Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas con Coeficientes Constantes Autor: Samuel Chung Pérez Método: Coeficientes Indeterminados
El método de coeficientes indeterminados se utiliza para hallar una solución particular ( ) de una ecuación diferencial lineal no homogénea con coeficientes constantes (EDLnoHconCC) de segundo orden o superior, cuyo término independiente (miembro (miembro derecho) derecho) es un polinomio en , una función exponencial, una función seno, una función coseno, o una suma o producto de cualesquiera de las funciones antes citadas, Una EDLnoHconCC es una ecuación de la forma
− + − − + ⋯ + + + = O, simplemente
+ −− + ⋯ + ′′ + ′ + =, í í ; Se pueden presentar varios casos: CASO I
es un polinomio en , de grado . En otras palabras, es una función algebraica de la forma = + − − + ⋯ + + + Entonces se propone una solución particular de la forma
= + − − + ⋯ + + + , ú 0 ó ó , ó ℎé ℎé. Ejemplo 1
′′ 5′ = 2 4 + 6 La EA es 5=0 → 5 =0 → =0, =5 → = + = 0 → = 1 Por lo tanto, la solución particular es de la forma
= + ++ ++ → = + + + Derivando 2 veces
′ =4 +3 +2+ → ′′ =12 +6+2 Sustituyendo en la ED dada
12 +6+2 54 +3 +2+ +2+ = 2 4 + 6 Efectuando el producto indicado
12 +6+2 20 15 105 = 2 4 + 6 Agrupando términos semejantes
20 + 1215 + 610 + 25 = 2 4 + 6 Igualando coeficientes
20=2 1 1215=4 2 610=1 3 25=6 4 5 De (1), tenemos = Sustituyendo (5) en (2),
14 = 14 6 1215=4 → 15=412( 101 )=4+ 65 = 205 + 65 = 145 → = 515 15 75 Sustituyendo (6) en (3)
214 14 = 25 28 = 53 → = 53 = 53 7 610=1 → 10=16( 14 )=1 75 25 25 25 25 2510 250 Sustituyendo (7) en (4) (4)
53 ) = 6 53 = 750 53 = 697 → = 697 = 697 2 5 = 6 → 5 = 6 2(250 125 125 125 125 125 1255 5 625 Reemplazando los valores de A, B, C, D, en la ecuación particular propuesta
+ 53 697 = + + + → = 101 + 14 75 250 625 En consecuencia, la solución general de la ED dada es
+ 53 697 = + = = + 101 + 14 75 250 625 Ejemplo 2
′′ 2′ + = + 4 La EA es
1 =0 → = =1 → = + 2+1=0 → 1 Como las soluciones de la ecuación característica son distintas de 0, = 0. Así que, una solución particular es particular es de la forma
= + ++ ++ → = + ++ Derivando 2 veces
′ = 3 +2+ → ′′ = 6 + 2 Sustituyendo en la ED dada
′′ 2′ + = +4 → 6+2 2 3 +2+ +2+ + + + + = + 4 Efectuando el producto y agrupando términos semejantes
6+2 6 42 + + + + = + 4 + 6+ 6+ + 64+ 64+ + 22+ 22+ = + 4 Igualando coeficientes
= 1 1 6+=0 2 64+=4 3 22+=0 4 Sustituyendo (1) en (2)
6+=0 → =6 5 Sustituyendo (1) y (5) en (3)
64+=4 → = 4 661 + 46 = 4 6 + 2 4 = 2 8 6 = 22 6 Sustituyendo (5) y (6) en (4)
22+=0 → = 2 26 + 222 22 =12+44= 32 7 Reemplazando los valores de A, B, C, D, en la solución particular propuesta
= + ++ → = + 6 +22+32 Consecuentemente, la solución general de la ED dada es
= + = + + + 6 +22+32
CASO II
es una función exponencial. Esto es, el término independiente es de la forma = , . . En tal caso, la solución particular propuesta es de la forma
= , ú ó ó . Ejemplo 3
′′ 16=2 4 =0 → =4, = 4 → = − + La EA es 16=0 → + 4 = 4 → = 1. Entonces, la solución particular propuesta es de la forma = → = Derivando dos veces
′ = [4 + 1] 1] → ′ = [4 + ] → ′ =4 + ′′ = {4[4 + 1] + 4 } → ′′ = [16 + 4 + 4 ] → ′′ =16 +8 Sustituyendo en la ED dada
′′ 16=2 → 16 +8 16 = 2 → 8 = 2 Igualando coeficientes
8=2 → = 14 Sustituyendo el valor de A en la solución particular propuesta
= 14 Por consiguiente, la solución general de la ED dada es
= − + + 14 CASO III
( ) es la suma funciones algebraicas y exponenciales. Es decir, ( ) es, digamos, por simplicidad, de la forma
= +
Ejemplo
2′′′ 3′′ 3′ +2= + − Reescribiendo
2′′′ 3′′ 3′ +2= + 2 − + − = + 2 + − = + − + 2 La EA asociada a la ecuación homogénea es
2 3 3 + 2 = 0 Para predecir el número y naturaleza de las raíces de un polinomio recurrimos a la Regla de los signos de Descartes,, que afirma: Descartes
Siendo un polinomio con coeficientes reales.
1. El número de ceros reales positivos de es igual al número de variaciones en el signo de los coeficientes de , o, al número de variaciones menos un entero par.
2. El número de ceros reales negativos de es igual al número de variaciones en el signo de los coeficientes de , o, al número de variaciones menos un entero par.
Entonces, aplicando la condición 1, vemos que los signos de los coeficientes de los términos del polinomio característico presentan dos variaciones. Por lo tanto,
puede tener dos soluciones reales positivas o ninguna. Aplicando la condición 2
= 2 3 3+2 =2 3 +3+2 Vemos que presenta una variación en sus signos, lo que implica que puede tener una solución negativa o ninguna.
Además, de acuerdo con el teorema de ceros racionales, las posibles raíces del polinomio
2 3 3 + 2 = 0 son 1, 2, 1, 2, 12 ,
1 2 Veamos, aplicando división sintética, si –1 es una solución 2 3 3 2 ⌊1
2 5 2 2 5 2 0 = –1 es solución, + 1 es factor del polinomio. Así que + 12 2 5+2 5+2 = 0
Ya que
Factorizando el trinomio
2 5+2 (2) = 4 2
10+4
2
= 242 21 = 2 22 21 = 221
Por lo tanto, las raíces reales de la ecuación característica son
=1, = 12 , =2 → = − + + = 2 → = 1, para el primer sumando de (), pero = 0 para el segundo. La solución particular propuesta es
= + − + Derivando tres veces
′ = [2 + 1] + 2 − → ′ = [2 + ] 2− → ′ =2 + 2− ′′ = {2[2 + 1] + 2 } +4 − = [4 + 2 + 2 ] +4 − =4 +4 +4− ′′′ = 4{ [2 + + 2 ] 2− } =8 +12 8 − Sustituyendo en la ED dada
2′′′ 3′′ 3′ +2= + − + 2 28 +12 8 − 34 +4 +4 − 32 + 2 − + 2 + − + = + − + 2 Efectuando los productos y agrupando términos semejantes
16 +24 16− 12 12 12− 6 3 +6 − +2 +2 − +2= + − + 2
9 20− + 2 = + − + 2 Igualando coeficientes
9=1 → = 19 20=1 → = 201 2=2 → = 1 Sustituyendo los valores de A, B, C en la solución particular propuesta
= + − + → = 19 201 − + 1 Finalmente, la solución general de la ED dada es
= + = − + + + 19 201 − + 1
Becerril, E. J. B., Elizarraraz, M. D. (2004). Ecuaciones Diferenciales. Técnicas de Aplicación y Soluciones. México: Universidad Autónoma Metropolitana. Caicedo, B. A., García, U. J. M., Ospina, M. L. P. (2010). Métodos para la Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Colombia: Elizcom. Carmona, J. I., Filio, L. E. (2011). Ecuaciones Diferenciales. México: Pearson Educación.
