Ing. Guillermo A. Manjarrés G. Docente
EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA
Ejercicio1. Cuantos triángulos hay en la figura M
H
D K R
P
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
PMK MPK PMR PHK HMK HRD PRK HMD MDK HMR MRK
127-8 Ejercicio 2. DATOS: UN SEGMENTO RS Y LOS PUNTOS T y U EN LOS LADOS OPUESTOS DE RS TALES QUE TR = UR, TS = US y UR = US. DEMOSTRAR: m t = m U.
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1. TR = UR
(L) DEL DATO.
2. TS = US
(L) DEL DATO.
3. RS = RS
(L) CARÁCTER REFLEXIVO.
4. ∆ RTS ∆ RUS 5.
POSTULADO (LLL) Nº 1, 2 y 3.
RUS, POR PARTES CORRESPONDIENTES DE TRIÁNGULOS CONGRUENTES Nº 4. RTS
6. m T = m U, POR PARTES CORRESPONDIENTES DE TIÁNGULOS CONGRUENTES
Nº 5.
T
R
S
U
67-13 EJERCICIO 3.¿H1 y H2 son dos semiplanos que están contenidos en un plano, Indicar si la reunión de H1 y H2 es todo el plano cuando A) H1 y H2 tienen la misma arista? Explique B)
La arista de H1 interseca a la arista de H2 exactamente en un punto explíquese
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RTA ( A): SI POR QUE LA ARISTA QUE COMPARTEN LAS DIVIDE EN DOS
H1 H2
Ejercicio 4. Se da el Δ ABC, con AB = BC. Sea D un punto en el lado de ↔AB opuesto a C tal que el Δ ABD es equilátero. Sea E un punto en el lado de ↔ BC opuesto a A tal que el Δ BCE es equilátero. Demostrar que AE = CD.
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EJERCICIO 5.
P
S M
N
R
A A
Q
En la figura PM = QN, PS = QR y MR = NS. Demostrar que el ángulo PSN es congruente con el ángulo QRM.
1. PS = QR
Dato del ejercicio
2. PS RQ
Por el numeral 1
3. PM = QN
Dato del ejercicio
__
__
4. PM QN PM QN
Por el numeral 3
5. MR = NS
Dato del ejercicio
_____
______
__
__
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__
__
6. MR NS
Por el numeral 5
7. RS SR
Carácter reflexivo
8. MR + RS = RS+NS
De los numerales 5 y 7
9. MS = NR
Suma de distancias en el numeral 8.
10. ΔPSM ΔQRN
Criterio LLL numerales 1, 3 y 5.
11. PSM QRN
Partes correspondientes de triángulos congruentes.
12. PSN es el suplemento del PSM
Definición de par lineal.
13. QRM es el suplemento del QRN
Definición de par lineal.
14. PSM QRN
Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes. Numerales 11, 12 y 13.
__
__
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EJERCICIO 6 En la figura de la derecha el ∆PRS es isósceles con PR=PS Demostrar que
P
S
R X
Y
1. PR PS PR PS
Dato del ejercicio.
2. PRS PSR
Ángulos en la base de un triángulo isósceles.
3. X es el suplemento del PRS
Definición de par lineal.
4. Y es el suplemento del PSR
Definición de par lineal.
5. X Y
Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes. Numerales 2, 3 y 4.
____
_____ _____
____
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67-16 EJERCICIO 7 ¿Podrán 3 rectas en un plano separarlo en 3 regiones? ¿En 4 regiones?, ¿En 5 regiones?, ¿En 6 regiones?, ¿En 7 regiones?
Respuesta En tres regiones no se puede separar
1
2
3 4 4 regiones
1 2
4 5
3
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5 regiones
1
4 5
2
3
6
6 regiones
7 regiones
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78-8 Ejercicio 8 ¿Es cierto el siguiente enunciado? El ∆ABC es la reunión de
C
A
B
Si por que el ∆ está formado por los
151-16. Sea L la arista de los semiplanos, H1 y H2. A y B son dos puntos de L, M es un punto en H1, y R es un punto en H2 tal que el Demostrar que el
MAB
RAB y MA = RA.
MRB es isósceles.
1. AM = AR (L)…………………………………...Dato.
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2.
MAB
RAB (A)……………………....Dato.
3. BA (L)………………………………………….Arista. 4.
MAB
RAB……………Por el criterio LAL en los numerales 1, 2 y
3. 5. BM = BR………….. Partes correspondientes de triangulos congruentes. MRB…………………….……....Es isosceles en el numeral 5.
6.
¿Sera necesario que el segmento MR corte a L? No, como se ve en la grafica el MR no corta L. ¿Requiere la respuesta a la parte (a) que H1 y H2 sean coplanarios? No, como muestra la grafica no es necesario que sea coplanario o en si no es necesario que este en el mismo plano.
150 - 10. Demostrar que si el ∆ ABC es equilatero, entonces ∆ABC
∆CAB
∆ACB..
DEMOSTRACIÓN
1.
A
2. BC
B CA
C ------------------------------------------DATO
BA--------------------------------------------------DATO
3. ∆ABC-------------------------------TRIANGULO EQUILATERO
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4.
A
B
C--------------------------------------------DATO
5. CA=AB=BC---------------------- A ANGULOS OPONEN LADOS CONGRUENTES
CONGRUENTES
SE
6. ∆CAB-----------------------------TRIANGULO EQUILATERO EN 4 Y 5 7.
A
C
B--------------------------------------------DATO
8. BA=CB=AC------------------------------------------A CONGRUENTES SE OPONEN LADOS CONGRUENTES
ANGULOS
9. ∆ACB----------------------------TRIANGULO EQUILATERO EN 7 Y 8 10. m A m B m C=m TRANSITIVA EN 1,4 Y 7
C+m
A+m
B--------PROPIEDAD
11. AB=BC=AC=CA=AB=CB=AC=CB=AC=CB=AB-------PROPIEDAD TRANSITIVA EN 2, 5 Y 8 12. ∆ABC
∆CAB
∆ACB--------------------- EN LOS NUMERALES 10 Y 1
1: Se dan dos triángulos ABC y PQR cada uno de los cuales tiene dos lados de longitud 7 y un ángulo cuya medida es 40° ¿Son congruentes los triángulos? Explíquese. R/
C
R 40°
A
40
B
P
Q
Si son congruentes porque cumplen el criterio de L A L puesto a que el lado AC es congruente con el lado PR y el lado BC es congruente con el lado QR por lo tanto el ángulo está ubicado en C como nos lo indican los triángulos realizados anteriormente.
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OBSERVACIÓN : Si el ángulo que mide 40° es el ángulo A o el ángulo B, como los triángulos son isósceles, el ángulo C medirá 180° menos el duplo de la medida del ángulo A ( o del ángulo B). Análogamente ocurre con el ángulo R. Y luego, se aplica el criterio LAL para comprobar que los triángulos son congruentes. Página 130 7.
A
B
D E
C
Demostrar que AE=BC 1. 2. 3. 4.
m
ADE
10. AE = BC
(L) (A) BDC
Dato Dato
Por el criterio A.L.A de los # 6, 7 y 8 partes correspondientes a s s En el # 9
PAGINA 142 EJERCICIO 6: En la figura de la izquierda cual es el lado mas largo?
D
58°
A
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59°
53° 60°
59° 61°
B
AB < AD < BD < CD
Ejercicio 18: En la figura de la derecha, B, D y H están en el plano E, pero A y C no están en el plano E. Si
AB BD,CD, HD,AB HD Y CD BD demostrar que AD = HC.
C
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Solución:
1.
1 ángulo recto.
Dato AB BD
2.
2 ángulo recto.
Dato CD HD
3. 4.
AB HD 1 2
5. 6.
BD CD ∆ ABD ∆ HDC
(L) Dato AB = HD (A) Dato 1) 2) (L) Dato CD = BD Criterio LAL 3) 4) 5)
7. AD = HC Partes correspondiente de ∆s s PAGINA 130 EJERCICIO #09 Se sabe que el rayo AE biseca a BK en R tal que AB = AK demostrar que AE BK
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1. AB = AK
(L) Por dato.
2. BR RK
(L) Por dato.
3. AR AR
(L) Por carácter reflexivo.
4. ▲ARB ▲ARK Por criterio L, L, L en los numerales (1), (2), (3).
5. < BRA < KRA Por partes correspondientes de triángulos congruentes.
6. M< BRA + M< KRA = 180º par lineal.
7. M< BRA = 90º Por los numerales (5), (6).
PAGINA 197 Ejercicio 2: En el PQR, m P = 72, m Q = 37 y m R = 71. Nombra el lado mayor y el lado menor.
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R 71 11
37
722 2
Q
P
El lado más largo es QR ya que a mayor ángulo se le opone mayor lado y
viceversa
151-14 R
S
P
Q V
T
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En el triángulo isósceles ∆PQR, la bisectriz de un ángulo en la base, ángulo Q, interseca al lado opuesto en S. T es un punto en la base PQ tal que ST=PT. SV interseca al ángulo PST. Demostrar que
AFIRMACION
DEMOSTRACION
1) ST=PT 2) Angulo PQR congruente a ángulo RQP
1) Dato 2)Por el criterio de congruencia de ángulos 3) Postulado de adición de ángulos 4) La suma de los ángulos interiores del triangulo es 180Grad.
3) Angulo PST = ángulo PSV +ángulo VST 4) Áng.PST + Áng.PSV+ Áng.VST =180Grad Áng.PQR + Áng.RQP + Áng.QPR= 180Grad 5) Áng.PST + Ang.PSV + Ang.VST=Ang.PRQ
5) Principio de sustitución (3y4)
6)∆PQR congruente ∆PST
6) Pasos 1,4 y el postulado ALA
7) Áng.TSV congruente Ang.RQS
7) definición de congruencia
ángulo TSV es congruente al ángulo RQS
