Unidad 2. Representación numérica y gráfica de datos Presentación de la unidad
En la unidad anterior, conociste las dos grandes divisiones de la estadística: la que se dedica a la recolección, presentación y categorización de datos, llamada estadística descriptiva y la que se dedica a realizar hipótesis con base en dichos datos, la inferencial. También aprendiste a determinar el espacio de estudio (es decir, la población) y las variables que se van a estudiar de acuerdo al problema planteado. En esta unidad estudiarás la estadística descriptiva y aprenderás cómo organizar y presentar los datos obtenidos mediante el muestreo en poblaciones. Cuando se realiza un trabajo que requiere a la estadística, se diseñan instrumentos para obtener los datos deseados. Existen muchos métodos para recolectar información, pero los más frecuentes son:
Otra de las técnicas más recurridas en estadística para recolectar información son los experimentos, revisa en qué consisten. Un experimento es una prueba que se realiza para determinar las características o comportamientos de una cosa. Por ejemplo, experimentar mediante el sentido del gusto, qué alimentos te parecen más salados. También, experimento se define como el proceso que se realiza para verificar una serie de hipótesis relacionadas con un determinado fenómeno, en el cual se determinan las características o comportamientos del fenómeno que se analiza. Por ejemplo, un experimento para determinar la velocidad de la luz en el vacío.
La diferencia entre la primera y la segunda definición es que en la segunda se parte de una hipótesis mientras que en la primera no necesariamente. En el primer ejemplo, experimentas los sabores de los alimentos sin antes predecir cuál será más salado. En el segundo ejemplo, la hipótesis, a partir de estudios anteriores, es que la velocidad de la luz en el vacío es de 300 000 km/seg. Por lo tanto, el experimento verifica si esta hipótesis es cierta o no y en él cabe un margen de error experimental. Los datos que se recopilan, usando alguna técnica de las que acabamos de describir u otra, son organizados de acuerdo a los parámetros de la estadística descriptiva que estudiarás en esta unidad.
Propósitos de la unidad
En esta unidad: Identificarás algunos conceptos que se utilizan en estadística descriptiva. Organizarás datos en diferentes tipos de tablas y elaborarás varios tipos de gráficas.
Competencia específica
Utiliza las técnicas de representación numérica y gráfica para representar información a través de la organización de los datos obtenidos de una muestra o población. 2.1. Organización de datos y distribución de frecuencias Introducción
La descripción estadística organiza los datos y los presenta en forma de tablas y gráficas. Esta área sólo describe, resume, organiza y representa los datos obtenidos de una población o muestra de la población, sin elaborar inferencias ni obtener conclusiones. La organización de datos se realiza a través de tablas que se utilizan para simplificar la presentación y distribución de estos datos. A continuación, conocerás que existen diferentes tipos de presentación de datos y con base en ellos, distintas clasificaciones de frecuencia, como: frecuencia relativa, frecuencia acumulada y frecuencia absoluta.
2.1.1. Frecuencias
Frecuencia o Frecuencia absoluta La frecuencia o frecuencia absoluta es el número de veces que se repite un valor dentro de un conjunto de datos, se denota como fi. Por ejemplo, supongamos que tienes la
siguiente serie de datos: 3, 2, 5, 7, 3, 7, 7, 5, 2, 7, 3. Si los organizas en una tabla, tendrías: Dato
Frecuencia
2
2 (porque se repite 2 veces)
3
3 (porque se repite 3 veces)
5
2 (porque se repite 2 veces)
7
4 (porque se repite 4 veces)
Total de datos (N)
11
Frecuencia absoluta acumulada La frecuencia absoluta acumulada es la suma de las frecuencias de las variables hasta el renglón i, se representa como Fi. También es conocida como frecuencia acumulada.
Siguiendo con el ejemplo anterior: Dato
Frecuencia
2
2
3
3
5
2
7
4
Total de datos (N)
11
Frecuencia acumulada 2 (hasta aquí tienes 2 datos 5 (la suma de la frecuencia del primer dato con la del
segundo dato 2+3) 7 (frecuencia de 2+frecuencia de 3+frecuencia de 5) 11 (frecuencia de 2+frecuencia de 3+frecuencia de 5
frecuencia de 7)
Frecuencia relativa La frecuencia relativa es el resultado de dividir la frecuencia de cada dato entre el número total de datos (N). La suma de esta columna da 1 (excepto cuando el resultado de las
divisiones se redondea). Este dato también puede verse como un porcentaje, se representa como hi. Siguiendo con el ejemplo anterior: Dato
Frecuencia
Frecuencia acumulada
Frecuancia relativa
2
2
2
0.181 (se divide 2/11)
3
3
5
0.272 (se divide 3/11)
4
2
7
0.181 (se divide 2/11)
5
4
11
0.363 (se divide 4/11)
Total de datos (N)
11
Frecuencia relativa acumulada La frecuencia relativa acumulada es la suma de las frecuencias relativas hasta el renglón i. Se representa como Hi, observa el ejemplo: Dato
Frecuencia
Frecuencia acumulada
Frecuencia relativa
2
2
2
0.1818
Frecuencia relativa acumulada 0.1818 (hasta este renglón sólo tienes esta
frecuencia relativa) 0.4545 (se suma la frecuencia relativa del
3
3
5
0.2727
primer dato con la del segundo dato 0.1818+0.2727) 0.6363 (la frecuencia relativa de 2+la
5
2
7
0.1818
frecuencia relativa de 3+la frecuencia relativa de 5) 0.9999 (la frecuencia relativa de 2+la
7
4
Total de datos (N)
11
11
0.3636
frecuencia relativa de 3+la frecuencia relativa de 5+la frecuencia relativa de 7)
Ejemplo de organización de frecuencias
En la siguiente pantalla observarás una tabla con la organización de frecuencias, los datos presentados son los siguientes: 18, 41, 23, 47,18, 23, 23, 41, 41, 47, 47, 52, 23, 47, 23, 47, 18, 47, 7, 23, 18, 47, 52, 41, 52, 18, 23, 52, 7, 18, 52, 23.
2.1.2. Intervalos
Otro concepto muy utilizado en estadística descriptiva es el de intervalo. Conoce qué es y los demás conceptos asociados. Intervalos
Conjunto de valores agrupados entre dos números, conocidos como límites, en este caso, límites del intervalo. Intervalo de clase
Se llama intervalo de clase a la expresión que denota un intervalo. Amplitud del intervalo
La amplitud del intervalo es la distancia que hay entre los límites superior e inferior del intervalo. Se calcula restando el valor del límite inferior al valor del límite superior. Frontera de clase
Son los puntos medios entre los límites de intervalos consecutivos. Las fronteras de clase se utilizan para recuperar los datos entre el límite superior de un intervalo y el límite inferior del siguiente. Marca de clase
También conocida como punto medio de clase, es el resultado de la suma de los límites inferior y superior del intervalo, dividido entre dos.
Ejemplo de intervalos
Observa cómo se representan los conceptos relacionados con los intervalos, coloca el cursor sobre las palabras resaltadas. Dados los números 15 y 25, tendrías que: El intervalo corresponde a todos los números que se encuentran entre 15 y 25. El intervalo de clase sería: 15-25 Los límites del intervalo son: Límite inferior =15 Límite superior =25 La amplitud del intervalo 15-25 sería: 25 menos 15, es decir, 10. Es recomendable que todos los intervalos tengan la misma amplitud, por lo que se puede restar el dato menor al dato mayor y dividir el resultado entre el número de intervalos. La frontera de clase: dados los intervalos 4-14, 15-25 y 26-36, las fronteras de clase serían: 3.5 y 14.5, para el primer intervalo, 14.5 y 25.5 para el segundo intervalo, por último, 25.5 y 36.5 para el tercer intervalo. La marca de clase del intervalo 15-25 es igual a: 15+25=40/2=20. Es recomendable que la marca del intervalo coincida con alguno de los datos, aunque esto no es necesario ni siempre se logra; sobre todo cuando los intervalos tienen la misma amplitud. 2.1.3. Construcción de intervalos de clase
La formación de clases o intervalos de clase, que se representa con (k), depende, generalmente, del tamaño del rango de la población o muestra. Lo que se debe hacer para determinar los intervalos de clase es lo siguiente. Paso 1. Calcular el rango
Se identifica el número mayor (Xn) y el número menor (X1) en los datos. El rango es el resultado de restar el número menor al número mayor; esto es: 240 R= Xn – X1
Por ejemplo: Para una serie de datos que van desde el 18 hasta el 56,se tiene lo siguiente: Xn= 56 X1= 18 por lo tanto, R= Xn – X1= 56 – 18= 38 Paso 2. Determinar el número de intervalos que se desea tener
No existe una regla para determinar el número de intervalos, pero generalmente se suelen crear entre 5 y 20 intervalos. La decisión la toma el investigador. Siguiendo con el ejemplo, se van a construir 7 intervalos. Entonces k= 7
Paso 3. Dividir el rango entre el número de intervalos que se desea tener
Recuerda que es recomendable elegir un número entre 5 y 20 para los intervalos y dividir el rango entre el número deseado de intervalos. Siguiendo con el ejemplo: Si son 7 intervalos 38/7 = 5.428 Ésta será la amplitud de los intervalos. Cuando no es un número entero, se escoge el entero sin decimales. Paso 4. Formación de intervalos:
Los intervalos se forman comenzando un número antes del primer dato. Intervalos: 17 a 22 (se cuenta 5 desde 18 hasta 22) 23 a 28 (el siguiente intervalo comienza a partir del límite superior del intervalo anterior) 29 a 34 35 a 40 41 a 46 47 a 52 53 a 58 Nota. No importa que el último intervalo exceda el último dato.
Ejemplo de construcción de intervalos
El director de una consultoría en desarrollo de software desea conocer el número de incidencias en sus desarrollos reportadas durante los meses de agosto y septiembre. Para ello registra los siguientes datos: 35, 24, 26, 23, 50, 20, 25, 56, 30, 30, 38, 36, 35, 29, 28, 30, 40, 39, 38, 40, 27, 24, 30, 32, 35, 27, 29, 22, 28, 27, 48, 40, 48, 31, 39, 28, 46, 36, 37, 52, 44, 49, 52, 41, 31, 31, 56, 58, 38, 26, 25, 24, 60, 55, 48, 37, 31, 30, 22, 20. Observa cada paso: 1. 2. 3. 4.
Calcular el rango: R=Xn –X1=60-20=40 Determinar el número de intervalos entre 5 y 20: Elegir 8 intervalos. Dividir el rango entre el número de intervalos: 40/8=5 Se forman los intervalos: Comenzar por un número anterior al límite inferior: 19-24,
25-30, 31-36, 37-42, 43-48, 49-54, 55-60 2.1.4. Tablas de datos
Existen diferentes tipos de tablas para presentar datos, las más utilizadas son: Tabla de datos, Tabla de frecuencias, Tabla por intervalos de clase y Tablas de doble entrada. Conoce en qué consiste cada una:
Tablas de datos
Una tabla de datos es la forma más sencilla de organizar un conjunto de datos y se utiliza cuando la información que necesitas son los datos mismos. Se organizan en columnas o renglones y se registran las mediciones o datos obtenidos. Ejemplo:
Imagina que la medición de temperatura a lo largo del día da como resultado los siguientes valores (en grados Celsius): 20.4°, 21.2°, 22.1°, 23.9°, 25.3°, 26.9°, 27.7° A partir de estos valores construyes la siguiente tabla:
2.1.5. Tablas de frecuencias
Las tablas de frecuencia aportan mayor información que las tablas de datos, ya que están construidas con las categorías de la variable que se está midiendo y su frecuencia. Un experimento da como resultado los siguientes valores: 1, 2, 2, 2, 1, 1, 5, 4, 3, 2, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 3, 2 Si agrupas los datos por categorías, según la frecuencia o número de veces que aparece cada dato, tendrías la siguiente tabla: Las tablas de frecuencias pueden construirse anexando las columnas correspondientes a la frecuencia acumulada, la frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada. 2.1.6. Tablas por intervalos de clase
En este tipo de tablas los datos son presentados por intervalos de clase y no por los valores correspondientes a cada variable. Ejemplo: En una encuesta sobre el desempleo en el área metropolitana de la ciudad de
México, se organizan los datos por grupos de edades (intervalos de clase) y se presenta la frecuencia de cada intervalo, teniendo un total de 23,700 desempleados.
2.1.7. Tablas de doble entrada
Estas tablas proporcionan información referente a dos variables o eventos relacionados entre sí. La información se distribuye poniendo en los renglones de la tabla la información de una de las variables y en las columnas la información de la otra variable. Ejemplo: Se cuenta el número de cirugías realizadas por edades en una muestra de 100
personas, los resultados son los siguientes:
En el ejemplo las variables relacionadas son la edad y el número de cirugías.
Una tabla cualquiera puede ser vista como una tabla de doble entrada, en la cual las variables relacionadas son los rangos contra el valor de las variables en dicho rango. Por ejemplo, imagina que mides la temperatura de un líquido con respecto al tiempo de calentamiento. En el renglón colocas los tiempos y en las columnas la temperatura obtenida. Puedes considerar la tabla como una tabla de frecuencias o como una tabla de doble entrada:
2.2. Representación gráfica de los datos Introducción
El tema anterior presentó diferentes formas de organizar o de tabular datos y la distribución de frecuencias. Ahora estudiarás la representación gráfica de los datos. Las gráficas son representaciones visuales de los datos que se muestran en una tabla. Existen diferentes tipos de gráficas, cada una de ellas se elabora con base en el tipo de información que se quiere representar.
2.2.1. Histograma
El histograma es la representación gráfica de una variable continua. Se elabora en un sistema de coordenadas rectangulares. El eje horizontal se utiliza para representar la variable independiente, es decir, la escala de medición o fronteras de clase. El eje vertical representa la escala de frecuencias. Si los intervalos de clase tienen el mismo ancho, las alturas de las barras serán proporcionales a las frecuencias. El histograma permite apreciar visualmente la distribución y dispersión de las mediciones. 2.2.2. Gráfica de barras
Este tipo de gráfica se utiliza para datos de tipo ordinal, nominal y discreto. En éstas se muestran la frecuencia, la frecuencia relativa y el porcentaje por medio de la altura y no por el área de la barra. Esta gráfica muestra las discontinuidades en las mediciones por medio de espacios vacíos entre las barras. La gráfica de barras se traza sobre un eje de coordenadas. Y puede ser de dos formas:
Un histograma y una gráfica de barras son muy semejantes, la diferencia radica en que el histograma no presenta separación entre las barras. 2.2.3. Gráfica de líneas
Una gráfica de líneas también se construye en un sistema coordenado rectangular y muestra la relación entre las variables mediante puntos conectados por líneas continuas. La frecuencia de cada valor medido es representada por la altura del punto. En el eje horizontal se representa la variable y en el eje vertical, la frecuencia. Se determinan los puntos de corte del valor de la variable con su frecuencia y se unen, obteniéndose la gráfica de línea.
2.2.4. Gráfica de áreas o de pastel
Una forma de representar datos u observaciones de una variable cualitativa es mediante un diagrama circular. Esta gráfica muestra la relación entre las variables dividiendo un círculo (o pastel) en sectores (o rebanadas). También, se utilizan para representar la distribución de frecuencias, pero es el área de cada sector la proporcional a los valores medidos. Para trazar la gráfica, se hace una distribución proporcional de las frecuencias del problema con respecto a la circunferencia, determinando sectores circulares para cada categoría. Ejemplos de gráficas Medición en cm Frecuencia Frecuencia acumulada Porcentaje
30 30.1 30.2 30.3 30.4. 30.5 30.6 30.7 30.8 30.9
3 7 12 18 23 21 17 11 5 1
3 10 22 40 63 84 101 112 117 118
3% 6% 10% 15% 19% 18% 14% 9% 4% 1%
Histograma
En esta figura se muestra el histograma de las mediciones en cm vs la frecuencia, nota como el ancho de las clases es el mismo.
Gráfica de pastel
En la gráfica de pastel se muestra dentro de cada “rebanada” la medición en cm y el porcentaje que
corresponde a la frecuencia relativa.
Gráfica de línea
En esta figura se muestra la frecuencia acumulada mediante una gráfica de línea.
Cierre de la unidad
Has concluido la unidad 2, en la que conociste los fundamentos de la estadística descriptiva, la utilidad de ésta y el tipo de información que puedes obtener a través de ella. Recuerda que la organización de los datos se hace a través de tablas que pueden ser de frecuencias o intervalos de clase. La frecuencia es el número de veces que se repite un dato. Puede ser:
Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada Frecuencia relativa Frecuencia relativa acumulada Los intervalos de clase son un conjunto de números comprendidos entre un número límite inferior y un número límite superior. También las gráficas ayudan a visualizar la información contenida en las tablas de frecuencia. No olvides que la estadística descriptiva es muy útil en todo tipo de investigaciones; por ejemplo, cuando muestran gráficas o estadísticas en los medios de comunicación.
Para saber más
Consulta la siguiente dirección electrónica para saber más sobre las técnicas para recolectar información: http://www.tec.url.edu.gt/boletin/URL_03_BAS01.pdf
En la siguiente dirección electrónica puedes encontrar explicaciones, ejemplos y ejercicios sobre los temas que se abordaron en esta unidad: http://www.vitutor.com/estadistica.html
Fuentes de consulta
Montgomery, Douglas C. y Runger, George C. (1996).
Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería (4ª ed.). McGraw-Hill, México.
Walpole, Ronald E., Myers Raymond H., et al. (2007).
Probabilidad y Estadística para Ingeniería y ciencias (8ª ed.). México: Pearson
Educación.
Intervalos de clase , consultado el 26 de abril de 2010
en:http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/odontologia/2002890/lecciones/estadistica_descriptiva_2 Censo y entrevista , consultados el 26 de abril de 2010 en:http://www.indec.gov.ar/proyectos/censo2001/maestros/quees/masinfo.dochttp://www.tec.url.e du.gt/boletin/URL_03_BAS01.pdf
