Ejercicios Sobre Vibracion Libre Amortiguada

PROBLEMA 2 Resolver los siguientes ejercicios del libro “Dynamics of Structures” del libro de Anil K. Chopra: 2.1, 2.7 y 2.11. A) EJERCICIO 2.1: Una masa pesada se apoya sobre patas de acero

planas. Su periodo natural de vibración es de 0.5 segundos. Cuando se sujeta una placa de 50 lb a su superficie, el periodo natural de vibración se alarga a 0.75 segundos. ¿Cuáles son el e l peso y la rigidez del sistema? sist ema?

Mesa sin placa:

 =   = 2 ⟹  = 2 = 20.5 = 4 /  =    ⟹  = 2 ×  = 42 ×  = 16162 ×  Mesa con placa de 50 lb:

 =  + 50  = 2 ⟹  = 2 = 0.275 = 83  / 2  8 2  =   + 50 ⟹  =   ×  + 50 = 3  ×  + 50 = 694 2 ×  + 32009

 Ambos sistemas presentan la misma rigidez:

Hallando la rigidez

16 ×  = 694  ×  + 32009  =    =  × 

 = 4  × 40 = 1579.32.7136 = . / B) EJERCICIO 2.7: Imagine un clavadista que pesa 200 libras a l final de un

trampolín con un voladizo de 3 pies. El clavadista oscila a una frecuencia de 2 Hz. ¿Cuál es la rigidez a flexión EI del trampolín? Frecuencia Natural de Vibración:

  = 2 

 =  =   = 0.5 seg  =   = . = 4 rad/seg  = 2 × = 42 × 32.2007 = 965.83 /ft

Periodo Natural de Vibración:

Frecuencia Circular Natural: Rigidez del sistema:

  = 3  ⟹  = 3 = 965.8333 = . /

C) EJERCICIO 2.11: ¿Cuál es la relación entre amplitudes de vibración

sucesivas si se sabe que la fracción de amortiguamiento viscoso es (a) =0.01, (b) =0.05 y (c) =0.25?

(a) =0.01

2  ln [  +] = √1

(b) =0.05

(c) =0.25

0 1 ln [  +] = √   120. 0.01 ln [  +] = 0.063  .     =   +  + = .  2  ln [  +] = √1 0 5 ln [  +] = √   120. 0.05 ln [  +] = 0.315  .     =   +  + = .  2  ln [  +] = √1 2 5 ln [  +] = √   120. 0.25 ln [  +] = 1.622  .     =   +  + = . 

PROBLEMA 3 Se realiza un ensayo en vibración libre de una estructura de 1 g.d.l. Se conoce que la masa es de 750 kg. Se desplaza la masa 35 mm de su posición de equilbrio y se suelta súbitamente. Se observa que luego de 18 segundos, la masa ha oscilado 20 ciclos y su amplitud es de 2.5 mm. Calcular la rigidez y la razón de amortiguamiento del sistema.

  ==0.3575   ==182.5⟶ 20 

Frecuencia Natural de Vibración:

Periodo Natural de Vibración:

Frecuencia Circular Natural: Rigidez del sistema: Razón de Amortiguamiento:

  =  =   = 1.11 Hz  =  = . = 0.9 seg  =   = . = 6.98 rad/seg  = 2 × = 6.982 × 0.75 = . /  = 21 ln  = 2×201 ln 2.355 = 0.02 = %

PROBLEMA 4 Calcular el periodo y la frecuencia natural de vibración y (las propiedades amortiguadas) considerando h=3.70m y L=5.00m. Las columnas son 300mm x 450mm y el arriostre lateral de 25mm x 25mm. Además m=500 kg, E=210GPa y ξ=3%.

Solución:

 = tan− (3.5.7000) = 36.5°  = √ 3.70 + 5.00 = 6.22    cos  = 24ℎ +    = 0.300.12 45 = 2.28×10−    = 0.025×0.025 = 6.25×10−    cos   = 24ℎ +  

Rigidez del sistema

−cos 36.5° = 240309.7 ⁄  = 24210×103.72.0 28×10− + 210×106.26.5×10 22

b) Propiedades naturales: 

Frecuencia natural:

7  =   =  240309. 500  = 693.27 ⁄ 

Periodo natural:

 = 2 = 693.227 = 0.009 . 

Frecuencia natural:

 = 1 = 0.0109 = 110.34 ℎ b) Propiedades amortiguadas ( ξ=0.03) 

Razón de amortiguamiento:



Amortiguamiento crítico:



Amortiguamiento del sistema:

 

Como



Frecuencia circular amortiguada:



Periodo amortiguado:



Frecuencia amortiguada:

∁< ∁

∁= ξ×∁ ∁= 2 = 2500693.27 = 693270 .⁄ ∁= ξ×∁= 0.03693270 = 20798.1.⁄

 : si hay oscilaciones (subcrítico)

 = √ 1 ξ = 693.27√ 10.03 = 692.96 ⁄  = 2 = 692.296 = 0.009 .

 = 1 = 0.0109 = 110.34   = −  cos +sin   =  = 0= 0 ̇  =  ̇ +ξ  = 0  = −.



Respuesta de desplazamiento:



Condiciones iniciales:



Respuesta de desplazamiento final:

PROBLEMA 5 Se realiza un ensayo en vibración libre de una estructura de 1 g.d.l. Se conoce que la masa es de 700 kg. Se desplaza la masa 35 mm de su posición de equilbrio y se suelta súbitamente. Se observa que luego de 15 segundos, la masa ha oscilado 22 ciclos y su amplitud es de 2.8 mm. Calcular la rigidez y la razón de amortiguamiento del sistema.

  ==0.3570   ==152.8⟶ 22 

Frecuencia Natural de Vibración:

Periodo Natural de Vibración:

Frecuencia Circular Natural: Rigidez del sistema: Razón de Amortiguamiento:

  =  =   = 1.47 Hz  =  = . = 0.68 seg  =   = . = 9.24 rad/seg  = 2 × = 9.242 × 0.70 = . /  = 21 ln  = 2×221 ln 2.358 = 0.018 = . %

PROBLEMA 7 Se tiene un pórtico de concreto armado (E=2,2x10 6 Tonf/m2). Las columnas son de: C1 (30cm x 50cm) y la C2 (30cm x 60cm). La amplitud de las oscilaciones después de 25 ciclos decrece a 1/30 de la amplitud inicial. Calcular todas sus propiedades en vibración libre. Grafique sus respuestas de desplazamiento, velocidad y aceleración cuando el pórtico es sometido a un desplazamiento inicial de 10 cm. Considerar H 1=5m y H 2=3.50m.

SOLUCION:

 =   = ×.×.××.× =    = 165 /   =   = ×.×..××.× =  .   = 3325.02 /  =  +  = 3490.015 /  =    =  3490.9 02 = 19.69 /

Rigidez de la Columna 1 (C1): Rigidez de la Columna 2 (C2): Rigidez Total del Sistema:

Frecuencia Circular Natural:

Periodo Natural de Vibración:

Frecuencia Natural:

 = 2 = 19.269 = 0.32    = 1 = 0.132 3.13 

Coeficiente de amortiguamiento crítico:

 = 2× = 29×19.692 = 354.46 ./ 1 ln  11  = 0.0217 = .%  = 21 ln ( ) = 2 ×20 30  =  = 0.0217354.46 = 7.69 . /  = √ 1  = 19.69× √ 1 0.0217 = 19.69 /  = − [ cos  +( ̇ +  )sin ] 6 90. 1   = −.. [0.1cos19.69 +(0+0.021719.   19.69 )sin19.69]  = −...+..   ̇ = −.....  ̈  = −...+.. 

Razón de amortiguamiento:

 Amortiguamiento del Sistema:

Frecuencia Circular Amortiguada:

Respuesta de Desplazamiento:

Respuesta de Velocidad:

Respuesta de Aceleración:

Respuesta de Desplazamiento:

Respuesta de Velocidad:

Respuesta de Aceleración: