TALLER SOBRE TRIANGULOS Y CONGRUENCIA

TALLER SOBRE TRIANGULOS Y CONGRUENCIA

EJERCICIOS PROPUESTO SOBRE TRIÁNGULOS 1. Resuelva utilizando los teoremas y justificando todos los pasos: 1. Si b =20 cm.; c =10 cm.; d = ? 2. Si σ = 70°; φ = ? 3. Si f =13cm.; d =20 cm. a = ? 4. Si∠ACB = 40° σ = ? 5. Si d =2c; b = ? 6. Si σ = 2θ λ = ? 7. Si λ = 2φ

f = 40 cm.; d = ?

2. Encuentra la medida del tercer ángulo interior de un triángulo, si la medida de los otros dos son: a) 67° y 47° b) 22° y 135° c) a° y 2a° 3. Determina el valor de x si los ángulos interiores de un triángulo son x, 2x y 3x. 4. En un triángulo isósceles, el ángulo exterior del vértice mide 70º. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de la base? 5. El ángulo CAB de un triángulo ABC cualquiera mide 52º; si el ángulo ABC es tres veces mayor que el ángulo ACB. ¿Cuánto mide el ángulo ACB? 6. En un triángulo rectángulo los ángulos agudos están en la razón de 5:4. ¿Cuánto miden estos ángulos? 7. En un triángulo isósceles, un ángulo basal tiene 18,5º más que el ángulo del vértice. Calcula los ángulos interiores del triángulo. 8. Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 3:4:5. ¿Cuánto miden estos ángulos?

9. En un triángulo ABC cualquiera, el ángulo CAB tiene 15º más que el ángulo CBA y éste 12º más que el ángulo ACB. Determina el valor de los ángulos exteriores de este triángulo. 10. En un triángulo isósceles, la suma de uno de los ángulos exteriores de la base con el ángulo exterior del vértice es 243ª. Calcula la medida del ángulo interior del vértice. 11. En un triángulo un ángulo mide 47º y el segundo tiene 17º más que el tercero. Calcula la medida de los ángulos interiores del triángulo. 12. El ángulo ABC de un triángulo ABC cualquiera mide 56º. Si los ángulos CAB y ACB están en la razón 3:2, ¿cuál es el valor del ángulo ACB? 13. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos tiene 20º más que el otro. ¿Cuánto miden los ángulos agudos? 14. En un triángulo cualquiera, un ángulo interior tiene 20º más que otro, pero 35º menos que el tercero. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de este triángulo? 15. En un triángulo cualquiera los ángulos exteriores están en razón de 2:3:4. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de este triángulo? 16. En un triángulo uno de los ángulos es el 50% de uno de los otros dos y el 33 1/3 % del tercero. Determina la medida del ángulo menor de este triángulo. EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS EJEMPLO 1 Si BD ⊥ AC , ∠1=∠2; demostremos que ∆ ABD ≅ ∆ CBD Demostración: ∠ABD=∠DBC=90º (definición de perpendicularidad). BD = BD (lado común); ∠1=∠2 (dado) ⇒ ∆ ABD ≅ ∆ CBD (A-L-A) EJEMPLO 2 Sea DA ⊥ AB; CB ⊥ AB; y ∠1=∠2. Demostremos que ∆ ABD ≅ ∆ ABC Demostración: ∠DAB=∠CBA=90º (definición de ⊥ ); AB = AB (lado común) ∠1=∠2 (dado) ⇒ ∆ ABD ≅ ∆ ABC (A-L-A)

EJEMPLO 3 Si AC = AD y ∠ 1 = ∠ 2. Demostremos que ∠ C = ∠ D Solución: AC = AD ∠ 1= ∠ 2 AB = AB ∆ ABC ≅ ∆ ABD → ∠ C= ∠ D

(dado) (dado) (Lado común) (L-A-L) (e.c ∆ s. ≅ s)

EJEMPLO 4: Digamos qué triángulos son congruentes, indicando el criterio.

Solución: ∆I ⇒ 30º +40º +θ = 180º (Suma de ángulos interiores en un triángulo) θ es el otro ángulo ⇒ θ = 180º −30º −40º ⇒ θ = 110º ( A − L − A) ⇒ ∆I ≅ ∆III 40º 25 110º ( L − A − L) ∆II ≅ ∆V 18 30 ° 25 ( A − L − A) ∆I ≅ ∆III ≅ ∆VI ∆III ≅ ∆VI ⇒ (Ley transitiva) ∆II ≅ ∆V ≅ ∆VII ≅ ∆IV 40º 15 110º ∆IV ≅ ∆VII ∆II ≅ ∆VII

( L − A − L) 15 110º 18 ( L − L − L) 15 18 25

Si ∆I ≅ ∆VI ⇒

∠A = 110º = 110º c = 25 = 25

α + 30º +110º = 180º

b = 15 = 15 ∠B = 30º = 30º Si ∆II ≅ ∆VII ⇒

∠A = 110º = 110º ∠B = 30º = 30º ⇒ ∆I ≅ ∆II ≅ ∆III ≅  ∆VII (Ley transitiva)

(Suma de ángulos interiores en un triángulo) ⇒ α = 40º

⇒ ∆VI ≅ ∆VII (L-A-L)

EJEMPLO 5 Hipótesis: MQ = PQ = PR = NR Tesis: ∆MNP es isósceles Solución: PQ = PR (Hipótesis) ⇒ ∆1 isósceles ⇒ αˆ 2 = αˆ 3 ⇒ βˆ = βˆ (Suplementos de 2

3

ángulos iguales) ⇒ ∆ 2 ≅ ∆3 (Hipótesis); (L-A-L) ⇒ ∠M = ∠N (Elementos MQ = RN correspondientes en triángulos congruentes (e.c. ∆s . ≅ s. )); ⇒ ∆MNP isósceles. EJEMPLO 6 Hipótesis: AB = AC ; ∠A es trisecado Tesis: AD = AE

Solución: (por trisecación) 1ˆ = 2ˆ

AB = AC (Hipótesis) ⇒ ∆3 Isósceles ⇒ αˆ1 = αˆ 2 ⇒ βˆ1 = βˆ 2 (suplementos de ángulos iguales). ⇒ ∆1 ≅ ∆ 2 (A-L-A) ⇒ AD = AE (Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

EJEMPLO 7 De acuerdo con la figura, donde AE y CD son alturas del triángulo ∆BAC , y AD = CE . Demostremos que AF = CF

EJEMPLO 8 En la figura AC = BC y Demostremos que DC = EC . AE = DB

Solución: θ1 = θ 2 = 90º (Definición de altura). AD = EC (dado) αˆ 1 = αˆ 2 (opuestos por vértice)

⇒ ∆1 ≅ ∆ 2 (A-A-L) ⇒ AF = CF (Elementos correspondientes en triángulos congruentes

Solución: DC = EC (dado) ∠C = ∠C (ángulo común) AC = CB (dado) ⇒ ∆1 ≅ ∆ 2 (L-A-L) ⇒ AE = BD (Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

EJEMPLO 9 En la figura, y AC = BC ∠CDE = ∠CED . Demostremos que AE = DB

EJEMPLO 10 Hipótesis: AE biseca a BD ; Tesis: ∠E = ∠A

DE ⊥ BD ; AB ⊥ BD

Solución: αˆ1 = αˆ 2 (dado) ⇒ ∆1 isósceles ⇒

DC = CE Cˆ = Cˆ (ángulo común) AC = BC (dado) ∆AEC ≅ ∆CDB (L-A-L) ⇒ AE = DB (Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

Solución: θ1 = θ 2 = 90º (definición de perpendicularidad) ( AE biseca a BD ) DC = BC αˆ1 = αˆ 2 (opuestos por el vértice) (A-L-A) ∆1 ≅ ∆ 2 ˆ ˆ (Elementos correspondientes en A=E triángulos congruentes).

EJEMPLO 11 Hipótesis: PQ bisectriz; PQ ⊥ MN Tesis: ∠M = ∠N

EJEMPLO 12 Hipótesis: ∠1 = ∠ 2; CE biseca BF Tesis: ∠C = ∠E

Solución: αˆ1 = αˆ 2 ( PQ bisectriz) θ1 = θ 2 (perpendicularidad) PQ = PQ (lado común) (A-L-A) ∆1 ≅ ∆ 2 ∠M = ∠N (Elementos correspondientes en triángulos congruentes).

Solución: (Hipótesis) 1ˆ = 2ˆ ⇒ αˆ1 = αˆ 2 (suplementos de ángulos iguales) ˆ ˆ β1 = β 2 (opuestos por el vértice) BD = DF ( CE biseca a BF ) ∆1 ≅ ∆ 2 (A-L-A) Cˆ = Eˆ (Elementos correspondientes en triángulos congruentes).