0.90

A 0.60 0.10

0.20 0.40

B

B

AB AB

A 0.80

B

a)

P(B) = P(A) P(B/A) + P(A) PB(A) = (0.60) (0.90) + (0.40) (0.20) = 0.62

b) P (A/B) = =

P( A ∩ B) P( B)

=

(0.60)(0.90) 0.62

= 0.87

P( A) P( B / A) P ( B)

AB




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Ejercicio 10: En una línea de producción hay 2 procesos, AYB. En el proceso A hay un 20% de defectuosos y en B hay 25%. En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso A y 100 del B. a) si se extrae un producto al, azar hallar la probabilidad que sea defectuosos. b) si al extraer el producto resulto defectuoso, hallar la probabilidad de que sea del proceso A. SOLUCION: Son los siguientes eventos: A: el producto es del proceso A B: el producto es del proceso B D: el producto es defectuoso D: el producto no es defectuoso

0.20

D

AD

A 200 /300

D

0.25 D

100/300

B D

a)

P(D) = P(A) P(D/A) + P(B) P(D/B) =

=

200 300 65 300

(0.20) +

100 300

(0.25)

BD




b)

P(A/D) = P =

( A ∩ D )

=

P( D)

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P ( A) P( D / A) P( D )

( 2 / 3)(0.20) 65 / 300

= 0.615 Ejercicio 11: La CIA ensambladora de automóviles CAR- PERU, se ha presentado a una licitación, para ensamblar un Nuevo modelo de automóvil. La probabilidad que CAR-PERU gane la licitación es 0.90 si una firma competidora MOTOR ANDINO no se presente a ella en tanto que es de solo 0.20 si MOTOR ANDINO se presenta. El gerente general de CAR- PERU estima que hay una probabilidad de 0.80 que MOTOR ANDINO se presente. a) ¿cuál es la probabilidad que CAR-PERU gane la licitación? b) dado que CAR– PERU gano la licitación, ¿Cuál es la probabilidad que MOTOR – ANDINO se haya presentado e ella? Solución: E: la CIA MOTOR – ANDINA presente licitaciones G: Ala CIA CAR PERU gana la licitación G = EG ∪ EG

G

EG

0.20

E 0.80

G

0.80

0.90

G

0.20

E 0.10

G

P(G) = P(E) P(G/E) + P( E) P(G/E) = (0.80) (0.20) + (0.20)(0.90) =0.34 P ( E / G ) = P ( E )

P(G / E ) P(G )

=

(0.8)(0.2) 0.34

=

8 17

EG




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Ejercicio 12: La compañía alfa efectúa una encuesta del mercado para evaluar el retorno de la inversión de cada uno de sus nuevos productos. Encuestas anteriores indican que el 90% de los nuevos productos debieran resultar lucrativos; sin embargo, un análisis posterior de la confiabilidad de las encuestas ha demostrado que solo el 70% de los productos que se pronostican como lucrativos, lo fueron efectivamente. En contraste, de los productos pronosticados como no lucrativo por las encuestas el 20% resulto ser lucrativo. La compañía ha comercializado un nuevo producto llamado “X” dado ”X” resulto lucrativo. ¿Cuál es la probabilidad que la encuesta haya pronosticado a “x” como no lucrativo? Solución: Sean las encuestas: P: el producto X fue pronosticado como lucrativo L: el producto X resultó lucrativo −

Ω = P∪P

L

EG

0.70

P 0.90

L

0.30

0.20

L

0.10

EG

P 0.80

L

−

−

P( L) = P( P) P( L / P) + P ( P) P( L / P )

= (0.90)(0.70)+(0.10)(0.20) = 0.65 − −

−

P ( P / L) = P ( P )

P ( L / P ) P ( L)

=

(0.10)(0.20) 0.65

=

2 65

Ejercicio 13: Supongamos que la ciencia medica ha desarrollado una prueba, para el diagnostico del cáncer, que tiene el 95% de exactitud tanto en los que tienen cáncer como entre los que no lo tienen. Si 0.005 de la población realmente




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tiene cáncer, calcular la probabilidad que determinado individuo tenga cáncer, si la prueba dice que tiene. Solución: Definir los siguientes eventos: C: la persona examinada realmente tiene cáncer D: el diagnostico dice la persona examinada tiene cáncer −

Ω = C ∪ C

P(D/C) = 0.95 −

D P( − ) = O.95 C

0.95

C

CD

C 0.005

D

0.05 D

0.995

CD

C 0.95 D

−

−

P( D) = P(C ) P ( D / C ) + P (C ) P ( D / C )

= (0.005)(0.95)+(0.995)(0.005) =0.0545

P(D/C)=

(0.005)(0.95) 0.0545

= 0.087

Ejercicio 17: Sean A Y B 2 eventos independientes, tales que la probabilidad que ocurran simultáneamente es de 1/6 y la probabilidad que ninguno ocurra es de 1/3. Encuentre P [A] Y [B]. Solución:




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n P = ( I Ai) = n p( Ai) π i=1 i=1 Solución: AY B son independientes P (∩ B ) = 16 −

−

P( A∩ B) = 1 / 3 P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) = 1 / 3 −

−

−

−

P( A∩ B ) = P( A) P( B ) = 〈1 − P( A)〉〈1 − P( B)〉

1/3 =1-P(A) - P(B) +P(A) P(B) P (A)+ P(B) = 5/6 P(B) = 5/6 – P(A) P ( A) = 〈

5 6

− P ( A)〉 =

1 3

2

3/6 P (A) – P(A) = 1/3 P (A)2 – 5/6 P(A) + 1/3

1). P(A) = 1/2

P(B) =1/3

2). P (A) = 1/3

P(B) = 1/2

Eercicio 18: Un tirador acierta el 80% de sus disparos y otro (en las mismas condiciones de tiro), el 70%. ¿Cuál es la probabilidad de dar en el blanco cuando ambos tiradores disparan sobre el simultáneamente? Se considera que se ha dado en el blanco cuando por lo menos, una de las 2 balas ha hecho impacto en el. Solución: Diferentes eventos: B: el tirador “i” acierta en el blanco P (B1) = 0.80 P (B2) = 0.70 P( B1 ∪ B2 ) = P( B1 ) + P( B2 ) − P( B1 ∩ B2 )

= ( B1 ) + P( B2 ) − P( B1 ) P( B2 )




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= (0.80)+ (0.70)-(0.80)(0.70) = 0.94

Ejercico 21: Durante el primer año de uso un amplificador de radio puede repetir 3 tipos de reparaciones y las probabilidades correspondientes son 0.05 , 0.04 y 0.02 ¿ cual es la probabilidad que un amplificador seleccionado al azar requiera reparación durante su primer año de uso? cada tipo de reparación es independiente de los 2. Solución: E: el amplificador requiere reparación tipo i, i = 1,2……. E. el amplificador seleccionado requiere reparación P( E 1 ∪ E 2 ∪ E 3 )

=

P( E 1 ) + P( E 2 ) + P( E 3 )

= P( E 1 ∩ E 2 ) − P( E 1 ∩ E 3 ) = P( E 2 ∩ E 3 ) + ( P( E 1 ∩ E 2 ∩ E 3 )

= 0.05 + 0.04 + 0.02 - (0.05)(0.04) - (0.04 )(0.02)-(0.05) (0.02) = 0.10624 + (0.05) (0.04)(0.02) = 0.10628

Ejercicio 22: La probabilidad que falle un motor de un avión es 0.10 ¿ con cuantos motores debe estar equipado un avión para tener una seguridad de 0.999 de que el avión vuele? ( supóngase que es suficiente que un motor funciones para que el avión se mantenga en vuelo). Solución: Mi: el motor i funciona perfectamente i = 1,2 …………n A: el avión se mantiene en vuelo A: µ n Mi P(A) =0.999 P (µn Mi) = 1-

π

n

P(Mi)

0.999 = 1- (PM1) P (M2)……………….P(Mn) 0.999 = (0.1) (0.1) …………………….(0.1) 0.999 = 1-(0.1) n (0.1)n = 0.001 n=3

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