PROBLEMAS DE LÓG ICA
Matemática, Razonamiento Y Aplicación: 4. cumplía.
En una fiesta de cumpleaños, el señor Green no dijo directamente cuantos años añ os
Sól o di j o : “ Si sumo el año de mi naci m i e nt o a est e año, l e rest o el año de mi déci m o cumpl e años y el de mi decimoquinto cumpleaños, y luego le sumo mi edad actual, el resultado es 80” ¿Qué edad tiene el 10 15 80 2105 52.5
señor Green?
7. ¿ Cómo puede conectar cada cuadrado con el triángulo que lleva su mismo número? Las líneas no deben cruzarse. Atravesar por ningún cuadrado o triángulo ni salirse del diagrama.
9. ¿ Cómo debe colocar los enteros del 1-15 en los espacios siguientes de tal manera que ningún número se repita y la suma de dos números consecutivos cualesquiera sea un cuadrado perfecto? 8
1
15
10
6
3
13
12
4
5
11
14
2
7
9
Sea un cuadrado perfecto un número con raíz exacta. [3,29] 4
1+3
9
1+8, 2+7, 3+6, 4+5
16
1+15, 2+14, 3+13, 4+12, 5+11, 6+10, 7+9
25
10+15, 11+14, 12+13
12. Por medio de tres rectas, divida la carátula de un reloj en tres regiones tales que los números en cada región sumen lo mismo que los de las otras.
∑1,1,122 78 783 26 11121226 16.
¿ Cuántos rectángulos, de cualquier tamaño, hay en la figura siguiente?
5 CUADRADOS GRANDES
9. ¿ Cómo debe colocar los enteros del 1-15 en los espacios siguientes de tal manera que ningún número se repita y la suma de dos números consecutivos cualesquiera sea un cuadrado perfecto? 8
1
15
10
6
3
13
12
4
5
11
14
2
7
9
Sea un cuadrado perfecto un número con raíz exacta. [3,29] 4
1+3
9
1+8, 2+7, 3+6, 4+5
16
1+15, 2+14, 3+13, 4+12, 5+11, 6+10, 7+9
25
10+15, 11+14, 12+13
12. Por medio de tres rectas, divida la carátula de un reloj en tres regiones tales que los números en cada región sumen lo mismo que los de las otras.
∑1,1,122 78 783 26 11121226 16.
¿ Cuántos rectángulos, de cualquier tamaño, hay en la figura siguiente?
5 CUADRADOS GRANDES
10 CUADRADO SPEQUEÑ OS
6 RECT ÁN GULOS 2X1
6 RECT ÁN GULOS 2X1
R/ Hay 31 rectángulos en la figura 21.
Cuando una mujer que va en su auto observa que el odómetro marca 15951, se da
cuent a de que el número es un pal í n dromo. “ Curi o so” , se di c e a si mi s ma. “Pero pasará pa sará mucho t i e mpo ant e s de que vuelva a ocurrir”. No obstante, al cabo de dos horas el odómetro muestra otro número palíndromo ú ú í 16061 16061 16061159512 ∆ 1002 55 /ℎ /ℎ ¿ A qué velocidad viajó el automóvil en esas dos horas?
R= 55 km/ h
29. Estoy pensando en un número positivo. Si lo elevo al cuadrado, luego duplico el resultado, le quito la mitad y después le sumo 12 me quedan 37 ¿En qué número pensé?
22 1237 25 x=5
44. En el problema de suma mostrado a continuación faltan algunos dígitos, como se indica por los espacios en blanco. SI el problema p roblema se hace correctamente ¿Cuál es la suma de los lo s dígitos que faltan?
R/ 4+2+7+1=14 49. ¿Cuál es el número mínimo de lanzamientos que puede hacer en un juego regular de nueve entradas un lanzador de béisbol que lanza en un juego completo? 8x3=24 24+1=25
Para hacer el menor número de lanzamientos, es necesario que el lanzador sea del equipo visitante para que se de un walk-off home run, es decir que se hagan los lanzamientos de 8 entradas y 1 de la novena. Así mismo, se debe hacer el cambio de entrada lo más rápido posible eliminando en 3 lanzamientos a los 3 primeros bateadores del equipo contrario (local). En la novena entrada, en el primer lanzamiento se da un cuadrangular por parte del equipo local, terminando así el juego con un marcador de 1-0 con un total de 25 lanzamientos.
52. Usted tiene 8 monedas. De éstas. 7 son auténticas y una es falsa, por ello pesa un poco menos que las demás. Tiene también una balanza de platillos que puede usar solamente tres veces. Diga cómo descubrir la moneda falsa en tres pesajes. Luego muestre como detectar la moneda falsa con únicamente dos pesajes.
Se toman dos grupos de 2 monedas
Si ambos pesan igual, se deben tomar las monedas restantes en grupos de 2.
Si no pesan igual, la falsa estará en el grupo menos pesado.
Uno de estos es necesariamente más liviano
Cada moneda de este grupo se pesa individualmente y la menos pesada será la falsa
Cada moneda de este grupo se pesa individualmente y la más liviana será la falsa
Si los dos grupos no pesan lo mismo, esto querrá decir que una de las otras dos es la falsa. Se toman dos grupos de 3 monedas
Se toman las otras dos monedas y la que pese menos será la falsa
Se toman dos monedas del grupo que pesó menos: Si una de estas pesa menos que la otra esta será la falsa.
Si los dos grupos pesan lo mismo, esto querrá decir que dentro del grupo que pesó menos está la falsa
Si las dos monedas pesan lo mismo esto querrá decir que la que no fue pesada es la falsa.
EJERCICIOS DE FUNCIONES
Matemáticas Aplicadas A La Administración Y A La Economía. 17. Una empresa tiene costos fijos mensuales de $2000 y el costo variable por unidad de su producto es $25. a) Determine la función de costo b) El ingreso I obtenido por vender x unidades está dado por I(x)= 60x-0.01 . Determine el número de unidades que debe venderse de modo que maximicen el ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo? c)¿ Cuántas unidades deben producirse y venderse al mes con el propósito de obtener una utilidad máxima?¿ Cuál es esta utilidad máxima?
a)
252000
b) I. II. c)
Ingreso máximo=
. 3000 =
30006030000.013000 $90 000 600.01 252000 0.01 352000 17500.011750 3517502000 1750 $28625
á 2 0.3502 1750
22. . Si los manzanos se plantan con una densidad de 30 por acre, el valor de la cosecha producida por cada árbol es de $180. Por cada árbol adicional que se pla nta en un acre, el valor de la cosecha disminuye en $3. ¿ Cuál es el número de árboles que deben plantarse por acre con objeto de obtener el valor máximo de la cosecha? ¿Cuál es este valor máximo por acre de la cosecha?.
á/ 301803 3 905400 15 315 9015 5400$6 075
á= 2 906 15 153045 á/
23. Si un editor fija el precio de un libro en $20 cada uno, venderá 10.000 ejemplares. Por cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 copias. ¿Qué precio deberían fijar a cada libro de modo que el ingreso sea máximo? ¿Cuál es el valor de este ingreso máximo?
2010000400 400 2000200 000 2.54002.5 20002.5200 000$ 202 500
á= 2 2000 800 2.5 ó $22.5
25 Bienes raíces orientales ha construido una nueva unidad de 40 departamentos para rentar. Se sabe por las investigaciones de mercado que si asigna una renta $150 al mes, se ocuparán todos los departamentos. Por cada incremento de $5 en la renta, un departamento quedará vacío. ¿ Qué renta mensual deberá asignar a cada departamento de modo que obtenga ingresos por rentas mensuales máximos? Calcule este ingreso máximo.
á= 2 5010 5 401505 $175 ó 5 506 000 5 55 505 6 000$6125 152720 2006. 152720 2006. 72015 72015 2006 2 2 72015 200372015 2 72015 2 4057.5 2360 27 27 405277. 5 2360$ 3 107. 5 405 á= 2 15 27 ó $27
26. La demanda del mercado de cierto producto es de unidades cuando el precio fijado al consumidor es de dólares, en donde . El costo (en dólares) de producir unidades está dado por ¿Qué precio por unidad deberá fijarse al consumidor con objeto de que la utilidad sea máxima?
3√
3
La velocidad a la cual un químico se produce en cierta reacción depende de la temperatura T de acuerdo con la fórmula Si T varía con el tiempo de acuerdo con , exprese R con una función de t y evalúe R cuando t=2
1 3√ 31 31 3 31 2 9 3√ 9 2 59 058
Un vendedor tiene un salario base de $1000 al mes más una comisión del 8% de las ventas totales que realiza por arriba de $6000. Exprese sus ingresos mensuales E como una función de x, en donde x son las ventas mensuales totales en dólares. a) ¿Cuáles el dominio de esta función? b) ¿Cuál será su salario total cuando realiza ventas por $5000 y $8000?
10000,086000 ≥6000 : ∈ } <6000 5200.1000 08 ≥6000 si
50001000 8000 10000,0880006000 80001160
)
24. Las Aerolíneas del Pacífico tienen una tarifa de $6 por transportar cada libra de mercancía 900 millas y de $10 por transportar cada libra 1700 millas. Determine la función de costo, suponiendo que es una función lineal de la distancia.
106 0.005 1700900 69000.005 b = 1.5
0.0051.5
701500. 3 2 1500.6 250 701502500.325018820 3000 1 2 0 ≥0 0 3000 10 1000 13000 11 2000 23000 12 2600
27. El número y de unidades vendidas cada semana de cierto producto depende de la cantidad (en dólares) gastada en publicidad y está dada por . ¿Cuánto deberían gastar a la semana en publicidad con objeto de obtener un volumen de ventas máximo? ¿Cuál es este volumen de ventas máximo?
37. por
El tamaño de una población de insectos en el tiempo (medido en días) está dado Determine la población inicial y el tamaño de la población después de 1 y 2
días. Encuentre la función inversa expresando como una función de
para
EJERCICIO S DE LÍM ITES
554.
l→im –+–– −+
– l→im – – – l→im – – l→im
l→im l→im l→im 2 2
.
592.
4 811 l→im− 33 9 271648 33 4 811 l i m 3 3 4 811 √ → l→im− 3 √ 48 11 3 √ 4811 − 93163 3 4 811 54 l i m → − 916 43 33 4 811 l→im− 9 4811
l→im3 32 48311
595.
+ − + √ √ lim √ + – √ + →
l→im √ √ 3241– √ √ 214 √ √ 33 44 √ √ 22 44√ √ 22 11 √ √ 11 2 1 √ 1 √ l→im 3424 211 √ 3 4 √ 2 4 2 1 1 √ √ lim √ 3 4 √ 2 4 → l→im √ √ 32 41 √ √ 214 24 12
600.
l→im − −
2 l→im 23 24 22 3 62 l→im 2248 24 24 lim 22 24 → 1 l→im 24 24 8 621.
– + l→im − − +−
– 3 cos l→im 2 2 2 – 3 cos l→im 3 2 cos l→im 22 –3cos 32 – 3 cos l→im 2 2 cos
625.
− − + l→im − + –
l→im 11 coscos1 1 1 cos →lim 1 cos 1 639.
− – lim + →
1 – 2 2 lim cos 2 2 → 11 0 l→im 652.
l→im ++ ∝∝ +− −−∝∝
∝ ∝ ∝ ∝ lim ∝ ∝ ∝ ∝ → 2 ∝ l→im 2 ∝ ∝ lim ∝ ∝ →
670.
– lim + − →
1 1 1 – 1 2 l→im cos2 1 1 1 2 1 1 – l→im cos2 1 1 11 2 1 l→im 2cos 1 1 11 [ 2 ] 1 l→im cos 2 1 11 2 1 l→im 121 1 1 1 2 2 11 l→im 1cos 1 [1 2 ] l→im 1cos 12 1 11 2 l→im 1 14 0 2
673.
+ lim − →
1 cos 2 lim → 1 l→im 2
1 2 l→im 11 1 14 l→im 21
EJERCICIOS CONTINUIDA D Y DE LA DERIVADA
2 1 1 2 1.
36. Dibuje la gráfica de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes. a) Su dominio es [-2,2]. b) c) Es discontinua en -1 y 1. d) Es continua por la derecha en -1 y continua por la izquierda en 1.
cos 6 30 cos22 6 232 8 32 2452
53. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que solución real entre 0 y .
2 cos 6 30 cos00 6 03 30 20 3 2 3
tiene una
Sea f(x) una función continua en todo su dominio si y habrá un valor x:[0, donde f(x)=0 60. Encuentre los valores de y de modo que la siguiente función sea continua en todas partes.
1 <1 1 ≤ <2 3 ≥2 622 2 22 4
1 2 3 62
71. Un bloque delgado en forma de triángulo equilátero con lado de longitud 1 unidad tiene su cara en la vertical del plano con un vértice en el origen. Bajo la influencia de la gravedad, girará alrededor de hasta que un lado golpee el piso, en el eje (véase la figura 16). Denótese con la abscisa inicial del punto medio , del lado opuesto a y sea la abscisa final de este punto. Suponga que el bloque queda en equilibrio cuando está directamente arriba de . a) Determine el dominio y rango de . b) En el dominio de , ¿ en dónde es descontinua?. c) Identifique cualesquiera puntos fijos de (véase el problema 59).
, . : .
0.25
1-x=0.75 M
h Y V -1
1
X
M
Dominio: [-0.75, 0) (0.75] Rango: [-0.75, 0.75]
´041;22;60; ´2´ 0,2;´´´>0 ∪ 4,46;; >040; <0 0, 2,14∪3, ´ <0 1,3 ∪4,6
33.
30, 3;2;´2<0 ´0>0 4;2, 4 2;4∪4,6 50;; ; ´´2´ 40; ´ 1 5, 6 <0 0,3∪4,5;´ >0 3,4
34.
42-44 Trace o copie la gráfica de la función dada. Luego dibuje directamente debajo se derivada. 42.
43.
44.
48.
EJERCICIOS DE DERIVADAS
34.
11
−. 1 1 1 ´ 2 1 11 − 2 ´ 21. 1
38.
√
− − 1 1 ´ √ 1 √ 1 1 −
2
2
2
´ 2 1 √ 12 1 √ 1 2√ 1 56.
11 1 ´ 12 1
´ 2 11 1 ´ 76.
√ √ 1 1 1 11 1 2 1− 1 2 − 1 ´ 2 √ 1 2 √ 1 √ 1 √ ´ √ 1√ 1 √ 1√11 ´ √ 1 1 √11
√ 1√ ´ √ 1 1 77.
√ 2 1 ´ 2 √ ´ √ (√ )√ (√ ) √ ´ √ (√ ) 2 2 2 2 ´
2 2 2 2
´ √ ´ l n ´ ln 105.
111.
2 1 3 ´ 3ln1 34 ln2 25 ln3
3 515 2 ´13 42 2 3 3 1 2 ´ 3 1 48 515 − − ´ 1 12 1 1 ´ 12 ´ 2 ´ 2 ´ 136.
139.
13 ln1 16 ln 1 √ 13 − 21 √ 3 2 1 621 √ 3 1 ´ 31 1 √ 3 21 3 1 621 2 ´ 31 1 4 413 1 621 2 ´ 31 1 4 1 1 621 2 ´ 31 1 4 1 2126 ´ 31 1 12 1
4 2 ´ 31 1 12 1 2 ´ 31 1 3 1 21 ´ 31 1 3 1 ´ 331 11 ln(1√ 2 )ln(1√ 2 )2− 1√ 2 1 2 2 2 √ √ 1 1 2 2 2√ 2 √ ´ 1 √ 2 1 √ 2 2 2 12 2 2 2 2 2 2 √ √ √ √ ´ 1 √ 2 1 √ 2 2 1 2 2 2 2√ 2 22√ 2 2 22√ 2 2 √ 2 2√ 2 √ √ √ ´ 2 √ 2 2 √ 2 √ 2 1 1√ 2 2√ 2 2√ 2 2√ 2 2√ 2 ´ 1 1 ´ 14√ 2 140.
PROBLEMAS DE RAZÓN DE CAM BIO
18. Se está extrayendo agua de un depósito cónico de concreto (el vértice está hacia abajo) de radio 45m y altura 6m; el agua sale a razón de 50 / min. a) ¿ Qué tan rápido (en centímetros por minuto) baja el nivel del líquido cuando el agua tiene 5m de profundidad? b) ¿ Qué tan rápido cambia el radio de la superficie del agua en ese momento?
7. 5 ℎ 45 ℎ6 3 ℎ 59ℎ 50⁄ 50593ℎ ℎ⁄ ℎ 5 ℎ⁄ ≈0.0113⁄ ⁄ 7. 5 ℎ⁄ ⁄ ⁄ ≈8.475⁄ ℎ⁄ ≈1.1 3 3
19. De un depósito de forma hemisférica con radio 13m, ilustrado aquí de perfil, el agua fluye a razón de 6 / min. Responda las siguientes preguntas, dado que el volumen del agua en el depósito hemisférico de radio es cuando el agua tiene y metros de profundidad.
169 3 3 3 23 3 63 6144 ⁄ 241 z + y=13
1326 169 262 12 26 ⁄ 2885
31. Una luz brilla desde el extremo de un poste de 50 pies de altura. Se lanza una pelota a la misma altura desde un punto ubicado a 30 pies de distancia de la luz. ¿Qué tan rápido se mueve la sombra de la pelota a lo largo del suelo 1/2 segundo después? (Suponga que la pelota cae una distancia pies en t segundos).
16
50
50-16 !
"
50 30 16 1500480 5016 375 50305016 4 30 375 / 5050150016 480 2 v(t)= -1500m/s
30 X+30
36. A y B caminan sobre calles rectas que se cruzan en ángulo recto. A se aproxima a la intersección a 2 m/seg; B se aleja de la intersección a 1 m/seg. ¿ A qué razón cambia el ángulo cuando A está a 10 m de la intersección y B está a 20 m de la misma? Exprese su respuesta en grados por segundo, redondeando al grado más cercano.
⁄ 54 4010 400 503 °⁄
11. Una alberca es de 40 pies de largo, 20 pies de ancho y 8 pies de profundidad en el extremo más hondo y 3 pies de profundidad en el extremo menos profundo; el fondo es rectangular. Si la alberca se llena al bombear agua a una razón de 40 pies cúbicos/min, ¿Con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando la profundidad es de 3 pies en el extremo más hondo?
80ℎ, ℎ>5 ℎ≤5 ℎ{1600ℎ, ℎ80ℎ 160ℎℎ ℎ 121 ⁄
40m
3 5
Se bombea agua a una razón constante de 2 litros/ minuto a un tanque con forma de cono circular recto truncado. El tanque tiene una altura de 80 centímetros y los radios inferior y superior miden 20 y 40 centímetros respectivamente. ¿A qué velocidad se eleva el nivel del agua cuando la profundidad del líquido es de 30 centímetros? El volumen V de un cono circular recto truncado de altura h y radios inferior y superior a y b es 20.
ℎ
.
40
80
13 ℎ 13 ℎ2 ⁄ ⁄ / 13 ℎ/ ⁄3000/ 2000 / 360010/11 )
20
29. Una bola de nieve se derrite a una razón proporcional al área de su superficie. (a) Demuestre que su radio se contrae a una razón constante. (b) Si en una hora de derrite a de su volumen original, ¿cuánto tardará en derretirse por completo?
4 ⁄ ⁄ 8 ⁄8
11278 1 1927− 2719 ℎ
26. Una artesa tiene 12 pies de largo y 3 pies de uno a otro lado de su parte superior. Sus extremos son triángulos isósceles con alturas de 3 pies. a) Si a razón de 2 pies cúbicos por minuto, ¿ con qué rapidez está subiendo el nivel del agua cuando tiene 1 pie de profundidad? b) Si el agua está subiendo a razón de pulgada por minuto cuando determine la rapidez a la cual se está bombeando agua a la artesa.
ℎ2,
3m
3m
12m
ℎ1 ⁄ 2 ⁄ ℎ2 6 ⁄ 212 ℎ ℎ ℎ⁄ 1/63
ℎ24 ℎ⁄ 38 ⁄ 6ℎ ⁄ 12 24 38 ⁄ 108 ⁄
.
42. Los automóviles que van sobre cierta carretera pasan por un arco circular de radio Con el fin de no contar sólo con la fricción para vencer la fuerza centrífuga, la carretera se peralta formando un ángulo de magnitud respecto a la horizontal a la horizontal. El ángulo del peralte debe satisfacer la ecuación donde es la velocidad de los automóviles y pies por segundo es la aceleración debida a la gravedad. E ncuentre la relación entre las razones de cambio relacionadas y
.
tan
32
⁄ 32⁄ 2 ⁄⁄ 16 44. Al picar un pez, el pescador recoge la caña de pescar a razón de 1 pie por segundo desde un punto que está a 10 pies arriba del agua. ¿ Con qué rapidez está cambiando el ángulo entre el sedal y la superficie del agua cuando se tienen fuera en total de 25 pies de aquél?
10 ⁄ 1⁄ 25 − 1025 26.2°
10 10 ⁄ 0. 0.92 25 ⁄ 0 175°⁄
GRÁFICAS DE FUNCIONES
18.
6 46 4 : ∈ } 4 12 4 4120 30 3 30 0 ±√ 3
1) Dominio: 2) Asíntotas: No hay 3) Puntos de corte: Si x =0
y=
4) Puntos de Críticos :
5) Máximos y Mínimos:
2 0.5 1 2 12 12 0 12 12 1212 ± 1
6) Puntos de Inflexión:
7) Concavidad:
Máximo:
±√ 3
Mínimo: 0
0 2 2 (√ 034 )5 (√ 3 )5 1 1 11
8) Puntos críticos y de inflexión:
9) Gráfica:
: ∈ , ∈ ∞,5} 2 23 ≠2 : ∈ , ≠2} 2 2 10)Rango:
35.
,
1) Dominio: 2) Asíntotas: Vertical: Oblicua: 3) Puntos de corte:
±√ 3 3 2 22 3 2 4 2 43 2 430 31 3 1
Si x =0
y=
Si y=0
4) Puntos de Críticos :
5) Máximos y Mínimos:
0 1,2 1.5 2.5 4 2 24 43 24222 4 34 826421612 2382842 16162 2 816612 24 2244 0 2244
Máximo:
Mínimo: (3,6)
6) Puntos de Inflexión:
No hay puntos de inflexión
7) Concavidad:
3 3 1 2 36
8) Puntos críticos y de inflexión:
9) Gráfica:
: ∈ , ≠2} 3231 : ∈ }
10)Rango: 36.
1) Dominio: 2) Asíntotas: Oblicua: 3) Puntos de corte: Si x =0
y= 0
0 333 16 1 6 933 1
Si y=0
4) Puntos de Críticos :
331 3 3 3 0
3 3 ℎ
5) Máximos y Mínimos:
1 1 43236312 (1236)9462(13 321)4 7 5 5 3 36 108 36 108772512354536(3326108 1)4 5 5 108 72512354(352636 1)4 18(351221)346 2 1 633422 3 1 0 0 1 ±1
6) Puntos de Inflexión:
7)Concavidad:
2
0. 5 0.25 00 1 1 14 1 4
8)Puntos críticos y de inflexión:
9) Gráfica:
:∈ } 4 2 4 8 3 12 : ∈ } 4 ± √ 3 ± 1 16 316 1616 160 1 0 ±1 1 0 10)Rango:
8.
1) Dominio: 2) Asíntotas: No hay 3) Puntos de corte: Si s =0
y=
Si y=0
4) Puntos de Críticos :
5) Máximos y Mínimos:
2 0.5 0,5 2
Máximo: x=
Mínimo: x= -1
6) Puntos de Inflexión:
−
0 48 16
± √
7) Concavidad:
0 1 1 0 4 1√ 3 12827 √ 13 1282716 1 16 3 1 3
8) Puntos críticos y de inflexión:
9) Gráfica:
0
: ∈ , ∈⌊ ,∞⌋ 2 1 1 : ∈ } 10)Rango:
14.
1) Dominio: 2) Asíntotas: Verticales: no hay Horizontales: lim =0 y=0 3) Puntos de corte: Si x =0
y=
1
4) Puntos de Críticos :
21 20 0
5) Máximos y Mínimos:
1 1
6) Puntos de Inflexión:
Máximo:
0
+ −− +
0 232 1
± √
7)Concavidad:
0.15 1 0.5 8)Puntos críticos y de inflexión:
1√ 1301 √ 3 4 0 1 9)Gráfica:
: ∈ , ∈ 0,1} : ∈ << 10)Rango:
26.
1) Dominio:
2) Asíntotas:
, , , 0 0 2 2 0 Verticales:
3) Puntos de corte: Si x =0
y=
Si y =0
x=
4) Puntos de Críticos :
5) Máximos y Mínimos:
10 10 2( 2) 2(2) 0 2(2)0
6) Puntos de Inflexión:
No tiene puntos de inflexión
7) Concavidad:
10 10 0 0
8) Puntos críticos y de inflexión: 9) Gráfica:
: ∈ , ∈0,∞} 22 19 : ∈ , ≠3 } 3lim + 1 − 19 1 2 92 9 20 9 200 0
10)Rango: 10.
1) Dominio: 2) Asíntotas: Vertical: Horizontal: 3) Puntos de corte: Si x =0
y=
4) Puntos de Críticos :
5) Máximos y Mínimos:
10
10 2 2 29 20 9 ( ) 294 4 233 60 29 0 602 3 ±√ 3
6) Puntos de Inflexión:
7) Concavidad:
10 1 10 0 19 2 (√ 3 ) 3 2 (√ 3 ) 3
8) Puntos críticos y de inflexión:
9) Gráfica:
: ∈ , ∈∞,∞} 2 6 4 12 : ∈ , ≠4 } 4 3 12 6 612 264 4 812 4 8120 2 6
10)Rango: 17.
1) Dominio: 2) Asíntotas: Vertical: Oblicua: x= 2 3) Puntos de corte: Si x =0
y=
Si y =0
x=
4) Puntos de Críticos :
5) Máximos y Mínimos:
10 1
x=
5 10 2 812 284224 4 4 48 3 0 8
6) Puntos de Inflexión:
no hay puntos de inflexión
7) Concavidad:
10 1 22 6 6
8) Puntos críticos y de inflexión:
9) Gráfica:
10)Rango: 22.
: ∈ , ∈∞,2∪6,∞}
1 62
: ∈ 4≤≤4} 0 ±4 √ 16 1 6 √ 2 16 16 22160 √ 2
1) Dominio: 2) Asíntotas: No hay 3) Puntos de corte: Si x =0
y=
Si y =0
x=
4) Puntos de Críticos :
5) Máximos y Mínimos:
10 1 1 10 216 2162216 4 2162 232483 162 2 480 2√ 6
6) Puntos de Inflexión:
x=0
7) Concavidad:
1 10 10 00 4 0 40 (2√ 2 )8 (2√ 2 )8
8) Puntos críticos y de inflexión:
9) Gráfica:
: ∈ , ∈ 8,8} 2 65 : ∈ } 5 1 5 | 65 65| 26
10)Rango: 38.
1) Dominio: 2) Asíntotas: No hay 3) Puntos de corte: Si x =0
y=
Si y =0
x=
4) Puntos de Críticos :
x=
3 65260 5 1
5) Máximos y Mínimos:
1 2 4 10 26 265 2 2 2 6 3646 65 65 ( ) ( )26 2 ⌈ ⌉ 65 2162 62 3646|2 65|2 3 2 652262 2 162 6 3646| 65| 6526 0 5
6) Puntos de Inflexión:
x=1
7) Concavidad:
1 410 05 1 0 50 3 4
8) Puntos críticos y de inflexión:
9) Gráfica:
10)Rango:
: ∈ , ∈ 0, ∞}
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
19. Encuentre las dimensiones de un cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio 10 cm ¿Cuál es el volumen máximo?
ℎ4 4004 ℎ 2 100
2 100 0 √100 02003 − 22 100 2100 2 r= 0
v= 2418.40
23. Se quiere construir un silo (sin incluir la base) en forma de cilindro rematado por una semiesfera. El costo de construcción por unidad cuadrada del área superficial es dos veces mayor para la semiesfera que para la pared cilíndrica. Determine las dimensiones que que se deben usar si el volumen es fijo y el costo de construcción debe mantenerse al mínimo. Desprecie el espesor del silo y los desperdicios en la construcción.
2ℎ2 2ℎ2 2 43 2 83 16 ´ 2 3 028 33
√ 3
2 ℎ 3 ℎ 23
ℎ 23 √ 3 4 ℎ 9 3 √ 3 3 8 2
24. El comedor de la figura se debe hacer con las dimensiones que se muestran. Solamente se puede variar el ángulo . ¿Qué valor de maximizará el volumen del comedero?
1’
1’
1’
6
2ℎ1 − 2 211 2 ℎ 1ℎ 2 2
ℎ ′cos2 021 021 1 0211 − )
25. Se coloca un hoja de papel de 8.5 por 11 pulgadas sobre una superficie plana. Una de las esquinas se coloca sobre el lado opuesto más largo, como se muestra en la figura, y se mantiene ahí conforme se aplana el papel suavemente. El problema es hacer la longitud del pliegue tan pequeña como sea posible. Llamamos L a la longitud. Inténtelo con papel. a) Demuestre que . b) ¿ Qué valor de x minimiza ? c) ¿Cuál es el valor mínimo de L?
−.
18. Un cono circular recto será inscrito en otro cono circular recto de volumen dado, con los mismos ejes y con el vértice del cono interior tocando la base del cono exterior. ¿ Cuál debe ser la razón entre sus alturas para que el cono inscrito tenga volumen máximo?
H
h
ℎ 3 ℎ 3 3 02r
02 3 23 23 ℎ 1 23 ℎ 13
28. La iluminación en un punto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto a la fuente luminosa y directamente proporcional a la intensidad de la fuente. Si dos fuentes luminosas están separadas en s pies y sus intensidades son e , respectivamente, ¿en qué punto entre ellas la suma de sus iluminaciones será mínima?
x
s
2 2
0 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 2)
35. Un rectángulo tiene dos vértices sobre el eje x y los otros dos en la parábola ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de este tipo con área máxima?
212 0246 242 ±2
12 ≥0
12 12 z=-x
largo=4 ancho=8
-x
2
, con
.
33. Se va a enviar un paquete por un servicio postal que puede tener una longitud y un perímetro de sección transversal combinados máximo de 108 pulgadas. Encuentre las dimensiones del paquete de volumen máximo que se pueda enviar.
4108 108 4 0543 x=18 y=76
18
20 120 109800
41. La suma de los perímetros de un triángulo equilátero y un cuadrad es 10. Encuentre las dimensiones del triángulo y el cuadrado que produzca un área total mínima.
x
z
ℎ2 3 √ 4 25 15 9 3 √ 4 4 16 4 154 98 √ 23 154 948 √ 3 9430√ 3
4310 52 34 4√ 3 3 41094√ 10√ 33 94√ 1 2 1.087
4 √ √ 2 610 4 ′ 2√ 4 4√ 3 610 61023 4 4 4 610 69 4 4 ′ √ 4 3 18 27 24360 6 9 8120 610 3324320 3 ´ √ 610 3 4 32
49. Un hombre se encuentra en un bote a 2 millas del punto más cercano sobre la costa. Tiene que ir hasta un punto Q, ubicado a 3 millas a lo largo de la costa y 1 milla tierra adentro. Si puede remar a 2 millas por hora y caminar a 4 millas por hora, ¿hacia qué punto sobre la costa debe de remar para llegar al punto Q en el menor tiempo?
(
x=1
PROBLEMAS DE
INTEGRACIÓN
151.
∫ 1 √
=
1 2√ 1 1 2 1 2 1 3 2 31 3 2 3 1
1 √ 1 12 − 1 2√ 2√
2 33 1 3 2 3 2 3ln 1 3(1 ) √ √ 2 3 2 3(1 √ )ln(1 √ )
∫ cos ∫ cos 2∫ √ sec√ √ 2 ∫ sensec 2 √ 1 2 ∫ 11 2 cos 2√ 2 ∫ 2 2 √ 2 ∫ 2 2 – 22 cos2 cos2 √ ∫ − ∫ ∫ − ∫ ∫ + ln| 4|ln| 4| ln−+
158.
167.
168.
=
16 16 1616 4 4 4 4 4 4 16 0 0 4416 440 4 0 2 216 2 169.
+ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
lnln ∫ tan ∫ tan 3 ∫ tan lncos l ncos− ln lnsec lnsec ∫ 2214 + + +
183.
=
185.
∫ + ∫ ++
∫ ∫ ∫ + ∫ + ln ln| 4| tan−
1 4 4 0 0 41 41 14 14 14 14 ∫ – ∫ −− ∫
196.
205.
∫ ∫cot ∫ ∫ ln ln ∫ √ ∫ ∫ √
210.
∫ 5 5 2060120120 =
5 20 60 120 120 0
PROBLEMAS DE ÁREA
46.
47.
72 4 4 72 4 33 ±1 ∫ 72 ∫− 4 ∫ 33 3 312 22 4 4 4 4 4 5 40 ∫ 40 ∫ 4 y
y
∫ 8 8 √ , >0, 0 √ 0 ± √ √ − ∫ 0 2 20 2 0 √ + −√ 1 ∫− 2 2 24 2 8 1 2
48.
Al ser
52.
y
impar
y
=2
0 3 2 0 223 3 2 23 41 1 43 83 4 ±1 √ ∫ √ ∫
55.
3.
5.
y
, ∫ ∫
7.
9.
∫ ( ) ∫ 8 / ⁄ ∫ (⁄) √ ,0,4
11.
a) el eje x
b) el eje y
c) la recta x = 4 d) la recta x = 6
√ 0
x=0 a.
b.
∫ √ 8 ∫ 4 16 32
c. x=4
