PROBLEMAS RESUELTOS DE LA PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO. Ejemplo 1. Tres ladrillos idénticos están atados entre sí por medio de cuerdas y penden de un dinamómetro que marca en total 24N de peso. Determina la tensión en cada una de las cuerdas. Solución:
Figura 4. Esquema y diagrama de cuerpo libre del problema 1. El esquema se construye para tener una idea clara del problema, los detalles del dibujo no son importantes (por ejemplo los nudos), únicamente nos importa la concepción física del problema. En el caso caso del del diag diagra ram ma de cuer cuerpo po libr libre e (DCL (DCL)) se real realiz izar aron on las las siguientes asignaciones: T1. Representa la tensión de la cuerda de hasta arriba. T2. Representa la tensión de la l a cuerda de en medio. T3. Representa la tensión de la cuerda de abajo. Como los ladrillos son idénticos, podemos suponer que el peso de cada uno de ellos es idéntico, es decir: W 1
= W = W = 2
3
24 N 3
= 8 N
En donde, es claro que: W1. Peso del ladrillo 1; W2. Peso del ladrillo 2; W3. Peso del ladrillo 3. Los vectores, son:
= ( 0i − 8 j ) N = ( 0i − 8 j ) N = ( 0i − 8 j ) N
W 1 W 2 W 3
Para este problema se pide el valor de la tensión experimentada en cada una de las cuerdas, entonces, primero determinamos que fuerzas se aplican en cada caso. -
Para T1.
Como se puede observar en la figura 4, la cuerda de arriba soporta el peso de los tres ladrillos, como la dirección es verticalmente hacia abajo. La primera condición de equilibrio será:
∑F
y
=0
De forma desarrollada:
∑F
y
= 0 ⇒ T 1 −W 1 −W 2 −W 3 = 0
Sustituyendo los valores: T 1
−8 −8 −8 = 0
Por lo tanto, T1 = 24N -
Para T2.
De acuerdo a lo mostrado en la figura 4, la cuerda de en medio soporta el peso de dos ladrillos. Aplicando la primera condición de equilibrio:
∑F
y
=0
De forma desarrollada:
∑F
y
= 0 ⇒ T 2 −W 2 −W 3 = 0
Sustituyendo los valores: T 1
−8 −8 = 0
Por lo tanto, T2 = 16N -
Para T3.
Es claro que la cuerda de abajo, únicamente, soporta el peso de un ladrillo. Aplicamos la primera condición de equilibrio:
∑F
y
=0
De forma desarrollada:
∑F
y
= 0 ⇒ T 2 −W 3 = 0
Sustituyendo los valores: T 1
−8 = 0
Por lo tanto, T3 = 8N La solución, es: T1 = 24N; T2 = 16N y T3 = 8N Ejemplo 2. Un cuadro de 20N se cuelga de un clavo como se muestra en la figura 5, de manera que las cuerdas que lo sostienen forman un ángulo de 60°. ¿Cuál es la tensión en cada segmento de la cuerda?
Figura 5. Representación asociada al ejemplo 2. Solución: A continuación presentamos el diagrama de cuerpo libre.
Figura 7. Diagrama de cuerpo libre del ejemplo 2. En el DCL del ejemplo se puede observar que a cada una de las fuerzas se les asigno un “nombre”. Para el caso de los ángulos recuerde el curso de geometría (suma de los ángulos internos de un triángulo, ángulos formados entre dos rectas paralelas y una recta secante). Ahora escribimos las fuerzas en forma vectorial. T AB = T AB ( − Cos 60 i − Sen 60 j ) ⇒ T AB = −T AB Cos 60 i − T AB Sen 60 j T AC = T AC ( Cos 60 i − Sen 60 j ) ⇒T AC = T AC Cos 60 i − T AC Sen 60 j W = W ( Cos 270 i − Sen 270 j ) ⇒W = ( 0i − 20 j ) N
Aplicamos la primera condición de equilibrio. -
Para el eje de las X ( ∑F X = 0 )
∑F
X
-
= 0 ⇒ −T AB Cos
60
+ T AC Cos
60
=0
(1)
Para el eje de las Y( ∑F Y = 0 ).
∑F
Y
= 0 ⇒ −T AB Sen 60 − T AC Sen 60 −W = 0
(2)
El sistema de ecuaciones generado, es: −T AB Cos
60
+ T AC Cos
60
=0
−T AB Sen 60 −T AC Sen 60 −W = 0
(1) (2)
Resolvemos el sistema generado mediante el método de sustitución. De la ecuación (1) despejamos a T AC. T AC
=
T AB Cos 60 Cos 60
⇒ T AC = T AB
(3)
La igualdad obtenida en (3) se sustituye en la ecuación (2). − T AB Sen 60 − T AB Sen 60 −W = 0
(4)
Resolvemos la ecuación (4), obtenemos: − 2T AB Sen 60 −W = 0 − 2T AB Sen 60 = W T AB = −
W 2 Sen 60
Sustituimos los valores conocidos y realizamos las operaciones indicadas:
T AB = −
20 N 2 Sen 60
⇒T AB = −11 .547 N
El valor encontrado lo sustituimos en la ecuación (3), obtenemos: T AC = T AB ⇒ T AC = −11 .547 N
La respuesta al problema, es: TAB = TAC = - 11.547N (El signo menos indica que la dirección supuesta es opuesta a la dirección real) Ejemplo 3. Calcule la tensión de la cuerda A y la compresión en B en el puntal de la figura 8.
Figura 8. Ilustración asociada al ejemplo 3. Solución. De acuerdo con la figura 8, las fuerzas que actúan en el problema, son: -
La tensión en la cuerda A (TA). La compresión en la barra B (TB). El peso de la esfera (W)
El punto en donde concurren las fuerzas, es el extremo superior de la barra, es ahí en donde se recomienda colocar el diagrama de cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 9, recuerde que la dirección de las fuerzas desconocidas se supone y mediante el signo obtenido en la solución sabemos si ella es correcta o no.
Figura 9. Diagrama de cuerpo libre del ejemplo 3. De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre, escribimos las fuerzas en forma de vectores: T A = T A ( Cos 0i + Sen 0 j ) ⇒ T A = T A i + 0 j T B = T B ( − Cos 60 i − Sen 60 j ) ⇒ T B = −T B Cos 60 i − T B Sen 60 j W = W ( Cos 270 i − Sen 270 j ) ⇒W = 0i −Wj
Aplicamos la primera condición de equilibrio: -
Para el eje X.
∑F
X
-
= 0 ⇒ T A − T B Cos 60 = 0
(1)
= 0 ⇒ −T B Sen 60 −W = 0
(2)
Para el eje Y.
∑F
Y
El sistema de ecuaciones generado, es: (1) (2)
T A − T B Cos 60 = 0
− T B Sen 60 −W = 0
En la ecuación (2) sustituimos los valores conocidos y determinamos el valor de TB.
− T B Sen 60 − W = 0 ⇒ −T B Sen 60 − 400 = 0 − T B Sen 60 − 400 = 0 ⇒ T B = −
400
Sen 60
(2)
⇒ T B = −461 .88 N
El valor de TB se sustituye en la ecuación (1), T A T A
(
− −
− T B Cos 60 =
(
) Cos 60 = 0
(1)
0 ⇒ T A − − 461 .88
) Cos 60 = 0 ⇒ T A + 461.88Cos 60 = 0 ⇒ T A
461.88
= −230 .94 N
De acuerdo con los cálculos, el valor de las fuerzas, es: TA = 230.94N y TB = 461.88N
Ejemplo 4. En la operación de descarga de un barco, un automóvil de 1587.57kg es soportado por un cable. Se ata una cuerda al cable en A y se tira para centrar al automóvil en la posición deseada. El ángulo entre el cable y la vertical es de 2°, mientras que el ángulo entre la cuerda y la horizontal es de 30°. ¿Cuál es la tensión en la cuerda? Solución. De acuerdo con la figura 10, se observa que existen tres fuerzas, las cuales se cruzan en el punto A. De acuerdo con lo anterior, el origen de nuestro sistema de referencia se ubicará en el punto A. Las fuerzas, son: -
La fuerza en B (TB). La fuerza en C (TC). El peso del automóvil (W)
Figura 10. Ilustración asociada al ejemplo 4.
Figura 11. Diagrama de cuerpo libre del ejemplo 4. De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre, representamos a las fuerzas en forma vectorial:
T B = T B ( − Cos 88 i + Sen 88 j ) ⇒ T B = −T B Cos 88 i + T B Sen 88 j T C = T C ( Cos 30 i − Sen 30 j ) ⇒ T C = T C Cos 30 i − T C Sen 30 j W = W ( Cos 270 i + Sen 270 j ) ⇒W = 0i −Wj
Aplicando la primera condición de equilibrio: -
Para el eje X.
∑F
X
-
(1)
= 0 ⇒ −T B Cos 88 + T C Cos 30 = 0
Para el eje Y.
∑F
Y
= 0 ⇒ T B Sen 88 − T C Sen 30 −W = 0
(2)
El sistema de ecuaciones generado, es: −T B Cos 88 +T C Cos
30
=0
(1) (2)
T B Sen 88 −T C Sen 30 −W = 0
De la ecuación (1) se despeja a TC. T C =
T B Cos 88 Cos 30
El valor despejado se sustituye en la ecuación (2):
T B Cos 88 Sen 30 − W = 0 Cos 30
T B Sen 88 − T C Sen 30 − W = 0 ⇒ T B Sen 88 −
Resolvemos la ecuación generada:
T B Cos 88 Sen 30 − W = 0 ⇒ T Sen 88 − Cos 88 * Sen 30 −W = 0 B Cos 30 Cos 30
T B Sen 88 − T B
= Sen 88 −
W Cos 88 * Sen 30
⇒ T B =
1587 .57 * 9.81 0.9792
⇒ T B = 15904 .21N
Cos 30
El valor calculando lo sustituimos en la ecuación despejada: T C
=
T B Cos 88 Cos 30
⇒ T C =
15904 .21Cos 88
Cos 30
⇒ T C = 640 .92 N
El valor de cada una de las tensiones, es: TB = 15904.21N y T C = 640.92N
