Un objeto a 76 m del suelo tiene una velocidad de 25 m/s, si el medio le ofrece una resistencia al movimiento proporcional a su velocidad y el límite de ésta es 20 m/s, determinar a que altura se encontraba cuando se desplazaba a 50 m/s. (Considerar g = 9,8 m/s 2)
mg kv m kv h0 mg
h
dv dt
dv mg 0 vl dt k v dv dv dv dh dv vl v l Pero : v g dt dt dh dt dh v vdv vdv g vl v l dh g dh v vl vl Si t ; v vl
25
50
vdv 9,8 76 dh v 20 20 h0
v 20 ln(v 20)5025 0,49h76h
25 20 ln(5) 50 20 ln(30) 0,49(76 h0 ) 25 20 ln 6 200.15 0,49 h0 200.15 m h0 76
Pag. 1
0
Un depósito cilíndrico de volumen V0, lleno de aire atmosférico a presión p 0, se comprime adiabáticamente (sin intercambio de calor con el medio que le rodea) hasta que su presión pasa a ser p y su volumen V. a) pEstablecer la expresión del trabajo W realizado por la fuerza aplicada sobre el pistón durante el proceso de compresión. b) Hallar W en el caso particular: V0 = 2 m3; p0 = 1 kgf/cm2; = 1,4; y que su volumen se reduce a la mitad. Observación: Durante el proceso adiabático se verifica la ecuación de Poisson pV Cte , siendo constante para una masa de gas dada. AKMK-GMp32e5 p dW pdV dW
1
0
V0 p0
1
p
p 1 dp
p0 p
W
V0 p0
1
V p W 0 0 1
1
p 1 1 1 1 p 0
p
1 1
p0
1 1
1 1 p0V0 p0 W 1 1 p
p V Como : 0 p V0
1 p0V0 V 1 W 1 V0
2 1 98000 1, 41 2 1 490000(2 0, 4 1) 1,4 1 W1 156558,876 J W1
Pag. 2
1
p V V0 0 p
p 1 dp
dW
pV p0V0
;
V0 p0
W
En un depósito hay 100 l de disolución acuosa que contiene 10 kg de sal. En este depósito se vierte agua pura con una velocidad de 3 l/min y se expulsa la mezcla con una velocidad de 2 l/min. Suponiendo que en el depósito la concentración se mantiene homogénea removiendo la disolución. ¿Cuánta sal habrá en el depósito después de transcurrida 1 h? V0 = 100 l ve = 3 l/min vs = 2 l/min
ve, qe
Q0 = 10 kg qe = 0 qs = q
V = V0 + (ve – vs)t V, Q
q = Q/V
dQ veq e vsq s dt dQ Q 3 0 2 dt 100 (3 2) t
vs, qs
dQ 2Q dQ 2dt 0 ln Q 2 ln( t 100) ln C dt 100 t Q t 100 C C Q Con las C . I . da : 10 C 105 2 2 ( t 100) (0 100) Entonces : Q
105
t 1002
p / t 60 min
Q 60
Q 60 3,90625 kg Otro método:
Q 60
10
dQ Q
60
2dt t 100 0
ln Q10Q 60 2 ln( t 100)60 0 ln Q 60 ln10 ln(160) 2 ln(100) 2 ln Q 60 ln
105 8
2 10
2
Q 60
100 3,90625 16
Pag. 3
105
60 1002
y2 + 2Cx = C2 (C > 0).
Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas: AK-MK-GMp65e292 y2 + 2Cx = C2
(*)
(C > 0)
2yy’ + 2C = 0
Derivando respecto a x:
2
2
y – 2xyy’ = y y’
Sustituyendo en (*) Cambiando y’ por – 1/y’
C = –yy’
2
y2 + 2xy/y’ = y2/y’ 2
Multiplicando por (y’/y)2 0
y’ 2 + 2(x/y)y’ = 1 y’ 2 + 2(x/y)y’ – 1 = 0
Transponiendo términos
y’ = –x/y (x2/y2 + 1)1/2 Sea
y = xv
y’ = v + xv’
v + xv’ = –v–1 (v–2 + 1)1/2 xv’ = – (v + v–1) (1 + v2)1/2/v
Transponiendo términos
xv’ = –(v2 + 1)/v (1 + v2)1/2/v dx/x + vdv/[(v2 + 1) (1 + v2)1/2] = 0 v2 + 1 = u2
2vdv = 2udu
vdv = udu
dx/x + udu/(u2 u) = 0 dx/x + du/(u 1) = 0 ln(x) + ln(u 1) = lnA u 1 = A/x (v2 + 1)1/2 = A/x 1 v2 + 1 = (A/x 1)2 y2/x2 + 1 =(A/x 1)2 y2/x2 + 1 = A2/x2 2A/x + 1 y2 = A2 2Ax
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Hallar la ecuación de una familia de curvas que pasa por el origen de coordenadas y tal que en cada punto de uno cualquiera de sus miembros, el área del triángulo formado por la recta tangente, la ordenada y el eje de abscisas es proporcional al área limitada por dicha curva, la misma ordenada y el eje de abscisas. AK-MKGMp85e434 S PQA kS PQO
ydx y y 2k ydx y' y 2k ydx y'
1 y ST k 2
P
x
0
x
y
0
O
A
ST
x
2
Q
0
Derivando respecto a x, se obtiene : 2 y y 2 y '2 y" 2ky dy ' dy ' dy dy ' Pero y" y' dx dy dx dy y 2 dy ' 2 y 2 y' 2ky dy y' k 1 dy ' 2 dy 0 y y' 2(k 1) ln y ln y ' ln C1 ln
y' ln y 2( k 1) C1 y ' C1 y 2( k 1)
C1dx y 2( k 1) dy 0 C1 x
1 y 2 k 1 C 2 2k 1
Si x 0; y 0 C 2 0 k (2k 1)C1 x y 2 k 1 0 O sea :
Pag. 5
Cx y 2 k 1
k
1 2
1 2
Determinar la ecuación de una familia de curvas, sabiendo que la normal en un punto P(x, y) de uno cualquiera de sus miembros, bisecta el ángulo de vértice en dicho punto P(x, y), y uno de cuyos lados pasa por el origen de coordenadas y el otro contiene la ordenada de P(x, y). y R
P
S y
O
Q
R
x
PR es la bisectriz del ángulo OPQ es igual a , por tener sus lados situados en rectas respectivamente perpendiculares y ser ambos agudos. Así: = = – tg = –tg. Además: tg2 = x/y 2tg
x Como : tg 2 1 tg 2 y
2
2y y y tg tg 1 0 tg 1 x x x 2
Pag. 6
2
2
y y y y y tg tg 1 y' 1 x x x x Ec. Dif . hom ogénea . Se resuelve con el cambio de var iable : ,
y zx y' z xz ' z xz ' z z 2 1 dx dz 0 ln x ln z z 2 1 ln C x z2 1 x x z z2 1 C o C 2 z z 1 2 y x y x 1 C o C x 2 y x y 1 x x
o
x2 y x 2 y2 C
y C
2
o
x2 x 2 y2 y C
x 2 2Cy C 2 0
o
x 2 2Cy C 2 0
y x y C 2
2
2
2
x y 2
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Determinar la ecuación de una familia de curvas, sabiendo que uno cualquiera de sus miembros tiene la propiedad que la longitud de un arco de la misma es numéricamente igual al área comprendida entre dicho arco y el eje de abscisas. LS y
P
x
1 y' 2 dx
x0
y0
1 y'
2
S
dy y 1 2
x
y
y' 2 y 2 1
y
O
ydx
x0
L P0
x
dy y2 1
dx
ln y y 2 1 x ln C y y 2 1 Ce x y 2 1 Ce x y y 2 1 C 2 e 2 x 2Cye x y 2 2Cye x C 2 e 2 x 1
Ce x Ce x y 2
1
1
El doble signo no afecta : Si se considera: y
Ce x Ce x y 2 a C e , se tiene : e x a e x a Ch x a 2
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dx
Determinar la ecuación de una familia de curvas, sabiendo en el ángulo de vértice en un punto P(x, y), de uno cualquiera de sus miembros, y cuyos lados son la recta tangente a la curva en P y la que contiene su ordenada, es bisectado por la recta determinada por dicho punto P y el origen de coordenadas.
2
2
2 2
2
2 tg 2 tg 2 tg 2 cot g tg 2 cot g 2tg 1 1 tg 2 tg
2 y
2
x
y y2 x2 x 1 y ´ y xz y z xz 2 , y 2 xy y 1 x z 2 x2 x2 z 2 1 z 2 1 2z 2 z xz xz z xz 2x2 z 2z 2z 2 zdz dx 0 ln z 2 1 ln x ln C x z 2 1 C 2 z 1 x y2 x 2 1 C x 2 y 2 Cx x 2
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Determinar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas
1 sin C
1 sin C
' 1 Derivando respecto a : ' 2 sin cos 0 2 1 2 1 Sustituyendo : ' por se tiene : sin cos 0 ' ' '
1 2 1 2 sin cos 0 '
sin 1 2 d d cos 1 2
*
1 2 1 2 Como : , 1 2 1 1
A A A 1 2 1 2 3 1 1 1 1
sin 1 2 d 0 cos 1 2 d
se tiene :
1 2 A1 1 1 A2 1 A3 1
1 2 1 1 1 0 A1 1; 1 A2 1; 1 A3 1 1 2 1 1 Entonces de * : ln cos ln ln1 ln1 ln K ln ln K K cos 1 1 cos 1 2
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Determinar la ecuación de una familia de curvas, sabiendo que uno cualquiera de sus miembros tiene la propiedad que la distancia del origen de coordenadas a la recta tangente en un punto P(x, y) del mismo, es igual a la ordenada de dicho punto P(x, y). LMKp70e3 y
Condición: d = x La ecuación de la recta tangente, en un punto P(x, y) de una curva y = y(x) es: Y – y = y’(X – x)
P
O
y O
La expresión de la distancia del punto P(x0, y0) a la recta de ecuación: y = mx + b, es y mx0 b d 0 1 m2
x x
d
Y = y’X + y – xy’
Así, para este caso: y xy' 1 y'
2
x
y xy' x 1 y' 2
y 2 2 xyy' x 2 y' 2 x 2 1 y' 2
y 2 x 2 2 xyy' 0 o y 2 x 2 dx 2 xydy 0 y vx dy xdv vdx Entonces :
v
Ec. Dif. homogénea
x 2 x 2 dx 2vx 2 xdv vdx 0 x 2 v 2 1 2v 2 dx 2 x 3 vdv 0 dx 2vdv O sea : 2 0 ln x ln v 2 1 ln C xv 2 1 C x v 1 y2 Entonces : x 2 1 C O también : x 2 y 2 Cx x 2
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Un tanque contiene 400 l de salmuera saturada (0,375 kg/l de sal). Se vierte al tanque, a razón de 20 l/min, salmuera de ¼ kg/l y la mezcla sale a razón de 16 l/min. Determinar la expresión del contenido de sal en el tanque, en un instante cualquiera t. HWR/EKDp82e6 Sean, en el instante t:
ve , qe
Para la salmuera entrante: ve = 20 l/min, el caudal qe = ¼ kg/l, la concentración Para la salmuera saliente: vs = 16 l/min, el caudal q la concentración V,q
En el tanque: V el volumen presente Q la cantidad de sal presente. (la concentración es q = Q/V)
Vs , q
Se verifica: q eve – qvs = dQ/dt Como V0 = 400 l, Q0 = 0,375400 = 150 kg, se tienen; 1 Q dQ 20 16 siendo : V V0 ve vs t 400 20 16 t 400 4t 4 V dt dQ 16 dQ 4 Entonces : 5 Q Q 5 (Ec.Dif.Lineal) dt 400 4t dt 100 t adx adx Como : y' ay g y e se tiene : ge dx C , dt dt 4 4 C 100t 100t Qe dt C e 4 ln 100t 5 e 4 ln 100t dt C 100 t 5e 100 t 4 Como para t t 0 0, se tiene Q 0 150 kg, resulta :
C 150 100 100 4
C 5 10
9
5 10 9 Entonces : Q 100 t 100 t 4
Pag. 12
Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas y y
1 ln Cx 1 ln Cx
y' ln Cx 2 De 1 :
1
1 1 1 C Cx x ln Cx
1 y ; ln Cx
en 2 : y'
Cambiando y' por
2
1 : y'
y2 x
2
3 1 y2 y' x
xdx y 2 dy 0 1 2 1 3 1 x y C 2 3 6 2 3 3x 2 y C
Pag. 13
1 . ln Cx
Hallar la ecuación de una curva si ON OP , donde O es el origen de coordenadas, P un punto (x, y) de la curva, y N el punto de intersección de la normal a la curva en P con el eje de abscisas. OP x 2 y 2 ON x QN x y y' Cond. del problema: ON OP
x y y' x 2 y 2 x dx y dy x 2 y 2 dx Ec. dif. homogénea Sea y = zx dy = z dx + x dz x dx z x (z dx x dz) x 2 x 2 z 2 dx
P
y O
dx z 2 dx z x dz 1 z 2 dx
N
x
1 z dx z x dz
Q
2
ON OP Hacemos: u2 = 1 + z2
;
1 z 2 dx
dx z dz 0 2 2 x (1 z ) 1 z 2 u du = 2 z dz ; u du = z dz
udu dx 0 2 u u x du dx 0 lnu 1 ln x ln C ln(u 1) x ln C u 1 x 2 y 2 (u 1) x C 1 z 1 x C 1 1 x C x x 2 y2 x 2 y2 x x 2 y2 x C 1 x C 1 x C 2 x x x
x 2 y2 x C
y 2C x C 2
2
x 2 y2 x C x 2 y2 x 2 2 C x C2
2C x C y 2
2
C2 y 2 x 2C
Pag. 14
ec. de parábolas
Determinar la ecuación diferencial de la familia de circunferencias de radio unitario con centros en la recta y = x. y
Ecuación general de una circunferencia: ( x – h )2 + ( y – k )2 = r2 Para las circunferencias de radio unitario y centros en la recta y = x, la ecuación es: ( x – h )2 + ( y – h )2 = 1 (1) derivando respecto de x: x O 2 ( x – h ) + 2 ( y – h ) y’ = 0 x y y' x y y' h ( y' 1) ; h (2) y'1 (2) en (1): r 1
2
2
2
2
xy ' y y' y x x y y' x y y' x y 1 ; 1 y ' 1 y ' 1 y ' 1 y ' 1
x y 2 y' 2 y x 2 y' 12 y x 2 y' 2 1 y' 12
Pag. 15
Resolver: (2y + 3xy2)dx + (x + 2x2y)dy = 0 (2ydx + xdy) + (3xy2dx + 2x2ydy) = 0
Agrupando términos: xy :
(*) y multiplicando por
(2xy+1dx + x+1y dy) + (3x+1y+2dx + 2x+2y+1dy) = 0 Considerando que:
d(x+1y+1) = (+1)xy+1dx + (+1)x+1y dy, y, d(x+2y+2) = (+2)x+1y+2dx + (+2)x+2y+1dy,
( + 1)/2 = ( + 1)/1
= 2 + 1
se tienen que:
( + 2)/3 = ( + 2)/2
2(2 + 1) = 3 + 2
=0
2 = 3 + 2
Así, el factor integrante es: z = x, y al multiplicar (*) por x, se obtiene: (2xydx + x2dy) + (3x2y2dx + 2x3ydy) = 0 d(x2y) + d(x3y2) = 0
Que equivale a:
x2y + x3y2 = C
O sea:
x2y(1 + xy) = C
O también;
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=1
y 1 2x ( y 1) 4 2 ; x' x ( y 1) 3 y 1 y'
Resolver la siguiente ecuación diferencial:
y 1 2x ( y 1) 4 y' ; x' 2x ( y 1) 4 y 1 es una ecuación diferencial lineal 2 2 dy y 1dy 3 ln( y 1) 3 ln( y 1) y 1 xe ( y 1 ) e dy C dy C e ( y 1) e x ( y 1) 2 ( y 1) 3 ( y 1) 2 dy C ( y 1) 2 ( y 1)dy C 2 2 ( y 1) x ( y 1) C 2 4 2 2x (y 1) A(y 1)
2
2
Pag. 17