I$%&I&'&( &)C$(L*#IC( %'P)RI(R +) !ALAPA Unida 4. Introducción al Pandeo
4.5. Estabilidad del equilibrio
“MECÁNICA DE MATERIALES”
DOCENTE: Jesús
Antonio Aguilar Barradas
INTEGRANTES:
Colorado Alarcón Juan Antonio Hernandez Pozos Inés López Rebollar María José Rees Acosta !óc"itl #uadalupe Rosas Castillo Jesús Leonardo
INGENIERIA CIVIL 5A
La estabilidad es una noción ,ísica -o .uí/ica asociada a la capacidad de un cuerpo de /antener su estado o su co/posición inalterados durante un tie/po relati0a/ente prolongado1 )s la capacidad de una estructura de conser0ar una con,iguración ,rente a acciones e2teriores1 'na agu3a per,ecta/ente recta sostenida sobre su punta puede considerarse en e.uilibrio1 %in e/bargo4 la /enor perturbación de éste o la i/per,ección /5s pe.ue6a en su ,abricación "arían i/posible tal estado1 %e dice .ue esta clase de e.uilibrio es inestable4 es i/perati0o e0itar situaciones an5logas en siste/as estructurales1 Para aclarar /5s el proble/a4 considere/os una barra 0ertical rígida7 so/etida a una ,uerza 0ertical P una ,uerza "orizontal 84 con un resorte de torsión4 de rigidez 94 en su base :a4b;<
La respuesta a este siste/a a /edida .ue au/enta la ,uerza P se indica en la ,igura b4 para una ,uerza 8 grande una ,uerza 8 pe.ue6a1 %urge entonces la siguiente pregunta =Có/o se co/portara este siste/a si 8>?@ )ste es el caso li/ite corresponde al estudio del pandeo per,ecto1 La barra rígida de la ,igura a puede e2peri/entar sólo rotación4 a .ue no se puede ,le2ionar7 es decir4 el siste/a tiene un grado de libertad1 Para una rotación supuesta4 .4 el /o/ento en el resorte :restaurador; es 9.4 con 8>?4 el /o/ento .ue produce P :perturbador; ser5 PLsen. PL.4 por lo tanto4 si< . PL.4 el siste/a es estable D si4 . E PL.4 el siste/a es inestable1 )2acta/ente en el punto de transición . > PL.4 el e.uilibrio no es estable ni inestable sino neutro :o indi,erente;1 La ,uerza asociada a esta condición es la carga de pandeo o critica4 .ue se designar5 por Pc1 Para el siste/a considerado< Pc=
k L
)sta condición establece el co/ienzo del pandeo1 Con esta ,uerza dos posiciones de e.uilibrio son posibles4 la ,or/a 0ertical una ,or/a inclinada in,initesi/al/ente pró2i/a a ella1 Por lo tanto4 co/o es posible seguir dos ra/as o ca/inos en la solución4 a esta condición se le lla/a
punto de bi,urcación de la solución de e.uilibrio1 Para P 9-L el siste/a es inestable1 Co/o la solución "a sido linealizada no "a posibilidad de .ue . sea arbitraria/ente grande en Pc1 Considerando grandes desplaza/iento4 "a sie/pre un punto de e.uilibrio estable en . E p1 )l co/porta/iento de colu/nas el5sticas4 cargadas concéntrica/ente per,ecta/ente rectas4 es decir colu/nas ideales1 A partir de una ,or/ulación linealizada del proble/a se puede deter/inar las cargas críticas de pandeo1 Las cargas críticas no describen la acción del pandeo /is/o1 'tilizando una ecuación di,erencial e2acta de la cur0a el5stica para de,le2iones grandes4 es posible "allar posiciones de e.uilibrio /5s alta .ue Pc4 correspondiente a la ,uerza aplicada P1 Los resultados de tal an5lisis se ilustran a continuación1
Calculo de pandeo F Co/porta/iento de una barra ideal/ente el5stica
$otar especial/ente .ue au/entando P en solo G4Pc sobre Pc se produce un desplaza/iento lateral /52i/o del de la longitud de la colu/na :)l "ec"o de .ue una colu/na el5stica continúe soportando una carga /5s all5 de la carga de pandeo se puede obser0ar aplicando una carga superior a la carga de pandeo4 sobre una barra o placa ,le2ible4 por e3e/plo4 una "o3a de sierra; Por razones pr5cticas4 desplaza/ientos tan grandes rara 0ez pueden ser aceptados1 Ade/5s4 por lo general el /aterial no puede resistir los es,uerzos de ,le2ión inducidos1 Por lo tanto4 las colu/nas reales ,allan inel5stica/ente1 )n la gran /aoría de las aplicaciones de ingeniería Pc representa la capacidad últi/a de una colu/na recta cargada a2ial/ente en ,or/a concéntrica1
+e la /ec5nica teórica se sabe4 .ue el e.uilibrio de un sólido absoluta/ente rígido puede ser estable neutro o inestable1 Por e3e/plo4 la es,era .ue se encuentra sobre una super,icie cónca0a tiene un estado de e.uilibrio estable1 %i se des0ía ligera/ente de esta posición se suelta después7 entonces 0ol0er5 a ocupar su posición inicial :,ig1 K1 a;1 La es,era se encuentra en una super,icie "orizontal tiene un estado de e.uilibrio neutro :o indi,erente; :8ig1 K1 b;1 Al des0iarla de esta posición no 0ol0er5 a ella aun.ue su /o0i/iento cese1 Por últi/o4 la es,era .ue se encuentra sobre una super,icie con0e2a tiene un estado de e.uilibrio inestable4 pues al ser des0iada de su posición inicia4 seguir5 desplaz5ndose :8ig1 K1 c;
%e pueden /encionar ta/bién otros e3e/plos an5logos .ue se re,ieren al e.uilibrio de solidos de,or/ables1 Así4 cuando sobre una barra larga actúa una carga a2ial de co/presión relati0a/ente pe.ue6a :/enor .ue cierto 0alor critico;4 a.uella se encontrar en un estado de e.uilibrio estable :8ig1 K1 a;1 %i4 aplicando una carga trans0ersa4 se da una pe.ue6a ,le2ión a la barra4 esta recuperara su ,or/a inicial de e.uilibrio se recti,icara una 0ez retirada la carga trans0ersal1 Para un 0alor de la ,uerza de co/presión P igual al critico
Pcr
la barra se encontrara en un estado de
e.uilibrio indi,erente4 es decir al ser des0iada ligera/ente de su posición rectilínea inicial después de liberarla4 per/anecer5 ta/bién en e.uilibrio en la posición des0iada :8ig1 K1 b;1 Por últi/o4 si la ,uerza P es /aor .ue la crítica4 entonces la ,or/a rectilínea de e.uilibrio resultara inestable1 La barra traba3ara a co/presión ,le2ión co/binadas no e2clusi0a/ente a co/presión :8ig1 K1 c;1 Incluso un pe.ue6o e2ceso de la ,uerza sobre el 0alor crítico4 conduce a .ue la barra reciba grandes de,le2iones a la aparición en ellas de grandes es,uerzos1 La barra se destrue o recibe de,or/aciones inad/isible/ente grandes1 )n a/bos casos4 la barra4 pr5ctica/ente4 se inutiliza4 es decir4 desde el punto de 0ista del c5lculo de ingeniería la ,uerza critica deber5 considerarse co/o carga peligrosa :li/ite;1 Así4 pues4 la ,uerza crítica se puede de,inir co/o a.uella ,uerza para la cual el e.uilibrio de la barra co/pri/ida es indi,erente7 en otras palabras4 co/o la ,uerza para la cual tanto la ,or/a rectilínea4 co/o la cur0ilínea contigua a ella4 son ,or/as posibles de e.uilibrio1
Estabilidad de las estructuras
'no de los proble/as /5s co/ple3os en la ingeniería estructural de /aor trascendencia pr5ctica4 es el de la inestabilidad de ele/entos estructurales parcial o total/ente co/pri/idos el de las estructuras constituidas por dic"os ele/entos1 )s la capacidad de una estructura de conser0ar una con,iguración ,rente a acciones e2teriores1 %e re,iere a la capacidad de una estructura ba3o las ,uerzas .ue actúan sobre ella de alcanzar un estado de e.uilibrio /ec5nico1 Las co/binaciones de ,uerzas o acciones ba3o las cuales una estructura no es estable se deno/inan inestabilidades pueden ser de 0arios tipos<
+esliza/iento4 cuando la ,uerza resultante super,icie de contacto entre dos sólidos e2cede un cierto 0alor e2iste desplaza/iento relati0o entre los puntos de los dos sólidos1 uelco4 cuando el /o/ento de ,uerzas respecto a una recta4 lla/ado e3e 0irtual de rotación sobre pasa un cierto 0alor1 Inestabilidad el5stica4 .ue se re,iere a ,enó/enos de no linealidad co/o el pandeo4 la abolladura4 la inestabilidad de arcos4 etc1 )n tér/inos generales4 la estabilidad puede ser de,inida co/o la capacidad de un siste/a ,ísico para 0ol0er a la posición de e.uilibrio cuando su,re una le0e perturbación1 Para un siste/a /ec5nico4 la estabilidad es una propiedad de un estado F un estado de e.uilibro F del siste/a4 .ue el proble/a de deter/inación de la estabilidad de un estado tiene .ue 0er con la N0ecindadO de ese estado particular1 %i se considera un siste/a el5stico conser0ati0o4 .ue inicial/ente est5 en e.uilibrio ba3o la acción de un con3unto de ,uerzas4 el siste/a se separar5 de su estado de e.uilibrio sólo si actúan sobre él ,uerzas perturbadoras1 %i la energía su/inistrada al siste/a por dic"as ,uerzas es 4 entonces< > & Q > constante Por aplicación del principio de conser0ación de la energía1 )n esta e2presión4 & es la energía cinética del siste/a es la energía potencial1 'n pe.ue6o incre/ento en &4 0a aco/pa6ada por una dis/inución4 igual/ente pe.ue6a en 4 o 0ice0ersa1 %i el siste/a se encuentra inicial/ente en una posición de e.uilibrio con un /íni/o de energía potencial4 entonces la energía cinética & durante el /o0i/iento libre decrece /ientras debe crecer1 Por ello el desplaza/iento con respecto a la posición inicial ser5 pe.ue6o el estado de e.uilibrio es estable1 Para cuerpos rígidos4 la estabilidad puede ilustrase por el conocido e3e/plo de una bola sobre una super,icie cur0a descansando sobre una super,icie cónca0a :8ig1 a; el e.uilibrio es estable7 si se da a la bola una pe.ue6a 0elocidad inicial4 co/enzar5 a oscilar4 pero per/anecer5 en la pro2i/idad de su estado de e.uilibrio1 Por otro lado4 si el siste/a no se encuentra en una situación de /íni/a :energía potencial;4 entonces el i/pulso i/plica largos desplaza/ientos 0elocidades .ue se alcanzan r5pida/ente4 diciéndose .ue el siste/a es inestable1 )ste es el caso en el .ue la bola descansa sobre la cresta de una super,icie con0e2a :8ig1 b; o en posición "orizontal en un punto de in,le2ión :8ig1 c;1 %i la bola per/anece en el plano "orizontal4 el e.uilibrio se deno/ina NneutroO :8ig1 d;1
)l e3e/plo intuiti0o de la bola lle0a al enunciado de la le de /íni/a energía potencial de un siste/a< N'n siste/a el5stico conser0ati0o est5 en un estado de e.uilibrio estable si4 sólo si4 el 0alor de la energía potencial es un /íni/o relati0oO1
La e2presión N/íni/o relati0oO se usa por.ue puede "aber un /íni/o pró2i/o con un 0alor in,erior de la energía potencial separados por pe.ue6os N/ontesO pero el paso de uno a otro re.uiere grandes perturbaciones1 La e2istencia de un /íni/o relati0o de la energía potencial en la posición de e.uilibrio es4 estricta/ente "ablando4 única/ente una condición su,iciente para la estabilidad1 %in e/bargo4 este principio es aceptado general/ente en la pr5ctica co/o una condición necesaria su,iciente para la estabilidad1
