región crítica está por completo en la cola inferior, por lo que el rechazo resulta de
muertes registradas en nula Estados el año pasado Ejemplo 10.3: z Una . Aunquealeatoria en caso dede una100 prueba unilateral la hipótesis puedeUnidos escribirse < −zαmuestra mostró una vida promedio de 71.8 años. Suponiendo una desviación estándar poblacomo H0: µ ≤ µ0 o H0: µ ≥ µ0, por lo general, se escribe como H0: µ = µ0. cional de 8.9 años, ¿esto parece la vida media es mayor que 70 Los siguientes dos ejemplos ilustran indicar pruebas que de medias para el casoactual en el que se conoce EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE PRUEBA DE HIPOTESIS años?σ.Utilice un nivel de significancia de 0.05. Solucio ´ n: 1. H0: µ = 70 años. de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado Ejemplo 10.3: Una2.muestra H1: µ aleatoria > 70 años. mostró una vida promedio de 71.8 años. Suponiendo una desviación estándar pobla3. α = 0.05. cional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media actual es mayor que 70 4. Utilice Regiónuncrítica: > 1.645, años? nivel dez signifi canciadonde de 0.05. : µ = 70 años. Solucio ´n: 1.5. H0Cálculos: x ¯ = 71.8 años, σ = 8.9 años y 2. H1: µ > 70 años.
6. Decisión: rechace H0 y concluya que la vida media actual es mayor que 70
3. α = 0.05. años. 4. Región crítica: z > 1.645, donde
En el ejemplo P que 5. Cálculos: x ¯ = 71.810.3 años,elσ valor = 8.9 años y corresponde a z = 2.02 está dado por el área deDecisión: la regiónrechace sombreada en la figura 6. H0 y concluya que 10.10. la vida media actual es mayor que 70 años.
En el ejemplo 10.3 el valor P que corresponde a z = 2.02 está dado por el área de la región sombreada en la figura 10.10.
Figura 10.10: Valor P para el ejemplo 10.3. Figura 10.10: Valor P para el ejemplo 10.3.
Usando la tabla A.3, tenemos
Usando la tabla A.3, tenemos P = P (Z > 2.02) = 0.0217. P = P (Z > 2.02) Como resultado, la evidencia a favor de=H0.0217. 1 es incluso más fuerte que la sugerida por un nivel de signifi cancia ade 0.05. Como resultado, la evidencia favor de H1 es incluso más fuerte que la sugerida por un nivel de significancia de 0.05.
Ejemplo 10.4: Un fabricante de equipo deportivo desarrolló un nuevo sedal para pesca sintético que Ejemplo 10.4: Un fabricante de equipo deportivo desarrolló un nuevo sedal para pesca sintético que afirma que tiene una resistencia media a la rotura de 8 kilogramos con una desviación afirma que tiene una resistencia media a la rotura de 8 kilogramos con una desviación estándar kilogramos. Pruebe la hipótesis µ= / 8 kilogramos contra la estándar de de 0.5 0.5 kilogramos. Pruebe la hipótesis de que µde = / 8que kilogramos contra la alternativa de que = / 8 kilogramos, si se una prueba unaaleatoria muestradealeatoria alternativa de que µ= / 8µkilogramos, si se prueba muestra 50 sedalesde 50 sedales tiene una resistencia a la de 7.8 kilogramos. yy sese encuentra que que tienede una resistencia media amedia la rotura derotura 7.8 kilogramos. Utilice 341 Utilice 10.6 Relacio ´n con la estimacio ´nencuentra del intervalo confi anza unun nivel de de signifi cancia de 0.01. nivel signifi cancia de 0.01. Solucio ´n:
1. H0: µ = 8 kilogramos. 2. H1: µ = / 8 kilogramos. 3. α = 0.01. 4. Región crítica: z < −2.575 y z > 2.575, donde
5. Cálculos: x ¯ = 7.8 kilogramos, n = 50 y, de aquí, 6. Decisión: rechace H0 y concluya que la resistencia promedio a la rotura no es igual a 8 sino que, de hecho, es menor que 8 kilogramos.
Figura 10.11: Valor P para el ejemplo 10.4. Como la prueba en este ejemplo es de dos colas, el valor de P que se desea es dos veces el área de la región sombreada de la figura 10.11 a la izquierda de z = −2.83. Por lo tanto, con la tabla A.3, tenemos P = P (|Z| > 2.83) = 2P (Z < −2.83) = 0.0046.
que nos permite rechazar la hipótesis nula de que µ = 8 kilogramos en un nivel de significancia menor que 0.01.
10.6 Relación con la estimación del intervalo de confianza
: µ >que µ0, favorece el rechazo cuando t > tgrandes críticas − µ2 Para > d0, H la1señal H1 resulta provenga de valores de z. digamos,deHdos α, n−1. Para 1: µ1colas. µ < manera µ0, la región crítica está dada porde t> . H De se aplica la región crítica la −t cola superior. 1: esta α, n−1
Varianzas desconocidas pero iguales
Ejemplo 10.5: El Instituto Ele´ctrico Edison publica cifras del número anual de kilowatts-hora que gastan varios aparatos electrodomésticos. Se afirmapruebas que unasobre aspiradora gasta son un Las situaciones que más prevalecen que implican dos medias promedio de varianzas 46 kilowatts-hora al año. una muestra aleatoria 12 hogares que aquellas con desconocidas. Si Si el científi co interesado estádedispuesto a supose en undistribuciones estudio planeado queylas un promedio σ, se puede utilizar de la nerincluye que ambas son indica normales queaspiradoras σ1 = σ2 =gastan 42 kilowatts-hora al año con unallamada desviación estándar de muestras). 11.9 kilowatts-hora, ¿en un prueba t combinada (a menudo prueba t de dos El estadístico de nivel de(véase significancia de 0.05 esto dado sugiere las aspiradoras gastan, en prueba la sección 9.8) está porque el siguiente procedimiento de promedio, prueba. menos de 46 kilowatts-hora anualmente? Suponga que la población de kilowattsPrueba T hora es normal. combinada de 1. H0: µ = 46 kilowatts-hora. Solucio ´n: dos muestras 2. H : µ < 46 kilowatts-hora. 1 donde 3. α = 0.05. 4. Región crítica: t < −1.796, donde
con 11 grados de libertad.
5. Cálculos: x ¯ = 42 kilowatts-hora, s = 11.9 kilowatts-hora y n = 12. De aquí, Se incluye la distribución t y no se rechaza la hipótesis bilateral cuando
Del material del capítulo 9 recuerde que los grados de libertad para la distribución t son un resultado de la combinación de la información de las dos muestras para esalternativas sugieren regiones críticas unilaterales, como timar σ2. Lasno 6. Decisión: rechace H0 unilaterales y concluya que el número promedio de kilowatts-hora que d0, cativamente rechace H1: menor µ1 − µque d0 era gastan de esperarse. ejemplo, para H1: µ1 − al año Por las aspiradoras domésticas no µes signifi 2 > 2 =46. cuando
Ejemplo 10.6: Se lleva a cabo un experimento para comparar el desgaste por abrasivos de dos diComentario sobre la prueba T de una sola muestra
ferentes materiales laminados. Se prueban 12 piezas del material 1 exponiendo cada pieza a una máquina para note medirque el desgaste. Diezlapiezas del material se prueban Es probable que el lector se mantiene equivalencia de la 2prueba t de de manera similar. En cada caso, observa desgaste. Las muesdos colas para una sola media y elsecálculo delaunprofundidad intervalo dedel confi anza sobre µ con del material 1 dan un considere desgaste promedio cado) de 85 unidades una σtras reemplazada por s. Así, el ejemplo(codifi 9.5 de la página 280. En con esencia, desviación estándar muestral en tanto que las muestras material un , el vopodemos ver ese cálculo como de uno4;donde encontramos todos losdel valores de µ20dan promedio de 81 y una desviación estándar de 5. ¿Podríamos con lumen medio hipotético de contenedores de muestral ácido sulfúrico, para los queconcluir, la hipótesis un0: nivel de0 no signifi de´ 0.05, el desgaste abrasivoesto del es material 1 excede µ=µ se cancia rechazara con αque = 0.05. Nuevamente, consistente con el H del material 2 en másbase de 2en unidades? Suponga que las son poblaciones sonlosaproximadaplanteamiento: “Con la información muestral, razonables valores del mente normales con volumen medio de la varianzas población iguales. entre 9.74 y 10.26 litros.” y µ2lalas medias poblacionales del desgastecon abrasivo para el Solucio ´n: Representemos con µ1vale En este momento pena destacar algunos comentarios respecto a la material 1 de y elnormalidad. material 2, Indicamos respectivamente. suposición que cuando se conoce σ, el teorema del límite central µ1 − µ2el=uso 2. de un estadístico de prueba o de un intervalo de confianza 1. H0:permite que la variable aleatoria normal estándar. Estrictamente hablando, por 2. se H1base : µ1 en − µZ, > 2. 2 supuesto, el teorema del límite central y, por ello, el uso de la normal estándar no se 3. α a=menos 0.05. que se conozca σ. En el capítulo 8, se estudió el desarrollo de la distriaplica 4. Región t > 1.725, donde que la normalidad con vX =1,20X2grados li, . . . , Xde bución t. En crítica: ese momento se estableció sobre n era 10.8 Dos muestras: Pruebas sobre dos medias 347de bertad. una suposición básica. Entonces, en sentido estricto, las tablas de la t de Student puntos porcentuales para pruebas o intervalos de confianza no se deberían utilizar, a menos que se sepa que la muestra proviene de una población normal. En la práctica, 5. Cálculos: σ rara vez se puede suponer conocida. Sin embargo, se dispondría de una buena es-
De aquí,
6. Decisión: no rechace H0. Somos incapaces de concluir que el desgaste abrasivo del material 1 excede el del material 2 en más de 2 unidades.
Varianzas desconocidas pero diferentes Hay situaciones donde el analista no es capaz de suponer que σ1 = σ2. Del capítulo 9 recuerde que, si las poblaciones son normales, el estadístico
tiene una distribución t aproximada con grados de libertad aproximados
Las regiones críticas se construyen usando la distribución t con n − 1 grados de libertad. Ejemplo 10.7: En un estudio realizado en el Departamento de Silvicultura y Fauna del Instituto Politécnico y Universidad Estatal de Virginia, J. A. Wesson examinó la influencia del fármaco succinylcholine sobre los niveles de circulación de andrógenos en la sangre. Se obtuvieron muestras sanguíneas de venados salvajes vía la vena yugular, inmediatamente después de una inyección intramuscular de succinylcholine con dardos de un rifle de caza. Los venados se sangraron nuevamente aproximadamente 30 minutos después de la inyección y luego se liberaron. Los niveles de andrógenos al momento de la captura y 30 minutos más tarde, medidos en nanogramos por milili10.8 Dos muestras: Pruebas tro sobre dos medias 349 (ng/ml), para 15 venados se presentan en la tabla 10.2.
Tabla 10.2: Datos para el ejemplo 10.7
Suponiendo que las poblaciones de andrógenos al momento de la inyección y 30 minutos después se distribuyen normalmente, pruebe con un nivel de significancia de 0.05 si las concentraciones de andrógenos se alteran después de 30 minutos de encierro. Solucio ´n: Sean µ1 y µ2 la concentración promedio de andrógenos al momento de la inyección y 30 minutos después, respectivamente. Procedemos como sigue: 1. H0: µ1 = µ2 o µD = µ1 − µ2 = 0. 2. H1: µ1 = / µ2 o µD = µ1 − µ2 = / 0. 3. α = 0.05.
4. Región crítica: t < −2.145 y t > 2.145, donde libertad.
con v = 14 grados de
5. Cálculos: La media muestral y la desviación estándar para las di son d¯ = 9.848
y
sd = 18.474.
Por lo tanto,
6. Aunque el estadístico t no es significativo al nivel 0.05, de la tabla A.4,
Como resultado, existe alguna evidencia de que hay una diferencia en los niveles medios circulantes de andrógenos.
En el caso de observaciones pareadas, es importante que no haya interacción entre los tratamientos y las unidades experimentales. Esto se discutió en el capítulo 9
en sus conclusiones.
instituciones. Utilice un nivel de significancia de 0.01.
Figura 10.18: Salida del
cal Engineering una es su absorción de aje promedio de abodón que se seleccioión estándar de 1.5. s de acetato dan un eléctrico fabricaestánbomna desviación ión que se distribuye de que el porcentaje al con unalamedia de ción para fibra de ar de 40 horas. Prueor que la media para oras de contra la altertaje absorción se estra aleatoria 30 mente normal, ydeque medio de 788 horas. porcentaje de absor. mas. Utilice un nivel
64 bolsas de palomiel tiempo para que hedar pesan, en proreparatoria terminen ción estándar de 0.24 ariable norµ = 5.5aleatoria onzas contra s. Si con a una nzas un muestra nivel de mo año de prepara1 minutos completar estándar de 4.3 migación de Richard H. a de 0.025, dicina de lapruebe UCLA, la se contra la alternativa vida promedio de 32 e 40 meses de edad, su dieta se reemplatamaño n1 razón = 25, pa que ay alguna ra con una desviación que se sujetan a esa ia 381 meses = 81. Una sede con una ño n = 36, que 2 Utilice un valor P se en ferente con una desuna media 2 = 76. contra la alternativa mujeres en el grupo clusión. ad es de 162.5 centíar de 6.9 centímetros. a resistencia a la tene hay unacambio en esistencia la tensión estra aleatoria 50 kilogramos. Parade prorimer tiene tipo una piezasaño de cada tros? Utilice valor El hilo tipo un A tiene a desviación edio de 86.7 estándar kilograde 6.28 kilogramos; una resistencia a la os con una desviación be la afirmación del ficancia de 0.05.
SAS
para la prueba t de dos muestras.
10.33 Se lleva a cabo un estudio para saber si el auFigura 10.18: Salida del SAS para la prueba t de dos muestras. mento de la concentración de sustrato tiene un efecto apre ciable sobre la velocidad de una reacción química. EJERCICIOS PARA RESOLVER Con una concentración de sustrato de 1.5 moles por litro, la reacción se realizó 15 veces, con una velocidad Ejercicios promedio de 7.5 micromoles por 30 minutos y una desSUBA EL ARCHIVO SOLUCION SIGUIENDO LOS PASOS SEGÚN LOS EJEMPLOS viación estándar 1.5. una concentración sus10.23 Se rmadeque unCon automóvil se maneja ende prome trato de 2.0afimoles litro, sepor realizan 12 reacciones, dio más de 20,000 por kilómetros año. Para probar tal 10.23 Se afirma que un automóvil se maneja en prome10.19 Unavelocidad empresa de materialdeeléctrico fabrica bomque dan una promedio micromoles por afirmación, se pide a una muestra 8.8 de 100 propietarios dio más de 20,000 kilómetros por año. Para probar tal billas de luz que tienen una estándar duración muestral que se distribuye 30 minutos y una desviación de 1.2. de automóviles que lleven un registro de los kilómetros afi rmación, se pide a una muestra de 100 propietarios de forma aproximadamente normal con una media de ¿Hay alguna razón para usted creer que este incremento que recorran. ¿Estaría de acuerdo con estaen afilarde automóviles que lleven un registro de los kilómetros 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Prueveconcentración de sustrato ocasiona un aumento en la mación, si la muestra aleatoria mostró un promedio de be la hipótesisdedemás quedeµ0.5 = 800 horas contra laminualter- que recorran. ¿Estaría usted de acuerdo con esta afirlocidad micromoles por 30de 23,500 media kilómetros y una desviación estándar 3900 nativa µ = /un 800 horas, si unacancia muestra aleatoria de 30 mación, si la muestra aleatoria mostró un promedio de tos? Utilice nivel de signifi de 0.01 y suponga kilómetros? Utilice un valor P en su conclusión. bombillas tiene unase duración promedio de aproxima788 horas. 23,500 kilómetros y una desviación estándar de 3900 que las poblaciones distribuyen de forma kilómetros? Utilice un valor P en su conclusión. Utilice un valor con P envarianzas su respuesta. damente normal iguales. 10.24 En el boletín de la Asociación Estadounidense del Corazón, Hypertension, investigadores reportan que 10.34 realiza un estudio para los te10.24 En el boletín de la Asociación Estadounidense 10.20 Se Una muestra aleatoria de determinar 64 bolsas desi palomilos individuos que practican la meditación trascendental mas la materia en un curso de chedar física sepesan, comprenden tas de (rosetas) de maíz con queso en pro- del Corazón, Hypertension, investigadores reportan que (MT) bajan su presión sanguínea de forma significativa. mejor se emplea undesviación laboratorio en parte del medio,cuando 5.23 onzas con una estándar de 0.24 los individuos que practican la meditación trascendental Si una muestra aleatoria de 225 hombres practicantes curso. seleccionan estudiantes para quecontra paronzas.SePruebe la hipótesis de quealµazar = 5.5 onzas (MT) bajan su presión sanguínea de forma significativa. de MT meditan 8.5 horas a la semana, con una desviaticipen, ya sea en un curso de5.5 tres semestres-hora sin la hipótesis alternativa, µ < onzas con un nivel de Si una muestra aleatoria de 225 hombres practicantes ción estándar de 2.25 horas, ¿esto sugiere que, en prolaboratorio o de en0.05. un curso de cuatro semestres-hora significancia de MT meditan 8.5 horas a la semana, con una desviamedio, los hombres que utilizan la MT meditan más de con laboratorio. En la sección con laboratorio 11 estu- ción estándar de 2.25 horas, ¿esto sugiere que, en pro8 horas a la semana? Cite un valor P en su conclusión. una califi promedio de 85 con 10.21 tuvieron En un informe de cación investigación de Richard H. medio, los hombres que utilizan la MT meditan más de diantes una desviación estándar de 4.7; mientras que enUCLA la secWeindruch de la Escuela de Medicina de la , se 8 horas a la semana? Cite un valor P en su conclusión. 10.25 Pruebe la hipótesis de que eltuvieron contenidouna promedio ción sin que laboratorio 17 estudiantes califi afi rma los ratones con una vida promedio de 32 de los envases dede un79 lubricante co esestándar de 10 litros, cación promedio con una específi desviación de 10.25 Pruebe la hipótesis de que el contenido promedio meses vivirían hasta alrededor de 40 meses de edad, si los¿Diría contenidos de una muestra aleatoria de 10 envases 6.1. usted que el curso con laboratorio aumenta de los envases de un lubricante específico es de 10 litros, cuando 40% de las calorías en su dieta se reemplason 10.2, 9.7, promedio 10.1, 10.3,hasta 10.1, en 9.8,8 9.9, 10.4, Utilice 10.3 y un 9.8 la califi cación puntos? cen con vitaminas y proteínas. ¿Hay alguna razón para si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 envases litros. Utilice un nivel de signifi cancia de 0.01 y suponga valor P en su y ratones supongaque que se lassujetan poblaciones creer µ conclusión < 40, del si 64 a esa son 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 y 9.8 que la que distribución contenido es normal. se distribuyen de forma aproximadamente normal dieta tienen una vida promedio de 38 meses con con una litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y suponga varianzas iguales. desviación estándar de 5.8 meses? Utilice un valor P en que la distribución del contenido es normal. 10.26 De acuerdo con un estudio dietético una ingessu conclusión. 10.35 Para indagar si un nuevo suero frena el cáncer desata alta de sodio se puede relacionar con úlceras, 10.26 De acuerdo con un estudio dietético una ingesrrollo de lay leucemia, se requerimiento seleccionan 9 ratones, estomacal migraña. El humano todos de sal ta alta de sodio se puede relacionar con úlceras, cáncer 10.22 estatura promedio de mujeres en grupo con etapa avanzada de ladiarios, enfermedad. Cinco raes deuna tanLa sólo 220 miligramos el cual seelrebasa estomacal y migraña. El requerimiento humano de sal de primer año de cierta universidad es de 162.5 centítones y cuatro no. Los en la reciben mayoríaeldetratamiento las porciones individuales de tiempos cereales es de tan sólo 220 miligramos diarios, el cual se rebasa metros con comerse. una desviación 6.9 centímetros. de supervivencia, en años, a estándar partir deldemomento endeque listos para Si una muestra aleatoria 20 en la mayoría de las porciones individuales de cereales ¿Hay alguna razón para creer que hay un cambio en comienza experimento son los siguientes: porciones elsimilares de cierto cereal tiene un contenido la estatura promedio, si una aleatoria de 50 listos para comerse. Si una muestra aleatoria de 20 medio de 244 miligramos de muestra sodio y una desviación mujeres en el grupo actual de primer añoentiene una porciones similares de cierto cereal tiene un contenido estándar de 24.5 miligramos, ¿esto sugiere, el nivel medio de 244 miligramos de sodio y una desviación altura promedio de0.05, 165.2que centímetros? Utilice un valor de signifi cancia de el contenido promedio de P en su conclusión. Suponga que la desviación estándar estándar de 24.5 miligramos, ¿esto sugiere, en el nivel de significancia de 0.05, que el contenido promedio de permanece constante. ¿Se puede decir en el nivel de significancia de 0.05 que el suero es efectivo? Suponga que las dos distribuciones se distribuyen de forma normal con varianzas iguales.
