Vibraciones Libre y Amortiguada

Vibración Libre Vibraciones libres son las que se producen al sacar un sistema de su posición de equilibrio y dejarlo oscilar libremente La figura muestra el sistema básico de un grado de libertad, compuesto por una masa puntual m, un muelle de rigidez k  y un amortiguador de constante c. llamado  x  al desplazamiento del bloque respecto de su posición inicial de equilibrio el diagrama de solido libre del sistema, incluyendo la fuerza de inercia, se m uestra en la figura del diagrama de cuerpo libre de un sistema básico de un grado de libertad sumando las fuerzas horizontales e igualando a 0 se obtiene: mẍ + cẋ + kx = 0 La ecuación representa una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes

Vibración libre amortiguada Los sistemas con movimiento armónico simple no disipan energía durante la oscilación. Sin embargo, todo sistema real lleva implícita la existencia de fuerzas disipativas debido a lo cual el movimiento armónico simple cesa después que ha transcurrido cierto período de t iempo. Estas fuerzas disipativas son el reflejo de la existencia del amortiguamiento en e l sistema .La vibración libre amortiguada es un modelo simplificado del comportamiento de los sistemas reales cuando sobre los mismos actúan fuerzas excitadoras con períodos muy pequeños de duración. De esta forma el sistema es estudiado a partir del cese de esa acción. Las propiedades de estos sistemas serán determinadas considerando el amortiguamiento de carácter viscoso que es proporcional a la ve locidad. En la figura 2.2 se muestra el clásico sistema masa resorte de donde son obtenidas las propiedades de los sistemas con movimiento armónico simple. 2.2. Sistema masa resorte con masa

Si a la figura 2.2 que representa el modelo de un sistema con movimiento armónico simple se le agrega el efecto del amortiguamiento, la misma quedará como se muestra la figura 2.9.

Sistemas con vibración libre y amortiguada

Aplicando la segunda ley Newton al sistema se obtiene lo siguiente: Ʃ

Fx = kx  – cx = m.x

Mx + cx + kx = 0 (1) 2

X+ϒx+ω x=0 Donde: C ; es el amortiguamiento del sistema ϒ

= c/m; representa el coeficiente de amortiguamiento del sistema.

La ecuación (1) puede ser resuelta empleando la ecuación característica (2) y considerando que la solución viene dada por la ecuación de Euler.

Donde: b=c/m Son los coeficientes de la ecuación diferencial d = k /m

Sustituyendo los coeficientes en la ecuación se obtendrá lo siguiente

Cuya solución responde a la forma general dada por: (3)

De la ecuación anterior se observa que de acuerdo a la relación que guarden los valores bajo la raíz, así será el comportamiento del sistema con vibraciones libr es amortiguadas. A continuación serán analizados esos casos. A) Si se cumple que

las raíces serán complejas y desiguales

Entonces las soluciones vendrán dadas por: De donde los valores de los coeficientes α y ω serán iguales a:

Al sustituir en la ecuación anterior estas expresiones, se podrá determinar la solución de la ecuación diferencial del movimiento oscilatorio libremente amortiguado para esta situación.

Del resultado anterior se puede concluir que la trayectoria del sistema amortiguado esta caracterizada por un movimiento oscilatorio que tiende exponencialmente a desaparecer. Los sistemas que presentan este comportamiento reciben e l nombre de sistemas subamortiguados o inframortiguados B) Si se cumple que

las raíces serán reales y desiguales, por lo que la

solución será igual a la suma de dos ex ponenciales. En este caso el sistema no oscila, sino que retoma lentamente a su posición de e quilibrio y recibe el nombre de sistema sobreamortiguado.

Donde:

Sustituyendo la expresión de las raíces en la ecuación (3) se obtiene la ecuación del movimiento oscilatorio del sistema sobreamortiguado

C) Si se cumple que

el sistema tendrá como respuesta un movimiento que

tiende exponencialmente a desaparecer, pero la posición de equilibrio no se alcanza tan lentamente como en el caso anterior. Los sistemas que asi se comportan recibe el nombre de sistemas con amortiguamiento critico y la solución de la ecuación diferencial será igual a :

Donde los coeficientes A1 y A2 pueden ser evaluados apartir de las condiciones iniciales. Entonces la ecuación de movimiento será igual a :

En la figura se muestran graficadas las trayectorias del sistema para los casos analizados

Desplazamientos del sistema con oscilaciones libres amortiguadas a) Subamortiguado

b) con amortiguamiento critico c)sobreamortiguado

b) Partiendo de la

condición pueden obtenerse descriptores que

caracterizan el comportamiento de los sistemas con vibraciones amortiguadas.