04. Vibracion Libre (Ingenieria Sismica)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL – SEDE JAÉN

Ing. EUCLIDE EUCLIDES S POCLIN POCLIN TUESTA TUESTA


FACULTAD DE INGENIERÍA

4. VIBR VIBRA ACIÓN IÓN LIBR LIBRE. E. - Una estruc estructur tura a expe experim riment enta a vibra vibració ción n libre libre cuand cuando o es perturbada de su posición de equilibrio estático y comienza a vibrar sin ninguna excitación excitación de una fuerza dinámica externa.



4.1. TEORÍA GENERAL DE VIBRACIONES - El estud estudio io de las las vibr vibraci acione oness se refi refiere ere a los los movi movimien mientos tos de los cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. - Todos odos los cuer cuerpos pos que que posee poseen n masa masa y elasti elasticid cidad ad,, son capaces de vibrar vi brar.. - Una vibr vibraci ación ón se pr produce oduce cuand cuando o el siste sistema ma en cues cuestió tión n es desplazado desde una posición de equilibrio estable, estable, y este tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. equilibrio. - El inte interval rvalo o de tiempo tiempo necesar necesario io para para que que el sistem sistema a efectúe un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibración, el número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración .



TEORÍA GENERAL DE VIBRACIONES - Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no lineales. Para los sistemas lineales rige el principio de superposición y las técnicas matemáticas para su tratamiento están bien desarrolladas (Ley de Hooke). Por el contrario las técnicas para el análisis de sistemas no lineales son más complicadas y no muy conocidas. - Existen dos clases de vibraciones , las libres y las forzadas. - Cualqu Cualquier ier sis sistem tema a elástic elástico o puede puede tener tener una vibr vibraci ación ón libre libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales, naturales, dependientes de la distribución de su masa y rigidez.



TEORÍA GENERAL DE VIBRACIONES fuerzas perturbadoras per turbadoras - Cuando al sistema se le aplica fuerzas externas, el movimiento resultante es una vibración forzada. Cuando la excitación es oscilatoria, ya sea periódica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación, si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema se produce produce resonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente peligrosamente grandes; así la falla por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramática posibilidad que debe debe tenerse muy m uy en cuenta. cue nta. Por Por este motivo el cálculo de las frecuencias naturales de vibración es de gran importancia en el diseño sísmico de estructuras.



4.2. VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA - El movi movimie miento nto de los los sistem sistemas as lineal lineales es de 1GDL 1GDL,, visualizados como un marco idealizado de un nivel o un sistema masa-resorte-amortiguador, masa-resorte-amortiguador, sometido a la fuerza externa p(t) se rige por la ecuación:

ሷ  ሶ   = () ()

1

- Si se establece p(t) = 0, se obtiene la ecuación diferencial que rige la vibración libre del sistema, que para los sistemas sin amortiguamiento (c = 0) es:

mሷ   = 0  = ()  =    B  =    ⟹ ሷ =  

2

- Haciendo: ,o Donde y constantes que dependen de la iniciación del movimiento. - Si:



VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA AMORTIGUADA - En (2), resulta:

       = 0      = 0    = 0   ⇒  =  ⇒  =   frecuencia natural vibración libre sistema (rad/s)

Para lo cual:

3

Donde

es la

en

- Haci Hacien endo do uso uso de de la ecua ecuaci ción ón (3) (3) en en (2): (2):

 ሷ   = 0   =     

5

Cuya solución general es:

6

4

del



VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA - La soluci solución ón gene genera rall de la educa educació ción n difere diferenci ncial al dad dada a en (2) es: 7

  =      

Donde A y B constantes que dependen de las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad del sistema. - Deri Deriv vando ando ambo amboss miem miembr bros os de la la ecua ecuaci ción ón (7) (7),, se obt obtie iene ne una expresión expresión que permite calcular la velocidad de la vibración:

 ሶ  =        

8

- Como Como la vibr vibraci ación ón libre libre se inici inicia a al saca sacarr al sist sistema ema de su posición de equilibrio estático, impartiendo a la masa cierto desplazamiento y velocidad en el tiempo cero, cero, definido como el instante en que se inicia el movimiento, movimiento, se tiene:

(0) (0) ሶ (0 (0) = ; ሶ 0 = 

9



VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA Por tanto, la ecuación (7) se pude expresar como:

(0) ሶ   =  0       

10

- Esta ecuación describe la respuesta del sistema como un movimiento mo vimiento armónico simple, que también se expresa como: 11 Donde:

  = á   

 (0) ሶ

á =    = (0)   

12

El ángulo de fase está dado por:

 (0) ሶ  =   =   × (0 (0)

13



VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA -

á

representa la amplitud de las oscilaciones.

∅/

- El cociente representa el tiempo del sistema en adquirir el máximo desplazamiento

(á)

- La figur figura a muestra muestra la vari variaci ación ón del del despl desplaza azamie miento nto en en el tiempo.



VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA - El per period iodo o natu naturral de de la estru estructu cturra T representa el tiempo necesario para completar una oscilación completa, y se calcula con:

2   =  = 2 

14

- El númer número o de osci oscilac lacion iones es que que la estru estructu ctura ra efectú efectúa a por por unidad de tiempo, se denomina frecuencia natural, y se determina con:

1 1    =  = 2  = 2

15

NOTA: El adjetivo natural es usado para describir el periodo T , la frecuencia f y la frecuencia circular ω , ya que sólo dependen de los principales parámetros parámetros de la estructura, estr uctura, es decir, decir, de su rigidez y de su masa, más no de sus condiciones iniciales.



4.3. VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO. (SISTEMAS AMORTIGUADOS) - La ecuac ecuación ión de movi movimie miento nto para para un sist sistema ema lineal lineal en en vibración libre con amortiguamiento amor tiguamiento,, considerando nula la fuerza dinámica, es: 16

ሷ  ሶ   = 0   - Al dividir entre  resulta:  ሷ   ሶ    = 0   = 2 ⟹  = ;  = 2 - Haciendo:    y usando la Ec. (3):  ሷ  2ሶ   = 0

- La Ec. Ec. (18 (18)) pre prese sent nta a tre tress pos posib ible less sol soluc ucio ione ness que que dependen de los factores: amor amortiguamiento tiguamiento crítico crítico razón de amortiguamiento amor tiguamiento crítico .



17

18



y



VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO. (SISTEMAS AMORTIGUADOS) AMORTIGUADOS) - Si:

 <  ;  < 1

- El sistema presenta un amortiguamiento amor tiguamiento subcrítico subcrítico (Oscila sobre su posición de equilibrio con un decremento progresivo progresivo de su amplitud.

 =  ;  = 1

- El sistema presenta un amortiguamiento crítico (No constituye una vibración dado que el sistema retorna a su posición de equilibrio sin oscilar) - El sistema presenta un amortiguamiento amor tiguamiento supercrítico supercrítico (No constituye una vibración, ya que el sistema retorna lentamente a su posición de equilibrio sin oscilar)

 >  ;  > 1



VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO. (SISTEMAS AMORTIGUADOS) AMORTIGUADOS) - La soluc solución ión de la ecuaci ecuación ón dif difere erenci ncial al de un un siste sistema ma en en vibración vibración libre libre con amortiguamiento amortiguamiento subcrí subcrítico tico (Ec.18) (Ec.18) es:



  = −(  )

19

representa la frecuencia circular de las oscilaciones amortiguadas, amortiguadas, y se determina deter mina con:

 

 =  1   

20

y de la Ec. (19) dependen de las condiciones iniciales y se calculan con:

Las constantes

 ሶ 0    . (0 ( 0 )  =  0 ;  = 

21



VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO. (SISTEMAS AMORTIGUADOS) AMORTIGUADOS) - La Ecuac Ecuación ión de movim movimien iento to tamb también ién se puede puede expr expresa esarr como: Donde:

  = á−cos(  )

 ሶ 0 á = y

 (0)  

(0) 

 ሶ 0  (0 ( 0 )    =  (0)

22

23

24



VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO. (SISTEMAS AMORTIGUADOS) AMORTIGUADOS) - La figur figura a muestr muestra a gráfic gráficame amente nte la ecuac ecuación ión (22), (22), y su relació relación n con la respuesta del sistema no amortiguado amor tiguado bajo iguales condiciones iniciales.



VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO. (SISTEMAS AMORTIGUADOS) AMORTIGUADOS) - En el caso caso amortig amortiguad uado o, el siste sistema ma osci oscila la con con un peri periodo odo ligeramente mayor que el del caso no amortiguado. - La ampli amplitud tud de las las oscil oscilaci acione oness amortig amortiguad uadas as decr decrece ece en en forma exponencial. exponencial. - El peri periodo odo de de la vibr vibraci ación ón amorti amortigu guada ada se relac relacion iona a con con el de la vibración no amortiguada mediante la expresión:

 2   = 1   = 1   

25

- Para ara la may mayoría oría de las las estructu estructura rass el factor factor del del amortiguamiento ξ es menor a 0.2, por lo que el período amortiguado TD es prácticamente igual al período natural no amortiguado T.



VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO. (SISTEMAS AMORTIGUADOS) AMORTIGUADOS) - La relaci relación ón entre entre dos dos desp desplaza lazamie miento ntoss pico pico en en un inte intervalo rvalo de tiempo T D es constante, y el decremento logarítmico está definido como el logaritmo natural de esta cantidad y está dado por:

    =  + =  = − ≈ 2

- La re relac ació ión n en entre tre do dos desplazamientos cualesquiera es:

   =   + ≈ 2

26

27

- El amortig amortiguam uamien iento to tiene tiene el el efecto efecto de reduci reducirr la frec frecuen uencia cia natural de ω a ωD y aumentar el periodo natural de T a TD; este efecto es despreciable para una relación de amortiguamiento ξ debajo del 20%, un rango en el cual están incluidas la mayoría mayoría de las estructuras; estr ucturas; y, y, valga la redundancia, para la mayoría de las estructuras ωD y TD son aproximadamente aproximadamente iguales a ω y T. T.



4.4. ENERGÍA DE VIBRACIÓN LIBRE - La ener energía gía de entr entrada ada a un sistema sistema de 1GDL 1GDL al impartirl impartirle e el el desplazamiento inicial y la velocidad inicial es:

(0)

 ሶ 0

1 1   = 2  (0) ሶ  2  (0) 

28

- En cualq cualqui uier er insta instant nte e de tiem tiempo po,, la energía total en un sistema de vibración libre se compone de dos partes, la energía cinética E K de la masa y la energía potencial igual a la energía de deformación E S de la deformación en el resorte:

1 1    = 2  ሶ  ;   = 2  () 

29

()

- Al sustituir de la Ec. (10) para un sistema no amortiguado se llega a:

1 (0) ሶ   () = 2   0    

 30



ENERGÍA DE VIBRACIÓN LIBRE

 1 (0) ሶ () = 2   0      - Utili Utiliza zand ndo o la la Ec. Ec. (4), (4), La La ener energí gía a tota totall es: es: 1 1       = 2  (0) ሶ  2  (0)  - Por lo tanto tanto,, la energí energía a total total es indepe independi ndient ente e del tiem tiempo po 31

32

e igual a la energía de entrada de la Ec. (28), lo que implica la conservación conser vación de la energía durante la vibración libre de un sistema sin amortiguamiento. - La energ energía ía tota totall debid debida a a la energí energía a disi disipa pada da en en el amortiguamiento viscoso, viscoso, a través del tiempo de 0 a es:  

  = න   = න

  ሶ  ሶ  = න ሶ 



33

FIN DE PRESENTACIÓN

04. Vibracion Libre (Ingenieria Sismica)

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