Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas
VIBRACIÓN LIBRE Detalles Sistema de un solo grado de libertad........................................................................................ Movimiento armónico.............................................................................................................. Ecuación del movimiento - frecuencia natural......................................................................... Péndulo simple......................................................................................................................... Péndulo compuesto o péndulo físico ........................................................................................
Combinación de resortes.......................................................................................................... resortes.......................................................................................................... En paralelo................................................................................................................................ En serie..................................................................................................................................... Método de la energía................................................................................................................ Método Newton........................................................................................................................ Método de Rayleig................................................................................................................. !ibración !ibración for"ada sin amortiguamiento................................................................................... #ipos de amortiguamiento........................................................................................................ !ibración !ibración libre amortiguada.....................................................................................................
Sistema con amortiguamiento crítico....................................................................................... crítico....................................................................................... Movimiento subamortiguado.................................................................................................. Movimiento sobreamortiguado...............................................................................................
Pág. 3 4 5 11 13 16 16 18 24 27 28 41 46 47 48 50 52
Sistema de un solo grado de libertad. Muchos sistemas ueden !ibrar en m"s de una manera # dirección. Si un sistema est" restringido a !ibrar de una manera o necesita so$o una coordenada indeendiente ara determinar or com$eto $a $oca$i%ación geom&trica de $as masas de$ sistema en e$ esacio' este es un sistema de un so$o grado de $ibertad.
“Vibración Libre” Página: 3
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas (or )*.+
K
c
K
m m x
t w n e s
K
x
J
0
F
Movimiento armónico. )$ mo!imiento osci$atorio uede reetirse a si mismo regu$armente' como es e$ caso de un ba$ancín de re$o* o des$egar considerab$e irregu$aridad' como es e$ casos de $os mo!imientos sísmicos. Cuando e$ mo!imiento se reite a inter!a$os de tiemo ,t-' se $e $$ama ()//C donde , τ- es e$ eriodo de osci$ación. Si se designa e$ mo!imiento or t' todo mo!imiento eriódico debe satisacer $a re$ación+ t t τ )$ mo!i mo!imi mien ento to eri eriód ódic icoo m"s m"s sim sim$e $e es e$ MOVIMIENTO ARMÓNICO. )ste mo!imiento uede i$ustrarse or medio de una masa susendida susend ida de un resorte $i!iano 9er 9er :ig. Si $a masa se des$a%a de su osición de reoso # se $a $ibera' osci$ar" hacia arriba # aba*o; si se co$oca una uente de $u% en $a masa' su mo!imiento uede ser registrado en una tira de e$ícu$a sensib$e a $a $u%
K
x x
A
m
t
= Asen2π
t
τ
ond o ndee +
“Vibración Libre” Página: 4
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas = =m$itud =m$itud de osci$ación' os ci$ación' medida desde su osición de e
τ (eriodo # se reite cuando t = τ
Ecuación del movimiento !recuencia natural. )$ sistema osci$atorio m"s sim$e consta de una masa # un resorte :ig.. Se suone desreciab$e $a masa de$ resorte cu#a rigide% es > ?@m. ?ote
K K
Posición no 1 7 , 0
es#o!$%d%
m
Posición de
m
x
K(G + x)
m
x
Equili!io est"tico x
mg mg
Cuando se one en mo!imiento' $a osci$ación tendr" $ugar a $a recuencia natura$
$
1
Si se des$a%a un ,- a artir de$ e
)n e$ resorte
$ (
ebido a$ eso
& = mg
Si se toma a ,- como ositi!o hacia aba*o' entonces todas $as cantidades' uer%a' !e$ocidad # ace$eración son tambi&n ositi!as or estar dirigidas hacia aba*o.
Segn 1
mg − $ (
+ % ) = m%
mg − $
− $% = m%
$
= mg
⇒m / / − $% = m% / g/ − $
“Vibración Libre” Página: 5
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas m% + $% = '
(or tanto+
2
?ote
debida a$ des$a%amiento ,-. [ ÷ m]
m% + $% = ' $
% +
Aa recuencia natura$ circu$ar
) n
m
%
='
3
ser"+ ) n
$
=
m
Aa ecuación 3
+
) n
%='
4
)$ mo!imiento deinido or $a ecuación 4 se $$ama ,Mo!imiento =rmónico Sim$e- # se caracteri%a or
sen
t * cos
t satisacen
$a ecuación; or tanto constitu#en so$uciones articu$ares.
Aa so$ución a esta ecuación es de $a orma+ 5
% = e st
eri!ando dos !eces+ = se st %
6
% = s ) e st
7
eem$a%ando 5 # 7 en 4 s ) e st e
s
)
+
st
+
)
(s + )
)
e st )
)='
= '⇒ s = ±
Como+
s+
= ei t ∧ s ) = e −i
)ntonces
s+
= ,+ e i t ∧ s ) = , ) e − i
D tambi&n ser"+
% = ,+e
(ero+
e
i t
i t
= cos
='
+ , ) e −i
i
son so$uciones $inea$mente indeendientes
t
t
t + i sen t
t
tambi&n son so$uciones 8 E
“Vibración Libre” Página: 6
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas e−
i t
= cos
t − i sen t
10
E # 10 en 8 % = , + ( cos t + i sen t ) + , ) ( cos t − i sen t ) % = ,+ cos t + ,+ i sen t + , ) cos t − ,) sen t
% = ( i,+ − i,) ) sen t + ( ,+ + ,) ) cos t
.
-
% = . sen t + - cos t
11
onde+ =' F son constantes a determinarse or condiciones de contorno. Suoniendo
=
0
x = x0
=
0
x
Condiciones de contorno
= x
o Condiciones inicia$es
0
eri!ando 11 x
= Aω cos ω t − Bω senω t
12
eem$a%ando $as condiciones de contorno en 11 11 # 12 se obtiene $as cts.. = # F )n 11
x 0
= Asen0 + B cos 0 ⇒ B = x
)n 12
x 0
= Aω cos 0 − Bω sen0 ⇒ A =
0
x 0
ω
eem$a%ando $as cts. = # F en 11 x =
onde
x 0
ω
senω t + x0 cosω t
K
ω =
recuencia natura$ circu$ar
m
θ )$ eriodo natura$ de osci$ación es+ ω = t
(or tanto+ Aa recuencia natura$+
ωτ = 2π ⇒ τ = f n
f
=
ero+ θ = 2π ⇒ t = τ
2π
o tambi&n+ τ = 2π
ω
m K
f
=1⇒ τ
f =
1
K
2π
m
“Vibración Libre” Página: 7
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas )stas cantidades ueden eresarse en unción a $a de$eión o deormación est"tica δ #a
mg δ
eem$a%ando en estas $timas ecuaciones+ G :recuencia natura$ circu$ar+
mg δ
ω =
g
⇒ ω =
δ
m
G (eriodo natura$+
τ =
G :recuencia natura$+
f =
2π
ω 1
τ
δ
⇒ τ = 2π
⇒ f =
g
g 2π δ 1
Aa so$ución genera$ tambi&n uede obtenerse mu$ti$icando $as dos so$uciones articu$ares sen ω t ∧ cosω t or cts.. arbitrarias # sum"ndo$as' es decir+ x
= Asenω t + B cos ω t
a
x
= Aω cos ω t − Bω senω t
b
2 2 x = Aω senω t − Bω cosω t
c
a # c en 4
− A ω sen ω t − Bω cos ω t + ω Asen ω t + ω B cos ω t = 0 2
2
2
x
2
ω 2 x
Cum$e $a igua$dad' or tanto es so$ución de 4 $a ecuación a Como esta eresión contiene 2 cts. arbitrarias = # F' $a so$ución obtenida a es $a so$ución genera$ # = # F deenden de $as condiciones inicia$es.
t
&m
wt
wt
A &m
'
t
x
P
Aas eresiones de$ des$a%amiento !e$ocidad # ace$eración obtenidas ara una artícu$a' ueden escribirse en orma m"s comacta si nota
“Vibración Libre” Página: 8
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x
m
)$ M.=.S. de ,(- a $o $argo de$ e*e ,- uede obtenerse ro#ectando sobre este e*e e$ mo!imiento de un unto ,H-
x
m
con una !e$ocidad angu$ar constante , ω -.
eresentando or , φ - e$ "ngu$o ormado or $os !ectores H # =' se escribe+ OP = OQsen( ω t + φ )
Hue conduce a otras ormas de eresión de$ des$a%amiento' !e$ocidad # ace$eración. x x
= x m sen( ω t + φ )
= xmω cos(ω t + φ )
2 x = x mω sen(ω t + φ )
E/m0 Ina masa de J >g. est" susendida de un resorte' cu#a rigide% es 0.1533 ?@mm. etermine
su recuencia natura$ en cic$os or segundo. Ca$cu$e $a de$eión est"tica # !erii
a :recuencia natura$
f =
b Aa de$eión est"tica
$
'0+211N +'''mm
mm
+
$
)
m
= mg
=
+m
+2101 N
+
m '0)2$g
)
=
N = +2101 m
mg $
=
f
'0)2 ∗ 406+ +2101
= 1045 ciclos [ 3" ] seg
= '0'+7[ m ]
= '0'+246+[ m ] = +2046+[ mm ] E/m0
eterminar $a recuencia natura$ de $a masa ,M- en e$ etremo de un !o$adi%o de masa
desreciab$e. (rimero se encuentra $a deormación de $a !iga en e$ etremo onde est" $a carga.
*
x
P
m )
“Vibración , P* Libre” Página: 9
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)
E9
d y d%
)
= P% − P8 = P( % − 8)
dy
E9
d%
E9y =
P 7
=
P )
( % − 8) ) + ,+
( % − 8) 1 + ,+ % + ,)
(or condiciones de contorno+ P % P %
='
y:'
'=
='
dy
'=
d%
(or tanto $a deormación es+
='
E9y =
+ 7
P( % − 8)
1
P( − 8 )
1
7 +
P( − 8 )
)
+
−
)
+ ,)
,)
=
+
)
,+
=
+
+ ,+
P8 % + )
+ 7
7
)
1
P8
P8)
1
P8
Aa deormación m"ima ocurre en A E9
= '−
+ )
1
P8
+
+ 7
=−
1
P8
1
P8
1E9
Como P = K δ siendo δ $a deormación' entonces $a ecuación G se adecua a+ $ =
P
Se sabe
= + )
1E9 1
8
$ m
1E9
)ntonces.
+0
f =
+ )
f =
1
8 m
+ )
1E9 m81
Si $a masa de $a !iga es desreciab$e comarada con $a masa m' deri!e una eresión ara $a
recuencia de $a masa.
m
“Vibración Libre” Página: 10
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Según tablas+ Aa deormación en e$ centro de $a !iga dob$emente emotrada onde est" m !iene dada or+ y
=
P81 +4)E9
=decuando a nuestro caso+ P
$ =
$ =
⇒
y
+4)E9 1
8
Se sabe
)ntonces+
+4)E
=
9 1
8
$ m
⇒
+4)E9
=
m
m81
Rad seg
"#ndulo sim$le.
Ft
m
*
F.
mg
mgmasa untua$ ,m-
hi$o resistente de $ongitud ,A- de eso desreciab$e. es$a%ada $a artícu$a de $a osición de e
m
-# $uego $iberada' e$
&ndu$o osci$a en un $ano !ertica$ a $o $argo de$ arco de circunerencia de centro ,- # radio
“Vibración Libre” Página: 11
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas ,A-' ba*o $a in$uencia de $a uer%a restauradora , (t -
onde
at
=
= aceleració nangular =
R
adio de $a cur!a
R
)ntonces+
−
d
)
dt
=
)
=8
mg sen
=
m8
− g sen = 8 8
+ g sen = '
+ g sen = ' 8
$ Comarando con $a ecuación de$ M.=.S. % + % = ' se !e
es M.=.S.; sin embargo' Si $a am$itud de osci$ación es e
≅
sen
Auego uede escribirse+ + g
8
So$ución aroimada
='
(or comaración se tiene
g
=
8
⇒ =
g 8
A$egando a $a conc$usión
t
⇒ =
)
=)
8 g
“Vibración Libre” Página: 12
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas E/m0
Suoniendo
$ongitud si tiene e$ eriodo de un segundoP =)
Se sabe
)
=5
)
8 g
8 g )
⇒8=
g
5
)
Lraba*ando en QiesR 8 = 40;6P lg 0
"#ndulo com$uesto o $#ndulo !%sico. In cuero rígido
x
centroide' constitu#e un &ndu$o comuesto. Aos distintos untos materia$es de$ rígido'
*
constitu#en otros tantos &ndu$os sim$es
-
tendrían
(ero como se trata de un &ndu$o ísico' este se
mg
mue!e con un eriodo roio de osci$ación
Si e$ &ndu$o comuesto es des$a%ado de su osición de e
= −mgb
b = 8 sen
ero M
9
d
= −mg8 sen
)
dt
)
= −mgl sen
“Vibración Libre” Página: 13
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas donde+ Momento de inercia de$ cuero con resecto a$ e*e de rotación
9: mr )
adio de giro
r d 2θ
=ce$eración angu$ar
dt 2
(ara osci$aciones e
sen
= α ≅ QadR
rdenando 1 # teniendo en cuenta $o dicho+ + mgl = '
÷9
+ mgl = '
como 9 = mr )
9
9
+
mgl mr
)
= ' ⇒ +
g8 r
='
)
2
=na$i%ando esta órmu$a 2' se nota
g8
=
r
:recuencia natura$ circu$ar
)
# su eriodo de osci$ación es+ τ = 2π
E/m0
r 2 gL
Ina chaa cuadrada homog&nea de $ado ,A- (ies # masa ,m- est" susendida de$ unto
medio de uno de sus $ados. )ncuentre su recuencia de osci$ación.
x *
G
*/ G
mg *
“Vibración Libre” Página: 14
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∑M = 9
8 − mg sen = 9 ) (ara osci$aciones e
c x
G
+
9 + x
)
mg8 = '
1
onde / Momento de inercia resecto a$ e*e de giro + e tab$as se tiene
)$ momento resecto a$ e*e es+ =
9%
+
m( 8
)
+)
9%
+ 8) ) =
+
=
7
+ +)
m( )8
)
)
)
m8
)n este caso $a rotación es resecto a$ e*e or tanto segn SL)/?)
[9 = 9 + md ] )
%
9%
=
+ 7
%
)
)
m8
8 + + + m ⇒ 9 % = m8) + m8) 7 5 )
9%
=
2 +)
2
)
m8
eem$a%ando 2 en 1 2
+ ) m8 + mg8 +) )
2 7
8 + g
+ 7g
28
=
='
=' ='
7g 28
“Vibración Libre” Página: 15
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Combinación de resortes. Cuando $a deormación de $a masa !ibratoria im$ica a m"s de un resorte. (ara aci$itar e$ c"$cu$o de $a recuencia natura$' es necesario determinar $a constante de$ resorte e
En $aralelo.
K1
K
K2
m P1
P
P2
P
Aas características son+
-
Lodos $os resortes tienen $a misma deormación +
-
)
=
1
1
=
Aa uer%a tota$ es $a suma de todas $as uer%as en $os resortes ( P
-
=
∑(
v
= ' ) ; es decir+
= P+ + P) + P1 + 00000
2
Se sabe
[ ÷ δ ]
n
K1
$ e<
= $ + + $ ) + $ 1 + 00000 = ∑ $ i i =+
=hora bien+ )$ sistema mostrado en $a sgt. :igura tambi&n reresenta un sistema en ara$e$o. m
K0
m1
m0
T
Considerando $a masa ,m- descomuesta en dos artes , m + - # ,
m ) - ta$es
“Vibración Libre” Página: 16
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas m = m+
-
+ m)
1
Sean $as recuencias natura$es de cada una+ ) +
=
$ +
) )
m+
=
$ )
2
m)
)stas recuencias deben ser igua$es' #a
$ e<
2 en 3
m m + = m ) =
4 # 5 en 1
m=
$ + $ e<
$ e<
= =
$ + $ e< $ ) $ e< m+
) )
=
$ + m+
)
=
3
$ ) m)
m
4
m
5
$ ) $ e<
m
$ ∗ e< m
= $ + + $ )
“Vibración Libre” Página: 17
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En serie. K1
K K2
m
)$ sistema mostrado reresenta un sistema !ibratorio en serie # tiene $as sgts. Características+ -
Aa uer%a o eso es $a misma en todos $os resortes' #a
-
= P+ = P) = P1 = 00000
1
)$ des$a%amiento tota$ es $a suma de $os des$a%amientos. = P = $
(ero+
+
+
⇒ =
+
)
1
+ 00000
2
P $
Leniendo en cuenta 1 reem$a%amos en 2 P $ e<
+ $ e<
E/m0
=
=
+ $ +
+
P
+
$ +
+ $ )
P
+
$ )
+
+ $ 1
P $ 1
+ 00000
÷P
n
+ 000000 = ∑ i =+
+ $ i
etermine $a recuencia natura$ de$ !ibración de$ b$o
inicia$mente comrimidos. K K
K m
K
(or $a igura' se uede decir
“Vibración Libre” Página: 18
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas $ e<
= $ + $ + $ + $
= 5$
$ e<
Auego $a igura se reduce a +
− 5$% = m% m% + 5$% = ' ⇒ % +
m x Kx
donde+
5$
=
)
m
m
5$ m
%='
ero
=)
f
5$
x
f =
=
)
f =
+
m )
$ m
E&ercicios' )0
In ci$indro homog&neo de masa ,m- est" susendido or un resorte de constante ,>- Q$b@($gR
# una cuerda inetensib$e. )ncuentre $a recuencia natura$ de !ibración de$ ci$indro.
K
!
x m
.C.A. ara $a osición de e
-o
G !
! mg
A
“Vibración Libre” Página: 19
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∑ ( = ' [∑ M = '] v
.
$
+ #' − mg = ' − mgr = '
)r$
1
.C.A. ara un des$a%amiento + − )r$ ( + % ) + mgr = 9 .
K +
G !
!
x mg
− )r$ − )r$% + mgr = (9 = + mr )
A
onde+
F3
9=
=
+ )
mr
)
(ara un ci$indro
Segn 1 + − )r$ − )r$% + mgr = mr ) + mr ) )
− )r$% = 1
rdenando
)
)
) mr
) mr + )r$ ( )r
)='
) ) 1mr + 6r $
='
1m + 6$
= ' ⇒ +
=
10
1
6$ 1m
2
='
6$ 1m
Ina !ari$$a rígida de eso desreciab$e est" restringida a osci$ar en un $ano !ertica$.
etermine $a recuencia natura$ de $a masa ,m-. 2/4*
1/4*
m
“Vibración KLibre” Página: 20
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)n $a osición
%' '
or tanto en su
e
∑M 1 5
= '
'
mg8 =
+ 5
1
$% ' 8
Cuando se des$a%a un ,-' $a sumatoria de momentos ser"+ 2/4*
1/4*
K (xo + x)
mg
∑M
'
=9
1 8 − $ ( % + %) + 8 = 9 ' 5 5
mg
(ero 9 = mr ) onde
1 5
mg8 −
+
−
+
r
=
5
$8% '
r =
1 5
8
)
1 − $8% = m 8 5 5 +
2
Segn 1
(ero % = r donde en este caso
5
$8% = + 5
4 +7
8⇒%=
m8) + 5
3
8
4 en 3
−
+ 5
+ 8 = 4 m8) 5 +7
$8
“Vibración Libre” Página: 21
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas 4
+ ) ) m8 + $8 +7 +7 4m
+ $ = '
+ $
4m
50
='
$
=
+7 ∗ ) 8
='
rad seg
4m
Ina !ari$$a de$gada tiene una masa desreciab$e # soorta una masa de 5 >g. )n su etremo.
etermine e$ eriodo natura$ de !ibración. 00 mm5
6 Kg5
'
7
K , 400 ./m5
5 m m 0 0 1
A
/nicia$mente ara estar en esa osición' e$ resorte debe estar comrimido. 05 m5 05 m5
mg
051 m5
051 m5
K( + x)
K mg
)
∑ M = '
'0+$
= mg ( '0) )
1
Si se des$a%a un cierto "ngu$o θ o distancia
∑M = 9
mg ( '0))
mg ( '0) )
− $ ( + % )( '0+ ) = 9
− $ ( '0+) − $%( '0+) = m8)
Segn 1 m ( '0 ) )
)
+ 5''( '0+) $% = '
“Vibración Libre” Página: 22
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas (ero % = '0+ ( '0) ) ) 2 + '0+( 5'' )( '0+) = ' '0)
+5 ='
+ )' = ' ⇒
=
)
)
rad = )' ) seg
⇒ = =
÷ '0)
)
) )'
= +05( seg )
M#todo de la energ%a. )$ mo!imiento armónico sim$e de un cuero es generado so$o or $as uer%as gra!itaciona$es # e$"sticas de restauración
= ctte0
( # + !) = '
Como e$ inter&s se $imita a $a recuencia natura$ de$ sistema' se uede $antear+
“Vibración Libre” Página: 23
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas + !+ = #) + !)
#+
onde 1 es e$ instante en
!+
= ' Da
Sea 2 e$ instante en
= ')
+ ' = ' + !)
Sin embargo' si e$ sistema est" eerimentando un mo!imiento armónico' #+ #
!) son
!a$ores
m"imos # or tanto+ #ma%
= !ma%
e$ b$o
des$a%a una cantidad arbitraria ,- desde su osición de e
K
m
Aa energía cin&tica es+
#
=
+
Aa energía otencia$ es+
! =
+
Segn $a conser!ación de $a energía
#+! + )
m%
)
+
+ )
)
)
) m%
%$)
= ctte0
%$)
= ctte0
)$ mo!imiento de$ b$o
“Vibración Libre” Página: 24
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=
$ m
Si se escribe $a ecuación de energía ara ,In sistema de cueros conectados-' tambi&n uede determinarse $a recuencia natura$ o ecuación de$ mo!imiento or medio de $a deri!ación. )ste m&todo ermite determinar ,irectamente- $a recuencia circu$ar ,
-
"rocedimiento $ara el an(lisis. 1. Lra%ar un dibu*o de$ cuero cuando se des$a%a una e
#+!
cin&tica es ara tras$ación # rotación' es decir+ # = !
+ )
= ctte0 ' recordando
= m%
+
+ )
9=
)
# $a energía otencia$ es+
= !g + !e Ura!itaciona$ # e$"stica.
3. Se rocede a $a deri!ación # se actori%a $os t&rminos comunes. 4. Aa ecuación resu$tante reresenta $a ecuación de$ mo!imiento ara e$ sistema. E/m0 In
ci$indro só$ido homog&neo de masa ,m- se su*eta or medio de un resorte de constante
,>- $b@$g # reosa sobre un $ano inc$inado. Si e$ ci$indro rueda sin des$i%ar; demostrar
)$ 1m
rad seg .
K x
! m
(or e$ m&todo energ&tico #=
+ )
)
m!=
+
+ )
9=
)
“Vibración Libre” Página: 25
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas (ero
!= #=
(or tanto+
= r ; + )
=
+ )
mr
)
;
=
( ) + + + mr
m r
#=
9=
+ )
)
)
) )
) ) mr
+
+ 5
)
) ) mr
1
Aa energía otencia$ !e
=
+
!e
=
+
d dt
)
)
%$$r
)
(ero+ % = r
)
2
)
( # + !) = '
+ ) ) ) mr + mr + $r )
='
m + + m + $ = ' ) 1 )
m + $
1 ÷ m )
='
+ )$ = ' 1m
=
)$ 1m
M#todo Ne)ton' K
+
K ( + x)
A
A
mg
mg
ESTTICA
+
DINMICA
“Vibración Libre” Página: 26
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Estática!
[∑ M = ' ]
mg sen r − $ r
.
='
1
Diná"ica!
[∑ M = 9 ] .
.
+ + %) r = mr ) + mr ) )
mg sen r − $ (
mg sen r − $ r − $%r =
1 )
) mr
2
eem$a%ando 1 en 2 # ordenando 1 )
) mr + $%r = '
Como no eiste des$i%amiento % = r 1 )
mr )
) ∗ 1m
+ $r ) = '
+ )$ = ' 1m
=
)$ 1m
M#todo de Ra*leig+' )$ m&todo de energía' uede ser usado ara sistemas con masas concentradas o distribuidas' siemre
=
+ )
) m ef %
Masa eecti!a o e
mef
“Vibración Libre” Página: 27
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas =hora bien' si $a rigide% ,>- de este unto es tambi&n conocida' $a recuencia natura$ uede ca$cu$arse or+ $
=
m ef
)n sistemas con masas distribuidas' como resortes # !igas' es necesario rimero conocer $a distribución de $a am$itud de !ibración antes de ca$cu$ar $a energía cin&tica , RA#$EI%& -. +0 eterminar e$ eecto de $a masa de$ resorte en $a recuencia natura$ de$ sistema.
d
K
m
x
- $a !e$ocidad de $a masa ,MSea , % Se suone
8 y
%
=
y
⇒ y =
y
%
8
Aa energía cin&tica de$ sistema uede ser ahora+ #
Masa or unidad de $ongitud
=
+
m
y dy ) ∫ 8
)
m L 8
#=
m y
)
) + m% # = ∫ % dy ⇒ # = ) ' 8 8 ) 81 +
∫ y dy )
'
)
+ 8/ 1 ⇒ # = + m % ) ) 1 8 / 1
+ m% )
8
1
“Vibración Libre” Página: 28
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Se conc$u#e
=
+ 1
m
=adiendo esto a $a masa concentrada ,M-' $a recuencia natura$ ser"+ $
=
M+
)0
+ 1
m
Ina !iga sim$emente ao#ada de masa ,m- tiene una masa concentrada ,M- en e$ centro de
$a $u%. etermine $a masa eecti!a de$ sistema en e$ centro de $a $u% # ha$$e su recuencia.
m
(rimero se ha$$a $a !ariación de $a am$itud eormación con resecto a ,- segn tab$as+ Aa ecuación de $a e$"stica # $a $echa m"ima est"n dadas or+
E9y =
y m>%
P% 1
8) − % ) +) 5
=
P81 56E9
(ara ' < % < 8 )
=
erando en $a ecuación de $a e$"stica se tiene+ y
=
18) − 5% ) ⇒ y = +)E9 5 P%
P% 56E9
[ 18 − 5 % ] )
)
1 1 1 ) 8 P8 % % 1 8 y= 1%8 − 5% 1 ⇒ y = 56E9 1 8 − 5 8 56E9 8 8
P
(or tanto+
% % 1 y = y m>% 1 − 5 8 8
“Vibración Libre” Página: 29
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Aa energía cin&tica ser"+ ) m 1 % % y m>% 1 − 5 1 # = ∫ d% ⇒ # = ) 8 8 8 ) +
+ )m ) % y m>% 1 ) ) 8 8 1
#=
#=
)
∫
2
2 85
8
'
+
1 % % − y 1 5 m>% 8 81
d%
8 )
⇒ 7 8 '
+7 % ;
)
;
)
8 ) % 4% ) % 1 + )m ) %5 % 7 ∫ ' 1 8 − 5 81 d% ⇒ # = ) 8 y m>% ∫ ' 8) − )5 85 + +7 87 d%
8 )
+ )m ) y m>% ) 8
#=
#=
+ )
+
( )m) y
)
1 8/ 1 )5 8/ 2 +7 8/ ; 1 − 28/ 2 1) + ;8/ ; +)6 6 / 8
1 6
(or tanto $a recuencia es+ = P = $
) m>%
) ( )m ) y m>% −
m ef
e donde $a masa eecti!a es+
(ero se sabe
−
)5 %
)m
8 )
+
⇒ $ =
)5
+
+7'
⇒ # = + ( '0562;m ) y ) m>% 647 ) +7
= '0562;m
M + m ef $
P
P
$ =
1
P8
⇒ $ =
56E9 1
8
56E9
=
10
56E9 8 ( M + '0562;m ) 1
Aa masa de $a !ari$$a de$gada de sección uniorme es e
tiene co$ocada en su etremo. Ca$cu$e $a recuencia natura$ de osci$ación de $a masa' suoniendo
%
K
*
x
“Vibración Libre” Página: 30 8
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas
Aa energía otencia$ es $a gra!itaciona$ # $a e$"stica+ = mg
!g
!g
!e
=
+
!e
=
+
)
)
(ero+
= 8 − 8 cos
= mg8( + − cos )
%$(ero+ % = atag (ara osci$aciones e
)
$ ( a
1
) ) ⇒ !e =
+ )
$a
)
tag
≈
2
)
Aa energía cin&tica es de tras$ación+ # = #=
Aa deri!ada temora$
# + !g
+ )
+ )
m!
(ero+
( ) ⇒ # = + m8
m 8
)
)
)
)
!
= 8 = 8
3
+ !e = ' ) / + $a ) / + m8) / = '
mg8( sen
m8 + mg8 + $a )
+
mg8 + $a
)
='
)
mg8 + $a
='
)
m8
= 50
)
)
m8)
Ina esera homog&nea de radio ,r- # masa ,m- uede rodar $ibremente sin des$i%ar sobre una
suericie es&rica de radio ,-. Si e$ mo!imiento de $a esera se restringe a$ $ano !ertica$. etermine $a recuencia natura$ de osci$ación de $a esera.
3
3 9 ! !
8
:G
“Vibración Libre” Página: 31
A
'
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas
[ ! = mg ]
Aa energía otencia$ es+ !
= mg[ ( R − r ) − ( R − r ) cos ] ⇒ ! = mg( R − r )( + − cos )
+ + Aa energía cin&tica es de tras$ación # rotación # = m!=) + 9 = ) )
#+
#)
=
+ )
9=
=
+ )
donde+
)
m!=
+
=
)
(ero+
)
[
m ( R − r )
#+
9=
= #)
+ )
= mr ) 2
=
2
!= r
= ( R − r ) esecto de$ unto ,-
] ⇒ # = + m( R − r) )
+
mr
)
)
)
Considerando = centro instant"neo
)
⇒ = ( R − r )
r
)
)
R − r # + mr ) ( R − r ) ) ⇒ ) = / ) 2 r/ r #)
(or tanto+
)
!=
)
d dt
mg( R − r )( sen
=
+ 2
)
) ) m( R − r )
( ! + #+ + #) ) = '
) / + m( R − r ) ) / +
) 2
m( R − r ) /
m( R − r) ) + ) m( R − r) ) + mg( R − r) sen = ' 2
='
(ero+
sen
≅
; ( R − r ) + mg( R − r ) = ' 2
m( R − r )
“Vibración Libre” Página: 32
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas +
g ; 2
='
( R − r ) 2g
=
;( R − r )
20 In disco homog&neo circu$ar tiene un momento de inercia a$rededor de su centro igua$ a 10 $bT
$gTseg2. )n $a osición de e10 $b@$g.
10
K
# = + 9 )
Aa energía cin&tica+
#=
+ )
)
9= )
1
! = + $ ) )
Aa energía otencia e$"stica+
! !
=
+ )
$ ( %
= !+ + !) )
− +) +
+ )
$ ( %
)
+ +)
“Vibración Libre” Página: 33
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas !=
Como+
%=r
+ )
%$)
−
+ )
$ +
+ )
%$+
)
+ )
$ =
%$⇒ ! = $ ( r ) ) ⇒ ! = $r ) d
(ero+
dt
)
)
2
( # + !) = '
+ 9 ) + $r ) dt ) d
)
9 / + )$r ) / 9 + )$r
= '
='
÷9
='
)
+ )$r
)
='
9
eem$a%ando !a$ores+
+
) ⋅ +' ⋅ ( +' )
)
='
+'
+ )'' = ' ⇒
)
= )''
rad = +50+5 seg
70
In ci$indro homog&neo de masa ,m- est" susendido or un resorte ,>- # una cuerda
inetensib$e. )ncuentre $a recuencia natura$ de !ibración de$ ci$indro.
K
A
:G
!
x m
“Vibración Libre” Página: 34
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas )nergía cin&tica+ #=
+ )
+
+
)
m!=
)
#)
(or tanto+
#=
+ )
+
=
)
⇒ # = #+ + #)
= r
!=
#+
)
9=
( ) = + mr )
m r
)
)
)
+ + + = mr ) ) = mr ) ) ) ) 5
) ) mr
+
+ 5
) ) mr
⇒#=
1 5
) ) mr
)nergía otencia$+ ! = ! d dt
=
+ )
$ ( )r
)
)
(ero+ % = )r
)
) ) ⇒ )$r )
)
1 mr ) ) + )$r ) dt 5
mr/ ) / 1
)
%$d
( # + !) = ' 1
+
)
= '
+ 5$ r/ ) / = '
m + 5$
÷ 1m
='
)
+ 6$ = ' 1m
=
;0
6$ 1m
)$ disco tiene una masa de 8 >g. etermine su recuencia natura$ de !ibración ,- si $os
resortes est"n origina$mente no estirados. K , 400 ./m x
m
100 mm5
“Vibración Libre” Página: 35 x K , 400 ./m
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas
)nergía cin&tica+ +
#=
)
(ero+
9=
=
+
=
)
9=
+
)
9=
)
mr )
)
+ +
mr ) ) ⇒ # = mr ) ) ) ) 5
#=
+
1
)nergía otencia$ )$"stica so$amente+ ! = + $% ) ) !
! +
=
)
! = $% d dt
+
+ )
m + )$
+ 5$ = ' ⇒
)
%$)
+
+ 5
mr/ ) /
)
=
÷m )
5$
f =
f ⇒ f =
+
$ m
f
=
2
)
) ) mr = '
m
⇒ =)
/ ) =)
ero+ % = r
)
='
='
m
Se sabe
+
⇒ ! = $r )
$r ) dt
)$ r/ ) /
)
+
)
d
( ! + #) = '
+
)
%$= !+ + !)
) +
=
$ m
$ m / )
5'' 6
= )0)2( 3" )
“Vibración Libre” Página: 36
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas 60
etermine Aa ecuación dierencia$ de mo!imiento de$ carrete de 3 >g.' suoniendo
des$i%a en $a suericie de contacto a medida
x
00 mm5
:G G
100 mm5
100 mm. 0.1 m. 200 mm. 0.2 m. $ =
125 mm. 0.125 m.
)nergía cin&tica Lras$ación # rotación+ # = + m! ) t ) =
# = + 9 r ) =
)
(ero+
!=
= r ⇒ #t =
+ )
) ) mr
= ∧ 9 = = m$ =) ⇒ #r = + m$ =) )
ero+
)
1 2
)nergía otencia$ )$"stica so$amente+ ! = + $% ) )
(ero+ % = ( r + R ) ⇒ ! =
+ )
$ ( r + R )
)
)
3
+ mr ) ) + + m$ ) ) + + $ ( r + R ) ) ) = ' = dt ) ) ) d
) ) ) mr + m$ = + $ ( r + R )
='
÷
(mr + m$ ) + $ ( r + R ) = ' )
) =
)
eem$a%ando !a$ores+
( 10'+ + 1 ⋅ '0+)2 ) + 5''( '0+ + '0)) )
)
'0';;
+ 17 = '
)
='
÷ ( '0';; )
+ 576 = '
“Vibración Libre” Página: 37
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas
40 (ara "ngu$os e
!
K
!
2!
(or e$ m&todo de $a )nergía #=
!
=
+ )
+ )
%$m! /= )
+
+
)
9=
)
⇒#=
+ mg/ ⇒ ! =
)
(ero
+ )
+
9=
) )
$ + % +
+
+ )
)
)
$ ) % )
=r
%+
= r + 1r = 5r
%)
=
9=
+ )
mr
)
eem$a%ando + +
+ + mr ) ) + $ + ( r ) ) + $ ) ( 5r ) ) = ' ) ) ) ) + 5
) ) mr
+
+ )
$ +r
)
)
+
+ )
$ ) (+7r
)
)
)='
eri!ando + )
) ) mr + $ +r
+ )
m + $ +
+
)$ +
+ +7$ ) r ) = '
÷r)
+ +7$ ) = '
+ 1)$ ) = ' m
“Vibración Libre” Página: 38
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas )$ + + 1)$ )
=
+'0
m
Na$$ar $a ecuación de$ mo!imiento de un &ndu$o in!ertido
resorte' cu#a constante es ,>-. Se suone
x
m
1 K * %
# = #
=
+ )
+ )
m!
m( 8 )
)
=
)
(ero % = 8 !e$ocidad
+ )
) ) m8
! = E !E
=
+ )
$ ( a
)) =
+ )
+ )
$
a)
)
)
=a
(ero
$
[ != = mg] != d dt
= mg8cos − mg8 = mgl( cos − +)
( # + !E + != ) = ' ⇒ m8) /
+ m8) ) + + $a) dt ) ) d
+ $a )
+ mg8( cos − +)
− mgl sen / = '
m8 + $a )
)
)
− mg8 = '
(ero
sen
≈
÷ (m8)
“Vibración Libre” Página: 39
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas ) g $a + − ) m8 8 = '
Vibración !or,ada sin amortiguamiento. (ara este caso $a ecuación dierencia$ tiene $a orma siguiente+ m% +
%$= Po sen
1
t
)ste tio de ecuaciones tiene dos so$uciones+ % = % c + % p a So$ución aTtransitoria com$ementaria+ Cuando $a ecuación es homog&nea' es decir+ m% + $% = '
Aa cua$ tiene como so$ución+ % = . sen t + - cos t
b So$ución estacionaria o articu$ar+ Cuando $a ecuación es+ m% +
%$= Po sen
t
%( t )
= = sen
t
Su so$ución es de$ tio+ 2
eri!ando dos !eces+ (t) %
==
% ( t ) = −=
)
cos
sen
t
3
t
eem$a%ando 2 # 3 en 1
( )
)
m − = sen t + $ = sen t = Po sen t − m=
)
sen
t
+ $= sen
− m=
)
−
t
= Po sen
+ $= = Po
m= $
)
+= =
t
÷ ( sen
t
)
÷ ( $ ) Po $
“Vibración Libre” Página: 40
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas :actori%ando U # ordenando
+ − m $
)
+ −
= = Po $
(ero+
Po = = ) $
)
=
)
$ m )
Sea+
=
)
(+ − )= = P )
o
$
=
=
(
Po
$ + −
)
4
)
eem$a%ando 4 en 2 %p ( t)
Po
=
$ (+ −
)
)
sen
So$ución articu$ar
t
Como $a so$ución genera$ es de$ tio+ = %c + %p
%( t )
)ntonces+
%( t )
= . sen
t + - cos t +
Po
$ (+ −
)
)
sen
5
t
Aas constantes = # F se determinan or $as condiciones de contorno Si
t
= ' ⇒ %( ') = '
a
Si
t
= ' ⇒ % ( ') = '
b
eem$a%ando a en 5 ' = . sen '
o
+ - cos ' o +
Po
$ (+ −
)
)
sen '
o
- = '
eri!ando 5 ( t) %
=.
cos t − - sen t +
Po
$ (+ −
)
)
cos
t
6
eem$a%ando b en 6 ' = . cos ' '=.
+
o
−-
sen '
Po
$ (+ −
)
)
o
+
Po
$ (+ −
⇒.=−
)
)
cos '
Po
$ (+ −
)
o
)
“Vibración Libre” Página: 41
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas )
=
(ero
Po
)
⇒.=
)
sen t +
$ (+ −
)
)
eem$a%ando $as constantes = # F en 5 %( t )
=−
Po
$ (+ −
( )=
%t
)
Po
( sen
)
Po
$ (+ −
)
t − sen t
)
sen
t
7
)
onde+ Po
= =m$itud de $a uer%a eterna
$ = igide% de$ resorte
=
:recuencia circu$ar de$ mo!imiento
= :recuencia circu$ar de carga Si se ana$i%a $a ecuación 7' se nota
= entonces e$ actor (+ − ) = ' $o
= + ' es decir;
)
denominador se hace ininita $a eresión. )sta situación se $$ama RES?N.N,9.0
P 0 K
=
; 6 4
P K (1 − β 0
2
)
2
1
Aa so$ución articu$ar ara e$ caso
2
= tiene $a orma+ %p ( t)
onde +
t sen == +
=+
%p ( t )
=
= Po
)m
ω 2 ω 2
= β
2
t
Po )m t sen t
“Vibración Libre” Página: 42
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas
)sta eresión muestra
t
E/m0 In b$o- e$ cua$ est" montado
sobre una base de eso desreciab$e
. o sen
t hacia
arriba # hacia aba*o. etermine e$ mo!imiento de$ b$o
x
m K (x 9 ) K
− $ ( % − y ) = m% − $% + $y = m% m% +
%$So$ución com$ementaria
%c
= $. o sen
= . sen
t
t + - cos t
So$ución articu$ar+
“Vibración Libre” Página: 43
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas (or uno de $os m&todos abre!iados' se tiene
=
y
+ (( @
)
)
sen( a% + b )
+
=
(( − a
)
)
+ (( − a ) ≠ '
sen( a% + b )
(or tanto en este caso' $a ecuación dierencia$ ser"+ Sea
% = @) %
(m@ + $ )% = $. )
%p
+
=
%p
m@
+ $
)
sen
t
$. o sen
t
+
=
−m
)
+ $
o
$. o sen
t
+ %p
m
= −
+
)
=
%p
%p
=
$
$. o sen
t
(ero
)
=
$ m
m
(
.o )
$
−
)
)m
.o
)
( ) − ) ) %p
=
sen
) )
.o +−
)
t
sen
sen
t
t
)
(or tanto $a so$ución genera$ es+ % = . sen t + - cos t +
.o )
+−
sen
)
-i$os de amortiguamiento. a A"'rtigua"ient' (isc's'. (ara cueros
“Vibración Libre” Página: 44
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas (
= −c!
c = Ctte. e roorciona$idad !
= 9e$ocidad
b A"'rtigua"ient' turbulent'. curre cuando $a raide% con
= −b! )
= Ctte. e roorciona$idad ! = 9e$ocidad
b
c A"'rtigua"ient' C'ul'"bian'. Cuando una suericie seca se des$i%a sobre otra suericie. (
=
= Coeiciente de roce cin&tico
N
N
= :uer%a norma$
“Vibración Libre” Página: 45
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas
Vibración libre amortiguada. K F3
c
F% K( + x)
m
cx
x
x
mg
mg
)n $a situación de e
$
1
)n $a situación c se tiene+
∑ ( = m%
− $ ( + % ) − c% + mg = m% − $ − $% − c% + mg = m%
Segn 1
− $% − c% = m% rdenando+
+ $% = ' m% + c% d%
Si
dt
2
)
d %
= @% #
dt
)
= @)%
m@ % + c@% + $% = ' )
3
i!idiendo entre ,m- $a ecuación 3 @
)
+
c m
@+
$ m
='
4
eso$!iendo cua$ si uese una ecuación de segundo grado.
@=
Como
−
c m
c
±
)
m ) )
)
=
− 5 $ m
$ m
“Vibración Libre” Página: 46
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas
−
@=
c m
5c )
±
5m )
−5
)
)
)
c @=− ± − )m )m c
)
=na$i%ando e$ discriminante' se !e tres situaciones osib$es+ )
Si
c − )m
Si
c − )m
Si
c − )m
)
='⇒
)$ sistema tiene amortiguamiento C/L/C
)
<'⇒
)$ sistema es SIFT=ML/UI=
)
>'⇒
)$ sistema est" SF)T=ML/UI=
)
)
Sistema con amortiguamiento cr%tico. )
)
c − )m
Como
c = ' ⇒ = )m
)
e ahí
,c
)
⇒
= )m
c )m
= ,c
= =mortiguamiento
crítico (or tanto $a raí% de $a ecuación 4 son igua$es # ser"n+ '
@=
−
c m
±
c
)
m )
)
−5
)
@=
−
⇒@=−
= − )/ m/ )m )/ m / ,c
(or tanto $a so$ución de $a ecuación 4 tendr" $a orma+ %( t )
:actori%ando Como
@=
−
= = +e @t + = ) te @t onde =
%( t )
= ( = + + = ) t )e @t
%( t )
= ( = + + = ) t )e −
%( t )
= ( =+ + = ) t )e
−
c )m
+
*=)
= Ctts. a determinar
t
5
t
5V
“Vibración Libre” Página: 47
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas c
Conorme t → ∞ se tiene
∞;
e$
mo!imiento se disia eonencia$mente. e hecho' e$ caso de amortiguamiento crítico es e$ caso $ímite de sobreTamortiguamiento. ,)$ amortiguamiento crítico' reresenta una condición en $a
e
−
t
= cos
6
t − sen t
6 en 5 %( t ) %( t )
= ( = + + = ) t )( cos t − sen t )
= = + cos
t − = + sen t + = ) t cos t − = ) t sen t P t
%( ' )
= ' ⇒ %( t ) = %( ')
7
eem$a%ando en 7
= = + cos ' o − = + sen 'o + = ) ( ') cos 'o − = ) ( ') sen 'o = + = %( ' )
eri!ando 7 % ( t )
= −=
+
sen t − = + cos t − = ) t sen t + = ) cos t − = ) t cos t − = ) sen t P t
% ( ' )
= −= +
sen ' o
− =+
cos ' o
= ' ⇒ % ( t ) = % ( ')
− = ) ( ') ( ') %
=)
sen ' o
+ = ) cos
'o
− = ) ( ')
cos ' o
− = ) sen
= −= + + = )
= % ( ') + = + ⇒ = ) = % ( ') + %( ')
eem$a%ando $as constantes = + # %( t )
= ) en 5
= [ %( ') + ( % ( ') + %( ') ) t]e −
t
rdenando+
“Vibración Libre” Página: 48
'o
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas %( t )
( ' ) t ]e − t) + %
= [ %( ')( + +
t
&(0)<0 &(0)
&(0),0
t &(0)=0
Movimiento subamortiguado. )sta situación ocurre cuando+ )
c − )m
<'
)
Hue im$ica tener un discriminante negati!o' or tanto tendr" so$uciones imaginarias. Sea = a%ón de amortiguamiento ,
=
⇒ , = ,c ⇒ , = )m
,c
eem$a%ando en+
@= @
=−
−
( )/ m / )
/m ) /
±
)
@
Sea+
)
c @=− ± − )m )m c
)
)
( )/ m / ) ± − / )/ m
−
)
=−
⇒@=−
±i
ω = ω
1
0
)
− ξ
+−
±
)
)
−+
)
9e$ocidad angu$ar amortiguado
2
:recuencia de osci$aciones amortiguadas @=
−
±i
'
a
Aa so$ución a $a ecuación dierencia$ tendr" $a orma+
“Vibración Libre” Página: 49
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas
= = +e @ t + = ) e @ t
%( t )
+
b
)
eem$a%ando a en b %( t )
= = +e( −
%( t )
= = +e −
%( t ) = e
Como+
e
e
i
e
't
i
't
(= e
i
+ = )e ( −
'
= cos
't
+
t
= )e
t + i sen '
−i ' ) t
+ = )e −
+
= cos
't
−i
t
t
−
+i ' ) t
−i
'
t − i sen
e
−i
't
't
)
c
t '
t
eem$a%ando en c %( t ) %( t )
= e − t [= + ( cos
= e − t [ = + cos %( t )
= e−
t
'
'
'
t + i= + sen
'
⋅'
t
'
t − i sen
'
t − i= ) sen
'
t )] '
t]
) sen + i(=+ − = )
t + - sen
'
'
t
t)
d
= ' ⇒ %( t ) = %( ' )
t
= e−
t + = ) cos
'
-
= e − t ( . cos
(ara
t ) + = ) ( cos
'
) cos (=+ + = ) .
%( t )
%( ')
t + i sen
( . cos ' + - sen ' ) ⇒ . = %( ') o
o
eri!ando d+ ( t) %
= e− t ( − .
'
sen
'
t+-
(ara % ( ')
= e' (− .
'
sen '
'
=-
'
) e − t ( . cos
t) + ( −
t
= ' ⇒ % ( t ) = % ( ' )
o
+-
( ') % % ( ')
cos
' −
'
cos '
=' %( ')
'
o
)−
−
e ( . cos ' '
'
⇒-=
o
'
t + - sen
'
t)
+ - sen 'o ) (ero
.
% ( ') +
'
. = %( ' )
%( ')
'
%( t )
= e − t %( ') cos
'
t+
( ') %
+
' '
%( ')
sen
'
t
“Vibración Libre” Página: 50
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas
xe −ξω t x x sen wt
Movimiento sobreamortiguado. )sto ocurre cuando+ )
c − )m
>'
)
= a%ón de amortiguamiento =
,
⇒ , = ,c ⇒ , = )m
,c
)
c @=− ± − )m )m c
eem$a%ando en+
@
=−
±
@
= (− ±
−+
)
)
)
a
−+
Aa so$ución a $a ecuación dierencia$ es de$ tio+ %( t )
b
= .e@ t + -e@ t +
)
eem$a%ando a en b %( t )
− +
= .e
)
−+
− −
t
+ -e
)
−+
c
t
eri!ando c ( t) %
=
.
(−
+
)
− +)
− +
e
)
−+
t
+ - (− −
)
− +)
− −
e
)
−+
t
d
Aas condiciones de contorno son+
“Vibración Libre” Página: 51
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas t = ' ; %( t )
(ara+
= %( ' ) ; % ( t ) = % ( ' )
eem$a%ando en c %( ')
G
= .e' + -e' ⇒ . = %( ') − -
eem$a%ando en d ( ') %
= .(− +
)
−+
e
+ -(− −
'
)
−+
e
GG
'
eem$a%ando G en GG
( ') %
=−
( ') %
= ( %( ' ) − - ) − +
%( ' )
+
)
)
−+⋅
)
−+⋅- =
%( ') +
=
−+
−
/ / -/ − )
)
-
)
-−
)
−+⋅
-−
− + ⋅ %( ' ) −
−+ −
%( ' ) )
)
−+⋅
)
%( ' )
-
/ / -/ −
)
−+⋅
-
− % ( ')
− % ( ')
−+
eem$a%ando en G −+ −
)
.
= %( ' ) −
.
=
)
− +%( ' ) −
)
)
.
=
( ') + %
)
)
− % ( ')
−+
)
) )
%( ' )
− +%( ' ) + ) −+
−+ + ) −+
%( ' )
(') %( ' ) + %
GGGGG )$
%( t )
=
( ') + %
)
)
−+ + ) −+
%( ')
− + e
)
−+
t
)
+
−+ − )
%( ') )
− % ( ')
−+ A
− − e
)
−+
t
Ae
( −ξ −
'
mo!imiento es una unción eonencia$mente decreciente con e$ tiemo # se $a c$asiica como
“Vibración Libre” Página: 52
)
ξ 2 −1 ω t
wt
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas APERIODICA. E/m0 Si e$ sistema mostrado en $a igura' se sue$ta desde una a$tura ,h- sobre una suericie dura.
OCu"$ ser" e$ mo!imiento resu$tante de $a masa ,m-P
m x K
c
8
t,0
*535
Aa ecuación dierencia$ ara este sistema es+ + $% = ' m% + c% % +
c m
+ %
$ m
÷
%='
m
1
Aa eresión se uede escribir como+ @
)
+
c m
@+
$ m
='
Aa so$ución de esta ecuación es+ )
c @=− ± − )m )m c
=
Como
c ,,
#
2
)
= )m ⇒ c = )m
,,
eem$a%ando en 2 @= @
=−
−
±
( )/ m / )
/m ) / )
)
−
)
( )/ m / ) ± − / )/ m )
⇒@=−
±
)
)
−+
Cambiando e$ orden de$ discriminante; este se hace negati!o' or tanto imaginario+ @
=−
±i
+−
)
“Vibración Libre” Página: 53
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas Sea+
=
'
@
+−
=−
)
±i
'
Aa so$ución a $a ecuación 1 es de $a orma+ %( t )
+
= = +e( −
%( t )
%( t ) = e
Como+
= = +e @ t + = ) e @ t
e
i
+i ' ) t
(= e
t
−
e
+ = )e ( − 't
+
+
= cos
't
i
)
−i
'
= )e
t + i sen
= cos
't
'
−i ' ) t
'
−i
't
)
t
t − i sen
'
t
eem$a%ando # sim$iicando+ %( t )
= e − t ( . cos
'
t + - sen
'
t)
3
eri!ando 3 ( t) %
= e− t ( − .
'
sen
'
t+-
cos
'
'
t)
) e − t ( . cos
+ (−
'
t + - sen
'
t)
4
Considerando e$ ni!e$ de reerencia A. de$ gr"ico' se tiene $as consideraciones de contorno P t
= ' ; % = ' ; % =
)g
eem$a%ando en 3 # 4 Se determina $as constantes. %( t )
=
)g
e
c
−/
)m /
t
sen
'
)n 3
t
'
' = e . cos ' '
o
+ - sen 'o ⇒ . = '
)n 4 )g
= e' (− .
'
sen '
+-
o
)g
'
=-
cos '
'
o
)−
e ( . cos ' '
o
+ - sen ' o )
)g
⇒-=
'
eem$a%ando en 3 %( t )
= e− %( t )
t
=
' cos )g '
)g
't
sen
'
e−
t
sen
'
t
't
(ero
=
c )m
“Vibración Libre” Página: 54
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas %( t )
)g
=
e
−/
c )m /
t
sen
'
t
'
%( t )
c )g − )m t e sen
=
'
t
'
+0 Ina masa de 50 $b. eosa sobre un resorte de 35 $b@($g.# un amortiguador de 075 $bTseg@($g..
Si se a$ica una !e$ocidad de 4 ($g@seg a $a masa en su osición de reoso. OCu"$ ser" e$ des$a%amiento a$ ina$ de$ rimer segundoP.
m x K
c
Aa ecuación dierencia$ ara este caso es+ + $% = ' m% + c% % +
c m
+ %
$ m
÷m
%='
Aa so$ución o rimiti!a de esta ecuación es+ %( t )
'
P t
= e − t ( . cos =
+−
)
'
t + - sen
=
'
t)
a
c )m
= ' ; %( t ) = ' ; % ( ' ) = 5 APlgBsegC
b
eem$a%ando en a ' = e . cos ' '
o
+ - sen 'o ⇒ . = '
eri!ando a
“Vibración Libre” Página: 55
Facultad de Ciencias y Tecnología Ingeniería Mecánica - Vibraciones Mecánicas ( t) %
= e− t ( − . 5=e
'
'
sen
(− .
'
'
t+-
sen '
'
cos
+-
o
'
'
) e − t ( . cos
t) + ( −
cos '
=-
5
'
o
)−
−
e ( . cos ' '
o
'
t + - sen
'
t)
+ - sen 'o ) (ero
.
.='⇒-=
5 '
eem$a%ando en a %( t )
(ero
)
c
=
$ m
5 = e − t sen ' =
'
t ⇒ %( t )
2'
p lg ∗ 165 seg ) ⇒
lb
=
+−
)
= +1067
c )m
+ − ( '0)+)
)
e
−
t
sen
'
t
c
'
)2 lb B p lg
p lg lb ⋅ seg = '0;2 ∗ 165 ) ⇒ = p lg seg '
5
=
= ⇒
rad = +1067 seg )66 )( 2' )( +1067)
'
⇒ = '0)+
rad = +1022 seg
(or tanto estos !a$ores reem$a%ado en c % ( +)
=
5 +1022
% ( +)
)0 In
e − '0)+( +1067 ) + sen[ +1022( +) ]
= '0''+1[ p lg ]
&ndu$o sim$e est" i!otado en ,0-. Si $a masa de $a !ari$$a es desreciab$e # $as
osci$aciones e
c
*
m
“Vibración Libre” Página: 56
