4.3 ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES CONSTANTES REPASO DE MATERIAL Repase el problema 27 de los ejercicios 1.1 y del teorema 4.1.5. ● Repase el álgebra de solución de ecuaciones polinomiales. ●
INTRODUCCIÓN Como un medio para motivar el análisis en esta sección se tratan nuevamente las ecuaciones diferenciales de primer orden más específicamente, las ecuaciones lineales, homogéneas , donde los coeficientes y son constantes. Este tipo de ecuación se resuelve ya sea por variables separables o con ayuda de un factor integrante, pero hay otro método de solución, uno que sólo utiliza álgebra. Antes de mostrar este método alternativo, hacemos una observación: despejando de la ecuación se obtiene , donde es una constante. Esta observación revela la naturaleza de la solución desconocida ; la única función elemental no trivial cuya derivada es una constante múltiple de sí misma es la función exponencial . Ahora el nuevo método de solución: si sustituimos en , se obtiene
0
′
00
≠0
0
0 0. Como nunca es cero para valores reales de , la última ecuación se satisface sólo cuando es una solución o raíz de la ecuación polinomial de primer grado 0. Para este único valor de , es una solución de la ED. Para mostrar esto, considere la ecuación de coeficientes constantes 2 50. No es necesario realizar la derivación y la sustitución de en la ED; sólo se tiene que formar la ecuación 250 y despejar . De se concluye que −/ es una solución de 2 50, y su solución general en el intervalo ∞,∞ es −/. En esta sección veremos que el procedimiento anterior genera soluciones exponenciales para las ED lineales homogéneas de orden superior,
−− ⋯ 0, ,1,..., ., son constantes reales y ≠ 0. donde los coeficientes , 0,1,..
1
ECUACIÓN AUXILIAR Se empieza por considerar el caso especial de la ecuación de segundo orden
0,
2
, ,
donde y son constantes. Si se intenta encontrar una solución de la forma después de sustituir y , la ecuación (2) se convierte en
, entonces
0 0. Como en la introducción se argumenta que debido a que ≠ 0 para toda , es obvio que la única forma en que puede satisfacer la ecuación diferencial (2) es cuando se elige como una raíz de la ecuación cuadrática 0 0.. 3 Esta última ecuación se llama ecuación auxiliar de la ecuación diferencial (2). Como las dos raíces de (3) son y habrá tres formas de habrá la solución general de (2) que corresponden a los tres casos:
√ 4/ 4/2 2 √ 4/ 4/2, 2,
•
•
•
y reales y distintas ( 4 > 0), y reales e iguales ( 4 0), y y números conjugados complejos ( 4 < 0).
Analicemos cada uno de estos casos.
CASO 1: RAÍCES REALES Y DISTINTAS Bajo la suposición de que la ecuación auxiliar (3) tiene
y . dos raíces reales desiguales y , encontramos dos soluciones, Vemos que estas funciones son linealmente independientes en y, por tanto, forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solución general de (2) en este intervalo es
∞, ∞
. 4 CASO II: RAÍCES REALES REPETIDAS Cuando , necesariamente se obtiene sólo una solución exponencial, . De la fórmula cuadrática se encuentra que /2 puesto que la única forma en que se tiene que es tener 4 0. Tenemos de (5) en la sección 4.2 que una segunda solución de la ecuación es
∫ ∫ .
5 En (5) hemos usado el hecho de que /2 . La solución general es entonces . 6 CASO III: RAÍCES COMPLEJAS CONJUGADAS Si y son complejas, entonces se puede escribir y , donde y > 0 son reales 1. De manera formal, no hay diferencia entre este caso y el caso y, por tanto, + −. Sin embargo, en la práctica se prefiere trabajar con funciones reales en lugar de exponenciales complejas. Con este fin se usa la fórmula de Euler:
cos ,
donde es cualquier número real.* Se tiene de esta fórmula que
− , 7 donde se usaron y . Observe que si primero se suma y luego se restan las dos ecuaciones en (7), se obtiene, respectivamente,
− 2cos − 2sen Puesto que + − es una solución de (2) para alguna elección de las constantes y , las elecciones 1 y 1 , 1 dan, a su vez, dos soluciones: + − + − , Pero
( − )2 cos
y
( − )2 sen. cos
Por tanto, del corolario A) del teorema 4.1.2, los dos últimos resultados muestran que y son soluciones reales de (2). Además, estas soluciones forman un conjunto fundamental en . Por tanto, la solución general es
sen
∞, ∞ cos sen cos sen 8 * Una deducción formal de la fórmula de Euler se obtiene de la serie de Maclaurin ∑ = ! sustituyendo , con 1, ,... y después separando la serie en las partes real e imaginaria. Así se establece la plausibilidad, por lo que podemos adoptar a como la definición de . EJEMPLO 1 ED de segundo orden Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.
2 5 3 0
′′ 10′ 25 0
′′ 4′ 7 0
SOLUCIÓN Se dan las ecuaciones auxiliares, las raíces y las soluciones generales correspondientes.
2 53 21 3 0, 12 , 3 De (4), −/ . 10255 0, 5 De (6), . 4 7 0, 2 √ 3, 2 √ 3 De (8) con 2, √ 3 , − ( cos√ 3 √ 3) EJEMPLO 2 Un problema con valores iniciales Resuelva
4 4 17 0, 0 1, 0 2.
SOLUCIÓN Usando la fórmula cuadrática tenemos que las raíces de la ecuación auxiliar
4 4170 son 2 y 2 . Por tanto, de la ecuación (8) se tiene que −/ 2 2. Aplicando la condición 0 1, se observa de 1 −/ 0 0 que 1. Derivando 2 2 y después usando 0 2, se obtiene 2 2 o . Por tanto, la solución del PVI es −/ 2 2. En la figura 4.3.1 vemos que la solución es oscilatoria, pero → 0 conforme → ∞ y || → ∞ conforme →∞.
FIGURA 4.3.1 Curva solución del PVI del ejemplo 2. DOS ECUACIONES QUE MERECEN CONOCERSE Las dos ecuaciones diferenciales
0 0, 0
donde es real, son importantes en matemáticas aplicadas. Para auxiliar tienen raíces imaginarias y . Con que la solución general de la ED es
0, la ecuación 0 y en (8) se ve
. 9 Por otra parte, la ecuación auxiliar 0 para 0 tiene raíces reales distintas y , y así por la ecuación (4) la solución general de la ED es −. 10 en (l0), se obtienen las soluciones Observe que si se elige y , − cosh y − senh. Puesto que cosh y particulares senh son linealmente independientes en algún intervalo del eje , una forma alternativa para la solución general de 0 es ℎ ℎ. 11 Vea los problemas 41 y 42 de los ejercicios 4.3.
ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR En general, para resolver una ecuación diferencial de n-
, 0,1,..., son constantes reales, se debe resolver una ecuación
ésimo orden (1) donde polinomial de n-ésimo grado
−− ⋯ .
12
Si todas las raíces de (12) son reales y distintas, entonces la solución general de (1) es
⋯. Es un poco difícil resumir los análogos de los casos II y III porque las raíces de una ecuación auxiliar de grado mayor que dos ocurren en muchas combinaciones. Por ejemplo, una ecuación de quinto grado podría tener cinco raíces reales distintas, o tres raíces reales distintas y dos
complejas, o una real y cuatro complejas, o cinco raíces reales pero iguales, o cinco raíces reales pero dos de ellas iguales, etc. Cuando es una raíz de multiplicidad de una ecuación auxiliar de n-ésimo grado (es decir, raíces son iguales a ), es posible demostrar que las soluciones linealmente independientes son
, , ,…., − y la solución general debe contener la combinación lineal
… − Por último, se debe recordar que cuando los coeficientes son reales, las raíces complejas de una ecuación auxiliar siempre se presentan en pares conjugados. Así, por ejemplo, una ecuación polinomial cúbica puede tener a lo más dos raíces complejas.
EJEMPLO 3 ED de tercer orden Resuelva
3 40.
SOLUCIÓN Debe ser evidente de la inspección de
3 4 0 que una raíz es 1, por
1 es un factor de 3 4. Dividiendo se encuentra que 3 4 1 44 1 2, así las raíces son 2. Así, la solución general de la ED es − −. tanto,
EJEMPLO 4 ED de cuarto orden Resuelva
2 0. SOLUCIÓN La ecuación auxiliar 2 1 1 0 tiene raíces y Así, del caso II la solución es − − . Por la fórmula de Euler el grupo − se puede rescribir como después de redefinir de nuevo las constantes. De manera similar, − se puede expresar como . Por tanto, la solución general es El ejemplo 4 ilustra un caso especial cuando la ecuación auxiliar tiene raíces repetidas complejas. En general, si es una raíz compleja de multiplicidad de una ecuación auxiliar con coeficientes reales, entonces su conjugada es también una raíz de multiplicidad De las soluciones con valores complejos
, > 0
.
2
+ , +, + ,… , −+ ,
− , −, − ,… , −− , concluimos, con la ayuda de la fórmula de Euler, que la solución general de la ecuación diferencial correspondiente debe tener una combinación lineal de las soluciones reales linealmente independientes.
2
cos, cos, cos,… , − cos, sen, sen, sen,… , − sen En el ejemplo 4 identificamos 2 , 0 y 1. Por supuesto, el aspecto más difícil de resolver ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes es determinar las raíces de ecuaciones auxiliares de grado mayor que dos. Por ejemplo, para resolver , debemos resolver . Algo que se puede intentar es probar la ecuación auxiliar para raíces racionales. Recuerde que si es una raíz racional (en su mínima expresión) de una ecuación auxiliar con coeficientes enteros, entonces es un factor de y es un factor de . Para la ecuación auxiliar cúbica específica, todos los factores de y son y por lo que las posibles raíces racionales son Entonces se
3 5 10 40
/ 0 : ±1,±3
3 5 1040 ⋯ 4 3 : ±1,±2,±4 : ± 1,± 2,±4,± ,± ,± .
puede probar cada uno de estos números, digamos, por división sintética. De esta forma se descubre la raíz y la factorización
3 5 104 13 3 612. De la fórmula cuadrática se obtienen las otras raíces 1 √ 3 y 1 √ 3. Por tanto, la solución general de 3 5 10 40 es / − ( cos√ 3 sen√ 3). USO DE COMPUTADORAS Determinar las raíces o aproximar las raíces de ecuaciones auxiliares es un problema de rutina con una calculadora apropiada o con un paquete de cómputo. Las ecuaciones polinomiales (en una variable) de grado menor que cinco se resuelven por medio de fórmulas algebraicas usando las instrucciones solve en Mathematica y Maple. Para ecuaciones polinomiales de grado cinco o mayor podría ser necesario recurrir a comandos numéricos tales como NSolve y FindRoot en Mathematica. Debido a su capacidad para resolver ecuaciones polinomiales, no es sorprendente que estos sistemas algebraicos para computadora también puedan, usando sus comandos dsolve, dar soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes. En el libro clásico Differential Equations de Ralph Palmer Agnew* (que el autor usó cuando era estudiante), se expresa el siguiente enunciado: No es razonable esperar que los alumnos de este curso tengan la capacidad y el equipo de cómputo necesario para resolver de manera eficaz ecuaciones tales como
4.317 2.179 1.416 1.295 3.1690. 13 Aunque es debatible si en todos estos años ha mejorado la capacidad para realizar cálculos, es indiscutible que la tecnología sí lo ha hecho. Si se tiene acceso a un sistema algebraico para computadora, se podría ahora considerar razonable la ecuación (13). Después de simplificar y
efectuar algunas sustituciones en el resultado, Mathematica genera la solución general (aproximada)
−. cos.0. 618605 −. sen0.618605 . cos0.759081 sen 0.759081 Por último, si se le presenta un problema con valores iniciales que consiste en, digamos, una ecuación de cuarto orden, entonces para ajustar la solución general de la ED a las cuatro condiciones iniciales, se deben resolver cuatro ecuaciones lineales con las cuatro incógnitas ( y en la solución general). Si se emplea un SAC para resolver el sistema se puede ahorrar mucho tiempo. Véanse los problemas 59 y 60 del ejercicio 4.3 y el problema 35 en Repaso del capítulo 4. *McGraw-Hill, Nueva York, 1960.
,,
EJERCICIOS 4.3 En los problemas 1 a 14, obtenga la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden dada.
. 4 0 Solución:
. 360 Solución:
. 60 Solución:
. 3 20 Solución:
. 8 160 Solución:
. 10 250 Solución:
. 12 5 20 Solución:
. 4 0 Solución:
. 90 Solución:
. 3 0 Solución:
. 4 50 Solución:
. 2 2 0 Solución:
. 3 2 0 Solución:
. 2 3 40 Solución:
En los problemas 15 a 28 encuentre la solución general de la ecuación diferencial de orden superior dada.
. ′′′4′′5′0 Solución:
. ′′′0 Solución:
. 5 3 90 Solución:
. 3 4 120 Solución:
. 20 Solución:
. 40 Solución:
. 3 3 0 Solución:
. 6 12 80 Solución:
. 0 Solución:
. 2 0 Solución:
. 16 24 90 Solución:
. 7 180 Solución:
. 5 2 10 50 Solución:
. 2 7 12 8 0 Solución:
En los problemas 29 a 36 resuelva el problema con valores iniciales
. 160, 0 2, 0 2 Solución:
. 0, 30, ′3 2 Solución:
. 4 50, 1 0, ′1 2 Solución:
. 4 4 3 0, 0 1, 0 5 Solución:
. 2 0, 0 0 5 Solución:
. 2 0, 0 5, 0 10 Solución:
. 12 36 0, 0 0, 0 1, 0 7 Solución:
. 2 5 60, 0 0 0 0, 0 1 Solución:
En los problemas 37 a 40 resuelva el problema con valores en la frontera dado.
. 10 25 0, 0 1, 1 0 Solución:
. 4 0, 0 0, 0 Solución:
. 0, ′0 0, /2 0 Solución:
. 2 2 0, 0 1, 1 Solución:
En los problemas 41 y 42 resuelva el problema dado usando primero la forma de la solución general dada en (10). Resuelva de nuevo esta vez usando la fórmula dada en (11).
. 3 0, 0 1, ′0 5 Solución:
. 0, 0 1, ′1 0 Solución:
En los problemas 43 a 48 cada fi gura representa la gráfica de una solución particular de una de las siguientes ecuaciones diferenciales.
3 4 0 2 0 2 2 0
40 0 3 20
Relacione una curva solución con una de las ecuaciones diferenciales. Explique su razonamiento. 43.
FIGURA 4.3.2 Gráfica del problema 43. Solución:
44.
FIGURA 4.3.3 Gráfica del problema 44. Solución:
45.
FIGURA 4.3.4 Gráfica del problema 45. Solución:
46.
FIGURA 4.3.5 Gráfica del problema 46. Solución:
47.
FIGURA 4.3.6 Gráfica del problema 47. Solución:
48.
FIGURA 4.3.7 Gráfica del problema 48. Solución:
Problemas para analizar 49. Las raíces de una ecuación cúbica auxiliar son
4 y 5. ¿Cuál es la ecuación
diferencial lineal homogénea correspondiente? Analice: ¿su respuesta es única?
Solución:
50. Dos raíces de una ecuación auxiliar cúbica con coeficientes reales son
¿Cuál es la ecuación diferencial lineal homogénea correspondiente?
y 3
Solución:
51. Determine la solución general de una solución. Solución:
6 340 si se sabe que − es
0, es necesario encontrar las raíces de 1 0. Este es un problema trivial si se utiliza un SAC, pero también se resuelve a mano trabajando con números complejos. Observe que 1 1 2 . ¿Cómo ayuda esto? Resuelva la ecuación 52. Para resolver diferencial. Solución:
53. Compruebe que
ℎ 2 /6 es una solución particular de 0.
Reconcilie esta solución particular con la solución general de la ED. Solución:
54. Considere el problema con valores en la frontera ¿es posible determinar valores de ¿soluciones no triviales? Solución:
0, 0 0, /2 0. Analice:
tal que el problema tenga a) soluciones triviales?, b)
Tarea para el laboratorio de computación En los problemas 55 a 58 use una computadora ya sea como ayuda para resolver la ecuación auxiliar o como un medio para obtener de forma directa la solución general de la ecuación diferencial dada. Si utiliza un SAC para obtener la solución general, simplifique el resultado y si es necesario, escriba la solución en términos de funciones reales.
. 6 2 0 Solución:
. 6.11 8.59 7.93 0.7780 Solución:
. 3.15 5.34 6.33 2.030 Solución:
. 2 20 Solución:
En los problemas 59 y 60 utilice un SAC como ayuda para resolver la ecuación auxiliar. Forme la solución general de la ecuación diferencial. Después utilice un SAC como ayuda para resolver el sistema de ecuaciones para los coeficientes que resulta cuando se aplican las condiciones iniciales a la solución general.
, 1,2,3,4
. 2 3 16 15 40 0 2, 0 6, 0 3, 0 12 Solución:
. 3 3 0 0 0 6, 0 0 1 Solución:
