Dinámica
2015-2
Sesión 23 Tema:
Vibraciones Libres Amortiguadas
TEMARIO
• Movimiento sobreamortiguado • Movimiento en estado critico •Movimiento subamortiguado. • Decremento logarítmico. • Disipación de la energía.
TRES CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA VIBRACION AMORTIGUADA El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente por tal motivo es denominado sistema sobre amortiguamiento.
VIBRACION LIBRE AMORTIGUADA Marco teórico de las vibraciones libres amortiguadas Ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado: mx cx kx
n 0
0
k m 2
x 2n x n x 0
d
n
2
1
>1
Si Vibración sobreamortiguada
c2
4km
0
c
c
ccrit
2
km
c
2m n
=1
Si Estado crítico de la vibración
c
2
ccrit
4km
0
2 km
d
n
1
2
<1
Si Vibración subamortiguada
c2
4km
0
c2
4km
0
mx cx kx
Ecuación diferencial:
0
2 n
Sabemos:
c
ccritico :
c
2 k .m
n
Coeficiente de atenuación
c
2m
2 0
k
m
Raíces de la ecuación General:
1,2 = − ± , ℛ +
d
x(t ) A1e
( t )
c 2m 2
A2 e
n
n2
n 2 1
( t )
En ausencia de fuerzas la respuesta decrece con el tiempo hasta la posición de equilibrio x(t)=0. No obstante, la magnitud del desplazamiento no oscila con respecto a la posición de equilibrio cuando se acerca a esta.
x (t ) ( B Ct )e
n t
Solución X(t) de la ecuación diferencial de una vibración libre subamortiguada
x e
n t
(A1 Cosd t A 2 Sen ( d t )
También:
x Ce
n t
Sen (d t )
Donde:
C
( A1 ) 2
tg
( A2 ) 2 A1 A2
Decremento logarítmico (DL)
x1
x2
D L
D L
nt 1
e
n d
Ce
n ( t 1 d )
x1 2 ln n d n d x2 D L
Luego:
Ce
n
2
n (1 ) 2
También:
2 (1 ) 2
D L
(2 ) ( D L ) 2
2
La gráfica que describe el movimiento de la vibración sub-amortiguada es:
= = = = = ⋯ = . Conceptualmente: 2 = ω (ciclos/s)
1 ω = = 2 La amortiguación es crítica cuando = 1 í Por lo cual en = 1 = ∴ ∴ í = 2 . Cuya solución será:
= −
PROBLEMA: El siguiente sistema tiene una frecuencia natural , para los siguientes datos: , , , . Cuando el sistema es perturbado hacia la derecha a través de un pequeño desplazamiento inicial, la amplitud de la vibración libre se reduce a un 80% en 10 ciclos. Determinar los valores de rigidez K y la cte de amortiguamiento c:
= 5 = 10 = 5. = 10 = 25
ANIMACIÓN
RESOLUCIÓN: Según el enunciado del problema se trata de una vibración subamortiguada, después de reconocer el tipo de vibración, procedemos a resolver el problema utilizando los conceptos relacionados a este tipo de vibración. Hacemos un bosquejo para comprender mejor el movimiento:
Según el problema.
Luego:
= 0.8 = 1.25 = . . . . . . . . ln = . . . . . . . .
ln = ln ln ln ln ln ln ln ln ln 1.25 = 9ln ln = 91 ln 1.25
Por el concepto de decremento logarítmico:
= + 1 = ln = 9 ln 1.25 = 2.47937 × 10−
Ahora usamos la relación del decremento logarítmico con la razón de amortiguamiento ( ):
= 12 = 2
Reemplazando el valor del decremento logarítmico, tenemos:
= 3.946× 10−
Ahora utilizamos lo estudiado sobre cinética del cuerpo rígido en 2D y usamos todos sus conceptos para obtener la ecuación del movimiento:
()
Graficamos el diagrama de fuerzas en el bloque:
Usamos la ecuación:
= Tenemos: Luego:
= 0 …(*)
=
Ahora analizamos la polea:
Usamos la ecuación:
=
Aplicando en el problema:
Reemplazando (**) en (*):
= = = = + = …(**)
= 0 = 0 Como = → = → = = 0 = 0
Reemplazamos la ecuación diferencial con los datos del problema:
5.625 0.01 0.0625 = 0
Ahora usamos la ecuación de la frecuencia angular normal ( ):
Como
= 2
= 0.0625 = 5.625
Entonces:
0.0625 2 5 = 5.625 = 88826.439
También, del concepto de la razón de amortiguamiento:
= 2 = (2) 0.01 = 3.946× 10− 2 0.0625 88826.439 5.625 = 139.463 .
TABLA DE RESPUESTAS:
Pregunta
Cantidad escalar
Respuesta Valor Numérico
a
88826.439
b
139.463
Unidades
.
BLOQUE C (4 puntos)
Un auto de 79,8 kg de ensayo se mueve con una rapidez de 7,33 m/s y choca contra un muro de contención en t = 0. Como resultado del comportamiento del parachoques en la absorción de energía, la respuesta del vehículo a la colisión puede ser simulada como un oscilador de masa y resorte amortiguado que se muestra con K = 8000 N / m y c = 3000 N.s / m. Considere que la masa se mueve hacia la izquierda con rapidez inicial de v 0 = 7,33 m / s, y el resorte no está estirado en t = 0. Para t = 0,04 s determine: a.- La frecuencia circular natural.(rad/s) b.- La frecuencia de la vibración amortiguada.(rad/s) c.- La razón de amortiguamiento. d.- Indique si la vibración es subamortiguada. Fundamente su respuesta
n
c
x
x
m
x
3000 79,8
k m
x
2m
0
10rad / s
c
2m n
>1
Si Vibración sobreamortiguada
8000
x
79,8
0
3000
c
x
79,8
ramortiguado ) n (supe
mx cx kx 0
8000
2(79,8)
18,8
PROBLEMA (4 puntos) Dos barras esbeltas y uniformes están soldadas según se indica en la figura. La barra ABC pesa 10 N y en la posición de equilibrio esta horizontal: la barra BD pesa 15 N y en la posición de equilibrio esta vertical; el pivote B está exento de rozamiento y el resorte no tienen deformación. Determine: a.- La ecuación diferencial del movimiento b.- El índice o razón de amortiguamiento. c.- Que tipo de vibración sucede (subamortiguado, amortiguamiento critico o sobreamortiguado). d. La frecuencia del movimiento (si procede).(rad/s)
TALLER
Problema Un carrito de peso 100 N rueda por una superficie horizontal plana, según se indica en la figura. se empuja el carrito hacia la derecha 375 mm y se suelta con una velocidad de 4,5 m/s hacia la izquierda en el instante t = 0 . Si la constante del resorte es K = 667 N/m y el coeficiente de amortiguamiento corresponde al amortiguamiento crítico, determinar: a.- El valor del coeficiente de amortiguamiento C.(N.s/m) b.- ¿El carrito superará la posición de equilibrio antes de quedar en reposo?
Solucion
En la figura puede observarse el diagrama del cuerpo libre del carrito para una posición arbitraria. −cx − kx = mx 100/9.81x + cx + 667x = 0
Luego la pulsación propia será:
ω n
=
667
100 9.81
= 8.089 rad/s
Y la razón de amortiguamiento:
ζ =
100 2 8.089 9.81
=1
=
= 164.9 N. s/m
,
En el caso crítico, el desplazamiento y la velocidad del carrito vienen dados por:
() ( )− − () − − =
+
=
= ( +
8.089( +
)
8.089
8.089
)
Pero conocemos los siguientes datos:
− =0
= 375 =
1466.6
/
() ( − )− = 375
1466.6
1 = 3751466.6 s
8.089
Si analizamos dicha ecuación habrá un instante donde el cuerpo pasara por la posición de equilibrio (x = 0) Es decir: El cuerpo superara la posición de equilibrio, luego seguirá moviéndose hasta que, eventualmente, su posición tienda a cero.
Tareas 1.- Resolver el problemas: 4 , pagina 30 de la Guía de Dinámica N 2 El problema del bloque D analizarlo y discutirlo en su grupo de trabajo. 2.- Revisar en el libro de R. C. Hibbeler en la pagina 661, Beer and Johnston pagina 1086. el libro de T.R. Vilchez en la pagina 313 y traten de resolver el problema 01 Tema: Vibraciones libres amortiguadas
Problema Una barra esbelta uniforme de 3 Kg tiene una longitud de 150mm y esta en equilibrio en la posición horizontal que se indica en la figura. Cuando se desciende un poco E y se suelta se observa que la amplitud de cada pico de la oscilaciones es un 90% de la amplitud del pico anterior. Si la constante del resorte es K = 400 N/m, determinar: a.- El valor del coeficiente de amortiguamiento b.- El periodo amortiguado, la frecuencia amortiguada y la pulsación amortiguada de la vibración resultante.
Solución
Se determina el decremento logarítmico a partir del cociente entre amplitudes sucesivas: DL =
δ
= ln
x1 x2
=
1 0.9
= 0.10536
Luego la razón de amortiguamiento será:
ζ =
2
2
+
2
= 0.01677 =
…
2
( )
Coeficientes de la ecuación diferencial del movimiento
Para el estado de equilibrio tendríamos lo siguiente:
↺ +
=0
− − → − 0.075
0.025
=
= 0
24.53mm
Cuando se gira la barra en sentido anti horario el alargamiento del resorte sería:
+
≅ 0.075
Análogamente el amortiguador se comprimirá a razón:
≅ 0.050
Por tanto, la ecuación del movimiento seria la siguiente: 0.025 0.075 + 0.050 =
− − − − + (0.050)2 =
1
12
+ (0.075)2
=
0.075
. 3. (0.15)2 + 3. (0.025)2 = 7.5 10
Donde:
− ( −)
+ 0.0333
+ 300 = 0
0.025
3
kg. m2
Sustituyendo en la ecuación “a” los valores de los
coeficientes de la ecuación diferencial, obtenemos:
=
0.01677 0.3333
( ) 2
300 = 1.743N. s/m
Entonces la pulsación propia, la frecuencia amortiguada y la pulsación amortiguada serán:
ω ω ω −ζ ωπ τ n
= 300 = 17.321 rad/s
d
=
n
1
f d =
d
2
= 17.318rad/s
2 = 2.756Hz
= 1 f d = 0.363s
