Estadística básica

ESTADÍSTICA MÓDULO 1

MÓDULO 1: Estadística descriptiva de una variable . a) Introducción . Conceptos b) Variables cualitativas y cuantitativas –Ejemplos – Diagramas (Circular y de barras). c) Distribuciones de frecuencias d) Medidas de tendencia central. (Media, moda y Mediana) e) Medidas de dispersión. ( Rango, Varianza y Desviación Típica) a)

INTRODUCCIÓN:

La estadística es una ciencia ciencia con base matemática que que tiene que ver con la recolección, análisis análisis e interpretación de datos, que tiene por objetivo explicar a partir de estas actividades, el comportamiento de una o varias variables de un determinado fenómeno. Es una herramienta base para distintas disciplinas, desde la física hasta las ciencias sociales, sociales, desde las ciencias de la salud hasta el control de calidad, y es utilizada para la toma de decisiones en la ejecución de distintos tipos de proyectos o estudios. Pretender abarcar todo su universo en un cursado de dos meses es utópico, por lo que nos centraremos en los principios de esta materia materia teniendo presente que, tal cual un “iceberg”, “iceberg”, lo que queda sin verse es muy importante y para su comprensión se necesitan herramientas más significativas del campo de la matemática. La Estadística se divide en dos ramas: •

Por un lado la estadística descriptiva , que se dedica a los métodos de recolección, descripción, visualización y resumen de datos originados a partir de los fenómenos estudiados. Los datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos de descriptores numéricos son: la media y la desviación estándar. Algunos ejemplos gráficos son: histograma, pirámide poblacional, clústeres, etc.

•

Por otro lado la estadística inferencial , que se dedica a la generación de modelos asociados a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de respuestas a preguntas: si/no (prueba de hipótesis), estimaciones de características numéricas Página 1 de 16 ISIV – Página


(estimación), pronósticos de futuras observaciones, descripciones de asociación (correlación) o modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión). Las dos ramas (descriptiva e inferencial) comprenden la estadística aplicada. Hay también una disciplina llamada estadística matemática, la cual se refiere a las bases teóricas de la materia. La palabra estadísticas también se refiere al resultado de aplicar un algoritmo estadístico a un conjunto de datos, como en estadísticas económicas, bioestadísticas, etc. Iniciaremos el curso con la revisión de algunos términos y conceptos de la estadística descriptiva:

CONCEPTOS: POBLACIÓN: es el conjunto de todos los elementos que son objeto de un estudio estadístico. MUESTRA: es un subconjunto de la población. Así, si se estudia el precio de las casas de una ciudad, lo normal será no recoger información sobre todas las viviendas de la ciudad (sería una labor muy compleja), sino que se suele seleccionar un subgrupo (muestra) que se entienda que es suficientemente representativa.

INDIVIDUO: son los elementos que conforman una población. Estos elementos portan información sobre el fenómeno que se estudia. Así, si estudiamos el rendimiento de los obreros de una fábrica, cada obrero es un individuo; si estudiamos el precio de la casas de un barrio, cada casa es un individuo.

TAMAÑO: es el número de individuos que conforman la muestra. Cabe acotar, que de acuerdo al tipo de trabajo estadístico, la recolección de datos puede ser de dos tipos: si se incluye a toda la población estamos ante un CENSO, y si en cambio se realiza a un subconjunto representativo, estamos ante una MUESTRA. EJEMPLO 1: Si se quiere realizar un estudio sobre los operarios de una empresa y sus rendimientos en las distintas franjas horarias que representan a los distintos turnos, la población está conformada por todos los operarios de la empresa, cada uno de ellos es un individuo. Si el estudio se hace a todos los operarios se trata de un censo y si se toma una muestra representativa, por ejemplo al 25% de los operarios de cada turno tomados al azar, estamos ante una muestra, el número que conforma el 25 % de cada turno es el tamaño de la muestra.

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Importante: una muestra se debe elegir de una manera aleatoria que garantice la fiabilidad del estudio. Si dentro del 25 % de los operarios, se eligen a los de mayor edad, seguramente se obtendrá un resultado parcial o tendencioso.

b) Variables cualitativas y cuantitativas ¿Qué una VARIABLE? Al realizar un trabajo estadístico, censo o muestra, se estudian diferentes caracteres llamados

variables, por ejemplo: el precio de los automóviles 0 km, el consumo, el color. Estas variables pueden ser cuantitativas o cualitativas. Una variable es cuantitativa cuando se puede asociar a ella una cantidad, discreta o continua, por ejemplo el precio o el consumo de combustibles cada 100 km.. En cambio es cualitativa cuando se dice del carácter una cualidad no medible, por ejemplo el color. (Aunque si a cada color se le asocia un número discreto, se la puede convertir en cuantitativas). Cuando se miden variables cuantitativas, las cantidades pueden ser discretas (se le asocia un número entero 1, 2, 8, -4, etc. Por ejemplo: número de hermanos (puede ser 1, 2, 3....,etc, pero, por ejemplo, nunca podrá ser 3,45) o continuas (se asocia un número real, es decir que pueden tomar cualquier valor real dentro de un intervalo.

EJEMPLO 2: Si tomamos el ejemplo 1, se podrían estudiar las variables edad, sexo, peso, lugar de nacimiento, etc. Los caracteres edad y peso corresponden a variables cuantitativas, sexo y lugar de nacimiento son variables cualitativas.

Por ejemplo, la velocidad de un vehículo puede ser 67,3 km/h, 104,35 km/h...etc.). Cuando se trabaja con variables cuantitativas continuas es conveniente hacerlo con agrupaciones de datos llamados intervalos.



Las variables también se pueden clasificar en UNIDIMENSIONALES: cuando sólo recogen información sobre una característica (por ejemplo: edad de los alumnos de una clase).

BIDIMENSIONALES: cuando recogen información sobre dos características de la población (por ejemplo: edad y altura de los alumnos de una clase).

PLURIDIMENSIONALES: recogen información sobre tres o más características (por ejemplo: edad, altura y peso de los alumnos de una clase).

ANÁLISIS DE PROBLEMAS: 1) Un estudio sobre cuál es el equipo profesional argentino que más simpatizantes posee y con el fin de comprobar que el dicho de que “Boca es la mitad más uno del país” se realizó una encuesta a 50 personas de una ciudad que contestaron lo siguiente: BOCA – RIVER – RIVER – GIMNASIA – INDEPENDIENTE – BOCA – BOCA - SAN LORENZO – RIVER – RACING – BOCA – RIVER – ESTUDIANTES – RIVER – BOCA – SAN LORENZO – BOCA- RIVER – RACING – INDEPENDIENTE – RIVER – BOCA – BOCA – VELEZ – RIVER – ESTUDIANTES – BOCA – VELEZ – BOCA – RIVER – RIVER- ESTUDIANTES – RACING –VELEZ – RIVER – BOCA – BOCA – INDEPENDIENTE – BOCA – RIVER – RIVER – RACING – SAN LORENZO - ROSARIO – RACING – BOCA – BOCA – BOCA – RIVER – BOCA.

En este problema se trabaja con una variable cualitativa. “Ser simpatizante de” es una cualidad y lo que se puede hacer a continuación es un conteo: BOCA: 17 RIVER: 14 INDEPENDIENTE: 3 SAN LORENZO: 3 RACING: 5 VELEZ: 3 ESTUDIANTES: 3 ROSARIO: 1 GIMNASIA: 1 ISIV – Página 4 de 16


Estos datos pueden graficarse para una mejor visualización. Los valores obtenidos en aquellos equipos con muy pocos simpatizantes se pueden agrupar en una categoría “OTROS” (Como ejemplo lo vamos a hacer con los de ROSARIO Y GIMNASIA). REPRESENTACIONES GRÁFICAS

a)

Gráfico circular

En este tipo de gráficos se destaca el área de cada uno de los equipos, siendo los de mayor superficie, los de BOCA Y RIVER.

Además, pueden incluir datos muy enriquecedores para el trabajo que se realiza, como por ejemplo el porcentaje:



Observaciones: Estos gráficos y una variada gama de alternativas se encuentran en el EXCEL. Basta elegir aquel que mejor represente lo que queremos mostrar. Sin embargo un alumno los puede construir manualmente y para ello tendrá dos problemas, por un lado como determinar el área que corresponde a cada dato y el porcentaje que corresponde al mismo. Aplicando Regla de tres simple se solucionan ambos problemas y el porcentaje se puede determinar con cualquier calculadora. Por ejemplo: DETERMINAR EL AREA QUE OCUPA UN DATO EN UN GRÁFICO CIRCULAR. Si consideramos que una circunferencia es un ángulo de 360 grados, en nuestro problema, los 50 datos recolectados se distribuyen en esos 360 grados y para determinar cuál es el ángulo área que corresponde a BOCA realizamos: 50 hinchas------------------ 360° 17 hinchas de BOCA---- X Como es un caso de proporcionalidad directa: x= (17 x 360°)/50 = 122,4° Entonces se construye una circunferencia, se traza un radio y a partir de allí con un transportador (semicírculo) se traza un ángulo de 122,4° aproximadamente. Queda determinado el área (sector circular) que corresponde a BOCA. A partir de allí se va realizando el mismo trabajo para cada equipo y se trazan los ángulos a continuación del último realizado. Para el cálculo del PORCENTAJE, es similar solo que en vez de usar 360°, usamos 100 que es la unidad de comparación de esta herramienta. Ejemplo: (Siempre utilizando el ejemplo de los simpatizantes de los equipos de futbol) 50 hinchas------------------ 100% 17 hinchas de BOCA---- X Como es un caso de proporcionalidad directa: x= (17 x 100)/50 = 34%



Para tener un control sobre los cálculos que realizamos, la suma de todos los porcentajes de nuestro trabajo debe dar 100%.

b) Gráfico de barras. También estos gráficos tienen una variedad de presentaciones, sobresaliendo los de barras verticales u horizontales. Se adjunta un modelo de muestra:

El grosor de las columnas no tiene relación en este ejemplo con los datos en sí.

Hay otros tipos de gráficos que van solo de ejemplo:

Gráfico de líneas



Gráfico de área

En la actualidad los medios gráficos de comunicación utilizan los pictogramas, basados en dibujos alusivos a la característica estudiada. Por lo general los pictogramas son más vistosos para representar una situación. Ejemplos:

Volvemos a nuestro problema anterior: ¿Qué podemos inferir? ¿Es Boca el equipo cuyos simpatizantes son la mitad más uno del país?... ¿es fiable el trabajo realizado? Cualquier estudiante estará de acuerdo que la muestra para determinar que Boca es el equipo cuyos simpatizantes son la mitad más uno del país, no es fiable. No se puede generalizar una encuesta a 50 personas de una ciudad para dar una conclusión sobre el tema. También hay que considerar cómo se eligieron las 50 personas para que el trabajo resulte por lo menos fiable para decir: en nuestro barrio, en nuestro pueblo, en nuestro lugar de trabajo, Boca no es la mitad mas uno del país. Pero generalizar a todo el país es un trabajo que no tiene sentido.



2) OTRO PROBLEMA: En una clínica se determinaron las edades de las mujeres que habían dado a luz en el último mes, resultando los siguientes datos: 23 – 35 - 40 – 29 – 38 – 18 – 19 – 40 – 22 – 26 – 24 – 18 – 25 – 30 – 32 – 20 – 19 – 18 23 – 24 23 – 23 – 23 – 40 – 18 – 26 – 23 – 29 – 19 – 25 – 22 – 25 – 33 – 23 – 24 – 24 19 – 26 – 35 – 32 – 21 – 24 – 36 – 25 – 24 – 23 – 26 – 22 – 33 – 32 ¿Qué podemos hacer? Tenemos también 50 datos, pero realizar el conteo por edades es muy engorroso, por lo tanto aquí es conveniente utilizar intervalos (que agrupan distintas edades) Pasos a seguir: a) Buscamos los datos extremos (el menor y el mayor) y determinamos la amplitud de los valores de los datos y lo llamaremos RANGO: Valor menor: 18 años Valor mayor: 40 años Rango: 40 – 18 = 22 b) Dividimos el rango en un número conveniente de intervalos de clase. (entre 5 y 20, dependiendo de la cantidad de datos). Cada dato debe pertenecer a un solo intervalo. Además, los puntos medios de cada intervalo deben coincidir con algunos datos. (Cuando las variables son discretas conviene que las marcas también lo sean, por lo tanto allí se debe tomar una amplitud impar del intervalo) Si bien hay varias maneras de calcular el número de intervalos o clases, existe una fórmula llamada REGLA DE STURGE que permite realizar una aproximación más sistemática. Si llamamos “K” al número de intervalos o clases, según esta fórmula, “K” se calcula de la siguiente manera:

K= 1 + 3,322.log R (Donde R es el rango) (En nuestro caso 22) La amplitud del intervalo (llamamos W), se determina con la fórmula:

W= (R+1)/K Si se trabaja con variables discretas (enteras), se redondean los resultados.



Aplicamos estos conceptos a nuestro problema:

K= 1 + 3,322.log R

Determinamos K:

K=1+3,322 x log 22 K= 1 + 3,222 x 1,3424 = 5,4594528

Como trabajamos con una variable discreta (edad de las madres) se redondea el resultado y se tiene: K=5

(Esto significa que tendremos 5 intervalos de clase) ¿Qué amplitud tendrán los intervalos?

W= (R+1)/K W= (22 + 1)/5 = 4,6 Se redondea: W = 5 c) Realizamos el agrupamiento en intervalos:

Intervalos (K) 18 a 22 años 23 a 27 años 28 a 32 años 33 a 37 años 38 a 42 años

Conteo III III III III I III III III III III III III I III III III II III I

Frecuencias 13 22 6 5 4

Marca 20 25 30 35 40

Como se observa al realizar la distribución, el extremo superior varió (42), esto sucede porque cada intervalo debe tener la misma amplitud y en especial se nota mucho más por trabajar con números enteros.

A este cuadro de distribución de frecuencias lo vamos a seguir utilizando a medida que ampliemos los conceptos siguientes. CONCEPTOS UTILIZADOS: CLASE O INTERVALO DE CLASE: es un grupo de datos FRECUENCIA: es la cantidad de veces que un dato se repite en el intervalo de clase. MARCA: es el punto medio de cada intervalo de clase.



c) MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL : En estadística, las medidas de tendencia central son valores que indican alrededor de qué dato/s de la variable se ubican los datos de la muestra. En otras palabras, tiene que ver con la elección del dato más representativo de la muestra, o cuál es el que representa mejor al conjunto de datos. Los más usuales son la media o promedio, la mediana y la moda.

La media o promedio: X Indica cuánto habrían valido todos los datos de haber sido todos iguales. Para calcularla se suman todos los datos y se divide por la cantidad total de los datos. Suponiendo un ejemplo simple: las notas de un alumno en una materia han sido en el trimestre: 7 – 8 – 5 – 6 – 9 – 4 – 8 – 9 (8 notas): ¿Cuál es la media o promedio? X =

7+8+5+6+9+4+8+9 8

X =

56 8

X = 7

Para llevarlo a una fórmula, podemos decir que a cada uno de los datos (notas) se le llama x 1, x2, x3, x4, …. xn

Los subíndices 1, 2, 3, …., n indican el orden de las notas desde la primera a la última, siendo “n” el subíndice que coincide con la cantidad total de datos (notas). n

Por lo tanto:

x + x + x3 + ... + xi + ... + x n X = 1 2 n

∑ xi =

i =1

n

NOTA: Si los datos son cualitativos, la media carece de sentido.



Si los datos están agrupados en intervalos de frecuencia, como en el caso del problema de la edad de las madres que dieron a luz en un determinado tiempo, entonces la fórmula a utilizar será la siguiente:

Para ello es importante completar nuestro cuadro que lo habíamos dejado inconcluso:

Intervalos (K) 18 a 22 años 23 a 27 años 28 a 32 años 33 a 37 años 38 a 42 años

X =

Frecuenci Marc as (f i) a (xi) 13 20 22 25 6 30 5 35 4 40

13 ⋅ 20 + 22 ⋅ 25 + 6 ⋅ 30 + 5 ⋅ 35 + 4 ⋅ 40 260 + 550 + 180 + 175 + 160 1325 = = 50 50 50

=

26,5

Promedio redondeado = 26

MODA: Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

MEDIANA: Es el valor central de los datos, una vez ordenados de menor a mayor. Si el número de datos es par, se toma el valor medio de los dos centrales.

Si volvemos a nuestros ejemplos: a) El de los simpatizantes de los equipos de fútbol MEDIA O PROMEDIO: no tiene sentido pues son variables cualitativas. MODA: BOCA (Es el dato que más se repite en la muestra) MEDIANA: No tiene sentido porque no se pueden ordenar los datos de menor a mayor y por lo tanto no podemos encontrar el o los datos que quedan en el centro.

b) Si consideramos el ejemplo de las notas de un trimestre: : 7 – 8 – 5 – 6 – 9 – 4 – 8 – 9. ISIV – Página 12 de 16


Ya se había calculado la media: 7 (siete) MODA: los datos que más se repiten son 8 y 9, pero no tiene sentido para una medida de tendencia central representativa, ya que hay notas bajas que hacen caer el promedio, generándose mucha diferencia entre ambas mediciones. MEDIANA: Si ordenamos los datos tenemos: 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9 (Ordenados de menor a mayor) Como es un número par de datos, los dos números centrales son el 7 y el 8, por lo que se debe hallar la media entre ambos números (7+8)/2 = 7,50 MEDIANA= 7,50

c) En el ejemplo de las edades de las madres que dieron a luz en un determinado tiempo: Intervalos (K) 18 a 22 años 23 a 27 años 28 a 32 años 33 a 37 años 38 a 42 años ∑ (sumas)

Frecuencias Marca f i.xi (f i) (xi) 13 20 260 22 25 550 6 30 180 5 35 175 4 40 160 50 //////////// 1325

fri

%

0,26 0,44 0,12 0,10 0,08 1

26% 44% 12% 10% 8% 100%

(La tercera columna se forma multiplicando la frecuencia por la marca de cada intervalo. Al final aparece 1325 que es la sumatoria de dichos productos. La cuarta columna, la de las frecuencias relativas se forma dividiendo las frecuencias de cada intervalo por la sumatoria de frecuencias: 13/50=0,26. Por último, la quinta columna es la de los porcentajes que representan los intervalos y se construye multiplicando la frecuencia relativa por 100. Las frecuencias relativas siempre suman 1 y las porcentuales 100%) PROMEDIO 0 MEDIA: Habíamos calculado que el promedio era 26,5 años (Redondeamos en 26 años)

MODA: es la marca del intervalo de mayor frecuencia: 25 años MEDIANA: Si son 50 datos ordenados de menor a mayor y por tratarse de una cantidad par de datos, hay dos de ellos que quedan en el centro, los que están en el lugar 25 y 26. Para no ordenar toda la serie, podemos determinar que la mediana se encuentra en el segundo intervalo, pues hasta el mismo se ordenan 35 datos (13 + 22), por lo tanto vamos a ordenar los datos del 2do intervalo cuya amplitud va desde 23 a 27 años:



El primer dato, será el número 14, ya que el primer intervalo tiene 13 datos (Observar el cuadro correspondiente): 23-23-23-23-23-23-23-23-24-24-24- 24 – 24 -24-25-25-25-25-26-26-26-26 En este caso, coinciden los dos números centrales, por lo tanto la mediana es 24 Recuérdese, que si la cantidad de datos es impar, únicamente un dato quedará en el centro del ordenamiento.

d)

MEDIDAS DE DISPERSIÓN.

Las medidas de dispersión completan el análisis numérico del conjunto de datos estudiados. Tienen por objetivo determinar la mayor o menor variación de los datos y dan una idea de su disposición respecto a las medidas de centralización. Los datos que se utilizan para el cálculo de algunas de ellas surgen de la ampliación del cuadro que venimos realizando. Las más importantes son: 1) RANGO: es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos. (También recibe el nombre de amplitud o recorrido). 2) VARIANZA: es la media aritmética de las diferencias al cuadrado da cada dato, respecto de la media de todos ellos. Es decir: n

∑ ( xi − x ) σ

2

=

2

i =1

n

Y si los datos se encuentran agrupados la fórmula es la siguiente: n

∑ f i ⋅ ( xi − x ) σ

2

=

2

i =1 n

∑ f i i =1

Observaciones: Se pueden encontrar variaciones de estas fórmulas, que pueden utilizarse, pero no las incluimos en este material para confundir al alumno. Además debemos ampliar nuestro cuadro para obtener los valores que necesitamos en estas fórmulas. 3) LA DESVIACION TIPICA (O ESTÁNDAR): Es la raíz cuadrada positiva de la varianza. O sea que su fórmula es:


ESTADÍSTICA MÓDULO 1 n

∑ ( xi − x ) σ

=

n

2

∑ f i ⋅ ( xi − x )

i =1

ó

n

σ

=

2

i =1 n

∑ f i i =1

Según el agrupamiento o no de los datos. La desviación me permite calcular la dispersión de los datos, por ejemplo: Si repartiéramos una cierta cantidad de dinero en partes iguales a “n” personas, la media o promedio indicaría lo que le correspondería a cada una de las personas para que el reparto sea equitativo. En este caso la desviación típica sería 0. En cambio a medida que la desviación típica toma valores cada vez mayores indica una cada vez mayor desigualdad en el reparto.

4) EL COEFICIENTE DE VARIACIÓN: No siempre una mayor desviación típica indica mayor dispersión. La naturaleza de los datos puede hacer que la comparación absoluta entre desviaciones típicas carezca de sentido. Por ejemplo, no parece lógico comparar en forma directa la desviación típica de la altura de 100 bebés recién nacidos con la desviación típica de la estatura de sus padres. En cambio podría realizarse una comparación relativa de ambas. Para medir la dispersión relativa de dos conjuntos de datos, puede utilizarse el coeficiente de variación que se define como: CV =

σ

El conjunto de datos con mayor coeficiente de variación es el más heterogéneo.

Veamos las medidas de dispersión en nuestro ejemplo de las edades de las madres: Al cuadro que veníamos construyendo, debemos agregarles algunas columnas:

Intervalos (K) 18 a 22 años 23 a 27 años 28 a 32 años 33 a 37 años 38 a 42 años ∑ (sumas)

Frecuencias

Marca

(f i) 13 22 6 5 4 50

(xi) 20 25 30 35 40 //////////

f i.xi 260 550 180 175 160 1325

fri

%

0,26 26% 0,44 44% 0,12 12% 0,10 10% 0,08 8% 1 100%


xi − x

-6,5 -1,5 3,5 8,5 13,5

( xi − x )2 f i. ( xi − x )2 42,25 2,25 12,25 72,25 182,25 311,25

549,25 49,50 73,50 361,25 729,00 1.762,5


MEDIA: X = 26,5 AÑOS Hemos completado las dos últimas columnas, en una haciendo la diferencia entre las marcas y el promedio y en la otra, esa diferencia elevada al cuadrado. Con ello calculamos:

RANGO: ya lo habíamos calculado al inicio para hallar la amplitud de los intervalos: R = 22 n

∑ f i ⋅ ( xi − x ) VARIANZA:

σ

2

=

i =1

2

=

n

∑ f i

1762,5 = 35,25 50

i =1

n

∑ f i ⋅ ( xi − x ) DESVIACIÓN:

σ

=

2

i =1

= 35,25 = 5,94

n

∑ f i i =1

La desviación estándar se utiliza para definir los límites entre los cuales un valor de control puede definirse como aceptable. Si la media es 26,5 en este trabajo, los valores entre los cuales serán será fiable los valores son: 26,5 ± 5,94. Es decir entre 20,56 y 32,44 (Redondeando: entre 21 y 32 años) 5,94 = 0, 22 x 26,5 (Este dato nos puede servir para comparar con otra medición. Cuanto más grande es el CV, mayor será la heterogeneidad de las medidas.) COEFICIENTE DE VARIACION: CV =

σ

=


Estadística básica

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