UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE BOLIVAR FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS Curso de Ecuaciones diferenciales y en diferencia 1. Supoga que el PNB (producto nacional bruto) de cierto país observa una tasa de crecimiento que es proporcional al PNB, esto es dP = kP . Si el PNB correspondt diente al 1 enero 2000 fue de 80000 millones (de dólares) y para el 1 enero del 2004 fue de 96000 millones, ¿Cuándo se espera que sea de 128000 millones? Solución Sea P (t) el producto nacional bruto (PNB), en un instante t, donde t se mide en años y P ; es proporcional al PNB, en millones de dólares: Dado que la tasa de crecimiento dP dt se tiene dP = kP: (1) dt Sujeta a las condiciones P (0) = 80000 P (4) = 96000:
(2) (3)
Para responder a la pregunta; ¿Cuando se espera que sea de 128000 millones?, se resuelve la ecuación. P (t) = 128000: (4) La solución de la ecuación diferencial (1) se obtiene separando variable e integrando Z Z dP = k dt P ln jP j = kt + c1 P = ekt+c1 = ekt ec1 P (t) = cekt donde c = ec1 : (5) Note que P (t) tiene las constantes c y k cuyo valor se calcula con las condiciones (2) y (3) respectivamente. Utilizando la condición (2) en (5) se recibe P (0) = 80000 = cek(0) = c; remplazando en (5) obtenemos P (t) = 80000ekt
(6).
Para calcular el valor de k utilizamos la condición (3) en (6) P (4) = 96000 = 80000e4k 96000 6 e4k = = 80000 5 6 4k = ln 5 ln 65 k = = 0:0456: 4 Luego sustituyendo en (6) P (t) = 80000e0:0456t : Finalmente, para responder a la pregunta (4), resolvemos P (t) = 128000 = 80000e0:0456t 128000 8 e0:0456t = = 80000 5 8 0:0456t = ln 5 ln 85 t = 0:0456 t = 10:307: Esto signi…ca que el PNB es de 128000 millones de dólares, en 10 años +3 meses + 18 días, es decir, aproximadamente el 18 de marzo del 2010. 1
2 El valor de reventa V de cierta maquinaria industrial decrece a un ritmo proporcional a la diferencia entre su valor actual V y su valor residual de $ 5000: La maquinaria se compró nueva por $ 40000 y valía $ 30000 después de 4 años. ¿Cuánto valdrá la maquinaria cuando tenga 8 años? SOLUCIÓN dV dt
: ritmo a la cual decrce
Como
dV dt
decrece a un ritmo proporcional a la diferencia V dV = k(V dt
5000)
5000, entonces la ecuación es
(1).
La ecuación (1) está sujeta a las condiciones
valor inicial
V (0)
=
40000
V (4)
=
30000 valor de la máquina 4 años después.
La ecuación (1) es una ecuación de variable separable, su solución se obtiene via integral
V
dV 5000
Z
dV V 5000
ln jV
=
kdt
=
Z
k
5000j =
V
5000
separando variable en (1) integrando
dt
kt + C1 ekt+C1
=
= Cekt + 5000
V
C = eC1
Con la condición V (0) = 40000 tenemos
= Ce0 + 5000 remplazando en V
40000 40000
5000 =
C
=
C 35000
Luego V (t) = 35000ekt + 5000
(2).
Hallamos el valor de k con la condición V (4) = 30000
30000 30000
=
5000 =
35000e4k + 5000 remplazando en (2) 35000e4k
25000
=
35000e4k
e4k
=
25000 35000
4k
=
k
=
ln
25 35
lnj 25 35 j 4
2
=
0:0841:
Replazando k en (2) V (t) = 35000e
0:0841:t
+ 5000:
En t = 8 años el valor de la máquina es V (8) = 35000e
0:0841(8)
+ 5000 = $22860:
2 Supongamos que un fabricante calcula que un nuevo operario producirá A objetos el primer día de trabajo y que cuando va adquiriendo experiencia, producirá los objetos más rápidamente hasta que produzca un máximo de M objetos por día. Sea Q (t) la cantidad de artículos producidos el día t > 1, y suponga que el ritmo de producción es proporcional a M Q a Obtenga una fórmula para Q (t) b Suponiendo que M = 30, y Q (1) = 5; Q (2) = 8; estime el número de objetos producidos en el vigésimo día SOLUCIÓN (a) Como el primer dia produce A objetos entonces Q (1) = A: Para t > 1 tenemos que Q (t) es la cantidad de artículos producidos el día t > 1: dQ dt
: ritmo de producción.
Sabiendo que el ritmo de producción
dQ dt
es proporcional a M
Q; entonces la ecuación
deiferencial es
dQ = k (M Q) , (1) dt donde M el el número máximo de objetos que alcanza a producir por día. La ecuación (1) es de variable separable, su solución se presenta a continuación dQ (M Q)
Z
dQ (M Q)
ln jM :
ln jM
=
kdt
=
Z
Qj = Qj Q
=
M
Q
=
dt
kt + C1
=
M
Q
k
integrando
kt e
C1
1
kt C1
Ce
= M
multiplicando por
kt
Ce
C=e kt
C1
(2)
Para hallar la constante C; usamos la condición Q (1) = A; esto es t = 1; Q = A; en (2) A Ce
= M k
=
M
Ce A
se sigue que C=
M e
A k
3
(3).
k
Remplazando (3) en (2) Q(t)
=
Q(t)
=
M
Q(t)
= M
M A e k
e
kt
(M
A) e
kt
(M
A) e(
t+1)k
M
:ek
La fórmula para para Q (t) es Q(t) = M
A) e(
(M
t+1)k
(4).
SOLUCIÓN (b). Suponiendo que M = 30, y Q (1) = 5; Q (2) = 8; estimemos el número de objetos producidos en el vigésimo día. En la ecuación (4) al remplazar M = 30; tenemos
Q(t) = 30
A) e(
(30
t+1)k
(5)
Con la condición Q (1) = 5; esto es, t = 1; Q = 5 en (5) 5
= 30
5
=
(30 30
A) e(0)k
30 + A;
Se sigue que A = 5: Para calcular el valor de k utilizamos la condición Q (2) = 8 en (5) tenemos 8
= k
25e
25e(
30
=
22
k
=
22 25
k
=
e
k
ln
=
ln
22 25
2+1)k
despejando e(
2+1)k
=e
k
22 25
(6)
= 0:127
Remplazando (6) en 5 tenemos Q(t) = 30
25e
0:127( t+1)
El número de objetos producidos en el vigésimo día se obtiene cuando t = 20; por tanto Q(20)
= 30
Q(20)
=
25e0:127(
20+1)
w 28
27:7
objetos
4 Una persona tiene una fortuna invertida, que aumenta a una tasa proporcional al cuadrado de su capital actual. Si tenía $1 millón hace un año, y ahora tiene $ 2 millones ¿Cuánto tendrá dentro de seis meses?
4
SOLUCIÓN Sea P (t) el capital dP dt
: tasa a la cual aumenta el capital
Como
dP dt
aumenta a un ritmo proporcional al cuadrado de su capital actual P; la ecuación dP = kP 2 dt
(1).
La ecuación (1) está sujeta a las condiciones
P (0)
=
1 capital hace un año
P (1)
=
2
capital actual
La ecuación (1) es una ecuación de variable separable dP P2
Z
P P
2
separando variable en (1)
=
kdt
dP
=
Z
1
= kt + C1
P
k
integrando
dt
1 kt C1
=
Con la condición P (0) = 1 tenemos
1
=
C1
=
1 0 C1
remplazando en P
1
Luego 1 kt + 1 Hallamos el valor de k con la condición P (1) = 2 P (t) =
2
1 k+1
=
remplazando en (2)
1 2
k+1 = k
(2).
1 2
=
Replazando k en (2) 1 +1
P (t) = En seis meses se tiene que t = 1 +
1 2
P (t) =
=
1 t 2 3 2
años, por que en 21 a~ nos = 6 meses. Por tanto 1
1 2
(2).:
3 2
+1
= 4 millones
Bibliografía. Zill , Dennis. Ecuaciones diferenciales. 2008. Mcgraw- Hill interamericana. México. 5
