Estadistica Basica UnADM

Estadística básica Programa desarrollado

Primer cuatrimestre

Programa de la asignatura: Estadística básica

Clave:

ESAD Noviembre, 2010

Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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Índice

I.

Información general de la asignatura

3

A. Ficha de identificación B. Descripción C. Propósito II.

Competencia a desarrollar

5

III.

Temario

5

IV.

Metodología de trabajo

6

V.

Evaluación

7

VI.

Material de apoyo

8

VII.

Desarrollo de contenidos por unidad

9

Unidad 1. Fundamentos de estadística

9

Unidad 2. Representación numérica y gráfica de datos

21

Unidad 3. Medidas de tendencia central y dispersión

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Índice

I.

Información general de la asignatura

3

A. Ficha de identificación B. Descripción C. Propósito II.

Competencia a desarrollar

5

III.

Temario

5

IV.

Metodología de trabajo

6

V.

Evaluación

7

VI.

Material de apoyo

8

VII.

Desarrollo de contenidos por unidad

9

Unidad 1. Fundamentos de estadística

9

Unidad 2. Representación numérica y gráfica de datos

21

Unidad 3. Medidas de tendencia central y dispersión

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I. Información general de la asignatura A. Ficha de identificación Nombre de la Licenciatura o Ingeniería: Nombre del curso o asignatura Clave de asignatura: Seriación: Cuatrimestre: Horas contempladas:

Tronco común Estadística básica Sin seriación Primero 90

B. Descripción En un mundo cada vez más competitivo, tanto en las áreas comerciales, financieras, tecnológicas y científicas, y donde invariablemente el flujo de información es mayor a cada momento, se hace indispensable no sólo la correcta descripción de los datos sino también su análisis e interpretación. Es aquí donde la estadística juega un papel preponderante, al ser una de las herramientas más poderosas para comprender la variabilidad inherente a los datos observados y se constituye como la mejor herramienta para la toma de decisiones. La diversidad de conocimientos, habilidades, actitudes, creencias y valores, requeridos en cada una de las carreras que ofrece la ESAD, hace necesaria la conformación de un tronco básico que, por un lado, garantice la formación integral en los atributos generales deseables de los estudiantes, y por el otro, derive, de manera natural, en los atributos particulares necesarios para cada disciplina de estudio. El tronco básico se conforma de varias asignaturas comunes que promueven, por un lado, la formación integral de los estudiantes, integrando asignaturas de distintas áreas del conocimiento, y por otro lado, desarrollan en el estudiante competencias transversales necesarias para la investigación, el análisis crítico, el manejo y la sistematización de información y datos, así como una serie de valores que le permitan conducirse con ética y responsabilidad durante su trayectoria académica y su desempeño profesional. Las materias que forman el tronco básico son: Contexto socioeconómico de México, Desarrollo humano, Estadística básica y Fundamentos de investigación; estas materias a simple vista parecen desarticuladas, pero se interrelacionan para contribuir a la formación integral de los estudiantes.


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En relación al tronco básico la asignatura Estadística básica tiene varios propósitos, pues pretende despertar en el estudiante el interés por la investigación para la toma de decisiones, la solución de problemas y el análisis de situaciones y eventos relacionados con el entorno académico, profesional, personal y social, rigiéndose en todo momento por un código de ética profesional y personal. Los propósitos de la asignatura en relación al tronco básico son que los estudiantes: 1. Adquieran la capacidad de lectura e interpretación interpretaci ón de tablas y gráficos estadísticos que con frecuencia aparecen en diferentes medios. 2. Lleguen a comprender y apreciar el papel de la estadística en la sociedad, incluyendo sus diferentes campos de aplicación y el modo en que la estadística ha contribuido a su desarrollo. 3. Identifiquen, dentro del contexto contexto socioeconómico mexicano, la importancia importanci a y utilidad de los análisis estadísticos para la toma de decisiones. 4. Se conduzcan de manera ética y responsable en el manejo y análisis de la información. De manera particular, la materia pone especial énfasis en el enfoque práctico del material y los contenidos que se presentan, tratando siempre de relacionar los conceptos, técnicas y casos de estudio con el quehacer cotidiano de las diferentes disciplinas, esperando despertar en los estudiantes el deseo de adentrarse cada vez más a la teoría de la probabilidad y estadística, al ver lo importante que resulta su utilización en las diferentes áreas de trabajo. La asignatura consta de cuatro unidades. En la primera unidad se estudian los fundamentos de la estadística, en la segunda las técnicas para representación gráfica y numérica de datos, en la tercera se abordan los conceptos básicos de la teoría de probabilidad como una medida del riesgo frente a la incertidumbre en experimentos aleatorios y la última unidad presenta el concepto de variables aleatorias y los modelos de probabilidad Binomial, Poisson y Normal.

C. Propósito La asignatura tiene como propósito introducir al estudiante con los conceptos y técnicas básicas de la estadística aplicada a la licenciatura e ingeniería. El curso tiene un nivel matemático elemental, con la intención de que el estudiante comprenda la metodología y su aplicación, y no tanto la teoría matemática detrás de ella.


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II. Competencia a desarrollar 2.1. Competencia general Utiliza la estadística descriptiva para el análisis de información a través de la recolección, representación y la descripción de datos.

III. Temario 1. Fundamentos de la estadística 1.1. Introducción a la estadística 1.1.1. División de la estadística 1.2. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.2.5. 1.2.6. 1.2.7.

Conceptos básicos e importancia de estadística Población Individuo Muestra Muestreo Dato Variable Solución de un problema estadístico

1.3. Muestreo aleatorio 1.3.1. Conceptos básicos de muestreo aleatorio 1.3.2. Metodología del muestreo aleatorio simple 2. Representación numérica y gráfica de datos 2.1. 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.1.4. 2.1.5. 2.1.6. 2.1.7.

Organización de datos y distribución de frecuencias Frecuencias Intervalos Construcción de intervalos de clase Tablas de datos Tablas de frecuencias Tablas por intervalos de clase Tablas de doble entrada

2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3.

Representación gráfica de datos Histograma Gráfica de barras Gráfica de líneas


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2.2.4. Gráfica de área o de pastel 3. Medidas de tendencia central y dispersión 3.1. 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3.

Medidas de tendencia central Media aritmética Mediana Moda

3.2. 3.2.1. 3.2.2. 3.2.3.

Medidas de dispersión Recorrido Varianza Desviación típica o estándar

IV. Metodología de Trabajo Para el logro de la competencia, es fundamental que los conceptos y procedimientos presentados se ejerciten todo el tiempo, pues esperamos que los contenidos no sólo se comprendan sino que se apliquen en la solución de problemas que tengan que ver con situaciones que los estudiantes pueden enfrentar en su trayectoria académica y profesional. Por lo anterior, las estrategias metodológicas de enseñanza-aprendizaje son, por un lado, el planteamiento de ejercicios y problemas tipo, de cada uno de los procedimientos que se abordan durante el curso, esto con el objetivo de que los estudiantes ejerciten en el uso, aplicación y manejo de formulas y contenidos procedimentales. Por otro lado, los facilitadores de la asignatura tendrán que orientar la aplicación de cada uno de estos procedimientos a las áreas específicas de interés de los estudiantes; es decir, dentro de la asignatura se trabajan los contenidos de manera aislada y los facilitadores tendrán que ejemplificar y presentar casos y situaciones aplicables en las diferentes carreras, que complementen los ejercicios que se están planteando. Como estrategia de evaluación se utiliza un proyecto integrador, donde el estudiante haga uso de todo lo que se trabajó en el curso. A lo largo del curso, se les presentarán a los estudiantes varias autoevaluaciones de carácter lúdico, esto con el fin de que puedan observar e identificar cuáles son sus avances y las dificultades que presentan en el aprendizaje de los temas. Estas autoevaluaciones contarán con una retroalimentación que sirva para reforzar los temas que se evalúan. El facilitador juega un papel muy importante dentro del curso, pues se espera que sea quien dirija y oriente todo el proceso de aprendizaje. Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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Deberá diseñar estrategias que propicien un aprendizaje verdaderamente significativo, facilitando la comprensión del contenido y relacionando éste con los conocimientos previos del estudiante así como con sus áreas específicas de estudio, a través del estudio casos y problemas relacionados con el hacer cotidiano donde los estudiantes puedan aplicar y ejercitar lo aprendido. Además de ser quien oriente las discusiones y sesiones de trabajo que se plantean en los espacios de aprendizaje colaborativo.

V. Evaluación En el marco del Programa de la ESAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso participativo, sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al aula virtual. Por lo que se le considera desde un enfoque integral y continuo.

Por lo anterior, para aprobar la asignatura, se espera la participación responsable y activa del estudiante así como una comunicación estrecha con su facilitador para que pueda evaluar objetivamente su desempeño. Para lo cual es necesaria la recolección de evidencias que permitan apreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales.

En este contexto la evaluación es parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentación permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias así como la participación en foros y demás actividades programadas en cada una de las unidades, y conforme a las indicaciones dadas. La calificación se asignará de acuerdo con la rúbrica establecida para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes realizarla.

A lo largo de la asignatura encontrarás autoevaluaciones, que te servirán de ejercitación y práctica, su realización te preparará para resolver el examen final de la asignatura. Dicho examen se presenta al concluir el estudio de todas las unidades temáticas que integran la asignatura.

A continuación presentamos el esquema general de evaluación.


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Esquema de Evaluación Foros y base de datos

10%

Taller y tareas

30%

E-portafolio. 50%

Evidencias

40%

Autorreflexiones

10%

Examen final

10%

Calificación Final

100%

Cabe señalar que para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínima indicada por la ESAD.

VI. Material de apoyo Bibliografía básica: 



Douglas C. Montgomery, George C. Runger (2007). Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería . Cuarta Edición. México: McGraw-Hill. Walpole Ronald E., Myers Raymond H. (2007). Probabilidad y Estadística para Ingenieros. Octava Edición. México: Editorial Pearson.

Bibliografía complementaria: 

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Wackerly Dennis D., Mendenhall William III, Scheaffer, Richard L. (2010). Estadística Matemática con Aplicaciones . Séptima Edición. México: Cengage Learning. Ferris Ritchey. (2008). Estadística aplicada a las ciencias sociales . Segunda Edición. México: Mc Graw Hill. Douglas L., William M., Samuel W. (2008). Estadística aplicada a los negocios y la economía . Decimotercera Edición. México: Mc Graw Hill. Castillo Manrique, Isabel (2006). Estadística descriptiva y cálculo de probabilidades , Primera Edición. Pearson Education de México.


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VII. Desarrollo de contenidos por unidad Unidad 1. Fundamentos de la estadística Propósitos En esta unidad: Identificarás los conceptos básicos relacionados con la Estadística. Reconocerás la utilidad e importancia de la Estadística. Aplicarás el procedimiento para obtener una muestra aleatoria simple.   

Competencia específica Aplica la metodología estadística para obtener información de una muestra aleatoria simple, identificando los elementos que intervienen en un problema estadístico. Introducción La palabra estadística a menudo te remite a gráficas y tablas; cifras relativas a nacimientos, muertes, impuestos, demografía, ingresos, deudas, créditos, etc. No obstante, para aprovechar las herramientas de análisis estadístico, es necesario comprender qué representa cada concepto y la metodología mediante la cual se obtiene un dato estadístico.


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En esta unidad se hablará sobre la importancia de la estadística, conocerás sus conceptos básicos, así como la metodología del muestreo para que al final, obtengas una muestra aleatoria simple.

1.1. Introducción a la estadística La estadística es la ciencia cuyo objetivo es reunir información cuantitativa relacionada a individuos, grupos, series de hechos, entre otros. Gracias al análisis de estos datos se pueden deducir algunos significados precisos o algunas previsiones para el futuro. La estadística, en general, es la ciencia que trata la recopilación, la organización, la presentación, el análisis y la interpretación de datos numéricos con el fin de realizar una toma de decisiones más efectiva. Los estudiantes confunden comúnmente los demás términos asociados con las Estadísticas, una confusión que es conveniente aclarar debido a que esta palabra tiene tres significados: la palabra estadística, en primer término se usa para referirse a la información estadística descripción de parámetros; también se utiliza para referirse al conjunto de técnicas y métodos que se utilizan para analizar la información estadística; y el término estadístico, en singular y en masculino, se refiere a una medida derivada de una muestra. Utilidad e importancia La estadística resulta muy útil no sólo para recopilar y describir datos, sino también para interpretar la información obtenida, que puede ser aprovechada para demostrar la evolución de un fenómeno a través de cierto tiempo. En México, el Instituto Nacional de Estadística y Geografía (INEGI) se encarga de recabar información estadística y geográfica de todo el país, en diferentes áreas y contextos. Los datos que publica sirven para dar a conocer a cualquier persona la situación en la que se encuentra el área de donde se obtuvo la información. Los métodos estadísticos se utilizan prácticamente en investigaciones de todas las áreas de conocimiento; tanto en el ámbito académico, como en el profesional y laboral, en todos ellos la finalidad es poder resolver un problema - entendiendo que un problema queda definido como la diferencia entre lo real y lo deseado –, en donde la estadística muestra a la realidad para que el investigador pueda analizar sus deseos y con ello tomar una decisión. 1.1.1. División de la estadística La Estadística para su mejor estudio se ha dividido en dos grandes ramas: la Estadística Descriptiva y la Inferencial. Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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Estadística Descriptiva: La función descriptiva de la estadística se enfoca en la presentación y clasificación de los datos obtenidos de la población que se analiza. Estadística Inferencial: Esta aplicación de la estadística busca plantear y resolver problemas específicos y/o hacer previsiones a partir de los datos de una muestra, dado que es muy difícil estudiar a la población completa.

La estadística descriptiva describe datos.

La estadística inferencial infiere con esos datos, entendiendo inferir como la estimación de un resultado.

1.2. Conceptos básicos e importancia de la estadística 1.2.1. Población Conjunto de todos los elementos que permiten resolver un problema y que presentan una característica común determinada, observable y medible. Por ejemplo, si el elemento es una persona, se pueden estudiar las características edad, peso, nacionalidad, sexo, etc. Los elementos que integran una población pueden corresponder a personas, objetos o grupos (por ejemplo, familias, las manzanas de una cosecha, empleados de una empresa, etc.). 1.2.2. Individuo Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población. Nota que un individuo en estadística puede ser distinto a un individuo como persona. Por ejemplo, en los censos económicos se obtienen datos de los negocios. En este caso cada negocio, que está formado por varias personas, es un individuo de la población. 1.2.3. Muestra Cuando es difícil estudiar la población debido a su gran tamaño o que provenga de un proceso que no se detiene (como la producción de un bien), se debe analizar un subconjunto o parte de esta que la represente, llamado muestra, partiendo del supuesto de que este subconjunto presenta el mismo comportamiento y características que la población. En general el tamaño de la muestra es mucho menor al tamaño de la población. Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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1.2.4. Muestreo Es el proceso de recabar los datos que se desean analizar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población. 1.2.5. Dato El dato es cada uno de los valores que se han obtenido al realizar un estudio estadístico. Por ejemplo: Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz. 1.2.6. Variable Se llama variable a una característica que se observa en una población o muestra, y a la cual se desea estudiar. La variable puede tomar diferentes valores dependiendo de cada individuo. Las variables se pueden clasificar en cuantitativas y cualitativas:

a) Variable cuantitativa: se expresa en valores numéricos. Dentro de ella, se subdividen en: Discreta: Se tratan de variables expresadas con valores enteros. Ej. N° de hijos de una familia, n° de alumnos de un curso. Continua: son valores que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Ej. Peso, estatura, sueldos. 

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b) Variable cualitativa: es aquella que describe cualidades. No son numéricas y se subdividen en: Nominal: son variables presentadas sin orden ni jerarquía. Ej. Estado civil, preferencia por una marca, sexo, lugar de residencia. Ordinal: son variables organizadas de acuerdo con una clasificación. Ej. grado de estudios, días de la semana, calidad de la atención, nivel socioeconómico. 

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1.2.7. Solución de un problema estadístico La solución de un problema estadístico comprende los siguientes pasos: a) Planteamiento del problema En el planteamiento se define si se requiere de una muestra o es posible estudiar la población, las características a estudiar (las variables), si es necesario establecer una hipótesis, etc. En este punto también se analizan los medios de los que se dispone y el procedimiento a seguir. b) Elaboración de un modelo Se establece un modelo teórico de comportamiento de las variables de estudio. En ocasiones no es posible diseñar el modelo hasta realizar un estudio previo. Los posibles modelos son Normal, Binomial, Poisson, Uniforme, Cuando es difícil estudiar la población debido a su gran tamaño o que provenga de un proceso que no se detiene (como la producción de un bien) , se debe analizar un subconjunto o parte de esta que la represente, etc. c) Extracción de la muestra Se usa alguna técnica de muestreo o un diseño experimental para obtener información de una pequeña parte de la población. d) Tratamiento de los datos En esta fase se eliminan posibles errores, se depura la muestra, se tabulan los datos y se calculan los valores que serán necesarios en pasos posteriores, como la media Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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y la varianza de la muestra. Los métodos de esta etapa corresponden a los métodos de la estadística descriptiva. Algunas de las etapas de esta fase son: recopilación, clasificación y presentación de la información. e) Estimación de los parámetros La estadística inferencial nos proporciona herramientas para la predicción o estimación de los parámetros de la población que nos ayudarán a resolver el problema. Un ejemplo de estas herramientas son las pruebas de hipótesis que se obtienen del análisis de los datos y los intervalos de confianza.

1.3. Muestreo aleatorio Introducción Los estudios estadísticos normalmente se hacen con una parte de la población, ya que realizarlos sobre la totalidad resultaría demasiado complicado. Para que la información obtenida tenga validez y confiabilidad es necesario que la muestra cumpla con ciertas condiciones específicas, relacionadas con el método para determinar el tamaño y características de la muestra y los individuos que la componen. 1.3.1. Conceptos básicos de muestreo aleatorio Para que la información obtenida tenga validez y confiabilidad es necesario que cumpla con algunas condiciones específicas. Los métodos de muestreo se pueden clasificar en: 

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Muestreo probabilístico: en él, todos los elementos de una población y, por lo tanto, todas las muestras posibles tienen la misma posibilidad de ser elegidas. Las muestras obtenidas a través de este tipo de muestreo son confiables porque aseguran la condición de representatividad que es muy importante para hacer generalizaciones. Muestreo no probabilístico: en este tipo de muestreo los elementos de la población no comparten las mismas posibilidades de ser seleccionados. Las muestras obtenidas no cumplen con la condición de representatividad, por lo que no es confiable hacer generalizaciones a toda la población.

1.3.2. Metodología del muestreo aleatorio simple Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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1. Definir la población de estudio y el parámetro a estudiar. Recordemos que la población es el grupo formado por el conjunto total de individuos, objetos o medidas que poseen algunas características comunes observables en un lugar y en un momento determinado. Por lo tanto, el paso 1 es determinar el que se va a estudiar. Por ejemplo: Un investigador realiza un estudio sobre las relaciones de género en el noviazgo, su objeto de estudio es las manifestaciones de violencia física y psicológica entre los estudiantes del último año de la carrera de química. Su población es el total de estudiantes del último año de ingeniería química que tengan novio o novia; el total de individuos con esta característica es de 386 en este ejemplo. Por lo que, la población es de 386 individuos y las variables son: violencia física y violencia psicológica.

2. Enumerar a todas las unidades de análisis que integran la población, asignándoles un número de identidad o identificación. Una vez que hemos definido nuestra población y las variables a estudiar, es necesario asignar un número de identificación a cada individuo de la población. Siguiendo con el ejemplo de la relaciones de género en el noviazgo en los estudiantes de química, lo que sigue es numerar a los 386 estudiantes un número del 1 al 386. 3. Determinar el tamaño de la población, determinar el porcentaje de error y el porcentaje de confianza y obtener una muestra preliminar. Para calcular el tamaño de una muestra hay que tomar en cuenta tres factores: a) El porcentaje de confianza con el cual se quiere generalizar los datos desde la muestra hacia la población total. b) El porcentaje de error que se pretende aceptar al momento de hacer la generalización. c) El nivel de variabilidad que se calcula para comprobar la hipótesis.Veamos en qué consiste cada concepto: 



Definir el tamaño de la población: Significa determinar el número de individuos que la constituyen; la variable N representa el tamaño de la población. Esto es, N=X. Porcentaje de confianza: Es el grado o nivel de seguridad que existe para generalizar los resultados obtenidos. Esto quiere decir que un porcentaje del 100% equivale a decir


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que no existe ninguna duda para generalizar tales resultados, pero también implica estudiar a la totalidad de los casos de la población. Para evitar un costo muy alto se busca un porcentaje de confianza menor, comúnmente es un 95%. El nivel de confianza es la probabilidad que establecemos (sin hacer ningún cálculo) para poder acertar al valor verdadero de la población. Este dato se obtiene a partir de la distribución normal estándar (esto se considerará en la unidad 4). Porcentaje de error: Este error es una distancia alrededor del valor que deseamos estimar y nos da un margen de aproximación. Al igual que en el caso de la confianza, si se quiere eliminar el riesgo del error y considerarlo como 0%, entonces la muestra es del mismo tamaño que la población, por lo que conviene correr un cierto riesgo de equivocarse. Comúnmente se aceptan entre el 4% y el 6% como error, tomando en cuenta de que no son complementarios la confianza y el error.



Variabilidad: Es la probabilidad (o porcentaje) con el que se aceptó y se rechazó la hipótesis que se quiere comprobar. El porcentaje con que se aceptó tal hipótesis se denomina variabilidad positiva y se indica con p (también llamada probabilidad de éxito), y el porcentaje con el que se rechazó la hipótesis es la variabilidad negativa, identificada por q (también llamada probabilidad de fracaso y se obtiene 1-p). Variabilidad positiva = p = a la probabilidad de que suceda el evento.



Variabilidad negativa = q = a la probabilidad de que no suceda el evento. 4.

Determinar el tamaño óptimo de muestra para el estudio. Una vez que la población, el porcentaje de confianza, el porcentaje de error y el nivel de variabilidad han sido determinados, se debe determinar el tamaño de la muestra. En este paso, se utiliza cualquiera de las siguientes fórmulas. El uso de una u otra depende de si se conoce o no el tamaño de la población. Para cuando no se conoce el tamaño de la población:

n es el tamaño de la muestra Z es el nivel de confianza p es la variabilidad positiva q es la variabilidad negativa E es la precisión o error

Ejemplo: Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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En un lote grande de medicinas, se desea verificar que la proporción de los ingredientes activos sea el adecuado. Se debe determinar el tamaño de la muestra para un nivel de confianza del 95% con un error del 5%. Supongamos que la variabilidad p=q=0.5. Solución: Para el nivel de confianza sea igual al 95%, tenemos que P(Z)=0.95 si Z=1.96. Debido a que la variabilidad y el error se pueden expresar por medio de porcentajes, en el caso necesario, hay que convertir esos valores a proporciones. Sustituyendo:

Es decir, se ocupará una muestra de aproximadamente 384 unidades.

Para cuando se conoce el tamaño de la población:

n es el tamaño de la muestra Z es el nivel de confianza p es la variabilidad positiva q es la variabilidad negativa N es el tamaño de la población E es la precisión o error

Ejemplo: En un lote de 25,000 cajas de medicina, se desea verificar que la proporción de los ingredientes activos sea el adecuado. Se debe determinar el tamaño de la muestra para un nivel de confianza del 95% con un error del 5%. Supongamos que la variabilidad p=q=0.5. Solución: Para el nivel de confianza sea igual al 95%, tenemos que p(Z)=0.95 si Z=1.96. Sustituyendo:


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En otras palabras, se ocupará una muestra de aproximadamente 378 cajas.

5.

Seleccionar la muestra usando números aleatorios. El último paso para obtener la muestra es saber qué individuos específicos de la población se tomarán. Para hacer esto debemos:

1. Numerar a los individuos de la población del 1 a N (donde N es el tamaño de la población).

2. Generar números aleatorios mediante programas computaciones (por ejemplo, Excel con la función “=aleatorio ()” ), funciones en calculadora o bien utilizando tablas de

números aleatorios. También puedes generar números aleatorios de formas mecánicas, por ejemplo, sacando números de una urna o lanzando una moneda al aire. 3. Tomar los individuos correspondientes a los números elegidos.

Nosotros nos enfocaremos únicamente en el uso de la tabla de números aleatorios. Procedimiento para utilizar las Tablas de Números aleatorios: Se selecciona el bloque, el renglón y la columna de la tabla. Partiendo de esta selección, se toman tantas columnas como dígitos tenga la población (N). Comenzando por el primer número de las columnas, s- e incluirán en la muestra aquellos individuos que en la lista de la población ocupen la posición de los “n“ números de las columnas

seleccionadas, siempre que sean menores que N. Si el número seleccionado en la tabla es mayor que N lo pasamos por alto y seguimos hasta tener la muestra total. Ejemplo: Suponga que tenemos la siguiente tabla de 100 datos, numerados del 00-99. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 61 21 15 68 79 63 81 84 73 28 1 78 73 10 4 40 20 87 1 46 84 2 83 26 21 49 30 71 69 45 25 29 Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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3 4 5 6 7 8 9

64 29 79 93 58 67 32

74 46 34 39 39 64 7

1 29 24 73 34 52 72

83 34 77 64 88 56 88

74 46 23 66 88 18 48

98 38 1 93 33 51 28

24 25 44 92 5 30 30

25 23 31 61 79 16 22

91 81 29 25 58 68 74

65 17 99 69 51 29 39

Selecciona una muestra aleatoria de 7 números.

En la figura anterior tenemos una tabla de números aleatorios tomados de este documento (http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/aarribas/esp/docs/NumerosAleatorios.pdf), seleccionemos una fila al azar, suponga la fila 5, y separamos los números de 2 en 2, tendríamos entonces la siguiente serie de 7 números: 65 03 83 69 67 67 43 54 49 27 82 50 15 06 etc. Esto significa que nuestra muestra aleatoria deberá contener esos individuos, en el caso de 67 que se repite, solo lo consideramos una vez y pasamos al siguiente número. (En algunas calculadoras existe la función RAN# que nos proporciona también números aleatorios, en esta basta con poner en la calculadora el número de muestras + (Tecla SHIFT) + RAN# y cada vez que presionemos la tecla (=) nos dará un numero aleatorio, si solo queremos la parte entera, ignoramos al decimal). Tendríamos la siguiente tabla:


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Número aleatorio 65 03 83 69 67 43 54 49 27 82

Individuo de la muestra 93 68 56 69 61 34 23 17 45 52

Por lo que nuestra muestra quedaría con los valores 93, 68, 56, 69, 61, 34, 23, 17 ,45 , 52.

Consideraciones específicas de la unidad En esta unidad se trabajará con lecturas de apoyo y se resolverán problemas como ejercicios para reforzar el aprendizaje. Tendrás que participar en una encuesta con la cual se generará una base de datos, este material lo utilizarás a lo largo del curso para que elabores las evidencias de aprendizaje de cada unidad. Referencias: 1. --- Statistics. (2010). En Merriam-Webster Online Dictionary. Consultado el 8 de marzo de 2010 en: http://www.merriam-webster.com/dictionary/statistics 2. Borrego, Silvia (2008). “Estadística descriptiva e inferencial” en: Revista digital innovación y experiencias educativas 13 . Consultado el 10 de marzo de 2010 en: http://www.csicsif.es/andalucia/modules/mod_ense/revista/pdf/Numero_13/SILVIA_BORREGO_2.pdf 3. Castillo Manrique, Isabel (2006). Estadística descriptiva y cálculo de probabilidades . México: Pearson Educación. 4. Galbiati Riesco, Jorge M. (s/f). Conceptos Básicos de Estadística . Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Instituto de Estadística. Consultado el 01 de marzo de 2010 en: http://www.jorgegalbiati.cl/ejercicios_4/ConceptosBasicos.pdf Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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5. Jordi Casal, Enric Mateu (2003). “Tipos de muestreo ” en: Revista Epidem. Med. Prev . 1: 3-7. Consultado el 01 de marzo de 2010 en: http://minnie.uab.es/~veteri/21216/TiposMuestreo1.pdf 6. Larios Osorio, Víctor (1999). “Unidad 5. Teoría de muestreo”. Consultado el 12 de marzo de 2010 en: http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu5.html 7. Lind, Douglas; William Marchal y Samuel Wathen (2008). Estadística aplicada a los negocios y la economía. Decimotercera edición. México: McGraw-Hill. 8. Montgomery, Douglas C. y George C. Runger (1996). Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería . Cuarta edición. México: McGraw-Hill. 9. Ritchey, Ferris (2008). Estadística para las ciencias sociales . Segunda edición. México: McGraw-Hill. 10. Ruiz Muñoz, David (2004). Manual de estadística . Consultado el 09 de marzo de 2010 en: http://www.eumed.net/cursecon/libreria/drm/ped-drm-est.htm 11. Wackerly, Dennis D.; William Mendenhall III y Richard L. Scheaffer (2010). Estadística Matemática con Aplicaciones . Séptima edición. México: Cengage Learning. 12. Walpole Ronald E.; Raymond H. Myers, et al . (2007). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y ciencias . Octava Edición. México: Pearson Educación.

Unidad 2. Representación numérica y gráfica de datos Propósitos En esta unidad: Identificarás algunos conceptos que se utilizan en estadística descriptiva. Organizarás datos en diferentes tipos de tablas y elaborarás varios tipos de gráficas.  

Competencia específica Utiliza las técnicas de representación numérica y gráfica para representar información a través de la organización de los datos obtenidos de una muestra o población. Introducción En la unidad anterior vimos que existen dos grandes divisiones de la estadística: la que se dedica a la recolección, presentación y categorización de datos, llamada estadística descriptiva, y la que se dedica a realizar hipótesis en base a dichos datos, llamada inferencial. También Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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aprendimos a determinar el espacio de estudio, es decir la población, y las variables que se van a estudiar de acuerdo al problema planteado. En esta unidad estudiaremos la Estadística Descriptiva, y dentro de ella aprenderemos cómo organizar y presentar los datos que se obtienen de las muestras tomadas de nuestras poblaciones. Antes de comenzar con los temas, veamos de dónde y cómo se obtienen los datos que vamos a organizar. Cuando se realiza un trabajo que requiere de la estadística, las personas que realizan el trabajo diseñan sus instrumentos para recolectar la información y obtener los datos que necesitan. Existen muchos métodos para recolectar información, pero los más frecuentes son: Censos Es una técnica de recolección de datos que se aplica a la totalidad de los elementos que componen la población o universo que se estudia. Un censo debe cumplir dos condiciones: Universalidad: esto es, se debe tomar en cuanta a todos los elementos de la población. Simultaneidad: debe realizarse dentro de un periodo de tiempo limitado.

Encuesta Esta técnica se utiliza para recolectar información de una muestra de la población. Consiste en presentar un conjunto de preguntas abiertas (preguntas que no tienen respuestas predeterminadas) o cerradas (preguntas que cuentan con una serie de respuestas establecidas). Experimento Otra de las técnicas más recurridas en estadística para recolectar información son los experimentos, veamos en qué consisten. Un experimento es una prueba que se realiza para determinar las características o comportamientos de una cosa. Por ejemplo, experimentar mediante el sentido del gusto, qué alimentos nos parecen más salados. Un experimento, también se define como el proceso que se realiza para verificar una serie de hipótesis relacionadas con un determinado fenómeno, en el cual se determinan las características o comportamientos del fenómeno que se analiza. Por ejemplo, un experimento para determinar la velocidad de la luz en el vacío; donde se está determinando la velocidad de la luz. La diferencia entre la primera y la segunda definición es que en la segunda se parte de una hipótesis mientras que en la primera no necesariamente. Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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En el primer ejemplo, experimento los sabores de los alimentos sin antes predecir cuál pienso que me sabrá más salado. En el segundo ejemplo, mi hipótesis, a partir de estudios anteriores, es que la velocidad de la luz en el vacío es de 300 000 km/seg. Mi experimento verifica si esta hipótesis es cierta o no y en él cabe un margen de error experimental.

2.1. Organización de datos y distribución de frecuencias La descripción estadística organiza los datos y los presenta en forma de tablas y gráficas. Esta área sólo describe, resume, organiza y representa los datos obtenidos de una población o muestra de dicha población, sin elaborar inferencias ni obtener conclusiones. La organización de datos se realiza a través de tablas que se utilizan para simplificar la presentación y distribución de estos datos. A continuación veremos que existen diferentes tipos de presentación de datos y con base en ellos distintas clasificaciones de frecuencia, como: frecuencia relativa, frecuencia acumulada y frecuencia absoluta.

2.1.1. Frecuencias Dentro de los conceptos básicos para la organización de datos están los que conciernen a la frecuencia: 







Frecuencia: es el número de veces que se repite un dato, también se le conoce como frecuencia absoluta. Frecuencia acumulada: es la suma de las frecuencias absolutas de las variables hasta el renglón i. También es conocida como frecuencia absoluta acumulada. Frecuencia relativa: es el resultado de dividir la frecuencia entre el número total de datos (N ). Este dato también puede verse como un porcentaje. Frecuencia relativa acumulada: es la suma de las frecuencias relativas hasta el renglón i .

Podemos encontrar las frecuencias organizadas en tablas que estudiaremos más adelante. Por ahora veamos cómo se representan los tipos de frecuencia que vimos anteriormente, supongamos que tenemos la siguiente distribución de datos: 18, 41, 23, 47,18, 23, 23, 41, 41, 47, 47, 52, 23, 47, 23, 47, 18, 47, 7, 23, 18, 47, 52, 41, 52, 18, 23, 52, 7, 18, 52, 23. No. De

Datos

Frecuenci

Frecuencia

Otra forma


Frecuencia

Frecuencia 23


renglón (i )

obtenidos de la variable

1

7

f1= 2

2

18

f2= 6

3

23

f3= 8

4

41

f4= 4

5

47

f5= 7

6

52

f6= 5

Total

a

Acumulada

para obtener

Relativa

Relativa acumulada

fi

Fi

Fi

hi

Hi

f1=F1= 2

f1 = F1=2

f1+f2= F2= 8 f1+f2+f3= F3=16 f1+f2+f3+f4 = F4=20 f1+f2+f3+f4 +f5= F5=27 f1+f2+f3+f4 +f5+f6= F6=32

F1+f2=F2= 8 F2+f3=F3= 16 F3+f4=F4= 20 F4+f5=F5= 27

h1=f1/N=0.06 25 h2=f2/N=0.18 75 h3=f3/N=0.25 00 h4=f4/N=0.12 50 h5=f5/N=0.21 87

F5+f6=F6= 32

h6=f6/N=0.15 63

N=32

h1=H1=0.0625 h1+h2=H2=0.2500 h1+h2+h3=H3=0.5000 h1+h2+h3+h4=H4=0.6250 h1+h2+h3+h4+h5=H5=0.8430 h1+h2+h3+h4+h5+h6=H6=1.0 000

1.0000

2.1.2. Intervalos 





Intervalo o rango: Conjunto de números comprendidos entre otros dos números dados, conocidos estos últimos como límites del intervalo. Intervalo de clase: En estadística, se llama intervalo de clase a la expresión que nombra un intervalo. Amplitud del intervalo: Es la diferencia del límite superior menos el límite inferior (Ls Li).





Fronteras de clase: Son los puntos medios entre los límites de intervalos consecutivos. Las fronteras de clase se utilizan para recuperar los datos entre el límite superior de un intervalo y el límite inferior del siguiente. Marca de clase: Es el punto medio del intervalo y es el resultado de la suma de los límites inferior y superior del intervalo dividido entre 2. A la marca de clase también se le denomina punto medio de clase. Ejemplo de intervalos Veamos cómo se representan los conceptos relacionados con los intervalos. Dados los números 15 y 25, tendríamos que: El intervalo corresponde a todos los números que se encuentran entre el 15 y el 25. El intervalo de clase sería: 15-25


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Los límites del intervalo son: Límite inferior = 15 Límite superior = 25 La amplitud del intervalo 15-25 sería: 25 menos 15, es decir 10. Es recomendable que todos los intervalos tengan la misma amplitud. Para ello podemos restar el dato menor del dato mayor y dividir este resultado entre el número de intervalos que se deseen. La frontera de clase: si tomamos los intervalos 4-14, 15-25 y 26-36, las fronteras de clase serían: 3.5 y 14.5, para el primer intervalo, 14.5 y 25.5 para el segundo intervalo, por último, 25.5 y 36.5 para el tercer intervalo. La frontera de clase no debe coincidir con los datos límites del intervalo, porque sería complicado identificar el intervalo al que pertenece dicho dato. Ejemplo: Con en base las fronteras dadas se construyen los nuevos intervalos 3.5-14.5, 14.5-25.5 y 25.5-36.5. Si se tiene el dato 25.5 no se sabría si ponerlo en el segundo o en el tercer intervalo.

Si esta coincidencia sucede deberá moverse el intervalo. Siguiendo con el ejemplo, moviéndolo un punto a la izquierda tendríamos los intervalos 2.5-13.5, 13.5-24.5 y 24.5-35.5. La marca de clase del intervalo 15-25 es igual a:

Es recomendable que la marca del intervalo coincida con alguno de los datos. Esto no es necesario y no siempre se logra, sobre todo cuando los intervalos tienen la misma amplitud. 2.1.3. Construcción de intervalos de clase La formación de clases o intervalos de clase, que se representa con ( k), dependen, generalmente, del tamaño del rango de la población o muestra. Lo que se debe hacer para determinar los intervalos de clase es lo siguiente: 1. Calcular el rango: Para esto, se identifica el número mayor ( X n ) y el número menor ( X 1 ) en los datos. El rango es el resultado de la resta, esto es: Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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R= Xn – X1 Por ejemplo: Si en una serie de datos que van desde el 18 hasta el 56, tendríamos lo siguiente: Xn= 56 y X 1= 18, por lo tanto: R= Xn – X1= 56 – 18= 38 2. Determinar el número de intervalos que se desea tener: No existe una regla para determinar el número de intervalos, pero generalmente se suelen crear entre 5 y 20 intervalos. La decisión la toma el investigador. Siguiendo con nuestro ejemplo, diríamos que vamos a construir 7 intervalos. Entonces decimos que K=7. 3. Dividir el rango entre el número de intervalos que se desea tener: Recordemos que lo recomendable es elegir un número entre 5 y 20 para los intervalos. Dividimos entre uno menos de los intervalos deseados porque con el número de datos se acumula un intervalo más.

Siguiendo con el ejemplo, deseo 7, entonces:

Esta será la amplitud de los intervalos. Cuando no es un número entero, se escoge el entero más cercano, como en este caso, tomamos el rango igual a 5. Cuando la cantidad de datos es tal que no alcanza para acumular un intervalo más, entonces se divide entre el número de intervalos que se quieren. 4. Se forman los intervalos: Los intervalos se forman comenzando un número antes del primer dato: INTERVALOS: 17 a 22 (se cuenta 5 desde 18 hasta 22) 23 a 28 29 a 34 35 a 40 41 a 46 47 a 52 53 a 58 Nota: No importa que el último intervalo exceda el último dato. Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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Ejemplo de construcción de intervalos Veamos el siguiente ejemplo para la construcción de intervalos de clase. El director de una consultoría en desarrollo de software desea conocer el número de incidencias en sus desarrollos reportadas durante los meses de agosto y septiembre. Para ello pide a uno de sus empleados que le elabore un reporte, el empleado tiene los siguientes datos: 35, 24, 26, 23, 50, 20, 25, 56, 30, 30, 38, 36, 35, 29, 28, 30, 40, 39, 38, 40, 27, 24, 30, 32, 35, 27, 29, 22, 28, 27, 48, 40, 48, 31, 39, 28 46, 36, 37, 52, 44, 49, 52, 41, 31, 31, 56, 58, 38, 26, 25, 24, 60, 55, 48, 37, 31, 30, 22, 20. Vayamos paso por paso: 1. Calcular el rango: R= Xn – X1= 60-20=40 2. Determinar el número de intervalos entre 5 y 20: Elegimos 8 intervalos

3. Dividir el rango entre el número de intervalos:

4. Se forman los intervalos: Comenzamos por un número anterior al límite inferior: 19-24, 25-29, 30-35, 3640, 41-45, 46-50, 51-55, 56-60.

2.1.4. Tablas de datos Existen diferentes tipos de tablas para presentar los datos, las más utilizadas son: Tabla de datos, Tabla de frecuencias, Tabla por intervalos de clase y Tablas de doble entrada. Veamos en qué consiste cada una: Una tabla de datos es la forma más sencilla de organizar un conjunto de datos y se utiliza cuando la información que necesitamos son los datos mismos. Se organizan en columnas o renglones y se registran las mediciones o datos obtenidos. Ejemplo: Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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Supongamos que la medición de temperatura a lo largo del día da como resultado los siguientes valores en grados Celsius: 20.4, 21.2, 22.1, 23.9, 25.3, 26.9, 27.7. Entonces construimos una tabla como la siguiente: Temperatura (Celsius)

20.4 21.2 22.1 23.9 25.3 26.9 27.7

2.1.5 Tablas de frecuencias Esta nos aporta mayor información pues está formada por categorías de la variable que se esté midiendo y su frecuencia (es decir, el número de ocurrencias de un valor dado). Ejemplo: suponga que un experimento da los siguientes valores medidos: 1,2,2,2,1,1,5,4,3,2,2,1,3,4,5,6,2,3,4,5,5,4,3,3,2

Procedemos entonces a agrupar por categorías, según la frecuencia o número de veces que aparece cada medición: Valor de la Variable medida 1 2 3 4 5 6

Frecuencia 4 7 5 4 5 1

2.1.6. Tablas por intervalos de clase En este tipo de tablas los datos son presentados por intervalos de clase y no por los valores correspondientes a cada variable. Ejemplo:


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En una encuesta sobre el desempleo en el Área Metropolitana de la Ciudad de México, se organizan los datos por grupos de edades (intervalos de clase) y se presenta la frecuencia de cada intervalo, teniendo un total de 23,700 desempleados. Grupo de edad De 12 a 19 De 20 a 24 De 25 a 34 De 35 a 44 De 45 a 99

Frecuencia 9600 7100 3900 1500 1600

2.1.7. Tablas de doble entrada Estas tablas proporcionan información referente a dos variables o eventos relacionados entre sí. Se forma poniendo en los renglones de la tabla la información de una de las variables y en las columnas la información de la otra variable.

Ejemplo: Suponga que se miden el número de cirugías realizadas por edades en una muestra de 100 personas, encontrándose lo siguiente: Edades / No. de cirugías Menos de 2 cirugías Más de 2 cirugías 0-10 1 0 11-20 2 2 21-30 6 4 31-40 11 7 41-50 17 6 Más de 50 30 14

Una tabla cualquiera puede ser vista como una tabla de doble entrada, en la cual las variables relacionadas son los rangos contra el valor de las variables en dicho rango. Por ejemplo: Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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Supongamos que medimos la temperatura de un líquido con respecto al tiempo de calentamiento. En el renglón colocamos los tiempos y en las columnas la temperatura obtenida. Podríamos considerar la tabla como una tabla de frecuencias o como una tabla de doble entrada: Tiempo (min) 1-5 6-10 11-15

Temperatura (°C) 36 44 67

2.2. Representación gráfica de datos Introducción En el tema anterior presentamos diferentes formas de organizar o de tabular datos y vimos la distribución de frecuencias. Ahora veremos la representación gráfica de los datos. Las gráficas son representaciones visuales de los datos que se muestran en una tabla. Existen diferentes tipos de gráficas, cada una de ellas se elabora con base en el tipo de información que se quiere representar.

2.2.1. Histograma Histograma es la representación gráfica de una variable continua. Se elabora en un sistema de coordenadas rectangulares. 

 

El eje horizontal se utiliza para representar a la variable independiente, es decir, a la escala de medición o fronteras de clase. El eje vertical representa a la escala de frecuencias. Si los intervalos de clase tienen el mismo ancho, las alturas de las barras serán proporcionales a las frecuencias.

El histograma también proporciona visualmente el aspecto de la distribución y dispersión de las mediciones.

2.2.2. Gráfica de barras Este tipo de gráfica se utiliza para datos de tipo ordinal, nominal y discreto. En estas se muestran la frecuencia, la frecuencia relativa y el porcentaje por medio de la altura de la barra y Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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no por el área de la barra. Esta gráfica muestra las discontinuidades en las mediciones por medio de espacios vacios entre las barras. La gráfica de barras se traza sobre un eje de coordenadas. Y puede ser de dos formas: Barras verticales: •

•

En el eje horizontal se representan los valores de la variable. En el eje vertical se representa la frecuencia de cada clase.

Barras horizontales: •

•

En el eje horizontal se representan las frecuencias. En el eje vertical los valores de la variable.

Un histograma y una gráfica de barras son muy semejantes, la diferencia radica en que el histograma no presenta separación entre las barras.

2.2.3. Gráfica de líneas Una gráfica de líneas se construye también en un sistema coordenado rectangular, y muestra la relación entre las variables mediante puntos conectados por líneas continuas. La frecuencia de cada valor medido es representada por la altura del punto. En el eje horizontal se representa a la variable y en el eje vertical la frecuencia. Se determinan los puntos de corte del valor de la variable con su frecuencia y se unen, obteniéndose la gráfica de línea. 2.2.4. Gráfica de área o de pastel Una forma de representar datos u observaciones de una variable cualitativa es mediante un diagrama circular. Esta gráfica muestra la relación entre las variables dividiendo un círculo (o pastel) en sectores (o rebanadas). También se utilizan para representar la distribución de frecuencias, pero es el área de cada sector la proporcional a los valores medidos. Para trazar la gráfica, se hace una distribución proporcional de las frecuencias del problema con respecto a la circunferencia determinando sectores circulares para cada categoría. Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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Ejemplo: Considere la siguiente tabla de datos. Medición en cm 30 30.1 30.2 30.3 30.4 30.5 30.6 30.7 30.8 30.9

Frecuencia 3 7 12 18 23 21 17 11 5 1


Frecuencia acumulada 3 10 22 40 63 84 101 112 117 118

Porcentaje 3% 6% 10% 15% 19% 18% 14% 9% 4% 1%

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En esta figura se muestra el histograma de las mediciones en cm vs. frecuencia, note como el ancho de las clases es el mismo.

En la gráfica de pastel se muestra dentro de cada “rebanada” la medición en cm y el porcentaje que corresponde a la frecuencia relativa.

En esta figura se muestra la frecuencia acumulada mediante una gráfica de línea.


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Consideraciones específicas de la unidad En esta unidad se trabajará con dos problemas diferentes que permitirán practicar a elaboración de tablas de datos y gráficas, además de participar en un foro sobre el uso cotidiano de la estadística descriptiva. La evidencia de aprendizaje se generará a partir de la muestra que se obtuvo en la unidad uno. Consiste en la elaboración de tablas de datos y gráficas de diferentes tipos. Referencias: 1. Montgomery, Douglas C. y George C. Runger (1996). Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería . Cuarta edición. México: McGraw-Hill. 2. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers et al. (2007). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y ciencias . Octava edición. México: Pearson Educación. 3. Intervalos de clase . Consultado el 26 de abril de 2010 en: http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/odontologia/2002890/lecciones/estadistica_descrip tiva_2/estadistica_descriptiva_2.htm 4. Censo y entrevista . Consultados el 26 de abril de 2010 en: http://www.indec.gov.ar/proyectos/censo2001/maestros/quees/masinfo.doc. http://www.tec.url.edu.gt/boletin/URL_03_BAS01.pdf Para saber más: 5. Estadística y probabilidad . Consultado el 27 de abril de 2010 en: http://www.vitutor.com/estadistica.html

Unidad 3. Medidas de tendencia central y dispersión Propósitos En esta unidad: •

Aplicarás el procedimiento para obtener las medidas de tendencia central y dispersión en datos agrupados y no agrupado.

Competencia específica Utiliza las medidas de tendencia central y dispersión para describir un conjunto de datos mediante la representación numérica y gráfica de la información obtenida en una muestra o población. Introducción Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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Para cualquier conjunto de datos estudiados es importante tener información resumida de sus características. Esta información nos indica cómo se comporta la población de datos que tenemos. Para resumir la información se utilizan dos tipos de valores que en lugar de representar cada dato, representan conjuntos de datos. Estos dos tipos de indicadores estadísticos son: las medidas de tendencia central, que nos muestran hacia qué valores se agrupan o acumulan los datos, y las medidas de dispersión, que, de forma contraria a las anteriores, muestran cómo se dispersan o separan los datos. 3.1. Medidas de tendencia central Las medidas de tendencia central son los valores que representan un conjunto de datos de forma tal que nos ayudan a saber dónde están acumulados los datos pero sin indicar como se distribuyen. Se llaman así porque tienden a ubicarse en la parte central del conjunto de datos. Las medidas de tendencia central más comunes son: la media aritmética, comúnmente conocida como media o promedio, la mediana y la moda. 3.1.1. Media aritmética La media aritmética o, simplemente, media, se denota por ̅ o por la letra μ según se calcule en una muestra o en la población, respectivamente. La media es resultado de dividir la suma de todos los valores (xi) entre el número total de datos (N).

La fórmula para calcular la media de una distribución de datos, varía de acuerdo a la manera cómo los tenemos organizados. Fórmula para calcular la media en datos no agrupados Los datos no agrupados son aquellos datos que organizamos en una tabla de datos, es decir, cada valor se representa de manera individual. Las fórmulas para calcular la media son: En una población


En una muestra

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En estas fórmulas la diferencia radica en que, el total de la población se representa con la letra N y el total de la muestra se representa con la letra n. Fórmula para calcular la media en datos agrupados por frecuencias simples Los datos agrupados en frecuencias son aquellos que organizamos en una tabla de frecuencias, es decir, las tablas que contienen, en una columna, el valor de la variable (x i) y, en otra columna, la frecuencia (f i) o el número de veces que se repite cada valor en una serie de datos. Las fórmulas para calcular la media con los datos organizados de esta manera son: En una población

En una muestra

Fórmula para calcular la media en datos agrupados por intervalos Los datos agrupados en intervalos son aquellos que se organizan dentro de un rango establecido entre un límite inferior y un límite suprior. Recuerda que las tablas de intervalos muestran el número de datos que abarca cada intervalo (frecuencia por intervalo). Las fórmulas para calcular la media con los datos organizados de esta manera son:

En una población


En una muestra

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3.1.2. Mediana La mediana es el valor que divide a la mitad la serie de datos que se tienen. Es decir, la mediana queda en medio de todos los datos cuando los acomodas ya sea en orden creciente o decreciente, entonces, el número de datos que queda a la izquierda de la mediana es igual al número de datos que queda a la derecha. Si n es impar hay un dato que queda en medio de todos, éste será igual a la mediana. Si n es par hay dos datos que quedan en medio de todos, en este caso la mediana es el promedio de esos dos datos, es decir, su suma dividida entre dos. Para cuando la cantidad de valores de la distribución es impar: 1. Ordenamos los valores de menor a mayor. 2. Buscamos el valor del centro. Por ejemplo: Supongamos que tenemos los siguientes valores: 2, 4, 0, 8, 6, 4, 7, 1, 1, 0, 8, 6, 9 1. Ordenamos: 0, 0, 1, 1, 2, 4, 4, 6, 6, 7, 8, 8, 9

2. El dato que divide a la mitad es: 4, por lo tanto Me: 4 Para cuando la cantidad de valores es impar: 1. Ordenamos los valores de menor a mayor. 2. Buscamos los valores del centro. 3. Promediamos los valores del centro. Por ejemplo: Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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Supongamos que tenemos los siguientes valores: 5, 7, 2, 3, 1, 6, 9, 8, 6, 4, 7, 1, 3, 2 1. Ordenamos 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9 2. Buscamos los datos del centro: 4, 5 3. Promediamos:

, por lo tanto Me: 4.5 Mediana en datos agrupados por intervalos Cuando queremos calcular la mediana en datos agrupados por intervalos, tenemos que buscar el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas, es decir, es necesario localizar el intervalo donde se encuentre , ocupamos siguiente fórmula:

En donde: Li = Límite inferior del renglón en donde debe estar la mediana Fi-1 = Frecuencia acumulada anterior al renglón de la mediana f i = frecuencia del renglón de la mediana ai = tamaño del intervalo 3.1.3. Moda La moda es el valor del dato que más veces se repite, esto es, el valor cuya frecuencia absoluta es mayor, y se denota como Mo. Algunas veces el valor que más se repite puede no ser único, es decir, puede haber dos o más datos que aparezcan con la misma frecuencia absoluta, siendo ésta la mayor. En esas ocasiones podemos hablar de poblaciones o muestras bimodales si existen dos modas o multimodales si existen más de dos. Por ejemplo si tomamos una muestra de hombres y mujeres y medimos sus estaturas tendremos dos modas. Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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Cuando nuestra distribución de datos es por intervalos de clase, primero localizamos el intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta y utilizamos la siguiente fórmula para calcular la moda:

En donde: Li = Límite inferior del renglón en donde debe estar la moda f i = frecuencia del renglón de la moda f i+1 = Frecuencia ulterior al renglón de la moda f i-1 = Frecuencia anterior al renglón de la moda ai = tamaño del intervalo 3.2. Medidas de dispersión A diferencia de las medidas de tendencia central, que miden acumulaciones, mediante un solo punto, las medidas de dispersión miden el grado de separación o alejamiento que tiene una variable estadística en torno a una medida de posición o tendencia central. Dicho grado de separación nos indica lo representativa que es la medida de posición con respecto al conjunto total de datos. A mayor dispersión menor representatividad de la medida de posición y viceversa. Las medidas de dispersión más comunes son: el recorrido, la varianza y la desviación estándar.

3.2.1. Recorrido El recorrido representa la distancia que hay entre el primero y el último valor de la variable, también se le conoce como rango y se denota por Re . La fórmula para calcularlo es:

Donde: Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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máx xi es el valor máximo del a variable min xi es el valor mínimo de la variable Por ejemplo: Supongamos que tenemos la siguiente distribución de datos: 69, 68, 52, 57, 69, 71, 78, 52, 74, 74, 69, 52, 76. Calculamos el rango, sustituyendo los valores: Re=78-52=26 3.2.2. Varianza La varianza mide la mayor o menor dispersión de los valores de la variable respecto a la media aritmética. Siempre es mayor o igual que cero y menor que infinito. Se define como la media de los cuadrados de las diferencias del valor de los datos menos la media aritmética de estos. La fórmula de la varianza para datos no agrupados es: Para calcularla en una población:

Para calcularla en una muestra:

Varianza para datos agrupados por intervalos La fórmula para calcular la varianza en datos agrupados por intervalos es la siguiente: Para calcularla en una muestra:

Para calcularla en una población:

3.2.3. Desviación típica o estándar Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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La desviación típica muestra qué tan alejado está un dato del valor de la media aritmética, es decir, la diferencia que hay entre un dato y la media aritmética. Se denota como S o , según se calcule en una muestra o en toda la población, respectivamente. Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza. Se expresa mediante las siguientes fórmulas: En datos no agrupados: En una población:

En una muestra:

En datos agrupados por intervalos: En una población:

En una muestra: Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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Consideraciones específicas de la unidad Las actividades de esta unidad se trabajan en diferentes momentos, a partir de un problema que se trabaja en la unidad 2, los alumnos tendrán que obtener las medidas de tendencia central y dispersión. Se les solicita a los alumnos que al concluir cada subtema (tipo de medida) se elabora una actividad relacionada con el mismo, al final del tema uno y dos estas actividades se comparten con el resto del grupo para que entre todos se revisen y retroalimenten. Se contará con dos foros de uso general, uno para las medidas e tendencia central y otro para las medidas de dispersión. El objetivo de estos foros es que los alumnos planteen sus dudas a todo el grupo o compartan información que pueda ser de utilidad para el estudio de los temas. Cuenta con una actividad que debe ser enviada al facilitador como tarea, además de la autoevaluación y la evidencia de aprendizaje. Esta última consiste en la presentación de las medidas de tendencia central y dispersión de los datos obtenidos de la muestra de la unidad uno, además de incluir, a manera de conclusión, una reflexión sobre el uso y las aplicaciones de la estadística descriptiva.

Referencias: 1. Montgomery, Douglas C. y George C. Runger (1996). Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería . Cuarta edición. México: McGraw-Hill. 2. Walpole, Ronald E., Raymond H. Myers et al. (2007). Probabilidad y Estadística para Ingeniería y ciencias . Octava edición. México: Pearson Educación. 3. Medidas de tendencia central y dispersión . Consultado el 27 de abril de 2010 en: http://bibliotecavirtual.lasalleurubamba.edu.pe/Estadistica/res/pdf/estadisticadescriptivav ariables2.pdf 4. Estadística y probabilidad . Consultado el 27 de abril de 2010 en: http://www.vitutor.com/estadistica.html Educación Superior Abierta y a Distancia • Primer cuatrimestre

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Estadistica Basica UnADM

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