801 Ejercicios Resueltos de Integral Indefinida.pdf

Universidad Nacional Experimental del Táchira

INDICE INTRODUCCION ............................................................................................................................................. 5 INSTRUCCIONES............................................................................................................................................ 6 ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE................................................................................................... 7 IDENTIFICACIONES USUALES ................................................................................................................. 7 IDENTIDADES ALGEBRAICAS .................................................................................................................. 7 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS....................................................................................................... 8 FORMULAS FUNDAMENTALES.................................................................................................................10 CAPITULO 1...................................................................................................................................................12 INTEGRALES ELEMENTALES ................................................................................................................12 EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................12 EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................20 RESPUESTAS..............................................................................................................................................21 CAPITULO 2...................................................................................................................................................29 INTEGRACION POR SUSTITUCION........................................................................................................29 EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................29 EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................39 RESPUESTAS..............................................................................................................................................41 CAPITULO 3...................................................................................................................................................59 INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS .......................................................................59 EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................59 EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................66 RESPUESTAS..............................................................................................................................................67 CAPITULO 4...................................................................................................................................................77 INTEGRACION POR PARTES...................................................................................................................77 EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................77 EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................88 RESPUESTAS..............................................................................................................................................89 CAPITULO 5.................................................................................................................................................111 INTEGRACION DE FUNCIONES CUADRATICAS...............................................................................111 EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................111 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................116 RESPUESTAS............................................................................................................................................117 CAPITULO 6.................................................................................................................................................126 INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA .................................................................126 EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................126 EJERCICIOS PROPUESTOS: ...................................................................................................................135 RESPUESTAS............................................................................................................................................137 CAPITULO 7.................................................................................................................................................154 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES..................................................................................154 EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................154 EJERCICICOS PROPUESTOS..................................................................................................................162 RESPUESTAS............................................................................................................................................163 CAPITULO 8.................................................................................................................................................188

2

INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES D SENO Y COSENO...............................................188 EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................188 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................195 RESPUESTAS............................................................................................................................................195 CAPITULO 9.................................................................................................................................................199 INTEGRACION DE FUNCONES IRRACIONALES ...............................................................................199 EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................199 EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................203 RESPUESTAS............................................................................................................................................203 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS ........................................................................................................208 RESPUESTAS............................................................................................................................................210 BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................242

3

A

Patricia. / A Ana Zoraida.

A los que van quedando en el camino, Compañeros de ayer, De hoy y de siempre.

4

INTRODUCCION

El libro que os ofrecemos, no es un libro auto contenido, sino un instrumento de complementación, para la práctica indispensable en el tópico relativo a las integrales indefinidas. En este contexto, el buen uso que se haga del mismo llevará a hacer una realidad, el sabio principio que unifica la teoría con la práctica.

El trabajo compartido de los autores de “801 ejercicios resueltos” es una experiencia que esperamos sea positiva, en el espíritu universitario de la activación de las contrapartes, en todo caso será el usuario quien de su veredicto al respecto, ya sea por medio del consejo oportuno, la crítica constructiva o la observación fraterna, por lo cual desde ya agradecemos todo comentario al respecto.

Nos es grato hacer un reconocimiento a la cooperación prestada por los estudiantes de UNET: Jhonny Bonilla y Omar Umaña.

5

INSTRUCCIONES Para un adecuado uso de este problemario, nos permitimos recomendar lo siguiente: a) Estudie la teoría pertinente en forma previa. b) Ejercite la técnica de aprehender con los casos resueltos. c) Trate de resolver sin ayuda, los ejercicios propuestos. d) En caso de discrepancia consulte la solución respectiva. e) En caso de mantener la discrepancia, recurre a la consulta de algún profesor. f) Al final, hay una cantidad grande de ejercicios sin especificar técnica alguna. Proceda en forma en forma análoga. g) El no poder hacer un ejercicio, no es razón para frustrarse. Adelante y éxito.

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ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE e:

η:

og : sen : arcs e n : cos : arc cos : arc co s :

τg :

Base de logaritmos neperianos. Logaritmo natural o neperiano. Logaritmo vulgar o de briggs. Seno. Arco seno. Coseno. Arco coseno. Arco coseno.

arc tg : co τ g arc co tg sec : arc sec : cos ec : arc sec : exp : dx : x:

Tangente. Arco tangente. Cotangente. Arco cotangente. Secante. Arco secante. Cosecante. Arco cosecante. Exponencial. Diferencial de x. Valor absoluto de x.

m.c.m:

Mínimo común múltiplo. IDENTIFICACIONES USUALES

s e n n x = (s e n x) n

η n x = ( η x) n

s e n −1 x = arcs e n x og n x = ( ogx) n

ogx = og x

IDENTIDADES ALGEBRAICAS 1. Sean a, b: bases; m, n números naturales. a m a n = a m+ n (a m ) n = a mn (ab) n = a nb n am m−n a a = , ≠ 0 an n m an ⎛a⎞ a n = n am = , 0 = b ≠ ⎜ ⎟ bn ⎝b⎠

a−n =

1 an

( a) n

m

a 0 = 1, a ≠ 0

7

2. Sean a, b ,c: bases; m, n números naturales 2 3 ( a ± b ) = a 2 + 2ab + b2 ( a ± b ) = a3 ± 3a 2b + 3ab2 + b3

(a ± b)

4

= a 4 ± 4a 3b + 6a 2b 2 ± 4ab3 + b 4

a 2 n − b 2 n = (a n + b n )(a n − b n ) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc)

a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) a 3 ± b3 = (a ± b)(a 2 ∓ ab ± b 2 )

3. Sean b, n, x, y, z: números naturales ⎛x⎞ ogb ⎜ ⎟ = ogb x − ogb y og ( xyz ) = ogb x + ogb y + ogb z ⎝ y⎠ n 1 ogb x = n ogb x ogb n x = ogb x n ogb 1 = 0 og bb = 1

ηe = 1 ηex = x exp( η x) = x

η exp x = x = x e ηx = x

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 1. sen =

1 cos ecθ

cos θ =

s e nθ cos θ 2 s e n θ + cos 2 θ = 1

1 s ecθ

1 co τ gθ 2 1 + τ g θ = sec 2 θ

τ gθ =

τ gθ =

1+ co τ g 2θ = cos ec 2θ

cos θ cos ecθ = coτ gθ

cos θτ gθ = s e n θ 2. (a) s e n(α + β ) = s e n α cos β + cos α s e n β sen

α 2

=±

1 − cos α 2

s e n 2α = 2s e n α cos α 1 − cos 2α s e n2 α = 2

s e n(α − β ) = s e n α cos β − cos α s e n β

8

(b)

cos(α + β ) = cos α cos β − s e n α s e n β

1 + cos α 2 2 cos(α − β ) = cos α cos β + s e n α s e n β cos

α

=±

1 + cos 2α 2 2 cos 2α = cos α − s e n 2 α = 1 − 2s e n 2 α = 2 cos 2 α − 1

cos 2 α =

(c)

τ gα + τ g β 1 − τ gατ g β 1 − cos 2α τ g 2α = 1 + cos 2α τ g (α + β ) =

τg

α 2

=±

2τ gα 1 − τ g 2α τ gα − τ g β τ g (α − β ) = 1 + τ gατ g β

τ g 2α =

1 − cos α s e nα 1 − cos α = = 1 + cos α 1 + cos α s e nα

(d)

1 [s e n(α + β ) + s e n(α − β )] 2 1 cos α cos β = [ cos(α + β ) + cos(α − β ) ] 2 α +β α −β s e n α + s e n β = 2s e n cos 2 2 α +β α −β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2

1 [s e n(α + β ) − s e n(α − β )] 2 1 s e n α s e n β = − [ cos(α + β ) − cos(α − β ) ] 2 α +β α −β s e n α − s e n β = 2 cos sen 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2s e n sen 2 2

(e) arcs e n(s e n x) = x arcτ g (τ gx) = x arc sec(sec x) = x

arc cos(cos x) = x arc co τ g (co τ gx) = x arc co sec(co sec x) = x

s e n α cos β =

cos α s e n β =

9

FORMULAS FUNDAMENTALES Diferenciales

Integrales

du dx u 2.- d (au ) = adu

1.- ∫ du = u + c

3.- d (u + v) = du + dv

3.- ∫ (du + dv) = ∫ du + ∫ dv

1.- du =

2.- ∫ adu = a ∫ du

4.- d (u n ) = nu n −1du

4.- ∫ u n du =

du u u u 6.- d (e ) = e du

du = η u +c u 6.- ∫ eu du = eu + c

5.- ∫

5.- d ( η u ) =

7.- d (a u ) = a u η adu

7.- ∫ a u du =

8.- d (s e n u ) = cos udu

9.- ∫ s e n udu = − cos u + c

10.- d (τ gu ) = sec 2 udu 11.- d (coτ gu ) = − cosec2 udu 12.- d (sec u ) = sec uτ gudu 13.- d (co sec u ) = − co sec u coτ gudu

15.- d (arc cos u ) =

du 1− u −du

au +c ηa

8.- ∫ cos udu = s e n u + c

9.- d (cos u ) = − s e n udu

14.- d (arcs e n u ) =

u n +1 + c (n ≠ −1) n +1

2

1− u2 du 16.- d (arcτ gu ) = 1+ u2 − du 17.- d (arc co τ gu ) = 1+ u2 du 18.- d (arc sec u ) = u u2 −1 −du 19.- d (arc co sec u ) = u u2 −1

10.- ∫ sec 2 udu = τ gu + c

11.- ∫ cosec 2 udu = − co τ gu + c

12.- ∫ sec uτ gudu = sec u + c

13.- ∫ co sec u co τ gudu = − co sec u + c 14.- ∫ 15.- ∫

du 1− u2 du

= arcs e n u + c

= − arc cos u + c 1− u2 du 16.- ∫ = arcτ gu + c 1+ u2 du 17.- ∫ = − arc coτ gu + c 1+ u2 ⎧ arc sec u + c; u > 0 du 18.- ∫ =⎨ u u 2 − 1 ⎩ − arc sec u + c; u < 0 ⎧ − arc co sec u + c; u > 0 − du 19.- ∫ =⎨ u u 2 − 1 ⎩ arc co sec u + c; u < 0

10

OTRAS INTEGRALES INMEDIATAS ⎧⎪ η sec u + c 1.- ∫ τ gudu = ⎨ ⎪⎩− η cos u + c ⎧ η sec u + τ gu + c ⎪ 3.- ∫ sec udu = ⎨ ⎛u π ⎞ ⎪ η τ gu ⎜ 2 + 4 ⎟ + c ⎝ ⎠ ⎩ 5.- ∫ s e n hudu = cos u + c

4.- ∫ co sec udu = η co sec u − coτ gu + c

9.- ∫ sec hudu = arcτ gh(s e n hu ) + c

10.- ∫ co sec hudu = − arc co τ gh(cos hu ) + c

7.- ∫ τ ghudu = η cos u + c

u ⎧ arcs e n + c ⎪ du ⎪ a 11.- ∫ =⎨ 2 2 a −u ⎪ − arcs e n u + c ⎪⎩ a u ⎧ 1 arcτ g + c ⎪ du ⎪ a a 13.- ∫ 2 =⎨ 2 u +a ⎪ 1 arc coτ g u + c ⎪⎩ a a

15.- ∫

du u a ±u 2

2

=

17.- u 2 ± a 2 du =

1 u η +c a a + a2 ± u2

2.- ∫ co τ gudu = η s e n u + c

6.- ∫ cos udu = s e n hu + c

8.- ∫ co τ ghudu = η s e n u + c

12.- ∫

14.- ∫

du u ±a 2

2

= η u + u2 ± a2 + c

du 1 u−a = η +c 2 u −a 2a u+a 2

u ⎧1 arc cos + c ⎪ du ⎪a a 16.- ∫ =⎨ 2 2 u u −a ⎪ 1 arc sec u + c ⎪⎩ a a

u 2 a2 η u + u2 ± a2 + c u ± a2 ± 2 2

u 2 a2 u 2 a − u + arcs e n + c 18.- ∫ a − u du = 2 2 a au e (a s e n bu − b cos bu ) 19.- ∫ e au s e n budu = +c a 2 + b2 e au (a cos bu + b s e n bu ) au 20.- ∫ e cos budu = +c a 2 + b2 2

2

Realmente, algunas de estas integrales no son estrictamente inmediatas; tal como se verá mas adelante y donde se desarrollan varias de ellas.

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CAPITULO 1 INTEGRALES ELEMENTALES El Propósito de este capitulo, antes de conocer y practicar las técnicas propiamente tales; es familiarizarse con aquellas integrales para las cuales basta una transformación algebraica elemental.

EJERCICIOS DESARROLLADOS 1.1 .- Encontrar: ∫ e η x xdx 2

Solución.- Se sabe que: e η x = x 2 2

x4 Por lo tanto: ∫ e xdx = ∫ x xdx = ∫ x dx = + c 4 4 2 x Respuesta: ∫ e η x xdx = + c , Fórmula utilizada: 4 1.2 .- Encontrar: ∫ 3a 7 x 6 dx η x2

2

3

x n +1 ∫ x dx = n + 1 , n ≠ −1 n

Solución.x7 +c 7 x7 Respuesta: ∫ 3a 7 x 6 dx = 3a 7 +c, 7 1.3.- Encontrar: ∫ (3 x 2 + 2 x + 1)dx 7 6 7 6 7 ∫ 3a x dx = 3a ∫ x dx = 3a

Fórmula utilizada: del ejercicio anterior.

Solución.2 2 2 ∫ (3x + 2 x + 1)dx = ∫ (3x + 2 x + 1)dx = ∫ 3x dx + ∫ 2 xdx + ∫ dx = 3∫ x 2 dx + 2∫ xdx + ∫ dx = 3

x3 x2 +2 + x + c = x3 + x 2 + x + c 3 2

Respuesta: ∫ (3 x 2 + 2 x + 1)dx = x3 + x 2 + x + c

1.4.- Encontrar: ∫ x(x + a )( x + b)dx

Solución.2 3 2 ∫ x(x + a)( x + b)dx = ∫ x ⎡⎣ x + (a + b) x + ab ⎤⎦dx = ∫ ⎡⎣ x + ( a + b ) x + abx ⎤⎦dx = ∫ x 3dx + ∫ (a + b) x 2 dx + ∫ abxdx = =

∫ x dx + (a + b)∫ x dx + ab∫ xdx 3

2

x4 x3 x2 + (a + b) + ab + c 4 3 2

12

x 4 (a + b) x3 abx 2 + + +c 4 3 2

Respuesta: ∫ x(x + a)( x + b)dx = 1.5.- Encontrar: ∫ (a + bx 3 ) 2 dx

Solución.3 2 2 3 2 6 2 3 2 6 ∫ (a + bx ) dx = ∫ (a + 2abx + b x )dx = ∫ a dx + ∫ 2abx dx + ∫ b x dx x4 x7 + b2 + c 4 7 4 2 7 abx b x + +c Respuesta: ∫ (a + bx3 ) 2 dx = a 2 x + 2 7 1.6.- Encontrar: ∫ 2 pxdx = a 2 ∫ dx + 2ab ∫ x3dx + b 2 ∫ x 6 dx = a 2 x + 2ab

Solución.2

1

1 2

2 2 px 3 x2 2 2 2 2 pxdx = px dx = p x dx = p + c = +c ∫ ∫ ∫ 2 3 3 2 2 px x Respuesta: ∫ 2 pxdx = +c 3 dx 1.7.-Encontrar: ∫ n x Solución.-

∫

dx = x x ∫

−1

n

n

dx =

1

−1 +1 n

2

−1+ n n

−1+ n n

x x nx +c = +c = +c −1 −1 + n 1 n − +1 n n −1+ n

dx nx n Respuesta: ∫ n = +c n −1 x

1.8.- Encontrar: ∫ (nx)

1− n n

dx

Solución.-

∫ (nx) = =n

1− n n

1− n n

dx = ∫ n 1

xn

1− n n

x

1− n n

−1+1

1 −1+1 n

+c = n

Respuesta: ∫ (nx)

1− n n

dx = n

1− n n

1− n n

∫x

1− n n

1

xn

+c = n

1 n

dx = n

1− n n

1− n n

1

−1

∫ x n dx

1 n

nx + c = n

1− n +1 n

1 n

x +c = n

1− n + n n

1

xn + c = n nx n + c 1

1

dx = n nx + c

1.9.- Encontrar: ∫ (a 3 − x 3 )3 dx 2

Solución.-

∫ (a

2

3

( )

− x 3 )3 dx = ∫ ⎡ a ⎣⎢ 2

2

2

3

3

( )

−3 a

2

2

2

x 3 + 3a 2

2

3

( x ) − ( x ) ⎤⎦⎥dx 2

2

3

2

3

3

13

= ∫ (a 2 − 3a 3 x 4

2

3

2

+ 3a 3 x

4

3

− x 2 )dx = ∫ a 2 dx − ∫ 3a 3 x 3 dx + ∫ 3a 3 x 3 dx − ∫ x 2 dx 4

2

2

4

5

7

2 x3 x 3 x3 = a ∫ dx − 3a ∫ x dx + 3a ∫ x dx − ∫ x dx = a x − 3a + 3a 3 − +c 5 7 3 3 3 5 7 4 2 9a 3 x 3 9a 3 x 3 x 3 = a2 x − + − +c 5 7 3 5 7 4 2 2 2 9 a 3 x 3 9a 3 x 3 x 3 2 3 3 3 Respuesta: ∫ (a − x ) dx = a x − + − +c 5 7 3 1.10.- Encontrar: ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx 4

2

2

3

2

3

4

3

2

3

4

2

3

Solución.-

∫(

x + 1)( x − x + 1)dx = ( x x − ( x ) 2 +

x + x−

x + 1)dx 5

5

x2 2x 2 = ∫ ( x x + 1)dx = ∫ ( xx + 1)dx = ∫ ( x + 1)dx = ∫ x dx + ∫ dx = + x+c = + x+c 5 5 2 5 2 2x Respuesta: ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx = + x+c 5 ( x 2 + 1)( x 2 − 2)dx 1.11.- Encontrar: ∫ 3 2 x Solución.( x 2 + 1)( x 2 − 2)dx ( x 4 − x 2 − 2)dx x4 x2 2 = = dx − 2 2 2 dx − ∫ 2 dx ∫ ∫ ∫ ∫ 3 2 x3 x3 x3 x3 x 1

3

2

10

= ∫ x dx − ∫ x dx − 2∫ x dx = 10

4

3

13

3

−2

3

x3

4

+1

10 +1 3

3

2

−

x3

−2

+1

4 +1 3

−2

x3

2

+1

−2 +1 3

=

x

13

13 3

3

−

x

7

7 3

3

−2

x 1

1

3

+c

3

7

3 13 3 7 x 3 x3 x x x4 3 x x2 3 x 1 −3 − 6x 3 + c = 3 −3 − 63 x + c = 3 −3 − 63 x + c 13 7 13 7 13 7 2 2 4 2 ⎞ ( x + 1)( x − 2)dx ⎛ 3 x 3 x Respuesta: ∫ =⎜ − − 6⎟ 3 x + c 3 2 7 x ⎝ 13 ⎠ m n 2 (x − x ) 1.12.- Encontrar: ∫ dx x Solución.( x m − x n )2 ( x2m − 2 xm xn + x2n ) ( x2m − 2 xm xn + x2n ) dx = ∫ dx = ∫ dx ∫ x1/ 2 x x

=3

= ∫ ( x 2 m −1/ 2 − 2 x m+ n −1/ 2 + x 2 n −1/ 2 )dx = 4 m +1

2 m + 2 n +1

4 n +1

x 2 m −1/ 2+1 2 x m+ n +1/ 2 x 2 n +1/ 2 − + +c 2m − 1/ 2 + 1 m + n + 1/ 2 2n + 1/ 2 4 m +1

2 m + 2 n +1

4 n +1

x 2 2x 2 x 2 2x 2 4x 2 2x 2 = − + +c = − + +c 4m + 1 2m + 2n + 1 4n + 1 4m + 1 2m + 2n + 1 4 n + 1 2 2 2

14

=

2 x2m x 4 x m+n x 2 x2n x − + +c 4m + 1 2m + 2 n + 1 4n + 1

⎛ 2 x2m ( x m − x n )2 4 x m+n 2 x2n ⎞ Respuesta: ∫ dx = x ⎜ − + ⎟+c x ⎝ 4m + 1 2m + 2 n + 1 4n + 1 ⎠ ( a − x )4 dx ax

1.13.- Encontrar: ∫

Solución.( a − x )4 a 2 − 4a ax + 6 xa − 4 x ax + x 2 dx = dx ∫ ∫ ax ax =∫

4a ax 4 x ax x2 a2 6ax dx + dx − dx + dx − 1 ∫ ax ∫ (ax) 12 ∫ ax ∫ (ax) 12 dx (ax) 2

= ∫ a 2 a − 2 x − 2 dx − ∫ 4adx + ∫ 6aa − 2 xx − 2 dx − ∫ 4 xdx + ∫ a − 2 x 2 x − 2 dx 1

=a

3

=a

3

=a

3

2

1

1

− ∫ x 2 dx − 4a ∫ dx + 6a 1

x

2

−1 +1 2 −1 +1 2

x

2

1

2

1 2

− 4ax + 6a

− 4ax + 6a

1

2

1

x

2

1

1

1

2

3 3 2

2

1

− ∫ x dx − 4∫ xdx + a

2 +1

1 +1 2

x

1

−4

2

−4 x2 2

x1+1 1+1

+a

+a

− 12

x

− 12

5 5 2

x

3 +1 2 3 +1 2

2

1

2

∫x

3

2

1

dx

+c

+c

5

= 2a x − 4ax + 4a x − 2 x + 2a 3

2

1

1

2

2

3

2

2

− 12

x 2 +c 5

( a − x )4 3 3 2 x3 1 1 2 2 2 2 2 Respuesta: ∫ dx = 2a x − 4ax + 4a x − 2 x + +c ax 5 xa dx 1.14.- Encontrar: ∫ 2 x − 10 Solución.dx dx 1 x−a Sea: a = 10 , Luego: ∫ 2 =∫ 2 = +c η 2 x − 10 x −a 2a x+a

=

1 x − 10 10 x − 10 +c = +c η η 20 2 10 x + 10 x + 10

Respuesta: ∫

dx 10 x − 10 = +c η x − 10 20 x + 10 2

1.15.- Encontrar: ∫

dx x +7 2

Solución.- Sea: a= 7 , Luego: ∫

dx dx 1 x =∫ 2 = arcτ g + c 2 x +7 x +a a a 2

15

x 1 7 7x arcτ g arcτ g +c = +c 7 a 7 7 dx 7 7x arcτ g = +c 7 x +7 a dx 1.16.- Encontrar: ∫ 4 + x2 Solución.dx dx Sea: a = 2 , Luego: ∫ =∫ = η x + a2 + x2 + c 2 2 2 4+ x a +x Respuesta: ∫

2

= η x + 4 + x2 + c Respuesta: ∫

dx 4+ x

= η x + 4 + x2 + c

2

dx

1.17.- Encontrar: ∫

8 − x2

Solución.Sea: a = 8 , Luego: ∫

dx

=∫

8 − x2 x x = arcs e n + c = arcs e n +c 8 2 2

Respuesta: ∫

dx 8 − x2

1.18.- Encontrar: ∫

= arcs e n

dx a2 − x2

x +c a

= arcs e n

2x +c 4

dy x +9 2

Solución.-

1 actúa como constante, luego: x +9 dy 1 1 y ∫ x2 + 9 = x 2 + 9 ∫ dy = x2 + 9 y + c = x 2 + 9 + c dy y Respuesta: ∫ 2 = 2 +c x +9 x +9

La expresión:

2

1.19.- Encontrar: ∫

2 + x2 − 2 − x2 4 − x4

dx

Solución.-

∫ =∫

2 + x2 − 2 − x2 4 − x4

dx = ∫

2 + x2 (2 − x 2 ) (2 + x 2 )

dx − ∫

2 + x2 2 − x2 dx − ∫ dx 4 − x4 4 − x4 2 − x2 (2 − x 2 ) (2 + x 2 )

dx = ∫

dx 2 − x2

−∫

dx 2 + x2

16

Sea: a = 2 , Luego: ∫ = arcs e n

dx a2 − x2

−∫

dx a2 + x2

= arcs e n

x − η x + a2 + x2 + c a

x x − η x + ( 2) 2 + x 2 + c = arcs e n − η x + 2 + x2 + c 2 2

Respuesta: ∫

2 + x2 − 2 − x2

4− x 1.20.- Encontrar: ∫ τ g 2 xdx 4

dx = arcs e n

x − η x + 2 + x2 + c 2

Solución.2 2 2 ∫ τ g xdx = ∫ (sec x − 1)dx = ∫ sec xdx − ∫ dx = τ gx − x + c

Respuesta: ∫ τ g 2 xdx = τ gx − x + c 1.21.- Encontrar: ∫ coτ g 2 xdx

Solución.2 2 2 ∫ coτ g xdx = ∫ (cos ec x − 1)dx = ∫ cos ec xdx − ∫ dx = − coτ gx − x + c

Respuesta: ∫ co τ g 2 xdx = − coτ gx − x + c 1.22.- Encontrar: ∫

dx 2x2 + 4

Solución.dx 1 dx 1 1 x 2 2x dx ∫ 2 x 2 + 4 = ∫ 2( x 2 + 2) = 2 ∫ x 2 + 2 = 2 2 arcτ g 2 + c = 4 arcτ g 2 + c dx 2 2x arcτ g = +c 2 2x + 4 4 2 dx 1.23.- Encontrar: ∫ 2 7x − 8 Solución.dx dx dx dx 1 ∫ 7 x 2 − 8 = ∫ 2 8 = ∫ 7 ⎡( x 2 − ( 8 )2 ⎤ = 7 ∫ ⎡ x 2 − ( 8 )2 ⎤ 7 7 7( x − ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 7 x − 87 x − 87 1 1 1 7 7x − 8 η η η = +c = +c = +c 8 8 8 7 2( 7 ) 8 14 8 7x + 8 x+ 7 x+ 7 14 7

Respuesta: ∫

=

1 η 4 14

7x − 2 2 14 +c = η 56 7x + 2 2

Respuesta: ∫

dx 14 η = 2 7 x − 8 56

1.24.- Encontrar: ∫

7x − 2 2 +c 7x + 2 2

7x − 2 2 +c 7x + 2 2

x 2 dx x2 + 3

17

Solución.x 2 dx 3 dx dx ∫ x2 + 3 = ∫ (1 − x2 + 3)dx = ∫ dx − 3∫ x 2 + 3 = ∫ dx − 3∫ x2 + ( 3)2 = x−3

1 x 3x arcτ g + c = = x − 3 arcτ g +c 3 3 3

x 2 dx 3x = x − 3 arcτ g +c 2 x +3 3 dx 1.25.- Encontrar: ∫ 7 + 8x2 Solución.dx dx 1 2 ∫ 7 + 8 x2 = ∫ ( 8 x)2 + ( 7)2 = 8 η 8x + 7 + 8x + c

Respuesta: ∫

Respuesta: ∫

dx 7 + 8x

∫

7 − 5x

2

=∫

Respuesta: ∫

2 η 4

8x + 7 + 8x2 + c

dx

1.26.- Encontrar: ∫ Solución.dx

2

=

7 − 5x2 dx

( 7) − ( 5 x) 2

dx

=

= 2

1 5 arcs e n x +c 5 7

5 35 x arcs e n +c 5 7

7 − 5x (a x − b x ) 2 dx 1.27.- Encontrar: ∫ a xb x Solución.2

(a x − b x ) 2 dx ( a 2 x − 2a x b x + b 2 x ) a2x 2 a xb x b 2x = dx = dx − dx + ∫ a xb x ∫ ∫ a xb x ∫ a xb x ∫ a x b x dx a xb x

( a / b) − 2x + (b / a ) + c ax bx ⎛a⎞ ⎛b⎞ = ∫ x dx − ∫ 2dx + ∫ x dx = ∫ ⎜ ⎟ dx − 2∫ dx + ∫ ⎜ ⎟ dx = a b b a ⎝b⎠ ⎝a⎠ η η b a x

=

(a / b)

x

η a − ηb

− 2x +

(b / a )

x

ηb − η a

+c =

x

x

(a / b)

x

η a − ηb

− 2x −

(b / a )

x

x

η a − ηb

+c

⎛ ax bx ⎞ ⎜ x− x⎟ b a ⎠ =⎝ − 2x + c η a − ηb ⎛ a 2 x − b2 x ⎞ ⎜ ⎟ x x (a x − b x ) 2 dx ⎝ a b ⎠ Respuesta: ∫ = − 2x + c a xb x η a − ηb

18

1.28.- Encontrar: ∫ s e n 2

x dx 2

Solución.x dx = ∫ 2 x senx = − +c 2 2

∫sen

1 − cos 2

2

2

x 2

dx = ∫

1 − cos x 1 1 dx = ∫ dx − ∫ cos xdx 2 2 2

x x senx dx = − +c 2 2 2 dx 1.29.- Encontrar: ∫ ;(0 < b < a ) ( a + b) + ( a − b ) x 2 Solución.dx dx Sea: c 2 = a + b, d 2 = a − b, ; luego ∫ =∫ 2 2 ( a + b) + ( a − b) x c + d 2 x2 dx 1 dx 1 1 x 1 dx ∫ 2 ⎛ c2 2 ⎞ = d 2 ∫ ⎛ c ⎞2 2 = d 2 c arctg c + c = cd arctg c + c d d ⎜ 2 +x ⎟ ⎜ ⎟ +x d ⎝d ⎠ ⎝d ⎠

Respuesta: ∫ s e n 2

=

1 a − bx 1 a−b arctg +c = arctg x+c 2 2 a+b a +b a −b a+b a −b

dx 1 a −b arctg = x+c 2 ( a + b) + ( a − b) x a+b a 2 − b2 dx 1.30.-Encontrar: ∫ ;(0 < b < a ) ( a + b) − ( a − b ) x 2 Solución.dx dx Sea: c 2 = a + b, d 2 = a − b, Luego: ∫ =∫ 2 2 ( a + b) − ( a − b) x c − d 2 x2 x− c dx 1 dx 1 1 d + c = − 1 η dx − c + c η =∫ = 2∫ =− 2 2 2 dx + c 2cd ⎛c ⎞ d ⎛c⎞ d 2c x+ c d d 2 ⎜ 2 − x2 ⎟ − x2 ⎜ ⎟ d ⎝d ⎠ ⎝d ⎠ Respuesta: ∫

=−

1 2 a −b 2

2

Respuesta: ∫

η

a − bx − a + b +c a − bx + a + b

dx 1 η =− 2 ( a + b) − ( a − b ) x 2 a 2 − b2

a − bx − a + b +c a − bx + a + b

0 1.31.- Encontrar: ∫ ⎡⎢( a 2 x ) − 1⎤⎥dx ⎣ ⎦ Solución.-

19

∫ ⎡⎢⎣( a )

− 1⎤⎥dx = ∫ (a 0 − 1)dx = ∫ (1 − 1)dx = ∫ dx − ∫ dx = ∫ 0dx = c ⎦ 0 Respuesta: ∫ ⎡⎢( a 2 x ) − 1⎤⎥dx = c ⎣ ⎦ 2x 0

EJERCICIOS PROPUESTOS Mediante el uso del álgebra elemental, o algunas identidades trigonométricas, transformar en integrales de fácil solución, las integrales que se presentan a continuación. 1.32.- ∫ 3x5 dx

1.35.- ∫ cos 2 2x dx 1.38.- ∫

1+ 1+

x 2 x 3

dy

dx

1.41.- ∫

x +5 1.44.- ∫ (s e n 2 x + cos 2 x − 1)dx

1.47.- ∫ 1.50.- ∫ 1.53.- ∫ 1.56.- ∫

2

dx x − 12 dx

1.33.- ∫ (1 + e) x dx

1.36.- ∫ (1 + x )3 dx

1.39.- ∫ 1.42.- ∫

x 2 + 12 dx x 12 − x 2 dx 2 x2 − 8

5− x

2

dx x +5 2

1.45.- ∫ x (1 − x )dx 1.48.- ∫

2

dx

1.51.- ∫ 1.54.- ∫ 1.57.- ∫

dx x + 12 dx 2

12 − x 2 dx x 12 + x 2 dx 2 x2 + 8

1.59.- ∫ x 2 + 10dx

1.60.- ∫ 10 − x 2 dx

1.62.- ∫ 1 − s e n 2 xdx

1.63.- ∫ 1 − cos 2 xdx

1.34.- ∫ (1 + τ gx)dx

1.37.- ∫ (1 + x )0 dx 1.40.- ∫ 1.43.- ∫

dx x2 − 5 dx x −5 2

1.46.- ∫ (τ g 2 x + 1)dx 1.49.- ∫ 1.52.- ∫ 1.55.- ∫

dx x − 12 dx 2

x x 2 − 12 dx 8 − 2x2

1.58.- ∫ x 2 − 10dx

1 − cos 2 x dx s e n2 x 1.64.- ∫ (2 x − 3x )0 dx

1.61.- ∫

1.65.- ∫ (20 − 30 ) n dx

sen x ⎞ ⎛ 1.66.- ∫ ⎜τ gx − ⎟ dx cos x ⎠ ⎝

1.67.- ∫

1.68.- ∫

− x 2 dx

1.69.- ∫ x 2 − 34 dx

1.70.- ∫ x 2 + 34 dx

dx

1.72.- ∫

1.71.- ∫

3 4

x 3− x 1.74.- ∫ s e n 3 x θ dy 2

1.77.- ∫ e η x dx

x x −3 1.75.- ∫ η u dx

2

1.80.- ∫ x 2 − 11dx

dx

1.78.- ∫

2

x− 2 dx 2x

1.81.- ∫ x 2 + 11dx

1.73.- ∫

dx 3− x

dx

x x2 + 3 1.76.- ∫ exp( η x)dx 1.79.- ∫ 11 − x 2 dx 1.82.- ∫ η (e x )dx

20

0

⎡1 + x + x 3 ⎤ 1.83.- ∫ ⎢ ⎥ dx ⎢⎣ 1 − x ⎥⎦ 1.86.- ∫ (coτ gθ − s e n θ )dx 1.89.- ∫ 1.92.- ∫

1.84.- ∫ (τ g x + sec x − 1)dx 2

1.87.- ∫

x 3x2 − 1

1.95.- ∫ 1 − 3 x 2 dx

1.96.- ∫ 1 + 3 x 2 dx

1.98.- ∫ (3 x 2 − 1)dx

x 3

dx

1 + 3x 2 dx 1.90.- ∫ 2 3x + 4 dx 1.93.- ∫ x 1 + 3x 2

dx 1 + 3x 2 dx

1.101.- ∫ exp( η

2

0

1.99.- ∫ (3 x 2 − 1) dx 1.102.- ∫ η (e

)dx

2 x −1 2

)dx

1.85.- ∫ 1.88.- ∫

dx 3x 2 − 1

dx

1 − 3x 2 dx 1.91.- ∫ 2 3x − 1 dx 1.94.- ∫ x 1 − 3x 2

1.97.- ∫ 3 x 2 − 1dx n

1.100.- ∫ (3 x 2 − 1) du

1.103.- ∫ (e 2 + e + 1) x dx

⎛ 1+τ g 2x ⎞ 1.104.- ∫ ⎜ − 1⎟dx 2 ⎝ sec x ⎠

1.105.- ∫ exp( η 1 + x )dx

1.106.- ∫ 27 − x 2 dx

1.107.- ∫ x 2 − 27 dx

1.108.- ∫ x 2 + 27 dx

1.109.- ∫

1.110.- ∫ 1.113.- ∫

dx

1.111.- ∫

2x 1 − x2 dx

1.114.- ∫

4 x x 2 + 16 1.116.- ∫ (1 + x + x) 2 dx

1.119.- ∫ e

η

1− cos x 2

dx 5x x2 + 1 dx

5 x x 2 − 25 1.117.- ∫ (1 − x + x) 2 dx

⎛ 1 + x2 ⎞ 1.120.- ∫ exp η ⎜ 2 ⎟ dx ⎝ x ⎠

dx

1.122.- ∫ (1 + x − 3 x )0 dx

1.123.- ∫ ηe

(1+ x )2 2

1.112.- ∫

dx 3x x2 − 1 dx

3x 9 − x2 (1 − x ) 2 dx 1.115.- ∫ x2 1.118.- ∫ (1 + x) 4 dx

1.121.- ∫ η e

1− s e n x 3

dx

dx

RESPUESTAS 1.32.- ∫ 3 x5 dx = 3∫ x 5 dx =

3 x 5+1 x6 x6 +c =3 +c = +c 5 +1 6 2

1.33.- ∫ (1 + e) x dx

ax (1 + e) x +c = +c Sea: a = 1 + e, Luego: ∫ (1 + e) dx = ∫ a dx = ηa η (1 + e) x

x

1.34.- ∫ (1 + τ gx)dx = ∫ dx + ∫ τ gxdx = x + η sec x + c 1.35.- ∫ cos 2 2x dx = ∫

1 + cos x 1 1 1 1 dx = ∫ dx + ∫ cos xdx = x + s e n x + c 2 2 2 2 2

21

1.36.- ∫ (1 + x )3 dx = ∫ (1 + 3 x + 3( x 2 ) + x3 )dx = ∫ dx + 3 x + 3∫ xdx + ∫ x 2 dx 3

x2 2 52 x2 2 + x + c = x + 2 x x + 3 + x2 x + c 2 5 2 5 0 1.37.- ∫ (1 + x ) dx = ∫ dx = x + c = x + 2x 2 + 3 3

1.38.- ∫ 1.39.- ∫

1+ 1+

x 2 x 3

dy =

1+ 1+

x 2 x 3

∫ dy =

1.41.- ∫ 1.42.- ∫

y+c

5 − x2

dx x −5 2

dx x +5 2

=∫ =∫

dx 5 − x2 dx

x − ( 5) dx 2

=∫

dx ( 5) 2 − x 2

= arcs e n

x 5x + c = arcs e n +c 5 5

= η x + x2 − 5 + c 2

x 2 + ( 5) 2

= η x + x2 + 5 + c

dx x +5 2

Sea: a = 5 , Luego: ∫ =

x 2 x 3

dx

Sea: a = 5 , Luego: ∫ 1.40.- ∫

1+ 1+

dx 1 x arcτ g = +c 2 5 5 x + ( 5) 2

5 5x arcτ g +c 5 5

1.43.- ∫

dx dx 1 x− 5 5 x− 5 η η =∫ 2 = +c = +c 2 x −5 10 2 5 x − ( 5) x+ 5 x+ 5 2

1.44.- ∫ (s e n 2 x + cos 2 x − 1)dx = ∫ (1 − 1)dx = ∫ 0dx = c 2 32 x2 1.45.- ∫ x (1 − x )dx = ∫ ( x −x)dx = ∫ xdx − ∫ xdx = x − + c 3 2 2 2 1.46.- ∫ (τ g x + 1)dx = ∫ sec xdx = τ gx + c

1.47.- ∫ =

dx dx 1 x − 12 1 x−2 3 η η =∫ 2 = +c = +c 2 x − 12 x − ( 12) 2 12 x + 12 4 3 x+2 3 2

3 x−2 3 η +c 12 x+2 3

1.48.- ∫

dx x + 12 2

Sea: a = 12 , Luego: ∫

dx 1 x arcτ g = +c 2 12 12 x + ( 12) 2

22

=

1 2 3

arcτ g

dx

1.50.- ∫

3 3x arc τ g +c 6 6 dx = η x + x 2 − 12 + c 2 2 x − ( 12) dx = η x + x 2 + 12 + c 2 2 x + ( 12)

+c =

2 3 dx =∫ x 2 − 12

1.49.- ∫

=∫

x 2 + 12 dx

1.51.- ∫

12 − x 2

,Luego: ∫

a = 12

Sea:

= arcs e n

1.52.- ∫

x

dx 12 − x

2

=

∫

dx ( 12) 2 − x 2

x x 3x + c = arcs e n + c = arcs e n +c 6 12 2 3 dx

x x 2 − 12

=∫

dx x x 2 − ( 12) 2

=

x x 1 1 +c = +c arc sec arc sec 12 12 2 3 2 3

3 3x arc sec +c 6 6 dx dx 1 1.53.- ∫ =∫ = η 2 2 2 12 x 12 − x x ( 12) − x =

=

3 η 6

1.54.- ∫ 1.55.- ∫ 1.56.- ∫

x 12 + 12 − x 2 dx

x 12 + x dx 8 − 2x dx

2

2 x2 − 8

2

12 + 12 − x 2

+c

+c

=

3 η 6

=∫

dx

=∫

x

x 12 + 12 + x 2

+c

1 dx 1 x 2 x = arcs e n + c = arcs e n + c ∫ 2 2 2 2 2 2 2(4 − x ) 4− x dx 1 dx 1 = = η x + x2 − 4 + c ∫ 2 2 2 2 2( x − 4) x −4 2

=

2 η x + x2 − 4 + c 2 dx 1 dx 1 dx 1.57.- ∫ =∫ = = η x + x2 + 4 + c ∫ 2 2 2 2 2 2( x + 4) x +4 2x + 8 =

=

2 η x + x2 + 4 + c 2

1.58.- ∫ x 2 − 10dx = ∫ x 2 − ( 10)2 dx =

x 2 10 x − 10 − η x + x 2 − 10 + c 2 2

23

x 2 x − 10 − 5 η x + x 2 − 10 + c 2 x 2 1.59.- ∫ x 2 + 10dx = x + 10 + 5 η x + x 2 + 10 + c 2 x 10 x 1.60.- ∫ 10 − x 2 dx = ∫ ( 10) 2 − x 2 dx = +c 10 − x 2 + arcs e n 2 2 10 =

10 x x +c 10 − x 2 + 5arcs e n 2 10 1 − cos 2 x s e n2 x 1.61.- ∫ dx = ∫ s e n 2 x dx = ∫ dx = x + c s e n2 x =

1.62.- ∫ 1 − s e n 2 xdx = ∫ cos 2 xdx = ∫ cos xdx = s e n x + c 1.63.- ∫ 1 − cos 2 xdx = ∫ s e n 2 xdx = ∫ s e n xdx = − cos x + c 1.64.- ∫ (2 x − 3x )0 dx = ∫ dx = x + c

1.65.- ∫ (20 − 30 ) n dx = ∫ (0) n dx = ∫ 0dx = c sen x ⎞ ⎛ 1.66.- ∫ ⎜τ gx − ⎟ dx = ∫ (τ gx − τ gx ) dx = ∫ 0dx = c cos x ⎠ ⎝ dx 3x +c 1.67.- ∫ − x = ∫ 3x dx = 3 η3 3 x 3 x 2 4 1.68.- ∫ 34 − x 2 dx = ∫ ( 23 ) 2 − x 2 dx = − x + arcs e n 3 + c 4 2 2 2 x 3 3 2 x = − x 2 + arcs e n +c 2 4 8 3 x 2 3 34 1.69.- ∫ x 2 − 34 dx = ∫ x 2 − ( 23 ) 2 dx = x −4− η x + x 2 − 34 + c 2 2 x 2 3 3 = x − 4 − η x + x 2 − 34 + c 2 8 x 2 3 3 1.70.- ∫ x 2 + 34 dx = ∫ x 2 + ( 23 ) 2 dx = x + 4 + η x + x 2 + 34 + c 2 8 dx dx 1 x 1.71.- ∫ =∫ = η +c 3 x 3 − x2 3 + 3 − x2 x ( 3) 2 − x 2 =

3 η 3

1.72.- ∫ 1.73.- ∫

x 3 + 3 − x2

dx x x −3 dx 2

x x +3 2

+c

=

1 x 3 3x arc sec +c = arc sec +c 3 3 3 3

=

3 η 3

x 3 + x2 + 3

+c

24

1.74.- ∫ (s e n 3 x θ )dy = s e n 3 x θ ∫ dy = (s e n 3 x θ ) y + c 1.75.- ∫ η u dx = η u ∫ dx = η u x + c

1.76.- ∫ exp( η x)dx = ∫ xdx = 1.77.- ∫ e 1.78.- ∫

η x2

x2 +c 2

x3 dx = ∫ x dx = + c 3 2

x− 2 x 2 x dx = ∫ dx − ∫ dx = ∫ dx − ∫ 2x 2x 2x 2x

2 1 1 dx = dx − ∫ dx = ∫ 2x x 2

1

=

1 −1 1 2 x2 1 x− +c = x − 2x 2 + c dx − ∫ x 2 dx = ∫ 1 2 2 2 2 11 11 11x x x x +c = +c 11 − x 2 + arcs e n 11 − x 2 + arcs e n 2 2 2 2 11 11 x 2 11 x 2 − 11dx = x − 11 − η x + x 2 − 11 + c 2 2 x 2 11 x 2 + 11dx = x + 11 + η x + x 2 + 11 + c 2 2 3 x2 2 x 1 η (e )dx = ∫ xdx = ∫ x 2 dx = 3 + c = x x + c 3 2

1.79.- ∫ 11 − x 2 dx = 1.80.- ∫ 1.81.- ∫ 1.82.- ∫

0

⎡1 + x + x 3 ⎤ 1.83.- ∫ ⎢ ⎥ dx = ∫ dx = x + c ⎣⎢ 1 − x ⎥⎦ 1.84.- ∫ (τ g 2 x + sec2 x − 1)dx = ∫ 0dx = c 1.85.- ∫

dx 3x − 1 2

=∫

dx 3 ( x − 13 ) 2

=

dx 1 1 = η x + ( x 2 − 13 ) + c ∫ 2 1 3 3 ( x − 3)

3 η x + ( x2 − 13 ) + c 3 1.86.- ∫ (co τ gθ − s e n θ )dx = (coτ gθ − s e n θ ) ∫ dx = (coτ gθ − s e n θ ) x + c =

1.87.- ∫ 1.88.- ∫

dx 1 + 3x

2

=∫

2

=∫

dx 1 − 3x

dx 3

1 3

+x

2

dx 3

1 3

−x

2

=

3 η x+ 3

=

1 3∫

1 3

dx 1 3

−x

2

+ x2 + c =

1 x arcs e n 1 + c 3 3

3 arcs e n 3 x + c 3 1 dx 1 1 3 dx dx x 1.89.- ∫ =∫ 1 = ∫1 = 1 arcτ g 1 + c = arcτ g 3x + c 2 2 2 1 + 3x 3( 3 + x ) 3 3 + x 3 3 3 3 =

25

1.90.- ∫

dx 1 dx 1 1 x 3 3x = ∫ 2 4 = 2 arcτ g 2 + c = +c arcτ g 2 3x + 4 3 x + 3 3 3 6 2 3

1.91.- ∫

x− 1 dx 1 1 dx η = ∫ 2 1= 2 1 3x − 1 3 x − 3 3 2 3 x+

1.92.- ∫

dx x 3x 2 − 1

=∫

dx 3x x 2 − 1

= 3

1 3 1 3

+c =

3x − 1 +c 3x + 1

3 η 6

1 dx 1 = ∫ 3 x x2 − 1 3 3

1 1

arc sec

x 1

+c 3

3

= arc sec 3x + c 1.93.- ∫

dx x 1 + 3x

=

2

x

= η 1 3

1.94.- ∫

+

1 3

1 dx 1 = ∫ 2 1 3 x 3+x 3

dx

=

x 1 − 3x 2

1 3

x

η 1 3

3

+

1 3

+ x2

+c

+c

+ x2

1 dx = η ∫ 3 x 13 − x 2

1.95.- ∫ 1 − 3x 2 dx = 3 ∫ ⎡x = 3⎢ ⎣2

1 1

1 3

x 1 3

+

⎡x − x 2 dx = 3 ⎢ ⎣⎢ 2

1 3

− x2

+c 1

1 3

− x 2 + 3 arcs e n 2

x ⎤ ⎥+c 1 ⎥ 3⎦

1 ⎤ − x 2 + arc s e n 3x ⎥ + c 6 ⎦

1 ⎡x 1 2 3 + x 2 dx = 3 ⎢ + + x η x + 13 + x 2 3 2 ⎣2 1 ⎡x 1 ⎤ 2 = 3⎢ η x + 13 + x 2 ⎥ + c 3+ x + 6 ⎣2 ⎦ ⎡x 2 1 1 1.97.- ∫ 3x 2 − 1dx = 3 ∫ x 2 − 13 dx = 3 ⎢ x − 3 − η x + x 2 − 13 6 ⎣2

1.96.- ∫ 1 + 3x 2 dx = 3 ∫

1 3

⎤ ⎥+c ⎦

⎤ ⎥⎦ + c

1.98.- ∫ (3 x 2 − 1)dx = 3∫ x 2 dx − ∫ dx = x3 − x + c 0

1.99.- ∫ (3x 2 − 1) dx = ∫ dx = x + c n

1.100.- ∫ (3 x 2 − 1) du = (3 x 2 − 1) n ∫ du = (3 x 2 − 1) n u + c 3

1.101.- ∫ exp( η

x 3

)dx = ∫

x 1 1 1x2 2 3 +c = x 2 +c dx = ∫ x 2 dx = 3 3 3 32 9

2x −1 1 x2 1 dx = ∫ xdx − ∫ dx = − x + c 1.102.- ∫ η (e )dx = ∫ 2 2 2 2 2 x 1.103.- ∫ (e + e + 1) dx 2 x −1 2

26

Sea: a= (e 2 + e + 1) , Luego: ∫ a x dx =

ax (e 2 + e − 1) x +c = +c ηa η (e2 + e − 1)

⎛ 1+τ g 2x ⎞ 1.104.- ∫ ⎜ − 1⎟dx = ∫ (1 − 1)dx = ∫ 0dx = c 2 ⎝ sec x ⎠ x2 1.105.- ∫ exp( η 1 + x )dx ∫ = ∫ (1 + x)dx = ∫ dx + ∫ xdx = x + + c 2 x x 27 1.106.- ∫ 27 − x 2 dx = +c 27 − x 2 + arc s e n 2 2 3 3 x 2 27 1.107.- ∫ x 2 − 27dx = x − 27 − η x + x 2 − 27 + c 2 2 x 2 27 1.108.- ∫ x 2 + 27dx = x + 27 + η x + x 2 + 27 + c 2 2 dx 1 dx 1 1.109.- ∫ = ∫ = arc secx + c 3x x 2 − 1 3 x x 2 − 1 3

1.110.- ∫ 1.111.- ∫ 1.112.- ∫ 1.113.- ∫

dx 2x 1 − x2 dx 5x x + 1 2

dx 3x 9 − x

2

=

1 1 dx x = η +c ∫ 2 x 1 − x2 2 1 + 1 − x2

=

1 dx 1 x = η +c ∫ 2 5 x x +1 5 1 + x2 + 1

=

1 11 1 dx x x = η +c = η +c ∫ 2 2 3 x 9− x 33 9 3+ 9− x 3 + 9 − x2

dx 4 x x + 16 2

=

1 11 dx x = η +c ∫ 2 4 x x + 16 4 4 4 + x 2 + 16

1 x η +c 16 4 + x 2 + 16 dx 1 dx 11 x 1 x 1.114.- ∫ = ∫ = arc sec + c = arc sec + c 2 2 5 25 5 5 x x − 25 5 x x − 25 5 5 2 (1 − x ) 1− 2 x + x −3 1.115.- ∫ dx = ∫ dx = ∫ ( x −2 − 2 x 2 + x −1 )dx 2 2 x x −1 −1 −3 x 2 x 2 −2 −1 −1 −1 2 = ∫ x dx − ∫ 2 x dx + ∫ x dx = − x − 2 + η x + c = −x − 2 + η x +c =

−1

−1

2

2

1 4 + η x +c = − + + η x +c x x 3 1.116.- ∫ (1 + x + x)2 dx = (1 + x + x 2 + 2 x + 2 x + 2 x 2 )dx = − x −1 + 4 x

−1

2

= ∫ (1 + 2 x 2 + 3x + 2 x 2 + x 2 )dx = ∫ dx + 2∫ x 2 dx +3∫ xdx + 2∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx 3

1

3

5

3

1

3

5

2x 2 x2 x 2 x3 4x 2 x2 x 2 x3 x+ +3 +2 + +c = x+ +3 +4 + +c 3 5 2 3 3 2 5 3 2 2 27

1.117.- ∫ (1 − x + x) 2 dx = ∫ (1 + x + x 2 − 2 x + 2 x − 2 x 2 )dx 3

3

5

x2 x 2 x3 4x 2 = ∫ (1 − 2 x + 3x − 2 x + x )dx = x − +3 −4 + +c 3 2 5 3 4 2 3 4 1.118.- ∫ (1 + x) dx = ∫ (1 + 4 x + 6 x + 4 x + x )dx 1

3

2

2

2

1 = ∫ dx + 4∫ xdx + 6∫ x 2 dx + 4∫ x3 dx + ∫ x 4 dx = x + 2 x 2 + 2 x3 + x 4 + x5 + c 5 1− cos x 2

1 − cos x 1 1 1 1 dx = ∫ dx − ∫ cos xdx = x − s e n xdx 2 2 2 2 2 2 2 ⎛ 1+ x ⎞ 1+ x 1 1 1.120.- ∫ exp η ⎜ 2 ⎟ dx = ∫ 2 dx = ∫ 2 dx + ∫ dx = ∫ x −2 dx + ∫ dx = − + x + c x x x ⎝ x ⎠

1.119.- ∫ e

η

dx = ∫

1− s e n x 3

1− s e n x 1 1 1 1 dx = ∫ dx − ∫ s e n xdx = x + cos x + c 3 3 3 3 3 0 1.122.- ∫ (1 + x − 3 x ) dx = ∫ dx = x + c

1.121.- ∫ η e

1.123.- ∫ ηe =

(1+ x )2 2

dx = ∫

dx = ∫

(1 + x) 2 1 + 2 x + x2 1 1 dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ xdx + ∫ x 2 dx 2 2 2 2

1 x 2 x3 x+ + +c 2 2 6

28

CAPITULO 2 INTEGRACION POR SUSTITUCION A veces es conveniente hacer un cambio de variable, para transformar la integral dada en otra, de forma conocida. La técnica en cuestión recibe el nombre de método de sustitución.

EJERCICIOS DESARROLLADOS e η x dx 2.1.-Encontrar: ∫ 2 x +7

Solución.- Como: e

ηx

e η x dx xdx = x, se tiene: ∫ 2 =∫ 2 x +7 x +7

Sea la sustitución: u = x 2 + 7 , donde: du = 2 xdx , Dado que: ∫

xdx 1 2 xdx , = ∫ 2 2 x +7 2 x +7

1 2 xdx 1 du , integral que es inmediata. = 2 ∫ x2 + 7 2 ∫ u 1 du 1 1 Luego: = ∫ η u + c = η x2 + 7 + c 2 u 2 2 e η x dx 1 Respuesta: ∫ 2 = η x2 + 7 + c x +7 2 2 e η x dx 2.2.-Encontrar: ∫ 3 x +8 2 e η x dx x 2 dx η x2 2 Solución.- Como: e = x , se tiene: ∫ 3 =∫ 3 x +8 x +8 Se tiene:

Sea la sustitución: w = x3 + 8 , donde: dw = 3x 2 dx , Dado que: ∫

x 2 dx 1 3 x 2 dx = , x3 + 8 3 ∫ x3 + 8

1 3x 2 dx 1 dw = integral que es inmediata. 3 ∫ x3 + 8 3 ∫ w 1 dw 1 1 Luego: ∫ = η w + c = η x3 + 8 + c 3 w 3 3 η x2 e dx 1 Respuesta: ∫ 3 = η x3 + 8 + c x +8 3 2.3.-Encontrar: ∫ ( x + 2) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx

Se tiene:

Solución.- Sea la sustitución: u = x 2 + 4 x − 6 , donde: du = (2 x + 4)dx 1 Dado que: ∫ ( x + 2) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx = ∫ (2 x + 4) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx , se tiene: 2

29

1 1 (2 x + 4) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx = ∫ s e n udu , integral que es inmediata. ∫ 2 2 1 1 1 1 Luego: = ∫ s e n udu = (− cos u ) + c = − cos u + c = − cos( x 2 + 4 x − 6) + c 2 2 2 2 1 Respuesta: ∫ ( x + 2) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx = − cos( x 2 + 4 x − 6) + c 2 2 2.4.-Encontrar: ∫ x s e n(1 − x )dx =

Solución.-Sea la sustitución: w = 1 − x 2 , donde: dw = −2 xdx 1 Dado que: ∫ x s e n(1 − x 2 )dx = − ∫ (−2 x) s e n(1 − x 2 )dx 2 1 1 Se tiene que: − ∫ (−2 x) s e n(1 − x 2 )dx = − s e n wdw , integral que es inmediata. 2 2 1 1 1 1 Luego: − ∫ s e n wdw = − (− cos w)dw + c = cos w + c = cos(1 − x 2 ) + c 2 2 2 2 1 2 2 Respuesta: ∫ x s e n(1 − x )dx = cos(1 − x ) + c 2 2 2.5.-Encontrar: ∫ x coτ g ( x + 1)dx Solución.-Sea la sustitución: u = x 2 + 1 , donde: du = 2 xdx 1 Dado que: ∫ x coτ g ( x 2 + 1)dx = ∫ 2 x coτ g ( x 2 + 1)dx 2 1 1 Se tiene que: ∫ 2 x coτ g ( x 2 + 1)dx = ∫ coτ gudu , integral que es inmediata. 2 2 1 1 1 Luego: ∫ co τ gudu = η s e n u + c = η s e n( x 2 + 1) + c 2 2 2 1 Respuesta: ∫ x co τ g ( x 2 + 1)dx = η s e n( x 2 + 1) + c 2 2.6.-Encontrar: ∫ 1 + y 4 y 3 dy Solución.-Sea la sustitución: w = 1 + y 4 , donde: dw = 4 y 3 dy 1 1 Dado que: ∫ 1 + y 4 y 3 dy = ∫ (1 + y 4 ) 2 4 y 3 dy 4 1 1 1 1 Se tiene que: ∫ (1 + y 4 ) 2 4 y 3 dy = ∫ w 2 dw , integral que es inmediata. 4 4 3 2 3 1 1w 1 3 1 1 Luego: ∫ w 2 dw = + c = w 2 + c = (1 + y 4 ) 2 + c 3 4 4 2 6 6 1 3 Respuesta: ∫ 1 + y 4 y 3 dy = (1 + y 4 ) 2 + c 6 3tdt 2.7.-Encontrar: ∫ 3 2 t +3 Solución.-Sea la sustitución: u = t 2 + 3 , donde: du = 2tdt

30

3 2tdt 1 ∫ 2 3 2 t + 3 2 (t + 3) 3 3 2tdt 3 du Se tiene que: ∫ 2 = ∫ 1 , integral que es inmediata 1 3 2 (t + 3) 2 u3

Dado que: ∫

3tdt

=

2

3 du 3 − 13 3u 3 9 23 9 2 2 3 c u c t ( 3) = ∫ u du = + = + = + +c 1 ∫ 2 3 2 u 2 2 3 4 4 3tdt 9 2 Respuesta: ∫ = (t 2 + 3) 3 + c 3 2 t +3 4 dx 2.8.-Encontrar: ∫ 1 , a y b constantes. (a + bx) 3 Solución.- Sea: w = a + bx , donde: dw = bdx 2 −1 dx bdx 1 1 dw 1 1w3 3 23 3 Luego: ∫ w c w +c = = = = + = 1 1 1 ∫ ∫ ∫ b 23 2b (a + bx) 3 b (a + bx) 3 b w 3 b 2 3 3 = (a + bx) + c 2b 2 dx 3 3 Respuesta: ∫ = + +c a bx ( ) 1 (a + bx) 3 2b

Luego:

arcs e n x dx 1 − x2 arcs e n x dx dx = ∫ arcs e n x Solución.- ∫ , 2 1− x 1 − x2 dx Sea: u = arcs e n x , donde: du = 1 − x2 dx 2 3 2 1 Luego: ∫ arcs e n x = ∫ u 2 du = u 2 + c = (arcs e n x)3 + c 2 3 3 1− x

2.9.-Encontrar: ∫

arcs e n x 2 (arcs e n x)3 + c dx = 2 1− x 3 x arcτ g 2 dx 2.10.-Encontrar: ∫ 4 + x2 x 1 1 2dx Solución.- Sea: w = arcτ g , donde: dw = ( )dx = x 2 2 1+ ( 2 ) 2 4 + x2 x 2 arcτ g 1 1 1 2 1⎛ x⎞ ⎛ x ⎞ 2dx 2 Luego: ∫ = ∫ wdw = w + c = ⎜ arcτ g ⎟ + c dx = ∫ arcτ g ⎜ ⎟ 2 4 + x2 2 2 4 4⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 4+ x x 2 arcτ g 2 dx = 1 ⎛ arcτ g x ⎞ + c Respuesta: ∫ ⎜ ⎟ 4 + x2 4⎝ 2⎠ Respuesta: ∫

31

x − arcτ g 2 x dx 1 + 4x2 arcτ g 2 x x − arcτ g 2 x xdx Solución.- ∫ dx = ∫ −∫ 2 2 1+ 4x 1+ 4x 1 + 4 x2

2.11.-Encontrar: ∫

2dx 1 + 4x2 arcτ g 2 x 1 8 xdx 1 2dx xdx Luego: ∫ −∫ = ∫ − ∫ arcτ g 2 x 2 2 2 1 + 4x 1+ 4x 8 1+ 4x 2 1 + 4x2 1 du 1 1 1 3 1 1 3 1 = ∫ − ∫ w 2 dw = η u − w 2 + c = η 1 + 4 x 2 − (arcτ g 2 x) 2 + c 8 u 2 8 3 8 3 x − arcτ g 2 x 1 1 3 dx = η 1 + 4 x 2 − (arcτ g 2 x) 2 + c Respuesta: ∫ 2 1+ 4x 8 3 dx 2.12.-Encontrar: ∫ (1 + x 2 ) η x + 1 + x 2

Sea: u = 1 + 4 x 2 , donde: du = 8 xdx ; w = arcτ g 2 x , donde: dw =

Solución.- ∫

dx

(1 + x 2 ) η x + 1 + x 2

=∫

Sea: u = η x + 1 + x 2 , donde: du = Luego:

∫

dx

1 + x2

Respuesta: ∫

η x + 1 + x2

=∫

dx

(1 + x 2 ) η x + 1 + x 2

2.13.-Encontrar: ∫

dx

η x + 1 + x2

1 + x2 1

(1 +

2x

) ⇒ du =

x + 1+ x 2 1+ x du −1 1 = ∫ u 2 du = 2u 2 + c = 2 u 2

=2

2

dx

1 + x2

η x + 1 + x2 + c

η x + 1 + x2 + c

co τ g ( η x) dx x

Solución.- Sea: w = η x , donde: dw =

dx x

coτ g ( η x) dx = ∫ coτ gwdw = η s e n w + c = η s e n( η x) + c x coτ g ( η x) Respuesta: ∫ dx = η s e n( η x) + c x dx 2.14.-Encontrar: ∫ x ( η x )3 dx Solución.- Sea: u = η x , donde: du = x −2 dx du u 1 1 Luego: ∫ = ∫ 3 = ∫ u −3 du = +c = 2 +c = +c 3 2 2u 2( η x) 2 x( η x) u Luego: ∫

32

Respuesta: ∫

dx 1 = +c 3 2( η x) 2 x( η x) 1

e x2 2.15.-Encontrar: ∫ 3 dx x 1 2 Solución.- Sea: w = 2 , donde: dw = − 3 dx x x 1

e x2 1 1 −2dx 1 1 1 1 x2 Luego: ∫ 3 dx = − ∫ e x2 3 = − ∫ e w dw = − e w + c = − e + c x x 2 2 2 2 1

e x2 1 1 x2 Respuesta: ∫ 3 dx = − e + c 2 x − x2 + 2 2.16.-Encontrar: ∫ e xdx

Solución.- Sea: u = − x 2 + 2 , donde: du = −2 xdx 2 2 1 1 1 1 2 Luego: ∫ e − x + 2 xdx = − ∫ e− x + 2 (−2 xdx) = − ∫ eu du = − eu + c = − e − x + 2 + c 2 2 2 2 2 2 1 Respuesta: ∫ e − x + 2 xdx = − e − x + 2 + c 2 2 x3 2.17.-Encontrar: ∫ x e dx Solución.- Sea: w = x 3 , donde: dw = 3x 2 dx 3 3 1 1 1 3 Luego: ∫ x 2 e x dx = ∫ 3x 2 e x dx = ∫ e w dw = e x + c 3 3 3 3 1 3 Respuesta: ∫ x 2 e x dx = e x + c 3 x 2.18.-Encontrar: ∫ (e + 1) 2 e x dx Solución.- Sea: u = e x + 1 , donde: du = e x dx u3 (e x + 1)3 +c Luego: ∫ (e x + 1) 2 e x dx = ∫ u 2 du = + c = 3 3 (e x + 1)3 Respuesta: ∫ (e x + 1) 2 e x dx = +c 3 ex −1 2.19.-Encontrar: ∫ x dx e +1 x e −1 ex 1 ex e x e− x Solución.- ∫ x dx = ∫ x dx − ∫ x dx = ∫ x dx − ∫ x dx e +1 e +1 e +1 e +1 e +1 x −x x −x e e e e = ∫ x dx − ∫ − x x dx = ∫ x dx − ∫ dx 1 + ex e +1 e (e + 1) e +1 Sea: u = e x + 1 , donde: du = e x dx ; w = 1 + e− x ,donde: dw = −e − x dx ex e− x ex −e − x du dw Luego: ∫ x dx − ∫ dx dx dx = ∫ = − +∫ −x x x ∫ ∫ e +1 e +1 u w 1+ e 1+ e

33

= η u + c1 + η w + c2 = η e x + 1 + η 1 + e− x + C = η ⎡⎣ e x + 1 1 + e − x ⎤⎦ + c ex −1 Respuesta: ∫ x dx = η ⎡⎣ (e x + 1)(1 + e − x ) ⎤⎦ + c , otra respuesta seria: e +1 x 2 e −1 x ∫ e x + 1dx = η e + 1 − x + c e2 x − 1 2.20.-Encontrar: ∫ 2 x dx e +3 2x e −1 e2 x e0 Solución.- ∫ 2 x dx = ∫ 2 x dx − ∫ 2 x dx e +3 e +3 e +3 2x 2 x −2 x 2x e e e e e −2 x e2 x e −2 x dx = ∫ 2 x dx − ∫ −2 x 2 x dx = ∫ 2 x dx − ∫ dx = ∫ 2 x dx − ∫ 2 x e +3 e +3 e +3 e (e + 3) e +3 1 + 3e −2 x Sea: u = e 2 x + 3 , donde: du = 2e 2 x dx ; w = 1 + 3e −2 x ,donde: dw = −6e −2 x dx e2 x e −2 x 1 2e 2 x 1 −6e −2 x 1 du 1 dw dx dx dx = ∫ = + + Luego: ∫ 2 x dx − ∫ 2x −2 x −2 x ∫ ∫ e +3 1 + 3e 2 e +3 6 1 + 3e 2 u 6∫ w 1 1 1 1 1 1 3 η u + η w + c = η e 2 x + 3 + η 1 + 3e−2 x + c = η e2 x + 3 + η 1 + 2 x + c e 2 6 2 6 2 6 =

1 1 e2 x + 3 1 1 1 η e2 x + 3 + η 2 x + c = η e2 x + 3 + η e2 x + 3 − η e2 x + c 2 6 e 2 6 6

= η ( e 2 x + 3)

1/ 2

= η ( e 2 x + 3)

+ η ( e 2 x + 3)

1/ 6

1/ 2 1/ 6 1 x − 2 x + c = η ⎢⎡( e2 x + 3) ( e 2 x + 3) ⎥⎤ − + c ⎣ ⎦ 3 6

x − +c 3 2x 2/3 e −1 x Respuesta: ∫ 2 x dx = η ( e 2 x + 3) − + c e +3 3 2 x +1 2.22.-Encontrar: ∫ dx x −1 Solución.- Cuando el grado del polinomio dividendo es MAYOR o IGUAL que el grado del polinomio divisor, es necesario efectuar previamente la división de polinomios. El resultado de la división dada es: 2/3

x2 + 1 2 x2 + 1 2 ⎞ dx ⎛ dx = ∫ ⎜ x + 1 + = ( x + 1) + , Luego: ∫ ⎟ dx = ∫ xdx + ∫ dx + 2∫ x −1 x −1 x −1 x −1 ⎠ x −1 ⎝ Sea u = x − 1 , donde du = dx dx du x 2 Luego: ∫ xdx + ∫ dx + 2∫ = + x + η x −1 + c = ∫ xdx + ∫ dx + 2∫ x −1 u 2 2 2 x +1 x Respuesta: ∫ dx = + x + η x − 1 + c x −1 2 x+2 2.23.-Encontrar: ∫ dx x +1

34

x+2 1 x+2 1 ⎞ dx ⎛ , Luego: ∫ = 1+ dx = ∫ ⎜1 + ⎟ dx = ∫ dx + ∫ x +1 x +1 x +1 x +1 ⎝ x +1⎠ Sea u = x + 1 , donde du = dx du ∫ dx + ∫ u = x + η u + c =x + η x + 1 + c x+2 dx = x + η x + 1 + c Respuesta: ∫ x +1 2.24.-Encontrar: ∫ τ g 5 x sec2 xdx

Solución.-

Solución.- Sea: w = τ gx , donde: dw = sec 2 x w6 (τ gx) τ g6x Luego: ∫ τ g x sec xdx = ∫ (τ gx) sec xdx = ∫ w dw = +c = +c = +c 6 6 6 τ g6x Respuesta: ∫ τ g 5 x sec 2 xdx = +c 6 2.25.-Encontrar: ∫ s e n x sec 2 xdx 6

5

2

5

Solución.- ∫ s e n x sec 2 xdx = ∫ s e n x

2

5

1 sen x dx = ∫ dx 2 cos x cos 2 x

Sea: u = cos x , donde: du = − s e n x sen x − s e n xdx du u −1 1 1 −2 dx u du = − = − = − = − +c = +c = +c Luego: ∫ 2 2 ∫ ∫ ∫ u u cos x cos x −1 cos x Respuesta: ∫ s e n x sec 2 xdx = sec x + c

sec2 3xdx 2.26.-Encontrar: ∫ 1 + τ g 3x Solución.- Sea: u = 1 + τ g 3 xdx , donde: du = 3sec 2 3xdx Luego: ∫

sec2 3 xdx 1 3sec 2 3 xdx 1 du 1 1 = ∫ = ∫ = η u + c = η 1 + τ g 3x + c 1 + τ g 3x 3 1 + τ g 3x 3 u 3 3

Respuesta: ∫

sec 2 3 xdx 1 = η 1 + τ g 3x + c 1 + τ g 3x 3

2.27.-Encontrar: ∫ s e n 3 x cos xdx

Solución.- Sea: w = s e n x , donde: dw = cos xdx Luego: ∫ s e n 3 x cos xdx = ∫ (s e n x)3 cos xdx = ∫ w3 dw = ∫

w4 s e n4 x + c =∫ +c 4 4

s e n4 x +c 4 2.28.-Encontrar: ∫ cos 4 x s e n xdx Respuesta: ∫ s e n 3 x cos xdx = ∫

Solución.- Sea: u = cos x , donde: du = − s e n x Luego: ∫ cos 4 x s e n xdx = ∫ (cos x) 4 s e n xdx = − ∫ (cos x) 4 (− s e n x) dx = − ∫ u 4 du

35

u5 cos x5 cos5 x +c = − +c = − +c 5 5 5 cos5 x Respuesta: ∫ cos 4 x s e n xdx = − +c 5 sec5 2.29.-Encontrar: ∫ dx cos ecx 1 5 sec5 sen x Solución.- ∫ dx = ∫ cos x dx = ∫ dx 1 cos ecx (cos x)5 sen x Sea: w = cos x , donde: dw = − s e n xdx sen x dw w−4 1 1 1 −5 = − = − = − +c = +c = +c Luego: ∫ dx w dw 5 5 4 ∫ ∫ −4 (cos x) 4w 4 cos 4 x w

=−

=

sec 4 x +c 4

sec5 sec 4 x +c dx = cos ecx 4 2.30.-Encontrar: ∫ eτ g 2 x sec2 2 xdx

Respuesta: ∫

Solución.- Sea: u = τ g 2 x , donde: du = 2sec 2 2 xdx 1 1 1 1 Luego: ∫ eτ g 2 x sec2 2 xdx = ∫ eτ g 2 x (2sec2 2 xdx) = ∫ eu du = eu + c = eτ g 2 x + c 2 2 2 2 1 Respuesta: ∫ eτ g 2 x sec2 2 xdx = eτ g 2 x + c 2 2x − 5 2.31.-Encontrar: ∫ 2 dx 3x − 2 Solución.- Sea: w = 3x 2 − 2 , donde: dw = 6 xdx 2x − 5 1 3(2 x − 5) 1 6 x − 15 1 6 xdx 15 dx Luego: ∫ 2 dx = ∫ dx = ∫ 2 dx = ∫ 2 − ∫ 2 2 3x − 2 3 3x − 2 3 3x − 2 3 3x − 2 3 3x − 2 1 6 xdx dx 1 6 xdx 5 dx 1 6 xdx 5 dx = ∫ 2 − 5∫ = ∫ 2 − ∫ 2 2 = ∫ 2 − ∫ 2 2 2 3 3x − 2 3( x − 3 ) 3 3x − 2 3 ( x − 3 ) 3 3 x − 2 3 x − ( 23 ) 2

1 dw 5 dx 1 5 dx ; Sea: v = x , donde: dv = dx − ∫ 2 = η w + c1 − ∫ 2 ∫ 2 2 3 w 3 x −( 3) 3 3 x − ( 23 ) 2 Además: a =

= =

2

3

; se tiene:

1 5 dv η w + c1 − ∫ 2 2 3 3 v −a

x− 1 5 1 1 5⎡ 1 v−a η 3x 2 − 2 + c1 − η η + c2 = η 3x 2 − 2 − ⎢ v+a 3 3 2a 3 3 ⎢⎣ 2 2 3 x+

1 5 η 3x 2 − 2 − η 3 32 2

3x − 2 1 5 + C = η 3x 2 − 2 − η 3 3x + 2 2 6

2 2

3 3

⎤ ⎥+C ⎥⎦

3x − 2 +C 3x + 2

36

Respuesta: ∫

2x − 5 1 5 η dx = η 3 x 2 − 2 − 2 3x − 2 3 2 6

2.32.-Encontrar: ∫ Solución.- ∫

3x − 2 +C 3x + 2

dx x 4 − 9 η2x

dx x 4 − 9 η2x

=∫

dx

x 22 − (3 η x) 2 3dx Sea: u = 3 η x , donde: du = x dx 1 3dx 1 du 1 u Luego: ∫ = ∫ = ∫ = arcs e n + c 2 2 2 2 2 2 3 x 2 − (3 η x) 3 3 2 x 2 − (3 η x) 2 − (u ) 3 1 3 ηx 1 = arcs e n + c = arcs e n η x 2 + c 3 2 3 3 dx 1 Respuesta: ∫ = arcs e n η x 2 + c x 4 − 9 η2x 3

2.33.-Encontrar: ∫

dx ex −1

Solución.- Sea: u = e x − 1 , donde: du =

e x dx

; Tal que: e x = u 2 + 1

2 e −1 2du du Luego: ∫ =∫ 2 = 2∫ 2 = 2 arcτ gu + c = 2 arcτ g e x + 1 + c x u u 1 1 + + e −1 dx Respuesta: ∫ = 2 arcτ g e x + 1 + c x e −1 x2 + 2 x + 2 dx 2.34.-Encontrar: ∫ x +1 x2 + 2 x + 2 ( x 2 + 2 x + 1) + 1 ( x + 1) 2 + 1 ( x + 1) 2 + 1 Solución.- ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx x +1 x +1 x +1 x +1 1 dx )dx = ∫ xdx + ∫ dx + ∫ = ∫ (x +1+ , Sea: w = x + 1 , donde: dw = dx x +1 x +1 dx dw x 2 Luego: ∫ xdx + ∫ dx + ∫ = ∫ xdx + ∫ dx + ∫ = + x+ η w +c x +1 w 2 2 x = + x + η x +1 + c 2 x2 + 2 x + 2 x2 Respuesta: ∫ dx = + x + η x + 1 + c x +1 2 2x e 2.35.-Encontrar: ∫ dx ex + 1 Solución.- Sea: u = e x + 1 , donde: du = e x dx x

dx

37

Luego: ∫

=

u 3

3

2

2

−

u

−1

u −1 u2 u 2 −1 −1 1 1 − +c dx = ∫ 1 du = ∫ (u 2 − u 2 )du = ∫ u 2 du − ∫ u 2 du = 3 1 u2 2 2 ex + 1 3

e2 x

−1

1

2

+ c = 23 u 2 − 12 u 2 + c = 3

1

2 3

(e x + 1)3 − 2 (e x + 1) + c

2

Respuesta: ∫

e2 x e +1 x

2.36.-Encontrar: ∫

dx =

2 3

(e x + 1)3 − 2 (e x + 1) + c

η 2 x dx η 4x x

Solución.- Sea: u = η 4 x , donde: du =

dx ; además: η 4 x = (2 × 2 x) = η 2 + η 2 x x

⇒ u = η 2 + η 2x ⇒ η 2x = u − η 2 η 2 x dx u − η2 η2 du =∫ = u − η2 u + c Luego: ∫ du = ∫ du − ∫ du = ∫ du − η 2∫ η 4x x u u u = η 4 x − η 2 [ η ( η 4 x)] + c

η 2 x dx = η 4 x − η 2 [ η ( η 4 x) ] + c η 4x x 2.37.-Encontrar: ∫ x(3 x + 1)7 dx

Respuesta: ∫

Solución.- Sea: w = 3x + 1 , donde: dw = 3dx ; además: w − 1 = 3x ⇒ x =

w −1 3

w − 1 7 dw 1 1 = ∫ ( w − 1) w7 dw = ∫ ( w8 − w7 )dw w 3 3 9 9 9 8 1 1 1w 1w 1 1 = ∫ w8 dw − ∫ w7 dw = − + c = w9 − w8 + c 9 9 9 9 9 8 81 72 1 1 = (3x + 1)9 − (3x + 1)8 + c 81 72 (3x + 1)9 (3 x + 1)8 Respuesta: ∫ x(3 x + 1)7 dx = − +c 81 72 x2 − 5x + 6 2.38.-Encontrar: ∫ dx x2 + 4 x2 − 5x + 6 2 − 5x Solución.dx = 1 + 2 2 x +4 x +4 2 x − 5x + 6 2 − 5x dx xdx Luego: ∫ dx = ∫ (1 + 2 )dx = ∫ dx + 2∫ 2 − 5∫ 2 2 x +4 x +4 x +4 x +4 2 Sea: u = x + 4 , donde: du = 2 xdx ; Entonces: x 5 du x 5 x 5 = x + arcτ g − ∫ =x + arcτ g − η u + c = x + arcτ g − η x 2 + 4 + c 2 2 u 2 2 2 2 2 x − 5x + 6 x 5 Respuesta: ∫ dx = x + arcτ g − η x 2 + 4 + c 2 x +4 2 2

Luego: ∫ x(3 x + 1)7 dx = ∫

38

EJERCICIOS PROPUESTOS Usando Esencialmente la técnica de integración por sustitución, encontrar las siguientes integrales: adx 4t + 6 2.39.- ∫ 3x e x dx 2.40.- ∫ 2.41.- ∫ dt 2t + 1 a−x 1 − 3x xdx ax − b 2.43.- ∫ 2.42.- ∫ 2.44.- ∫ dx dx αx+ β a + bx 3 + 2x 2.45.- ∫

3t 2 + 3 dt t −1 2

b ⎞ ⎛ 2.48.- ∫ ⎜ a + ⎟ dx x−a⎠ ⎝ 2.51.- ∫ a − bxdx

2.54.- ∫

dx 3x 2 + 5

6t − 15 dt 3t 2 − 2 xdx 2.60.- ∫ 2 x −5 xdx 2.63.- ∫ a4 − x4

2.57.- ∫

2.66.- ∫ 2.69.- ∫

x − arcτ g 3x dx 1 + 9 x2 dt (9 + 9t 2 ) η t + 1 + t 2

2.72.- ∫ (et − e − t )dt 2.75.- ∫

a2x −1 dx ax

2.81.- ∫ (e a + 1) 3 e a dx 2.84.- ∫

x +1 x3 dx 2.55.- ∫ 2 a − x2 3 − 2x 2.58.- ∫ 2 dx 5x + 7 xdx 2.61.- ∫ 2 2x + 3 x 2 dx 2.64.- ∫ 1 + x6 2

arcs e n t dt 4 − 4t 2 2.70.- ∫ ae− mx dx 2.67.- ∫

2.73.- ∫ e − ( x

2

+1)

xdx

1

2

1

xdx

2.52.- ∫

2.76.- ∫

2.78.- ∫ x7 x dx x

x2 + 5x + 7 dx x+3 x 2.49.- ∫ dx ( x + 1) 2

2.46.- ∫

x

e − bx dx 1 − e−2bx

2.87.- ∫ s e n(a + bx)dx 2.90.- ∫ (cos ax + s e n ax) 2 dx

ex dx x2

x4 + x2 + 1 dx x −1 bdy 2.50.- ∫ 1− y

2.47.- ∫

x + ηx dx x y2 − 5 y + 6 dy 2.56.- ∫ y2 + 4 3x + 1 2.59.- ∫ dx 5x2 + 1 ax + b dx 2.62.- ∫ 2 2 a x + b2 x 2 dx 2.65.- ∫ x6 − 1 arcτ g ( 3x ) 2.68.- ∫ dx 9 + x2

2.53.- ∫

2.71.- ∫ 42−3 x dx 2.74.- ∫ (e a − e − a )2 dx x

2.77.- ∫ 5

x

x

dx x

2.79.- ∫

2.80.- ∫ e x a − be x dx

2.85.- ∫

a x dx ;a > 0 1 + a2 x x 2.86.- ∫ cos dx 2

et dt et − 1 dx 2.82.- ∫ x 2 +3 et dt 1 − e 2t

dx x 2 2.91.- ∫ s e n xdx

2.88.- ∫ cos x

2.83.- ∫

2.89.- ∫ s e n( η x)

dx x

2.92.- ∫ cos 2 xdx

39

2.93.- ∫ sec 2 (ax + b)dx

2.94.- ∫ cosτ g 2 axdx

dx 3cos(5 x − π4 ) x 2.99.- ∫ coτ g dx a −b

dx s e n(ax + b) dx 2.100.- ∫ τ g x x dx 2.103.- ∫ s e n x cos x 2.97.- ∫

2.96.- ∫

2

1 ⎛ ⎞ 2.102.- ∫ ⎜ − 1⎟ dx ⎝ sen x 2 ⎠ 2.105.- ∫ t s e n(1 − 2t 2 )dt 2.108.- ∫

s e n x cos x cos x − s e n x 2

2

dx

2.111.- ∫ t coτ g (2t 2 − 3)dt

s e n 3x dx 3 + cos 3 x τ gx 2.109.- ∫ dx cos 2 x 2.106.- ∫

2.112.- ∫

2.115.- ∫ x 5 5 − x 2 dx

(cos ax + s e n ax) 2 2.117.- ∫ dx s e n ax

x3 − 1 2.118.- ∫ dx x +1

x3 − 1 dx x4 − 4x + 1 τ g 3 x − coτ g 3x 2.123.- ∫ dx s e n 3x

2.121.- ∫ xe − x dx

2.126.- ∫ 2.129.- ∫ 2.132.- ∫

sec 2 xdx

τ g2x − 2 x2

dx

x3 + 1 sec 2 xdx

4 −τ g 2 x

dx x −1 arcτ gx e + x η (1 + x 2 ) + 1 2.138.- ∫ 1 + x2 (1 − s e n x2 ) 2 2.141.- ∫ dx s e n x2 2.135.- ∫ τ g x − 1

2.144.- ∫

dθ s e n aθ cos aθ

2

2.124.- ∫ 2.127.- ∫ 2.130.- ∫

2.107.- ∫ τ g 3 3x sec 2 3x dx 2.110.- ∫ cos ax s e n ax dx 2.113.- ∫ s e n 3 6 x cos 6 xdx

x3 dx x8 + 5

2.114.- ∫ 1 + 3cos 2 x s e n 2 xdx

2.120.- ∫

dx s e n ax xdx 2.98.- ∫ cos 2 x 2 dx 2.101.- ∫ τ g 5x cos ax 2.104.- ∫ dx s e n 5 ax

2.95.- ∫

1 + s e n 3x dx cos 2 3 x cos ec 2 3xdx 2.119.- ∫ b − a coτ g 3 x

2.116.- ∫

3 − 2 + 3x 2 2.122.- ∫ dx 2 + 3x 2 1+ s e n x 2.125.- ∫ dx x + cos x

dx ex dx

2.128.- ∫ a s e n x cos xdx

x η x 2

2.131.- ∫ τ g 2 axdx

xdx

1 − x4 dx 2.133.- ∫ cos x a

2.134.- ∫

xdx s e n x2

2.137.- ∫

2.136.- ∫

x 2 dx 2.139.- ∫ 2 x −2 5 − 3x 2.142.- ∫ dx 4 − 3x 2 2.145.- ∫

es e2 s − 2

ds

3

1+ η x dx x

s e n x − cos x dx s e n x + cos x

2.140.- ∫ es e n x s e n 2 xdx 2

2.143.- ∫

ds e +1 s

2.146.- ∫ s e n( 2Tπ t + ϕ0 )dt

40

2.147.- ∫ 2.150.- ∫ 2.153.- ∫ 2.156.- ∫

arc cos x 2

2.148.- ∫

dx

4 − x2 s e n x cos x 2−sen x 4

2.151.s ecxτ gx

dx

arc s e n x + x 1 − x2

∫

dx s ec 2 x + 1 xdx 2.154.- ∫ x +1

dx

η ( x + x 2 + 1)

x2 + 1 (arcs e n x) 2 2.159.- ∫ dx 1 − x2 2t 2 − 10t + 12 2.162.- ∫ dt t2 + 4

dx x(4 − η 2 x)

dx

2.157.- ∫

s e n3 x dx cos x

2.150.- ∫ e x + e dx x

2.163.- ∫

2.149.- ∫ e −τ gx sec 2 xdx 2.152.- ∫

dt s e n t cos 2 t 2

2.155.- ∫ x(5 x 2 − 3)7 dx 2.158.- ∫

cos xdx 1+ s e n2 x

2.161.- ∫ t (4t + 1)7 dt

et − e − t dt et + e − t

RESPUESTAS 2.39.- ∫ 3x e x dx , x u ∫ (3e) dx = ∫ (a) du =

Sea: u = x, du = dx, a = 3e

au (3e) x (3e) x 3x e x 3x e x +c = +c = +c = +c = +c ηa η (3e) η 3 ηe η3 + ηe η3 +1

adx , Sea: u = a − x, du = −dx a−x adx du ∫ a − x = −a ∫ u = −a η u + c = −a η a − x + c 4t + 6 2t + 3 2 2.41.- ∫ Sea: u = 2t + 1, du = 2dt ; = 1+ dt , 2t + 1 2t + 1 2t + 1 4t + 6 2 ⎞ 2 du ⎛ ∫ 2t + 1 dt = 2∫ ⎜⎝1 + 2t + 1 ⎟⎠dt = 2∫ dt + 2∫ 2t + 1 dt =2∫ dt + 2∫ u =2t + 2 η u + c = 2t + 2 η 2t + 1 + c 2.40.- ∫

11 1 − 3x 3 1 − 3x 2 Sea: u = 3 + 2 x, du = 2dx ; 2.42.- ∫ dx , =− + 3 + 2x 3 + 2x 2 2x + 3 11 1 − 3x 3 11 dx 3 11 du ⎛ 3 ⎞ 2 = − + dx ⎜ ∫ 3 + 2 x ∫ ⎝ 2 2 x + 3 ⎟⎠ dx = − 2 ∫ dx + 4 ∫ 2 x + 3 = − 2 ∫ dx + 4 ∫ u 3 11 − x+ η 2x + 3 + c 2 4 a xdx x 1 , Sea: u = a + bx, du = bdx ; 2.43.- ∫ = − b a + bx b a + bx a + bx xdx 1 a dx 1 a du 1 a x a ∫ a + bx = b ∫ dx − b ∫ a + bx = b ∫ dx − b2 ∫ u = b x − b2 η u + c = b − b2 η a + bx + c

41

αβ

ax − b dx , 2.44.- ∫ αx+ β

Sea: u = α x + β , du = α dx ;

+b ax − b a α = − αx ax + b α

αβ aβ + α b ⎛ ⎞ +b⎟ ⎜ ax − b a α a a aβ + α b dx α ∫ α x + β dx = ∫ ⎜ α − α x ⎟ dx = ∫ α dx − ∫ α x + β dx = α ∫ dx − α ∫ aβ + α b ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a a β + α b du a aβ + α b a aβ + α b = ∫ dx − = x− η u +c = x− η x+β +c 2 2 ∫ α α u α α α α2 3t 2 + 3 t2 +1 2 Sea: u = t − 1, du = dt ; dt , = t +1+ t −1 t −1 t −1 2 3t + 3 2 ⎞ 2 3 2 ⎛ ∫ t − 1 dt = 3∫ ⎜⎝ t + 1 + t − 1 ⎟⎠dt = 3∫ tdt + 3∫ dt + 3∫ t − 1 dt = 2 t + 3t + 6 η u + c 3 = t 2 + 3t + 6 η t − 1 + c 2 x2 + 5x + 7 x2 + 5x + 7 1 2.46.- ∫ Sea: u = t − 1, du = t + 1 ; dx , = x+2+ x+3 x+3 x+3 2 x2 + 5x + 7 1 1 x ⎛ ⎞ ∫ x + 3 dx = ∫ ⎜⎝ x + 2 + x + 3 ⎟⎠ dx = ∫ xdx + 2∫ dx + ∫ x + 3 dx = 2 + 2 x + η u + c

2.45.- ∫

x2 x2 + 2x + η u + c = + 2x + η x + 3 + c 2 2 4 2 x + x +1 2.47.- ∫ Sea: u = x − 1, du = dx ; dx , x −1 x4 + x2 + 1 3 ⎞ dx ⎛ 3 2 3 2 ∫ x − 1 dx = ∫ ⎜⎝ x + x + 2 x + 2 + x − 1 ⎟⎠ dx = ∫ x dx + ∫ x dx + 2∫ dx + 3∫ x − 1 x 4 x3 x 4 x3 = + + x2 + 2 + 3 η u + c = + + x2 + 2 x + 3 η x − 1 + c 4 3 4 3 =

2

b ⎞ ⎛ 2.48.- ∫ ⎜ a + ⎟ dx , x−a⎠ ⎝

Sea: u = x − a, du = dx

⎛ 2 2ab b ⎞ b2 ⎞ dx dx ⎛ 2 2 + = + + a dx a ∫ ⎜⎝ x − a ⎟⎠ ∫ ⎜⎝ x − a ( x − a)2 ⎟⎠dx = a ∫ dx + 2ab∫ x − a + b ∫ ( x − a)2 2

= a 2 ∫ dx + 2ab ∫ 49.- ∫

du du u −1 b2 + b 2 ∫ 2 = a 2 x + 2ab η u + b 2 + c = a 2 x + 2ab η x − a − + c 2. −1 u u x−a

x dx , ( x + 1) 2

Sea: u = x + 1, du = dx

x ( x + 1) − 1 x +1 dx dx dx u −1 dx = dx = dx − = − = u − +c η ∫ ( x + 1)2 ∫ ( x + 1)2 ∫ ( x + 1)2 ∫ ( x + 1)2 ∫ u ∫ u 2 −1

42

1 +c x +1 bdy , Sea: u = 1 − y, du = − dy 2.50.- ∫ 1− y bdy du −1 1 1 ∫ 1 − y = −b∫ u = −b∫ u 2 du = −2bu 2 + c = − 2b(1 − y) 2 + c = η x +1 +

2.51.- ∫ a − bxdx ,

Sea: u = a − bx, du = −bdx 3

∫

a − bxdx = −

2.52.- ∫

∫

xdx

1 12 1u 2 2 3 3 3 u du = − + c = − u 2 + c = − (a − bx) 2 + c ∫ 3 b b 2 3b 2b ,

Sea: u = x 2 + 1, du = 2 xdx

x +1 1 xdx 1 du 1 −12 1 u2 1 = ∫ = ∫ u du = + c =( x 2 + 1) 2 + c 1 2 2 2 u 2 x +1 2 2

x + ηx dx Sea: u = η x, du = dx , x x 1/ 2 x + ηx ηx x u2 −1/ 2 −1/ 2 dx = x dx + dx = x dx + udu = + +c ∫ x ∫ ∫ x ∫ ∫ 1/ 2 2 η2x =2 x+ +c 2 dx , Sea: u 2 = 3 x 2 , u = 3 x, du = 3dx ; a 2 = 5; a = 5 2.54.- ∫ 2 3x + 5 dx 1 du 1 1 u 1 1 3x 15 3x ∫ 3x 2 + 5 = 3 ∫ u 2 + a 2 = 3 a arc tg a + c = 3 5 arc tg 5 + c = 15 arc tg 5 + c 2.53.- ∫

2.55.- ∫

x3dx , a2 − x2

Sea: u = x 2 − a 2 , du = 2 xdx

x 3dx a 2 xdx xdx a 2 du 2 = − xdx − = − xdx − a = − xdx − ∫ a2 − x2 ∫ ∫ x2 − a2 ∫ ∫ x2 − a2 ∫ 2 ∫ u x2 a2 x2 a2 =− − η u +c = − − η x2 − a2 + c 2 2 2 2 y2 − 5 y + 6 2.56.- ∫ Sea: u = y 2 + 4, du = 2 ydy dy , 2 y +4 y2 − 5 y + 6 −5 y + 2 −5 y + 2 ydy dy ∫ y 2 + 4 dy = ∫ (1 + y 2 + 4 )dy = ∫ dy + ∫ y 2 + 4 dy = ∫ dy − 5∫ y 2 + 4 + 2∫ y 2 + 22 y y = y − 5 η u + 2 1 arc τ g + c = y − 5 η y 2 + 4 + arcτ g + c 2 2 2 2 2 6t − 15 Sea: u = 3t 2 − 2, du = 6tdt ; w = 3t , dw = 3dt dt , 2.57.- ∫ 2 3t − 2

43

6t − 15 tdt dt tdt dt − 15∫ 2 = 6∫ 2 − 15∫ dt = 6∫ 2 2 −2 3t − 2 3t − 2 3t − 2 ( 3t ) 2 − ( 2) 2

∫ 3t =∫

du 15 dw 15 3 1 w− 2 η − = ηu− +c ∫ 2 2 3 2 2 u 3 w − ( 2) w+ 2

= η 3t 2 − 2 −

5 6 t 3− 2 η +c 4 t 3+ 2

3 − 2x Sea: u = 5 x 2 + 7, du = 10 xdx; w = 5 x, dw = 5dx dx , 2 5x + 7 3 − 2x dx dx dx 2 du ∫ 5 x 2 + 7dx = 3∫ 5 x2 + 7 − 2∫ 5x 2 + 7 = 3∫ ( 5x )2 + ( 7)2 − 10 ∫ u

2.58.- ∫

=

3 dw 1 du 3 1 x 5 1 − ∫ = − η u +c arcτ g ∫ 2 2 5 w + ( 7) 5 u 5 7 7 5

3 35 5 1 arcτ gx − η 5x2 + 7 + c 35 7 5 3x + 1 Sea: u = 5 x 2 + 1, du = 10 xdx; w = x 5, dw = 5dx 2.59.- ∫ dx , 2 5x + 1 3x + 1 xdx dx xdx dx ∫ 5 x2 + 1dx = 3∫ 5 x2 + 1 + ∫ ( x 5)2 + 12 = 3∫ 5 x 2 + 1 + ∫ ( x 5)2 + 12 =

1

3 du 1 dw 3 u2 1 = ∫ + = + η w + w2 + 1 + c ∫ 2 2 10 u 5 5 w + 1 10 1 2 3 1 5x2 + 1 + = η x 5 + 5x2 + 1 + c 5 5 xdx , Sea: u = x 2 + 5, du = 2 xdx 2.60.- ∫ 2 x −5 xdx 1 du 1 1 2 ∫ x2 − 5 = 2 ∫ u = 2 η u + c = 2 η x − 5 + c xdx , Sea: u = 2 x 2 + 3, du = 4 xdx 2 2x + 3 xdx 1 du 1 1 2 ∫ 2x2 + 3 = 4 ∫ u = 4 η u + c = 4 η 2x + 3 + c ax + b 2.62.- ∫ 2 2 Sea: u = a 2 x 2 + b 2 , du = 2a 2 xdx; w = ax, dw = adx dx , 2 a x +b ax + b xdx dx a du b dw ∫ a 2 x 2 + b2 dx = a ∫ a 2 x 2 + b2 + b ∫ a 2 x 2 + b2 = 2a 2 ∫ u + a ∫ w2 + b2 1 b 1 w 1 1 ax arcτ g + c = η a 2 x 2 + b 2 + arcτ g + c = ηu+ 2 2 b a b a b 2.61.- ∫

44

2.63.- ∫

∫

xdx a −x 4

xdx a −x 4

4

4

Sea: u = x 2 , du = 2 xdx

,

xdx

=∫

( a 2 )2 − ( x2 )2

=

1 du 1 u = arcs e n 2 + c ∫ 2 a ( a 2 )2 − u 2 2

1 x2 = arcs e n 2 + c a 2 2 x dx 2.64.- ∫ , Sea: u = x3 , du = 3x 2 dx 6 1+ x 2 x dx x 2 dx 1 du 1 1 3 ∫ 1 + x6 = ∫ 1 + ( x3 )2 = 3 ∫ 1 + u 2 = 3 arcτ g u + c = 3 arcτ gx + c 2.65.- ∫

∫

2

x dx x −1 6

x 2 dx x −1 6

=∫

Sea: u = x3 , du = 3x 2 dx

,

x 2 dx

(x ) −1 3 2

=

1 du 1 1 = η u + u 2 − 1 + c = η x3 + x 6 − 1 + c ∫ 2 3 u −1 3 3

x − arcτ g 3x 3dx Sea: u = 1 + 9 x 2 , du = 18 xdx; w = arcτ g 3 x, dw = dx , 2 1 + 9 x2 1+ 9x x − arcτ g 3x arcτ g 3x xdx 1 du 1 1 ∫ 1 + 9 x2 dx = ∫ 1 + 9 x 2 − ∫ 1 + 9 x 2 dx = 18 ∫ u − 3 ∫ w 2 dw 3 3 1 1w2 1 2(arcτ g 3 x) 2 2 = +c = +c ηu− η 1+ 9x − 18 33 18 9 2 dt arcs e n t 2.67.- ∫ Sea: u = arcs e n t , du = dt , 2 4 − 4t 1− t2

2.66.- ∫

∫

arcs e n t 1 arcs e n t 1 arcs e n t 1 1 u dt = ∫ dt = ∫ dt = ∫ udu = 2 2 4 − 4t 2 1− t 2 2 2 3 1− t2

3

2

2

1 3 +c = u 2 +c 3

1 (arcs e n t )3 + c 3 arcτ g ( 3x ) 3dx 2.68.- ∫ Sea: u = arcτ g 3x , du = dx , 2 9+ x 9 + x2 arcτ g ( 3x ) arcτ g ( 3x ) 2 1 1 u2 1 2 = = + = + = +c dx udu c u c ∫ 9 + x2 3∫ 3 2 6 6 dt dt , Sea: u = η t + 1 + t 2 , du = 2.69.- ∫ 1+ t2 (9 + 9t 2 ) η t + 1 + t 2 =

1 = ∫ 3 (1 + t 2 )

dt

η t + 1+ t2

1

1 du 1 u 2 2 2 = ∫ = +c = u +c = 1 3 u 3 3 3 2

η t + 1+ t 2 + c

45

2.70.- ∫ ae − mx dx ,

∫ ae

− mx

Sea: u = − mx, du = −mdx

dx = a ∫ e − mx dx = −

2.71.- ∫ 42 −3 x dx , 2 −3 x ∫ 4 dx = −

a u a a e du = − eu + c = − e− mx + c ∫ m m m Sea: u = 2 − 3x, du = −3dx; a = 4

1 u 1 au 4 2 −3 x = − + = − +c a du c 3∫ 3 ηa 3 η4

2.72.- ∫ (et − e − t )dt ,

∫ (e

Sea: u = −t , du = − dt

− e −t )dt = ∫ et dt − ∫ e− t dt = ∫ et dt − ∫ eu dt = et + eu + c = et + e− t + c

t

2.73.- ∫ e − ( x

2

+1)

xdx ,

Sea: u = − x 2 − 1, du = −2 xdx

2 1 u 1 1 1 e du = − eu + c = − e − ( x +1) + c = − x2 +1 + c ∫ 2 2 2 2e x x 2 x 2 dx 2 x 2dx , du = ; w = − , dw = − Sea: u = 2.74.- ∫ (e a − e − a ) 2 dx , a a a a x x 2x x x −2 x 2x −2 x − − 2 ∫ (e a − e a ) dx = ∫ (e a + 2e a e a + e a )dx = ∫ e a dx + 2∫ dx + ∫ e a dx

∫e

− ( x 2 +1)

xdx = ∫ e − x −1 xdx = − 2

a u a a a a 2x a −2x e du + 2∫ dx − ∫ e w dw = eu + 2 x − e w + c = e a + 2 x − e a + c ∫ 2 2 2 2 2 2 2x a −1 2.75.- ∫ Sea: u = − 2x , du = − dx2 ; w = 32x , dw = 32dx dx , x a 2x a −1 a 2 x dx dx 3x −x −x 2 x− x dx = ∫ ax ∫ a x − ∫ a x = ∫ a 2 dx − ∫ a 2 dx = ∫ a 2 dx − ∫ a 2 dx 3x −x 3x −x 2 w 2 aw au 2a 2 a 2 2 a 2 u = ∫ a dw + 2 ∫ a du = +2 +c = +2 +c = + a 2)+c ( ηa ηa ηa 3 3 3 ηa 3 ηa =

1

ex 1 dx Sea: u = , du = − 2 2.76.- ∫ 2 dx , x x x 1 x e 1 u u x ∫ x 2 dx = −∫ e du = −e + c = −e x + c = − e + c dx dx 2.77.- ∫ 5 x , Sea: u = x , du = x 2 x

∫5

x

dx 2 × 5u 2×5 x = 2∫ 5u du = +c = +c η5 η5 x

2.78.- ∫ x7 x dx , 2

Sea: u = x 2 , du = 2 xdx 2

1 u 1 7u 1 7x 7 7 x dx = du = + c = +c ∫ 2∫ 2 η7 2 η7 x2

2.79.- ∫

et dt , et − 1

Sea: u = et − 1, du = et dt

46

et dt du t ∫ et − 1 = ∫ u = η u + c = η e − 1 + c 2.80.- ∫ e x a − be x dx ,

Sea: u = a − be x , du = −be x dx 3

∫e

1 1u 2 2 3 2 3 a − be dx = − ∫ udu = − + c = − u 2 + c = − (a − be x ) 2 + c 3 3b 3b b b 2

x

x

x

ea dx a x 4 4 x x x 1 1 au 3 3a(e a + 1) 3 3 xa a a a 3 3 +c ∫ (e + 1) e dx = ∫ e + 1e dx = a ∫ u du = 4 + c = 4 3 dx 2.82.- ∫ x , Sea: u = 2 x + 3, du = 2 x η 2dx 2 +3 dx 1 3dx 1 2x + 3 − 2x 1 2x + 3 1 2x 1 1 du = = dx = dx − dx = ∫ dx − ∫ x x ∫ 2x + 3 3 ∫ 2x + 3 3 ∫ 2x + 3 ∫ ∫ 3 2 +3 3 2 +3 3 3 u x η 2 +3 1 1 1 1 1 = x− η u +c = x− η u +c = x− +c 3 3 3 3 η2 3 3 η2

2.81.- ∫ (e a + 1) 3 e a dx , x

Sea: u = e

x

1

x

a +1

, du =

a x dx , Sea: u = a x , du = a x η adx; a > 0 2x 1+ a x a dx a x dx 1 du 1 1 x = ∫ 1 + a 2 x ∫ 1 + (a x )2 = η a ∫ 1 + u 2 = η a arcτ gu + c = η a arcτ ga + c

2.83.- ∫

e − bx Sea: u = e −bx , du = −be − bx dx dx , 1 − e−2bx e − bx e − bx 1 du 1 du 1 u −1 dx = ∫ 1 − e−2bx ∫ 1 − (e−bx )2 dx = − b ∫ 1 − u 2 = − b ∫ (−1)(u 2 − 1) = 2b η u + 1 + c

2.84.- ∫

=

1 e − bx − 1 η − bx +c. 2b e +1 et dt

2.85.- ∫

∫

1− e

t

e dt

1− e

2t

=∫

2t

Sea: u = et , du = et dt

,

et dt

1 − (e )

t 2

=∫

du

1− u

2

x dx , du = 2 2 x x ∫ cos 2 dx = 2 ∫ cos udu = 2 s e n u + c = 2 s e n 2 + c 2.87.- ∫ s e n(a + bx)dx , Sea: u = a + bx, du = bdx 2.86.- ∫ cos

x dx , 2

= arcs e n u + c = arcs e n et + c

1

Sea: u =

1

1

∫ s e n(a + bx)dx = b ∫ s e n udu = − b cos u + c = − b cos(a + bx) + c 47

2.88.- ∫ cos x

dx , x

Sea: u = x , du =

dx 2 x

dx = 2∫ cos udu = 2s e n u + c = 2s e n x + c x dx dx 2.89.- ∫ s e n( η x) , Sea: u = η x, du = x x dx ∫ s e n( η x) x = ∫ s e n udu = − cos u + c = − cos η x + c Sea: u = 2ax, du = 2adx 2.90.- ∫ (cos ax + s e n ax) 2 dx ,

∫ cos

x

∫ (cos ax + s e n ax) dx = ∫ (cos ax + 2 cos ax s e n ax + s e n ax)dx = ∫ (1 + 2 cos ax s e n ax)dx = ∫ dx + 2∫ cos ax s e n axdx = ∫ dx + ∫ s e n 2axdx 2

2

2

1 cos 2ax + c 2a 2.91.- ∫ s e n 2 xdx , = x−

∫sen

2

xdx = ∫

Sea: u = 2 x, du = 2dx

1 − cos 2 x 1 1 1 1 1 1 dx = ∫ dx − ∫ cos 2 xdx = ∫ dx − ∫ cos udu = x − s e n u + c 2 2 2 2 4 2 4

1 1 x − s e n 2x + c 2 4 2.92.- ∫ cos 2 xdx , =

∫ cos

2

xdx = ∫

Sea: u = 2 x, du = 2dx

1 + cos 2 x 1 1 1 1 1 1 dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx = ∫ dx + ∫ cos udu = x + s e n u + c 2 2 2 2 4 2 4

1 1 x + s e n 2x + c 2 4 2.93.- ∫ sec 2 (ax + b)dx , =

Sea: u = ax + b, du = adx

1

∫ sec (ax + b)dx = a ∫ sec 2.94.- ∫ coτ g axdx , 2

2

1

2

1 1 udu = τ gu + c = τ g (ax + b) = + c a a Sea: u = ax, du = adx

1

1

1

∫ coτ g axdx = a ∫ coτ g udu = a ∫ (cos ec u − 1)du = a ∫ cos ec udu − a ∫ du 2

2

2

2

co τ gu u coτ gax a x coτ gax − +c = − − +c = − −x+c a a a a a dx 2.95.- ∫ , Sea: u = x a , du = dx a s e n ax dx ∫ s e n ax = ∫ cos ec ax dx = a ∫ cos ecudu = a η cos ecu − coτ gu + c =−

= a η cos ec x a − coτ g x a + c

48

dx , Sea: u = 5 x − π , du = 5dx 4 3cos(5 x − π4 ) dx 1 1 1 ∫ 3cos(5 x − π4 ) = 3 ∫ sec(5 x − π4 )dx = 15 ∫ sec udu = 15 η sec u + τ gu + c 1 = η sec(5 x − π4 ) + τ g (5 x − π4 ) + c 15 dx , Sea: u = ax + b, du = adx 2.97.- ∫ s e n(ax + b) dx 1 1 ∫ s e n(ax + b) = ∫ cos ec(ax + b)dx = a ∫ cos ecudu = a η cos ecu − coτ gu + c 1 = η cos ec(ax + b) − co τ g (ax + b) + c a xdx 2.98.- ∫ , Sea: u = x 2 , du = 2 xdx cos 2 x 2 xdx 1 1 1 2 2 2 2 ∫ cos2 x2 = ∫ x sec x dx = 2 ∫ sec udu = 2 τ gu + c = 2 τ gx + c x x dx Sea: u = 2.99.- ∫ coτ g dx , , du = a −b a −b a −b x x ∫ coτ g a − b dx = (a − b)∫ coτ gudu = (a − b) η s e n u + c = (a − b) η s e n a − b + c dx dx 2.100.- ∫ τ g x , Sea: u = x , du = x 2 x dx ∫ τ g x x = 2∫ τ gudu = 2 η sec u + c = 2 η sec x + c dx 2.101.- ∫ , Sea: u = x , du = dx 5 5 τ g 5x dx ∫ τ g x = ∫ coτ g 5x dx = 5∫ coτ gudu = 5 η s e n u + c = 5 η s e n x 5 + c 2.96.- ∫

5

2

1 ⎛ ⎞ 2.102.- ∫ ⎜ − 1⎟ dx , ⎝ sen x 2 ⎠

Sea: u = x 2, du = 2dx

2

1 ⎛ ⎞ 2 2 ∫ ⎜⎝ s e n x 2 − 1⎟⎠ dx = ∫ (cos ecx 2 − 1) dx =∫ (cos ec x 2 − 2 cos ecx 2 + 1)dx 1 2 = ∫ cos ec 2 x 2dx − 2∫ cos ecx 2dx + ∫ dx = cos ec 2udu − cos ecudu + ∫ dx ∫ 2 2∫ 1 =− coτ gu − 2 η cos ecu − coτ gu + x + c 2 1 =− coτ gx 2 − 2 η cos ecx 2 − coτ gx 2 + x + c 2

49

dx , Sea: u = 2 x, du = 2dx s e n x cos x dx dx ∫ s e n x cos x = ∫ 1 s e n 2 x = 2∫ cos ec2 xdx = ∫ cos ecudu = η cos ecu − coτ gu + c 2 = η cos ec 2 x − coτ g 2 x + c

2.103.- ∫

cos ax Sea: u = s e n ax, du = a cos axdx dx , s e n 5 ax cos ax 1 du 1 u −4 u −4 s e n −4 ax 1 = = + = − + = − +c = − +c dx c c ∫ s e n 5 ax a ∫ u 5 a −4 4a 4a 4a s e n 4 ax

2.104.- ∫

2.105.- ∫ t s e n(1 − 2t 2 )dt ,

∫ t s e n(1 − 2t

2

)dt = −

Sea: u = 1 − 2t 2 , du = −4tdt

1 1 1 s e n udu = cos u + c = cos(1 − 2t 2 ) + c ∫ 4 4 4

s e n 3x dx , Sea: u = 3 + cos 3x, du = −3s e n 3xdx 3 + cos 3x s e n 3x 1 du 1 1 ∫ 3 + cos 3xdx = − 3 ∫ u = − 3 η u + c = − 3 η 3 + cos 3x + c Sea: u = τ g ( x 3 ), du = 13 sec2 ( x 3 )dx 2.107.- ∫ τ g 3 3x sec 2 3x dx ,

2.106.- ∫

3 2 3 ∫ τ g 3x sec 3x dx = 3∫ u du =

3u 4 3τ g 4 ( x 3 ) +c = +c 4 4

s e n x cos x

2.108.- ∫

Sea: u = cos 2 x, du = 2s e n 2 xdx dx , cos 2 x − s e n 2 x 1 1 s e n x cos x s e n x cos x 1 s e n 2 x 1 du 1 u 2 u2 ∫ cos2 x − s e n 2 x dx = ∫ cos 2 x dx = 4 ∫ cos 2 x = 4 ∫ u = 4 12 + c = 2 + c cos 2 x = +c 2 τ gx 2.109.- ∫ Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx dx , cos 2 x 3 τ gx u2 2 3 2 3 1 2 2 sec dx gx xdx u du τ = = = + c = u 2 + c = τ g 2x + c ∫ cos2 x ∫ ∫ 3 3 3 2 Sea: u = 2 x , du = 2dx 2.110.- ∫ cos ax s e n ax dx , a 1 a a a ∫ cos ax s e n ax dx = 2 ∫ s e n 2ax dx = 4 ∫ s e n udu = − 4 cos u + c = − 4 cos 2ax + c 2.111.- ∫ t coτ g (2t 2 − 3)dt , Sea: u = 2t 3 − 3, du = 4tdt

∫ t coτ g (2t

2

− 3)dt =

1 1 1 coτ gudu = η s e n u + c = η s e n(2t 2 − 3) + c ∫ 4 4 4

50

x 3 dx , Sea: u = x 4 , du = 4 x3 dx 8 x +5 3 x dx x3 dx 1 du 1 1 u 5 x4 = = = τ g + c = τ g +c arc arc ∫ x8 + 5 ∫ ( x 4 )2 + ( 5)2 4 ∫ u 2 + ( 5)2 4 5 20 5 5

2.112.- ∫

2.113.- ∫ s e n 3 6 x cos 6 xdx ,

Sea: u = s e n 6 x, du = 6 cos 6 xdx

1 3 1 u4 u4 s e n4 6x u du = + c = + c = +c 6∫ 6 4 24 24 5 + 3cos 2 x 2.114.- ∫ 1 + 3cos 2 x s e n 2 xdx , Sea: u = , du = −3s e n 2 xdx 2 1 + cos 2 x 3 + 3cos 2 x 2 ∫ 1 + 3cos x s e n 2 xdx = ∫ 1 + 3( 2 ) s e n 2 xdx = ∫ 1 + 2 s e n 2 xdx 3 ∫ s e n 6 x cos 6 xdx =

5 + 3cos 2 x 1 1 1u 2 2 3 s e n 2 xdx = − ∫ u 2 du = − +c = − u 2 +c 3 2 3 3 9 2 3

=∫

3

2 ⎛ 5 + 3cos 2 x ⎞ 2 =− ⎜ ⎟ +c 9⎝ 2 ⎠ 2.115.- ∫ x 5 5 − x 2 dx ,

Sea: u = 5 − x 2 , du = −2 xdx

1 15 1u5 5 65 5(5 − x 2 ) 5 ∫ x 5 − x dx = − 2 ∫ u du = − 2 6 + c = − 12 u + c = − 12 + c 5 1 + s e n 3x 2.116.- ∫ Sea: u = s e n 3x, du = 3dx; w = cos u, dw = − s e n udu dx , cos 2 3x 1 + s e n 3x dx s e n 3x 1 1 senu 2 ∫ cos2 3x dx = ∫ cos2 3x + ∫ cos2 3xdx = 3 ∫ s ec udu + 3 ∫ cos2 u du 1 1 dw 1 1 1 1 1 1 = ∫ s ec 2udu − ∫ 2 = τ gu + + c = τ gu + + c = τ g 3x + +c 3 3 w 3 3w 3 3cos u 3 3cos 3x (cos ax + s e n ax) 2 2.117.- ∫ Sea: u = ax, du = adx dx , s e n ax (cos ax + s e n ax) 2 cos 2 ax + 2 cos ax s e n ax + s e n 2 ax = dx dx ∫ ∫ s e n ax s e n ax 6

5

6

2

cos 2 ax cos ax s e n ax s e n 2 ax =∫ dx + 2 ∫ dx + ∫ dx s e n ax s e n ax s e n ax 1 − s e n 2 ax =∫ dx + 2∫ cos axdx + ∫ s e n axdx s e n ax dx =∫ + 2 ∫ cos axdx s e n ax 1 2 = ∫ cos ecaxdx + 2∫ cos axdx = ∫ cos ecudu + ∫ cos udu a a

51

1 2 1 2 η cos ecu − coτ gu + s e n u + c = η cos ecax − co τ gax + s e n ax + c a a a a x3 − 1 2.118.- ∫ Sea: u = x + 1, du = dx dx , x +1 x3 − 1 2 2 2 2 ∫ x + 1 dx = ∫ ( x − x + 1 − x + 1)dx = ∫ x dx − ∫ xdx + ∫ dx − ∫ x + 1 dx du x3 x 2 = ∫ x 2 dx − ∫ xdx + ∫ dx − 2∫ = − + x − 2 η x +1 + c u 3 2 2 cos ec 3xdx 2.119.- ∫ , Sea: u = b − a coτ g 3 x, du = 3a cos ec 2 3 xdx b − a coτ g 3 x =

cos ec 2 3 xdx 1 du 1 1 ∫ b − a coτ g 3x = 3a ∫ u = 3a η u + c = 3a η b − a coτ g 3x + c x3 − 1 Sea: u = x 4 − 4 x + 1, du = (4 x3 − 4)dx dx , 4 x − 4x + 1 3 x −1 1 (4 x3 − 4)dx 1 du 1 1 4 dx = ∫ x4 − 4 x + 1 4 ∫ x4 − 4 x + 1 = 4 ∫ u = 4 η u + c = 4 η x − 4 x + 1 + c 2 2.121.- ∫ xe − x dx , Sea: u = − x 2 , du = −2 xdx

2.120.- ∫

∫ xe

− x2

dx = −

2.122.- ∫

1 u 1 1 2 e du = − eu + c = − e − x + c ∫ 2 2 2

3 − 2 + 3x2 dx , 2 + 3x 2

Sea: u = x 3, du = 3dx; a = 2

3 − 2 + 3x 2 dx (2 + 3x 2 ) 2 ∫ 2 + 3x 2 dx = 3∫ ( 2)2 + ( 3x)2 − ∫ 2 + 3x 2 dx 1

1

(2 + 3x 2 ) 3 3dx 3 3dx −1 − ∫ (2 + 3x 2 ) 2 dx dx = −∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 3 ( 2) + ( 3 x) 3 ( 2) + ( 3 x) 2 + 3x 3 du du dx −1 = − ∫ (2 + 3 x 2 ) 2 dx = 3 ∫ 2 −∫ 2 2 2 ∫ (a ) + (u ) 3 (a) + (u ) ( 2) 2 + ( x 3) 2 2

du 1 du 3 u 1 − = η u + a2 + u2 + c arcτ g − 2 ∫ 2 2 a a (a ) + (u ) 3 3 a +u 3 x 3 3 = − η x 3 + 2 + 3 + x2 + c arcτ g 3 2 2 τ g 3 x − coτ g 3x 2.123.- ∫ Sea: u = 3x, du = 3dx; w = s e n u, dw = cos udu dx , s e n 3x s e n 3 x cos 3 x − τ g 3 x − coτ g 3 x dx cos 3 x cos 3x s e n 3x dx = = dx ∫ s e n 3x ∫ s e n 3x ∫ cos 3x − ∫ s e n 2 3xdx = 3∫

2

52

= ∫ sec 3xdx − ∫

cos 3x 1 1 cos u 1 1 dw dx = ∫ sec udu − ∫ du = ∫ sec udu − ∫ 2 2 2 s e n 3x 3 3 sen u 3 3 w

1 1 w−1 1 1 η sec u + τ gu − + c = η sec 3x + τ g 3 x + +c 3 3 −1 3 3s e n 3x dx x dx 2.124.- ∫ , Sea: u = − , du = − 2 2 ex dx dx −x −2 −2 −x u u ∫ e x = ∫ (e x ) 12 = ∫ e 2 dx = −2∫ e du = −2e + c = −2e 2 + c = e x 2 + c = e x + c 1+ s e n x Sea: u = x + cos x, du = (1 − s e n x)dx 2.125.- ∫ dx , x + cos x 1+ s e n x du ∫ x + cos x dx = ∫ u = η u + c = η x + cos x + c sec 2 xdx 2.126.- ∫ , Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx 2 τg x−2 =

∫

sec 2 xdx

τg x−2 2

2.127.- ∫

dx

∫x η

2

x

dx x η x 2

=∫

du

=∫

u −2 2

= η u + u 2 − 2 + c = η τ gx + τ gx 2 − 2 + c Sea: u = η x, du =

,

dx du u −1 1 1 = = +c = − +c = − +c 2 2 ∫ x( η x) u u −1 ηx

2.128.- ∫ a s e n x cos xdx ,

∫a

sen x

dx 2

Sea: u = s e n x, du = cos xdx

as e n x cos xdx = ∫ a du = +c = +c ηa ηa

2.129.- ∫

u

x2 x +1 3

dx ,

a

u

Sea: u = x3 + 1, du = 3 x 2 dx

3 ( x 2 + 1) 2 u3 ( x 2 + 1) 3 x 2 dx 1 du 1 u 3 ∫ x3 + 1 = ∫ ( x3 + 1) 13 = 3 ∫ u 13 = 3 2 + c = 2 + c = 2 + c = 2 + c 3 xdx 2.130.- ∫ , Sea: u = x 2 , du = 2 xdx 4 1− x xdx xdx 1 2 xdx 1 2 xdx 1 ∫ 1 − x 4 = ∫ 1 − ( x2 )2 = 2 ∫ 1 − ( x 2 )2 = 2 ∫ 1 − (u)2 = 2 arcs e n u + c 2

x dx

1 = arcs e n x 2 + c 2 2.131.- ∫ τ g 2 axdx ,

2

2

2

Sea: u = ax, du = adx

53

∫ τ g axdx = ∫ (sec 2

2

ax − 1)dx = ∫ sec2 axdx − ∫ dx =

1 = τ gax − x + c a sec 2 xdx 2.132.- ∫ , 4 −τ g 2 x sec 2 xdx

∫

=∫

1 1 sec 2 udu − ∫ dx = τ gu − x + c ∫ a a

Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx

u τ gx = arcs e n + c = arcs e n +c 2 2 2 −u du

4 −τ g x dx 2.133.- ∫ , Sea: u = x , du = dx a a cos x a dx ∫ cos x a = ∫ sec x a dx = a ∫ secudu = a η sec u + τ gu + c = a η sec x a + τ g x a + c 2

2.134.- ∫

3

2

2

1+ η x dx , x

Sea: u = 1 + η x, du =

dx x

1+ η x u3 3u 3 3(1 + η x) 3 1 +c ∫ x dx = ∫ u 3 du = 4 + c = 4 + c = 4 3 dx dx , Sea: u = x − 1, du = 2.135.- ∫ τ g x − 1 x −1 2 x −1 dx du ∫ τ g x − 1 x − 1 = 2∫ τ gu u = 2 η sec x − 1 + c = −2 η cos x − 1 + c xdx 2.136.- ∫ , Sea: u = x 2 , du = 2 xdx s e n x2 xdx 1 du 1 1 ∫ s e n x 2 = 2 ∫ s e n u = 2 ∫ cos ecudu = 2 η cos ecu − coτ gu + c 1 = η cos ecx 2 − coτ gx 2 + c 2 s e n x − cos x Sea: u = s e n x + cos x, du = (cos x − s e n x)dx 2.137.- ∫ dx , s e n x + cos x s e n x − cos x du ∫ s e n x + cos xdx = − ∫ u = − η s e n x + cos x + c earcτ gx + x η (1 + x 2 ) + 1 dx 2 xdx 2.138.- ∫ , Sea: u = arcτ gx, du = ; w = η (1 + x 2 )d , dw = 2 2 1+ x 1+ x 1 + x2 earcτ gx + x η (1 + x 2 ) + 1 earcτ gx dx x η (1 + x 2 )dx dx = + +∫ 2 2 2 ∫ ∫ ∫ 1+ x 1+ x 1+ x 1 + x2 1 dx 1 w2 η 2 (1 + x 2 ) u u = ∫ eu du + ∫ wdw + ∫ = e + + gx + c = e + + arcτ gx + c τ arc 2 1 + x2 2 2 4 3

4

4

4

x 2 dx , 2.139.- ∫ 2 x −2

54

2 1 x 2 dx dx x− 2 ∫ x2 − 2 = ∫ (1 + x2 − 2 )dx = ∫ dx + 2∫ x2 − 2 = x + 2 2 2 η x + 2 + c = x+

2 x− 2 +c η 2 x+ 2

2.140.- ∫ es e n x s e n 2 xdx ,

Sea: u =

2

sen x ∫ e s e n 2 xdx = ∫ e 2

2.141.- ∫

(1 − s e n sen

1− cos 2 x 2

x 2 2

)

x 2

1 − cos 2 x , du = s e n 2 xdx 2

s e n 2 xdx = ∫ eu du = eu + c = es e n x + c 2

Sea: u =

dx ,

x dx , du = 2 2

⎛ 1 − 2s e n x2 + s e n 2 x2 ⎞ dx = ⎟ dx = ∫ cos ec x2 dx − 2∫ dx + ∫ s e n x2 dx ∫ sen x ∫ ⎜⎜ x ⎟ sen 2 2 ⎝ ⎠ = 2 ∫ cos ecudu − 2 ∫ dx + 2 ∫ s e n udu = 2 η cos ecu − coτ gu − 2 x − 2 cos u + c

(1 − s e n

x 2 2

)

= 2 η cos ec

4 − 3x

5 − 3x 4 − 3x

− coτ g

5 − 3x

2.142.- ∫

∫

x 2

2

2

dx = 5∫

x 2

− 2 x − 2 cos

+c

Sea: u = x 3, du = 3dx; w = 4 − 3x 2 , dw = −6 xdx

dx , dx

4 − 3x

x 2

2

− 3∫

xdx

4 − 3x

2

dx

= 5∫

4 − ( x 3) 2

− 3∫

xdx

4 − 3x2

1

5 du 3 dw 5 u 1w2 5 3 x 3 arcs n arcs e n = + = e + +c = + 4 − 3x 2 + c ∫ ∫ 2 2 6 2 2 1 3 2 w 3 3 2 −u 2 ds , Sea: u = 1 + e − s , du = −e− s ds e +1 ds e − s ds du −s = ∫ e s + 1 ∫ e− s + 1 = − ∫ u = − η u + c = − η e + 1 + c dθ 2.144.- ∫ , Sea: u = 2aθ , du = 2adθ s e n aθ cos aθ dθ dθ 2 ∫ s e n aθ cos aθ = ∫ 12 s e n 2aθ = 2∫ cos ec2aθ dθ = 2a ∫ cos ecudu 1 1 = η cos ecu − co τ gu + c = η cos ec 2aθ − co τ g 2aθ + c a a s e 2.145.- ∫ Sea: u = e s , du = e s ds ds , 2s e −2 s e es du 2 = ds ∫ e2 s − 2 ∫ (es )2 − 2 ds = −∫ u 2 − 2 = η u + u − 2 + c 2.143.- ∫

s

= η e s + (e s ) 2 − 2 + c = η e s + e 2 s − 2 + c

55

2π t 2π t + ϕ0 , du = dt T T T T T 2π t ∫ s e n( 2Tπ t + ϕ0 )dt = 2π ∫ s e n udu = − 2π cos u + c = − 2π cos( T + ϕ0 ) + c arc cos x 2 x dx Sea: u = arc cos , du = − 2.147.- ∫ dx , 2 2 4 − x2 4− x arc cos x 2 u2 (arc cos x 2 ) 2 dx = − udu = − + c = − +c ∫ 4 − x2 ∫ 2 2 dx dx 2.148.- ∫ , Sea: u = η x, du = 2 x(4 − η x) x

2.146.- ∫ s e n( 2Tπ t + ϕ0 )dt ,

Sea: u =

dx du 1 2+u 1 2 + ηx =∫ 2 = η +c = η +c 2 2 2 −u 4 2−u 4 2− ηx η x) x ⎡⎣ 2 − ( η x) ⎤⎦ Sea: u = −τ gx, du = − sec 2 xdx 2.149.- ∫ e −τ gx sec 2 xdx , dx

∫ x(4 − ∫e

−τ gx

2

2

sec 2 xdx = − ∫ eu du = −eu + c = −e −τ gx + c

2.150.- ∫

∫

=∫

s e n x cos x

Sea: u = s e n 2 x, du = 2s e n x cos xdx

dx ,

2−sen x s e n x cos x s e n x cos x 1 du 1 u dx = ∫ dx = ∫ = arcs e n +c 4 2 2 2 2 2 2 2−sen x 2 − (s e n x) 2−u 4

1 (s e n 2 x) = arcs e n +c 2 2 s ecxτ gx 2.151.- ∫ Sea: u = sec x, du = sec xτ gxdx dx , s ec 2 x + 1 s ecxτ gx du 2 2 ∫ s ec 2 x + 1dx = ∫ u 2 + 1 = η u + u + 1 + c = η s ecx + s ec x + 1 + c dt 2.152.- ∫ , Sea: u = 2t , du = 2dt 2 s e n t cos 2 t dt dt dt dt 2 ∫ s e n 2 t cos2 t = ∫ (s e n t cos t )2 = ∫ ( 1 s e n 2t )2 = 4∫ s e n 2 2t = 4∫ cos ec 2tdt 2 = 2 ∫ cos ec 2udu = −2 co τ gu + c = −2 coτ g 2t + c 2.153.- ∫ Sea:

arc s e n x + x 1 − x2

dx ,

u = arcs e n x, du =

dx

; w = 1 − x 2 , dw = −2 xdx

1− x arc s e n x + x arc s e n x x 1 dw 1 −1 ∫ 1 − x 2 dx = ∫ 1 − x 2 dx + ∫ 1 − x2 dx = ∫ udu − 2 ∫ w = ∫ udu − 2 ∫ w 2 dw 2

56

1

u2 1 w 2 (arcs e n x) 2 = − +c = − 1 − x2 + c 2 2 1 2 2 xdx , Sea: t = x + 1 ⇒ x = t 2 − 1; dx = 2tdt 2.154.- ∫ x +1 2 ( x + 1)3 xdx (t 2 − 1)2tdt t3 2 = = 2 ( t − 1) dt = 2( − t ) + c = − 2 x +1 + c ∫ x +1 ∫ t ∫ 3 3 Sea: u = 5 x 2 − 3, du = 10 xdx 2.155.- ∫ x(5 x 2 − 3)7 dx , 2 7 ∫ x(5 x − 3) dx =

1 1 u8 u8 (5 x 2 − 3)8 7 u du = + c = + c = +c 10 ∫ 10 8 80 80

η ( x + x 2 + 1)

2.156.- ∫

x +1 2

η ( x + x 2 + 1)

∫

x2 + 1

dx ,

dx = ∫

Sea: u = η ( x + x 2 + 1), du =

η ( x + x 2 + 1) x2 + 1

dx x2 + 1

3

dx = ∫ udu =

u2 +c 3 2

3

2 ⎡ η ( x + x 2 + 1) ⎤ ⎣ ⎦ = +c 3 s e n3 x 2.157.- ∫ Sea: u = cos x, du = − s e n xdx dx , cos x s e n3 x s e n 2 x s e n xdx (1 − cos 2 x) s e n xdx s e n xdx cos 2 x s e n xdx dx = = = − ∫ cos x ∫ ∫ ∫ cos x ∫ cos x cos x cos x 3 5 2 2 3 3 u u −1 1 = ∫ cos 2 x s e n xdx − ∫ cos 2 x s e n xdx = − ∫ u 2 du + ∫ u 2 du = − + +c 3 5 2 2 3

5

3

5

2u 2 2u 2 2 cos x 2 2 cos x 2 2 cos3 x 2 cos5 x + +c = − + +c = − + +c 3 5 3 5 3 5 cos xdx , 2.158.- ∫ 1+ s e n2 x =−

Sea: t = 1 + s e n 2 x ⇒ s e n 2 x = t 2 − 1; 2s e n x cos xdx = 2tdt t cos xdx dt t 2 −1 2 ∫ 1+ s e n2 x = ∫ t = ∫ t 2 −1 = η 1+ s e n x + s e n x + c 2.159.- ∫

∫

(arcs e n x) 2 1 − x2

(arcs e n x) 2

dx ,

dx = ∫ u 2 du =

1 − x2

2.150.- ∫ e x + e dx , x

Sea: u = arcs e n x, du =

dx 1 − x2

u3 (arcs e n x)3 +c = +c 3 3

Sea: u = ee , du = ee e x dx x

x

57

∫e

x+ex

dx = ∫ e x ee dx = ∫ du = u + c = ee + c x

x

u −1 , du = 4dt 4 u − 1 7 du 1 1 1 u9 1 u8 7 7 8 7 t (4 t 1) dt u ( u 1) u du ( u u ) du + = = − = − = − +c ∫ ∫ 4 4 16 ∫ 16 ∫ 16 9 16 8 (4t + 1)9 (4t + 1)8 = − +c 144 128 2t 2 − 10t + 12 2.162.- ∫ dt , Sea: u = t 2 + 4, du = du = 2tdt t2 + 4 2t 2 − 10t + 12 t 2 − 5t + 6 dt dt ⎛ 2 − 5t ⎞ dt 2 = ∫ t2 + 4 ∫ t 2 + 4 dt = 2∫ ⎜⎝1 + t 2 + 4 ⎟⎠ dt = 2∫ dt + 4∫ t 2 + 4 −10∫ t 2 + 4 dt du = 2 ∫ dt + 4∫ 2 −5∫ = 2t + 2 arcτ g 2t − 5 η u + c = 2t + 2 arcτ g 2t − 5 η t 2 + 4 + c t +4 u et − e − t 2.163.- ∫ t dt , e + e−t Sea: u = e 2t + 1, du = 2e 2t dt ; w = 1 + e −2t , dw = −2e−2t dt

2.161.- ∫ t (4t + 1)7 dt ,

Sea: u = 4t + 1 ⇒ t =

et − e − t et dt e − t dt e 2t dt e −2t dt 1 du 1 dw dt = − = − ∫ et + e−t ∫ et + e−t ∫ et + e−t ∫ e2t + 1 ∫ 1 + e−2t = 2 ∫ u + 2 ∫ w 1 1 1 = ( η u + η w ) + c = η uw + c = η (e2t + 1)(1 + e −2t ) + c 2 2 2

58

CAPITULO 3 INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS En esta parte, serán consideradas las integrales trigonométricas de la forma: i) ∫ s e n m u cos n udu ii) ∫ τ g mu secn udu

iii) ∫ co τ g mu cos ec nudu O bien, formas trigonométricas reducibles a algunos de los casos ya señalados.

EJERCICIOS DESARROLLADOS 3.1.-Encontrar: ∫ cos 2 xdx

1 + cos 2 x 2 1 + cos 2 x 1 1 x 1 Luego: ∫ cos 2 xdx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx = + s e n 2 x + c , 2 2 2 2 4 1 Como: ∫ cosh xdx = s e nh x + c h 1 1 Respuesta: ∫ cos 2 xdx = x + s e n 2 x + c 2 4 4 1 3.2.-Encontrar: ∫ cos 2 xdx

Solución.- cos 2 xdx =

Solución.- cos 2 12 x =

1 + cos x 2

1 ⎛ 1 + cos x ⎞ 2 Luego: ∫ cos 4 12 xdx = ∫ (cos 2 12 x) 2 dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ (1 + 2 cos x + cos x)dx 2 4 ⎝ ⎠ 1 1 1 = ∫ dx + ∫ cos xdx + ∫ cos 2 xdx , como: ∫ cos 2 xdx = 1 x + 1 s e n 2 x + c 2 4 4 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 = ∫ dx + ∫ cos xdx + ∫ cos 2 xdx = x + s e n x + ( x + s e n 2 x) + c 4 2 4 4 2 4 2 4 1 1 1 1 3 1 1 = x + s e n x + x + s e n 2x + c = x + s e n x + s e n 2x + c 4 2 8 16 8 2 16 3 1 1 4 1 Respuesta: ∫ cos 2 xdx = x + s e n x + s e n 2 x + c 8 2 16 3 3.3.-Encontrar: ∫ cos xdx 2

Solución.- ∫ cos3 xdx = ∫ cos x cos 2 xdx , como: cos 2 x = 1 − s e n 2 x

59

= ∫ cos x cos 2 xdx = ∫ cos x(1 − s e n 2 x)dx = ∫ cos xdx − ∫ cos x s e n 2 xdx

Sea: u = s e n x, du = cos xdx

= ∫ cos xdx − ∫ cos x s e n 2 xdx = ∫ cos xdx − ∫ u 2 du = s e n x −

Respuesta: ∫ cos3 xdx = s e n x −

u3 s e n3 x + c = sen x − +c 3 3

s e n3 x +c 3

3.4.-Encontrar: ∫ s e n x3 4 xdx Solución.- ∫ s e n x3 4 xdx = ∫ s e n 4 x s e n 2 4 xdx , como: s e n 2 4 x = 1 − cos 2 4 x

= ∫ s e n 4 x s e n 2 4 xdx = ∫ s e n 4 x(1 − cos 2 4 x)dx = ∫ s e n 4 xdx − ∫ s e n 4 x(cos 4 x) 2 dx

Sea: u = cos 4 x, du = −4s e n 4 xdx

1 2 1 1 u3 cos 4 x cos3 4 x u du cos 4 x c = − + + = − + +c 4∫ 4 4 3 4 12 cos 4 x cos3 4 x Respuesta: ∫ s e n x3 4 xdx = − + +c 4 12 3.5.-Encontrar: ∫ s e n 2 x cos3 xdx = ∫ s e n 4 xdx +

Solución.- ∫ s e n 2 x cos3 xdx = ∫ s e n 2 x cos 2 x cos xdx = ∫ s e n 2 x(1 − s e n 2 x) cos xdx = ∫ s e n 2 x cos xdx − ∫ s e n 4 x cos xdx ;

Sea: u = s e n x, du = cos xdx

u3 u5 s e n3 x s e n5 x − +c = − +c 3 5 3 5 s e n3 x s e n5 x Respuesta: ∫ s e n 2 x cos3 xdx = − +c 3 5 3.6.-Encontrar: ∫ s e n 3 x cos 2 xdx = ∫ u 2 du − ∫ u 4 du =

Solución.- ∫ s e n 3 x cos 2 xdx = ∫ s e n 2 x s e n x cos 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 x) s e n x cos 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 x) s e n x cos 2 xdx = ∫ s e n x cos 2 xdx − ∫ s e n x cos 4 xdx

Sea: u = cos x, du = − s e n xdx

= ∫ s e n x cos 2 xdx − ∫ s e n x cos 4 xdx = − ∫ u 2 du + ∫ u 4 du = − =−

u3 u5 + +c 3 5

cos3 x cos5 x + +c 3 5

Respuesta: ∫ s e n 3 x cos 2 xdx = −

cos3 x cos5 x + +c 3 5

3.7.-Encontrar: ∫ s e n 2 x cos5 xdx

Solución.- ∫ s e n 2 x cos5 xdx = ∫ s e n 2 x(cos 2 x) 2 cos xdx = ∫ s e n 2 x(1 − s e n 2 x) 2 cos xdx = ∫ s e n 2 x(1 − 2s e n 2 x + s e n 4 x) cos xdx

60

= ∫ (s e n x) 2 cos xdx − 2∫ (s e n x) 4 cos xdx + ∫ (s e n x)6 cos xdx

Sea: u = s e n x, du = cos xdx

u3 u5 u7 s e n3 x s e n5 x s e n7 x −2 + +c = −2 + +c 3 5 7 3 5 7 s e n3 x s e n5 x s e n7 x Respuesta: ∫ s e n 2 x cos5 xdx = −2 + +c 3 5 7 3.8.-Encontrar: ∫ s e n 3 x cos3 xdx = ∫ u 2 du − 2∫ u 4 du + ∫ u 6 du =

Solución.- ∫ s e n 3 x cos3 xdx = ∫ (s e n x cos x)3 dx ; como: s e n 2 x = 2s e n x cos x, Se tiene que: s e n x cos x =

s e n 2x ; Luego: 2 3

1 1 ⎛ s e n 2x ⎞ 3 2 = ∫ (s e n x cos x) dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ s e n 2 xdx = ∫ s e n 2 x s e n 2 xdx 8 8 ⎝ 2 ⎠ 1 1 1 = ∫ s e n 2 x(1 − cos 2 2 x)dx = ∫ s e n 2 xdx − ∫ s e n 2 x(cos 2 x) 2 dx 8 8 8 Sea: u = cos 2 x, du = −2s e n 2 xdx 1 1 1 1 = ∫ s e n 2 xdx + ∫ −2s e n 2 x(cos 2 x) 2 dx = ∫ s e n 2 xdx + ∫ u 2 du 8 16 8 16 3 3 1 1 u 1 cos 2 x = − cos 2 x + + c = − cos 2 x + +c 16 16 3 16 48 1 cos3 2 x Respuesta: ∫ s e n 3 x cos3 xdx = − cos 2 x + +c 16 48 3.9.-Encontrar: ∫ s e n 4 x cos 4 xdx 3

4

1 ⎛ s e n 2x ⎞ 4 Solución.- ∫ s e n 4 x cos 4 xdx = ∫ (s e n x cos x) 4 dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ s e n 2 xdx 16 ⎝ 2 ⎠ 2 2 1 1 ⎛ 1 − cos 4 x ⎞ 1 (s e n 2 2 x) dx = ∫ ⎜ (1 − cos 4 x) dx ⎟ dx = ∫ ∫ 16 16 ⎝ 2 16 × 4 ⎠ 1 1 1 1 (1 − 2 cos 4 x + cos 2 4 x)dx = = dx − ∫ cos 4 xdx + ∫ cos 2 4 xdx ∫ ∫ 64 64 32 64 1 1 1 1 + cos8 x = dx − ∫ cos 4 xdx + ∫ dx 64 ∫ 32 64 2 1 1 1 1 = dx − ∫ cos 4 xdx + dx + cos8 xdx ∫ ∫ 64 32 128 128 ∫ 1 1 1 1 3x s e n 4 x s e n 8 x s e n 4x + s e n 8x + c = = x− x+ − + +c 64 128 128 1024 128 128 1024 1 ⎛ s e n 8x ⎞ Respuesta: ∫ s e n 4 x cos 4 xdx = ⎜ 3x − s e n 4 x + ⎟+c 128 ⎝ 8 ⎠ 3.10.-Encontrar: ∫ x(cos3 x 2 − s e n 3 x 2 )dx ; Sea: u = x 2 , du = 2 xdx 2

=

61

1 1 2 x(cos3 x 2 − s e n 3 x 2 )dx = ∫ (cos3 u − s e n 3 u )du ∫ 2 2 1 1 1 1 = ∫ cos3 udu − ∫ s e n 3 udu = ∫ cos u cos 2 udu − ∫ s e n u s e n 2 udu 2 2 2 2 1 1 = ∫ cos u (1 − s e n 2 u )du − ∫ s e n u (1 − cos 2 u )du 2 2 1 1 1 1 = ∫ cos udu − ∫ cos u s e n 2 udu − ∫ s e n udu + ∫ s e n u cos 2 udu 2 2 2 2 Sea: w = s e n u, dw = cos udu; z = cos u, dz = − s e n udu

∫ x(cos

3

x 2 − s e n 3 x 2 )dx =

1 1 1 1 2 1 1 w3 1 1 z3 2 cos udu w dw s e n udu z dz s e n u cos u − − − = − + − +c 2∫ 2∫ 2∫ 2∫ 2 2 3 2 2 3 s e n u s e n 3 u cos u cos3 u 1 1 = − + − + c = (s e n u + cos u ) − (s e n 3 u + cos3 u ) + c 2 6 2 6 2 6 3 3 2 Dado que: s e n u + cos u = (s e n u + cos u )(s e n u − s e n u cos u + cos 2 ) =

O bien: s e n 3 u + cos3 u = (s e n u + cos u )(1 − s e n u cos u ) ; Lo que equivale a: 1 1 = (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u )(1 − s e n u cos u ) + c 2 6 1 1 2s e n u cos u = (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u )(1 − )+c 2 6 2 1 1 s e n 2u = (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u )(1 − )+c 2 6 2 1 1 1 = (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u ) (2 − s e n 2u ) + c 2 6 2 1 1 = (s e n u + cos u )(6 − (2 − s e n 2u )) + c = (s e n u + cos u )(4 + s e n 2u ) + c 12 12 1 = (s e n x 2 + cos x 2 )(4 + s e n 2 x 2 ) + c 12 1 Respuesta: ∫ x(cos3 x 2 − s e n 3 x 2 )dx = (s e n x 2 + cos x 2 )(4 + s e n 2 x 2 ) + c 12 3.11.-Encontrar: ∫ s e n 2 x cos 4 xdx

1 [s e n(α − β ) + s e n(α + β )] ; Se tiene que: 2 1 1 s e n 2 x cos 4 x = [s e n(2 x − 4 x) + s e n(2 x + 4 x) ] = [s e n(−2 x) + s e n(6 x) ] 2 2 1 1 = [ − s e n 2 x + s e n 6 x ] , Luego: ∫ s e n 2 x cos 4 xdx = ∫ (− s e n 2 x + s e n 6 x)dx 2 2 1 1 1 1 = − ∫ s e n 2 xdx + ∫ s e n 6 xdx = cos 2 x − cos 6 x + c 2 2 4 12 1 1 Respuesta: ∫ s e n 2 x cos 4 xdx = cos 2 x − cos 6 x + c 4 12

Solución.- s e n α cos β =

62

3.12.-Encontrar: ∫ cos 3x cos 2 xdx 1 [cos(α − β ) + cos(α + β )] ; Se tiene que: 2 1 1 cos 3x cos 2 x = [ cos(3x − 2 x) + cos(3 x + 2 x) ] = [ cos x + cos 5 x ] , Luego: 2 2 1 1 1 = ∫ cos 3 x cos 2 xdx = ∫ [ cos x + cos 5 x ]dx = ∫ cos xdx + ∫ cos 5 xdx 2 2 2 1 1 = s e n x + s e n 5x + c 2 10 1 1 Respuesta: ∫ cos 3 x cos 2 xdx = s e n x + s e n 5 x + c 2 10 3.13.-Encontrar: ∫ s e n 5 x s e n xdx

Solución.- cos α cos β =

1 [ cos(α − β ) − cos(α + β )] ; Se tiene que: 2 1 1 s e n 5 x s e n x = [ cos(5 x − x) − cos(5 x + x) ] = [ cos 4 x − cos 6 x ] ; Luego: 2 2 1 1 1 = ∫ s e n 5 x s e n xdx = ∫ [ cos 4 x − cos 6 x ] = ∫ cos 4 xdx − ∫ cos 6 xdx 2 2 2 1 1 = s e n 4x − s e n 6x + c 8 12 1 1 Respuesta: ∫ s e n 5 x s e n xdx = s e n 4 x − s e n 6 x + c 8 12 4 3.14.-Encontrar: ∫ τ g xdx

Solución.- s e n α s e n β =

Solución.- ∫ τ g 4 xdx = ∫ τ g 2 xτ g 2 xdx ; como: τ g 2 = sec 2 x − 1 ; Luego: = ∫ τ g 2 xτ g 2 xdx = ∫ τ g 2 x(sec 2 x − 1)dx = ∫ τ g 2 x sec2 xdx − ∫ τ g 2 xdx

s e n2 x 1 − cos 2 x 2 2 ( ) sec dx τ gx xdx = − ∫ ∫ cos2 x dx cos 2 x Sea: w = τ gx, dw = sec 2 xdx = ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx − ∫ sec 2 xdx + ∫ dx ;

= ∫ (τ gx) 2 sec2 xdx − ∫

w3 τ g3 − τ gx + x + c = − τ gx + x + c 3 3 τ g3 Respuesta: ∫ τ g 4 xdx = − τ gx + x + c 3 3.15.-Encontrar: ∫ sec6 xdx = ∫ w2 dw − ∫ sec 2 x + ∫ dx =

Solución.- ∫ sec6 xdx = ∫ (sec2 x) 2 sec2 xdx ; como: sec 2 xdx = 1 + τ g 2 x 2

= ∫ (sec 2 x) 2 sec 2 xdx = ∫ (1 + τ g 2 x) sec 2 xdx = ∫ (1 + 2τ g 2 x + τ g 4 x) sec 2 xdx

= ∫ sec 2 xdx + 2 ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx + ∫ (τ gx) 4 sec 2 xdx ;

Sea: u = τ gx, du = sec2 xdx

63

2 1 2 1 = ∫ sec 2 xdx + 2 ∫ u 2 du + ∫ u 4 du = τ gx + u 3 + u 5 + c = τ gx + τ g 3 x + τ g 5 x + c 3 5 3 5 2 1 Respuesta: ∫ sec6 xdx = τ gx + τ g 3 x + τ g 5 x + c 3 5 3 3.16.-Encontrar: ∫ τ g 2 xdx Solución.3 2 2 2 ∫ τ g 2 xdx = ∫ τ g 2 xτ g 2 xdx = ∫ τ g 2 x(sec 2 x − 1)dx = ∫ τ g 2 x sec 2 xdx − ∫ τ g 2 xdx

Sea: u = τ g 2 x, du = 2sec 2 2 xdx ; =

Luego:

1 1u 1 τ g 2 2x 1 1 − = − + = − η +c udu τ g 2 xdx η sec 2 x c ∫ ∫ 2 2 2 2 4 2 cos 2 x 2

Respuesta: ∫ τ g 3 2 xdx =

τ g 2 2x 1 4

−

2

η

1 +c cos 2 x

3.17.-Encontrar: ∫ τ g 5 xdx 2

1 Solución.- ∫ τ g 2 5 xdx = ∫ (sec 2 5 x − 1)dx = ∫ sec 2 5 xdx − ∫ dx = τ g 5 x − x + c 5 1 Respuesta: ∫ τ g 2 5 xdx = τ g 5 x − x + c 5 3 3.18.-Encontrar: ∫ τ g 3x sec 3xdx

Solución.- ∫ τ g 3 3x sec 3xdx = ∫ τ g 2 3xτ g 3 x sec3 xdx = ∫ ( sec2 3x − 1)τ g 3x sec 3xdx

= ∫ (sec 3 x) 2τ g 3 x sec 3 xdx − ∫ τ g 3 x sec 3 xdx ; Sea: u = sec 3x, du = 3sec 3xτ g 3xdx

1 2 1 u du − ∫ 3τ g 3 x sec 3 xdx ; como: d (sec 3x) = 3τ g 3x sec 3xdx , se admite: ∫ 3 3 1 2 1 1 1 1 1 u du − ∫ d (sec3 x) = u 3 − sec3 x + c = sec3 3 x − sec3 x + c ∫ 3 3 9 3 9 3 1 1 Respuesta: ∫ τ g 3 3x sec 3xdx = sec3 3x − sec 3x + c 9 3 3 4 2 3.19.-Encontrar: ∫ τ g x sec xdx

Luego:

Solución.- ∫ τ g 2 x sec4 xdx = ∫ τ g 2 x(sec2 x) sec 2 xdx = ∫ τ g 2 x(1 + τ g 2 x) sec2 xdx 3

3

= ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx + ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx ; 3

7

3

Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx

3 7 2 5 2 9 2 5 2 9 Luego: ∫ u 2 du + ∫ u 2 du = u 2 + u 2 + c = τ g 2 x + τ g 2 + c 5 9 5 9 3 2 5 2 9 Respuesta: ∫ τ g 2 x sec4 xdx = τ g 2 x + τ g 2 + c 5 9 4 4 3.20.-Encontrar: ∫ τ g x sec xdx

Solución.- ∫ τ g 4 x(sec 2 x) sec 2 xdx = ∫ τ g 4 x(1 + τ g 2 x) sec 2 xdx

= ∫ (τ gx) 4 sec2 xdx + ∫ (τ gx)6 sec 2 xdx ;

Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx

64

τ g5x τ g7 x u5 u7 + +c = + +c 5 7 5 7 τ g5x τ g7x Respuesta: ∫ τ g 4 x sec 4 xdx = + +c 5 7 3.21.-Encontrar: ∫ co τ g 3 x co sec 4 xdx Luego: ∫ u 4 du + ∫ u 6 du =

Solución.- ∫ co τ g 3 x co sec 4 xdx = ∫ co τ g 3 x(co sec2 x) co sec2 xdx

Como: cos ec 2 x = 1 + coτ g 2 x ; Luego:

∫ coτ g

3

x(1 + co τ g 2 x) co sec 2 xdx = ∫ co τ g 3 x co sec 2 xdx + ∫ coτ g 5 x co sec 2 xdx

Sea: u = coτ gx, du = − cos ec 2 xdx , u4 u6 coτ g 4 x coτ g 6 x Luego: − ∫ u du − ∫ u du = − − + c = − − +c 4 6 4 6 co τ g 4 x coτ g 6 x Respuesta: ∫ coτ g 3 x co sec 4 xdx = − − +c 4 6 3.22.-Encontrar: ∫ co τ g 3x co sec 4 3xdx 3

5

Solución.- ∫ co τ g 3x co sec 4 3 xdx = ∫ coτ g 3x(co sec 2 3 x) co sec 2 3 xdx

∫ coτ g 3x(1 + coτ g

2

3x) co sec 2 3xdx = ∫ co τ g 3x co sec 2 3xdx + ∫ coτ g 3 3x co sec 2 3xdx

Sea: u = coτ g 3 x, du = −3cos ec 2 3 xdx ;

Luego:

1 1 3 u u co τ g 3x co τ g 4 3x udu u du c − = − − + = − − +c 3∫ 3∫ 6 12 6 12 coτ g 2 3x co τ g 4 3x Respuesta: ∫ co τ g 3x co sec 4 3xdx = − − +c 6 12 3.23.-Encontrar: ∫ co sec 4 2 xdx 2

−

4

2

Solución.- ∫ co sec 2 2 x co sec 2 2 xdx = ∫ (1 + coτ g 2 2 x) co sec 2 2 xdx

∫ co sec

2

2 xdx + ∫ coτ g 2 2 x co sec 2 2 xdx ;

Sea: u = coτ g 2 x, du = − cos ec 2 2 xdx

1 2 1 u3 coτ g 2 x coτ g 3 2 x co τ 2 u du = − g x − + c = − − +c 2∫ 2 3 2 6 coτ g 2 x coτ g 3 2 x Respuesta: ∫ co sec 4 2xdx = − − +c 2 6 3.24.-Encontrar: ∫ co τ g 3 x co sec3 xdx

Luego: ∫ co sec 2 2 xdx −

Solución.- ∫ co τ g 3 x co sec3 xdx = ∫ coτ g 2 x co sec2 x co τ gx co sec xdx

Como: co τ g 2 x = co sec 2 x − 1 ;

Luego: ∫ (co sec 2 x − 1) co sec 2 x co τ gx co sec xdx

= ∫ (co sec4 x co τ gx co sec xdx − ∫ co sec2 x coτ gx co sec xdx

Sea: u = cos ecx, du = − cos ecx coτ gxdx ;

65

u5 u3 cos ec5 x cos ec3 x + +c = − + +c 5 3 5 3 cos ec5 x cos ec3 x Respuesta: ∫ coτ g 3 x co sec3 xdx = − + +c 5 3 3.25.-Encontrar: ∫ co τ g 3 xdx

Entonces: − ∫ u 4 du + ∫ u 2 du = −

Solución.- ∫ coτ g 3 xdx = ∫ coτ g 2 x co τ gxdx = ∫ (cos ec 2 x − 1) coτ gxdx = ∫ cos ec 2 x coτ gxdx − ∫ coτ gxdx ;

Sea: u = coτ gx, du = − cos ec 2 xdx

u2 co τ g 2 x − η sen x + c = − − η sen x + c 2 2 co τ g 2 x Respuesta: ∫ coτ g 3 xdx = − − η sen x + c 2

Luego: − ∫ udu − ∫ coτ gxdx = −

EJERCICIOS PROPUESTOS Usando esencialmente el mecanismo tratado, encontrar las siguientes integrales: dx 3.26.- ∫ τ g 2 5 xdx 3.27.- ∫ s e n x cos xdx 3.28.- ∫ sec 2 x 3 cos 2 x 3.31.- ∫ τ g 2 3x sec 2 3x dx 3.30.- ∫ cos x s e n xdx 3.29.- ∫ dx cos x s e n 2x 3.33.- ∫ s e n 2 6x dx 3.32.- ∫ τ g 3 4 x sec 4 xdx dx 3.34.- ∫ sen x 3.36.- ∫ sec3 4x τ g 4x dx 3.37.- ∫ τ g 4 2 x sec 4 2 xdx 3.35.- ∫ (sec x + cos ecx) 2 dx 3.38.- ∫ s e n 8 x s e n 3 xdx 4

3.39.- ∫ cos 4 x cos 5 xdx

⎛ sec x ⎞ 3.41.- ∫ ⎜ ⎟ dx ⎝ τ gx ⎠ 3.44.- ∫ (τ g 3 3x + τ g 4 3x )dx

3.42.- ∫

dx 5 s e n x cos x dx 3.50.- ∫ cos 6 4 x

3.48.- ∫

cos3 x dx s e n4 x

3.40.- ∫ s e n 2 x cos 3xdx

3.43.- ∫ cos ec 4 3 xdx

3.45.- ∫ coτ g 3 3x dx

3.46.- ∫ coτ g 4 6x dx 3.49.- ∫

3.53.- ∫ s e n 5 2x dx

cos 2 x dx s e n6 x cos3 x 3.51.- ∫ dx 1− s e n x 3.54.- ∫ 1 − cos xdx

3.56.- ∫ s e n 3 2x cos5 2x dx

3.57.- ∫ s e n 2 x cos 2 xdx

3.58.- ∫ s e n 4 x cos 2 xdx

3.59.- ∫

3.60.- ∫

3.47.- ∫

1 − cos 2 x dx 1 + cos 2 x

3.62.- ∫ s e n 2 2 x cos 2 2 xdx

cos3 x dx sen x 3.63.- ∫ cos 4 xdx

dx s e n x cos 4 x 2

3.52.- ∫ cos3 7x dx 3.55.- ∫

dx cos ec 4

x 3

3.61.- ∫ s e n 3 2 xdx

3.64.- ∫ τ g 4 x sec 2 xdx

66

3.65.- ∫ τ g 3 x sec xdx

3.66.- ∫ sec6 aθ dθ

3.70.- ∫ sec 4 3xτ g 3xdx

3.71.- ∫ sec n xτ gxdx;(n ≠ 0) 3.74.- ∫ τ g n x sec 2 xdx;(n ≠ −1)

s e n3 x dx cos 2 x cos3 x dx 3.72.- ∫ s e n2 x 3.75.- ∫ s e n 6 xdx

3.80.- ∫ cos x n s e n xdx;(n ≠ −1)

3.81.- ∫ τ g n xdx

3.82.- ∫ τ g 4 xdx

3.68.- ∫ co τ g 2 2 x cos ec 2 2 xdx

3.77.- ∫ s e n n x cos xdx;(n ≠ −1) 3.83.- ∫ cos 2 n +1 xdx

3.69.- ∫

3.78.- ∫ coτ g n axdx

3.67.- ∫ sec xdx

3.73.- ∫

dx s e n4 x

3.76.- ∫ s e n 4 axdx

3.79.- ∫ coτ g 4 3 xdx

RESPUESTAS 1 3.26.- ∫ τ g 2 5 xdx = ∫ (sec 2 5 x − 1)dx = ∫ sec 2 5 xdx + ∫ dx = τ g 5 x − x + c 5 1 1 1 3.27.- ∫ s e n x cos xdx = ∫ 2s e n x cos xdx = ∫ s e n 2 xdx = − cos 2 x + c 2 2 4 dx 1 3.28.- ∫ = cos 2 xdx = s e n 2 x + c sec 2 x ∫ 2 2 cos 2 x cos x − s e n 2 x cos 2 x s e n2 x 3.29.- ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ dx cos x cos x cos x cos x 1 − cos 2 x dx dx = ∫ cos xdx − ∫ + cos xdx = 2∫ cos xdx − ∫ sec xdx cos x cos x ∫ = 2s e n x − η sec x + τ gx + c

= ∫ cos xdx − ∫

3.30.- ∫ cos x s e n 3 xdx = ∫ cos x s e n 2 x s e n xdx = ∫ cos x (1 − cos 2 x) s e n xdx

= ∫ cos x s e n xdx − ∫ cos x cos 2 x s e n xdx = ∫ cos 2 x s e n xdx − ∫ cos 2 x s e n xdx 1

5

5 1 2 3 2 7 2 2 Sea: u = cos x, du = − s e n xdx ; Luego: − ∫ u du + ∫ u du = − u 2 + u 2 + c 3 7 2 3 2 7 2 2 = − cos 2 + cos 2 + c = − cos3 x + cos 7 x + c 3 7 3 7 2 2 = − cos x cos x + cos x 3 cos x + c 3 7 1 3.31.- ∫ τ g 2 3x sec2 3x dx = ∫ (τ g 3x ) 2 sec 2 3x dx ; Sea: u = τ g 3x , du = sec2 3x dx 3 2 x 2 3 3 x x 2 1 3∫ (τ g 3 ) 3 sec 3 dx = 3∫ u du = u + c = τ g 3 + c

3.32.- ∫ τ g 3 4 x sec 4 xdx = ∫ (τ g 2 4 x)τ g 4 x sec 4 xdx = ∫ (sec2 4 x − 1)τ g 4 x sec 4 xdx

= ∫ sec 2 4 xτ g 4 x sec 4 xdx − ∫ τ g 4 x sec 4 xdx ; Sea: u = sec 4 x, du = 4sec 4 xτ g 4 xdx

67

1 2 1 1 u3 1 sec3 4 x sec 4 x u du du u c − = − + = − +c 4∫ 4∫ 4 3 4 12 4 1 − cos 2 6x 1 − cos 3x 1 1 3.33.- ∫ s e n 2 6x dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx − ∫ cos 3x dx 2 2 2 2 1 3 = x − s en 3x + c 2 2 s e n 2x 2 s e n x cos x 3.34.- ∫ dx = ∫ dx = 2∫ cos xdx = 2s e n x + c sen x sen x =

3.35.- ∫ (sec x + cos ecx) 2 dx = ∫ (sec 2 x + 2sec x cos ecx + cos ec 2 x)dx 1 1 dx + ∫ cos ec 2 xdx cos x s e n x dx dx = ∫ sec 2 xdx + 2 × 2 ∫ + ∫ cos ec 2 xdx = ∫ sec 2 xdx + 4∫ + cos ec 2 xdx 2 cos x s e n x s e n 2x ∫ = ∫ sec 2 xdx + 4∫ cos ec 2 xdx + ∫ cos ec 2 xdx = ∫ sec 2 xdx + 2 ∫ sec x cos ecxdx + ∫ cos ec 2 xdx = ∫ sec 2 xdx + 2 ∫

= τ gx + 4

2

η cos ec 2 x − co τ g 2 x − coτ gx + c

= τ gx + 2 η cos ec 2 x − co τ g 2 x − coτ gx + c

3.36.- ∫ sec3 4x τ g 4x dx = ∫ (sec 2 4x ) sec 4x τ g 4x dx Sea: u = sec 4x , du = 14 sec 4x τ g 4x dx ,

4sec3 4x u3 +c = +c 3 3 3.37.- ∫ τ g 4 2 x sec4 2 xdx = ∫ τ g 4 2 x(sec2 2 x) sec 2 2 xdx = ∫ τ g 4 2 x(1 + τ g 2 2 x) sec 2 2 xdx

Luego: 4 ∫ u 2 du = 4

= ∫ (τ g 2 x) 4 sec 2 2 xdx + ∫ (τ g 2 x)6 sec 2 2 xdx

Luego: Sea: u = τ g 2 x, du = 2sec 2 2 xdx , 1 1 1 1 = ∫ (τ g 2 x) 4 2sec 2 2 xdx + ∫ (τ g 2 x)6 2sec 2 2 xdx = ∫ u 4 du + ∫ u 6 du 2 2 2 2 5 7 5 7 1u 1u τ g 2x τ g 2x = + +c = + +c 2 5 2 7 10 14 3.38.- ∫ s e n 8 x s e n 3 xdx Considerando: s e n α s e n β =

1 [cos(α − β ) − cos(α + β )] 2

1 (cos 5 x − cos11x) ; Se tiene: 2 1 1 1 s e n 5 x s e n11x = ∫ (cos 5 x − cos11x)dx = ∫ cos 5 xdx − ∫ cos11xdx = − +c 2 2 2 10 22 3.39.- ∫ cos 4 x cos 5 xdx

Luego: s e n 8 x s e n 3 x =

Considerando: cos α cos β =

1 [cos(α − β ) + cos(α + β )] 2 68

1 Luego: cos 4 x cos 5 x = (cos(− x) + cos 9 x) ; 2 1 Como: cos(− x) = cos x ⇒ (cos x + cos 9 x) ; entonces: 2 1 1 1 ∫ cos 4 x cos 5 xdx = 2 ∫ ( cos x + cos 9 x)dx = 2 ∫ cos xdx + 2 ∫ cos 9 xdx s e n x s e n 9x = + +c 2 18 3.40.- ∫ s e n 2 x cos 3 xdx Considerando: s e n α cos β =

1 [s e n(α − β ) + s e n(α + β )] 2

1 [s e n(− x) + s e n 5 x] 2 1 Como: s e n(− x) = − s e n x ⇒ (− s e n x + s e n 5 x) ; entonces: 2 1 1 1 ∫ s e n 2 x cos 3xdx = 2 ∫ (− s e n x + s e n 5 x)dx = − 2 ∫ s e n xdx + 2 ∫ s e n 5 xdx 1 1 = cos x − cos 5 x + c 2 10 Luego: s e n 2 x cos 3x =

4 ⎛ ⎛ sec x ⎞ 3.41.- ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ ⎜⎜ ⎝ τ gx ⎠ ⎝

4

4 ⎞ 4 ⎛ 1 ⎞ = = dx cos ec xdx = ∫ cos ec 2 x cos ec 2 xdx ⎟ ⎜ ⎟ ∫ ∫ sen x ⎟ ⎝ sen x ⎠ cos x ⎠ = ∫ (1 + coτ g 2 x) cos ec 2 xdx = ∫ cos ec 2 xdx + ∫ coτ g 2 x cos ec 2 xdx 1 cos x

Sea: u = coτ gx, du = − cos ec 2 xdx

u3 coτ g 3 x Luego: ∫ cos ec xdx − ∫ u du = − coτ gx − + c = − co τ gx − +c 3 3 cos3 x cos3 x 1 3.42.- ∫ dx dx = ∫ coτ g 3 x cos ecxdx = 4 3 ∫ sen x sen x sen x 2 = ∫ (co τ g x) co τ gx cos ecxdx = ∫ (cos ec 2 x − 1) coτ gx cos ecxdx = 2

2

= ∫ cos ec 2 x co τ gx cos ecxdx − ∫ co τ gx cos ecxdx

Sea: u = cos ecx, du = − cos ecx coτ gxdx

u3 cos ec3 x +u+c =− + cos ecx + c 3 3 3.43.- ∫ cos ec 4 3xdx = ∫ (cos ec 2 3 x) cos ec 2 3 xdx = ∫ (1 + co τ g 2 3 x) cos ec 2 3 x) dx

Luego: − ∫ u 2 du + ∫ du = −

= ∫ cos ec 2 3xdx + ∫ co τ g 2 3 x cos ec 2 3 xdx

Sea: u = coτ g 3 x, du = −3cos ec 2 3 xdx Luego: ∫ cos ec 2 3 xdx −

1 2 1 1 3 co τ g 3x coτ g 3 3x u du co τ g 3 x u c = − − + = − − +c 3∫ 3 9 3 9

69

3.44.- ∫ (τ g 3 3x + τ g 4 3x )dx = ∫ τ g 3 3x dx + ∫ τ g 4 3x dx = ∫ (τ g 2 3x )τ g 3x dx + ∫ (τ g 2 3x )τ g 2 3x dx = ∫ (sec 2 3x − 1)τ g 3x dx + ∫ (sec 2 3x − 1)τ g 2 3x dx

= ∫ sec 2 3x τ g 3x dx − ∫ τ g 3x dx + ∫ (sec 2 3x )τ g 2 3x dx − ∫ τ g 2 3x dx

= ∫ sec 2 3x τ g 3x dx − ∫ τ g 3x dx + ∫ (sec 2 3x )τ g 2 3x dx − ∫ (sec2 3x − 1)dx

= ∫ sec 2 3x τ g 3x dx − ∫ τ g 3x dx + ∫ (sec 2 3x )τ g 2 3x dx − ∫ sec 2 3x dx + ∫ dx

1 Sea: u = τ g 3x , du = sec 2 3x dx 3 Luego: 3∫ udu − ∫ τ g 3x dx + 3∫ u 2 du − ∫ sec 2 3x dx + ∫ dx 3 3 = u 2 − 3 η sec 3x + u 3 − 3τ g 3x + x + c = τ g 2 3x − 3 η sec 3x + τ g 3 3x − 3τ g 3x + x + c 2 2 3 x 2 x x 3.45.- ∫ co τ g 3 dx = ∫ (coτ g 3 ) coτ g 3 dx = ∫ (cos ec 2 3x − 1) coτ g 3x dx

1 = ∫ cos ec 2 3x co τ g 3x dx − ∫ coτ g 3x dx ; Sea: u = cos ec 3x , du = − cos ec 3x co τ g 3x dx 3 x x x x Luego: −3∫ (cos ec 3 )(− 1 cos ec 3 co τ g 3 )dx − ∫ co τ g 3 dx = −3∫ udu − ∫ co τ g 3x dx 3 2 −3cos ec 2 3x −3u x = −3 η sen 3 + c = − 3 η s e n 3x + c 2 2 3.46.- ∫ co τ g 4 6x dx = ∫ (coτ g 2 6x ) coτ g 2 6x dx = ∫ (cos ec 2 6x − 1) co τ g 2 6x dx = ∫ cos ec 2 6x coτ g 2 6x dx − ∫ coτ g 2 6x dx = ∫ cos ec 2 6x co τ g 2 6x dx − ∫ (cos ec 2 6x − 1)dx

= ∫ cos ec 2 6x co τ g 2 6x dx − ∫ cos ec 2 6x dx + ∫ dx

1 Sea: u = co τ g 6x , du = − cos ec 2 6x dx 6 2 Luego: −6∫ u du − ∫ cos ec 2 6x dx + ∫ dx = −2u 3 + 6 coτ g 6x + x + c

= −2 coτ g 3 6x + 6 co τ g 6x + x + c dx ; Como: s e n 2 x + cos 2 x = 1 , 3.47.- ∫ 5 s e n x cos x s e n 2 x + cos 2 x dx cos xdx Luego: ∫ dx = ∫ +∫ 5 3 s e n x cos x s e n x cos x s e n5 x s e n 2 x + cos 2 x cos xdx dx cos xdx cos xdx dx + ∫ =∫ =∫ +∫ +∫ 3 5 3 s e n x cos x sen x s e n x cos x sen x s e n5 x dx =∫ + ∫ (s e n x) −3 cos xdx + ∫ (s e n x) −5 cos xdx s e n x cos x dx =∫ + (s e n x) −3 cos xdx + ∫ (s e n x) −5 cos xdx s e n 2x ∫ 2 = 2 ∫ cos ec 2 xdx + ∫ (s e n x) −3 cos xdx + ∫ (s e n x) −5 cos xdx (∗)

70

Sea: u = s e n x, du = cos xdx ,

Luego:

(∗) = 2 ∫ cos ec 2 xdx + ∫ u −3 du + ∫ u −5 du = η cos ec 2 x − coτ g 2 x −

1 1 − 4 +c 2 2u 4u

1 1 − +c 2 2s e n x 4s e n 4 x cos ec 2 x cos ec 4 x = η cos ec 2 x − coτ g 2 x − − +c 2 4 cos 2 x cos 2 x 1 3.48.- ∫ dx dx = ∫ coτ g 2 x cos ec 4 xdx = 6 2 ∫ sen x s e n x s e n4 x = ∫ co τ g 2 x(cos ec 2 x) cos ec 2 xdx = ∫ co τ g 2 x(1 + co τ g 2 x) cos ec 2 xdx = η cos ec 2 x − coτ g 2 x −

= ∫ co τ g 2 x cos ec 2 xdx + ∫ coτ g 4 x cos ec 2 xdx

Sea: u = coτ gx, du = − cos ec 2 xdx , u3 u5 coτ g 3 x coτ g 5 x − +c = − − +c 3 5 3 5 dx s e n 2 + cos 2 x dx dx 3.49.- ∫ dx = ∫ = +∫ 2 4 2 4 4 2 ∫ s e n x cos x s e n x cos x cos x s e n x cos 2 x dx dx dx = ∫ sec 4 xdx + ∫ = ∫ sec 4 xdx + ∫ = ∫ sec 4 xdx + 4∫ 2 s n 2 e x (s e n x cos x) s e n2 2x ( )2 2 4 2 2 2 = ∫ sec xdx + 4∫ cos ec 2 xdx = ∫ sec x sec xdx + 4∫ cos ec 2 2 xdx

Luego: − ∫ u 2 du − ∫ u 4 du = −

= ∫ (1 + τ g 2 x) sec2 xdx + 4∫ cos ec 2 2 xdx = ∫ sec2 xdx + ∫ τ g 2 x sec 2 xdx + 4∫ cos ec 2 2 xdx

Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx , Luego: ∫ sec 2 xdx + ∫ u 2 du + 4∫ cos ec 2 2 xdx = τ gx + = τ gx +

u3 − 2 coτ g 2 x + c 3

τ g3x

− 2 coτ g 2 x + c 3 dx 3.50.- ∫ = ∫ sec6 4 xdx = ∫ (sec 2 4 x)2 sec2 4 xdx = ∫ (1 + τ g 2 4 x)2 sec2 4 xdx 6 cos 4 x = ∫ (1 + 2τ g 2 4 x + τ g 4 4 x) sec2 4 xdx = ∫ sec 2 4 xdx + 2 ∫ (τ g 4 x) 2 sec 2 4 xdx + ∫ (τ g 4 x) 4 sec 2 4 xdx

Sea: u = τ g 4 x, du = 4sec 2 4 xdx ,

Luego:

1 2 1 4 τ g 4x 1 u3 1 u5 τ g 4x τ g 3 4x τ g 5 4x u du + u du = + + + c = + + +c 2∫ 4∫ 4 2 3 4 5 4 6 20 cos3 x cos3 x(1 + s e n x) cos 3 x(1 + s e n x) 3.51.- ∫ dx = ∫ dx dx = ∫ 1− s e n x 1− s e n2 x cos 2 x 2 ∫ sec 4 xdx +

= ∫ cos x(1 + s e n x)dx = ∫ cos xdx + ∫ cos x s e n xdx = ∫ cos xdx +

1 s e n 2 xdx 2∫

71

1 = s e n x − cos 2 x + c 4 3.52.- ∫ cos3 7x dx = ∫ (cos 2 7x ) cos 7x dx = ∫ (1 − s e n 2 7x ) cos 7x dx = ∫ cos 7x dx − ∫ s e n 2 7x cos 7x dx

Sea: u = s e n 7x , du = 1 cos 7x dx 7 7u 3 7 + c = 7 s e n 7x − s e n 3 7x + c 3 3 5 x 2 x 2 2 x 2 x 3.53.- ∫ s e n 2 dx = ∫ (s e n 2 ) s e n 2 dx = ∫ (1 − cos 2 ) s e n 2x dx

Luego: = ∫ cos 7x dx − 7 ∫ u 2 du =7 s e n 7x −

= ∫ (1 − 2 cos 2 2x + cos 4 2x ) s e n 2x dx = ∫ s e n 2x dx − 2 ∫ cos 2 2x s e n 2x dx + ∫ cos 4 2x s e n 2x dx

1 Sea: u = cos 2x , du = − s e n 2x dx , 2

Luego:

= ∫ s e n 2x dx + 4∫ u 2 du − 2∫ u 4 du = −2 cos 2x +

4u 3 2u 5 − +c 3 5

4 cos3 2x 2 cos5 2x − +c 3 5 1 − cos xdx

= −2 cos 2x +

3.54.- ∫

1 − cos 2α , y 2α = x 2 1 − cos 2 x ; además: 1 − cos x = 2s e n 2 = 2

Considerando: s e n 2 α = Se tiene: s e n 2

x 2

x 2

Luego: ∫ 2s e n 2 2x dx = 2 ∫ s e n 2x dx = −2 2 cos 2x + c 2

dx ⎛ 1 − cos 23x ⎞ 4 x 2 x 2 3.55.- ∫ e dx e dx s n (s n ) = = = 3 3 ∫ ∫ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ dx cos ec 4 3x ∫ 1 1 1 1 = ∫ (1 − 2 cos 23x + cos 2 23x )dx = ∫ dx − ∫ cos 23x dx + ∫ cos 2 23x dx 4 4 2 4 4x 1 1 1 1 + cos 3 1 1 1 = ∫ dx − ∫ cos 23x dx + ∫ dx = ∫ dx − ∫ cos 23x dx + ∫ (1 + cos 43x )dx 4 2 4 2 4 2 8 1 1 1 1 3 1 1 = ∫ dx − ∫ cos 23x dx + ∫ dx + ∫ cos 43x dx = ∫ dx − ∫ cos 23x dx + ∫ cos 43x dx 4 2 8 8 8 2 8 2x 4x 3s e n 3s e n 3 13 1 3 3 3 3 s e n 23x + s e n 43x + c = x − = x− + +c 8 22 84 8 4 32 3.56.- ∫ s e n 3 2x cos5 2x dx = ∫ s e n 2x s e n 2 2x cos5 2x dx = ∫ s e n 2x (1 − cos 2 2x ) cos5 2x dx = ∫ s e n 2x cos5 2x dx − ∫ cos 7 2x s e n 2x dx

1 Sea: u = cos 2x , du = − s e n 2x dx 2

72

Luego: −2∫ u 5 du + 2∫ u 7 du = −

cos 6 2x cos8 2x 2u 6 2u 8 u 6 u8 + +c = − + +c = − + +c 6 8 3 4 3 4 2

1 ⎛ s e n 2x ⎞ 2 3.57.- ∫ s e n 2 x cos 2 xdx = ∫ (s e n x cos x) 2 dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ s e n 2 xdx 4 ⎝ 2 ⎠ 1 1 − cos 4 x 1 1 1 x 1 dx = ∫ (1 − cos 4 x)dx = ∫ dx − ∫ cos 4 xdx = − s e n 4 x + c = ∫ 4 2 8 8 8 8 32 4 2 2 2 2 3.58.- ∫ s e n x cos xdx = ∫ (s e n x cos x) s e n xdx = ∫ (s e n x cos x) 2 s e n 2 xdx 1 ⎛ s e n 2 x ⎞ ⎛ 1 − cos 2 x ⎞ ⎛ 1 − cos 2 x ⎞ 2 = ∫⎜ ⎟ ⎜ ⎟dx = ∫ s e n 2 x ⎜ ⎟ dx 2 4 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 − cos 4 x 1 dx − ∫ s e n 2 2 x cos 2 xdx = ∫ s e n 2 2 xdx − ∫ s e n 2 2 x cos 2 xdx = ∫ 8 8 8 2 8 1 1 1 = ∫ dx − ∫ cos 4 xdx − ∫ s e n 2 2 x cos 2 xdx(∗) 16 16 8 Sea: u = s e n 2 x, du = 2 cos 2 xdx , luego: 2

1 1 1 1 1 1 u3 2 dx cos 4 xdx u du x s e n 4 x − − = − − +c 16 ∫ 16 ∫ 16 ∫ 16 64 16 3 1 s e n 4 x s e n3 2x = x− − +c 16 64 48 1 − cos 2 x 1 − cos 2 x s e n2 x 2 3.59.- ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ τ g 2 xdx = ∫ (sec 2 x − 1)dx 2 1 + cos 2 x 1 + cos 2 x cos x 2 2 = ∫ sec xdx − ∫ dx = τ gx − x + c (∗) =

cos3 x −1 −1 dx = ∫ (s e n x) 2 cos3 xdx = ∫ (s e n x) 2 cos 2 x cos xdx sen x 3 −1 −1 = ∫ (s e n x) 2 (1 − s e n 2 x) cos xdx = ∫ (s e n x) 2 cos xdx − ∫ s e n 2 x cos xdx(∗)

3.60.- ∫

Sea: u = s e n x, du = cos xdx , luego:

2 s e n5 x +c 5 3.61.- ∫ s e n 3 2 xdx = ∫ s e n 2 2 x s e n 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 2 x) s e n 2 xdx (∗) = ∫ u 2 du − ∫ u 2 du = 2u 2 − −1

3

1

= ∫ s e n 2 xdx − ∫ cos 2 2 x s e n 2 xdx(∗)

Sea: u = cos 2 x, du = −2s e n 2 xdx , luego: 1 u2 1 1 u3 1 u3 du cos 2 x c cos 2 x = − + + = − + +c 2∫ 2 2 2 3 2 6 1 (cos3 2 x) = − cos 2 x + +c 2 6

(∗) = ∫ s e n 2 x +

73

1 ⎛ 1 − cos 4 x ⎞ ⎛ 1 + cos 4 x ⎞ 2 3.62.- ∫ s e n 2 2 x cos 2 2 xdx = ∫ ⎜ ⎟⎜ ⎟ dx = ∫ (1 − cos 4 x)dx 2 2 4 ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 1 1 1 ⎛ 1 + cos8 x ⎞ 1 1 = ∫ dx − ∫ cos 2 4 xdx = ∫ dx − ∫ ⎜ ⎟dx = ∫ dx − ∫ (1 + cos8 x)dx 4 4 4 4 ⎝ 2 4 8 ⎠ 1 1 1 1 1 x s e n 8x = ∫ dx − ∫ dx − ∫ cos8 xdx = ∫ dx − ∫ cos8 xdx = − +c 4 8 8 8 8 8 64 1 ⎛ 1 + cos 2 x ⎞ 2 3.63.- ∫ cos 4 xdx = ∫ (cos 2 x) 2 dx = ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ (1 + cos 2 x) dx 2 4 ⎝ ⎠ 1 1 1 1 = ∫ (1 + 2 cos 2 x + cos 2 x)dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ cos 2 2 xdx 4 4 2 4 1 1 1 ⎛ 1 + cos 4 x ⎞ 1 1 1 = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ ⎜ ⎟ dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ (1 + cos 4 x)dx 4 2 4 ⎝ 2 4 2 8 ⎠ 1 1 1 1 3 1 1 = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ dx + ∫ cos 4 xdx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ cos 4 xdx 4 2 8 8 8 2 8 3 1 1 = x + s e n 2x + s e n 4x + c 8 4 32 4 2 3.64.- ∫ τ g x sec xdx 2

Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx

τ g5x u5 +c = +c 5 5 3.65.- ∫ τ g 3 x sec xdx = ∫ τ g 2 xτ gx sec xdx = ∫ (sec 2 x − 1)τ gx sec xdx

Luego: ∫ u 4 du =

= ∫ (sec 2 x)τ gx sec xdx − ∫ τ gx sec xdx

Sea: u = sec x, du = sec xτ gxdx

u3 sec3 x −u +c = − sec x + c 3 3 3.66.- ∫ sec6 aθ dθ = ∫ sec 4 aθ sec 2 aθ dθ = ∫ (sec 2 aθ ) 2 sec 2 aθ dθ

Luego: ∫ u 2 du − ∫ du =

= ∫ (1 + τ g 2 aθ ) 2 sec 2 aθ dθ = ∫ (1 + 2τ g 2 aθ + τ g 4 aθ ) sec 2 aθ dθ = ∫ sec 2 aθ dθ + 2∫ τ g 2 aθ sec 2 aθ dθ + ∫ τ g 4 aθ sec 2 aθ dθ

Sea: u = τ gaθ , du = a sec 2 aθ dθ ,

Luego:

1 2 2 1 4 1⎡ 2u 3 u 5 ⎤ 1⎡ 2τ g 3 aθ τ g 5 aθ ⎤ + + = + + + = + + +c du u du u du u c τ ga θ a∫ a∫ a∫ a ⎢⎣ 3 5 ⎥⎦ a ⎢⎣ 3 5 ⎥⎦ sec x(τ gx + sec x)dx sec xτ gx + sec 2 x 3.67.- ∫ sec xdx = ∫ =∫ dx τ gx + sec x τ gx + sec x Sea: u = sec x + τ gx, du = (sec xτ gx + sec 2 x)dx du = η u + c = η sec x + τ gx + c Luego: ∫ u

74

3.68.- ∫ co τ g 2 2 x cos ec 2 2 xdx

Sea: u = co τ g 2 x, du = −2 cos ec 2 2 xdx 1 2 u3 coτ g 3 2 x +c Luego: − ∫ u du = − + c = − 2 6 6 s e n3 x s e n 2 x s e n xdx (1 − cos 2 x) s e n xdx s e n xdx 3.69.- ∫ =∫ =∫ − s e n xdx dx = ∫ 2 2 2 cos x cos x cos x cos 2 x ∫ Sea: u = cos x, du = − s e n xdx , 1 1 Luego: − ∫ u −2 du − ∫ s e n xdx = + cos x + c = + cos x + c = sec x + cos x + c u cos x 3.70.- ∫ sec 4 3 xτ g 3xdx = ∫ sec3 3x(sec 3xτ g 3x)dx

Sea: u = sec 3x, du = 3sec3 xτ g 3xdx

1 3 1 u4 u4 sec 4 3 x u du c c = + = + = +c 3∫ 3 4 12 12 3.71.- ∫ sec n xτ gxdx = ∫ secn −1 x(sec xτ gx)dx

Luego:

Sea: u = sec x, du = sec xτ gxdx ,

Luego:

un secn x +c = + c, (n ≠ 0) n n cos3 x cos 2 x cos x (1 − s e n 2 x) cos x cos xdx 3.72.- ∫ dx dx dx = ∫ = = − cos xdx 2 2 2 ∫ ∫ sen x sen x sen x s e n2 x ∫ 1 − −sen x + c sen x dx s e n 2 x + cos 2 x dx cos 2 x 3.73.- ∫ dx = = + ∫ s e n 2 x ∫ s e n 4 x dx s e n4 x ∫ s e n4 x cos 2 x dx = ∫ cos ec 2 xdx + ∫ = ∫ cos ec 2 xdx + ∫ co τ g 2 x cos ec 2 xdx 2 2 sen x sen x 1 = − coτ gx − coτ g 3 x + c 3 n 3.74.- ∫ τ g x sec 2 xdx;(n ≠ −1) n −1 ∫ u du =

Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx u n +1 τ g n +1 x Luego: ∫ u du = +c = + c, (n ≠ −1) n +1 n +1 n

⎛ 1 − 2 cos 2 x ⎞ 3.75.- ∫ s e n 6 xdx = ∫ (s e n 2 x)3 dx = ∫ ⎜ ⎟ dx 2 ⎝ ⎠ 1 = ∫ (1 − 3cos 2 x + 3cos 2 2 x − cos3 2 x)dx 8 1 = ⎡ ∫ dx − 3∫ cos 2 xdx + 3∫ cos 2 2 xdx − ∫ cos3 2 xdx ⎤ ⎦ 8⎣ 3

75

5 x s e n 2 x 3s e n 4 x s e n 3 2 x − + + +c 16 4 64 48 1 3.76.- ∫ s e n 4 axdx = ∫ (s e n 2 ax) 2 dx = ∫ (1 − cos 2ax) 2 dx 4 1 1 1 = ∫ (1 − 2 cos 2ax + cos 2 2ax)dx = ∫ dx − ∫ cos 2axdx + ∫ cos 2 2axdx 4 2 4 1 1 1 1 1 3 1 1 = x − s e n 2ax + ( x + s e n 4ax) + c = x − s e n 2ax + s e n 4ax + c 4 4a 4 2 8a 8 4a 32a s e n n +1 x 3.77.- ∫ s e n n x cos xdx = + c, (n ≠ −1) n +1 3.78.- ∫ co τ g n axdx = ∫ co τ g n − 2 ax coτ g 2 axdx = ∫ coτ g n − 2 ax(cos ec 2 ax − 1)dx =

1 coτ g n −1ax − ∫ coτ g n − 2 axdx a n −1 4 3.79.- ∫ co τ g 3xdx , Haciendo uso del ejercicio anterior: = ∫ co τ g n − 2 ax cos ec 2 axdx − ∫ coτ g n − 2 axdx = −

co τ g 3 3x coτ g 3 3x − ∫ coτ g 2 3xdx = − − ∫ (cos ec 2 3 x − 1)dx 3× 3 9 co τ g 3 3x co τ g 3 3x =− − ∫ cos ec 2 3 xdx + ∫ dx = − − ∫ cos ec 2 3 xdx + ∫ dx 9 9 coτ g 3 3x coτ g 3x =− + + x+c 9 3 cos n +1 x 3.80.- ∫ cos x n s e n xdx = − + c;(n ≠ −1) n +1 3.81.- ∫ τ g n xdx = ∫ τ g n − 2 xτ g 2 xdx = ∫ τ g n − 2 x(sec 2 x − 1)dx =−

= ∫τ g

n−2

x sec xdx − ∫ τ g 2

3.82.- ∫ τ g xdx = 4

τg x 3

n−2

τ g xdx 3

3

xdx =

τ g n −1 x n −1

− ∫ τ g xdx =

− ∫ sec 2 xdx − ∫ dx =

2

− ∫ τ g n − 2 xdx

τ g3x 3

− ∫ (sec 2 x − 1)dx

τg x 3

− τ gx + x + c 3 3 3.83.- ∫ cos 2 n +1 xdx = ∫ cos 2 n x cos xdx = ∫ (cos 2 x) n cos xdx = ∫ (1 − s e n 2 x) n cos xdx =

Sea: u = s e n x, du = cos xdx .El resultado se obtiene, evaluando (1 − u 2 ) n por la fórmula del binomio de Newton y calculando cada sumando, cuyas integrales son del tipo: ∫ u n du . Las fórmulas provenientes de los ejercicios 3.78 y 3.81, se denominan fórmulas de reducción y su utilidad es obvia. Más adelante, en otros capítulos, usted deducirá nuevas fórmulas de reducción.

76

CAPITULO 4 INTEGRACION POR PARTES Existe una variedad de integrales que se pueden desarrollar, usando la relación: ∫ udv = uv − ∫ vdu . El problema es elegir u y dv , por lo cual es útil la siguiente identificación: I: Función trigonométrica inversa. L: Función logarítmica. A: Función algebraica. T: Función trigonométrica. E: Función exponencial. Se usa de la manera siguiente:

EJERCICIOS DESARROLLADOS 4.1.-Encontrar: ∫ x cos xdx Solución.- I L A T E ↓ ↓ x cos x u=x dv = cos xdx ∴ du = dx v = sen x ∴ ∫ x cos xdx = x s e n x − ∫ s e n xdx =x s e n x + cos x + c

Respuesta: ∫ x cos xdx = x s e n x + cos x + c

4.2.-Encontrar: ∫ x sec 2 xdx

Solución.- I L A T E ↓ ↓ x sec 2 3 x u=x dv = sec 2 3 xdx ∴ du = dx v = 13 τ g 3 x

1 1 xτ g 3x 1 ∴ ∫ x sec 2 xdx = xτ g 3 x − ∫ τ g 3xdx = − η sec 3x + c 3 3 3 9 x τ g 3 x 1 Respuesta: ∫ x sec 2 xdx = − η sec 3x + c 3 9 2 4.3.-Encontrar: ∫ x s e n xdx Solución.- I L A T E ↓ ↓ x2 s e n x

77

u = x2

∴

dv = s e n xdx

v = − cos x du = 2 xdx 2 ∴ ∫ x s e n xdx = − x cos x + 2∫ x cos xdx , integrando por partes la segunda integral: u=x dv = cos xdx ∫ x cos xdx ; du = dx v = sen x 2 2 ∴ ∫ x s e n xdx = − x cos x + 2 ⎡⎣ x s e n x − ∫ s e n xdx ⎤⎦ = − x 2 cos x + 2 x s e n x + 2 cos x + c 2

Respuesta: ∫ x 2 s e n xdx = − x 2 cos x + 2 x s e n x + 2 cos x + c 4.4.-Encontrar: ∫ ( x 2 + 5 x + 6) cos 2 xdx Solución.- I L A T E ↓ 2 x + 5 x + 6 cos 2x ∴

u = x2 + 5x + 6

dv = cos 2 xdx

1 v = s e n 2x 2 2 ( x + 5 x + 6) 1 s e n 2 x − ∫ (2 x + 5) s e n 2 xdx ∴ ∫ ( x 2 + 5 x + 6) cos 2 xdx = 2 2 Integrando por partes la segunda integral: I L A T E du = (2 x + 5)dx

2x + 5 s e n 2x

∴

u = 2x + 5 du = 2dx

dv = s e n 2 xdx

1 v = − cos 2 x 2 1 1 2 ∴ ∫ ( x + 5 x + 6) cos 2 xdx = s e n 2 x( x 2 + 5 x + 6) − ⎡⎣(2 x + 5)(− 1 2 cos 2 x) + ∫ cos 2 xdx ⎤⎦ 2 2 2 x + 5x + 6 1 1 s e n 2 x + cos 2 x(2 x + 5) − ∫ cos 2 xdx = 2 4 2 2 x + 5x + 6 2x + 5 1 s e n 2x + cos 2 x − s e n 2 x + c = 2 4 4 x2 + 5x + 6 2x + 5 1 Respuesta: ∫ ( x 2 + 5 x + 6) cos 2 xdx = s e n 2x + cos 2 x − s e n 2 x + c 2 4 4 Nota.-Ya se habrá dado cuenta el lector, que la elección conveniente para el u y el dv , dependerá de la ubicación de los términos funcionales en la palabra ILATE. El de la izquierda corresponde al u , y el otro será el dv . 4.5.-Encontrar: ∫ η xdx

Solución.- I L A T E ↓ ↓ ηx 1

78

u = ηx

∴

∴∫

dv = 1dx dx du = v=x x η xdx = x η x − ∫ dx = x η x − x + c = x( η x − 1) + c

Respuesta: ∫ η xdx = x( η x − 1) + c 4.6.-Encontrar: ∫ η (a 2 + x 2 )dx

Solución.- I L A T E ↓ 2 η (a + x 2 ) 1 u = ηx dv = 1dx ∴ dx du = v=x x ∴ ∫ η (a 2 + x 2 )dx = x η (a 2 + x 2 ) − ∫

2 x 2 dx 2a 2 2 2 x ( a x ) (2 = η + − − ∫ x2 + a 2 )dx a2 + x2

dx 2 a2 2 2 = η + − + arcτ g ax + c x ( a x ) 2 x 2 2 x +a a 2 2 x = x η (a + x ) − 2 x + 2a arcτ g a + c = x η (a 2 + x 2 ) − 2 ∫ dx + 2a 2 ∫

Respuesta: ∫ η (a 2 + x 2 )dx = x η (a 2 + x 2 ) − 2 x + 2a arcτ g ax + c 4.7.-Encontrar: ∫ η x + x 2 − 1 dx Solución.- I L A T E ↓

η x + x2 − 1

1

dv = 1dx v=x

u = η x + x2 − 1 ∴

1+

x

x2 −1 + x

x 2 − 1 d ⇒ du = x 2 − 1 dx ⇒ du = dx x + x2 − 1 x2 −1 x + x2 −1 xdx ∴ ∫ η x + x 2 − 1 dx = x η x + x 2 − 1 − ∫ x2 −1 Sea : w = x 2 + 1, dw = 2 xdx . 1 1 −1 −1 Luego: x η x + x 2 − 1 − ∫ ( x 2 − 1) 2 2 xdx = x η x + x 2 − 1 − ∫ w 2 dw 2 2 1 2 1w 1 = x η x + x2 −1 − + c = x η x + x2 − 1 − w 2 + c = x η x + x2 − 1 − x2 − 1 + c 1 2 2 du =

Respuesta: ∫ η x + x 2 − 1 dx = x η x + x 2 − 1 − x 2 − 1 + c

79

4.8.-Encontrar: ∫ η 2 xdx Solución.- I L A T E ↓ ↓ η2x 1 u = η2x ∴ 1 du = 2 η x dx x

dv = 1dx v=x

1 ∴ ∫ η 2 xdx = x η 2 x − 2∫ η x xdx = x η 2 x − 2∫ η xdx x Por ejercicio 4.5, se tiene: ∫ η xdx = x( η x − 1) + c

Luego: ∫ η 2 xdx = x η 2 x − 2 [ x( η x − 1) + c ] = x η 2 x − 2 x( η x − 1) + c

Respuesta: ∫ η 2 xdx = x η 2 x − 2 x( η x − 1) + c 4.9.-Encontrar: ∫ arcτ gxdx

Solución.- I L A T E ↓ ↓ arcτ gx 1 u = arcτ gx dv = 1dx ∴ dx du = v=x 1 + x2 xdx ∴ ∫ arc τ gxdx = x arcτ gx − ∫ 1 + x2 2 Sea: w = 1 + x , dw = 2 xdx 1 2 xdx 1 dw 1 Luego: x arcτ gx − ∫ = x arcτ gx − ∫ = x arcτ gx − η w + c 2 2 1+ x 2 w 2 1 = x arcτ gx − η 1 + x 2 + c 2 1 Respuesta: ∫ arcτ gxdx = x arcτ gx − η 1 + x 2 + c 2 2 4.10.- ∫ x arcτ gxdx Solución.- I L A T E ↓ ↓ arcτ gx x 2 u = arcτ gx dv = x 2 dx ∴ dx x3 du = v= 2 1+ x 3 3 1 x 2 dx x3 1 x x ∴ ∫ x 2 arcτ gxdx = arcτ gx − ∫ = arcτ gx − ∫ ( x − 2 )dx 2 x +1 3 3 1+ x 3 3

80

1 1 x3 x dx arcτ gx − ∫ xdx − ∫ 2 3 3 3 x +1 xdx 1 Por ejercicio 4.9, se tiene: ∫ 2 = η x2 + 1 + c x +1 2 3 1 1 x x3 x2 1 Luego: arcτ gx − ∫ xdx + η x 2 + 1 + c = arcτ gx − + η x 2 + 1 + c 3 3 6 3 6 6 3 2 x x 1 Respuesta: ∫ x 2 arcτ gxdx = arcτ gx − + η x 2 + 1 + c 3 6 6 4.11.-Encontrar: ∫ arc cos 2xdx =

Solución.- I L A T E ↓ ↓ arc cos 2x 1 u = arc cos 2 x ∴

2dx

du = −

1 − 4x2

dv = 1dx v=x

∴ ∫ arc cos 2 xdx = x arc cos 2 x + 2 ∫

xdx 1 − 4 x2

Sea: w = 1 − 4 x 2 , dw = −8 xdx 2 −8 xdx 1 1w2 −1 Luego: x arc cos 2 x − ∫ = x arc cos 2 x − ∫ w 2 dw =x arc cos 2 x − +c 8 1 − 4 x2 4 4 1 2 1

= x arc cos 2 x −

1 1 − 4x2 + c 2

Respuesta: ∫ arc cos 2xdx = x arc cos 2 x −

1 1 − 4x2 + c 2

arcs e n x dx x Solución.- I L A T E ↓ arc s e n x 1

4.12.-Encontrar: ∫

u = arc s e n x

∴

du =

1 dx 1− x x

−1

dv = x 2 dx v=2 x

∴ ∫ arc s e n xx 2 dx = 2 x arc s e n x − ∫ −1

dx 1− x

Sea: w = 1 − x, dw = − dx −dx −1 = 2 x arc s e n x + ∫ w 2 dw 1− x 1 2 = 2 x arc s e n x + 2 w + c = 2 x arc s e n x + 2 1 − x + c

Luego: 2 x arc s e n x + ∫

81

arcs e n x dx = 2 x arc s e n x + 2 1 − x + c x 4.13.-Encontrar: ∫ x arcs e n 2 x 2 dx

Respuesta: ∫

Solución.- I L A T E ↓ arc s e n 2 x 2 x u = arc s e n 2 x 2 dv = xdx ∴ 4 xdx x2 du = v = 2 1 − 4x4 2 x x3 dx ∴ ∫ x arc s e n 2 x 2 dx = arc s e n 2 x 2 − 2∫ 2 1 − 4x4 Sea: w = 1 − 4 x 4 , dw = −16 x3 dx Luego:

x2 2 (−16 x3 dx) x 2 1 −1 arc s e n 2 x 2 + ∫ = arc s e n 2 x 2 + ∫ w 2 dw 2 16 2 8 1 − 4x4 1

x2 1w2 x2 1 1 = arc s e n 2 x 2 + + c = arc s e n 2 x 2 + w 2 + c 2 8 1 2 4 2 1 x2 1 − 4 x4 + c = arc s e n 2 x 2 + 2 4 1 x2 Respuesta: ∫ x arcs e n 2 x 2 dx = arc s e n 2 x 2 + 1 − 4 x4 + c 2 4 x a 4.14.-Encontrar: ∫ xe dx

Sea: w =

x dx , dw = a a

x x x dx Luego: ∫ xe a dx = a 2 ∫ e a = a 2 ∫ we w dw , integrando por partes se tiene: a a Solución.- I L A T E ↓ ↓ w ew u=w dv = e w dw ∴ du = dw v = ew

(

)

∴ a 2 ∫ we w dw = a 2 we w − ∫ e w dw = a 2 ( we w − e w + c ) = a 2 ( we w − e w ) + c

x ⎞ x x ⎛x x = a 2 ⎜ e a − e a ⎟ + c = a 2 e a ( − 1) + c a ⎝a ⎠ x x x Respuesta: ∫ xe a dx = a 2 e a ( − 1) + c a 2 −3 x 4.15.-Encontrar: ∫ x e dx

Solución.- I L A T E

82

↓ x2

↓ e −3 x dv = e−3 x dx 2 u=x ∴ 1 v = − e −3 x du = 2 xdx 3 1 2 ∴ ∫ x 2 e −3 x dx = − x 2 e−3 x + ∫ xe−3 x dx , integrando por partes la segunda integral: 3 3 I L A T E ↓ ↓ x e −3 x dv = e−3 x dx u=x ∴ 1 du = dx v = − e −3 x 3 1 2 −3 x 2 ⎛ 1 −3 x 1 −3 x ⎞ x 2 e −3 x 2 −3 x 2 −3 x 2 −3 x − xe + ∫ e dx ∴ ∫ x e dx = − x e + ⎜ − xe + ∫ e dx ⎟ = − 3 3⎝ 3 3 3 9 9 ⎠ 2 −3 x xe 2 2 =− − xe −3 x − e −3 x + c 3 9 27 − e −3 x ⎛ 2 2 2⎞ Respuesta: ∫ x 2 e −3 x dx = ⎜x + x+ ⎟+c 3 ⎝ 3 9⎠ 4.16.-Encontrar: ∫ x 3e− x dx 2

Solución.- ∫ x 3e − x dx = ∫ x 2 e− x xdx 2

2

Sea: w = − x 2 , dw = −2 xdx , además: x 2 = − w 2 2 1 1 1 Luego: ∫ x 2 e − x xdx = − ∫ x 2 e − x x(−2 xdx) = − ∫ − we w dw = ∫ we w dw , integrando por 2 2 2 Partes se tiene: I L A T E ↓ ↓ w ew u=w dv = e w dw ∴ du = dw v = ew 1 1 1 1 1 1 ∴ ∫ we w dw = we w − ∫ e w dw = we w − ∫ e w dw = we w − e w + c 2 2 2 2 2 2 1 2 − x2 1 − x2 1 − x2 2 = − x e − e + c = − e ( x + 1) + c 2 2 2 2 1 2 Respuesta: ∫ x 3e − x dx = − e − x ( x 2 + 1) + c 2 2 4.17.-Encontrar: ∫ ( x − 2 x + 5)e − x dx

(

)

Solución.- I L A T E ↓ ↓ 83

∴

x 2 − 2 x + 5 e− x u = x2 − 2x + 5 du = (2 x − 2)dx

dv = e − x dx

v = −e − x ∴ ∫ ( x 2 − 2 x + 5)e− x dx = −e − x ( x 2 − 2 x + 5) + ∫ (2 x − 2)e − x dx , integrando por partes la

segunda integral: I L A T E ↓ ↓ 2 x − 2 e− x u = 2x − 2 ∴ du = 2dx

dv = e− x dx v = −e − x

∴ ∫ ( x 2 − 2 x + 5)e − x dx = −e− x ( x 2 − 2 x + 5) + ⎡⎣ −e − x (2 x − 2) + 2∫ e − x dx ⎤⎦ = −e− x ( x 2 − 2 x + 5) − e− x (2 x − 2) + 2 ∫ e − x dx = −e − x ( x 2 − 2 x + 5) − e − x (2 x − 2) − 2e− x + c

= −e− x ( x 2 −2 x + 5 +2x −2 + 2 ) + c = −e − x ( x 2 + 5) + c Respuesta: ∫ ( x 2 − 2 x + 5)e − x dx = −e − x ( x 2 + 5) + c

4.18.-Encontrar: ∫ e ax cos bxdx Solución.- I L A T E ↓ cos bx e ax

∴

u = cos bx du = −b s e n bxdx

dv = e ax dx v=

1 ax e a

e ax cos bx b ax + ∫ e s e n bxdx , Nótese que la segunda integral es a a semejante a la primera, salvo en la parte trigonométrica; integrando por partes la segunda integral: I L A T E ↓ s e n bx e ax dv = e ax dx u = s e n bx ∴ 1 du = b cos bxdx v = e ax a ax ax ⎞ e cos bx b ⎛ e s e n bx b ax ∴= + ⎜ − ∫ e cos bxdx ⎟ a a⎝ a a ⎠

∴ ∫ e ax cos bxdx =

e ax cos bx beax s e n bx b 2 ax + − 2 ∫ e cos bxdx , Nótese que: a a2 a ax e cos bx beax s e n bx b 2 ax ax = + − 2 ∫ e cos bxdx , la integral a encontrar e cos bxdx ∫ a a2 a aparece con coeficiente 1 en el primer miembro, y en el segundo con coeficiente: =

84

b2 . Transponiendo éste término al primer miembro y dividiendo por el nuevo a2 b2 a 2 + b2 coeficiente: 1 + 2 = , se tiene: a a2 ⎛ a 2 + b 2 ⎞ ax ae ax cos bx + beax s e n bx e cos bxdx = +c ⎜ ⎟∫ 2 a2 ⎝ a ⎠ −

ae ax cos bx + be ax s e n bx ax ∫ e cos bxdx =

a2

+c =

eax (a cos bx + b s e n bx) +c a 2 + b2

⎛ a 2 + b2 ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ a ⎠ ax e (a cos bx + b s e n bx) +c Respuesta: ∫ e ax cos bxdx = a 2 + b2 4.19.-Encontrar: ∫ e x cos 2 xdx

Solución.- Este ejercicio es un caso particular del ejercicio anterior, donde: a = 1 y b = 2 . Invitamos al lector, resolverlo por partes, aún cuando la respuesta es inmediata. e x (cos 2 x + 2s e n 2 x) +c Respuesta: ∫ e x cos 2 xdx = 5 4.20.-Encontrar: ∫ e ax s e n bxdx Solución.- I L A T E ↓ s e n bx e ax

dv = e ax dx ∴ 1 v = e ax a ax e s e n bx b ax − ∫ e cos bxdx , integrando por partes la segunda ∴ ∫ e ax s e n bxdx = a a integral: I L A T E ↓ ax cos bx e dv = e ax dx u = cos bx ∴ 1 du = −b s e n bxdx v = e ax a ax ⎞ e s e n bx b ⎛ e ax cos bx b ax ∴ ∫ e ax s e n bxdx = − ⎜ + ∫ e s e n bxdx ⎟ a a⎝ a a ⎠ u = s e n bx du = b cos bxdx

=

e ax s e n bx be ax cos bx b 2 ax − − 2 ∫ e s e n bxdx , a a2 a

85

Como habrá notado el lector, la integral a encontrar aparece con coeficiente 1 en b2 el primer miembro, y en el segundo con coeficiente: − 2 . Transponiendo éste a b2 a 2 + b2 término al primer miembro y dividiendo por el nuevo coeficiente: 1 + 2 = , se a a2 tiene: ⎛ a 2 + b 2 ⎞ ax ae ax s e n bx − be ax cos bx e s e n bxdx = +c ⎜ ⎟∫ 2 a2 ⎝ a ⎠ ae ax s e n bx − be ax cos bx ax ∫ e s e n bxdx =

a2

+ c = ∫ e ax s e n bxdx =

⎛ a 2 + b2 ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ a ⎠ ax e (a s e n bx − b cos bx) Respuesta: ∫ e ax s e n bxdx = +c a2 + b2 4.21.-Encontrar: ∫ x 1 + xdx

e ax (a s e n bx − b cos bx) +c a 2 + b2

Solución.- Cuando el integrando, está formado por el producto de funciones algebraicas, es necesario tomar como dv , la parte más fácil integrable y u como la parte más fácil derivable. Sin embargo, la opción de “más fácil” quedará a criterio del lector. 1 dv = (1 + x) 2 dx u=x ∴ 3 2 du = dx v = (1 + x) 2 3 5 3 3 3 2 2 2 2 (1 + x) 2 2 2 2 ∴ ∫ x 1 + xdx = x(1 + x) − ∫ (1 + x) dx = x(1 + x) − +c 3 3 3 3 5 2 5 2 2 4(1 + x) 3 = x(1 + x) 2 − +c 3 15 5 2 4(1 + x) 2 3 2 Respuesta: ∫ x 1 + xdx = x(1 + x) − +c 3 15 x 2 dx 4.22.-Encontrar: ∫ 1+ x 2 x dx −1 = ∫ x 2 (1 + x) 2 dx Solución.- ∫ 1+ x

∴ ∴∫

−1

u = x2

dv = (1 + x) 2 dx

du = 2 xdx

v = 2(1 + x)

1

2

x 2 dx = 2 x 2 1 + x − 4 ∫ x 1 + xdx , integrando por partes la segunda integral: 1+ x

86

u=x du = dx

∴

∫

x 2 dx = 2 x2 1+ x

dv = (1 + x) 2 dx 1

3 2 v = (1 + x) 2 3 3 3 2 2 ⎡2 ⎤ 1 + x − 4 ⎢ x(1 + x) 2 − ∫ (1 + x) dx ⎥ 3 ⎣3 ⎦

3 3 5 8 8 (1 + x) 2 8 16 = 2 x 1 + x − x(1 + x) 2 + + c = 2 x 2 1 + x − x(1 + x) 2 + (1 + x) 2 + c 3 3 5 3 15 2 x 2 dx 8 3 16 5 Respuesta: ∫ = 2 x 2 1 + x − x(1 + x) 2 + (1 + x) 2 + c 3 15 1+ x xdx 4.23.-Encontrar: ∫ x e xdx Solución.- ∫ x = ∫ xe− x dx e I L A T E ↓ ↓ x e− x u=x dv = e− x dx ∴ du = dx v = −e − x 5

2

∴ ∫ xe− x dx = − xe − x + ∫ e − x dx = − xe− x − e − x + c = e − x (− x − 1) + c = −e− x ( x + 1) + c xdx = −e− x ( x + 1) + c x e 4.24.-Encontrar: ∫ x 2 η 1 − x dx

Respuesta: ∫

u = η 1− x

Solución.- ∴

du =

1 − dx −1 (1 − x) 2 (−1)dx ⇒ du = 2(1 − x) 1− x 2 1

dv = x 2 dx v=

x3 3

x3 1 x3 x3 1 ⎛ 1 ⎞ η 1− x + ∫ dx = η 1 − x − ∫ ⎜ x2 + x + 1 − ⎟dx 3 6 1− x 3 6 ⎝ 1− x ⎠ x3 1 x3 1 x 2 1 1 = η 1− x − − − x − η 1− x + c 3 6 3 6 2 6 6 3 3 2 x 1 x x x = η 1− x − η 1− x − − − + c 3 6 18 12 6 x3 1 x3 x 2 x Respuesta: ∫ x 2 η 1 − x dx = η 1− x − η 1− x − − − + c 3 6 18 12 6 2 4.25.-Encontrar: ∫ x s e n xdx

∴ ∫ x 2 η 1 − x dx =

Solución.-

87

dv = s e n 2 xdx 1 − cos 2 x ⎞ ⎛ v=∫ dx ⎟ ∴ 1 1 ⎜ du = dx 2 v = x − s e n 2x ⎝ ⎠ 2 4 1 1 1 1 ∴ ∫ x s e n 2 xdx = x 2 − x s e n 2 x − ∫ xdx + ∫ s e n 2 xdx 2 4 2 4 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 = x − x s e n 2 x − x − cos 2 x + c = x − x s e n 2 x − cos 2 x + c 2 4 4 8 4 4 8 2 x x s e n 2 x cos 2 x Respuesta: ∫ x s e n 2 xdx = − − +c 4 4 8 Otra solución.1 − cos 2 x 1 1 1 x2 1 2 x e xdx = x dx = xdx − x xdx = − x cos 2 xdx s n cos 2 ∫ ∫ 2 2∫ 2∫ 2 2 2∫ x2 1 = − ∫ x cos 2 xdx ; integrando por partes, la segunda integral: 4 2 dv = cos 2 xdx u=x ∴ 1 du = dx v = s e n 2x 2 2 2 x 1⎛ x 1 x 1 ⎞ x 2 x e xdx = − e x − e xdx = − s e n 2 x + ∫ s e n 2 xdx s n s n 2 s n 2 ⎜ ⎟ ∫ ∫ 4 2⎝ 2 2 4 ⎠ 4 4 u=x

x2 x 1 1 x2 x cos 2 x = − s e n 2 x + (− cos 2 x) + c = − s e n 2 x − +c 4 4 4 2 4 4 8 x 2 x s e n 2 x cos 2 x 2 Respuesta: ∫ x s e n xdx = − − +c 4 4 8 4.26.-Encontrar: ∫ x(3 x + 1)7 dx

Solución.dv = (3x + 1)7 dx ∴ v = ∫ (3x + 1)7 dx 1 8 du = dx v = (3x + 1) 24 x 1 x 1 1 (3x + 1)9 7 8 8 8 ∴ ∫ x(3 x + 1) dx = (3x + 1) − ∫ (3x + 1) dx = (3 x + 1) − +c 24 24 24 24 3 9 x (3x + 1)9 8 = +c (3 x + 1) − 24 648 x (3x + 1)9 7 8 Respuesta: ∫ x(3x + 1) dx = (3x + 1) − +c 24 648 u=x

(

)

EJERCICIOS PROPUESTOS Usando esencialmente el mecanismo presentado, encontrar las integrales siguientes:

88

4.27.- ∫ x(2 x + 5)10 dx

4.28.- ∫ arcs e n xdx

4.29.- ∫ x s e n xdx

4.33.- ∫ x3e − 3 dx

4.34.- ∫ x s e n x cos xdx

4.35.- ∫ x 2 η xdx

4.36.- ∫

4.37.- ∫

4.30.- ∫ x cos 3 xdx x

ηx

x

3

dx

4.39.- ∫ x arcs e n xdx 4.42.- ∫ 3x cos xdx 4.45.- ∫ x η

1− x dx 1+ x

4.48.- ∫ x(arcτ gx) 2 dx arcs e n x 4.51.- ∫ dx 1− x 4.54.- ∫ x3 η 2 xdx

4.57.- ∫ x arcτ g (2 x + 3)dx

4.60.- ∫

η ( η x)

x 4.63.- ∫ cos xdx

dx

n

4.66.- ∫ x3 ( η x) 2 dx

4.31.- ∫ x 2− x dx

ηx

dx

x xdx 4.40.- ∫ s e n2 x 4.43.- ∫ s e n( η x)dx

4.46.- ∫

η2x

dx

x2 4.49.- ∫ (arcs e n x) 2 dx

s e n2 x 4.52.- ∫ dx ex

4.55.- ∫ x η (9 + x 2 )dx

4.32.- ∫ x 2 e3 x dx

4.38.- ∫ x arcτ gxdx 4.41.- ∫ e x s e n xdx 4.44.- ∫ ( x 2 − 2 x + 3) η xdx

4.47.- ∫ x 2 arcτ g 3 xdx

arcs e n x dx x2 4.53.- ∫ τ g 2 x sec3 xdx 4.50.- ∫

4.56.- ∫ arcs e n xdx

4.58.- ∫ e x dx

4.59.- ∫ cos 2 ( η x)dx

4.61.- ∫ η x + 1 dx

4.62.- ∫ x 2 e x dx

4.64.- ∫ s e n n xdx

4.65.- ∫ x m ( η x) n dx

4.67.- ∫ x n e x dx

4.68.- ∫ x3e x dx

4.69.- ∫ sec n xdx

4.70.- ∫ sec3 xdx

4.71.- ∫ x η xdx

4.75.- ∫ x 2 cos axdx

4.76.- ∫ x sec 2 axdx

4.77.- ∫ cos( η x)dx

4.72.- ∫ x n η ax dx, n ≠ −1

4.78.- ∫ η (9 + x 2 )dx 4.81.- ∫ arc sec xdx

4.84.- ∫ η ( x 2 + 1)dx 4.87.- ∫ x arcτ g x 2 − 1dx

4.73.- ∫ arcs e n axdx

4.79.- ∫ x cos(2 x + 1)dx 4.82.- ∫ a 2 − x 2 dx

4.85.- ∫ arcτ g xdx

4.88.- ∫

x arcτ gx dx ( x 2 + 1) 2

4.74.- ∫ x s e n axdx

4.80.- ∫ x arc sec xdx

4.83.- ∫ η 1 − x dx 4.86.- ∫

x arcs e n x 1 − x2

4.89.- ∫ arcs e n x

dx xdx (1 − x 2 )3

4.90.- ∫ x 2 1 − xdx

RESPUESTAS 4.27.- ∫ x(2 x + 5)10 dx Solución.-

89

∴

dv = (2 x + 5)10 dx

u=x du = dx

(2 x + 5)11 22 x 1 x 1 10 11 11 11 12 ∫ x(2 x + 5) dx = 22 (2 x + 5) − 22 ∫ (2 x + 5) dx = 22 (2 x + 5) − 44 (2 x + 5) + c x 1 = (2 x + 5)11 − (2 x + 5)12 + c 22 528 4.28.- ∫ arcs e n xdx v=

Solución.u = arcs e n x

∴

du =

dx 1 − x2

∫ arcs e n xdx = x arcs e n x − ∫

dv = dx v=x xdx 1− x

2

Además: w = 1 − x 2 , dw = −2 xdx = x arcs e n x +

1 dw = x arcs e n x + 1 − x 2 + c 1 2∫w 2

4.29.- ∫ x s e n xdx Solución.u=x ∴ du = dx

dv = s e n xdx

v = − cos x ∫ x s e n xdx = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + s e n x + c

4.30.- ∫ x cos 3 xdx Solución.-

∴

u=x du = dx

dv = cos 3xdx

1 v = s e n 3x 3 x 1 x cos 3 x ∫ x cos 3xdx = 3 s e n 3x − ∫ 3 s e n 3xdx = 3 s e n 3x + 9 + c 4.31.- ∫ x 2− x dx

Solución.∴

dv = 2− x dx

u=x du = dx

−x ∫ x2 dx = −

v=−

2− x η2

x 2− x 1 x 2− x 1 ⎛ −2− x ⎞ x 1 −x dx 2 + = − + − −x 2 + c ⎜ ⎟+c = − x ∫ η2 η2 η2 η2 ⎝ η2 ⎠ 2 η2 2 η 2

4.32.- ∫ x 2 e3 x dx Solución.-

90

∴

u=x

dv = e3 x dx

2

1 v = e3 x 3

du = 2 xdx

x2 3x 2 e − ∫ xe3 x dx , integral la cual se desarrolla nuevamente por partes, 3 3 dv = e3 x dx u=x esto es: ∴ 1 du = dx v = e3 x 3 2 2 x 2⎛ x 1 2 2 x2 2x 2 ⎞ x = e3 x − ⎜ e3 x − ∫ e3 x dx ⎟ = e3 x − xe3 x + ∫ e3 x dx = e3 x − e3 x + e3 x + c 3 3⎝3 3 9 9 3 9 27 ⎠ 3 2 3x ∫ x e dx =

4.33.- ∫ x3e − 3 dx x

Solución.x dv = e− 3 dx u = x3 ∴ x du = 3x 2 dx v = −3e− 3 3 −x 3 −x 2 −x ∫ x e 3 dx = −3x e 3 + 9∫ x e 3 dx , integral la cual se desarrolla nuevamente por

∴

partes, esto es:

(

= −3x3e− 3 + 9 −3 x 2 e − x

x

3

u = x2 du = 2 xdx

dv = e− 3 dx x

v = −3e− 3 x x x x + 6∫ xe − 3 dx = −3 x3e − 3 − 27 x 2 e − 3 + 54∫ xe− 3 dx x

)

, la nueva integral se desarrolla por partes, esto es: x u=x dv = e− 3 dx ∴ x du = dx v = −3e− 3

(

)

−x 3x 3 27 x 2 3 x 3 27 x 2 162 x −x3 −x3 − + − xe + e dx = − − x − x + 162(−3e 3 ) + c 54 3 3 x x x ∫ 3 3 3 3 3 e e e e e 3 2 3 x 27 x 162 x 486 = − x − x − x − x +c e3 e3 e3 e3 4.34.- ∫ x s e n x cos xdx

=−

Solución.-

∴

u=x

dv = s e n 2 xdx

cos 2 x 2 1 1⎛ x 1 ⎞ ∫ x s e n x cos xdx = 2 ∫ x s e n 2 xdx = 2 ⎜⎝ − 2 cos 2 x + 2 ∫ cos 2 xdx ⎟⎠ x 1 x 1 = − cos 2 x + ∫ cos 2 xdx = − cos 2 x + s e n 2 x + c 4 4 4 8 2 4.35.- ∫ x η xdx du = dx

v=−

Solución.-

91

u = ηx

∴

dv = x 2 dx

dx x3 v= x 3 3 3 x ηx 1 2 x η x x3 2 x xdx = − x dx = − +c η ∫ 3 3∫ 3 9 ηx 4.36.- ∫ 3 dx x Solución.u = ηx dv = x −3 dx ∴ dx 1 du = v=− 2 x 2x ηx η x 1 ηx 1 −3 −3 ∫ x3 dx = ∫ x η xdx = − 2 x2 + 2 ∫ x dx = − 2 x 2 − 4 x 2 + c ηx 4.37.- ∫ dx x Solución.u = ηx 1 dv = x − 2 dx ∴ dx du = v=2 x x ηx −1 −1 ∫ x dx = ∫ x 2 η xdx = 2 x η x − 2∫ x 2 dx = 2 x η x − 4 x + c 4.38.- ∫ x arcτ gxdx du =

Solución.u = arcτ gx ∴ dx du = 1 + x2

dv = xdx

x2 2 2 2 x 1 x dx x 2 1 ⎛ 1 ⎞ arc arc x τ gxdx τ gx = − = arcτ gx − ∫ ⎜1 − ⎟dx 2 ∫ ∫ 2 2 1+ x 2 2 ⎝ 1 + x2 ⎠ v=

x2 1 1 dx x2 1 arcτ gx = +c arcτ gx − ∫ dx + ∫ arcτ gx − x + 2 2 2 2 1+ x 2 2 2 4.39.- ∫ x arcs e n xdx =

Solución.u = arcs e n x dv = xdx dx ∴ x2 du = v = 1 + x2 2 x2 1 x 2 dx ∫ x arcs e n xdx = 2 arcs e n x − 2 ∫ 1 + x2 , integral para la cual se sugiere la x = s e nθ sustitución siguiente: ∴ dx = cos θ dθ 92

=

x2 1 s e n 2 θ cos θ dθ arcs e n x − ∫ 2 2 cos θ x2 1 ⎛ 1 − cos 2θ arcs e n x − ∫ ⎜ 2 2 ⎝ 2

x2 1 1 ⎞ = θ d arcs e n x − ∫ dθ + ∫ cos 2θ dθ ⎟ 2 4 4 ⎠ 2 2 x 1 1 x 1 2s e n θ cos θ = arcs e n x − θ + s e n 2θ + c = arcs e n x − arcs e n x + +c 2 4 8 2 4 8 =

Como: s e n θ = x, cos θ = 1 − x 2 ; luego: x2 1 1 arcs e n x − arcs e n x + x 1 − x 2 + c 2 4 4 xdx 4.40.- ∫ s e n2 x Solución.u=x dv = cos ec 2 xdx ∴ du = dx v = − coτ gx xdx 2 ∫ s e n 2 x = ∫ x cos ec xdx = − x coτ gx + ∫ coτ gxdx = − x coτ gx + η s e n x + c 4.41.- ∫ e x s e n xdx =

Solución.u = sen x ∴ du = cos xdx

dv = e x dx

v = ex x x x ∫ e s e n xdx = e s e n x − ∫ e cos xdx , integral la cual se desarrolla por partes, esto es:

∴

u = cos x du = − s e n xdx

(

dv = e x dx

)

v = ex

= e x s e n x − e x cos x + ∫ e x s e n xdx = e x s e n x − e x cos x − ∫ e x s e n xdx

Luego se tiene: ∫ e x s e n xdx = e x s e n x − e x cos x − ∫ e x s e n xdx , de donde es inmediato: 2 ∫ e x s e n xdx = e x (s e n x − cos x) + c

ex (s e n x − cos x) + c 2 4.42.- ∫ 3x cos xdx x ∫ e s e n xdx =

Solución.-

∴

u = cos x du = − s e n xdx

dv = 3x dx v=

3x

η3

93

x ∫ 3 cos xdx = cos x

3x

= cos x

3x

η3

η3

+

1

3 η3 ∫

u = sen x du = cos xdx

esto es: ∴

= cos x

3x

+

x

s e n xdx , integral la cual se desarrolla por partes, dv = 3x dx v=

3x

η3

⎞ 1 ⎛ 3x 1 sen x − 3x cos xdx ⎟ ⎜ ∫ η3 ⎝ η3 η3 ⎠

3x s e n x 1 − 2 ∫ 3x cos xdx ,luego: 2 η3 η 3 η 3 +

3x ⎛ sen x ⎞ 1 x ⎜ cos x + ⎟ − 2 ∫ 3 cos xdx , de donde es inmediato: η⎝ η3 ⎠ η 3 1 3x ⎛ sen x ⎞ = (1 + 2 ) ∫ 3x cos xdx = +c ⎜ cos x + η 3 η3 ⎝ η 3 ⎟⎠ = ∫ 3x cos xdx =

η 23 +1 x 3x ⎛ sen x ⎞ xdx = +c ) 3 cos ⎜ cos x + ∫ 2 η 3 ⎟⎠ η3 ⎝ η 3 3x η 3 ⎛ sen x ⎞ = ∫ 3x cos xdx = 2 +c ⎜ cos x + η 3 +1⎝ η 3 ⎟⎠ =(

4.43.- ∫ s e n( η x)dx Solución.u = s e n( η x) dv = dx ∴ cos( η x) du = dx v=x x ∫ s e n( η x)dx = x s e n( η x) − ∫ cos( η x)dx , integral la cual se desarrolla por partes, esto es: u = cos( η x) dv = dx ∴ − s e n( η x) du = dx v=x x = x s e n( η x) − ⎡⎣ x cos( η x) + ∫ s e n( η x)dx ⎤⎦ = x s e n( η x) − x cos( η x) − ∫ s e n( η x)dx Se tiene por tanto: ∫ s e n( η x)dx = x [s e n( η x) − cos( η x)] − ∫ s e n( η x)dx , de donde es inmediato: 2 ∫ s e n( η x)dx = x [s e n( η x) − cos( η x) ] + c ∫ s e n( η x)dx =

x [s e n( η x) − cos( η x)] + c 2

4.44.- ∫ ( x 2 − 2 x + 3) η xdx Solución.-

94

u = ηx

∴

du =

dx x

dv = ( x 2 − 2 x + 3)dx v=

x3 − x 2 + 3x 3

x3 x2 − x 2 + 3 x) η x − ∫ ( − x + 3)dx 3 3 3 2 x x x3 x3 x2 = ( − x 2 + 3x) η x − ∫ dx − ∫ xdx + 3∫ dx = ( − x 2 + 3 x) η x − − + 3 x + c 3 3 3 9 2 1− x dx 4.45.- ∫ x η 1+ x Solución.1− x dv = xdx u= η 1+ x ∴ x2 v= 2dx du = 2 2 x −1 1− x x2 1− x x 2 dx x 2 1− x 1 x η dx η η = − = − ∫ (1 + 2 )dx 2 ∫ 1+ x ∫ x −1 2 x −1 2 1+ x 1+ x 2 ∫ ( x − 2 x + 3) η xdx = (

=

x2 1− x dx x2 1− x 1 x −1 − ∫ dx − ∫ 2 = −x− η +c η η 2 1+ x x −1 2 1+ x 2 x +1

4.46.- ∫

η2x

dx x2 Solución.u = η2x dv = x −2 dx ∴ 2 ηx 1 du = dx v=− x x 2 2 η x η x ηx η2x dx = − + 2 dx = − + 2∫ x −2 η xdx , integral la cual se desarrolla 2 ∫ x2 ∫ x x x por partes, esto es: u = ηx dv = x −2 dx ∴ dx 1 du = v=− x x 2 2 η x η x dx η x 2 ηx dx η2x 2 ηx 2 ⎛ ⎞ =− + 2⎜ − +∫ 2 ⎟=− − + 2∫ 2 = − − − +c x x ⎠ x x x x x x ⎝ x 4.47.- ∫ x 2 arcτ g 3 xdx

Solución.u = arcτ g 3x ∴ 3dx du = 1 + 9x2

dv = x 2 dx v=

x3 3

95

x3 x3dx x3 1 x3 dx arcτ g 3x − ∫ arc g 3 x = τ − 3 1 + 9 x2 3 9 ∫ 1 + x2 9 ⎡ 2 ⎞ ⎤ x3 1 x x3 1 ⎛ xdx ⎟ dx ⎥ = arcτ g 3 x − 1 x + 1 = arcτ g 3x − ⎢ ∫ ⎜ x − 2 9 ∫ 3 9⎢ ⎜ 9 2 81 x 2 + 1 x +1 ⎟ ⎥ 3 9⎠ ⎦ 9 ⎣ ⎝ 3 2 x x 1 1 = arcτ g 3x − + η x2 + + c 3 18 162 9 2 ∫ x arcτ g 3xdx =

4.48.- ∫ x(arcτ gx) 2 dx Solución.dv = xdx u = (arcτ gx) 2 ∴ x2 2 arcτ gxdx = v du = 2 1 + x2 2 x x 2 dx 2 2 x gx dx gx gx (arc τ ) = (arc τ ) − (arc τ ) , integral la cual se desarrolla por ∫ ∫ 2 1 + x2 partes, esto es: u = arcτ gx x 2 dx dv = ∴ dx 1 + x2 du = 1 + x2 v = x − arcτ gx

( x arcτ gx) ⎡ dx ⎤ = − ⎢( x − arcτ gx) arcτ gx − ∫ ( x − arcτ gx) 2 1 + x 2 ⎥⎦ ⎣ 2 ( x arcτ gx) xdx arcτ gxdx = − x arcτ gx + (arcτ gx) 2 + ∫ −∫ 2 2 1+ x 1 + x2 2 2 ( x arcτ gx) 1 (arcτ gx) 2 2 = − x arcτ gx + (arcτ gx) + η (1 + x ) − +c 2 2 2 4.49.- ∫ (arcs e n x) 2 dx 2

Solución.u = (arc s e n x) 2 ∴ 2 arc s e n xdx du = 1 − x2

dv = dx v=x

∫ (arcs e n x) dx = x(arcs e n x) 2

2

− 2∫ arcs e n x

u = arcs e n x partes, esto es: ∴

du =

dx

xdx

, integral la cual se desarrolla por 1 − x2 xdx dv = 1 − x2

1 − x2

v = − 1 − x2 = x(arcs e n x) 2 − 2 ⎡ − 1 − x 2 arcs e n x + ∫ dx ⎤ ⎣ ⎦ = x(arcs e n x) 2 + 2 1 − x 2 arcs e n x − 2 x + c

96

arcs e n x dx x2 Solución.u = arcs e n x dv = x −2 dx dx ∴ 1 du = v=− 2 1− x x dx arcs e n x arcs e n x −2 ∫ x2 dx = ∫ x arcs e n xdx = − x + ∫ x 1 − x2 arcs e n x x =− + η +c x 1 + 1 − x2 4.50.- ∫

arcs e n x dx 1− x Solución.u = arcs e n x ∴ dx 1 du = 1− x 2 x

4.51.- ∫

dv =

dx 1− x

v = −2 1 − x

dx arcs e n x dx = −2 1 − x arcs e n x + ∫ = −2 1 − x arcs e n x + 2 x + c x 1− x s e n2 x 4.52.- ∫ dx ex Solución.dv = e− x dx u = s e n2 x ∴ du = 2s e n x cos x v = −e − x s e n2 x 2 2 −x −x −x ∫ e x dx = ∫ s e n xe dx = −e s e n x + 2∫ s e n x cos xe dx s e n 2x −x = −e − x s e n 2 x + 2 ∫ e dx , ∗ Integral la cual se desarrolla por partes, esto es: 2 u = s e n 2x dv = e− x dx ∴ du = 2 cos 2 xdx v = −e − x

∫

= −e− x s e n 2 x + 2 ∫ cos 2 xe − x dx , Integral la cual se desarrolla por partes, esto es:

∴

u = cos 2 x du = −2s e n 2 xdx

dv = e− x dx v = −e − x

∫ s e n 2 xe dx = −e s e n 2 x + 2 ( −e cos 2 x − 2∫ s e n 2 xe dx ) ∫ s e n 2 xe dx = −e s e n 2 x − 2e cos 2 x − 4∫ s e n 2 xe dx , de donde: 5∫ s e n 2 xe dx = −e (s e n 2 x + 2 cos 2 x) + c −x

−x

−x

−x

−x

−x

−x

−x

−x

−x

97

−e − x (s e n 2 x + 2 cos 2 x) + c , Sustituyendo en: ∗ 5 s e n 2 xdx 2e − x −x 2 e s e n x (s e n 2 x + 2 cos 2 x) + c = − − ∫ ex 5 4.53.- ∫ τ g 2 x sec3 xdx = ∫ (sec 2 x − 1) sec3 xdx = ∫ sec5 xdx(∗) − ∫ sec3 xdx(∗∗) −x ∫ s e n 2 xe dx =

Solución.-

∗∫ sec xdx , 5

∫ sec

5

Sea:

∫ sec

dv = sec 2 xdx

du = 3sec3 xτ gxdx

v = τ gx

xdx = ∫ sec3 x sec2 xdx = sec3 xτ gx − 3∫ sec3 xτ g 2 xdx

∗∗ ∫ sec3 xdx , Sea: 3

u = sec3 x

u = sec x du = sec xτ gxdx

dv = sec 2 xdx v = τ gx

xdx = ∫ sec x sec xdx = sec xτ gx − ∫ sec xτ g xdx = sec xτ gx − ∫ sec x(sec x 2 − 1)dx 2

2

= sec xτ gx − ∫ sec3 xdx + ∫ sec xdx , luego: 2 ∫ sec3 xdx = sec xτ gx + ∫ sec xdx

1 Esto es: ∫ sec3 xdx = (sec xτ gx + n sec xτ gx ) + c , ahora bien: 2 2 3 5 3 ∫ τ g x sec xdx = ∫ sec xdx − ∫ sec xdx , con ( ∗ y ∗∗ ) 1 x sec3 xdx = sec3 xτ gx − 3∫ sec3 xτ g 2 xdx − (sec xτ gx + n sec xτ gx ) + c 2 1 De lo anterior: 4 ∫ τ g 2 x sec3 xdx = sec3 xτ gx − (sec xτ gx + n sec xτ gx ) + c 2 1 1 Esto es: ∫ τ g 2 x sec3 xdx = sec3 xτ gx − (sec xτ gx + n sec xτ gx ) + c 4 8 3 2 4.54.- ∫ x η xdx

∫τ g

2

Solución.dv = x3 dx u = η2x ∴ 2 ηx x4 du = dx v= x 4 4 x 1 3 3 2 2 ∫ x η xdx = 4 η x − 2 ∫ x η xdx , integral la cual se desarrolla por partes, esto es: u = ηx dv = x3 dx

dx x

x4 4 4 4 ⎞ x4 2 1 4 x 1⎛ x 1 1 x4 η2x − ⎜ η x − ∫ x 3dx ⎟ = η x − x ηx + = +c 4 2⎝ 4 4 8 8 4 ⎠ 4 x4 2 1 4 x4 = η x − x ηx + + c 4 8 32 du =

v=

98

4.55.- ∫ x η (9 + x 2 )dx Solución.dv = xdx u = η (9 + x 2 ) ∴ x2 2 xdx = v du = 2 9 + x2 2 3 x x x2 9x ⎞ ⎛ 2 2 + = + − = (9 ) (9 ) x η x dx η x dx η (9 + x 2 ) − ∫ ⎜ x − 2 ⎟dx 2 ∫ ∫ 2 9+ x 2 x +9⎠ ⎝

x2 xdx x2 x2 9 2 (9 ) η (9 + x 2 ) − ∫ xdx + 9 ∫ = η + x − + η ( x 2 + 9) + c 2 9 + x2 2 2 2 x2 9 = ⎡⎣ η (9 + x 2 ) − 1⎤⎦ + η ( x 2 + 9) + c 2 2 4.56.- ∫ arcs e n xdx =

Solución.u = arcs e n xdx ∴ dx 1 du = 2 1− x 2 x

dv = dx v=x

xdx 1 1 xdx = x arcs e n x − ∫ 2 1− x 1− x 2 x Para la integral resultante, se recomienda la siguiente sustitución: 1 − x = t , de donde: x = 1 − t 2 , y dx = −2tdt ( ver capitulo 9)

∫ arcs e n

xdx = x arcs e n x − ∫

= x arcs e n x −

1 1 − t 2 (−2 t dt )dx = x arcs e n x + 1 − t 2 dt , 2 t

Se

recomienda

sustitución: t = s e n θ , de donde: 1 − t 2 = cos θ , y dt = cos θ dθ . Esto es: 1 = x arcs e n x + ∫ cos 2 θ dθ = x arcs e n x + ∫ (1 + cos 2θ )dθ 2 1 1 1 1 = x arcs e n x + θ + s e n 2θ + c = x arcs e n x + θ + s e n θ cos θ + c 2 4 2 2 arcs e n t t arcs e n 1 − x 1− x 1 − t 2 + c = x arcs e n x + = x arcs e n x + + + 2 2 2 2 4.57.- ∫ x arcτ g (2 x + 3)dx Solución.u = arcτ g (2 x + 3) ∴ 2dx du = 1 + (2 x + 3) 2

∫ x arcτ g (2 x + 3)dx =

la

x +c

dv = xdx v=

x2 2

x2 x 2 dx arcτ g (2 x + 3) − ∫ 2 1 + 4 x 2 + 12 x + 9

99

=

= = = =

= = = =

⎛1 ⎞ 3x + 5 x2 x 2 dx x2 2 ⎟dx = arcτ g (2 x + 3) − ∫ ⎜ − 2 arcτ g (2 x + 3) − ∫ 2 2 4 x + 12 x + 10 2 ⎜ 4 4 x + 12 x + 10 ⎟ ⎝ ⎠ 3x + 5 x2 1 2 dx arcτ g (2 x + 3) − ∫ dx + ∫ 2 2 4 4 x + 12 x + 10 x+ 5 x2 1 6 dx arcτ g (2 x + 3) − x + 3∫ 2 2 4 4 x + 12 x + 10 8 x + 40 x2 1 3 6 dx arcτ g (2 x + 3) − x + ∫ 2 2 4 8 4 x + 12 x + 10 32 x2 1 3 8 x + 12 − 6 dx arcτ g (2 x + 3) − x + ∫ 2 2 4 8 4 x + 12 x + 10 x2 1 3 (8 x + 12)dx 3 32 dx arcτ g (2 x + 3) − x + ∫ 2 − 2 ∫ 2 4 8 4 x + 12 x + 10 8 6 4 x + 12 x + 10 2 x 1 3 dx arcτ g (2 x + 3) − x + η 4 x 2 + 12 x + 10 − 2∫ 2 2 4 8 4 x + 12 x + 10 2 x 1 3 dx arcτ g (2 x + 3) − x + η 4 x 2 + 12 x + 10 − 2∫ 2 4 8 (2 x + 3) 2 + 1 x2 1 3 2 2dx arcτ g (2 x + 3) − x + η 4 x 2 + 12 x + 10 − ∫ 2 4 8 2 (2 x + 3) 2 + 1

x2 1 3 arcτ g (2 x + 3) − x + η 4 x 2 + 12 x + 10 − arcτ g (2 x + 3) + c 2 4 8 1⎡ 1 3 ⎤ = ⎢( x 2 − 2) arcτ g (2 x + 3) − x + η 4 x 2 + 12 x + 10 ⎥ + c 2⎣ 2 4 ⎦ =

4.58.- ∫ e x dx Solución.u=e x ∴ e x dx du = 2 x

∫e

x

dx = xe

x

dv = dx v=x

dx 1 xe x dx , Se recomienda la sustitución: z = x , dz = − ∫ 2 2 x 2 x

1 2 z z e dz , Esta integral resultante, se desarrolla por partes: 2∫ dv = e z dz u = z2 ∴ du = 2 zdz v = ez 1 z 2e z = xe x − z 2 e z − 2∫ ze z dz = xe x − + ∫ ze z dz , integral que se desarrolla por 2 2 partes: = xe

x

−

(

)

100

∴

u=z

dv = e z dz

du = dz

v = ez

z 2e z + ze z − ∫ e z dz = xe 2 ⎛x ⎞ = e x ⎜ + x − 1⎟ + c ⎝2 ⎠ 2 4.59.- ∫ cos ( η x)dx = xe

x

−

x

−

z 2e z + ze z − e z + c = xe 2

x

−

xe x + xe 2

x

−e

x

+c

Solución.u = cos(2 η x) dv = dx ∴ s e n(2 η x) ] 2dx [ v=x du = − x 1 + cos(2 η x) 1 1 2 dx = ∫ dx + ∫ cos(2 η x)dx ∫ cos ( η x)dx = ∫ 2 2 2 1 1⎡ x x = x + x cos(2 η x) + 2∫ s e n(2 η x)dx ⎤ = + cos(2 η x) + ∫ s e n(2 η x)dx ∗ ⎣ ⎦ 2 2 2 2 Integral que se desarrolla por partes: u = s e n(2 η x) dv = dx ∴ cos(2 η x) ] 2dx [ v=x du = − x x x ∗ = + cos(2 η x) + x s e n(2 η x) − 2∫ cos(2 η x)dx , 2 2 Dado que apareció nuevamente: ∫ cos(2 η x)dx , igualamos: ∗

x x x 1 + ∫ cos(2 η x)dx = + cos(2 η x) + x s e n(2 η x) − 2 ∫ cos(2 η x)dx , de donde: 2 2 2 2 x 5 cos(2 η x)dx = cos(2 η x) + x s e n(2 η x) + c ∫ 2 2 1 x x cos(2 η x)dx = cos(2 η x) + s e n(2 η x) + c , Por tanto: ∫ 2 10 5 x x x 2 ∫ cos ( η x)dx = 2 + 10 cos(2 η x) + 5 s e n(2 η x) + c η ( η x) dx , Se tiene: 4.60.- ∫ dx , Sustituyendo por: w = η x, dw = x x Solución.η ( η x) ∫ x dx = ∫ η wdw , Esta integral se desarrolla por partes: u = ηw dv = dw ∴ dw du = v=w w = w η w − ∫ dw = w η w − w + c = w( η w − 1) + c = η x [ η ( η x) − 1] + c

101

4.61.- ∫ η x + 1 dx Solución.u = η x +1 ∴ dx du = x +1

dv = dx v=x

xdx 1 ⎞ ⎛ = x η x + 1 − ∫ ⎜1 − ⎟dx x +1 ⎝ x +1 ⎠ = x η x +1 − x + η x +1 + c

∫

η x + 1 dx = x η x + 1 − ∫

4.62.- ∫ x 2 e x dx Solución.u = x2 ∴ du = 2 xdx 2 x 2 x x ∫ x e dx = x e − 2∫ xe dx

dv = e x dx v = ex

Integral que se desarrolla nuevamente por partes: u=x dv = e x dx ∴ du = dx v = ex = x 2 e x − 2 ⎡⎣ xe x − ∫ e x dx ⎤⎦ = x 2 e x − 2 xe x + 2e x + c 4.63.- ∫ cos n xdx = ∫ cos n −1 x cos xdx Solución.u = cos n −1 x ∴ du = (n − 1) cos n − 2 x(− s e n x)dx

dv = cos xdx v = sen x

= cos n −1 x s e n x + (n − 1) ∫ s e n 2 x cos n − 2 xdx

= cos n −1 x s e n x + (n − 1) ∫ (1 − cos 2 x) cos n − 2 xdx

= cos n −1 x s e n x + (n − 1) ∫ cos n − 2 xdx − (n − 1) ∫ cos n xdx , Se tiene:

∫ cos xdx = cos n ∫ cos xdx = cos

n −1

n

n

x s e n x + (n − 1) ∫ cos n − 2 xdx − (n − 1) ∫ cos n xdx , Esto es:

n −1

x s e n x + (n − 1) ∫ cos n − 2 xdx

cos n −1 x s e n x (n − 1) + cos n − 2 xdx ∫ n n n n −1 4.64.- ∫ s e n xdx = ∫ s e n x s e n xdx n ∫ cos xdx =

Solución.u = s e n n −1 x ∴ du = (n − 1) s e n n − 2 x(cos x)dx

dv = s e n xdx v = − cos x

= − s e n n −1 x cos x + (n − 1) ∫ cos 2 x s e n n − 2 xdx

= − s e n n −1 x cos x + (n − 1) ∫ (1 − s e n 2 x) s e n n − 2 xdx

102

= − s e n n −1 x cos x + (n − 1) ∫ s e n n − 2 xdx − (n − 1) ∫ s e n n xdx , Se tiene:

∫ s e n xdx = − s e n n ∫ s e n xdx = − s e n

n −1

n

n

x cos x + (n − 1) ∫ s e n n − 2 xdx − (n − 1) ∫ s e n n xdx

n −1

x cos x + (n − 1) ∫ s e n n − 2 xdx

− s e n n −1 x cos x (n − 1) + s e n n − 2 xdx n n ∫ 4.65.- ∫ x m ( η x)n dx = x m +1 ( η x)n − n ∫ x m ( η x)n −1 dx − m ∫ x m ( η x)n dx n ∫ s e n xdx =

Solución.u = x m ( η x)n dv = dx ∴ m n −1 dx m −1 n v=x du = x n( η x) + mx ( η x) dx x Se tiene: (m + 1) ∫ x m ( η x) n dx = x m +1 ( η x) n − n ∫ x m ( η x) n −1 dx m n ∫ x ( η x) dx =

x m +1 ( η x) n n − x m ( η x) n −1 dx (m + 1) (m + 1) ∫

4.66.- ∫ x3 ( η x) 2 dx Solución.Puede desarrollarse como caso particular del ejercicio anterior, haciendo: m = 3, n = 2

x3+1 ( η x) 2 2 x 4 ( η x) 2 1 3 3 2 −1 ∫ x ( η x) dx = 3 + 1 − 3 + 1 ∫ x ( η x) dx = 4 − 2 ∫ x ( η x)dx ∗ Para la integral resultante: ∫ x3 ( η x)dx ∗ 3

2

x 4 ( η x) 1 3 x 4 ( η x) x 4 − ∫ x dx = − + c , introduciendo en: ∗ 4 4 4 16 4 2 4 4 x ( η x) x x 3 2 ∫ x ( η x) dx = 4 − 8 ( η x) + 32 + c 4.67.- ∫ x n e x dx 3 ∫ x ( η x)dx =

Solución.u = xn dv = e x dx ∴ du = nx n −1dx v = ex n x n x n −1 x ∫ x e dx = x e − n∫ x e dx 4.68.- ∫ x3e x dx

Solución.u = x3 ∴ du = 3x 2 dx

dv = e x dx v = ex

Puede desarrollarse como el ejercicio anterior, haciendo: n = 3 3 x 3 x 2 x ∫ x e dx = x e − 3∫ x e dx ∗ , Además:

103

∗∫ x 2 e x dx = x 2 e x − 2∫ xe x dx ∗∗ , Además: ∫ xe x dx = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + c

Reemplazando en ∗∗ y luego en ∗ : 3 x 3 x 2 x x x ∫ x e dx = x e − 3 ⎡⎣ x e − 2( xe − e ) ⎤⎦ + c

∫ x e dx = e ( x − 3x + 6 x − 6) + c 4.69.- ∫ sec xdx = ∫ sec x sec xdx 3 x

x

3

n

2

n−2

2

Solución.u = sec n − 2 x ∴ du = (n − 2) secn −3 x sec xτ gxdx

= sec

n−2

xτ gx − (n − 2) ∫ τ g x sec 2

n−2

xdx = sec

dv = sec 2 xdx v = τ gx n−2

xτ gx − (n − 2) ∫ (sec 2 x − 1) sec n − 2 xdx

= sec n − 2 xτ gx − (n − 2) ∫ secn xdx +(n − 2) ∫ secn − 2 xdx , Se tiene:

∫ sec

n

xdx = sec n − 2 xτ gx − (n − 2) ∫ sec n xdx + (n − 2) ∫ sec n − 2 xdx

(n − 1) ∫ sec n xdx = sec n − 2 xτ gx + (n − 2) ∫ sec n − 2 xdx secn − 2 xτ gx (n − 2) n−2 ∫ sec xdx = (n − 1) + (n − 1) ∫ sec xdx n

4.70.- ∫ sec3 xdx Solución.Puede desarrollarse como caso particular del ejercicio anterior, haciendo: n=3 sec3− 2 xτ gx 3 − 2 sec xτ gx 1 3 sec = + sec3− 2 xdx = + ∫ sec xdx xdx ∫ ∫ 3 −1 3 −1 2 2 sec xτ gx 1 = + η sec xτ gx + c 2 2 4.71.- ∫ x η xdx Solución.u = ηx ∴ dx du = x 2 x xdx ∫ x η xdx = 2 η x − ∫ 2 = 4.72.- ∫ x n η ax dx, n ≠ −1

dv = xdx v=

x2 2

x2 1 η x − x2 + c 2 4

Solución.dv = xdx u = η ax ∴ x n +1 dx v= du = n +1 x n +1 x 1 x n +1 x n +1 n n x η ax dx = η ax − x dx = η ax − +c ∫ (n + 1) 2 n +1 n +1 ∫ n +1

104

4.73.- ∫ arcs e n axdx Solución.u = arcs e n ax adx ∴ du = 1 − a2 x2

dv = dx v=x

∫ arcs e n axdx = x arcs e n ax − ∫

axdx 1 − a2 x2

= x arcs e n ax +

1 (−2a 2 x)dx 2a ∫ 1 − a 2 x 2

1 (1 − a 2 x 2 ) 2 1 + c = x arcs e n ax + 1 − a2 x2 + c 1 a 2a 2 4.74.- ∫ x s e n axdx 1

= x arcs e n ax +

Solución.-

∴

dv = s e n axdx

u=x

1 v = − cos ax a

du = dx x

1

x

1

∫ x s e n axdx = − a cos ax + a ∫ cos axdx = − a cos ax + a

2

s e n ax + c

1 x s e n ax − cos ax + c 2 a a 2 4.75.- ∫ x cos axdx =

Solución.-

∴

u = x2 du = 2 xdx

dv = cos axdx 1 v = − s e n ax a

x2 2 s e n ax − ∫ x s e n axdx , aprovechando el ejercicio anterior: a a 2 x 2⎛ 1 x x2 2 2x ⎞ = s e n ax − ⎜ 2 s e n ax − cos ax ⎟ + c = s e n ax − 3 s e n ax − 2 cos ax + c a a⎝a a a a a ⎠ 2 ∫ x cos axdx =

4.76.- ∫ x sec 2 axdx Solución.-

∴

u=x du = dx

dv = sec 2 axdx

1 v = τ gax a x 1 x 11 2 ∫ x sec axdx = a τ gax − a ∫ τ gaxdx = a τ gax − a a η sec ax + c x 1 = τ gax − 2 η sec ax + c a a 4.77.- ∫ cos( η x)dx Solución.-

105

u = cos( η x)

dv = dx s e n( η x) du = − dx v=x x ∫ cos( η x)dx = x cos( η x) + ∫ s e n( η x)dx , aprovechando el ejercicio:4.43

∴

x

∫ s e n( η x)dx = 2 [s e n( η x) − cos( η x)] + c , Luego: = x cos( η x) +

x x x [s e n( η x) − cos( η x)] + c = x cos( η x) + s e n( η x) − cos( η x) + c 2 2 2

x [ cos( η x) + s e n( η x)] + c 2 4.78.- ∫ η (9 + x 2 )dx =

Solución.u = η (9 + x 2 ) ∴ 2 xdx du = 9 + x2

∫

dv = dx v=x

η (9 + x 2 )dx = x η (9 + x 2 ) − 2∫

= x η (9 + x 2 ) − 2 ∫ dx + 18∫

x 2 dx 9 ⎞ ⎛ = x η (9 + x 2 ) − 2 ∫ ⎜1 − dx 2 2 ⎟ 9+ x ⎝ 9+ x ⎠

dx =x η (9 + x 2 ) − 2 x + 6 arcτ g x + c 2 3 9+ x

4.79.- ∫ x cos(2 x + 1)dx Solución.-

∴

u=x

dv = cos(2 x + 1)dx

1 v = s e n(2 x + 1) 2 x 1 ∫ x cos(2 x + 1)dx = 2 s e n(2 x + 1) − 2 ∫ s e n(2 x + 1)dx x 1 = s e n(2 x + 1) + cos(2 x + 1) + c 2 4 4.80.- ∫ x arc sec xdx du = dx

Solución.u = arc sec x dv = xdx dx ∴ x2 du = v= x x2 −1 2 2 x 1 xdx x2 1 2 ∫ x arc sec xdx = 2 arc sec x − 2 ∫ x 2 − 1 = 2 arc sec x − 2 x − 1 + c 4.81.- ∫ arc sec xdx Solución.-

106

u = arc sec x

∴

dv = dx

1 dx du = 2 x x −1

v=x

dx 1 = x arc sec x − x − 1 + c ∫ 2 x −1 a2 − x2 dx x 2 dx dx = a 2 ∫ −∫ 4.82.- ∫ a 2 − x 2 dx = ∫ a2 − x2 a2 − x2 a2 − x2 x xdx = a 2 arcs e n − ∫ x ∗ , integral que se desarrolla por partes: a a2 − x2 Solución.xdx dv = u=x ∴ a2 − x2 du = dx v = − a2 − x2 x ∗ = a 2 arcs e n − − x a 2 − x 2 + ∫ a 2 − x 2 dx , Se tiene que: a x 2 2 2 2 2 2 2 ∫ a − x dx = a arcs e n a + x a − x − ∫ a − x dx , De donde: x 2 ∫ a 2 − x 2 dx = a 2 arcs e n + x a 2 − x 2 + c a 2 a x x 2 2 2 2 ∫ a − x dx = 2 arcs e n a + 2 a − x + c 4.83.- ∫ η 1 − x dx

∫ arc sec

xdx = x arc sec x −

)

(

Solución.u = η 1− x ∴ dx du = − 1− x

∫

dv = dx v=x

η 1 − x dx = x η 1 − x − ∫

= x η 1 − x − ∫ dx − ∫

xdx 1 ⎞ ⎛ = x η 1 − x − ∫ ⎜1 + ⎟ dx x −1 ⎝ x −1 ⎠

dx = x η 1− x − x − η x −1 + c x −1

4.84.- ∫ η ( x 2 + 1)dx Solución.u = η ( x 2 + 1) ∴ 2 xdx du = 2 x +1

∫

dv = dx v=x

η ( x 2 + 1)dx = x η ( x 2 + 1) − 2∫

x 2 dx 1 ⎞ ⎛ = x η ( x 2 + 1) − 2∫ ⎜1 − 2 ⎟dx 2 x +1 ⎝ x +1⎠

= x η ( x 2 + 1) − 2 x + 2 arcτ gx + c

107

4.85.- ∫ arcτ g xdx Solución.u = arcτ g x ∴ dx 1 du = 1+ x 2 x

dv = dx v=x

1 xdx ∗ En la integral resultante, se recomienda la ∫ 2 1+ x sustitución: x = t , esto es x = t 2 , dx = 2tdt

∫ arcτ g

xdx = x arcτ g x −

t 2 tdt t 2 dt 1 ⎞ ⎛ ∫ 1 + t 2 = x arcτ g x − ∫ 1 + t 2 = x arcτ g x − ∫ ⎜⎝1 − 1 + t 2 ⎟⎠dt dt = x arcτ g x − ∫ dt + ∫ = x arcτ g x − t + arcτ gt + c 1+ t2 = x arcτ g x − x + arcτ g x + c x arcs e n x 4.86.- ∫ dx 1 − x2 Solución.u = arcs e n x xdx dv = dx ∴ 1 − x2 du = 1 − x2 v = − 1 − x2 x arcs e n x 2 2 ∫ 1 − x 2 dx = − 1 − x arcs e n x + ∫ dx = − 1 − x arcs e n x + x + c 1 = x arcτ g x − 2

4.87.- ∫ x arcτ g x 2 − 1dx Solución.dv = xdx

u = arcτ g x 2 − 1

∴

du =

dx

v=

x x2 −1

2 ∫ x arcτ g x − 1dx =

x arcτ gx dx ( x 2 + 1) 2 Solución.-

x2 2

x2 1 xdx x2 1 2 arcτ g x 2 − 1 − ∫ = arcτ g x 2 − 1 − x −1 + c 2 2 2 2 x −1 2

4.88.- ∫

xdx ( x + 1) 2 ∴ dx du = 2 −1 v= x +1 2( x 2 + 1) x arcτ gx − arcτ gx 1 dx ∫ ( x2 + 1)2 dx = 2( x 2 + 1) + 2 ∫ ( x 2 + 1)2 ∗ , Se recomienda la siguiente sustitución:

u = arcτ gx

dv =

2

108

x = τ gθ , de donde: dx = sec 2 θ dθ ; x 2 + 1 = sec 2 θ − arcτ gx 1 sec 2 θ dθ arcτ gx 1 arcτ gx 1 1 + cos 2θ dθ + ∫ =− + ∫ cos 2 θ dθ = − + 2 4 2 2( x + 1) 2 sec θ 2( x + 1) 2 2( x 2 + 1) 2 ∫ 2 arcτ gx 1 1 arcτ gx 1 1 =− + θ + s e n 2θ + c = − + arcτ gx + s e n θ cos θ + c 2 2 2( x + 1) 4 8 2( x + 1) 4 4 arcτ gx 1 1 x 1 =− + arcτ gx + +c 2 2( x + 1) 4 4 x2 + 1 x2 + 1 arcτ gx 1 x =− + arcτ gx + +c 2 2 2( x + 1) 4 4( x + 1) xdx 4.89.- ∫ arcs e n x (1 − x 2 )3 Solución.xdx u = arcs e n x dv = 3 (1 − x 2 ) 2 dx ∴ du = 1 v= 1 − x2 1 − x2 xdx arcs e n x dx arcs e n x 1 1− x ∫ arcs e n x (1 − x 2 )3 = 1 − x 2 − ∫ 1 − x2 = 1 − x 2 + 2 η 1 + x + c ∗=

4.90.- ∫ x 2 1 − xdx Solución.dv = x 2 dx u = 1− x ∴ dx x3 du = − v= 2 1− x 3 3 3 x 1 x dx 2 ∫ x 1 − xdx = 3 1 − x + 6 ∫ 1 − x ∗ , Se recomienda sustitución: 1 − x = t , o sea: x = 1 − t 2 , De donde: dx = −2tdt 1 (1 − t 2 )3 (− 2 t dt ) x3 1 x3 = 1− x + ∫ 1 − x − ∫ (1 − t 2 )3 dt = 3 3 3 t 6

usar

la

siguiente

x3 1 x3 1 3t 5 t 7 1 − x − ∫ (1 − 3t 2 + 3t 4 − t 6 )dt = 1 − x − (t − t 3 + − )+c 3 3 3 3 5 7 x3 1⎡ 3 3 ⎤ 1 − x − ⎢ 1 − x − (1 − x) 1 − x + (1 − x) 2 1 − x − (1 − x)3 1 − x ⎥ + c = 3 3⎣ 5 7 ⎦

=

=

1− x 3

3 1 ⎡ 3 2 3⎤ ⎢⎣ x − 1 − (1 − x) + 5 (1 − x) − 7 (1 − x) ⎥⎦ + c

109

IMPORTANTE: En este capítulo ningún resultado, o casi ninguno, se presentaron en su forma más reducida. Esto es intencional. Una de las causas del fracaso en éstos tópicos, a veces está en el mal uso del álgebra elemental. He aquí una oportunidad para mejorar tal eficiencia. Exprese cada resultado en su forma más reducida.

110

CAPITULO 5 INTEGRACION DE FUNCIONES CUADRATICAS Una función cuadrática, es de la forma: ax 2 + bx + c y si ésta aparece en el denominador, la integral que la contiene se hace fácil de encontrar, para la cual conviene diferenciar dos tipos esenciales en lo que se refiere al numerador.

EJERCICIOS DESARROLLADOS dx x + 2x + 5 Solución.- Completando cuadrados, se tiene: x 2 + 2 x + 5 = ( x 2 + 2 x + __) + 5 − __ = ( x 2 + 2 x + 1) + 5 − 1 = ( x 2 + 2 x + 1) + 4 x 2 + 2 x + 5 = ( x + 1) 2 + 22 , luego se tiene: dx dx ∫ x2 + 2 x + 5 = ∫ ( x + 1)2 + 22 . Sea: w = x + 1, dw = dx; a = 2 dx dw 1 w 1 x +1 ∫ ( x + 1)2 + 22 = ∫ w2 + 22 = 2 arcτ g a + c = 2 arcτ g 2 + c dx 1 x +1 Respuesta: ∫ 2 = arcτ g +c x + 2x + 5 2 2 dx 5.2.-Encontrar: ∫ 2 4x + 4x + 2 dx dx 1 dx Solución.- ∫ 2 =∫ = ∫ 2 2 4x + 4x + 2 4( x + x + 1 ) 4 x + x + 1 2 2 Completando cuadrados: 1 1 1 1 1 1 x 2 + x + 1 = ( x 2 + x + __) + − __ = ( x 2 + x + ) + − = ( x 2 + x + ) + 2 2 4 2 4 4 4 1 1 1 ( x 2 + x + ) = ( x + )2 + ( )2 , luego se tiene: 2 2 2 1 dx 1 dx , Sea: w = x + 1 , dw = dx; a = 1 = ∫ ∫ 2 2 2 4 x +x+ 1 4 ( x + 1 )2 + ( 1 )2 2 2 2 x+ 1 1 1 11 1 1 dx dw w 2 +c arc arc = ∫ = = + = τ g c τ g 2 2 ∫ 2 2 1 1 1 1 a 4 (x + ) + ( ) 4 w +a 4a 4 2 2 2 2 2x + 1 1 1 2 + c = arcτ g (2 x + 1) + c = arcτ g 1 2 2 2 5.1.-Encontrar: ∫

2

111

dx 1 = arcτ g (2 x + 1) + c 4x + 4x + 2 2 2 xdx 5.3.-Encontrar: ∫ 2 x − x +1 2 Solución.- u = x − x + 1, du = (2 x − 1)dx 2 xdx (2 x − 1 + 1)dx (2 x − 1)dx dx du dx ∫ x2 − x + 1 = ∫ x2 − x + 1 = ∫ x2 − x + 1 + ∫ x2 − x + 1 = ∫ u + ∫ x2 − x + 1 Completando cuadrados: 1 1 x 2 − x + 1 = ( x 2 − x + __) + 1__ = ( x 2 − x + ) + 1 − 4 4 3 x 2 − x + 1 = ( x 2 − 1 ) 2 + , Luego se tiene: 2 4 du dx du du du dx ∫ u + ∫ x2 − x + 1 = ∫ u + ∫ 1 2 3 = ∫ u + ∫ 1 2 3 2 (x − ) + ( ) (x − ) + 2 2 2 4 1 3 , luego: w = x − , dw = dx; a = 2 2 1 du dx du dw w ∫ u + ∫ 1 2 3 2 = ∫ u + ∫ w2 + a 2 = η u + a arcτ g a + c (x − ) + ( ) 2 2 2x −1 1 x− 1 2 3 2 2 + c = η x2 − x + 1 + arcτ g arcτ g +c = η x2 − x + 1 + 3 3 3 3 2 2 2 2 xdx 2 3 2x −1 Respuesta: ∫ 2 = η x2 − x + 1 + arcτ g +c x − x +1 3 3 x 2 dx 5.4.-Encontrar: ∫ 2 x + 2x + 5 Solución.x 2 dx 2x + 5 ⎞ 2x + 5 ⎛ ∫ x2 + 2 x + 5 = ∫ ⎜⎝1 − x2 + 2 x + 5 ⎟⎠dx = ∫ dx − ∫ x 2 + 2 x + 5 dx , Sea: u = x 2 + 2 x + 5, du = (2 x + 2)dx Ya se habrá dado cuenta el lector que tiene que construir en el numerador, la expresión: (2 x + 2)dx . Luego se tiene: (2 x + 2 + 3) (2 x + 2)dx dx = ∫ dx − ∫ 2 dx = ∫ dx − ∫ 2 + 3∫ 2 , x + 2x + 5 x + 2x + 5 x + 2x + 5 Completando cuadrados, se tiene: x 2 + 2 x + 5 = ( x 2 + 2 x + __) + 5 − __ = ( x 2 + 2 x + 1) + 5 − 1 = ( x 2 + 2 x + 1) + 4 = ( x + 1) 2 + 22 Luego se admite como forma equivalente a la anterior: du dx ∫ dx − ∫ u − 3∫ ( x + 1)2 + 22 , Sea: w = x + 1, dw = dx; a = 2 , luego: Respuesta: ∫

2

112

du dw 1 w − 3∫ 2 = x − η u − 3 arcτ g + c 2 u w +a a a 3 x + 1 = x − η x 2 + 2 x + 5 − arcτ g +c 2 2 x 2 dx 3 x +1 Respuesta: ∫ 2 = x − η x 2 + 2 x + 5 − arcτ g +c 2 2 x + 2x + 5 2x − 3 5.5.-Encontrar: ∫ 2 dx x + 2x + 2 Solución.- Sea: u = x 2 + 2 x + 2, du = (2 x + 2)dx 2x − 3 2x + 2 − 5 2x + 2 dx ∫ x2 + 2 x + 2dx = ∫ x 2 + 2 x + 2dx = ∫ x 2 + 2 x + 2dx − 5∫ x 2 + 2 x + 2 du dx = ∫ dx − 5∫ 2 , Completando cuadrados: u x + 2x + 2 x 2 + 2 x + 2 = ( x + 1) 2 + 12 . Luego: du dx = ∫ dx − 5∫ , Sea: w = x + 1, du = dx; a = 1 . Entonces se tiene: u ( x + 1) 2 + 12 du dx 1 w = ∫ dx − 5∫ 2 = η u − 5 arcτ g + c = η x 2 + 2 x + 5 − 5arcτ g ( x + 1) + c 2 u w +a a a 2x − 3 Respuesta: ∫ 2 dx = η x 2 + 2 x + 5 − 5arcτ g ( x + 1) + c x + 2x + 2 dx 5.6.-Encontrar: ∫ 2 x − 2x − 8 Solución.- Completando cuadrados se tiene: x 2 − 2 x − 8 = ( x − 1) 2 − 32 dx dx ∫ x 2 − 2 x − 8 = ∫ ( x − 1)2 − 32 , Sea: w = x − 1, dw = dx; a = 3 dw =∫ = η w + w2 − a 2 + c = η x − 1 + x 2 − 2 x − 8 + c 2 2 w −a dx Respuesta: ∫ = η x −1 + x2 − 2 x − 8 + c 2 x − 2x − 8 xdx 5.7.-Encontrar: ∫ x2 − 2 x + 5 Solución.- Sea: u = x 2 − 2 x + 5, du = (2 x − 2)dx . Luego: xdx 1 2 xdx 1 2x − 2 + 2 ∫ x 2 − 2 x + 5 = 2 ∫ x 2 − 2 x + 5 = 2 ∫ x 2 − 2 x + 5 dx 1 (2 x − 2)dx 2 dx 1 du dx = ∫ + ∫ = ∫ +∫ 2 u x2 − 2 x + 5 2 x2 − 2 x + 5 2 x2 − 2x + 5 2 Completando cuadrados se tiene: x + 2 x + 5 = ( x − 1) 2 + 22 . Por lo tanto: = ∫ dx − ∫

113

=

1 −1 2 dx . Sea: w = x − 1, du = dx; a = 2 u du + ∫ ∫ 2 ( x − 1) 2 + 22 1

1 −1 dw 1 u2 1 = ∫ u 2 du + ∫ = + η w + w2 + a 2 + c = u 2 + η w + w 2 + a 2 + c 2 2 2 2 1 w +a 2

= x2 + 2x + 5 + η x − 1 + x2 − 2x + 5 + c Respuesta: ∫

xdx

= x2 − 2x + 5 + η x − 1 + x2 − 2x + 5 + c

x − 2x + 5 ( x + 1)dx 5.8.-Encontrar: ∫ 2 x − x2 Solución.- Sea: u = 2 x − x 2 , du = (2 − 2 x)dx .Luego: ( x + 1)dx 1 −2( x + 1)dx 1 (−2 x − 2)dx 1 (−2 x + 2 − 4)dx ∫ 2 x − x2 = − 2 ∫ 2 x − x2 = − 2 ∫ 2 x − x2 = − 2 ∫ 2 x − x2 1 (2 − 2 x)dx 4 dx 1 du dx =− ∫ + ∫ =− ∫ + 2∫ 2 2 u 2 x − x2 2 2x − x2 2x − x2 2 2 Completando cuadrados: 2 x − x = −( x − 2 x) = −( x 2 − 2 x + 1 − 1) = −( x 2 − 2 x + 1) + 1 2

= −( x − 1) 2 + 1 = 1 − ( x − 1) 2 . Luego la expresión anterior es equivalente a: 1 −1 dx = − ∫ u 2 du + 2∫ . Sea: w = x − 1, dw = dx; a = 1 . Entonces: 2 1 − ( x − 1) 2 1 2

1

u2 dw w 1 2 ∫ 1 du + 2∫ a 2 − w2 = −u 2 + 2 arcs e n a + c = − 2 x − x + 2 arcs e n( x − 1) + c 2 ( x + 1)dx = − 2 x − x 2 + 2 arcs e n( x − 1) + c Respuesta: ∫ 2 2x − x xdx 5.9.-Encontrar: ∫ 5x2 − 2 x + 1 Solución.- Sea: u = 5 x 2 − 2 x + 1, du = (10 x − 2)dx . Luego: xdx 1 10 xdx 1 (10 x − 2 + 2)dx ∫ 5 x2 − 2 x + 1 = 10 ∫ 5 x 2 − 2 x + 1 = 10 ∫ 5 x2 − 2 x + 1 1 (10 x − 2)dx 2 dx 1 du 1 dx = ∫ + ∫ = ∫ + ∫ 2 2 2 10 u 5 5x − 2 x + 1 5 x − 2 x + 1 10 5 x − 2 x + 1 10 dx dx 1 du 1 1 1 −1 = ∫ + ∫ = ∫ u 2 du + ∫ 10 u 5 5 5 5( x 2 − 2 x + 1 ) 10 ( x2 − 2 x + 1 ) 5 5 5 5 2 1 2 1 Completando cuadrados: x 2 − x + = ( x 2 − x + __) + − __ 5 5 5 5 2 1 1 1 = ( x2 − x + ) + − = ( x − 1 ) 2 + ( 2 ) 2 , Luego es equivalente: 5 5 5 25 5 25 =−

114

1 1 dx −1 , Sea: w = x − 1 , dw = dx; a = 2 , u 2 du + ∫ ∫ 5 5 2 2 10 5 5 1 2 (x − ) + ( ) 5 5 1 1 1 1 u2 1 dw −1 2 Entonces: = ∫ u du + = + η w + w2 + a 2 + c ∫ 2 2 1 10 10 5 5 5 5 w +a 2 =

=

5x2 − 2 x + 1 1 1 5x2 − 2 x + 1 + +c η x− + 5 5 5 5 5

Respuesta: ∫

xdx

=

5x2 − 2 x + 1 5 1 5x2 − 2x + 1 + +c η x− + 5 25 5 5

5x2 − 2 x + 1 xdx 5.10.-Encontrar: ∫ 5 + 4 x − x2 Solución.- u = 5 + 4 x − x 2 , du = (4 − 2 x)dx . Luego: −2 xdx xdx 1 1 (−2 x + 4 − 4)dx ∫ 5 + 4 x − x2 = − 2 ∫ 5 + 4 x − x2 = − 2 ∫ 5 + 4 x − x2 1 (4 − 2 x)dx 4 dx 1 du dx =− ∫ + ∫ =− ∫ + 2∫ 2 2 2 2 2 u 5 + 4x − x 5 + 4x − x 5 + 4 x − x2 Completando cuadrados: 5 + 4 x − x 2 = −( x 2 − 4 x − 5) = −( x 2 − 4 x + 4 − 4 − 5) = −( x 2 − 4 x + 4) + 9 = 9 − ( x − 2) 2 = 32 − ( x − 2) 2 . Equivalente a: 1 −1 dx . Sea: w = x − 2, dw = dx; a = 3 . Entonces: = − ∫ u 2 du + 2 ∫ 2 2 3 − ( x − 2) 2 1

1 −1 dw 1 u2 w = − ∫ u 2 du + 2∫ =− + 2 arcs e n + c 2 a 2 1 a 2 − w2 2 x−2 = − 5 + 4 x − x 2 + 2 arcs e n +c 3 xdx x−2 Respuesta: ∫ = − 5 + 4 x − x 2 + 2 arcs e n +c 2 3 5 + 4x − x dx 5.11.-Encontrar: ∫ 2 + 3x − 2 x 2 Solución.- Completando cuadrados se tiene: 3 9 25 2 + 3x − 2 x 2 = −(2 x 2 − 3 x − 2) = −2( x 2 − 3 x − 1) = −2( x 2 − x + − ) 2 2 16 16 3 9 25 ⎤ ⎡ = −2 ⎢( x 2 − x + ) − ⎥ = −2 ⎡( x − 3 ) 2 − ( 5 ) 2 ⎤ = 2 ⎡ ( 5 ) 2 − ( x − 3 ) 2 ⎤ , luego: 4 4 ⎦ 4 ⎦ ⎣ ⎣ 4 2 16 16 ⎦ ⎣ 1 dx dx dx = ∫ 2 + 3x − 2 x 2 = ∫ ⎡ 5 2 ∫ 2 2 ( 5 ) − ( x − 3 )2 2 ( ) − ( x − 3 )2 ⎤ 4 4 4 ⎦ ⎣ 4 Sea: w = x − 3 , dw = dx, a = 5 . Luego: 4 4 115

x− 3 1 1 1 1 dx dw w 4 +c arcs e n c arcs e n = = + = ∫ ∫ 2 2 5 2 2 a 2 2 2 2 a −w (5 ) − (x − 3 ) 4 4 4 2 4x − 3 = arcs e n +c 2 5 dx 2 4x − 3 Respuesta: ∫ = arcs e n +c 2 5 2 + 3x − 2 x 2 dx 5.12.-Encontrar: ∫ 2 3 x + 12 x + 42 Solución.dx dx 1 dx 1 dx ∫ 3x 2 + 12 x + 42 = ∫ 3( x 2 + 4 x + 14) = 3 ∫ ( x2 + 4 x + 14) = 3 ∫ ( x 2 + 4 x + 4 + 10) = 1 dx 1 dx 1 1 x+2 = ∫ = ∫ = +c arcτ g 2 2 2 3 ( x + 2) + 10 3 ( x + 2) + ( 10) 3 10 10 =

dx 10 x+2 = arcτ g +c 3x + 12 x + 42 30 10 3x − 2 5.13.-Encontrar: ∫ 2 dx x − 4x + 5 Solución.- Sea: u = x 2 − 4 x + 5, du = (2 x − 4)dx , Luego: 3x − 2 xdx dx ( x − 2) + 2 dx ∫ x2 − 4 x + 5dx = 3∫ x 2 − 4 x + 5 − 2∫ x2 − 4 x + 5 = 3∫ x2 − 4 x + 5 − 2∫ x 2 − 4 x + 5 dx dx dx ( x − 2) 3 du = 3∫ 2 + 6∫ 2 − 2∫ 2 = ∫ + 4∫ 2 x − 4x + 5 x − 4x + 5 x − 4x + 5 2 u x − 4x + 5 3 du dx 3 dx = ∫ + 4∫ 2 = η x 2 − 4 x + 5 + 4∫ 2 u ( x − 4 x + 4) + 1 2 ( x − 2) 2 + 1 3 = η x 2 − 4 x + 5 + 4 arcτ g ( x − 2) + c 2 3x − 2 3 Respuesta: ∫ 2 dx = η x 2 − 4 x + 5 + 4 arcτ g ( x − 2) + c 2 x − 4x + 5 Respuesta: ∫

2

EJERCICIOS PROPUESTOS Usando Esencialmente la técnica tratada, encontrar las integrales siguientes: 5.14.- ∫ x 2 + 2 x − 3dx

5.15.- ∫ 12 + 4x − x 2 dx

5.16.- ∫ x 2 + 4 xdx

5.17.- ∫ x 2 − 8 xdx

5.18.- ∫ 6x − x 2 dx

5.19.- ∫

(5 − 4 x)dx

12 x − 4 x 2 − 8

116

5.20.- ∫

xdx

27 + 6 x − x 2 dx 5.23.- ∫ 2 4 x + 4 x + 10 3 2 ( x + 2 )dx 5.26.- ∫ 2 3 9 x − 12 x + 8 3dx 5.29.- ∫ 80 + 32 x − 4 x 2 5.32.- ∫ 12 − 8 x − 4 x 2 dx 5.35.- ∫

(1 − x)dx

8 + 2x − x ( x + 2)dx 5.38.- ∫ 2 x + 2x + 2 ( x − 1)dx 5.41.- ∫ 2 x + 2x + 2

2

( x − 1)dx 3x 2 − 4 x + 3 (2 x + 2)dx 5.24.- ∫ 2 x − 4x + 9 ( x + 6)dx 5.27.- ∫ 5 − 4x − x2 5.21.- ∫

dx

5.30.- ∫

12 x − 4 x 2 − 8 5.33.- x 2 − x + 5 dx 4

xdx x + 4x + 5 (2 x + 1)dx 5.39.- ∫ 2 x + 8x − 2

5.36.- ∫

2

5.22.- ∫ 5.25.- ∫

(2 x − 3)dx x 2 + 6 x + 15 (2 x + 4)dx

4 x − x2 dx 5.28.- ∫ 2 2 x + 20 x + 60 5.31.- ∫

5dx

28 − 12 x − x 2 dx 5.34.- ∫ 2 x − 2x + 5 (2 x + 3)dx 5.37.- ∫ 2 4x + 4x + 5 dx 5.40.- ∫ − x2 − 6 x

RESPUESTAS 5.14.- ∫ x 2 − 2 x − 3dx Solución.- Completando cuadrados se tiene: x 2 − 2 x − 3 = ( x 2 − 2 x + 1) − 3 − 1 = ( x − 1) 2 − 4 = ( x − 1) 2 − 22 Haciendo: u = x − 1, du = dx; a = 2 , se tiene:

∫

x 2 − 2 x − 3dx = ∫ ( x − 1) 2 − 22 dx = ∫ u 2 − a 2 du

1 1 = u u2 − a2 − a2 η u + u2 − a2 + c 2 2 1 1 = ( x − 1) ( x − 1) 2 − 22 − 22 η ( x − 1) + ( x − 1)2 − 22 + c 2 2 1 = ( x − 1) x 2 − 2 x − 3 − 2 η ( x − 1) + x 2 − 2 x − 3 + c 2 5.15.- ∫ 12 + 4x − x 2 dx Solución.- Completando cuadrados se tiene: 12 + 4 x − x 2 = −( x 2 − 4 x − 12) = −( x 2 − 4 x + 4 − 12 − 4) = −( x 2 − 4 x + 4) + 16

= 42 − ( x − 2) 2 Haciendo: u = x − 2, du = dx; a = 4 , se tiene:

∫

1 1 u 12 + 4 x − x 2 dx = ∫ 42 − ( x − 2) 2 dx = ∫ a 2 − u 2 du = u a 2 − u 2 + a 2 arcs e n + c 2 2 a

117

1 1 ( x − 2) = ( x − 2) 42 − ( x − 2)2 + 42 arcs e n +c 2 2 4 1 ( x − 2) = ( x − 2) 12 + 4 x − x 2 + 8arcs e n +c 2 4 5.16.- ∫ x 2 + 4 xdx Solución.- Completando cuadrados se tiene: x 2 + 4 x = ( x 2 + 4 x + 4) − 4 = ( x + 2) 2 − 22 Haciendo: u = x + 2, du = dx; a = 2 , se tiene:

∫

x 2 + 4 xdx = ∫ ( x + 2) 2 − 22 dx = ∫ u 2 − a 2 du

1 1 = u u2 − a2 − a2 η u + u2 − a2 + c 2 2 1 1 = ( x + 2) ( x + 2) 2 − 22 − 22 η ( x + 2) + ( x + 2) 2 − 22 + c 2 2 ( x + 2) 2 = x + 4 x − 2 η ( x + 2) + x 2 + 4 x + c 2 5.17.- ∫ x 2 − 8 xdx Solución.- Completando cuadrados se tiene: x 2 − 8 x = ( x 2 − 8 x + 16) − 16 = ( x − 4) 2 − 42 Haciendo: u = x − 4, du = dx; a = 4 , se tiene: 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫ ( x − 4) − 4 dx = u − a du = 2 u u − a − 2 a η u + u − a + c 1 1 = ( x − 4) ( x − 4) 2 − 42 − 42 η ( x − 4) + ( x − 4) 2 − 42 + c 2 2 ( x − 4) 2 = x − 8 x − 8 η ( x − 4) + x 2 − 8 x + c 2 5.18.- ∫ 6x − x 2 dx Solución.- Completando cuadrados se tiene: 6 x − x 2 = −( x 2 − 6 x) = −( x 2 − 6 x + 9 − 9) = −( x 2 − 6 x + 9) + 9 = 32 − ( x − 3) 2 Haciendo: u = x − 3, du = dx; a = 3 , se tiene: u 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫ 6 x − x dx = 3 − ( x − 3) dx = a − u du = 2 u a − u + 2 a arcs e n a + c x −3 1 1 = ( x − 3) 32 − ( x − 3) 2 + 32 arcs e n +c 2 2 3 ( x − 3) 9 x −3 6 x − x 2 + arcs e n = +c 2 2 3 (5 − 4 x)dx 5.19.- ∫ 12 x − 4 x 2 − 8 Solución.- Sea: u = 12 x − 4 x 2 − 8, du = (12 − 8 x)dx

118

1 2(−4 x + 5)dx 1 (−8 x + 10)dx = ∫ ∫ 12 x − 4 x 2 − 8 12 x − 4 x 2 − 8 2 12 x − 4 x 2 − 8 2 12 x − 4 x 2 − 8 1 (−8 x + 12 − 2)dx 1 (−8 x + 12)dx dx = ∫ = ∫ −∫ 2 2 2 12 x − 4 x − 8 2 12 x − 4 x − 8 12 x − 4 x 2 − 8 1 (−8 x + 12)dx 1 (−8 x + 12)dx 1 dx dx = ∫ −∫ = ∫ − ∫ 2 2 2 2 12 x − 4 x − 8 4(3x − x − 2) 2 12 x − 4 x − 8 2 3x − x 2 − 2

∫

(5 − 4 x)dx

=∫

(−4 x + 5)dx

=

Completando cuadrados se tiene:

9 9 9 9 3 x − x 2 − 2 = −( x 2 − 3x + 2) = −( x 2 − 3 x + − + 2) = −( x 2 − 3 x + ) + − 2 4 4 4 4 1 1 3 = −( x − 3 ) 2 + = ( ) 2 − ( x − ) 2 2 4 2 2 1 (−8 x + 12)dx 1 dx = ∫ − ∫ 2 12 x − 4 x 2 − 8 2 ( 1 )2 − ( x − 3 )2 2 2 2 Haciendo: u = 12 x − 4 x − 8, du = (12 − 8 x)dx y w = x − 3 , dw = dx , entonces: 2 1 2 w 1 du 1 1 u 1 dw − arcs e n +c = ∫ − ∫ = 1 2 2 2 1 u 2 ( 1 ) 2 − w2 2 2 2 1 1 1 = u 2 − arcs e n 2 w + c = 12 x − 4 x 2 − 8 − arcs e n(2 x − 3) + c 2 2 xdx 5.20.- ∫ 27 + 6 x − x 2 Solución.- Sea: u = 27 + 6 x − x 2 , du = (6 − 2 x)dx −2 xdx xdx 1 1 (−2 x + 6 − 6)dx ∫ 27 + 6 x − x2 = − 2 ∫ 27 + 6 x − x 2 = − 2 ∫ 27 + 6 x − x2 1 (−2 x + 6)dx dx 1 du dx =− ∫ + 3∫ =− ∫ + 3∫ 2 2 2 2 u 27 + 6 x − x 27 + 6 x − x 27 + 6 x − x 2 Completando cuadrados se tiene: 27 + 6 x − x 2 = −( x 2 − 6 x − 27) = −( x 2 − 6 x + 9 − 9 − 27) = −( x 2 − 6 x + 9) + 36 = 62 − ( x − 3) 2 , Luego: x −3 1 −1 2 dx 1 u2 u du + 3∫ =− + 3arcs e n +c ∫ 2 6 2 1 62 − ( x − 3) 2 2 x −3 x−3 1 = −u 2 + 3arcs e n + c = − 27 + 6 x − x 2 + 3arcs e n +c 6 6 ( x − 1)dx 5.21.- ∫ 2 3x − 4 x + 3 Solución.- Sea: u = 3x 2 − 4 x + 3, du = (6 x − 4)dx ( x − 1)dx 1 (6 x − 6)dx 1 (6 x − 4 − 2)dx 1 (6 x − 4)dx 1 dx ∫ 3x 2 − 4 x + 3 = 6 ∫ 3x 2 − 4 x + 3 = 6 ∫ 3x 2 − 4 x + 3 = 6 ∫ 3x 2 − 4 x + 3 − 3 ∫ 3x 2 − 4 x + 3 1

=−

119

dx dx 1 du 1 1 du 1 − ∫ 2 = ∫ − ∫ ∫ 6 u 3 3x − 4 x + 3 6 u 3 3( x 2 − 4 x + 1) 3 1 du 1 dx = ∫ − ∫ 2 4 6 u 9 (x − x + 1) 3 Completando cuadrados se tiene: 4 4 4 4 4 4 5 x 2 − x + 1 = ( x 2 − x + ) + 1 − = ( x 2 − x + ) + = ( x − 2 )2 + ( 5 )2 3 3 3 3 9 9 3 9 9 x−2 1 du 1 1 1 1 dx 3 +c = ∫ − ∫ = ηu− arcτ g 6 u 9 ( x − 2 )2 + ( 5 )2 6 9 5 5 3 3 3 3 1 5 3x − 2 = η 3x 2 − 4 x + 3 − arcτ g +c 6 15 5 (2 x − 3)dx 5.22.- ∫ 2 x + 6 x + 15 Solución.- Sea: u = x 2 + 6 x + 15, du = (2 x + 6)dx dx (2 x − 3)dx (2 x + 6 − 9)dx (2 x + 6)dx ∫ x2 + 6 x + 15 = ∫ x 2 + 6 x + 15 = ∫ x2 + 6 x + 15 − 9∫ x 2 + 6 x + 15 du dx =∫ − 9∫ 2 , Completando cuadrados se tiene: u x + 6 x + 15 x 2 + 6 x + 15 = ( x 2 + 6 x + 9) + 15 − 9 = ( x + 3) 2 + 62 = ( x + 3) 2 + ( 6)2 du dx 1 x+3 =∫ − 9∫ = η x 2 + 6 x + 15 − 9 +c arcτ g 2 2 u ( x + 3) + ( 6) 6 6 =

= η x 2 + 6 x + 15 −

x+3 3 6 arcτ g +c 2 6

dx 4 x + 4 x + 10 Solución.dx dx 1 dx ∫ 4 x 2 + 4 x + 10 = ∫ 4( x 2 + x + 5 ) = 4 ∫ ( x2 + x + 5 ) , Completando cuadrados: 2 2 5 1 5 1 1 9 1 3 x 2 + x + = ( x 2 + x + ) + − = ( x + )2 + = ( x + )2 + ( )2 2 4 2 4 2 4 2 2 1 x+ 1 1 1 dx 2 + c = 1 arcτ g 2 x + 1 + c = ∫ = arcτ g 1 3 3 3 4 ( x + )2 + ( )2 4 6 3 2 2 2 2 (2 x + 2)dx 5.24.- ∫ 2 x − 4x + 9 Solución.- Sea: u = x 2 − 4 x + 9, du = (2 x − 4)dx 5.23.- ∫

2

120

(2 x + 2)dx (2 x − 4 + 6)dx (2 x − 4)dx dx =∫ 2 =∫ 2 + 6∫ 2 2 − 4x + 9 x − 4x + 9 x − 4x + 9 x − 4x + 9 du dx =∫ + 6∫ 2 , Completando cuadrados se tiene: u x − 4x + 9 x 2 − 4 x + 9 = ( x 2 − 4 x + 4) + 9 − 4 = ( x − 2) 2 + 5 = ( x − 2) 2 + ( 5) 2 , du dx 1 x−2 =∫ + 6∫ = η u +6 +c arcτ g 2 2 u ( x − 2) + ( 5) 5 5

∫x

= η x2 − 4 x + 9 + 5.25.- ∫

6 5 x−2 arcτ g +c 5 5

(2 x + 4)dx

4 x − x2 Solución.- Sea: u = 4 x − x 2 + 9, du = (4 − 2 x)dx (2 x + 4)dx (−2 x − 4)dx (−2 x + 4 − 8)dx (−2 x + 4)dx dx ∫ 4 x − x 2 = − ∫ 4 x − x 2 = − ∫ 4 x − x 2 = − ∫ 4 x − x 2 + 8∫ 4 x − x 2 dx −1 , Completando cuadrados se tiene: = − ∫ u 2 du + 8∫ 4 x − x2 4 x − x 2 = −( x 2 − 4 x) = −( x 2 − 4 x + 4 − 4) = −( x 2 − 4 x + 4) + 4 = 22 − ( x − 2) 2 dx x−2 −1 1 = − ∫ u 2 du + 8∫ = −2u 2 + 8arcs e n +c 2 2 2 2 − ( x − 2) = −2 4 x − x 2 + 8arcs e n

x−2 +c 2

3 2 ( x + 2 )dx 5.26.- ∫ 2 3 9 x − 12 x + 8 Solución.- Sea: u = 9 x 2 − 12 x + 8, du = (18 x − 12)dx 3 2 ( x + 2 )dx 2 1 (18 x + 27)dx 1 (18 x + 27)dx 1 (18 x − 12 + 39)dx = = = 2 ∫ 3 9 x − 12 x + 8 3 18 ∫ 9 x 2 − 12 x + 8 27 ∫ 9 x 2 − 12 x + 8 27 ∫ 9 x 2 − 12 x + 8 dx dx 1 (18 x − 12)dx 39 1 du 39 = + ∫ 2 = + ∫ 2 ∫ ∫ 27 9 x − 12 x + 8 27 9 x − 12 x + 8 27 u 27 9( x 2 − 4 x + 8 ) 3 9 dx 1 du 39 = + 27 ∫ u 27 × 9 ∫ ( x 2 − 4 x + 8 ) 3 9 Completando cuadrados se tiene: 4 8 4 4 8 4 x 2 − + = ( x 2 − x + ) + − = ( x − 2 )2 + 4 = ( x − 2 )2 + ( 2 )2 3 9 3 3 3 9 3 9 9 9 x−2 1 du 39 dx 1 39 1 3 +c u arc η τ g = + = + 2 27 ∫ u 27 × 9 ∫ ( x − 2 ) 2 + ( 2 ) 2 27 27 × 9 2 3 3 3 3

121

1 13 3x − 2 η 9 x 2 − 12 x + 8 − arcτ g +c 27 54 2 ( x + 6)dx 5.27.- ∫ 5 − 4 x − x2 Solución.- Sea: u = 5 − 4 x − x 2 , du = (−4 − 2 x)dx ( x + 6)dx 1 (−2 x − 12)dx 1 (−2 x − 4 − 8)dx ∫ 5 − 4 x − x2 = − 2 ∫ 5 − 4 x − x2 = − 2 ∫ 5 − 4 x − x2 1 (−2 x − 4)dx dx 1 du dx =− ∫ + 4∫ =− ∫ + 4∫ 2 2 2 2 u 5 − 4x − x 5 − 4x − x 5 − 4 x − x2 Completando cuadrados se tiene: 5 − 4 x − x 2 = 9 − ( x + 2) 2 = 32 − ( x + 2) 2 1 du dx x+2 =− ∫ + 4∫ = − u + 4 arcs e n +c 2 2 2 3 u 3 − ( x + 2) =

= − 5 − 4 x − x 2 + 4 arcs e n

x+2 +c 3

dx 2 x + 20 x + 60 Solución.dx 1 dx ∫ 2 x 2 + 20 x + 60 = 2 ∫ x 2 + 10 x + 30 , Completando cuadrados se tiene: x 2 + 10 x + 30 = ( x 2 + 10 x + 25) + 5 = ( x + 5) 2 + ( 5) 2 5.28.- ∫

2

dx x+5 x+5 1 1 1 5 = arcτ g +c = arcτ g +c ∫ 2 2 2 ( x + 5) + ( 5) 2 5 10 5 5 3dx 5.29.- ∫ 80 + 32 x − 4 x 2 Solución.3dx 3dx 3 dx ∫ 80 + 32 x − 4 x 2 = ∫ 4(20 + 8 x − x 2 ) = 2 ∫ (20 + 8x − x2 ) Completando cuadrados se tiene: 20 + 8 x − x 2 = −( x 2 − 8 x − 20) = −( x 2 − 8 x + 16 − 20 − 16) = −( x 2 − 8 x + 16) + 36 = −( x − 4) 2 + 62 = 62 − ( x − 4) 2 3 dx 3 x−4 = ∫ = arcs e n +c 2 2 2 2 6 6 − ( x − 4) =

5.30.- ∫

dx

12 x − 4 x 2 − 8 Solución.1 dx dx dx ∫ 12 x − 4 x 2 − 8 = ∫ 4(− x 2 + 3x − 2) = 2 ∫ (− x 2 + 3x − 2) Completando cuadrados se tiene:

122

9 9 9 1 − x 2 + 3x − 2 = −( x 2 − 3 x + 2) = −( x 2 − 3x + + 2 − ) = −( x 2 − 3x + ) + 4 4 4 4 2 2 3 1 = ( ) − (x − ) 2 2 x− 3 1 dx 1 2 + c = 1 arcs e n(2 x − 3) + c = ∫ = arcs e n 1 2 2 2 2 2 ( 1 ) − (x − 3 ) 2 2 2 5dx 5.31.- ∫ 28 − 12 x − x 2 Solución.5dx dx ∫ 28 − 12 x − x2 = 5∫ 28 − 12 x − x 2 , Completando cuadrados se tiene: 28 − 12 x − x 2 = 82 − ( x + 6) 2 dx x+6 = 5∫ = 5arcs e n +c 2 2 8 8 − ( x + 6) 5.32.- ∫ 12 − 8 x − 4 x 2 dx

Solución.- Sea: u = x + 1, du = dx; a = 2

∫

12 − 8 x − 4 x 2 dx = ∫ 4(3 − 2 x − x 2 )dx = 2∫ 3 − 2 x − x 2 dx

Completando cuadrados se tiene: 3 − 2 x − x 2 = −( x 2 + 2 x − 3) = −( x 2 + 2 x + 1) + 4 = 22 − ( x + 1) 2

a2 u 1 2 ∫ 22 − ( x + 1) 2 dx = 2∫ a 2 − u 2 du = 2( u a 2 − u 2 + arcs e n ) + c 2 2 a x + 1 = ( x + 1) − x 2 − 2 x + 3 + 4 arcs e n +c 2 5.33.- x 2 − x + 5 dx 4 Solución.- Sea: u = x − 1 , du = dx; a = 1 2 Completando cuadrados se tiene: x2 − x + 5 = ( x − 1 )2 + 1 4 2 x 2 − x + 5 dx = ( x − 1 ) 2 + 1dx = u 2 + a 2 du 4 2 1 1 = u u2 + a2 + a2 η u + u2 + a2 + c 2 2 1 1 = ( x − 1 ) x2 − x + 5 + η x − 1 + x2 − x + 5 + c 2 4 2 4 2 2 1 1 = (2 x − 1) x 2 − x + 5 + η x − 1 + x 2 − x + 5 + c 4 2 2 4 4 dx 5.34.- ∫ 2 x − 2x + 5

123

Solución.- Completando cuadrados se tiene: x 2 − 2 x + 5 = ( x 2 − 2 x + 4) + 1 = ( x − 2) 2 + 1 dx dx ∫ x 2 − 2 x + 5 = ∫ ( x − 2)2 + 1 = arcτ g ( x − 2) + c (1 − x)dx 5.35.- ∫ 8 + 2 x − x2 Solución.- Sea: u = 8 + 2 x − x 2 , du = (2 − 2 x)dx = 2(1 − x)dx (1 − x)dx 1 du 1 −1 2 ∫ 8 + 2 x − x 2 = 2 ∫ u = 2 ∫ u 2 du = u + c = 8 + 2 x − x + c xdx 5.36.- ∫ 2 x + 4x + 5 Solución.- Sea: u = x 2 + 4 x + 5, du = (2 x + 4)dx xdx 1 2 xdx 1 (2 x + 4) − 4 ∫ x2 + 4 x + 5 = 2 ∫ x 2 + 4 x + 5 = 2 ∫ x 2 + 4 x + 5 dx 1 (2 x + 4)dx dx 1 du dx , Completando cuadrados se = ∫ 2 − 2∫ 2 = ∫ − 2∫ 2 2 x + 4x + 5 x + 4x + 5 2 u x + 4x + 5 tiene: x 2 + 4 x + 5 = ( x 2 + 4 x + 4) + 1 = ( x + 2) 2 + 1 1 du dx 1 = ∫ − 2∫ = η u − 2 arcτ g ( x + 2) + c 2 2 u ( x + 2) + 1 2 1 = η x 2 + 4 x + 5 − 2 arcτ g ( x + 2) + c 2 (2 x + 3)dx 5.37.- ∫ 2 4x + 4x + 5 Solución.- Sea: u = 4 x 2 + 4 x + 5, du = (8 x + 4)dx (2 x + 3)dx 1 (8 x + 12)dx 1 (8 x + 4) + 8 ∫ 4 x 2 + 4 x + 5 = 4 ∫ 4 x 2 + 4 x + 5 = 4 ∫ 4 x 2 + 4 x + 5 dx 1 (8 x + 4)dx dx 1 du dx 1 du dx + 2∫ 2 = ∫ + 2∫ 2 = ∫ + 2∫ 2 ∫ 4 4x + 4x + 5 4x + 4x + 5 4 u 4x + 4x + 5 4 u 4( x 2 + x + 5 ) 4 1 du 1 dx = ∫ + ∫ 2 , Completando cuadrados se tiene: 4 u 2 (x + x + 5 ) 4 5 1 x2 + x + = ( x 2 + x + ) + 1 = ( x + 1 )2 + 1 2 4 4 dx 1 du 1 1 1 = ∫ + ∫ = η u + arcτ g ( x + 1 ) + c 2 2 4 u 2 (x + 1 ) +1 4 2 2 ( x + 2)dx 5.38.- ∫ 2 x + 2x + 2 Solución.- Sea: u = x 2 + 2 x + 2, du = (2 x + 2)dx

124

( x + 2)dx 1 (2 x + 4)dx 1 (2 x + 2) + 2 1 (2 x + 2)dx dx = ∫ 2 = ∫ 2 +∫ 2 dx = ∫ 2 2 + 2x + 2 2 x + 2x + 2 2 x + 2x + 2 x + 2x + 2 2 x + 2x + 2 1 du dx 1 du dx = ∫ + = + 2 u ∫ x 2 + 2 x + 2 2 ∫ u ∫ ( x + 1) 2 + 1 1 1 = η u + arcτ g ( x + 1) + c = η x 2 + 2 x + 2 + arcτ g ( x + 1) + c 2 2 (2 x + 1)dx 5.39.- ∫ 2 x + 8x − 2 Solución.- Sea: u = x 2 + 8 x − 2, du = (2 x + 8)dx (2 x + 1)dx (2 x + 8) − 7 dx (2 x + 8)dx dx ∫ x2 + 8x − 2 = ∫ x2 + 8x − 2 = ∫ x2 + 8x − 2 − 7∫ x2 + 8x − 2 du dx du dx =∫ − 7∫ 2 =∫ − 7∫ 2 u u ( x + 8 x + 16) − 18 ( x + 4) − (3 2) 2

∫x

= η u −7

1 ( x + 4) − (3 2) η +c 2(3 2) ( x + 4) + (3 2)

= η x2 + 8x − 2 − 5.40.- ∫

7 2 ( x + 4) − (3 2) η +c 12 ( x + 4) + (3 2)

dx

− x2 − 6 x Solución.- Completando cuadrados se tiene: − x 2 − 6 x = −( x 2 + 6 x) = −( x 2 + 6 x + 9) + 9 = 32 − ( x + 3) 2 dx x+3 ∫ 32 − ( x + 3)2 = arcs e n 3 + c ( x − 1)dx x2 + 2x + 2 Solución.- Sea: u = x 2 + 2 x + 2, du = (2 x + 2)dx ( x − 1)dx 1 (2 x + 2) − 4 1 (2 x + 2)dx dx ∫ x2 + 2 x + 2 = 2 ∫ x 2 + 2 x + 2 dx = 2 ∫ x 2 + 2 x + 2 − 2∫ x 2 + 2 x + 2 1 du dx 1 du dx 1 = ∫ − 2∫ 2 = ∫ − 2∫ = η u − 2 arcτ g ( x + 1) + c 2 2 u x + 2x + 2 2 u ( x + 1) + 1 2 1 = η x 2 + 2 x + 2 − 2 arcτ g ( x + 1) + c 2

5.41.- ∫

125

CAPITULO 6 INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA Existen integrales que contienen expresiones de las formas: a 2 − x 2 , a 2 + x 2 x 2 − a 2 , las que tienen fácil solución si se hace la sustitución trigonométrica adecuada. A saber, si la expresión es: a 2 − x 2 , la sustitución adecuada es: x = a s e n θ ó x = a cos θ . Si la expresión es: a 2 + x 2 , entonces: x = a sec θ

EJERCICIOS DESARROLLADOS 1. Encontrar: ∫

dx (4 − x 2 )3

Solución.- Dada le expresión: 4 − x 2 , la forma es: a 2 − x 2 , la sustitución adecuada x es: x = a s e n θ o sea: x = 2s e n θ ∴ dx = 2 cos θ dθ . Además: s e n θ = . Una figura a auxiliar adecuada para ésta situación, es: 2

x

θ 22 − x 2

∫

dx (4 − x 2 )3

=∫

dx (22 − x 2 )3

=∫

2 cos θ dθ (22 − 22 s e n 2 θ )3

=∫

2 cos θ dθ

⎡⎣(22 (1 − s e n 2 θ ) ⎤⎦ 2 cos θ dθ 2 cos θ dθ 2 cos θ dθ 1 dθ 1 =∫ =∫ =∫ 3 = 2∫ = ∫ sec 2 θ dθ 3 3 2 2 2 3 (2 cos θ ) 2 cos θ 2 cos θ 4 (2 cos θ ) 1 1 = ∫ sec 2 θ dθ = τ gθ + c . A partir de la figura triangular se tiene: 4 4 x 1 1 x , Luego: τ gθ + c = τ gθ = +c 4 4 4 − x2 4 − x2 dx 1 x Respuesta: ∫ = +c (4 − x 2 )3 4 4 − x 2

6.2.-Encontrar: ∫

3

25 − x 2 dx x

Solución.-

126

∫

25 − x 2 52 − x 2 dx = ∫ dx , la forma es: a 2 − x 2 , luego: x x

Sea: x = 5s e n θ ∴ dx = 5 cos θ dθ , x Además: s e n θ = 5

52 − x 2 = 5cos θ

52 − x 2 5 cos θ 5cos θ dθ cos 2 θ dθ (1 − s e n 2 θ )dθ dx = = 5 = 5 ∫ x ∫ 5 s e nθ ∫ s e nθ ∫ s e nθ dθ = 5∫ − 5∫ s e n θ dθ = 5∫ cos ecθ − 5∫ s e n θ dθ s e nθ 5 = 5 η cos ecθ − co τ gθ + 5cos θ + c .

θ

De la figura se tiene: cos ecθ = =5 η

5 25 − x , luego: , coτ gθ = x x 2

5 25 − x 2 − +5 x x

Respuesta: ∫

x

52 − x 2

25 − x 2 5 − 25 − x 2 +c =5 η + 25 − x 2 + c x 5

25 − x 2 5 − 25 − x 2 dx = 5 η + 25 − x 2 + c x x

6.3.-Encontrar: ∫

dx (4 x − x 2 )3

Solución.- 4 x − x 2 = −( x 2 − 4 x) = −( x 2 − 4 x + 4 − 4) = 4 − ( x 2 − 4 x + 4) = 22 − ( x − 2) 2 dx dx 2 2 ∫ (4 x − x2 )3 = ∫ ( 22 − ( x − 2)2 )3 , la forma es: a − u , Luego: x − 2 = 2s e n θ ∴ dx = 2 cos θ dθ , 22 − ( x − 2) 2 = 2 cos θ x−2 Además: s e n θ = 2 dx 2 cos θ dθ 1 dθ 1 1 2 ∫ ( 22 − ( x − 2)2 )3 = ∫ 23 cos3 θ = 4 ∫ cos2 θ = 4 ∫ sec θ dθ = 4 τ gθ + c 2

De la figura se tiene: x−2

1 x−2 , luego: τ gθ + c = Pero: τ gθ = +c 4 4x − x2 4 4x − x2 dx x−2 Respuesta: ∫ = +c 2 3 (4 x − x ) 4 4x − x2

x-2

θ 4 − ( x − 2) 2 = 4 x − x 2

127

6.4.-Encontrar: ∫

x 2 dx 3 (a 2 − x 2 ) 2

Solución.x 2 dx x 2 dx 2 2 = 3 ∫ (a 2 − x 2 ) 2 ∫ ( a 2 − x 2 )3 , la forma es: a − x Luego: x = a s e n θ , dx = a cos θ , a 2 − x 2 = a cos θ , además: s e n θ = x 2 dx

=∫

x a

a 2 s e n 2 θ a cos θ dθ a 3 s e n 2 θ cos θ dθ s e n 2 θ dθ = = ∫ a3 cos θ cos2 θ ∫ cos2 θ (a cos θ )3

∫(

a 2 − x 2 )3

=∫

(1 − cos 2 θ )dθ dθ =∫ − ∫ dθ = ∫ s ec 2θ dθ − ∫ dθ = τ gθ − θ + c 2 2 cos θ cos θ a

x

θ a2 − x2

De la figura se tiene: x

x x y θ = arcs e n a a a2 − x2 x x Luego: τ gθ − θ + c = − arcs e n + c a a2 − x2 2 x dx x x = − arcs e n + c Respuesta: ∫ a ( a 2 − x 2 )3 a2 − x2

Pero: τ gθ =

, además: s e n θ =

6.5.-Encontrar: ∫ Solución.dx

∫x

2

9− x

2

=∫

dx x2 9 − x2 dx

x

3 −x

2

2

2

, la forma es: a 2 − x 2

Luego: x = 3s e n θ , dx = 3cos θ dθ , 32 − x 2 = 3cos θ , además: s e n θ =

∫x

dx 2

32 − x 2

=∫

x 3

3cos θ dθ 1 dθ 1 1 = ∫ = ∫ cos ec 2θ dθ = − co τ gθ + c 2 2 9 3 s e n θ 3cos θ 9 s e n θ 9 2

3

x

θ De la figura se tiene:

9 − x2

128

Pero: co τ gθ = Respuesta: ∫

9 − x2 1 9 − x2 , luego: co τ gθ + c = − +c 9 9x x dx

=−

9 − x2 +c 9x

x2 9 − x2 x 2 dx 6.6.-Encontrar: ∫ 9 − x2 Solución.x 2 dx x 2 dx 2 2 = ∫ 9 − x 2 ∫ 32 − x 2 , la forma es: a − x

Luego: x = 3s e n θ , dx = 3cos θ dθ , 32 − x 2 = 3cos θ , además: s e n θ =

x 3

Usaremos la misma figura anterior, luego: x 2 dx 32 s e n 2 θ 3cos θ dθ (1 − cos 2θ )dθ = = 9 ∫ s e n 2 θ dθ = 9 ∫ ∫ 32 − x 2 ∫ 2 3cos θ 9 9 9 9 9 9 θ − ∫ cos 2θ dθ = θ − s e n 2θ + c = θ − 2s e n θ cos θ + c ∫ 2 2 2 4 2 4 9 9 = θ − s e n θ cos θ + c , de la figura se 2 2 x θ = arcs e n , luego es equivalente: 3 9 x 9 x 9 − x2 9⎛ x = arcs e n − + c = ⎜ arcs e n − ⎜ 2 3 43 3 2⎝ 3 x 2 dx 9⎛ x 9 − x2 Respuesta: ∫ = ⎜ arcs e n − 3 9 9 − x 2 2 ⎜⎝

tiene que: s e n θ =

9 − x2 9

x 9 − x2 , cos θ = 3 3

y

⎞ ⎟+c ⎟ ⎠

⎞ ⎟+c ⎟ ⎠

6.7.-Encontrar: ∫ x 2 − 4dx Solución.-

∫

x 2 − 4dx = ∫ x 2 − 22 dx , la forma es: x 2 − a 2

Luego: x = 2sec θ , dx = 2sec θτ gθ dθ , x 2 − 22 = 2τ gθ , además: sec θ =

∫

x 2

x 2 − 22 dx = ∫ 2τ gθ 2sec θτ gθ dθ = 4∫ sec θτ g 2θ dθ = 4∫ secθ (sec 2 θ − 1)dθ

= 4 ∫ sec3 θ dθ − 4∫ sec θ dθ

Se sabe que: ∫ sec3 θ dθ =

sec θτ gθ 1 + η sec θ + τ gθ + c , luego lo anterior es 2 2

equivalente a:

129

1 ⎛1 ⎞ = 4 ⎜ sec θτ gθ + η sec θ + τ gθ ⎟ − 4 η sec θ + τ gθ + c 2 ⎝2 ⎠ = 2sec θτ gθ + 2 η sec θ + τ gθ − 4 η sec θ + τ gθ + c = 2sec θτ gθ − 2 η sec θ + τ gθ + c

x

θ

De la figura se tiene:

sec θ =

=

x2 − 4 x x2 − 4 x x2 − 4 x + x2 − 4 −2 η + +c = −2 η +c 2 2 2 2 2

x 2

= 2

2

x −4 , luego: 2 2

x , τ gθ = 2

x 2 − 22

x x2 − 4 − 2 η x + x2 − 4 − 2 η 2 + c 2

x x2 − 4 Respuesta: ∫ x − 4dx = − 2 η x + x2 − 4 + c 2 2 x dx 6.8.-Encontrar: ∫ x 2 − 16 Solución.x 2 dx x 2 dx 2 2 = ∫ x 2 − 16 ∫ x 2 − 42 , la forma es: x − a 2

Luego: x = 4sec t , dx = 4sec tτ gtdt , x 2 − 42 = 4τ gt , además: sec t =

x 2 dx

∫

=∫

42 sec 2 t ( 4 sec t τ gt dt )

x 4

= 16∫ sec3 tdt

4 τ gt x −4 1 ⎛1 ⎞ = 16 ⎜ sec tτ gt + η sec t + τ gt + c ⎟ = 8sec tτ gt + 8 η sec t + τ gt + c 2 ⎝2 ⎠ 2

2

x

De la figura se tiene: sec t = =8 =

x 4

x ,τ gt = 4

x − 16 , luego equivale a: 4 2

x 2 − 16

θ 4

x 2 − 16 x x 2 − 16 x 2 x x 2 − 16 +8 η + +c = x − 16 + 8 η +c 4 4 4 2 4

x 2 x 2 x − 16 + 8 η x x 2 − 16 − 8 η 4 + c = x − 16 + 8 η x x 2 − 16 + c 2 2

130

Respuesta: ∫

x 2 dx

=

x 2 x − 16 + 8 η x x 2 − 16 + c 2

x − 16 dx 6.9.-Encontrar: ∫ x x2 − 1 Solución.dx dx 2 2 ∫ x x2 − 1 = ∫ x x 2 − 12 , la forma es: x − a 2

Luego: x = sec t , dx = sec tτ gtdt , x 2 − 12 = τ gt , además:

∫x

dx x2 − 1

=∫

sec tτ gt dt sec tτ gt

= ∫ dt = t + c , x

x2 − 1

θ 1

De la figura se tiene: Dado que: sec t = x ⇒ t = arc sec x , luego: t + c = arc sec x + c dx Respuesta: ∫ = arc sec x + c x x2 − 1 dx 6.10.-Encontrar: ∫ 2 ( 4 x − 24 x + 27)3 Solución.dx dx =∫ ∫ ( 4 x2 − 24 x + 27)3 = ∫ 2 3 27 4( x − 6 x + ) 43 4

(

dx x 2 − 6 x + 27

4

)

3

dx 1 , Se tiene: ∫ 8 ( x 2 − 6 x + 27 )3 4 27 27 27 x2 − 6 x + = ( x 2 − 6 x + __) + − __ = ( x 2 − 6 x + 9) + −9 4 4 4 9 = ( x 2 − 6 x + 9) − = ( x 2 − 6 x + 27 ) = ( x − 3) 2 − ( 3 ) 2 , la expresión anterior equivale a: 4 2 4 dx dx 1 1 = ∫ , siendo la forma: u 2 − a 2 , luego: 3 ∫ 2 3 8 ( x − 6 x + 27 ) 8 ⎡ ( x − 3) 2 − ( 3 ) 2 ⎤ 4 2 ⎥⎦ ⎢⎣ x−3 x − 3 = 3 sec t , dx = 3 sec tτ gtdt , además: sec t = 2 2 3 2 x-3 2 27 =

x −6+

4

θ 3

2

131

De la figura se tiene: sec t =

x ,τ gt = 4

x 2 − 16 , luego equivale a: 4

1 3 sec tτ gtdt dx 1 1 1 1 sec tdt 1 cos t = ∫ 2 2 3 = = 3 ∫ 8 ⎡ 8 (3 ) τ g t 8 32 ∫ τ g 2t 18 ∫ s e n 2 t 2 2⎤ 3 ( x − 3) − ( ) 2 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 22 cos 2 t 1 cos tdt 1 1 (s e n t ) −1 1 1 −2 (s e n t ) cos tdt = ∫ = = +c = − +c 2 ∫ 18 (s e n t ) 18 18 −1 18 (s e n t ) 1 x−3 = − cos ect + c , como: cos ect = , entonces: 18 x 2 − 6 x + 27 4 1 x−3 1 x−3 1 x−3 =− +c = − +c = − +c 18 x 2 − 6 x + 27 18 4 x 2 − 24 x + 27 18 4 x 2 − 24 x + 27 4 4 2 1 x−3 =− +c 2 9 4 x − 24 x + 27 dx 1 x−3 Respuesta: ∫ =− +c 2 3 2 9 4 x − 24 x + 27 ( 4 x − 24 x + 27) dx

6.11.-Encontrar: ∫ Solución.dx

∫

(16 + x )

2 4

=∫

(16 + x 2 ) 4 dx

(4 + x 2 ) 4 2

Luego: x = 4τ gt , dx = 4sec 2 tdt , 42 + x 2 = 4sec t , además: τ gt = x

4 dx 4sec tdt 1 dt 1 1 (1 + cos 2t ) 2 ∫ (42 + x 2 )4 = ∫ 44 sec4 t = 64 ∫ sec2 t = 64 ∫ cos tdt = 64 ∫ 2 dt 1 1 1 1 = dt + cos 2tdt = t+ s e n 2t + c ∫ ∫ 128 128 128 256 Como: τ gt = x ⇒ t = arcτ g x , s e n 2t = 2s e n t cos t ; luego: 4 4 1 1 x 4 8x t+ s e n 2t + c = 2 , Se tiene: = 2 2 128 256 16 + x 2 16 + x 16 + x 1 1 8x 1 x +c = +c arcτ g x + arcτ g x + 2 4 4 128 256 16 + x 128 32(16 + x 2 ) 2

132

dx

Respuesta: ∫

(16 + x 2 ) 4

6.12.-Encontrar: ∫

=

1 x x arcτ g + +c 128 4 32(16 + x 2 )

x 2 dx 3 ( x 2 + 100) 2

Solución.x 2 dx x 2 dx = 3 ∫ ( x 2 + 100) 2 ∫ ( x 2 + 102 )3 , se tiene: x = 10τ gt , dt = 10sec2 tdt , x 2 + 102 = 10sec t ;además: τ gt =

x , luego: 10

s e n2 t 2 x 2 dx 102 τ g 2t (10 sec2 t )dt τ g 2tdt cos 2 t dt = s e n t dt = = = ∫ ( x 2 + 102 )3 ∫ (103 sec 3 t ) ∫ sec t ∫ 1 ∫ cos t cos t 2 (1 − cos t ) dt =∫ − cos tdt = ∫ sec tdt − ∫ cos tdt = η sec t + τ gt − s e n t + c dt = ∫ cos t cos t ∫

Como: sec t =

100 + x 2 x x ,τ gt = , además: s e n t = 10 10 100 + x 2

100 + x 2 x x 100 + x 2 + x x + − +c = η − +c 10 10 10 x 2 + 100 x 2 + 100 x x = η 100 + x 2 + x − − η10 + c = η 100 + x 2 + x − +c x 2 + 100 x 2 + 100 x 2 dx x Respuesta: ∫ 2 = η 100 + x 2 + x − +c 3 2 ( x + 100) x 2 + 100 = η

Nota: En los ejercicios 6.11 y 6.12 se ha omitido la figura (triángulo rectángulo). Conviene hacerla y ubicar los datos pertinentes. En adelante se entenderá que el estudiante agregará este complemento tan importante. x 2 dx 6.13.-Encontrar: ∫ 2 2 3 (x + 8 ) 2 Solución.x 2 dx x 2 dx = ∫ ( x 2 + 82 ) 3 2 ∫ ( x 2 + 82 ) 3 , se tiene: x = 8τ gt , dt = 8sec 2 tdt ,

∫(

x 2 dx x 2 + 82 ) 3

=∫

82 τ g 2t ( 8 sec 2 t ) 83 sec 3 t

x 2 + 82 = 8sec t además: τ gt =

dt = ∫

τ g 2t sec t

x , luego: 8

dt = ∫ sec tdt − ∫ cos tdt

133

= η sec t + τ gt − s e n t + c , como: sec t =

x 2 + 64 x ,τ gt = ,s e n t = 8 8

x x 2 + 64

Se tiene como expresión equivalente: x 2 + 64 x x x 2 + 64 + x x + − +c = η − +c 2 2 8 8 8 x + 64 x + 64 x = η x 2 + 64 + x − +c 2 x + 64 x 2 dx x Respuesta: ∫ 2 2 3 = η x 2 + 64 + x − +c (x + 8 ) 2 x 2 + 64 dx 6.14.-Encontrar: ∫ 2 ( 3 + x 2 )4 = η

Solución.- se tiene: x = 3τ gt , dx = 3sec2 tdt , x τ gt = 3

∫(

dx

=∫

32 + x 2 = 3sec t , además:

3 sec2 t dt 1 dt 1 1 1 cos 2 tdt = t + ∫ cos 2tdt = 3∫ = 2 ∫ 4 4 54 54 3 + sec t 3 sec t 27

32 + x 2 ) 4 1 1 1 1 1 1 = t+ s e n 2t + c1 = t + 2s e n t cos t + c = t + s e n t cos t + c 54 108 54 108 54 54 x x x 3 , cos t = Como: τ gt = ⇒ t = arcτ g , además: s e n t = 3 3 9 + x2 9 + x2 1 x 1 x 3 1 x x = arcτ g + + c = arcτ g + +c 2 2 54 3 54 9 + x 9 + x 54 3 18(9 + x 2 ) dx 1 x x Respuesta: ∫ = arcτ g + +c 2 2 4 54 3 18(9 + x 2 ) ( 3 +x )

6.15.-Encontrar: ∫

dx

x − 4 x + 13 Solución.- Completando cuadrados se tiene: x 2 − 4 x + 13 = ( x 2 − 4 x + __) + 13 − __ = ( x 2 − 4 x + 4) + 13 − 4 = ( x − 2) 2 + 32 2

Se tiene: x − 2 = 3τ gt , dx = 3sec 2 tdt ,

32 + x 2 = 3sec t

( x − 2) 2 + 32 = x 2 − 4 x + 13 = 3sec t ,

Sea: x − 2 = 3τ gt , dx = 3sec 2 tdt ;además: τ gt =

∫

dx ( x − 2) 2 + 32

=∫

x−2 , luego: 3

3 sec 2 tdt = ∫ sec tdt = η sec t + τ gt + c 3sec t

134

x

2

− 4 x + 13

De la figura se tiene: sec t =

θ

x 2 − 4 x + 13 x−2 , τ gt = , luego: 3 3

= η

x 2 − 4 x + 13 x − 2 + +c = η 3 3

= η

x 2 − 4 x + 13 + ( x − 2) + c

Respuesta: ∫

dx x − 4 x + 13 2

= η

x−2

3

x 2 − 4 x + 13 + ( x − 2) +c 3

x 2 − 4 x + 13 + ( x − 2) + c

6.16.-Encontrar: ∫ 1 + 4x 2 dx Solución.-

∫

1 + 4 x 2 dx = ∫ 12 + (2 x) 2 dx

1 2x Se tiene: 2 x = τ gt , 2dx = sec 2 tdt ⇒ dx = sec 2 tdt , Además: τ gt = 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 3 ∫ 1 + (2 x) dx = ∫ 1 + τ g t 2 sec dt = 2 ∫ sec t sec tdt = 2 ∫ sec tdt 1 1 = sec tτ gt + η sec tτ gt + c , 4 4

1+ 4x

De la figura se tiene:

1 + 4x2 , τ gt = 2 x 1 1 1 1 + 4x2 2 x + η 1 + 4x2 + 2x + c = 4 4 1 1 Respuesta: ∫ 1 + 4 x 2 dx = 1 + 4x2 2x + η 1 + 4 x2 + 2x + c 4 4 sec t =

2

2x

θ 1

EJERCICIOS PROPUESTOS: Utilizando esencialmente la técnica de sustitución por variables trigonométricas, encontrar las integrales siguientes: 6.17.- ∫ 4 − x 2

6.18.- ∫

dx a2 − x2

6.19.- ∫

dx x + a2 2

135

dx x − a2 dx

6.20.- ∫ 6.23.- ∫

6.24.- ∫

x x2 − 9 x 2 dx

6.26.- ∫

6.27.- ∫

1 − x2 dx

6.29.- ∫

6.32.- ∫ a − x 2 dx

x

x +9

x

6.44.- ∫ 6.47.-

6.53.- ∫ 6.56.- ∫ 6.59.- ∫ 6.62.- ∫ 6.65.- ∫ 6.68.- ∫

x +a dx 2

x2 + 1 dx x

dx

2

6.45.- ∫

x 2 − 100 dx x

6.48.- ∫

x2 + a2 dx x dx

6.51.- ∫ 6.54.- ∫

4 + x2 ( x + 1)dx

6.57.- ∫

4 − x2 dx

6.60.- ∫

4 − ( x − 1) 2 x 2 dx 21 + 4 x − x dx

2

( x − 1) x − 3 x + 2 ( x − 1)dx 2

x2 − 4 x + 3

5 − 4 x2 dx

x +3 dx 6.42.- ∫ 2 ( x + a 2 )2

x2 a2 − x2

∫

6.50.- ∫

6.39.- ∫

dx 2

2 − x2

6.36.- ∫

2

6.38.- ∫ x 2 5 − x 2 dx 6.41.- ∫

x x2 − 2 x3 dx

6.33.- ∫ a 2 − x 2 dx

dx 2

x2 + a2 dx

6.30.- ∫

x 4 x 2 − 16

6.35.- ∫

dx

6.21.- ∫

2

x

4

2

2x2 − 5 dx x dx x2 x2 − 2 xdx a2 − x2 xdx 4 + x2 dx 2 − 5x2 x 2 dx

2 x − x2 dx 6.63.- ∫ 2 3 ( x − 2 x + 5) 2

6.66.- ∫ 6.69.- ∫

xdx x − 2x + 5 dx 2

x2 − 2 x − 8

6.22.- ∫ 6.25.- ∫ 6.28.- ∫ 6.31.- ∫ 6.34.- ∫

dx x2 − a2 dx x 1 + x2 x2 − 9 dx x dx x2 4 − x2 x 2 dx

x2 + a2 x 2 dx 6.37.- ∫ 3 (4 − x 2 ) 2

6.40.- ∫ x3 a 2 x 2 + b 2 dx 6.43.- ∫ x3 a 2 x 2 − b 2 dx 6.46.- ∫ 6.49.- ∫ 6.52.- ∫ 6.55.- ∫

x3dx 3x 2 − 5 dx x 9 − x2 dx 1 − 4 x2 dx

x a2 + x2 dx 6.58.- ∫ 2 3 (a − x 2 ) 2

6.61.- ∫ 6.64.- ∫ 6.67.- ∫ 6.70.- ∫

x 2 dx 17 − x 2 (2 x + 1)dx (4 x 2 − 2 x + 1)3 ( x + 1)dx 2 x − x2 xdx x2 + 4 x + 5

136

RESPUESTAS 6.17.- ∫ 4 − x 2 Solución.-

2

x

θ 4 − x2

Se tiene: x = 2s e n θ , dx = 2 cos θ dθ , 4 + x 2 = 2 cos θ

∫

4 − x 2 = ∫ 2 cos θ 2 cos θ dθ = 4 ∫ cos 2 θ dθ = 2θ + s e n 2θ + c = 2θ + 2s e n θ cos θ + c

x x 4 − x2 = 2 arcs e n + +c 2 2 dx 6.18.- ∫ 2 a − x2

Solución.- se tiene: x = a s e n θ , dx = a cos θ dθ , a 2 − x 2 = a cos θ dx

∫

a −x 2

6.19.- ∫

2

=∫

a cos θ dθ x = ∫ dθ = θ + c = arcs e n + c a a cos θ

dx x + a2 2

Solución.- se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec 2 θ dθ , x 2 + a 2 = a sec θ

dx dx a sec2 θ dθ 1 1 1 x = = ∫ x2 + a 2 ∫ ( x 2 + a 2 )2 ∫ a 2 sec2 θ = a ∫ dθ = a θ + c = a arcτ g a + c dx 6.20.- ∫ 2 x x − a2 Solución.-

x2 − a2

θ

a

Se tiene: x = a sec θ , dx = a sec θτ gθ dθ , x 2 − a 2 = aτ gθ

∫x

2

a sec θ τ gθ dθ 1 sec θ dθ 1 dx dx = ∫ = ∫ cos ecθ dθ =∫ =∫ 2 2 2 2 −a a τ gθ a a 2τ g 2 θ ( x −a )

=

1 1 η cos ecθ − co τ gθ = η a a

=

1 η a

6.21.- ∫

x−a x2 − a2 dx

x2 + a2 Solución.-

+c =

1 η a

x x2 − a2

−

a x2 − a2

+c

( x − a)2 1 x−a η +c = +c 2 2 x −a 2a x+a

x

2

+ a

2

x

θ a

137

Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec 2 θ dθ , x 2 + a 2 = a sec θ

∫

dx x2 + a2

=∫

a sec 2 θ dθ = ∫ sec θ dθ = η sec θ + τ gθ + c a sec θ

x2 + a2 x + +c = η a a

= η

x2 + a2 + x + c = η x + x2 + a2 − η a + c a

= η x + x2 + a2 + c

6.22.- ∫

dx

x − a2 Solución.2

x

x2 − a2

θ a

Se tiene: x = a sec θ , dx = a sec θτ gθ dθ , x 2 + a 2 = aτ gθ

∫

dx x2 − a2

=∫

a sec θ τ gθ dθ aτ gθ

= ∫ sec θ dθ = η sec θ + τ gθ + c

x x2 − a2 x + x2 − a2 = η + +c = η + c = η x + x2 − a2 + c a a a

6.23.- ∫

dx

x x2 − 9 Solución.-

Se tiene: x = 3sec θ , dx = 3sec θτ gθ dθ , x 2 − 9 = 3τ gθ

∫x

dx x2 − 9

6.24.- ∫

=∫

3sec θ τ gθ dθ 3sec θ 3 τ gθ

=

arc sec x 1 1 3 +c d c θ = θ + = 3∫ 3 3

dx

x x2 − 2 Solución.-

Se tiene: x = 2 sec θ , dx = 2 sec θτ gθ dθ , x 2 − 2 = 2τ gθ

∫x

dx x −2 2

6.25.- ∫

=∫

2 sec θ τ gθ dθ 2 sec θ

2 τ gθ

=

2 2 2 2 θ +c = dθ = arc sec x+c ∫ 2 2 2 2

dx

x 1 + x2 Solución.-

1+ x

2

x

θ 1 138

Se tiene: x = τ gθ , dx = sec 2 θ dθ , 1 + x 2 = sec θ

∫x

dx 1 + x2

= η

=∫

sec 2 θ dθ dθ =∫ = cos ecθ dθ = η cos ecθ − coτ gθ + c s e nθ ∫ τ gθ sec θ

1 + x2 1 − +c = η x x

6.26.- ∫

1 + x2 − 1 +c x

x 2 dx

1 − x2 Solución.-

1

x

θ 1 − x2

Se tiene: x = s e n θ , dx = cos θ dθ , 1 − x 2 = cos θ s e n 2 θ cos θ dθ 1 1 = ∫ s e n 2 θ dθ = θ − s e n 2θ + c ∫ 1 − x2 2 4 cos θ 1 1 arcs e n x x = θ − s e n θ cos θ + c = − 1 − x2 + c 2 2 2 2 x3dx 6.27.- ∫ 2 − x2 Solución.x 2 dx

=∫

2

x

θ 2 − x2

Se tiene: x = 2 s e n θ , dx = 2 cos θ dθ , 2 − x 2 = 2 cos θ

∫

x3 dx 2 − x2

= 2 2(−

=∫

2 2 s e n 3 θ 2 cos θ dθ 2 cos θ

= 2 2 ∫ s e n 3 θ dθ = 2 2(− cos θ +

cos3 θ )+c 3

2 − x 2 ( 2 − x 2 )3 (2 − x 2 ) 2 − x 2 2 + + c = − − x + +c ) 2(2 ) 3 2 3( 2)3

x2 − 9 6.28.- ∫ dx x Solución.-

Se tiene: x = 3sec θ , dx = 3sec θτ gθ dθ , x 2 − 9 = 3τ gθ x2 − 9 3τ gθ 3sec θ τ gθ dθ = 3∫ τ g 2θ dθ = 3∫ (sec 2 θ − 1)dθ ∫ x dx = ∫ 3sec θ x = 3∫ sec 2 θ dθ − 3∫ dθ = 3τ gθ − 3θ + c = x 2 − 9 − 3arc sec + c 3

139

dx

6.29.- ∫

x 4 x 2 − 16 Solución.x x2 = sec θ , dx = 2sec θτ gθ dθ , − 1 = τ gθ 2 4 dx 1 dx 1 2sec θτ gθ dθ 1 1 = = = ∫ dθ = θ + c ∫ x 4 x 2 − 16 4 ∫ x 2 ∫ 4 4 2sec θτ gθ x ( ) −1 4 2 1 x = arc sec + c 4 2

Se tiene:

x2 + 1 dx x Solución.-

6.30.- ∫

x

2

+ 1

x

θ Se tiene: x = τ gθ , dx = sec θ dθ , x + 1 = sec θ 2

2

1

x +1 sec θ sec θ dθ dθ θ 1 dx = ∫ =∫ = η τg + + c , o bien: 2 x cos θ s e n θ 2 cos θ τ gθ 2

∫

2

= η cos ecθ − co τ gθ +

1 +c = η cos θ

x2 + 1 1 1 − + +c 1 x x x2 + 1

x2 + 1 − 1 + x2 + 1 + c x

= η

dx

6.31.- ∫

x2 4 − x2 Solución.-

2

x

θ Se tiene: x = 2s e n θ , dx = 2 cos θ dθ ,

∫x

dx 2

=−

4− x

2

=∫

4 − x2

4 − x 2 = 2 cos θ

2 cos θ dθ 1 1 = ∫ cos ec 2θ dθ = − co τ gθ + c 2 4 4s e n θ 2 cos θ 4

4 − x2 +c 4x

6.32.- ∫ a − x 2 dx Solución.-

a

x

θ a − x2 140

Se tiene: x = a s e n θ , dx = a cos θ dθ , a − x 2 = a cos θ

∫

a − x 2 dx = ∫ a cos θ a cos θ dθ = a ∫ cos 2 θ dθ

a a a x x 2 a − x2 + c θ + s e n θ cos θ + c = arcs e n + 2 2 2 a 2

6.33.- ∫ a 2 − x 2 dx Solución.Se tiene: x = a s e n θ , dx = a cos θ dθ , a 2 − x 2 = a cos θ

∫

a 2 − x 2 dx = ∫ a cos θ a cos θ dθ = a 2 ∫ cos 2 θ dθ

a2 a2 a2 x x 2 θ + s e n θ cos θ + c = arcs e n + a − x2 + c 2 2 2 a 2 x 2 dx 6.34.- ∫ x2 + a2 Solución.-

x

2

+ a

2

x

θ a

Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec θ dθ , x + a = a sec θ 2

∫

x 2 dx

=∫

2

2

a 2τ g 2θ a sec 2 θ dθ s e n2 θ = a 2 ∫ τ g 2θ sec θ dθ = a 2 ∫ dθ cos3 θ a sec θ

x2 + a2 2 2 (1 − cos θ ) dθ = a 2 ∫ sec3 θ dθ − a 2 ∫ sec θ dθ =a ∫ 3 cos θ sec θτ gθ 1 ⎛ ⎞ = a2 ⎜ + η sec θ + τ gθ ⎟ − a 2 η sec θ + τ gθ + c 2 2 ⎝ ⎠ a2 a2 sec θτ gθ + η sec θ + τ gθ − a 2 η sec θ + τ gθ + c 2 2 a2 a2 = sec θτ gθ − η sec θ + τ gθ + c 2 2 =

a2 = 2

6.35.- ∫

x2 + a2 x a2 η − a a 2

x2 + a2 x x x2 + a2 a2 η + +c = − 2 2 a a

x2 + a2 + x + c

dx

x x2 + 9 Solución.2

x

2

+ 9

x

θ 3

141

Se tiene: x = 3τ gθ , dx = 3sec 2 θ dθ , x 2 + 9 = 3sec θ

∫x

dx 2

x2 + 9

=∫

3 sec 2 θ dθ 1 sec θ dθ 1 cos θ 1 = ∫ = ∫ +c dθ = − 2 2 2 9 sen θ 9s e n θ 9τ g θ 3sec θ 9 τ g θ

x2 + 9 +c 9x dx 6.36.- ∫ 5 − 4x2 Solución.Se tiene: x = 5 s e n θ , dx = 5 cos θ dθ , ( 5 ) 2 − x 2 = 5 cos θ 4 4 4 4 =−

∫

dx 1 1 = ∫ = ∫ 2 2 2 2 5 −x 5 − 4x 4 dx

5 cos θ dθ 4 5 cos θ 4

=

1 1 dθ = θ + c ∫ 2 2

1 x 1 2x + c = arcs e n +c arcs e n 2 2 5 5 4 2 x dx 6.37.- ∫ 3 (4 − x 2 ) 2 Solución.=

2

x

θ 4 − x2

Se tiene: x = 2s e n θ , dx = 2 cos θ dθ , 4 − x = 2 cos θ 2

x 2 dx x 2 dx 4 s e n 2 θ 2 cos θ dθ = ∫ τ g 2θ dθ = ∫ (sec2 θ − 1)dθ = = ∫ (4 − x 2 ) 32 ∫ (4 − x 2 )3 ∫ 3 8 cos θ x x = τ gθ − θ + c = − arcs e n + c 2 4 − x2

6.38.- ∫ x 2 5 − x 2 dx Solución.Se tiene: x = 5 s e n θ , dx = 5 cos θ dθ , 5 − x 2 = 5 cos θ

∫x

2

5 − x 2 dx = ∫ 5s e n 2 θ 5 cos θ 5 cos θ dθ = 25∫ s e n 2 θ cos 2 θ dθ =

25 s e n 2 2θ dθ 4 ∫

25 25 25 25 25 (1 − cos 4θ )dθ = θ − s e n 4θ + c = θ − (2s e n 2θ cos 2θ ) + c ∫ 8 8 32 8 32 25 25 = θ − ⎡⎣ 2s e n θ cos 2θ (cos 2 θ − s e n 2 θ ) ⎤⎦ + c 8 32 =

142

25 25 θ − ⎡⎣s e n θ cos3 θ − s e n 3 θ cos θ ) ⎤⎦ + c 8 16 ⎡ 25 x x ( 5 − x 2 )3 x 3 5 − x 2 ⎤ = − + ⎢arcs e n ⎥+c 2 ⎢⎣ 25 25 5 ⎥⎦ dx 6.39.- ∫ x4 x2 + 3 Solución.=

x

2

+ 3

x

θ 3 Se tiene: x = 3τ gθ , dx = 3 sec 2 θ dθ , x 2 + 3 = 3 sec θ

∫x

dx 4

x2 + 3

=∫

3 sec 2 θ dθ 9τ g 4θ 3 sec θ

=

1 sec θ dθ 1 cos3 θ dθ 1 (1 − s e n 2 θ ) cos θ dθ = ∫ = ∫ 9 ∫ τ g 4θ 9 s e n4 θ 9 s e n4 θ

1 cos θ dθ 1 cos θ dθ 1 1 = ∫ − ∫ = − cos ec3θ + cos ecθ + c = 4 2 9 sen θ 9 sen θ 27 9

3

x2 + 3 ⎛ x2 + 3 ⎞ −⎜ ⎟ +c ⎜ 3x ⎟ 9x ⎝ ⎠

6.40.- ∫ x3 a 2 x 2 + b 2 dx Solución.Se tiene: ax = bτ gθ , adx = b sec 2 θ dθ , a 2 x 2 + b 2 = b sec θ b3 3 b b5 2 τ g θ b sec θ sec θ d θ = τ g 3θ sec3 θ dθ 3 4 ∫ a a a 5 5 b b = 4 ∫ τ g 2θ sec2 θτ gθ sec θ dθ = 4 ∫ (sec 2 θ − 1) sec 2 θτ gθ secθ dθ a a 5 5 b b b5 sec5 θ b5 sec3 θ 4 2 = 4 ∫ sec θτ gθ sec θ dθ − 4 ∫ sec θτ gθ sec θ dθ = 4 + 4 +c a a a a 5 3 5 3 b5 ⎡ ( a 2 x 2 + b 2 )5 ( a 2 x 2 + b 2 )3 ⎤ (a 2 x 2 + b 2 ) 2 (a 2 x 2 + b 2 ) 2 b 2 = 4⎢ + + c = − +c ⎥ a ⎢⎣ 5b5 3b3 5a 4 3a 4 ⎥⎦ dx 6.41.- ∫ x2 x2 + a2 Solución.x2 + a2 3 2 2 2 ∫ x a x + b dx = ∫

x

θ a

Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec 2 θ dθ , x 2 + a 2 = a sec θ

143

a sec 2 θ dθ 1 sec θ dθ 1 cos θ dθ ∫ x 2 x 2 + a 2 a 2τ g 2θ a secθ = a 2 ∫ τ g 2θ = a 2 ∫ s e n 2 θ dθ 1 cos ecθ 1 = 2 ∫ coτ gθ cos ecθ dθ = − + c = − 2 x2 + a2 + c 2 a a a x dx 6.42.- ∫ 2 ( x + a 2 )2 Solución.dx

=∫

x

2

+ a

2

x

θ a

Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec 2 θ dθ , x 2 + a 2 = a sec θ dx dx a sec 2 θ dθ 1 1 1 s e n 2θ 2 = = ∫ ( x 2 + a 2 )2 ∫ ( x 2 + a 2 )4 ∫ a 4 sec 4 θ = a3 ∫ cos θ dθ = 2a3 θ + 2a3 2 + c

1 1 2 s e n θ cos θ 1 x 1 ⎛ x c g θ + τ + = + arc 3 3 3 3 ⎜ 2 a 2a ⎝ x + a 2 2a 2a 2a 2 1 x 1 ⎛ ax ⎞ = 3 arcτ g + 3 ⎜ ⎟+c 2a a 2a ⎝ x 2 + a 2 ⎠

=

⎞ ⎟+c x2 + a2 ⎠ a

6.43.- ∫ x3 a 2 x 2 − b 2 dx Solución.Se tiene: ax = b sec θ , adx = b sec θτ gθ dθ , a 2 x 2 − b 2 = bτ gθ b3 b b5 3 sec θ b τ g θ sec θτ g θ d θ = sec 4 θτ g 2θ dθ a3 a a4 ∫ b5 b5 4 2 4 2 sec θ (sec θ − 1) θ = sec θ sec θ θ − sec2 θ sec 2 θ dθ d d ∫ a4 ∫ a4 ∫ b5 2 2 2 (1 + τ g θ ) sec θ d θ − (1 + τ g 2θ ) sec 2 θ dθ ∫ a4 ∫ b5 2 4 2 (1 + 2 τ g θ + τ g θ ) sec θ d θ − (1 + τ g 2θ ) sec 2 θ dθ ∫ a4 ∫ 5 5 ⎡ 3 ⎤ ⎡ τ g 2θ sec 2 θ dθ + τ g 4θ sec 2 θ dθ ⎤ = b 4 ⎢τ g θ + τ g θ ⎥ + c ∫ ∫ ⎣ ⎦ a 5 ⎦ ⎣ 3

3 2 2 2 ∫ x a x − b dx = ∫

b5 a4 b5 = 4 a b5 = 4 a b5 = 4 a =

⎡ b5 1 ⎛ a 2 x 2 − b 2 = 4⎢ ⎜ a ⎢ 3 ⎜⎝ b ⎣ dx 6.44.- ∫ x2 a2 − x2 Solución.-

3

⎞ 1 ⎛ a 2 x2 − b2 ⎟ + ⎜ ⎟ 5⎜ b ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

5

⎤ ⎥+c ⎥ ⎦

144

Se tiene: x = a s e n θ , dx = a cos θ dθ , a 2 − x 2 = a cos θ

∫x

dx 2

=−

a −x 2

2

=∫

a cos θ dθ 1 1 = 2 ∫ cos ec 2θ dθ = − 2 coτ gθ + c 2 a a s e n θ a cos θ a 2

1 cos θ 1 ⎛ a2 − x2 + = − c ⎜ a2 s e n θ a 2 ⎜⎝ x

⎞ ⎟+c ⎟ ⎠

2x2 − 5 dx x Solución.-

6.45.- ∫

Se tiene: 2 x = 5 sec θ , 2dx = 5 sec θτ gθ dθ , 2 x 2 − 5 = 5τ gθ

∫

2x − 5 dx = ∫ x 2

5τ gθ

5 sec θ τ gθ dθ 2 5 sec θ 2

= 5 ∫ τ g 2θ dθ = 5 ∫ sec2 θ dθ − 5 ∫ dθ

= 5τ gθ − 5θ + c = 2 x 2 − 5 − 5 arc sec 2 x + c 3 3 x dx 6.46.- ∫ 3x 2 − 5 Solución.-

Se tiene: 3x = 5 sec θ , 3dx = 5 sec θτ gθ dθ , 3 x 2 − 5 = 5τ gθ

( 5 sec θ )3 5 sec θ τ gθ dθ 5 5 3 3 = sec4 θ dθ ∫ 3x 2 − 5 = ∫ ∫ 9 5 τ gθ 3 5 5 5 5 = sec 2 θ sec 2 θ dθ = sec 2 θ (1 + τ g 2θ )dθ ∫ 9 9 ∫ 3 ⎡ ⎤ 5 5⎡ 2 2 2 ⎤ = 5 5 ⎢τ gθ + τ g θ ⎥ + c sec sec = + θ d θ θτ g θ d θ ∫ ∫ ⎦ 9 ⎣ 9 ⎣ 3 ⎦ x3dx

=

5⎡ ( 3x 2 − 5)3 ⎤ 2 ⎢ 3x − 5 + ⎥+c 9 ⎢⎣ 15 ⎥⎦

x 2 − 100 ∫ x dx Solución.-

6.47.-

Se tiene: x = 10sec θ , dx = 10sec θτ gθ dθ , x 2 − 100 = 10τ gθ x 2 − 100 10τ gθ 10sec θ τ gθ dθ = 10∫ τ g 2θ dθ = 10∫ sec 2 θ − 10∫ dθ ∫ x dx = ∫ 10sec θ x = 10(τ gθ − θ ) + c = x 2 − 100 − 10 arcs e n + c 10

145

dx

6.48.- ∫

x2 x2 − 2 Solución.-

x

x2 − 2

θ 2 Se tiene: x = 2 sec θ , dx = 2 sec θτ gθ dθ , x 2 − 2 = 2τ gθ

∫x

dx 2

x2 − 2

=∫

2 sec θ τ gθ dθ 2sec 2 θ 2τ gθ

=

1 1 1 cos θ dθ = s e n θ + c = ∫ 2 2 2

x2 − 2 +c x

x2 − 2 +c 2x dx 6.49.- ∫ x 9 − x2 Solución.=

3

x

θ 9 − x2

Se tiene: x = 3s e n θ , dx = 3cos θ dθ , 9 − x 2 = 3cos θ dx

∫x =

9− x

2

=∫

3cos θ dθ 1 1 = ∫ cos ecθ dθ = η cos ecθ − coτ gθ + c 3 3s e n θ 3cos θ 3

1 3 − 9 − x2 η +c x 3

x2 + a2 dx x Solución.-

6.50.- ∫

x

2

+ a

2

x

θ a

Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec 2 θ dθ , x 2 + a 2 = a sec θ

∫

x2 + a2 a sec θ sec3 θ dθ sec2 θ sec θ dx = ∫ dθ a sec 2 θ dθ = a ∫ = a∫ x τ gθ τ gθ a τ gθ

= a∫

(1 + τ g 2θ ) sec θ sec θ dθ = a ∫ dθ + a ∫ sec θτ gθ dθ τ gθ τ gθ

a η cos ecθ − coτ gθ + a sec θ + c = a η

x2 + a2 − a + x2 + a2 + c x

146

xdx

6.51.- ∫

a2 − x2 Solución.-

Se tiene: x = a s e n θ , dx = a cos θ dθ , a 2 − x 2 = a cos θ xdx

∫

a −x 2

2

=∫

a s e n θ a cos θ dθ = a ∫ s e n θ dθ = − a cos θ + c = − a 2 − x 2 + c a cos θ

dx

6.52.- ∫

1 − 4 x2 Solución.Se tiene: 2 x = s e n θ , 2dx = cos θ dθ ,

1 − 4 x 2 = cos θ

1 cos θ 1 1 1 dθ = ∫ dθ = θ + c = arcs e n 2 x + c ∫ 2 2 2 1 − 4 x 2 2 cos θ dx 6.53.- ∫ 4 + x2 Solución.dx

∫

=

Se tiene: x = 2τ gθ , dx = 2sec 2 θ dθ , 4 + x 2 = 2 sec θ dx

∫

4+ x

2

=∫

2 sec 2 θ dθ = ∫ sec θ dθ = η sec θ + τ gθ + c = η 2sec θ

4 + x2 + x + c

xdx

6.54.- ∫

4 + x2 Solución.Se tiene: x = 2τ gθ , dx = 2sec 2 θ dθ , 4 + x 2 = 2sec θ xdx

∫

4 + x2

2τ gθ 2 sec 2 θ dθ = 2∫ τ gθ sec θ dθ = 2sec θ + c = 4 + x 2 + c 2sec θ dx

=∫

6.55.- ∫

x a2 + x2 Solución.-

a

2

+ x

2

x

θ a

Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec 2 θ dθ , a 2 + x 2 = a sec θ

∫x =

dx a2 + x2

=∫

a sec 2 θ dθ 1 sec θ dθ 1 = = ∫ cosecθ dθ a aτ gθ a sec θ a ∫ τ gθ

1 1 η cos ecθ − co τ gθ + c = η a a

6.56.- ∫

a2 + x2 a 1 − +c = η x x a

a2 + x2 − a +c x

( x + 1)dx

4 − x2 Solución.-

147

Se tiene: x = 2s e n θ , dx = 2 cos θ dθ , 4 − x 2 = 2 cos θ

2s e n 2 cos θ dθ 2 cos θ dθ +∫ 2 cos θ 2 cos θ 4− x 4− x 4− x x 2 ∫ s e n θ dθ + ∫ dθ = −2 cos θ + θ + c = − 4 − x 2 + arcs e n + c 2 dx 6.57.- ∫ 2 − 5x2 Solución.-

∫

( x + 1)dx 2

xdx

=∫

2

+∫

dx

2

=∫

Se tiene: 5 x = 2 s e n θ , 5dx = 2 cos θ dθ , 2 − 5 x 2 = 2 cos θ

∫

dx

2 cos θ dθ 5 5 5 5 = dθ = θ +c = arcs e n 5 x + c ∫ 2 5 5 5 2 cos θ

=∫

2 − 5x2

dx 3 (a − x 2 ) 2 Solución.-

6.58.- ∫

2

a

x

θ

Se tiene: x = a s e n θ , dx = a cos θ dθ , a − x = a cos θ 2

2

a2 − x2

dx dx a cos θ dθ 1 1 = 2 ∫ sec 2 θ dθ = 2 τ gθ + c =∫ =∫ 3 2 32 3 a a −x ) a cos θ ( a 2 − x 2 )3 x = +c a2 a2 − x2 dx 6.59.- ∫ 4 − ( x − 1) 2 Solución.-

∫ (a

2

Se tiene: x − 1 = 2s e n θ , dx = 2 cos θ dθ , 4 − ( x − 1) 2 = 2 cos θ

∫

dx

4 − ( x − 1)

6.60.- ∫

2

=∫

2 cos θ dθ x −1 = ∫ dθ = θ + c = arcs e n +c 2 2 cos θ

x 2 dx

2 x − x2 Solución.-

Se tiene: x − 1 = s e n θ ⇒ x = s e n θ + 1, dx = cos θ dθ , 1 − ( x − 1) 2 = cos θ Completando cuadrados se tiene: 2 x − x 2 = −( x 2 − 2 x) = −( x 2 − 2 x + 1) + 1 = 1 − ( x − 1) 2 , luego:

∫

x 2 dx

2x − x2

=∫

x 2 dx

1 − ( x − 1) 2

=∫

(s e n θ + 1) 2 cos θ dθ = ∫ (s e n θ + 1) 2 dθ cos θ

148

1 1 dθ − ∫ cos 2θ dθ + 2∫ s e n θ dθ + ∫ dθ ∫ 2 2 3 1 3 1 = ∫ dθ − ∫ cos 2θ dθ + 2∫ s e n θ dθ = θ − s e n 2θ − 2 cos θ + c 2 2 2 4 3 1 3 1 = θ − s e n θ cos θ − 2 cos θ + c = arcs e n( x − 1) − ( x − 1) 2 x − x 2 − 2 2 x − x 2 + c 2 2 2 2 2 x dx 6.61.- ∫ 17 − x 2 Solución.= ∫ s e n 2 θ dθ + 2∫ s e n θ dθ + ∫ dθ =

Se tiene: x = 17 s e n θ , dx = 17 cos θ dθ , 17 − x 2 = 17 cos θ

∫

x 2 dx

=∫

17 s e n 2 θ 17 cos θ dθ

= 17 ∫ s e n 2 θ dθ =

17 − x 17 cos θ 17 17 17 17 = θ − s e n 2θ + c = θ − s e n θ cos θ + c 2 4 2 2 =

2

17 x 17 arcs e n − 2 17 2

6.62.- ∫

x

17 − x 2

17

17

+c =

17 17 dθ − ∫ cos 2θ dθ ∫ 2 2

17 x 1 arcs e n − x 17 − x 2 + c 2 17 2

2

x dx

21 + 4 x − x 2 Solución.Se tiene: x − 2 = 5s e n θ ⇒ x = 5s e n θ + 2, dx = 5cos θ dθ , 52 − ( x − 2) 2 = 5cos θ Completando cuadrados se tiene: 21 + 4 x − x 2 = −( x 2 − 4 x + 4 − 4) + 21 = −( x 2 − 4 x + 4) + 25 = 52 − ( x − 2) 2 , luego:

(5s e n θ + 2) 2 5cos θ dθ = ∫ (5s e n θ + 2) 2 dθ ∫ 21 + 4 x − x2 = ∫ 52 − ( x − 2)2 = ∫ 5cos θ 1 − cos 2θ = ∫ (25s e n 2 θ + 20s e n θ + 4)dθ = 25∫ dθ + 20∫ s e n θ dθ + 4∫ dθ 2 25 25 25 25 = dθ − ∫ cos 2θ dθ + 20∫ s e n θ dθ = θ − s e n 2θ − 20 cos θ + 4θ + c ∫ 2 2 2 4 33 25 = θ − s e n θ cos θ − 20 cos θ + c 2 2 ⎛ 21 + 4 x − x 2 ⎞ 33 x − 2 25 x − 2 ⎛ 21 + 4 x − x 2 ⎞ = arcs e n − ⎜ ⎟ − 20 ⎜ ⎟+c ⎟ ⎜ ⎟ 2 5 2 5 ⎜⎝ 5 5 ⎠ ⎝ ⎠ 33 x−2 x−2 = arcs e n − 21 + 4 x − x 2 ( + 4) + c 2 5 2 33 x−2 x+6 = arcs e n − 21 + 4 x − x 2 ( )+c 2 5 2 x 2 dx

x 2 dx

149

dx 3 ( x − 2 x + 5) 2 Solución.-

6.63.- ∫

2

x

2

− 2x + 5

x −1

θ Se tiene: x − 1 = 2τ gθ , dx = 2sec2 θ dθ , ( x − 1) 2 + 22 = 2sec θ Completando cuadrados se tiene: x 2 − 2 x + 5 = ( x 2 − 2 x + 1) + 5 − 1 = ( x 2 − 2 x + 1) + 4 = ( x − 1) 2 + 22 , luego:

2

dx dx 2sec2 θ dθ 1 1 = = = ∫ cos θ dθ = s e n θ + c 3 3 3 ∫ ( x2 − 2 x + 5) 2 ∫ ∫ 3 2 sec θ 4 4 ⎡⎣( x − 1) 2 + 22 ⎤⎦ 1 x −1 = +c 2 4 x − 2x + 5 (2 x + 1)dx 6.64.- ∫ (4 x 2 − 2 x + 1)3 1 1 x2 − x + 1 Solución.x− 2 4 4 2 Sea: u = 4 x − 2 x + 1, du = (8 x − 2)dx θ

3

4

1 3 3 = τ gθ , dx = sec 2 θ dθ , ( x − 1 ) 2 + ( 3 ) 2 = 3 sec θ 4 4 4 4 4 4 Completando cuadrados se tiene: 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 x 2 − x + = ( x 2 − x + ) + − = ( x − ) 2 + = ( x − ) 2 + ( ) 2 , luego: 2 4 2 16 4 16 4 16 4 4 (2 x + 1)dx 1 (8 x + 4)dx 1 (8 x − 2 + 6)dx ∫ (4 x 2 − 2 x + 1)3 = 4 ∫ (4 x 2 − 2 x + 1)3 = 4 ∫ (4 x 2 − 2 x + 1)3

Se tiene: x −

1 (8 x − 2)dx 3 dx + ∫ ∫ 4 (4 x 2 − 2 x + 1)3 2 (4 x 2 − 2 x + 1)3 1 du 3 dx 1 −3 31 dx = ∫ = ∫ (u ) 2 du + 3 + ∫ ∫ 4 (u ) 2 2 28 4( x 2 − 1 x + 1 )3 4 ( x 2 − 1 x + 1 )3 2 4 2 4 3 sec2 θ dθ dx −3 −3 1 3 1 3 4 = ∫ (u ) 2 du + ∫ = ∫ (u ) 2 du + ∫ 3 4 16 4 16 3 ⎡( x − 1 )2 + ( 3 )2 ⎤ ( sec θ )3 ⎢⎣ 4 4 ⎥⎦ 4 =

150

1 dθ 1 u 2 1 −3 = ∫ (u ) 2 du + ∫ = + s e nθ + c = − 1 + s e nθ + c 4 sec θ 4 (− 1 ) 2u 2 2 x− 1 4x − 2 −1 4 = + +c = +c 2 2 2 1 1 1 1 2 4x − 2x +1 4 x − x − x+ x+ 2 4 2 4 −1

6.65.- ∫

dx

( x − 1) x 2 − 3x + 2 Solución.-

x − 3

2

x 2 − 3x + 2

θ 1

2

3 1 1 1 = sec θ ⇒ x − 1 = (sec θ + 1), dx = sec θτ gθ dθ , 2 2 2 2 ( x − 3 ) 2 + ( 1 ) 2 = 1 τ gθ 2 2 2 Completando cuadrados se tiene: 9 1 3 1 x 2 − 3 x + 2 = ( x 2 − 3x + ) − = ( x − ) 2 − ( ) 2 , luego: 4 4 2 2 1 sec θ τ gθ dθ dx dx 2 = = ∫ ( x − 1) x 2 − 3x + 2 ∫ ∫ 1 (sec θ + 1) 1 τ gθ 3 1 ( x − 1) ( x − ) 2 − ( ) 2 2 2 2 2 sec θ dθ sec θ dθ sec θ (sec θ − 1)dθ sec 2 θ dθ sec θ dθ =∫ = 2∫ = 2∫ = − 2∫ 2 2 2 ∫ 1 (sec θ + 1) τg θ τ g 2θ (sec θ + 1) sec θ − 1 2 cosec θ dθ = 2 ∫ cos ec 2θ dθ − 2∫ = −2 coτ gθ + 2 cosec θ + c s e n2 θ 1 x− 3 2x − 4 2 2 +c = −2 +2 +c x 2 − 3x + 2 x 2 − 3x + 2 x 2 − 3x + 2 xdx 6.66.- ∫ 2 x − 2x + 5 Solución.Se tiene: x −

Se tiene: x − 1 = 2τ gθ , dx = 2sec2 θ dθ , ( x − 1) 2 + (2) 2 = 2sec θ Completando cuadrados se tiene: x 2 − 2 x + 5 = ( x 2 − 2 x + 1) + 4 = ( x − 1) 2 − 22 , luego:

151

∫

xdx x2 − 2 x + 5

=∫

xdx

( x − 1) 2 − 22

=∫

(2τ gθ + 1) 2 sec 2 θ dθ 2sec θ

= 2 ∫ τ gθ sec θ dθ + ∫ sec θ dθ = 2sec θ + η sec θ + τ gθ + c x2 − 2 x + 5 + x − 1 +c 2

= x − 2x + 5 + η 2

6.67.- ∫

( x + 1)dx

2 x − x2 Solución.-

Se tiene: x − 1 = s e n θ ⇒ x + 1 = s e n θ + 2, dx = cos θ dθ , 1 − ( x − 1) 2 = cos θ Completando cuadrados se tiene: 2 x − x 2 = −( x 2 − 2 x) = −( x 2 − 2 x + 1 − 1) = −( x 2 − 2 x + 1) + 1 = 1 − ( x − 1) 2 , luego: ( x + 1)dx ( x + 1)dx (s e n θ + 2) cos θ dθ = ∫ s e n θ dθ + 2∫ dθ ∫ 2 x − x 2 = ∫ 1 − ( x − 1)2 = ∫ cos θ = − cos θ + 2θ + c = − 2 x − x 2 + 2 arcs e n( x − 1) + c ( x − 1)dx 6.68.- ∫ x2 − 4 x + 3 Solución.-

Se tiene: x − 2 = sec θ ⇒ x − 1 = sec θ + 1, dx = sec θτ gθ dθ , Completando cuadrados se tiene: x 2 − 4 x + 3 = x 2 − 4 x + 4 − 1 = ( x − 2) 2 − 1 , luego:

∫

( x − 1)dx x2 − 4 x + 3

=∫

( x − 1)dx ( x − 2) 2 − 1

=∫

( x − 2)2 − 1 = τ gθ

(sec θ + 1) sec θ τ gθ dθ

τ gθ

= ∫ sec 2 θ dθ + ∫ sec θ dθ = τ gθ + η sec θ + τ gθ + c = x2 − 4x + 3 + η x − 2 + x2 − 4x + 3 + c

6.69.- ∫

dx

x2 − 2 x − 8 Solución.-

Se tiene: x − 1 = 3sec θ , dx = 3sec θτ gθ dθ , ( x − 1) 2 − 32 = 3τ gθ Completando cuadrados se tiene: x 2 − 2 x − 8 = x 2 − 2 x + 1 − 9 = ( x − 1) 2 − 32 , luego:

∫

dx x − 2x − 8

= η

2

=∫

dx

( x − 1) − 3 2

2

=∫

3 sec θ τ gθ dθ 3τ gθ

= ∫ sec θ dθ = η sec θ + τ gθ + c

x −1 x2 − 2 x − 8 + + c = η x − 1 + x2 − 2x − 8 + c 3 3

152

6.70.- ∫

xdx

x2 + 4 x + 5 Solución.-

Se tiene: x + 2 = τ gθ , dx = sec 2 θ dθ , ( x + 2) 2 + 12 = s ecθ Completando cuadrados se tiene: x 2 + 4 x + 5 = ( x 2 + 4 x + 4) + 1 = ( x + 2) 2 + 12 , luego:

∫

xdx x2 + 4 x + 5

=∫

xdx

( x + 2) 2 + 12

=∫

(τ gθ − 2) sec 2 θ dθ = ∫ τ gθ sec θ dθ − 2 ∫ sec θ dθ sec θ

= sec θ − 2 η sec θ + τ gθ + c = x 2 + 4 x + 5 − 2 η

x2 + 4 x + 5 + x + 2 + c

153

CAPITULO 7

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Mediante el recurso de la descomposición en fracciones simples, el proceso de integración de funciones racionales se puede simplificar notablemente.

EJERCICIOS DESARROLLADOS dx x −9 Solución.- Descomponiendo el denominador en factores: x 2 − 9 = ( x + 3)( x − 3) , Como los factores son ambos lineales y diferentes se tiene: 1 A B , de donde: = + 2 x −9 x +3 x−3 1 A B = + ⇒ 1 = A( x − 3) + B ( x + 3)(∗) ⇒ 1 = ( A + B ) x + (−3 A + 3B) x+3 x−3 x2 − 9

7.1.-Encontrar: ∫

2

Para calcular las constantes A y B, se pueden identificar los coeficientes de igual potencia x en la última expresión, y se resuelve el sistema de ecuaciones dado; obteniendo así los valores de las constantes en referencia (método general) luego: ⎛ A + B = 0 ⎞ ⎛ 3 A + 3B = 0 ⎞ 1 ⎜ ⎟⇒⎜ ⎟ ⇒ 6 B = 1 ⇒ B = 6 , además: − + = − + = 3 3 1 3 3 1 A B A B ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ A + B = 0 ⇒ A = − B =⇒ A = − 1 6 También es frecuente usar otro mecanismo, que consiste en la expresión (∗) Sustituyendo a x por los valores que anulen los denominadores de las fracciones: x = 3 ⇒ 1 = 6B ⇒ B = 1 6 x = −3 ⇒ 1 = −6 A ⇒ A = − 1 6 Usando cualquier método de los señalados anteriormente, se establece que: 1 −1 1 6 + 6 , Luego se tiene: = x2 − 9 x + 3 x − 3 dx 1 dx 1 dx 1 1 ∫ x2 − 9 = − 6 ∫ x + 3 + 6 ∫ x − 3 = − 6 η x + 3 + 6 η x − 3 + c 1 = ( η x −3 − η x +3 )+c 6

154

dx 1 x−3 = η +c x −9 6 x+3 dx 7.2.-Encontrar: ∫ 2 x + 7x − 6 2 Solución.- Sea: x + 7 x + 6 = ( x + 6)( x + 1) , factores lineales y diferentes; luego: 1 A B , = + 2 x + 7x + 6 x + 6 x +1 De donde: 1 = A( x + 1) + B( x + 6)(∗) ⇒ 1 = ( A + B) x + ( A + 6 B) , calculando las constantes A y B por el método general, se tiene: 1 = ( A + B) x + ( A + 6 B) ⎛ A + B = 0⎞ ⎛ −A − B = 0⎞ 1 ⎜ ⎟ ⇒ −⎜ ⎟ ⇒ 5B = 1 ⇒ B = 5 , además: 6 1 6 1 A + B = A + B = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Respuesta: ∫

2

A + B = 0 ⇒ A = − B =⇒ A = − 1

5 Ahora utilizando el método abreviado se tiene: x = −1 ⇒ 1 = 5 B ⇒ B = 1

5 x = − 6 ⇒ 1 = −5 A ⇒ A = − 1

5 Usando cualquier método se puede establecer: 1 −1 1 5 + 5 , Luego se tiene: = x2 + 7 x + 6 x + 6 x + 1 dx 1 dx 1 dx 1 1 ∫ x2 + 7 x + 6 = − 5 ∫ x + 6 + 5 ∫ x + 1 = − 5 η x + 6 + 5 η x + 1 + c 1 = ( η x +1 − η x + 6 ) + c 5 dx 1 x +1 Respuesta: ∫ 2 = η +c x + 7x + 6 5 x+6 xdx 7.3.-Encontrar: ∫ 2 x − 4x + 4 2 Solución.- Sea: x − 4 x + 4 = ( x − 2) 2 , factores lineales con repetición; luego: x A B x A( x − 2) + B , = + ⇒ 2 = 2 2 x − x + 4 x − 2 ( x − 2) x −x+4 ( x − 2) 2 De donde: x = A( x − 2) + B(∗) , calculando las constantes A y B por el método general, se tiene: x = Ax + (−2 A + B ) , luego: = 1⎞ ⎛ A ⎜ ⎟ ⇒ B = 2 A ⇒ B = 2(1) ⇒ B = 2 ⎝ −2 A + B = 0 ⎠

155

Usando el método abreviado, se sustituye en x , el valor que anula el denominador(o los denominadores), y si este no es suficiente se usan para sustituir cualquier valor conveniente de x , esto es: x = 0, x = −1 ; luego en (∗) x=2⇒2= B⇒ B =2 x = 0 ⇒ 0 = −2 A + B ⇒ 2 A + B ⇒ A = B ⇒ A = 1 2 Usando cualquier método se establece: xdx dx dx 2 ∫ x2 − 4 x + 4 = ∫ x − 2 + 2∫ ( x − 2)2 = η x − 2 − x − 2 + c xdx 2 Respuesta: ∫ 2 = η x−2 − +c x − 4x + 4 x−2 (2 x 2 + 3)dx 7.4.-Encontrar: ∫ 3 x − 2x2 + x Solución.- Sea: x3 − 2 x 2 + x = x( x 2 − 2 x + 1) = x( x − 1) 2 , factores lineales: x, x − 1 ; donde este último es con repetición; luego:

2x2 + 3 A B C 2 x2 + 3 A( x − 1) 2 + Bx( x − 1) + Cx = = + + ⇒ 3 x3 − 2 x 2 + x x ( x − 1) ( x − 1) 2 x( x − 1) 2 x − 2x2 + x De donde: 2 x 2 + 3 = A( x − 1) 2 + Bx( x − 1) + Cx(∗) , calculando las constantes A y B por el método general, se tiene: 2 x 2 + 3 = ( A + B ) x 2 + (−2 A − B + C ) x + A , de donde identificando los coeficientes de igual potencia de x se puede obtener el siguiente sistema de ecuaciones: =2⎞ ⎛ A +B ⎜ ⎟ ⎜ −2 A − B + C = 0 ⎟ ⇒ B = 2 − A ⇒ B = 2 − 3 ⇒ B = −1 , tomando la segunda ecuación ⎜ A = 3 ⎟⎠ ⎝ del sistema: C = 2 A + B ⇒ C = 2(3) − 1 ⇒ C = 5 ,también es posible usar el método abreviado, utilizando para ello la expresión (∗) en la cual: x = 1 ⇒ 2(1) + 3 = C ⇒ C = 5 x =0⇒3= A⇒ A=3 Usando un valor arbitrario para x , sea este x = −1 : x = −1 ⇒ 2(−1) 2 + 3 = A(−2) 2 + B(−1)(−2) + C (−1) ⇒ 5 = 4 A + 2 B − C , luego: 2 B = 5 − 4 A + C ⇒ 2 B = 5 − 4(3) + 5 ⇒ 2 B = −2 ⇒ B = −1 , S, e establece que: 2 x2 + 3 3 1 5 , entonces: = − + 3 2 x − 2 x + x x x − 1 ( x − 1) 2 2x2 + 3 dx dx dx 5 = 3∫ − ∫ + 5∫ = 3 η x − η x −1 − +c 3 2 2 ( x − 1) x − 2x + x x x −1 x −1 Respuesta: ∫

(2 x 2 + 3)dx x3 5 = − +c η 3 2 x − 2x + x x −1 x −1

156

dx x − 2x2 + x Solución.- x3 − 2 x 2 + x = x( x − 1) 2 ,factores lineales: x, x − 1 ; donde este último es con repetición; luego: 7.5.-Encontrar: ∫

3

1 A B C 1 A( x − 1) 2 + Bx( x − 1) + Cx = + + ⇒ = x3 − 2 x 2 + x x ( x − 1) ( x − 1) 2 x( x − 1) 2 x3 − 2 x 2 + x De donde: 1 = A( x − 1) 2 + Bx( x − 1) + Cx(∗) , calculando las constantes A y B por el método general, se tiene: 1 = ( A + B ) x 2 + (−2 A − B + C ) x + A , de donde identificando los coeficientes de igual potencia de x se puede obtener el siguiente sistema de ecuaciones: = 0⎞ ⎛ A +B ⎜ ⎟ ⎜ −2 A − B + C = 0 ⎟ ⇒ B = − A ⇒ B = −1 , tomando la segunda ecuación del ⎜ A = 1⎟⎠ ⎝ sistema: C = 2 A + B ⇒ C = 2(1) − 1 ⇒ C = 1 , a partir de lo cual se tiene: 1 1 1 1 = − + 3 2 x − 2 x + x x x − 1 ( x − 1) 2 dx dx dx dx 1 ∫ x3 − 2 x 2 + x = ∫ x − ∫ x − 1 + ∫ ( x − 1)2 = η x − η x − 1 − x − 1 + c dx x 1 Respuesta: ∫ 3 = η − +c 2 x − 2x + x x −1 x −1 x 4 − 6 x3 + 12 x 2 + 6 dx x3 − 6 x 2 + 12 x − 8 Solución.- Se sabe que si el grado del polinomio dividendo, es igual o superior al grado del polinomio divisor, previamente conviene efectuar la división de tales polinomios. x 4 − 6 x3 + 12 x 2 + 0 x + 6 x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8

7.6.-Encontrar: ∫

− x 4 + 6 x3 − 12 x 2 + 8 x

x

8x + 6 x 4 − 6 x3 + 12 x 2 + 6 (8 x + 6)dx dx = ∫ xdx + ∫ 3 3 2 x − 6 x + 12 x − 8 x − 6 x 2 + 12 x − 8 La descomposición de: x3 − 6 x 2 + 12 x − 8 : 1 −6 12 −8

Luego se tiene: ∫

2 −8

8

1 −4 4

0

2

x = 2 ⇒ ( x − 2)

x 2 − 4 x + 4 = ( x − 2) 2 x3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = ( x − 2)3

157

Esto es factores lineales: [ ( x − 2)] con repetición por tanto: 8x + 6 A B C = + + 2 2 x − 6 x + 12 x − 8 x − 2 ( x − 2) ( x − 2)3 3

8x + 6

=

A( x − 2) 2 + B (( x − 2) + C

x3 − 6 x 2 + 12 x − 8 ( x − 2)3 Luego: 8 x + 6 = A( x − 2) 2 + B( x − 2) + C ⇒ 8 x + 6 = A( x 2 − 4 x + 4) + B( x − 2) + C 8 x + 6 = Ax 2 + (−4 A + B) x + (4 A − 2 B + C )

Calculando las constantes A y B por el método general, se tiene: = 0⎞ ⎛ A ⎜ ⎟ ⎜ −4 A + B = 8 ⎟ ⇒ B = 8 + 4 A ⇒ B = 8 + 4(0) ⇒ B = 8 , ⎜ + 4 A − 2B + C = 6 ⎟ ⎝ ⎠ Resolviendo el sistema: C = 6 − 4 A + 2 B ⇒ C = 6 − 4(0) + 2(8) ⇒ C = 22 , luego: 0

8x + 6 0 8 22 = + + , de donde: 2 3 2 x − 6 x + 12 x − 8 x − 2 ( x − 1) ( x − 1)3 (8 x + 6)dx dx dx ∫ x3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = 8∫ ( x − 2)2 + 22∫ ( x − 2)3 , o sea: dx dx = ∫ xdx +8∫ + 22∫ = ∫ xdx +8∫ ( x − 2) −2 dx + 22∫ ( x − 2) −3 dx 2 3 ( x − 2) ( x − 2) x2 8 11 − − +c 2 x − 2 ( x − 2) 2

Respuesta: ∫

x 4 − 6 x3 + 12 x 2 + 6 x2 8 11 = − − +c dx 3 2 x − 6 x + 12 x − 8 2 x − 2 ( x − 2) 2

x3 + x 2 + x + 3 dx x4 + 4x2 + 3 Solución.- x 4 + 4 x 2 + 3 = ( x 2 + 3)( x 2 + 1) , la descomposición es en factores cuadráticos sin repetición, por lo tanto: x3 + x 2 + x + 3 Ax + B Cx + D = 2 + 2 x4 + 4 x2 + 3 x +3 x +1 3 2 x + x + x + 3 ( Ax + B )( x 2 + 1) + (Cx + D)( x 2 + 3) = x4 + 4 x2 + 3 ( x 2 + 3)( x 2 + 1)

7.7.-Encontrar: ∫

x3 + x 2 + x + 3 = A( x3 + x) + B( x 2 + 1) + C ( x3 + 3 x) + D( x 2 + 3) x3 + x 2 + x + 3 = ( A + C ) x3 + ( B + D) x 2 + ( A + 3C ) x + ( B + 3D) , luego:

158

(1) ⎛ A + C =1⎞ ⎜ ⎟ + D = 1⎟ (2) ⎜ B =1⎟ (3) ⎜ A + 3C ⎜ ⎟ + 3D = 3 ⎠ (4) ⎝ B ⎛ A + C = 1⎞ Con (1) y (3), se tiene: ⎜ ⎟ ⇒ A = 1, C = 0 ⎝ A + 3C = 1 ⎠ ⎛ B + D = 1⎞ Con (2) y (4), se tiene: ⎜ ⎟ ⇒ B = 0, D = 1 ⎝ B + 3D = 3 ⎠ x3 + x 2 + x + 3 x 1 , o sea: = + 2 4 2 x + 4x + 3 x + 3 x +1 x3 + x 2 + x + 3 xdx dx 2 ∫ x4 + 4 x 2 + 3 dx = ∫ x + 3 + ∫ x2 + 1 , sea: u = x + 3, du = 2 xdx , luego: x3 + x 2 + x + 3 1 2 xdx dx 1 du dx ∫ x4 + 4 x 2 + 3 dx = 2 ∫ x + 3 + ∫ x 2 + 12 = 2 ∫ u + ∫ x2 + 12 1 1 = η u + arcτ gx + c = η x 2 + 3 + arcτ gx + c 2 2 3 2 x + x + x+3 1 Respuesta: ∫ 4 dx = η x 2 + 3 + arcτ gx + c 2 x + 4x + 3 2 4 x dx 7.8.-Encontrar: ∫ 4 x + 2x2 + 1 Solución.x4 x4 + 2 x2 + 1

Por lo tanto:

− x4 − 2x2 − 1

1

−2 x 2 − 1

Luego ∫

⎛ x 4 dx 2x2 + 1 ⎞ 2 x2 + 1 = 1 − dx = dx − ⎜ ⎟ ∫ ∫ x 4 + 2 x2 + 1dx x4 + 2 x2 + 1 ∫ ⎝ x4 + 2 x2 + 1 ⎠

La descomposición del denominador es: x 4 + 2 x 2 + 1 = ( x 2 + 1) 2 , entonces: 2x2 + 1 Ax + B Cx + D 2x2 + 1 ( Ax + B )( x 2 + 1)(Cx + D) = + ⇒ = x 4 + 2 x 2 + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 1) 2 x4 + 2 x2 + 1 ( x 2 + 1) 2 2 x 2 + 1 = ( Ax + B )( x 2 + 1) + (Cx + D) ⇒ 2 x 2 + 1 = A( x3 + x) + B( x 2 + 1) + Cx + D 2 x 2 + 1 = Ax3 + Bx 2 + ( A + C ) x + ( B + D) Calculando las constantes por el método general, se tiene: =0⎞ ⎛A ⎜ ⎟ = 2⎟ ⎜ B ⎜ A +C =0⎟ ⎜ ⎟ + D =1 ⎠ ⎝ B 159

Resolviendo el sistema: C = − A ⇒ A = 0 ∴ C = 0 , B + D = 1 ⇒ D = 1 − B ⇒ D = −1 luego: 2x2 + 1 2 1 , o sea: = 2 − 2 4 2 x + 2 x + 1 x + 1 ( x + 1) 2 dx dx dx dx 2x2 + 1 ∫ x4 + 2 x 2 + 1 = 2∫ x 2 + 12 − ∫ ( x 2 + 1)2 = 2∫ x 2 + 12 − ∫ ( x2 + 1)4

Sea: x = τ gθ , dx = sec 2 θ dθ ; x 2 + 1 = sec θ , luego: sec 2 θ dθ dθ = 2 arcτ gx − ∫ = 2 arcτ gx − ∫ cos 2 θ 4 2 sec θ sec θ 1 + cos 2θ 1 1 dθ = 2 arcτ gx − ∫ dθ − ∫ cos 2θ dθ = 2 arcτ gx − ∫ 2 2 2 1 1 1 1 arcτ gx − θ − s e n 2θ + c = 2 arcτ gx − θ − s e n θ cos θ + c 2 2 2 2 = 2 arcτ gx − ∫

x

+ 1

x

θ

De la figura se tiene que:

τ gθ = x,θ arcτ gθ ,s e n θ =

2

x

, cos θ =

1

1

x +1 x +1 1 1 x 1 1 x Luego: = 2 arcτ gx − arcτ gx − + c = 2 arcτ gx − arcτ gx − +c 2 2 2 x2 + 1 x2 + 1 2 2( x + 1) Recordando que: x 4 dx (2 x 2 + 1)dx 1 1 x = dx − = x − 2 arcτ gx + arcτ gx + +c 4 2 4 2 2 ∫ ∫ x + 2x + 1 x + 2x +1 2 2 ( x + 1)

Respuesta: ∫

2

2

x 4 dx 3 x = x − arcτ gx + +c 4 2 2 2 2( x + 1) x + 2x + 1

7.9.-Encontrar: ∫

x 4 dx x4 −1

Solución.x4

x4 −1

− x4 + 1

1

1 Luego: x 4 dx 1 ⎞ dx ⎛ ∫ x4 − 1 = ∫ ⎜⎝1 + x 4 − 1 ⎟⎠dx = ∫ dx + ∫ x 4 − 1 Descomponiendo en factores el denominador: x 4 − 1 = ( x 2 − 1)( x 2 + 1) = ( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) , es decir factores lineales y cuadráticos sin repetición por tanto:

160

1 Ax + B C D = 2 + + x −1 x +1 x + 1 x −1 1 ( Ax + B )( x 2 − 1) + C ( x 2 + 1)( x − 1) + D( x + 1)( x 2 + 1) = x4 − 1 ( x 2 + 1)( x + 1)( x + 1) 4

1 = A( x 3 − x) + B( x 2 + 1) + C ( x3 − x 2 + x − 1) + D( x3 + x 2 + x + 1) 1 = ( A + C + D ) x 3 + ( B − C + D ) x 2 + ( − A + C + D ) x + (− B − C + D ) Luego: (1) ⎛ A + C +D = 0 ⎞ ⎜ ⎟ (2) ⎜ B − C + D = 0⎟ (3) ⎜ − A + C + D = 0 ⎟ ⎜ ⎟ (4) ⎝ − B −C + D = 1 ⎠ ⎛ A+ C + D = 0⎞ Con (1) y (3), se tiene: ⎜ ⎟ ⇒ 2C + 2 D = 0 (5) ⎝ −A + C + D = 0⎠ ⎛ B − C + D = 0⎞ Con (2) y (4), se tiene: ⎜ ⎟ ⇒ −2C + 2 D = 1 (6) ⎝ −B − C + D = 1⎠ ⎛ 2C + 2 D = 0 ⎞ 1 1 Con (5) y (6), se tiene: ⎜ ⎟ ⇒ C = − 4,D = 4 ⎝ −2C + 2 D = 1 ⎠

Además: A = 0, B = − 1 , luego: 2 1 1 1 1 , con lo cual: =− − + 4 2 x −1 2( x + 1) 4( x + 1) 4( x − 1) dx 1 dx 1 dx 1 dx ∫ x4 − 1 = − 2 ∫ ( x 2 + 1) − 4 ∫ ( x + 1) + 4 ∫ ( x − 1) = − 1 arcτ gx − 1 η x + 1 + 1 η x − 1 + c 2 4 4 4 x dx dx x −1 Dado que: ∫ 4 = ∫ dx + ∫ 4 = x − 1 arcτ gx + 1 η + c , entonces: 2 4 x −1 x −1 x +1 1 x −1 Respuesta: ∫ 4 = x − 1 arcτ gx + 1 η +c 2 4 x −1 x +1 x 4 − 2 x3 + 3x 2 − x + 3 7.10.-Encontrar: ∫ dx x3 − 2 x 2 + 3x Solución.x 4 − 2 x3 + 3x 2 − x + 3 x3 − 2 x 2 + 3x − x 4 + 2 x3 − 3x 2

x −x + 3

Luego:

161

x 4 − 2 x3 + 3x 2 − x + 3 x−3 x−3 ⎛ ⎞ ∫ x3 − 2 x 2 + 3x dx = ∫ ⎜⎝ x − x3 − 2 x2 + 3x ⎟⎠dx = ∫ xdx − ∫ x3 − 2 x 2 + 3xdx Descomponiendo en factores el denominador: x3 − 2 x 2 + 3x = x( x 2 − 2 x + 3) , es decir un factor lineal y uno cuadrático; por lo cual: x −3 A Bx + C x −3 A( x 2 − 2 x + 3) + ( Bx + C ) x = + ⇒ = x3 − 2 x 2 + 3x x x 2 − 2 x + 3 x3 − 2 x 2 + 3x x( x 2 − 2 x + 3) x − 3 = A( x 2 − 2 x + 3) + ( Bx + C ) x ⇒ x − 3 = ( A + B) x 2 + (−2 A + C ) x + 3 A De donde: A+ B = 0 ⎞ ⎧ A = −1 ⎛ ⎜ ⎟ ⎪ + C = 1 ⎟ ⇒ ⎨B = − A ⇒ B = 1 ⎜ −2 A ⎜ 3A = −3 ⎟⎠ ⎪⎩C = 1 + 2 A ⇒ C = −1 ⎝ Luego: x −3 1 x −1 =− + 2 , de donde: 3 2 x − 2 x + 3x x x − 2x + 3 x−3 dx x −1 x −1 ∫ x3 − 2 x 2 + 3x dx = −∫ x + ∫ x 2 − 2 x + 3 dx = − η x + ∫ x 2 − 2 x + 3 dx x 4 − 2 x3 + 3x 2 − x + 3 x −1 ∫ x3 − 2 x 2 + 3x dx = ∫ xdx + η x − ∫ x2 − 2 x + 3 dx x2 x −1 x2 1 2( x − 1)dx = + η x −∫ 2 dx = + η x − ∫ 2 2 2 2 x − 2x + 3 x − 2x + 3 Sea: u = x 2 − 2 x + 3, du = (2 x − 2)dx ⇒ du = 2( x − 1)dx x2 1 du x 2 1 + η x− ∫ = + η x − η x2 − 2x + 3 + c 2 2 u 2 2 4 3 2 x − 2 x + 3x − x + 3 x2 x Respuesta: ∫ = + η +c dx 3 2 x − 2 x + 3x 2 x2 − 2 x + 3 =

EJERCICICOS PROPUESTOS Usando La técnica de descomposición en fracciones simples parciales, calcular las siguientes integrales: ( x5 + 2)dx x2 − 1 (3 x + 7)dx 7.14.- ∫ ( x − 1)( x − 2)( x − 3)

7.12.- ∫

( x 2 + 1)dx x3 + 1

7.18.- ∫

7.11.- ∫

7.17.- ∫

xdx ( x + 1) 2 dx 7.15.- ∫ 3 dx x +1 ( x 2 + 6)dx ( x − 1) 2 ( x − 2)

x3 dx x2 − 2 x − 3 ( x + 5)dx 7.16.- ∫ 2 x −x+6

7.13.- ∫

7.19.- ∫

( x 2 − 1)dx ( x 2 + 1)( x − 2)

162

xdx x − 4x − 5 x 2 dx 7.23.- ∫ 2 x + 2x +1 dx 7.26.- ∫ 2 x( x + x + 1) 7.20.- ∫

2

xdx x − 2x − 3 dx 7.24.- ∫ x( x + 1) 2 2 x2 + 5x − 1 dx 7.27.- ∫ 3 x + x2 − 2x 7.21.- ∫

2

( x + 1)dx x2 + 4 x − 5 dx 7.25.- ∫ ( x + 1)( x 2 + 1) ( x 2 + 2 x + 3)dx 7.28.- ∫ ( x − 1)( x + 1) 2 7.22.- ∫

7.29.- ∫

3x2 + 2 x − 2 dx x3 − 1

7.30.- ∫

x 4 − x3 + 2 x 2 − x + 2 dx ( x − 1)( x 2 + 2) 2

7.32.- ∫

3x 2 + 3x + 1 dx x3 + 2 x 2 + 2 x + 1

7.33.- ∫

x3 + 7 x 2 − 5 x + 5 dx ( x − 1) 2 ( x + 1) 2

7.36.- ∫

(2 x 2 − 3x + 5)dx ( x + 2)( x − 1)( x − 3)

7.39.- ∫

2 x3 + 3x 2 + x − 1 dx ( x + 1)( x 2 + 2 x + 2) 2

(3x 2 + x − 2)dx ( x − 1)( x 2 + 1) (2 x + 1)dx 7.40.- ∫ 3 3x + 2 x − 1

7.42.- ∫

x4 − 2 x2 + 3x + 4 dx ( x − 1)3 ( x 2 + 2 x + 2)

7.43.- ∫

7.45.- ∫

4 x 4 − 2 x3 − x 2 + 3x + 1 dx ( x3 + x 2 − x − 1)

7.48.- ∫

(2 x 4 + 3x3 − x − 1)dx ( x − 1)( x 2 + 2 x + 2) 2

3x 4 dx ( x 2 + 1) 2 dx 7.49.- ∫ 2 x x e +e −2

7.51.- ∫

(2 + τ g 2θ ) sec 2 θ dθ 1 + τ g 3θ

7.52.- ∫

x2 + 2 x + 3 dx x3 − x ( x + 5)dx 7.38.- ∫ 3 x − 3x + 2

7.35.- ∫

(2 x 2 + 3 x − 1)dx x3 + 2 x 2 + 4 x + 2 s e n θ dθ 7.44.- ∫ 2 cos θ + cos θ − 2

7.41.- ∫

(2 x 2 + 41x − 91)dx x3 − 2 x 2 − 11x + 12 s e n xdx 7.50.- ∫ cos x(1 + cos 2 x)

7.47.- ∫

7.53.- ∫

(2 x 2 − 7 x − 1)dx x3 + x 2 − x − 1 2 xdx 7.34.- ∫ 2 ( x + x + 1) 2

7.31.- ∫

7.37.- ∫

et dt e2t + 3et + 2

7.46.- ∫

(5 x3 + 2)dx x3 − 5 x 2 + 4 x

x5 dx ( x3 + 1)( x3 + 8)

RESPUESTAS ( x5 + 2)dx x2 − 1 Solución.( x5 + 2)dx x+2 ⎞ x+2 ⎛ 3 3 ∫ x 2 − 1 = ∫ ⎜⎝ x + x + x 2 − 1 ⎟⎠dx = ∫ x dx + ∫ xdx + ∫ x 2 − 1 dx x4 x2 ( x + 2)dx (∗) , luego: = + +∫ 4 2 ( x + 1)( x − 1) A B x+2 ⇒ x + 2 = A( x − 1) + B( x + 1) = + 2 x −1 x +1 x −1

7.11.- ∫

163

⎧ x = 1 ⇒ 3 = 2B ⇒ B = 3 ⎪ 2 ∴⎨ ⎪⎩ x = −1 ⇒ 1 = −2 A ⇒ A = − 1 2 x 4 x 2 1 dx 3 dx x4 x2 1 3 + − ∫ + ∫ = + − η x +1 + η x −1 + c 4 2 2 x + 1 2 x −1 4 2 2 2 3 4 2 2 x x ( x − 1) = + +η +c 4 2 x +1

(∗) =

xdx ( x + 1) 2 Solución.xdx Adx Bdx ∫ ( x + 1)2 = ∫ x + 1 + ∫ ( x + 1)2 (∗) , luego: x A B = + ⇒ x = A( x + 1) + B 2 ( x + 1) x + 1 ( x + 1) 2 ⎧ x = −1 ⇒ −1 = B ∴⎨ ⎩ x = 0 ⇒ 0 = A + B ⇒ A = − B ⇒ A = −1 dx dx 1 −∫ = η x + 1 + ( x + 1) −1 + c = η x + 1 + +c (∗) ∫ 2 ( x + 1) x +1 x +1

7.12.- ∫

x 3dx x2 − 2 x − 3 Solución.x3dx 7x + 6 ⎞ (7 x + 6)dx ⎛ ∫ x2 − 2 x − 3 = ∫ ⎜⎝ x + 2 + x 2 − 2 x − 3 ⎟⎠dx = ∫ xdx + 2∫ dx + ∫ x 2 − 2 x − 3 x2 (7 x + 6)dx (∗) , luego: = + 2x + ∫ 2 ( x − 3)( x + 1) (7 x + 6) A B = + ⇒ 7 x + 6 = A( x + 1) + B( x − 3) ( x − 3)( x + 1) x − 3 x + 1 ⎧ x = 3 ⇒ 27 = 4 A ⇒ A = 27 ⎪ 4 ∴⎨ ⎪⎩ x = −1 ⇒ −1 = −4 B ⇒ B = 1 4 x2 27 dx 1 dx x2 27 1 (∗) = + 2 x + ∫ + ∫ = + 2x + η x − 3 + η x +1 + c 2 4 x − 3 4 x +1 2 4 4 2 x 1 = + 2 x + η ( x − 3) 27 ( x + 1) + c 2 4 (3 x + 7)dx 7.14.- ∫ ( x − 1)( x − 2)( x − 3) Solución.(3x + 7)dx Adx Bdx Cdx ∫ ( x − 1)( x − 2)( x − 3) = ∫ x − 1 + ∫ x − 2 + ∫ x − 3 (∗)

7.13.- ∫

164

(3x + 7) A B C = + + ( x − 1)( x − 2)( x − 3) x − 1 x − 2 x − 3 3 x − 7 = A( x − 2)( x − 3) + B ( x − 1)( x − 3) + C ( x − 1)( x − 2) , luego: ⎧ x = 1 ⇒ −4 = 2 A ⇒ A = −2 ⎪ ∴ ⎨ x = 2 ⇒ −1 = − B ⇒ B = 1 ⎪ x = 3 ⇒ 2 = 2C ⇒ C = 1 ⎩

dx dx dx +∫ +∫ = −2 η x − 1 + η x − 2 + η x − 3 + c x −1 x−2 x−3 ( x − 2)( x − 3) = η +c ( x − 1) 2 dx 7.15.- ∫ 3 dx x +1 Solución.dx dx Adx ( Bx + C )dx ∫ x3 + 1dx = ∫ ( x + 1)( x 2 − x + 1) = ∫ x + 1 + ∫ ( x 2 − x + 1) (∗) , luego: 1 A ( Bx + C ) = + 2 ⇒ 1 = A( x 2 − x + 1) + ( Bx + C )( x + 1) 2 ( x + 1)( x − x + 1) x + 1 ( x − x + 1) ⎧ x = −1 ⇒ 1 = 3 A ⇒ A = 1 3 ⎪ ⎪ ∴⎨x = 0 ⇒ 1 = A + C ⇒ C = 1− A ⇒ C = 2 3 ⎪ 1 ⎪⎩ x = 1 ⇒ 1 = A + ( B + C )2 ⇒ 1 = 3 + 2 B + 2C ⇒ 1 3 = B + C ⇒ B = 1 3 − C ⇒B=−1 3 (− 1 x + 2 )dx 1 1 dx 1 ( x − 2)dx 3 3 +∫ = η x +1 − ∫ 2 (∗) = ∫ 2 3 x +1 ( x − x + 1) 3 3 x − x +1 1 1 (2 x − 4)dx 1 1 (2 x − 1 − 3)dx = η x +1 − ∫ 2 = η x +1 − ∫ 3 6 x − x +1 3 6 x2 − x + 1 1 1 (2 x − 1)dx 1 dx = η x +1 − ∫ 2 + ∫ 2 3 6 x − x +1 2 x − x +1 dx 1 1 1 = η x + 1 − η x2 − x + 1 + ∫ 2 3 6 2 (x − x + 1 ) + 3 4 4 1 1 1 dx = η x + 1 − η x2 − x + 1 + ∫ 3 6 2 ( x − 1 )2 + ( 3 )2 2 2 x− 1 1 1 1 1 2 +c arcτ g = η x + 1 − η x2 − x + 1 + 3 6 2 3 3 2 2 1 1 3 2x −1 = η x + 1 − η x2 − x + 1 + arcτ g +c 3 6 3 3

(∗) = −2∫

165

= η

3

x +1

+

3 2x −1 arcτ g +c 3 3

x2 − x + 1 ( x + 5)dx 7.16.- ∫ 2 x −x+6 Solución.( x + 5)dx ( x + 5)dx Adx Bdx ∫ x2 − x + 6 = ∫ ( x + 3)( x − 2) = ∫ ( x + 3) + ∫ ( x − 2) (∗) , luego: ( x + 5) A B = + ⇒ x + 5 = A( x − 2) + B ( x + 3) 2 ( x + x − 6) ( x + 3) ( x − 2) ⎧ x = 2 ⇒ 7 = 5B ⇒ B = 7 ⎪ 5 ∴⎨ ⎪⎩ x = −3 ⇒ 2 = −5 A ⇒ A = − 2 5 2 dx 7 dx 2 2 1 ( x − 2)7 (∗) = − ∫ + ∫ = − η x+3 + η x−2 +c = η +c 5 x+3 5 x−2 5 5 5 ( x + 3) 2 6

( x 2 + 1)dx x3 + 1 Solución.( x 2 + 1)dx ( x 2 + 1)dx Adx ( Bx + C )dx = ∫ x3 + 1 ∫ ( x + 1)( x 2 − x + 1) = ∫ ( x + 1) + ∫ ( x2 − x + 1) (∗) , luego:

7.17.- ∫

( x 2 + 1) A Bx + C = + 2 ⇒ x 2 + 1 = A( x 2 − x + 1) + ( Bx + C )( x + 1) 3 x + 1 ( x + 1) ( x − x + 1) ⎧ x = −1 ⇒ 2 = 3 A ⇒ A = 2 3 ⎪ ⎪ ∴⎨x = 0 ⇒ 1 = A + C ⇒ C = 1 3 ⎪ ⎪⎩ x = 1 ⇒ 2 = A + ( B + C )2 ⇒ B = 1 3 ( x 2 + 1)dx ( x 2 + 1)dx 2 dx 1 ( x + 1)dx (∗) ∫ = = ∫ + ∫ 2 3 2 ∫ x +1 ( x + 1)( x − x + 1) 3 ( x + 1) 3 ( x − x + 1) ⎡ 1 (2 x − 1) + 2 ⎤ dx 2 1 dx 3 ⎦ = 2 η x + 1 + 1 (2 x − 1)dx + 1 = η x +1 + ∫ ⎣ 2 2 2 2 ∫ ∫ 3 3 ( x − x + 1) 3 6 ( x − x + 1) 2 ( x − x + 1) 2 1 1 dx = η x + 1 + η x2 − x + 1 + ∫ 2 3 6 2 ( x − x + 1) dx 2 1 1 = η x + 1 + η x2 − x + 1 + ∫ 2 3 6 2 (x − x + 1 ) + 3 4 4 4 1 1 dx = η x + 1 + η x2 − x + 1 + ∫ 6 6 2 ( x − 1 )2 + ( 3 )2 2 2

166

x− 1 1 1 1 4 2 2 +c arcτ g = η ( x + 1) ( x − x + 1) + 6 2 3 3 2 2 1 3 2x −1 = η ( x + 1) 4 ( x 2 − x + 1) + arcτ g +c 6 3 3 ( x 2 + 6)dx 7.18.- ∫ ( x − 1) 2 ( x − 2) Solución.( x 2 + 6)dx Adx Bdx Cdx ∫ ( x − 1)2 ( x − 2) = ∫ ( x + 1) + ∫ ( x − 1)2 + ∫ ( x + 2) (∗) , luego: ( x 2 + 6) A B C = + + 2 2 ( x − 1) ( x − 2) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 2) x 2 + 6 = A( x + 1) + ( x + 2) + B( x + 2) + C ( x − 1) 2

⎧ x = 1 ⇒ 7 = 3B ⇒ B = 7 3 ⎪ ⎪ ∴ ⎨ x = −2 ⇒ 10 = 9C ⇒ C = 10 9 ⎪ ⎪ x = 0 ⇒ 6 = −2 A + B + C ⇒ A = − 1 9 ⎩ 1 7 10 1 7 1 10 dx dx dx + ∫ + ∫ = − η x −1 − + η x+2 +c (∗) = − ∫ 2 9 ( x + 1) 3 ( x − 1) 9 ( x + 2) 9 3 x −1 9 =

1 ( x + 2)10 7 η − +c 9 3( x − 1) x −1

( x 2 − 1)dx ( x 2 + 1)( x − 2) Solución.( x 2 − 1)dx Ax + B Cdx ∫ ( x2 + 1)( x − 2) = ∫ ( x 2 + 1) dx + ∫ ( x − 2) (∗) , luego: 7.19.- ∫

( x 2 − 1) Ax + B C = 2 + ⇒ x 2 − 1 = ( Ax + B)( x − 2) + C ( x 2 + 1) 2 ( x + 1)( x − 2) ( x + 1) ( x − 2) ⎧ x = 2 ⇒ 3 = 5C ⇒ C = 3 5 ⎪ ⎪ ∴ ⎨ x = 0 ⇒ −1 = −2 B + C ⇒ B = 4 5 ⎪ ⎪⎩ x = 1 ⇒ 0 = −( A + B ) + 2C ⇒ A = 2 5 3 dx ( 2 x + 4 )dx dx 1 2 xdx 4 3 dx 5 5 +∫ 5 = ∫ 2 + ∫ 2 + ∫ (∗) = ∫ 2 ( x + 1) ( x − 2) 5 ( x + 1) 5 ( x + 1) 5 x − 2 1 4 3 1 4 = η x 2 + 1 + arc x + η x − 2 + c = η ( x 2 + 1)( x − 2)3 + arc x + c 5 5 5 5 5

167

xdx x − 4x − 5 Solución.xdx xdx Adx Bdx ∫ x2 − 4 x − 5 = ∫ ( x + 5)( x − 1) = ∫ ( x + 5) + ∫ ( x − 1) (∗) , luego: x A B = + ⇒ x = A( x − 1) + B( x + 5) ( x + 5)( x − 1) ( x + 5) ( x − 1) ⎧ x = 1 ⇒ 1 = 6B ⇒ B = 1 ⎪ 6 ∴⎨ ⎪⎩ x = −5 ⇒ −5 = −6 A ⇒ A = 5 6 5 1 5 1 5 dx dx (∗) = ∫ + ∫ = η x + 5 + η x − 1 + c = η ( x + 5)5 ( x − 1) + c 6 ( x + 5) 6 ( x − 1) 6 6 6 xdx 7.21.- ∫ 2 x − 2x − 3 Solución.xdx xdx Adx Bdx ∫ x2 − 2 x − 3 = ∫ ( x − 3)( x + 1) = ∫ ( x − 3) + ∫ ( x + 1) (∗) , luego: x A B = + ⇒ x = A( x + 1) + B( x − 3) ( x − 3)( x + 1) ( x − 3) ( x + 1) ⎧ x = −1 ⇒ −1 = −4 B ⇒ B = 1 ⎪ 4 ∴⎨ ⎪⎩ x = 3 ⇒ 3 = 4 A ⇒ A = 3 4 3 1 3 1 1 dx B (∗) = ∫ + ∫ = η x − 3 + η x + 1 + c = η ( x − 3)3 ( x + 1) + c 4 ( x − 3) 4 ( x + 1) 4 4 4 ( x + 1)dx 7.22.- ∫ 2 x + 4x − 5 Solución.( x + 1)dx ( x + 1)dx Adx Bdx ∫ x2 + 4 x − 5 = ∫ ( x + 5)( x − 1) = ∫ ( x + 5) + ∫ ( x − 1) (∗) , luego: x +1 A B = + ⇒ x + 1 = A( x − 1) + B ( x + 5) 2 ( x + 4 x − 5) ( x + 5) ( x − 1) ⎧ x = 1 ⇒ 2 = 6B ⇒ B = 1 ⎪ 3 ∴⎨ ⎪⎩ x = − 5 ⇒ 3 = −4 A ⇒ −6 A = 2 3 2 1 2 1 1 dx B (∗) = ∫ + ∫ = η x + 5 + η x − 1 + c = η ( x + 5) 2 ( x − 1) + c 3 ( x + 5) 3 ( x − 1) 3 3 3 2 x dx 7.23.- ∫ 2 x + 2x +1 Solución.7.20.- ∫

2

168

x 2 dx 2x +1 ⎞ (2 x + 1)dx (2 x + 1)dx ⎛ ∫ x2 + 2 x + 1 = ∫ ⎜⎝1 − x 2 + 2 x + 1 ⎟⎠ dx = ∫ dx − ∫ x 2 + 2 x + 1 = ∫ dx − ∫ ( x + 1)2 ⎡ Adx Bdx ⎤ (∗) , luego: = x − ⎢∫ +∫ ( x + 1) 2 ⎥⎦ ⎣ ( x + 1) 2x +1 A B = + ⇒ 2 x + 1 = A( x + 1) + B 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2 ⎧ x = −1 ⇒ −1 = B ⇒ B = − 1 ∴⎨ ⎩x = 0 ⇒ 1 = A + B ⇒ A = 2 ⎡ 1 ⎤ 1 dx dx ⎤ ⎡ −∫ = x − ⎢2 η x + 1 + + c = x − 2 η x +1 − +c (∗) = x − ⎢ 2∫ 2⎥ ⎥ x + 5⎦ x+5 ( x + 1) ⎦ ⎣ ⎣ ( x + 1) dx 7.24.- ∫ x( x + 1) 2 Solución.dx Adx Bdx Cdx ∫ x( x + 1)2 = ∫ x + ∫ ( x + 1) + ∫ ( x + 1)2 (∗) , luego: 1 A B C = + + ⇒ 1 = A( x + 1) 2 + Bx( x + 1) + Cx 2 2 x( x + 1) x ( x + 1) ( x + 1) ⎧ x = −1 ⇒ 1 = −C ⇒ C = −1 ⎪ ∴⎨x = 0 ⇒ 1 = A ⇒ A = 1 ⎪ x = 1 ⇒ 1 = 4 A + 2 B + C ⇒ B = −1 ⎩ 1 1 dx dx dx x −∫ −∫ = η x − η x +1 + +c = η + +c 2 x x +1 x +1 x +1 ( x + 1) ( x + 1) dx 7.25.- ∫ ( x + 1)( x 2 + 1) Solución.dx Adx Bx + C ∫ ( x + 1)( x + 1)2 = ∫ x + 1 + ∫ ( x2 + 1) dx (∗) , luego: 1 A Bx + C = + 2 ⇒ 1 = A( x 2 + 1) + ( Bx + C )( x + 1) 2 ( x + 1)( x + 1) x + 1 ( x + 1) ⎧ x = −1 ⇒ 1 = 2 A ⇒ A = 1 2 ⎪ ⎪ 1 ∴⎨x = 0 ⇒ 1 = A + C ⇒ C = 2 ⎪ ⎪⎩ x = 1 ⇒ 1 = 2 A + ( B + C )2 ⇒ B = −1 2 (−1 x + 1 )dx 1 1 1 x −1 dx 2 2 dx +∫ = η x +1 − ∫ 2 (∗) = ∫ 2 2 ( x + 1) ( x + 1) 2 2 ( x + 1) 1 1 2 xdx 1 1 1 1 dx = η x +1 − ∫ 2 + ∫ 2 = η x + 1 − η x 2 + 1 + arcτ gx + c 2 4 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 4 2

(∗) = ∫

169

1 ( x + 1) 2 1 η 2 + arcτ gx + c x +1 2 4 dx 7.26.- ∫ 2 x( x + x + 1) Solución.dx Adx Bx + C ∫ x( x 2 + x + 1) = ∫ x + ∫ ( x 2 + x + 1) dx (∗) , luego: 1 A Bx + C = + 2 ⇒ 1 = A( x 2 + x + 1) + ( Bx + C ) x 2 x( x + x + 1) x ( x + x + 1) ⎧x = 0 ⇒ 1 = A ⇒ A = 1 ⎪ ∴ ⎨ x = 1 ⇒ 1 = 3 A + B + C ⇒ B + C = −2 ⎪ x = −1 ⇒ 1 = A + B − C ⇒ B − C = 0 ⎩ =

( x + 1)dx 1 (2 x + 2)dx dx −∫ 2 = η x +1 − ∫ 2 ( x + x + 1) 2 ( x + x + 1) x 1 (2 x + 1) + 1 1 (2 x + 1)dx 1 dx = η x− ∫ 2 dx = η x − ∫ 2 − ∫ 2 2 ( x + x + 1) 2 ( x + x + 1) 2 ( x + x + 1) 1 1 dx = η x − η x2 + x + 1 − ∫ 2 2 2 (x + x + 1 ) + 3 4 4 1 1 dx = η x − η x2 + x + 1 − ∫ 2 2 ( x + 1 )2 + ( 3 )2 2 2 1 x+ 1 1 1 2 +c = η x − η x2 + x + 1 − arcτ g 2 2 3 3 2 2 1 3 2x +1 = η x − η x2 + x + 1 − arcτ g +c 2 3 3 2 x2 + 5x − 1 7.27.- ∫ 3 dx x + x2 − 2 x Solución.(2 x 2 + 5 x − 1)dx Adx Bdx Cdx ∫ ( x3 + x 2 − 2 x) = ∫ x + ∫ ( x − 1) + ∫ ( x + 2) (∗) , luego:

(∗)

=∫

2 x2 + 5x − 1 A B C = + + 3 2 ( x + x − 2 x) x ( x − 1) ( x + 2) 2 x 2 + 5 x − 1 = A( x − 1)( x + 2) + Bx( x + 2) + Cx( x − 1) ⎧ x = 0 ⇒ −1 = − 2 A ⇒ A = 1 2 ⎪⎪ ∴ ⎨ x = 1 ⇒ 6 = 3B ⇒ B = 2 ⎪ 1 ⎪⎩ x = −2 ⇒ −3 = 6C ⇒ C = − 2

170

(∗) =

1 dx 1 1 1 dx dx + 2∫ − ∫ = η x + 2 η x −1 − η x + 2 + c ∫ 2 x ( x − 1) 2 ( x + 2) 2 2

x2 + 2 x + 3 dx ( x − 1)( x + 1) 2 Solución.x2 + 2x + 3 Adx Bdx Cdx ∫ ( x − 1)( x + 1)2 dx = ∫ ( x − 1) + ∫ ( x + 1) + ∫ ( x + 1)2 (∗) , luego: 7.28.- ∫

x2 + 2x + 3 A B C = + + 2 ( x − 1)( x + 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x + 1) 2 x 2 + 2 x + 3 = A( x + 1) 2 + B ( x − 1)( x + 1) + C ( x − 1) ⎧x = 1 ⇒ 6 = 4A ⇒ A = 3 2 ⎪⎪ ∴ ⎨ x = − 1 ⇒ 2 = −2C ⇒ C = −1 ⎪ 1 ⎪⎩ x = 0 ⇒ 3 = A − B − C ⇒ B = − 2 3 dx 1 dx 3 1 1 dx (∗) = ∫ − ∫ −∫ = η x −1 − η x +1 + +c 2 x +1 2 x −1 2 x +1 ( x + 1) 2 2 =

1 ( x − 1)3 1 η + +c 2 x +1 x +1

3x2 + 2 x − 2 dx x3 − 1 Solución.3x 2 + 2 x − 2 3x 2 + 2 x − 2 Adx ( Bx + C )dx dx = ∫ x3 − 1 ∫ ( x − 1)( x2 + x + 1)dx = ∫ x − 1 + ∫ ( x 2 + x + 1) (∗) , luego: 7.29.- ∫

3x 2 + 2 x − 2 A Bx + C = + 2 2 ( x − 1)( x + x + 1) x − 1 ( x + x + 1) 3 x 2 + 2 x − 2 = A( x 2 + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1) ⎧x = 1 ⇒ 3 = 3A ⇒ A = 1 ⎪ ∴ ⎨ x = 0 ⇒ −2 = A − C ⇒ C = 3 ⎪ x = −1 ⇒ −1 = A + (− B + C )(−2) ⇒ B = 2 ⎩ (2 x + 3)dx (2 x + 1) + 2 dx dx +∫ 2 = η x −1 + ∫ 2 x −1 ( x + x + 1) ( x + x + 1) (2 x + 1)dx dx = η x −1 + ∫ 2 + 2∫ 2 ( x + x + 1) ( x + x + 1) dx = η x − 1 + η x 2 + x + 1 + 2∫ ( x + 1 )2 + ( 3 )2 2 2

(∗) = ∫

171

x+ 1 1 2 +c = η ( x − 1)( x + x + 1) + 2 arcτ g 3 3 2 4 3 2x +1 = η ( x − 1)( x 2 + x + 1) + arcτ g +c 3 3 x 4 − x3 + 2 x 2 − x + 2 7.30.- ∫ dx ( x − 1)( x 2 + 2) 2 Solución.x 4 − x3 + 2 x 2 − x + 2 Adx ( Bx + C )dx ( Dx + E )dx ∫ ( x − 1)( x 2 + 2)2 dx = ∫ x − 1 + ∫ ( x2 + 2) + ∫ ( x 2 + 2)2 (∗) , luego: 2

x 4 − x3 + 2 x 2 − x + 2 A Bx + C Dx + E = + 2 + 2 2 2 ( x − 1)( x + 2) x − 1 ( x + 2) ( x + 2) 2 x 4 − x3 + 2 x 2 − x + 2 = A( x 2 + 2) 2 + ( Bx + C )( x − 1)( x 2 + 2) + ( Dx + E )( x − 1) = A( x 4 + 4 x 2 + 4) + ( Bx + C )( x3 + 2 x − x 2 − 2) + Dx 2 − Dx + Ex − E = Ax 4 + 4 Ax 2 + 4 A + Bx 4 + 2 Bx 2 − Bx3 − 2 Bx + Cx3 + 2Cx − Cx 2 − 2C ⇒ + Dx 2 − Dx + Ex − E = ( A + B ) x 4 + (C − B ) x3 + (4 A − C + 2 B + D) x 2 + (−2 B + 2C − D + E ) x + (4 A − 2C − E ) Igualando coeficientes, se tiene: A+ B =1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ − B+ C = −1 ⎟ ⎜ ⎜ 4 A+ 2 B − C + D = 2 ⎟ ∴ A = 1 3 , B = 2 3 , C = − 13 , D = −1, E = 0 ⎜ ⎟ − 2 B + 2 C − D + E = −1 ⎟ ⎜ ⎜ 4A − 2C − E = 2 ⎟⎠ ⎝

( 2 x − 1 )dx 1 dx xdx (∗) = ∫ +∫ 3 2 3 −∫ 2 3 x −1 ( x + 2) ( x + 2)2 1 dx 1 2 xdx 1 dx 1 2 xdx = ∫ + ∫ 2 − ∫ 2 − ∫ 2 3 x − 1 3 ( x + 2) 3 ( x + 2) 2 ( x + 2) 2 =

1 1 2 x 1 1 η x − 1 + η x2 + 2 − + +c arcτ g 2 3 3 6 2 2 x +2

1 2 x 1 η ( x − 1)( x 2 + 2) − + +c arcτ g 2 3 6 2 2( x + 2) 2 x2 − 7 x − 1 7.31.- ∫ 3 dx x + x2 − x −1 Solución.2x2 − 7 x − 1 2 x2 − 7 x −1 Adx Bdx Cdx dx = ∫ x3 + x2 − x − 1 ∫ ( x − 1)( x + 1)2 dx = ∫ x − 1 + ∫ ( x + 1) + ∫ ( x + 1)2 (∗) , luego: =

172

2x2 − 7 x − 1 A B C = + + 3 2 ( x + x − x − 1) x − 1 ( x + 1) ( x + 1) 2 2 x 2 − 7 x − 1 = A( x + 1) 2 + B ( x − 1)( x + 1) + C ( x − 1) ⎧ x = −1 ⇒ 8 = −2C ⇒ C = −4 ⎪ ⎪ ∴ ⎨ x =1 ⇒ −6 = 4 A ⇒ A = − 3 2 ⎪ ⎪⎩ x = 0 ⇒ −1 = A − B − C ⇒ B = 7 2 3 dx 7 dx 3 7 4 dx (∗) = − ∫ + ∫ − 4∫ = − η x −1 + η x +1 + +c 2 x +1 2 x −1 2 x +1 ( x + 1) 2 2 =−

1 ( x + 1)7 4 η + +c 3 2 ( x − 1) x +1

3x 2 + 3x + 1 dx x3 + 2 x 2 + 2 x + 1 Solución.3x 2 + 3x + 1 (3 x 2 + 3x + 1)dx Adx ( Bx + C )dx dx = ∫ x3 + 2 x 2 + 2 x + 1 ∫ ( x + 1)( x 2 + x + 1) = ∫ x + 1 + ∫ ( x2 + x + 1) (∗) , luego:

7.32.- ∫

3x2 + 3x + 1 A Bx + C = + 2 2 ( x + 1)( x + x + 1) x + 1 ( x + x + 1) 3 x 2 + 3 x + 1 = A( x 2 + x + 1) + ( Bx + C )( x + 1) ⎧ x = −1 ⇒ A = 1 ⎪ ∴⎨x = 0 ⇒ 1 = A + C ⇒ C = 0 ⎪ x = 1 ⇒ 7 = 3 A + ( B + C )(2) ⇒ B = 2 ⎩ 2 xdx (2 x + 1) − 1 dx dx +∫ 2 = η x +1 + ∫ 2 x +1 ( x + x + 1) ( x + x + 1) (2 x + 1)dx dx = η x +1 + ∫ 2 −∫ 2 ( x + x + 1) ( x + x + 1) dx = η x + 1 + η x2 + x + 1 − ∫ ( x 2 + x + 1 ) + ( 3 )2 4 2 1 x+ 1 2 +c = η x + 1 + η x2 + x + 1 − arcτ g 3 3 2 2 2 3 2x +1 = η ( x + 1)( x 2 + x + 1) − arcτ g +c 3 3 x3 + 7 x 2 − 5 x + 5 7.33.- ∫ dx ( x − 1) 2 ( x + 1) 2 Solución.-

(∗) = ∫

173

x3 + 7 x 2 − 5 x + 5 Adx Bdx Cdx Ddx Edx ∫ ( x − 1)2 ( x + 1)3 dx = ∫ x − 1 + ∫ ( x − 1)2 + ∫ ( x + 1) + ∫ ( x + 1)2 + ∫ ( x + 1)3 (∗) , luego: x3 + 7 x 2 − 5 x + 5 A B C D E = + + + + 2 3 2 2 ( x − 1) ( x + 1) x − 1 ( x − 1) x + 1 ( x + 1) ( x + 1)3 x3 + 7 x 2 − 5 x + 5 = A( x − 1)( x + 1)3 + B( x + 1)3 + C ( x − 1) 2 ( x + 1) 2 ⇒ + D( x − 1) 2 ( x + 1) + E ( x − 1) 2 = Ax 4 + 2 Ax3 − 2 Ax − A + Bx 3 + 3Bx 2 + 3Bx + B + Cx 4 − 2Cx 2 + C ⇒ + Dx3 − Dx 2 − Dx + D + Ex 2 − 2 Ex + E = ( A + C ) x 4 + (2 A + B + D) x3 + (3B − 2C − D + E ) x 2 ⇒ + (−2 A + 3B − D − 2 E ) x + (− A + B + C + D + E ) Igualando coeficientes, se tiene: +C = 0⎞ ⎛ A ⎜ ⎟ +D = 1⎟ ⎜ 2A + B ⎜ + 3 B − 2 C − D + E = 7 ⎟ ∴ A = 0, B = 1, C = 0, D = 0, E = 4 ⎜ ⎟ − D − 2 E = −5 ⎟ ⎜ −2 A + 3 B ⎜ − A + B + C + D + E = 2⎟ ⎝ ⎠ 1 2 dx dx x2 − 4x − 1 4 c + = − − + = − +c ∫ ( x + 1)3 x − 1 ( x + 1)2 ( x − 1) 2 ( x − 1)( x + 1) 2 2 xdx 7.34.- ∫ 2 ( x + x + 1) 2 Solución.2 xdx ( Ax + B)dx (Cx + D)dx ∫ ( x2 + x + 1)2 = ∫ x 2 + x + 1 + ∫ ( x 2 + x + 1)2 (∗) , luego: 2x Ax + B Cx + D = 2 + 2 2 2 ( x + x + 1) x + x + 1 ( x + x + 1) 2 2 x = ( Ax + B)( x 2 + x + 1) + Cx + D ⇒ 2 x = Ax3 + Ax 2 + Ax + Bx 2 + Bx + B + Cx + D = Ax3 + ( A + B) x 2 + ( A + B + C ) x + B + D , igualando coeficientes se tiene: = 0⎞ ⎛A ⎜ ⎟ = 0⎟ ⎜ A+ B ⎜ A+ B +C =2⎟ ⎜ ⎟ + D = 0⎠ ⎝ ∴ A = 0, B = 0, C = 2, D = 0 2 xdx (∗) = ∫ 2 , de donde el método sugerido pierde aplicabilidad; tal como se ( x + x + 1) había planteado la técnica trabajada debe ser sustituida por otra: 2 xdx (2 x + 1)dx dx ∫ ( x2 + x + 1) = ∫ ( x 2 + x + 1) − ∫ ( x 2 + x + 1)2

(∗) = ∫

174

(2 x + 1)dx 16 dx − ∫ (∗∗) 2 2 ( x + x + 1) 9 ⎪⎧ ⎡ ⎫ ⎪ ⎤ ⎨ ⎢ 2 ( x + 1 2) ⎥ + 1⎬ 3 ⎦ ⎪⎩ ⎣ ⎭⎪ sea: u = 2 ( x + 1 ), dx = 3 du , entonces: 2 2 3 =∫

1 16 3 du − , trabajando la integral sustituyendo 2 ∫ x + x + 1 9 2 (u + 1) 2 trigonométricamente: 1 8 3 sec2 θ dθ , ya que: u = τ gθ , du = sec 2 θ dθ =− 2 − 4 ∫ x + x +1 9 sec θ 1 8 3 ⎡1 1 u ⎤ arcτ gu + =− 2 − ⎢ 9 ⎣2 2 (u 2 + 1) ⎥⎦ x + x +1 (∗∗) −

2

⎧ 1 8 3 ⎪1 =− 2 − ⎨ arcτ g x + x +1 9 ⎪2 ⎩ ⎧ 1 8 3 ⎪1 =− 2 − ⎨ arcτ g x + x +1 9 ⎪2 ⎩

2 (x + 1 ) ⎫ 2 2 ⎪ 3 1 (x + ) + ⎬+c 2 2 3 2 ⎡ 4 ( x + 1 ) + 1⎤ ⎪ 2 ⎣ 3 ⎦⎭

⎫ x+ 1 2 ⎪ 2 1 (x + ) + ⎬+c 2 2 3 3 ⎡ 4 ( x + 1 ) + 1⎤ ⎪ 2 ⎣ 3 ⎦⎭ (x + 1 ) 1 4 3 2 8 2 =− 2 − +c arcτ g (x + 1 ) − 2 4 1 9 9 ⎡ ( x + ) 2 + 1⎤ x + x +1 3 2 ⎣ 3 ⎦ 2 x + 2x + 3 7.35.- ∫ dx x3 − x Solución.x2 + 2 x + 3 x2 + 2 x + 3 Adx Bdx Cdx dx = ∫ x3 − x ∫ x( x − 1)( x + 1)dx = ∫ x + ∫ ( x − 1) + ∫ ( x + 1) (∗) , luego: x2 + 2 x + 3 A B C = + + x( x − 1)( x + 1) x ( x − 1) ( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = A( x − 1)( x + 1) + Bx( x + 1) + Cx( x − 1) ⎧ x = 0 ⇒ 3 = − A ⇒ A = −3 ⎪ ∴ ⎨ x = − 1 ⇒ 2 = 2C ⇒ C = 1 ⎪ x = 1 ⇒ 6 = 2B ⇒ B = 3 ⎩

(∗) = −3∫ = η

dx dx dx + 3∫ +∫ = −3 η x + 3 η x − 1 + η x + 1 + c x ( x − 1) ( x + 1)

( x − 1)3 ( x + 1) +c x3

175

(2 x 2 − 3 x + 5)dx ( x + 2)( x − 1)( x − 3) Solución.2 x 2 − 3x + 5 Adx Bdx Cdx ∫ ( x + 2)( x − 1)( x − 3)dx = ∫ ( x + 2) + ∫ ( x − 1) + ∫ ( x − 3) (∗) , luego: 7.36.- ∫

2 x 2 − 3x + 5 A B C = + + ( x + 2)( x − 1)( x − 3) x + 2 x − 1 x − 3 2 x 2 − 3x + 5 = A( x − 1)( x − 3) + B ( x + 2)( x − 3) + C ( x + 2)( x − 1)

⎧ x = 1 ⇒ 4 = −6 B ⇒ B = − 2 3 ⎪ ⎪ ∴ ⎨ x = 3 ⇒ 14 = 10C ⇒ C = 7 5 ⎪ ⎪ x = −2 ⇒ 19 = 15 A ⇒ A = 19 15 ⎩ 19 dx 2 dx 7 dx 19 2 7 (∗) = ∫ − ∫ + ∫ = η x + 2 − η x −1 + η x − 3 + c 15 x + 2 3 x − 1 5 x − 3 15 3 5 2 3x + x − 2 7.37.- ∫ dx ( x − 1)( x 2 + 1) Solución.3x2 + x − 2 Adx ( Bx + C )dx ∫ ( x − 1)( x 2 + 1)dx = ∫ ( x − 1) + ∫ ( x 2 + 1) (∗) , luego: 3x2 + x − 2 A Bx + C = + 2 2 ( x − 1)( x + 1) x − 1 x + 1 3 x 2 + x − 2 = A( x 2 + 1) + ( Bx + C )( x − 1) ⎧x = 1 ⇒ 2 = 2A ⇒ A = 1 ⎪ ∴ ⎨ x = 0 ⇒ −2 = A − C ⇒ C = 3 ⎪ x = 2 ⇒ 12 = 5 A + 2 B + C ⇒ B = 2 ⎩ dx (2 x + 3)dx dx 2 xdx dx +∫ =∫ +∫ 2 + 3∫ 2 2 x −1 x +1 x −1 x +1 x +1 2 = η x − 1 + η x + 1 + 3arcτ gx + c = η ( x − 1)( x 2 + 1) + 3arcτ gx + c

(∗) = ∫

( x + 5)dx x3 − 3x + 2 Solución.( x + 5)dx ( x + 5)dx Adx Bdx Cdx ∫ x3 − 3x + 2 = ∫ ( x − 1)2 ( x + 2) = ∫ ( x − 1) + ∫ ( x − 1)2 + ∫ ( x + 2) (∗) , luego: x+5 A B C = + + 3 2 x − 3 x + 2 x − 1 ( x − 1) ( x + 2) x + 5 = A( x − 1)( x + 2) + B( x + 2) + C ( x − 1) 2 7.38.- ∫

176

⎧ x = 1 ⇒ 6 = 3B ⇒ B = 2 ⎪ ⎪ ∴ ⎨ x = − 2 ⇒ 3 = 9C ⇒ C = 1 3 ⎪ ⎪⎩ x = 0 ⇒ 5 = −2 A + B + C ⇒ A = − 1 3 1 dx dx 1 dx 1 2 1 (∗) = − ∫ + 2∫ + ∫ = − η x −1 − + η x+2 +c 2 x −1 3 3 ( x − 1) ( x − 1) 3 ( x + 2) 3 1 x+2 2 = η − +c 3 x −1 x −1 2 x3 + 3x 2 + x − 1 dx ( x + 1)( x 2 + 2 x + 2) 2 Solución.(2 x3 + 3 x 2 + x − 1)dx Adx ( Bx + C )dx ( Dx + E )dx ∫ ( x + 1)( x2 + 2 x + 2)2 = ∫ x + 1 + ∫ ( x2 + 2 x + 2) + ∫ ( x2 + 2 x + 2)2 (∗) , luego:

7.39.- ∫

2 x3 + 3x 2 + x − 1 A Bx + C Dx + E = + 2 + 2 2 2 ( x + 1)( x + 2 x + 2) x + 1 ( x + 2 x + 2) ( x + 2 x + 2) 2 2 x3 + 3x 2 + x − 1 = A( x 2 + 2 x + 2) 2 + ( Bx + C )( x 2 + 2 x + 2)( x + 1) + ( Dx + E )( x + 1) = Ax 4 + 4 Ax3 + 8 Ax 2 + 8 Ax + 4 A + Bx 4 + 3Bx 3 + 4 Bx 2 + 2 Bx + Cx3 + 3Cx 2 + 4Cx ⇒ +2C + Dx 2 + Dx + Ex + E = ( A + B ) x 4 + (4 A + 3B + C ) x3 + (+8 A + 4 B + 3C + D) x 2 ⇒ + (8 A + 2 B + 4C + D + E ) x + (4 A + 2C + E ) Igualando coeficientes, se tiene: = 0⎞ ⎛ A + B ⎜ ⎟ = 2⎟ ⎜ 4 A +3B + C ⎜ 8 A + 4 B + 3C + D = 3 ⎟ ∴ A = −1, B = 1, C = 3, D = −2, E = −3 ⎜ ⎟ ⎜ 8 A + 2 B + 4C + D + E = 1 ⎟ ⎜ 4A + 2C + E = −1 ⎟⎠ ⎝ dx ( x + 3)dx (2 x + 3)dx +∫ 2 −∫ 2 x +1 ( x + 2 x + 2) ( x + 2 x + 2) 2 1 (2 x + 6)dx (2 x + 2) + 1dx x −1 + ∫ 2 −∫ 2 2 ( x + 2 x + 2) ( x + 2 x + 2) 2 1 (2 x + 2) + 4 (2 x + 2)dx dx x −1 + ∫ 2 dx − ∫ 2 −∫ 2 2 2 ( x + 2 x + 2) ( x + 2 x + 2) ( x + 2 x + 2) 2 1 (2 x + 2)dx dx (2 x + 2)dx dx x −1 + ∫ 2 + 2∫ 2 −∫ 2 −∫ 2 2 2 ( x + 2 x + 2) ( x + 2 x + 2) ( x + 2 x + 2) ( x + 2 x + 2) 2 1 1 1 dx dx + −∫ x − 1 + η x2 + 2 x + 2 + 2∫ 2 2 2 2 ( x + 1) + 1 2 x + 2 x + 2 ⎡⎣( x + 1) 2 + 1⎤⎦

(∗) = − ∫ =− η =− η =− η =− η

177

1 η x 2 + 2 x + 2 + 2 arcτ g ( x + 1) 2 1 1 1 x +1 1 ⇒+ − − arcτ g ( x + 1) + c 2 2 2 x + 2x + 2 2 x + 2x + 2 2 = − η x −1 +

x2 + 2x + 2 3 1 x + arcτ g ( x + 1) − +c 2 x +1 2 2 x + 2x + 2

= η

(2 x 2 + 3 x − 1)dx 7.40.- ∫ 3 x + 2x2 + 4x + 2 Solución.(2 x 2 + 3x − 1)dx (2 x 2 + 3x − 1)dx Adx ( Bx + C )dx = ∫ x3 + 2 x 2 + 4 x + 2 ∫ ( x + 1)( x2 + 2 x + 2) = ∫ ( x + 1) + ∫ ( x2 + 2 x + 2) (∗) , luego: (2 x 2 + 3 x − 1) A ( Bx + C ) = + 2 2 ( x + 1)( x + 2 x + 2) ( x + 1) ( x + 2 x + 2) 2 x 2 + 3x − 1 = A( x 2 + 2 x + 2) + ( Bx + C )( x + 1) ⎧ x = −1 ⇒ − 2 = A ⇒ A = − 2 ⎪ ∴ ⎨ x = 0 ⇒ −1 = 2 A + C ⇒ C = 3 ⎪ x = 1 ⇒ 4 = 5 A + ( B + C )(2) ⇒ B = 4 ⎩ dx (4 x + 3)dx (2 x + 2) − 1 dx +∫ 2 = −2 η x + 1 + 2 ∫ 2 x + 2x + 2 x + 2x + 2 ( x + 1) dx (2 x + 2)dx = −2 η x + 1 + 2 ∫ 2 − 2∫ 2 x + 2x + 2 x + 2x + 2 2 = −2 η x + 1 + 2 η x + 2 x + 2 − 2 arcτ g ( x + 1) + c

(∗) = −2∫

(2 x + 1)dx 3x3 + 2 x − 1 Solución.(2 x + 1)dx (2 x + 1)dx Adx ( Bx + C )dx ∫ 3x3 − 2 x − 1 = ∫ ( x − 1)(3x 2 + 3x + 1) = ∫ ( x − 1) + ∫ (3x2 + 3x + 1) (∗) , luego: (2 x + 1) A ( Bx + C ) = + 3 (3 x − 2 x − 1) ( x − 1) (3x 2 + 3x + 1) 2 x + 1 = A(3x 2 + 3x + 1) + ( Bx + C )( x − 1) 7.41.- ∫

⎧x = 1 ⇒ 3 = 7 A ⇒ A = 3 7 ⎪ ⎪ ∴⎨x = 0 ⇒ 1 = A − C ⇒ C = − 4 7 ⎪ ⎪ x = −1 ⇒ −1 = A + (− B + C )(−2) ⇒ B = − 9 7 ⎩

(∗) =

1 dx 3 1 (9 x + 4)dx 3 1 9 (6 x + 3 − 3 )dx η − = x − − 1 7 ∫ ( x − 1) 7 ∫ 3x 2 + 3x + 1 7 7 6 ∫ 3x2 + 3x + 1

178

3 3 (6 x + 3)dx 1 dx η x −1 − ∫ 2 + ∫ 2 7 14 3 x + 3 x + 1 14 3x + 3x + 1 3 3 1 dx = η x −1 − η 3x 2 + 3x + 1 + ∫ 7 14 14 3( x + 1 ) 2 + 1 2 4 dx 3 3 2 = η x −1 − η 3x 2 + 3x + 1 + ∫ 7 14 7 12( x + 1 ) 2 + 1 2 3 3 3 arcτ g 2 3( x + 1 ) + c = η x −1 − η 3x 2 + 3x + 1 + 2 7 14 21 4 2 x − 2 x + 3x + 4 7.42.- ∫ dx ( x − 1)3 ( x 2 + 2 x + 2) Solución.x 4 − 2 x 2 + 3x + 4 Adx Bdx Cdx ( Dx + E )dx ∫ ( x − 1)3 ( x 2 + 2 x + 2)dx = ∫ ( x − 1) + ∫ ( x − 1)2 + ∫ ( x − 1)3 + ∫ ( x2 + 2 x + 2) (∗) , luego: x 4 − 2 x 2 + 3x + 4 A B C Dx + E = + + + 2 3 2 2 3 ( x − 1) ( x + 2 x + 2) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x + 2 x + 2) x 4 − 2 x 2 + 3x + 4 = A( x − 1) 2 ( x 2 + 2 x + 2) + B( x − 1)( x 2 + 2 x + 2) =

⇒ +C ( x 2 + 2 x + 2) + ( Dx + E )( x − 1)3 x 4 − 2 x 2 + 3x + 4 = A( x 2 − 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 2) + B( x3 + 2 x 2 + 2 x − x 2 − 2 x − 2) ⇒ +C ( x 2 + 2 x + 2) + ( Dx + E )( x3 − 3 x 2 + 3x − 1) x 4 − 2 x 2 + 3x + 4 = Ax 4 − Ax 2 − 2 Ax + 2 A + Bx3 + Bx 2 − 2 B + Cx 2 + 2Cx + 2C ⇒ + Dx 4 − 3Dx 3 + 3Dx 2 − Dx + Ex3 − 3Ex 2 + 3Ex − E x 4 − 2 x 2 + 3 x + 4 = ( A + D ) x 4 + ( B − 3 D + E ) x 3 + ( − A + B + C + 3 D − 3E ) x 2 ⇒ + (−2 A + 2C − D + 3E ) x + (−2 A − 2 B + 2C − E ) Igualando coeficientes se tiene: +D = 1⎞ ⎛ A ⎜ ⎟ B −3 D + E = 0 ⎟ ⎜ ⎜ − A + B + C + 3 D − 3 E = −2 ⎟ ⎜ ⎟ +2C − D +3E = 3 ⎟ ⎜ −2 A ⎜ 2 A −2 B +2C − E = 4 ⎟⎠ ⎝ ∴ A = 106

125

,B = 9

25

, C = 6 , D = 19 , E = 102 5 125 125

106 dx 9 dx 6 dx 1 (19 x + 102)dx − ∫ + ∫ + 2 3 ∫ 125 x + 1 25 ( x − 1) 5 ( x − 1) 125 ∫ ( x 2 + 2 x + 2) 102 )dx 106 9 1 6 1 19 ( x + 19 η x −1 + = + + 125 25 x − 1 5 (−2)( x − 1) 2 125 ∫ ( x 2 + 2 x + 2)

(∗) =

179

106 125 106 = 125 106 = 125 106 = 125

=

9 3 − 25( x − 1) 5( x − 1) 2 9 3 η x −1 + − 25( x − 1) 5( x − 1) 2 9 3 η x −1 + − 25( x − 1) 5( x − 1) 2 9 3 η x −1 + − 25( x − 1) 5( x − 1) 2

η x −1 +

19 (2 x + 2) + 8 14 19 dx 2 ∫ 250 ( x + 2 x + 2) dx 19 19 166 + η x2 + 2 x + 2 + 2 ∫ 250 250 19 ( x + 2 x + 1) + 1 19 166 dx + η x2 + 2x + 2 + ∫ 250 250 ( x + 1) 2 + 1 19 166 + η x2 + 2 x + 2 + arcτ g ( x + 1) + c 250 250 +

et dt 7.43.- ∫ 2t e + 3et + 2 Solución.et dt et dt t t t = ∫ e2t + 3et + 2 ∫ (et + 2)(et + 2) (∗) , Sea: u = e + 1, du = e dt; e + 2 = u + 1 Luego: du Adu Bdu (∗) ∫ (∗∗) =∫ +∫ (u + 1)u (u + 1) u 1 A B = + ⇒ 1 = Au + B (u + 1) (u + 1)u (u + 1) u ⎧u = 0 ⇒ 1 = B ⇒ B = 1 ∴⎨ ⎩u = − 1 ⇒ 1 = − A ⇒ A = −1 du du (∗∗) = − ∫ +∫ = − η u + 1 + η u + c = − η et + 2 + η e t + 1 + c (u + 1) u = η

et + 1 +c et + 2

s e n θ dθ cos θ + cos θ − 2 Solución.s e n θ dθ s e n θ dθ ∫ cos2 θ + cos θ − 2 = ∫ (cos θ + 2)(cosθ − 1) (∗) , Sea: u = cos θ − 1, du = − s e n θ dθ , cos θ + 2 = u + 3 Luego: − du du Adu Bdu (∗) ∫ (∗∗) = −∫ = −∫ −∫ (u + 3)u u (u + 3) u u +3 1 A B = + ⇒ 1 = A(u + 3) + Bu u (u + 3) u u + 3 ⎧u = 0 ⇒ 1 = 3 A ⇒ A = 1 ⎪ 3 ∴⎨ ⎪⎩u = − 3 ⇒ 1 = −3B ⇒ B = − 1 3 7.44.- ∫

2

180

1 du 1 du 1 1 + ∫ = − η u + η u+3 +c ∫ 3 u 3 (u + 3) 3 3 1 η cos θ − 1 + η cos θ + 2 + c , Como: cos θ < 1 , se tiene: 3 1 1 2 + cos θ η 1 − cos θ + η 2 + cos θ + c = η +c 3 3 1 − cos θ

(∗∗) = − 1 3 1 =− 3 =−

4 x 4 − 2 x3 − x 2 + 3x + 1 dx 7.45.- ∫ ( x3 + x 2 − x − 1) Solución.⎛ 4 x 4 − 2 x3 − x 2 + 3x + 1 9 x2 + x − 5 ⎞ 4 6 dx x = − + ⎜ ⎟ dx ∫ ( x3 + x 2 − x − 1) ∫⎝ x3 + x 2 − x − 1 ⎠ (9 x 2 + x − 5)dx (9 x 2 + x − 5)dx 2 = − + 2 x 6 x ∫ x3 + x 2 − x − 1 (∗) x3 + x 2 − x − 1 Trabajando sólo la integral resultante: (9 x 2 + x − 5)dx (9 x 2 + x − 5)dx Adx Bdx Cdx = ∫ x3 + x 2 − x − 1 ∫ ( x + 1)2 ( x − 1) = ∫ ( x + 1) + ∫ ( x + 1)2 + ∫ ( x − 1) (∗∗) , luego: = ∫ 4dx − ∫ 6dx + ∫

(9 x 2 + x − 5) A B C = + + 3 2 2 x −1 ( x + x − x − 1) ( x + 1) ( x + 1) 2 = 9 x + x − 5 = A( x + 1)( x − 1) + B( x − 1) + C ( x + 1) 2 ⎧ x = 1 ⇒ 5 = 4C ⇒ C = 5 4 ⎪ ⎪ ∴ ⎨ x = − 1 ⇒ 3 = −2 B ⇒ B = − 3 2 ⎪ ⎪⎩ x = 0 ⇒ −5 = − A − B + C ⇒ A = 31 4 dx dx dx 31 3 5 31 3 5 (∗∗) = ∫ − ∫ + ∫ = η x +1 + + η x −1 + c 2 4 ( x + 1) 2 ( x + 1) 4 ( x − 1) 4 2( x + 1) 4 31 3 5 (∗) = 2 x 2 − 6 x + η x +1 + + η x −1 + c 4 2( x + 1) 4 3 x 4 dx 7.46.- ∫ 2 ( x + 1) 2 Solución.⎡ 3 x 4 dx 3 x 4 dx 2 x2 + 1 ⎤ 2 x2 + 1 ∫ ( x2 + 1)2 = ∫ ( x 4 + 2 x2 + 1) = 3∫ ⎢⎣1 − ( x 2 + 1)2 ⎥⎦dx = 3∫ dx − 3∫ ( x 2 + 1)2 dx 2 x2 + 1 = 3 x − 3∫ 2 dx (∗) ( x + 1) 2 Trabajando sólo la integral resultante: (2 x 2 + 1)dx ( Ax + B)dx (Cx + D)dx ∫ ( x 2 + 1)2 = ∫ ( x2 + 1) + ∫ ( x 2 + 1)2 (∗∗) , luego:

181

(2 x 2 + 1) Ax + B Cx + D = 2 + 2 ⇒ 2 x 2 + 1 = ( Ax + B )( x 2 + 1) + Cx + D 2 2 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ⇒ 2 x 2 + 1 = Ax3 + Ax + Bx 2 + B + Cx + D ⇒ 2 x 2 + 1 = Ax3 + Bx 2 + ( A + C ) x + ( B + D) Igualando coeficientes: A = 0, B = 2, A + C = 0 ⇒ C = 0, B + D = 1 ⇒ D = −1 dx dx x ⎞ 1⎛ −∫ 2 = 2 arcτ gx − ⎜ arcτ gx + (∗∗) = 2 ∫ 2 ⎟+c 2 ( x + 1) ( x + 1) 2⎝ 1 + x2 ⎠ x 3 = arcτ gx − +c 2 2(1 + x 2 ) x 9 (∗) = 3 x − arcτ gx − +c 2 2(1 + x 2 ) (2 x 2 + 41x − 91)dx x3 − 2 x 2 − 11x + 12 Solución.(2 x 2 + 41x − 91)dx (2 x 2 + 41x − 91)dx ∫ x3 − 2 x 2 − 11x + 12 = ∫ ( x − 1)( x + 3)( x − 4)

7.47.- ∫

=∫

(2 x 2 + 41x − 91)dx Adx Bdx Cdx (∗) =∫ +∫ +∫ ( x − 1)( x + 3)( x − 4) x −1 x+3 x−4

(2 x 2 + 41x − 91) A B C = + + ( x − 1)( x + 3)( x − 4) x − 1 x + 3 x − 4 (2 x 2 + 41x − 91) = A( x + 3)( x − 4) + B ( x − 1)( x − 4) + C ( x − 1)( x + 3) ⎧ x = −3 ⇒ 18 − 123 − 91 = B(−4)(−7) ⇒ B = −7 ⎪ ∴ ⎨ x = 4 ⇒ 32 + 164 − 91 = C (3)(7) ⇒ C = 5 ⎪ x = 1 ⇒ 2 + 41 − 91 = A(4)(−3) ⇒ A = 4 ⎩ dx dx dx (∗) = 4 ∫ − 7∫ + 5∫ = 4 η x −1 − 7 η x + 3 + 5 η x − 4 + c ( x − 1) ( x + 3) ( x − 4) = η

( x − 1) 4 ( x − 4)5 +c ( x + 3)7

(2 x 4 + 3 x 3 − x − 1)dx ( x − 1)( x 2 + 2 x + 2) 2 Solución.2 x 4 + 3x3 − x − 1 Adx ( Bx + C )dx ( Dx + E )dx ∫ ( x − 1)( x 2 + 2 x + 2)2 dx = ∫ ( x − 1) + ∫ ( x 2 + 2 x + 2) + ∫ ( x2 + 2 x + 2)2 (∗) , luego:

7.48.- ∫

2 x 4 + 3x 2 − x − 1 A Bx + C Dx + E = + 2 + 2 2 2 ( x − 1)( x + 2 x + 2) ( x − 1) ( x + 2 x + 2) ( x + 2 x + 2) 2 2 x 4 + 3 x3 − x − 1 = A( x 2 + 2 x + 2) 2 + ( Bx + C )( x − 1)( x 2 + 2 x + 2) + ( Dx + E )( x − 1) 2 x 4 + 3 x3 − x − 1 = A( x 4 + 4 x 2 + 4 + 4 x3 + 4 x 2 + 8 x) + B ( x 4 + 2 x3 + 2 x 2 − x3 − 2 x 2 − 2 x) ⇒ +C ( x3 + 2 x 2 + 2 x − x 2 − 2 x − 2) + D( x 2 − x) + E ( x − 1)

182

2 x 4 + 3 x3 − x − 1 = ( A + B ) x 4 + (4 A + B + C ) x3 + (8 A + C + D) x 2 ⇒ + (8 A − 2 B − D + E ) x + (4 A − 2C − E ) Igualando coeficientes se tiene: = 2 ⎞ ⎛ A + B ⎜ ⎟ + C = 3 ⎟ ⎜ 4A + B ⎜ 8A + C +D = 0 ⎟ ⎜ ⎟ − 2B − D + E = −1 ⎟ ⎜ 8A ⎜ 4A − 2C − E = − 1 ⎟⎠ ⎝ ∴A= 3

, C = 16 , D = − 8 , E = 1 25 25 5 5 3 dx 1 (47 x + 16)dx 1 (8 x − 1)dx + ∫ 2 − ∫ 2 (∗) = ∫ 25 x − 1 25 ( x + 2 x + 2) 5 ( x + 2 x + 2) 2 16 )dx 1 3 47 ( x + 8 ( x − 8 )dx = η x − 1 + ∫ 2 47 − ∫ 2 25 25 ( x + 2 x + 2) 5 ( x + 2 x + 2) 2 62 9 3 47 (2 x + 2) − 47 4 (2 x + 2) − 4 = − η x −1 + ∫ dx dx 25 50 ( x 2 + 2 x + 2) 5 ∫ ( x 2 + 2 x + 2) 2 3 47 (2 x + 2)dx 62 dx 4 (2 x + 2)dx = − ∫ 2 − ∫ 2 η x −1 + ∫ 2 25 50 ( x + 2 x + 2) 50 ( x + 2 x + 2) 5 ( x + 2 x + 2) 2 9 dx ⇒+ ∫ 2 5 ( x + 2 x + 2) 2 3 47 62 dx 4 1 = η x −1 + η x2 + 2 x + 2 − ∫ + ∫ 2 2 25 50 50 ( x + 1) + 1 5 ( x + 2 x + 2) 9 dx ⇒+ ∫ 5 ⎡( x + 1) 2 + 1⎤ 2 ⎣ ⎦ 3 47 62 4 = η x −1 + η x 2 + 2 x + 2 − arcτ g ( x + 1) + 2 25 50 50 5( x + 2 x + 2) 25

, B = 47

x +1 ⎤ 9 ⎡1 1 ⇒ + ⎢ arcτ g ( x + 1) + +c 2 5 ⎣2 2 x + 2 x + 2 ⎥⎦ 3 47 17 9 x + 17 = η x −1 + η x 2 + 2 x + 2 − arcτ g ( x + 1) + +c 25 50 50 10( x 2 + 2 x + 2) dx 7.49.- ∫ 2 x e + ex − 2 Solución.dx dx dx ∫ e 2 x + e x − 2 = ∫ (e x ) 2 + e x − 2 = ∫ ⎡ (e x ) 2 + e x + 1 ⎤ − 2 − 1 ⎣ 4⎦ 4

183

=∫

dx 2

du (∗) , Sea: u = e x + 1 , du = e x dx ⇒ dx = 2 u− 1

⎡e x + 1 ⎤ − ( 3 ) 2 2 2⎦ 2 ⎣ Luego: du u− 1 du Adu Bdu Cdu 2 = = − + (∗) ∫ 2 (∗∗) ∫ ∫ ∫ ∫ 3 ) (u − 3 ) u− 1 u − ( 3 )2 (u − 1 )(u + 3 )(u − 3 ) ( u + 2 2 2 2 2 2 2 1 A B C = − + (u − 1 )(u + 3 )(u − 3 ) (u − 1 2) (u + 3 ) (u − 3 ) 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 = A(u + )(u − ) − B (u − )(u − ) + C (u − )(u + 3 ) 2 2 2 2 2 2 ⎧u = 1 ⇒ 1 = A(2)(−1) ⇒ A = − 1 2 2 ⎪ ⎪ ∴ ⎨u = − 3 ⇒ 1 = B (−2)(−3) ⇒ B = 1 2 6 ⎪ ⎪u = 3 2 ⇒ 1 = C (1)(3) ⇒ C = 1 3 ⎩ 1 du 1 du 1 du + ∫ + ∫ (∗∗) = − ∫ 1 3 2 (u − ) 6 (u + ) 3 (u − 3 ) 2 2 2 1 1 1 = − η (u − 1 ) + η (u + 3 ) + η (u − 3 ) + c 2 6 2 3 2 2 2 2 x x x x (u + 3 )(u − 3 ) 2 1 2 2 + c = 1 η (e + 2)(e − 1) + c = 1 η (e + 2)(e − 1) + c = η 6 6 (e x )3 6 e3 x (u − 1 )3 2 s e n xdx 7.50.- ∫ cos x(1 + cos 2 x) Solución.s e n xdx − s e n xdx du Adu ( Bu + C )du ∫ cos x(1 + cos2 x) = ∫ cos x(1 + cos2 x) = − ∫ u(1 + u 2 ) = −∫ u − ∫ (1 + u 2 ) (∗) Sea: u = cos x, du = − s e n xdx 1 A ( Bu + C ) = + ⇒ 1 = A(1 + u 2 ) + ( Bu + C )u 2 u (1 + u ) u (1 + u 2 ) 1 = A + Au 2 + Bu 2 + Cu ⇒ 1 = ( A + B )u 2 + Cu + A Igualando Coeficientes se tiene: ⎧ A + B = 0 ⇒ B = − A ⇒ B = −(1) ⇒ B = −1 ⎪ ∴ ⎨C = 0, ⎪A =1 ⎩ du udu +∫ = − η u + η 1 + u 2 + c = − η cos x + η 1 + (cos x) 2 + c (∗) = − ∫ 2 u 1+ u

184

= η

1 + (cos x) 2 +c cos x

(2 + τ g 2θ ) sec2 θ dθ 1 + τ g 3θ Solución.(2 + τ g 2θ ) sec2 θ dθ (2 + u 2 )du (2 + u 2 )du = = ∫ ∫ (1 + u 3 ) ∫ (1 + u)(u 2 − u + 1) (∗) 1 + τ g 3θ Sea: u = τ gθ , du = − sec2 θ dθ 7.51.- ∫

(2 + u 2 )du Adu Bu + C ∫ (1 + u 3 ) = ∫ (1 + u) + ∫ (u 2 − u + 1) , luego: (2 + u 2 ) A Bu + C = + 2 ⇒ (2 + u 2 ) = A(u 2 − u + 1) + ( Bu + C )(1 + u ) 3 (1 + u ) (1 + u ) (u − u + 1) (2 + u 2 ) = Au 2 − Au + A + Bu 2 + Bu + C + Cu (2 + u 2 ) = ( A + B)u 2 + (− A + B + C )u + A + C Igualando Coeficientes se tiene: A+ B =1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ − A + B + C = 0 ⎟ ∴ A = 1, B = 0, C = 1 ⎜ A + C = 2 ⎟⎠ ⎝ du du du du (∗) = ∫ +∫ 2 =∫ +∫ 1+ u u − u +1 1+ u (u − 1 ) 2 + ( 3 ) 2 2 2 1 u− 1 2 + c = η 1 + u + 2 arcτ g 2u − 1 + c arcτ g = η 1+ u + 3 3 3 3 2 2 2 (2τ gθ − 1) = η 1 + τ gθ + arcτ g +c 3 3 (5 x 3 + 2)dx 7.52.- ∫ 3 x − 5x2 + 4 x Solución.(5 x3 + 2)dx (5 x3 + 2)dx Adx Bdx Cdx ∫ x3 − 5 x2 + 4 x = ∫ x( x − 1)( x − 4) = ∫ x + ∫ ( x − 1) + ∫ ( x − 4) (∗) (5 x3 + 2) A B C , Luego: = + + x( x − 1)( x − 4) x ( x − 1) ( x − 4) (5 x3 + 2) = A( x − 1)( x − 4) + Bx( x − 4) + Cx( x − 1) Igualando Coeficientes se tiene:

185

⎧x = 0 ⇒ 2 = 4A ⇒ A = 1 2 ⎪ ⎪ ∴ ⎨ x = 1 ⇒ 7 = −3B ⇒ B = − 7 3 ⎪ ⎪ x = 4 ⇒ 322 = 12C ⇒ C = 161 6 ⎩ 1 dx 7 dx 161 dx 1 7 161 + = η x − η x −1 + η x−4 +c (∗) = ∫ − ∫ ∫ 2 x 3 x −1 6 x − 4 2 3 6 3 14 161 1 x3 ( x − 4)161 η x −1 + η x−4 +c = η = η x− +c 6 3 6 6 ( x − 1)14 x5 dx ( x3 + 1)( x3 + 8) Solución.x 5 dx x5 dx = ∫ ( x3 + 1)( x3 + 8) ∫ ( x + 1)( x 2 − x + 1)( x + 2)( x2 − 2 x + 4) Adx Bdx (Cx + D )dx ( Ex + F )dx (∗) , luego: =∫ +∫ +∫ 2 +∫ 2 ( x + 1) ( x + 2) ( x − x + 1) ( x − 2 x + 4)

7.53.- ∫

x5 A B Cx + D Ex + F = + + 2 + 2 , luego: 3 3 ( x + 1)( x + 8) ( x + 1) ( x + 2) ( x − x + 1) ( x − 2 x + 4) x5 = A( x + 2)( x 2 − x + 1)( x 2 − 2 x + 4) + B( x + 1)( x 2 − x + 1)( x 2 − 2 x + 4) ⇒ + (Cx + D)( x + 1)( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) + ( Ex + F )( x + 1)( x + 1)( x 2 − x + 1) x5 = A( x 5 + 8 x 2 − x 4 − 8 x + x3 + 8) + B ( x5 − 2 x 4 + 4 x 3 + x 2 − 2 x + 4) ⇒ + (Cx + D)( x 4 + 8 x + x3 + 8) + ( Ex + F )( x 4 + 2 x3 + x + 2) x5 = ( A + B + C + E ) x5 + (− A − 2 B + C + D + 2 E + F ) x 4 + ( A + 4 B + D + 2 F ) x3 ⇒ + (8 A + B + 8C + E ) x 2 + (−8 A − 2 B + 8C + 8 D + 2 E + F ) x + (8 A + 4 B + 8 D + 2 F ) Igualando coeficientes se tiene: A + B + C + E =1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ −2B + C + D +2E+ F = 0 ⎟ ⎜ −A ⎜ +4B + D + 2F = 0 ⎟ A ⎜ ⎟ + B + 8C + E =0 ⎟ ⎜ 8A ⎜ 8A −2B +8 C + 8 D + 2 E + F = 0 ⎟ ⎜⎜ ⎟ +4B +8D + 2 F = 0 ⎟⎠ ⎝ 8A ∴A= − 1

, C = − 2 , D = 1 , E = 16 , F = − 16 21 21 21 21 21 1 dx 8 dx 1 (2 x − 1)dx 16 ( x − 1)dx (∗) = − ∫ + − + 21 x + 1 21 ∫ ( x + 2) 21 ∫ ( x 2 − x + 1) 21 ∫ ( x 2 − 2 x + 4) 1 8 1 8 (2 x − 2)dx =− η x +1 + η x+2 − η x2 − x + 1 + ∫ 2 21 21 21 21 x − 2 x + 4 21

,B = 8

186

=−

1 8 1 8 η x +1 + η x+2 − η x2 − x + 1 − η x2 − 2x + 4 + c 21 21 21 21 8

⎡⎣( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) ⎤⎦ 1 = +c η 21 ( x + 1)( x 2 − x + 1)

187

CAPITULO 8 INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES D SENO Y COSENO Existen funciones racionales que conllevan formas trigonométricas, reducibles por si a: seno y coseno. Lo conveniente en tales casos es usar las siguientes x 2dz . Es fácil llegar a verificar sustituciones: z = τ g , de donde: x = 2 arcτ gz y dx = 2 1+ z2 2z 1− z2 que de lo anterior se consigue: s e n x = cos x y = 1+ z2 1+ z2

EJERCICIOS DESARROLLADOS 8.1.-Encontrar: ∫

dx 2 − cos x

1 , y su 2 − cos x solución se hace sencilla, usando sustituciones recomendadas, este es: x 2dz 1− z2 cos x z = τ g , x = 2 arcτ gz , dx = , = ∴ 2 1+ z2 1+ z2 2dz 2dz dx 2dz 2dz 1+ z2 1+ z2 = = ∫ 2 − cos x ∫ 1 − z 2 ∫ 2 + 2 z − 1 + z 2 = ∫ 3z 2 + 1 = ∫ 3( z 2 + 1 ) 2− 3 1+ z2 1+ z2 2 dz 2 x 3 arcτ g 3z + c , recordando que: z = τ g , se tiene: = ∫ = 2 2 2 3 z +( 1 ) 3 3 2 x = 3 arcτ g 3τ g + c 3 2 2 dx x Respuesta: ∫ = arcτ g 3τ g + c 2 − cos x 3 2 dx 8.2.-Encontrar: ∫ 2−sen x 1 Solución.- Forma racional: , 2−sen x x 2dz 2z ,sen x = ∴ sustituciones: z = τ g , x = 2 arcτ gz , dx = 2 1+ z2 2 1+ z 2dz 2dz 2 2 dz dz dx 1+ z2 1+ z = = ∫ 2 − s e n x ∫ 2 z ∫ 2 + 2 z 2 − 2 z = ∫ 2 (1 + z 2 − z ) = ∫ ( z 2 − z + 1) 2− 1+ z2 1+ z2 Solución.- La función racional con expresión trigonométrica es:

188

Ahora bien: z 2 − z + 1 = ( z 2 − z + 1 ) + 1 − 1 = ( z − 1 ) 2 + 3 = ( z − 1 ) 2 + ( 3 ) 2 4 4 2 4 2 2 2z −1 z− 1 1 dx 2 + c = 2 arcτ g 2 + c ∴∫ = arcτ g 3 3 3 3 ( z − 1 )2 + ( 3 )2 2 2 2 2 2 2 2z −1 x = arcτ g + c ,recordando que: z = τ g , se tiene: 2 3 3 2τ g x − 1 2 3 2 +c = arcτ g 3 3 2τ g x − 1 2 3 dx 2 +c Respuesta: ∫ arcτ g = 2−sen x 3 3 dθ 8.3.-Encontrar: ∫ 4 − 5cos θ 1 Solución.- Forma racional: , 4 − 5cos θ θ 2dz 1− z2 sustituciones: z = τ g , x = 2 arcτ gz , dx = , = cos x 1+ z2 2 1+ z2 2dz 2dz 2 2dz 2dz dx 1+ z2 1+ z =∫ 2 =∫ ∴∫ =∫ = 2 2 ∫ 2 2 4 + 4z − 5 + 5z 9z −1 4 − 5cos θ ⎛ 1− z ⎞ 9( z − 1 ) 9 4 − 5⎜ 2 ⎟ 2 1+ z ⎝ 1+ z ⎠ z− 1 dz 2 2 1 3 + c = 1 η 3z − 1 + c = ∫ 2 = η 9 z − ( 1 )2 9 2 ( 1 ) 3 3z + 1 z+ 1 3 3 3 Recordando que: z = τ g

θ 2

, se tiene: =

3τ g θ − 1 1 2 +c η θ 3 3τ g +1 2

3τ g θ − 1 1 dθ 2 Respuesta: ∫ = η +c 4 − 5cos θ 3 3τ g θ + 1 2 dθ 8.4.-Encontrar: ∫ 3cos θ + 4s e n θ Solución.- usando las sustituciones recomendadas: 2dz 2dz dθ 1+ z2 1+ z2 = = ∫ 3cos θ + 4s e n θ ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ⎛ 2 z ⎞ ∫ 3 − 3z 2 + 8z + 4⎜ 3⎜ 2 ⎟ 2 ⎟ 1+ z2 ⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠

189

dz 2dz 2 = − , pero: ∫ 3 z2 − 8 z −1 −3( z 2 − 8 z − 1) 3 3 z 2 − 8 z − 1 = ( z 2 − 8 z + 16 ) − 1 − 16 = ( z − 4 ) 2 − ( 5 ) 2 , luego: 3 3 9 9 3 3 dz 2 =− ∫ , sea: w = z − 4 , dw = dz ; de donde: 3 3 ( z − 4 )2 − ( 5 )2 3 3 z−4 −5 2 1 3 3 + c = − 1 η 3z − 9 + c , como: z = τ g θ , se tiene: η =− 2 3 2( 5 ) 5 3z + 1 z−4 +5 3 3 3

=∫

=−

3τ g θ − 9 1 2 η +c θ 5 3τ g +1 2

3τ g θ − 9 dθ 1 2 =− η +c Respuesta: ∫ 3cos θ + 4s e n θ 5 3τ g θ + 1 2 dθ 8.5.-Encontrar: ∫ 3 + 2 cos θ + 2s e n θ Solución.- usando las sustituciones recomendadas: 2dz 2dz 2 2 dθ ∫ 3 + 2 cos θ + 2s e n θ = ∫ ⎛ 1 − z12+⎞z ⎛ 2 z ⎞ = ∫ 2 −12+z 2z 4 z 3+ + 3+ 2⎜ + 2⎜ 2 2 ⎟ 2 ⎟ z 1 1+ z2 + z z 1 1 + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2dz 2dz 2dz 1+ z2 =∫ =∫ 2 =∫ = 2 arcτ g ( z + 2) + c 2 2 3 + 3z + 2 − 2 z + 4 z ( z + 2) 2 + 1 z + 4z + 5 1+ z2 Como: z = τ g θ , se tiene: = 2 arcτ g (τ g θ + 2) + c 2 2 dθ Respuesta: ∫ = 2 arcτ g (τ g θ + 2) + c 2 3 + 2 cos θ + 2s e n θ dx 8.6.-Encontrar: ∫ τ gθ − s e n θ Solución.- Antes de hacer las sustituciones recomendadas, se buscará la equivalencia correspondiente a τ gθ 2z s e nθ 1+ z2 2z , procédase ahora como antes: = τ gθ = = 2 1− z cos θ 1− z2

1+ z2

190

2dz 2dz 2 2(1 − z 2 )dz dx 1+ z2 1+ z = = = ∫ τ gθ − s e n θ ∫ 2 z 2 z ∫ 2 z (1 + z 2 ) − 2 z (1 − z 2 ) ∫ 2 z + 2 z 3 −2 z + 2z 3 + 1− z2 1+ z2 (1 − z 2 ) (1 + z 2 ) (2 − 2 z 2 )dz 1 −3 1 dz 1 1 = ∫ z dz − ∫ = − 2 − η z + c 3 4z 2 2 z 4z 2 1 1 Como: z = τ g θ , se tiene: = − (coτ g 2 θ ) − η τ g θ + c 2 2 2 4 2 dx 1 1 Respuesta: ∫ = − (coτ g 2 θ ) − η τ g θ + c 2 2 4 2 τ gθ − s e n θ dx 8.7.-Encontrar: ∫ 2+sen x Solución.- usando las sustituciones recomendadas: 2dz 2dz 2 dz dz dx 1+ z2 1+ z =∫ 2 =∫ 2 = = 2 ∫ 2+sen x ∫ ∫ 2z 2 + 2z + 2z z + z +1 (z + z + 1 ) + 3 2+ 4 4 2 2 1+ z 1+ z =∫

(z + 1 ) 1 2 + c = 2 arcτ g 2 z + 1 + c arcτ g =∫ = 3 3 3 3 ( z + 1 )2 + ( 3 )2 2 2 2 2 2τ g x + 1 2 2 +c Como: z = τ g x , se tiene: = arcτ g 2 3 3 2τ g x + 1 2 dx 2 +c Respuesta: ∫ arcτ g = 2+sen x 3 3 cos xdx 8.8.-Encontrar: ∫ 1 + cos x Solución.-usando las sustituciones recomendadas: ⎛ 1 − z 2 ⎞ ⎛ 2dz ⎞ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ⎛ 2dz ⎞ ⎟ ⎜ 2 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 2 1+ z2 ⎠ ⎝ 1+ z2 ⎠ cos xdx 2 (1 − z 2 )dz (1 − z 2 )dz ⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠ ⎝ = = = = ∫ 1 + cos x ∫ ∫ 1 + z 2 + 1 − z 2 ∫ (1 + z 2 ) 2 ∫ (1 + z 2 ) 1− z2 1+ 1+ z2 1+ z2 (− z 2 + 1)dz 2 ⎞ dz ⎛ =∫ = ∫ ⎜ −1 + 2 ⎟dz = ∫ dz + 2∫ 2 = − z + 2 arcτ gz + c 2 ( z + 1) z +1⎠ z +1 ⎝ x x Como: z = τ g x , se tiene: = −τ g + 2 arcτ g (τ g ) + c 2 2 2 cos xdx x Respuesta: ∫ = −τ g + x + c 1 + cos x 2 2dz

191

dx 1 + s e n x + cos x Solución.- usando las sustituciones recomendadas: 2dz dx 2dz 1+ z2 = ∫ 1 + s e n x + cos x ∫ ⎛ 2 z ⎞ ⎛ 1 − z 2 ⎞ = ∫ 1 + z 2 + 2 z + 1 − z 2 1+ ⎜ + 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠ 2dz dz =∫ =∫ = η z + 1 + c , como: z = τ g x , se tiene: = η τ g x + 1 + c 2 2 2z + 2 z +1 dx Respuesta: ∫ = η τ g x +1 + c 2 1 + s e n x + cos x dx 8.10.-Encontrar: ∫ cos x + 2s e n x + 3 Solución.- usando las sustituciones recomendadas: 2dz dx 2dz 2dz 1+ z2 = ∫ cos x + 2s e n x + 3 ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ⎛ 4 z ⎞ = ∫ 1 − z 2 + 4 z + 3 + 3z 2 = ∫ 2 z 2 + 2 z + 2 + +3 ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠ dz dz =∫ 2 =∫ = arcτ g ( z + 1) + c , como: z = τ g θ , 2 2 z + 2z + 2 ( z + 1) + 1 Se tiene: = arcτ g (τ g x + 1) + c 2 dx = arcτ g (τ g x + 1) + c Respuesta: ∫ 2 cos x + 2s e n x + 3 s e n xdx 8.11.-Encontrar: ∫ 1+ s e n2 x Solución.- usando las sustituciones recomendadas: 4 zdz ⎛ 2 z ⎞⎛ 2dz ⎞ ⎜ 2 2 2 ⎟⎜ 2 ⎟ s e n xdx 4 zdz 4 zdz ⎝ 1 + z ⎠⎝ 1 + z ⎠ (1 + z ) = = =∫ 2 2 2 2 2 2 ∫ 1+ s e n2 x ∫ ∫ ∫ 4z (1 + z ) + 4 z 1+ 2z + z4 + 4z2 ⎛ 2z ⎞ + 1 1+ ⎜ 2 ⎟ (1 + z 2 ) 2 ⎝1+ z ⎠ 4 zdz 4 zdz 4 zdz =∫ 4 =∫ 4 =∫ 2 2 2 z + 6z +1 ( z + 6 z + 9) − 8 ( z + 3) 2 − ( 8) 2 Sea: w = z 2 + 3, dw = 2 zdz 8.9.-Encontrar: ∫

= 2∫

dw 2 w− 8 8 w− 8 8 z2 + 3 − 8 = c c η + = η + = η +c 8 8 w2 − ( 8) 2 2 8 w+ 8 w+ 8 z2 + 3 + 8

τ g2 x 2 + 3− 2 2 2 z2 + 3 − 8 2 θ Como: z = τ g , se tiene: = +c = +c η 2 η 2 2 4 4 z +3+ 8 τ g x2 +3+ 2 2

192

τ g2 x 2 + 3− 2 2 s e n xdx 2 Respuesta: ∫ = +c η 2 1+ s e n2 x 4 τ g x2 +3+ 2 2 dθ 8.12.-Encontrar: ∫ 5 + 4 cos θ Solución.-usando las sustituciones recomendadas: dx ∫ 5 + 4 cos θ = ∫

2dz 2dz 2dz dz 1+ z2 =∫ =∫ 2 = 2∫ 2 2 2 2 2 5 + 5z + 4 − 4 z z +9 z +3 ⎛ 1− z ⎞ 5 + 4⎜ 2 ⎟ ⎝1+ z ⎠

θ

τg 2 2 z θ 2 = arcτ g + c , como: z = τ g , se tiene: = arcτ g +c 3 3 3 3 2 τ gθ 2 2 dθ Respuesta: ∫ = arcτ g +c 5 + 4 cos θ 3 3 dx 8.14.-Encontrar: ∫ s e n x + cos x Solución.- usando las sustituciones recomendadas: 2dz dx 2dz dz 1+ z2 = ∫ s e n x + cos x ∫ ⎛ 2 z ⎞ ⎛ 1 − z 2 ⎞ = ∫ 2 z + 1 − z 2 = 2∫ (− z 2 + 2 z + 1) + ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠ = −2 ∫

dz dz 1 z −1 − 2 = −2∫ =−2 η +c 2 2 ( z − 2 z + 1) − 2 ( z − 1) − ( 2) 2 2 z −1+ 2 2

τ g x 2 −1 − 2 2 z −1− 2 2 x , se tiene: = − =− + c , como: z = τ g η +c η 2 2 2 z −1 + 2 τ g x 2 −1+ 2 τ g x 2 −1− 2 dx 2 Respuesta: ∫ =− +c η s e n x + cos x 2 τ g x 2 −1 + 2 sec xdx 8.14.-Encontrar: ∫ sec x + 2τ gx − 1 Solución.- usando las sustituciones recomendadas: 1 2dz dx 2 sec xdx dx ∫ sec x + 2τ gx − 1 = ∫ 1 cos2sx e n x = ∫ 1 + 2s e n x − cos x = ∫ ⎛ 4 z1 +⎞z ⎛ 1 − z 2 ⎞ + −1 1+ ⎜ − 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ cos x cos x ⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠

193

2dz =∫

dz 2dz 2 dz 1+ z2 =∫ (∗) =∫ 2 =∫ 2 2 2 z ( z + 2) 2z + 4z 1 + z + 4 z −1 + z 2 ( z + 2 z) 1+ z2

1 A B , de donde: = + z ( z + 2) z z + 2 1 A( z + 2) + B ( z ) = ⇒ 1 = A( z + 2) + B ( z ) , de donde: A = 1 , B = − 1 2 2 z ( z + 2) z ( z + 2)

Ahora bien:

1 dz 1 dz dz 1 dz 1 dz 1 1 2 (∗) ∫ =∫ −∫ 2 = ∫ − ∫ = η z − η z+2 +c z ( z + 2) z z+2 2 z 2 z+2 2 2 τ g x2 1 z 1 = η + c , como: z = τ g x , se tiene: = η +c 2 2 z+2 2 τg x2 + 2 τg x2 sec xdx 1 = η +c Respuesta: ∫ sec x + 2τ gx − 1 2 τ g x2 + 2 dx 8.15.-Encontrar: ∫ 1 − cos x + s e n x Solución.- usando las sustituciones recomendadas: 2dz 2dz 2dz dx 1+ z2 1+ z2 = = ∫ 1 − cos x + s e n x ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ⎛ 2 z ⎞ ∫ 1 + z 2 −1 + z 2 + 2 z = ∫ 2 z 2 + 2 z 1− ⎜ + 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ 1+ z2 ⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠ 2 dz dz (∗) =∫ 2 z ( z + 1) 2 ( z + z) 1 A B Ahora bien: , de donde se tiene: = + z ( z + 1) z z + 1 1 A( z + 1) + B ( z ) ⇒ 1 = A( z + 1) + B ( z ) , de donde: A = 1, B = −1 , luego: = z ( z + 1) z ( z + 1) =∫

dz

dz dz z −∫ = η z − η z +1 + c = η + c , como: z = τ g x , 2 z z +1 z +1 τ g x2 Se tiene: = η +c τ g x 2 +1 τg x2 dx Respuesta: ∫ = η +c 1 − cos x + s e n x τ g x 2 +1 dx 8.16.-Encontrar: ∫ 8 − 4s e n x + 7 cos x

∫ z ( z + 1) = ∫

194

Solución.- usando las sustituciones recomendadas: 2dz 2dz dx 1+ z2 1+ z2 = = ∫ 8 − 4s e n x + 7 cos x ∫ ⎛ 8 z ⎞ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ∫ 8 + 8 z 2 − 8 z + 7 − 7 z 2 8−⎜ + 7⎜ 2 ⎟ 2 ⎟ 1+ z2 ⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠ 2dz 2dz (∗) =∫ 2 =∫ z − 8 z + 15 ( z − 3)( z − 5) 2 A B Ahora bien: , de donde se tiene: = + ( z − 3)( z − 5) ( z − 3) ( z − 5) ⇒ 2 = A( z − 5) + B( z − 3) , de donde: A = −1, B = 1 , luego: 2dz dz dz z −5 ∫ ( z − 3)( z − 5) = −∫ z − 3 + ∫ z − 5 = − η z − 3 + η z − 5 + c = η z − 3 + c , τ g x2 −5 x , se tiene: = η +c como: z = τ g 2 τ g x2 −3 τ g x2 −5 dx = η +c Respuesta: ∫ 8 − 4s e n x + 7 cos x τ g x2 −3

EJERCICIOS PROPUESTOS dx 1 + cos x cos xdx 8.20.- ∫ 2 − cos x 8.23.- ∫ sec xdx 8.17.- ∫

dx 1 − cos x dθ 8.21.- ∫ 5 − 4 cos θ cos θ dθ 8.24.- ∫ 5 + 4 cos θ 8.18.- ∫

s e n xdx 1 + cos x s e n θ dθ 8.22.- ∫ 2 cos θ − cos θ − 2 dθ 8.25.- ∫ cos θ + co τ gθ

8.19.- ∫

RESPUESTAS dx 1 + cos x Solución.-

8.17.- ∫

2dz 2dz 2 dx 1+ z2 1+ z = = ∫ 1 + cos x ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ∫ 1 + z 2 + 1 − z 2 = ∫ dz = z + c = τ g x 2 + c 1+ ⎜ 2 ⎟ 1+ z2 ⎝1+ z ⎠ dx 8.18.- ∫ 1 − cos x Solución.-

195

2dz 2dz 2 2 dz 1 dx 1+ z2 1+ z = = ∫ 1 − cos x ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ∫ 1 + z 2 −1 − z 2 = ∫ 2 z 2 = − z + c = − coτ g x 2 + c 1− ⎜ 2 ⎟ 1+ z2 ⎝ 1+ z ⎠ s e n xdx 8.19.- ∫ 1 + cos x Solución.4 zdz ⎛ 2 z ⎞⎛ 2dz ⎞ ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ (1 + z 2 ) 2 4 zdz 2 zdz s e n xdx ⎝ 1 + z ⎠⎝ 1 + z ⎠ = = =∫ =∫ 2 ∫ 1 + cos x ∫ ∫ 2 2 2 2(1 + z ) (1 + z 2 ) ⎛ 1− z ⎞ 1+ z +1 −z 1+ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 1+ z ⎠ 1+ z2 = η 1+ z2 + c = η 1+τ g 2 x + c 2 cos xdx 8.20.- ∫ 2 − cos x Solución.⎛ 2dz ⎞ ⎜ 2 ⎟ dx cos xdx 2 ⎛ ⎞ ⎝ 1+ z ⎠ = − + dx = − dx + = − dx + 1 2 2 ∫ 2 − cos x ∫ ⎜⎝ 2 − cos x ⎟⎠ ∫ ∫ 2 − cos x ∫ ∫ ⎛ 1− z2 ⎞ 2−⎜ 2 ⎟ ⎝ 1+ z ⎠ 2dz = − ∫ dx + 2 ∫

(1 + z 2 ) 2 + 2z −1 + z 2

2

= − ∫ dx + 2∫

1+ z2 = − ∫ dx +

4 dz ∫ 2 3 z +( 1

3

)

2

= −x + 4

2dz 4 dz = − ∫ dx + ∫ 2 2 3z + 1 3 (z + 1 ) 3

1 z 4 3 + c = −x + arcτ g arcτ g 3 z + c 3 1 1 3 3 3

4 3 arcτ g ( 3τ g x ) + c 2 3 dθ 8.21.- ∫ 5 − 4 cos θ Solución.= −x +

2dz ⎛ 2dz ⎞ ⎜ 2 ⎟ (1 + z 2 ) 2dz 2 dz dθ ⎝ 1+ z ⎠ = = ∫ 5 − 4 cos θ ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ∫ 5 + 5 z 2 − 4 + 4 z 2 = ∫ 9 z 2 + 1 = 9 ∫ ( z 2 + 1) 5 − 4⎜ 2 ⎟ 1+ z2 ⎝ 1+ z ⎠ dz z 2 2 1 2 2 arcτ g = ∫ 2 = + c = arcτ g 3z + c = arcτ g (3τ g x ) + c 2 2 1 9 z +(1 ) 9 1 3 3 3 3 3

196

s e n θ dθ cos θ − cos θ − 2 Solución.-

8.22.- ∫

2

4 zdz ⎛ 2 z ⎞⎛ 2dz ⎞ ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ (1 + z 2 ) 2 s e n θ dθ ⎝ 1 + z ⎠⎝ 1 + z ⎠ = = ∫ cos2 θ − cos θ − 2 ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞2 ⎛ 1 − z 2 ⎞ ∫ (1 − z 2 )2 − (1 − z 2 )(1 + z 2 ) − 2(1 + z 2 )2 −⎜ −2 ⎜ 2 ⎟ 2 ⎟ (1 + z 2 ) 2 ⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠ 4 zdz 1 2 zdz 1 1 =∫ =− ∫ 2 = − η z2 − 1 + c = − η τ g 2 x − 1 + c 2 3 2 3 3 (z − 1 ) 3 3 −6 z − 2 3 8.23.- ∫ sec xdx

Solución.2dz

∫ sec xdx = ∫

dx 2dz 2dz 1+ z2 =∫ =∫ =∫ (∗) 2 2 1− z cos x (1 − z ) (1 + z )(1 − z ) 1+ z2

2 A B , de donde: A = 1, B = 1 , luego: = + (1 + z )(1 − z ) 1 + z 1 − z 2dz dz dz 1+ z (∗) ∫ =∫ −∫ = η 1+ z − η 1− z + c = η +c (1 + z )(1 − z ) 1+ z 1− z 1− z 1+τ g x 2 +c Como: z = τ g x , Se tiene: = η 2 x 1−τ g 2 cos θ dθ 8.24.- ∫ 5 + 4 cos θ Solución.⎛ 1 − z 2 ⎞ ⎛ 2dz ⎞ 2(1 − z 2 )dz ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ (2 − 2 z 2 )dz dθ (1 + z 2 ) 2 ⎝ 1+ z ⎠⎝ 1+ z ⎠ = = = ∫ 5 + 4 cos θ ∫ ∫ (5 + 5 z 2 + 4 − 4 z 2 ) ∫ (1 + z 2 )(9 + z 2 ) ⎛ 1− z2 ⎞ 5 + 4⎜ 2 ⎟ (1 + z 2 ) ⎝ 1+ z ⎠

Ahora bien:

Ahora bien:

2 − 2z2 Az + B Cz + D , de donde: A = 0, B = 1 , C = 0, D = − 5 , = 2 + 2 2 2 2 2 ( z + 1)( z + 9) z +1 z +9

luego: (2 − 2 z 2 ) 1 dz 5 dz 1 5 z ∫ ( z 2 + 1)( z 2 + 9) = 2 ∫ z 2 + 1 − 2 ∫ z 2 + 9 = 2 arcτ gz + 2 arcτ g 3 + c

θ

θ

τg 2 τg 2 1 5 θ 5 = arcτ g θ − arcτ g ( ) + c = − arcτ g ( )+c 2 6 2 3 4 6 3 dθ 8.25.- ∫ cos θ + co τ gθ 197

Solución.2dz ⎛ 2dz ⎞ ⎜ ⎟ (1 + z 2 ) dθ 1+ z2 ⎠ ⎝ ∫ cos θ + coτ gθ = ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ⎛ 1 − z 2 ⎞ = ∫ 2 z (1 − z 2 ) + (1 − z 2 )(1 + z 2 ) + ⎜ ⎟ 2 ⎟ ⎜ (1 + z 2 )2 z ⎝ 1 + z ⎠ ⎝ 2z ⎠ 4 zdz 4 zdz 4 zdz =∫ =∫ (∗) 2 2 2 2 2 z (1 − z ) + (1 − z )(1 + z ) (1 − z )( z + 2 z + 1) (1 + z 3 )(1 − z ) 4z A B C D Ahora bien: = + + + 3 2 3 (1 + z )(1 − z ) 1 + z (1 + z ) (1 + z ) (1 − z ) De donde: A = 1 , B = 1, C = −2, D = 1 , luego: 2 2 dz dz 4z 1 dz 1 dz = ∫ +∫ − 2∫ + ∫ (∗) ∫ 3 2 3 (1 + z )(1 − z ) 2 1 + z (1 + z ) (1 + z ) 2 1 − z 1 1 1 1 1 1+ z 1 1 = η 1+ z − + − η 1− z + c = η − + +c 2 2 1 + z (1 + z ) 2 2 1 − z 1 + z (1 + z ) 2 =∫

2

1+τ g θ τ gθ 2 z 1 1 + z −(1 + z ) + 1 1 1+ z 1 2 = η + +c = η − +c = η − +c 2 1− z (1 + z ) 2 2 1 − z (1 + z ) 2 2 1 −τ g θ (1 + τ g θ ) 2 2 2

198

CAPITULO 9 INTEGRACION DE FUNCONES IRRACIONALES En el caso de que el integrando contiene potencias faccionarias de la variable de integración, estas se simplifican usando una sustitución del tipo: x = t n , n x = t , siendo “n “el m.c.m de los denominadores de los exponentes.

EJERCICIOS DESARROLLADOS xdx 1+ x Solución.- La única expresión “irracional” es x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt , luego:

9.1.-Encontrar: ∫

∫

x , por lo tanto:

xdx t (2tdt ) t 2 dt 1 ⎞ dt ⎛ =∫ = = 2∫ ⎜1 − = 2t − 2 arcτ gt + c 2 dt = 2∫ dt − 2∫ 2 2 2 2 ⎟ ∫ 1+ x 1+ t 1+ t t +1 ⎝ 1+ t ⎠

Dado que: t = x , se tiene: = 2 x − 2 arcτ g x + c xdx = 2 x − 2 arcτ g x + c 1+ x dx 9.2.-Encontrar: ∫ x (1 + x )

Respuesta: ∫

Solución.- Análogamente al caso anterior: x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt , luego:

∫

dx 2 t dt 2dt =∫ = 2 η t +1 + c =∫ 1+ t t (1 + t ) x (1 + x )

Dado que: t = x , se tiene: = 2 η

x +1 + c

dx = 2 η x +1 + c x (1 + x ) dx 9.3.-Encontrar: ∫ 3+ x + 2 Solución.- La expresión “irracional” es ahora

Respuesta: ∫

x + 2 , por lo tanto:

x + 2 = t ⇒ x = t 2 − 2, dx = 2tdt , luego: dx 2tdt 3 ⎞ dt ⎛ ∫ 3 + x + 2 = ∫ 3 + t = 2∫ ⎝⎜1 − t + 3 ⎠⎟ dt = 2∫ dt − 6∫ t + 3 = 2t − 6 η t + 3 + c

Dado que: t = x + 2 , se tiene: = 2 x + 2 − 6 η Respuesta: ∫

dx = 2 x+2 −6 η 3+ x + 2

x+2 +3 +c

x+2 +3 +c

199

1 − 3x + 2 dx 1 + 3x + 2 Solución.- La expresión “irracional” es ahora 3x + 2 , por lo tanto: 3x + 2 = t ⇒ 3 x = t 2 − 2, dx = 2 tdt , luego: 3 1 − 3x + 2 1− t 2 2 t − t2 2 ⎛ 2 ⎞ dx = tdt = dt = ∫ ⎜ −t + 2 − ⎟ dt ∫ 1 + 3x + 2 ∫ 1 + t 3 ∫ t +1⎠ 3 1+ t 3 ⎝ 2 4 4 dt 1 4 4 = − ∫ tdt + ∫ dt − ∫ = − t2 + t − η t +1 + c 3 3 3 t +1 3 3 3 Dado que: t = 3 x + 2 , se tiene: 1 4 4 = − (3x + 2) + 3x + 2 − η 3x + 2 + 1 + c 3 3 3 2 4 4 2 4 = −x − + 3x + 2 − η 3x + 2 + 1 + c = − x − + 3x + 2 − η 3x + 2 + 1 + c 3 3 3 3 3 1 − 3x + 2 2 4 Respuesta: ∫ dx = − x − + 3x + 2 − η 3x + 2 + 1 + c 3 3 1 + 3x + 2

9.4.-Encontrar: ∫

(

(

)

)

9.5.- Encontrar: ∫ 1 + x dx Solución.- La expresión “irracional” es ahora

x = t ⇒ x = t , dx = 2tdt , 2

x , por lo tanto:

luego: ∫ ( 1 + x )dx = ∫ 1 + t 2tdt ,

como

apareció

la

expresión: 1 + t ; se procede análogamente: w = 1 + t ⇒ t = w2 − 1, dt = 2wdw , esto 4 w5 4 w3 − +c 5 3

es: 1 + t 2tdt = ∫ w2( w2 − 1)2 wdw = 4∫ ( w4 − w2 )dw =

4(1 + t ) 2 4(1 + t ) 2 − +c 5 3 5 3 4(1 + x ) 2 4(1 + x ) 2 Respuesta: ∫ 1 + x dx = − +c 5 3 dx 9.6.-Encontrar: ∫ x +1 + 4 x +1 Solución.- Previamente se tiene que el m.c.m. de los índices de Las raíces es: 4 , por lo cual: x + 1 = t 4 , dx = 4t 3 dt , de donde: 5

3

Dado que: w = 1 + t , se tiene: =

dx 4t 3 dt t ⎞ dt ⎛ = ∫ x + 1 + 4 x + 1 ∫ t 2 + t = 4∫ ⎜⎝ t − 1 + t 2 + t ⎟⎠ dt = 4∫ tdt − 4∫ dt + 4∫ t + 1 = 2t 2 − 4t + 4 η t + 1 + c , dado que: t = 4 x + 1

Se tiene: = 2( x + 1) 2 − 4( x + 1) 2 + 4 η ( x + 1) 2 + 1 + c 1

Respuesta: ∫

1

1

dx 1 1 1 = 2( x + 1) 2 − 4( x + 1) 2 + 4 η ( x + 1) 2 + 1 + c 4 x +1 + x +1

200

dx x+3 x Solución.- Previamente se tiene que el m.c.m. de los índices de Las raíces es: 6 , por lo cual: x = t 6 ⇒ t = 6 x , dx = 6t 5 dt , de donde:

9.7.-Encontrar: ∫

dx 6t 5 dt t 3 dt 1 ⎞ dt ⎛ 2 2 = = 6 ∫ x + 3 x ∫ t 3 + t 2 ∫ t + 1 = 6∫ ⎝⎜ t − t + 1 − t + 1 ⎠⎟ dt = 6∫ t dt − 6∫ tdt + 6∫ dt − 6∫ t + 1 = 2t 3 − 3t 2 + 6t − 6 η t + 1 + c

Dado que: t = 6 x Se tiene: = 2( 6 x )3 − 3( 6 x ) 2 + 6 6 x − 6 η

6

x +1 + c

dx = 2 x − 33 x + 6 6 x − 6 η 6 x +1 + c 3 x+ x dx 9.8.-Encontrar: ∫ x + 1 + ( x + 1)3 Solución.Previamente se tiene igual 2 cual: x + 1 = t ⇒ x = t − 1, dx = 2tdt , de donde: dx 2tdt dt ∫ x + 1 + ( x + 1)3 = ∫ t + t 3 = 2∫ 1 + t 2 = 2 arcτ gt + c

Respuesta: ∫

índice

por

lo

Dado que: t = x + 1 , Se tiene: = 2 arcτ g x + 1 + c dx Respuesta: ∫ = 2 arcτ g x + 1 + c x + 1 + ( x + 1)3 x −1 dx 3 x +1 Solución.- Previamente se tiene que el m.c.m. de los índices de Las raíces es: 6 , por lo cual: x = t 6 ⇒ t = 6 x , dx = 6t 5 dt , de donde:

9.9.-Encontrar: ∫

∫

3

x −1 t3 −1 5 t8 − t5 t −1 ⎞ ⎛ dx = ∫ 2 6t dt = 6 ∫ 2 dt = 6 ∫ ⎜ t 6 − t 4 − t 3 + t 2 + t − 1 − 2 ⎟dt t +1 t +1 t +1⎠ x +1 ⎝

6 6 3 2t − 2 = t 7 − t 5 − t 4 + 2t 3 + 3t 2 − 6t + c1 − 3∫ 2 dt 7 5 2 t +1 6 7 6 5 3 4 2 t −2 dt = t − t − t + 2t 3 + 3t 2 − 6t + c1 − 3∫ 2 dt + 6∫ 2 7 5 2 t +1 t +1 6 6 3 = t 7 − t 5 − t 4 + 2t 3 + 3t 2 − 6t − 3 η t 2 + 1 + 6 arcτ gt + c 7 5 2 Dado que: t = 6 x , se tiene: 6 6 3 = x 6 x − 6 x5 − 3 x 2 + 2 x + 3 3 x − 6 6 x − 3 η 1 + 3 x + 6 arcτ g 6 x + c 7 5 2

201

Respuesta: x −1 6 6 66 5 33 2 3 6 3 6 ∫ 3 x + 1dx = 7 x x − 5 x − 2 x + 2 x + 3 x − 6 x − 3 η 1 + x + 6 arcτ g x + c

xdx x+2 Solución.- La expresión “irracional” es x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt , 9.10.-Encontrar: ∫

x , por lo tanto:

xdx t (2tdt ) t 2 dt 2 ⎞ dt ⎛ =∫ 2 = 2∫ 2 = 2∫ ⎜1 − 2 ⎟dt = 2∫ dt − 4∫ 2 x+2 t +2 t +2 t +2 ⎝ t +2⎠ t 4 arcτ g = 2t − + c , dado que: t = x , se tiene: = 2 x − 2 2 arcτ g x + c 2 2 2

luego: ∫

xdx = 2 x − 2 2 arcτ g x + c 2 x+2 ( x + 1 + 2)dx 9.11.-Encontrar: ∫ ( x + 1) 2 − x + 1 Solución.Previamente se tiene 2 cual: x + 1 = t ⇒ x = t − 1, dx = 2tdt , de donde:

Respuesta: ∫

igual

índice

por

lo

⎡( x + 1) 2 + 2 ⎤ dx ( x + 1 + 2)dx (t + 2) t dt t+2 ⎣ ⎦ = ∫ ( x + 1)2 − x + 1 ∫ ( x + 1)2 − ( x + 1) 12 = ∫ t 4 − t 2tdt = 2∫ t (t 3 − 1) (t + 2)dt = 2∫ (∗) , considerando que: (t − 1)(t 2 + t + 1) t+2 A Bt + C = + 2 ⇒ A = 1, B = −1, C = −1 2 (t − 1)(t + t + 1) (t − 1) (t + t + 1) 1

Dado que: t = x + 1 , Se tiene: = 2 arcτ g x + 1 + c −t − 1 dt dt t +1 (t + 2)dt = 2∫ + 2∫ 2 − 2∫ 2 dt = 2∫ dt (∗) 2 ∫ 2 (t − 1)(t + t + 1) (t − 1) (t + t + 1) (t − 1) (t + t + 1) 1 (2t + 1) + 1 dt dt 2 dt = 2 dt − (2t + 1)dt − = 2∫ − 2∫ 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ (t − 1) (t + t + 1) (t − 1) (t + t + 1) (t + t + 1) dt dt (2t + 1)dt = 2∫ −∫ 2 −∫ 2 (t − 1) (t + t + 1) (t + t + 1 ) + 3 4 4 t 2 2 + 1 arcτ g = 2 η t −1 − η t 2 + t +1 − +c 3 3 = η

(t − 1) 2 2 2t + 1 − arcτ g +c 2 (t + t + 1) 3 3

Dado que: t = x + 1 , se tiene

202

Respuesta: ∫

( x + 1 + 2)dx ( x + 1 − 1) 2 2 2 x +1 +1 arcτ g η = − +c 2 ( x + 1) − x + 1 ( x + 1 + x + 2) 3 3

EJERCICIOS PROPUESTOS 9.12.- ∫

1+ x dx 1+ x

x+a dx x+a dx 9.18.- ∫ dx x−2− x

9.15.- ∫

9.21.- ∫ 9.24.- ∫

3

x +1 dx x dx 4 x + x + 28 x

9.13.- ∫

1− x dx 1+ x

9.14.- ∫

9.16.- ∫

xdx 1+ 4 x

9.17.- ∫

9.19.- ∫

1+ x dx 1− x

9.22.- ∫

a2 − x2 dx x3

dx a+b x x−6 x dx 3 x +1

x+a dx x+b 9.23.- ∫ x 2 x + adx

9.20.- ∫

9.25.- ∫ x 3 x 2 + a 2 dx

RESPUESTAS 1+ x dx 1+ x Solución.- Sea: x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt

9.12.- ∫

1+ x 1+ t2 t + t3 2 ⎞ ⎛ 2 dx 2 tdt 2 = = ∫ 1+ x ∫ 1+ t ∫ 1 + t dt = 2∫ ⎜⎝ t − t + 2 − t + 1 ⎟⎠dt dt 2t 3 2 t 2 + 4t − 4 η t + 1 + c = 2 ∫ t 2 dt − 2∫ tdt + 4 ∫ dt − 4∫ = − t +1 3 2 2 x3 − x + 4 x − 4 η x +1 + c 3 1− x 9.13.- ∫ dx 1+ x Solución.- Sea: x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt =

1− x 1− t t − t2 dt 2 dx = 2 tdt = 2 ∫ 1+ x ∫ 1+ t ∫ 1 + t dt = −2∫ tdt + 4∫ dt − 4∫ t + 1 = −t + 4t − 4 η t + 1 + c = −x + 4 x − 4 η

x +1 + c

dx a+b x Solución.- Sea: x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt

9.14.- ∫

203

2tdt tdt 2 2a bdt ⎛1 a 1 ⎞ = 2∫ = 2∫ ⎜ − ⎟dt = ∫ dt − 2 ∫ a + bt a + bt b b a + bt x ⎝ b b a + bt ⎠ 2 2a 2 2a = t − 2 η a + bt + c = x − 2 η a+b x +c b b b b x+a 9.15.- ∫ dx x+a Solución.- Sea: x + a = t ⇒ x = t 2 − a, dx = 2tdt dx

∫ a+b

∫

=∫

x+a t 2 t dt = 2 ∫ dt = 2t + c = 2 x + a + c dx = ∫ x+a t2

xdx 1+ 4 x Solución.- m.c.m: 4 ; Sea: 4 x = t ⇒ x = t 4 , dx = 4t 3 dt

9.16.- ∫

xdx t 2 4t 3 dt t 5 dt 1 ⎞ ⎛ 4 3 2 = = 4 ∫ 1+ 4 x ∫ 1+ t ∫ 1 + t = 4∫ ⎜⎝ t − t + t − t + 1 − t + 1 ⎟⎠dt ⎛ t5 t4 t3 t2 ⎞ 4t 5 4 4t 3 = 4⎜ − + − + t − η t +1 ⎟ + c = −t + − 2t 2 + 4t − 4 η t + 1 5 4 3 2 5 3 ⎝ ⎠ 5

3

4x 4 4x 4 1 1 1 = −x+ − 2x 2 + 4x 4 − 4 η x 4 + 1 5 3 6 x− x 9.17.- ∫ 3 dx x +1 Solución.- m.c.m: 6 ; Sea: 6 x = t ⇒ x = t 6 , dx = 6t 5 dt x−6 x t3 − t 5 (t 8 − t 6 )dt dt 6 4 2 = = dx 6 t dt 6 ∫ 3 x +1 ∫ t2 +1 ∫ t 2 + 1 = 6∫ t dt − 2∫ t dt + 2∫ t dt − 2∫ dt + 2∫ 1 + t 2 ⎛ t 7 2t 5 2t 3 ⎞ 6t 7 12t 5 = 6⎜ − + − 2t + 2 arcτ gt ⎟ + c = − + 4t 3 − 12t + 12 arcτ gt + c 5 3 7 5 ⎝7 ⎠ 7

5

6 x 6 12 x 2 1 1 1 = − + 4 x 2 − 12 x 6 + 12 arcτ gx 6 + c 7 5 dx 9.18.- ∫ dx x−2− x Solución.- Sea: x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt dx 2tdt (2t − 1) + 1 2t − 1 dt ∫ x − 2 − x dx = ∫ t 2 − 2 − t = ∫ t 2 − t − 2 dt = ∫ t 2 − t − 2dt + ∫ t 2 − t − 2 t−3 dt 2t − 1 1 2 2 +c dt + ∫ =∫ 2 = η t −t −2 + η t −t −2 (t − 1 ) 2 − 9 2 3 t+3 2 4 2 2

204

= η t2 − t − 2 +

1 2t − 3 1 2 x −3 η +c = η x− x −2 + η +c 3 2t + 3 3 2 x +3

1+ x dx 1− x Solución.- Notará el lector, que este caso se diferencia de los anteriores, sin embargo la técnica que se seguirá, tiene la misma fundamentación y la información que se consiga es valiosa. (∗)

9.19.- ∫

1+ x 1+ x 2 =t⇒ = t ⇒ 1 + x = t 2 − t 2 x ⇒ x(1 + t 2 ) = t 2 − 1 1− x 1− x t 2 −1 4tdt , luego: x= 2 ⇒ dx = 2 t +1 (t + 1) 2

Sea:

1+ x t 4tdt 4t 2 dt t 2 dt dx = = = 4 ∫ 1 − x ∫ (t 2 + 1)2 ∫ (t 2 + 1)2 ∫ ( t 2 + 1)4 (∗∗) , haciendo uso sustituciones trigonométricas convenientes en (∗∗) , y de la figura se tiene:

(∗)

t2 + 1

de

t

θ Se tiene: t = τ gθ , dt = sec θ dθ ; t + 1 = sec θ 2

(∗∗) 4 ∫

t 2 dt

=∫

( t 2 + 1) 4

2

1

4τ g 2θ sec 2 θ dθ τ g 2θ = 4 ∫ sec2 θ dθ sec 4 θ

= 4 ∫ s e n 2 θ dθ = 2∫ dθ − 2∫ cos 2θ dθ = 2θ − s e n 2θ + c = 2θ − 2s e n θ cos θ + c 1+ x 2 2t 1+ x = 2 arcτ gt − 2 + c = 2 arcτ gt − 2 + c = 2 arcτ g − 1− x + c 2 2 1+ x t x + 1 1 − t +1 t +1 +1 1− x 1+ x 1+ x = 2 arcτ g − (1 − x) +c 1− x 1− x t

1

x+a dx x+b Solución.- Sea: x + a = t ⇒ x = t 2 − a, dx = 2tdt

9.20.- ∫

⎛ x+a t 2tdt t 2 dt b−a ⎞ = = dx 2 ∫ x+b ∫ t 2 − a + b ∫ t 2 + (b − a) = 2∫ ⎜⎝1 − t 2 + (b − a) ⎟⎠dt dt t 1 arcτ g = 2 ∫ dt − 2(b − a ) ∫ 2 = 2t − 2(b − a) +c t + (b − a ) b−a b−a

205

= 2 x + a − 2 b − a arcτ g

x+a +c b−a

x +1 dx x Solución.- Sea: 3 x + 1 = t ⇒ x = t 3 − 1, dx = 3t 2 dt

9.21.- ∫

3

x +1 t 3t 2 dt t 3 dt 1 ⎞ dt ⎛ dx = = 3 ∫ x ∫ t 3 − 1 ∫ t 3 − 1 = 3∫ ⎜⎝1 + t 3 − 1 ⎟⎠dt = 3∫ dt + 3∫ t 3 − 1 dt = 3∫ dt + 3∫ (∗) , por fracciones parciales: (t − 1)(t 2 + t + 1) A Bt + C 3 = + 2 ⇒ 3 = A(t 2 + t + 1) + ( Bt + C )(t − 1) , de donde: 2 (t − 1)(t + t + 1) (t − 1) (t + t + 1) A = 1, B = −1, C = −2 , luego: 3

(∗) = 3∫ dt + ∫ 9.22.- ∫

dt t+2 ⎛ 2t + 1 ⎞ −∫ 2 dt = 3t + η t − 1 − 1 η t 2 + t + 1 − 3 arcτ g ⎜ ⎟+c 2 t −1 t + t +1 ⎝ 3 ⎠

a2 − x2 dx x3

Solución.- Sea: a 2 − x 2 = t ⇒ x 2 = a 2 − t 2 , xdx = −tdt −t 2 dt −t 2 dt a2 − x2 a 2 − x 2 xdx ttdt = = − = = dx ∫ x3 ∫ ∫ (a 2 − t 2 )2 ∫ (a 2 − t 2 )2 ∫ (a + t )2 (a − t )2 (∗) x4 Por fracciones parciales: −t 2 A B C D = + + + , de donde: 2 2 2 (t + a ) (t − a) (t + a ) (t + a) (t − a) (t − a) 2 A = 1 a, B = − 1 , C = − 1 a, D = − 1 , luego: 4 4 4 4 2 −t dt 1 dt 1 dt 1 dt 1 dt (∗) ∫ = − − − 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ (a + t ) (a − t ) 4a (t + a ) 4a (t + a ) 4a (t − a) 4a (t − a ) 2 1 1 1 1 = η (t + a) + − η (t − a) + +c 4a 4(t + a ) 4a 4(t − a) =

1 (t + a ) 1 1 + + +c η 4a (t − a) 4(t + a) 4(t − a)

=

1 η 4a

=

1 ( a 2 − x 2 + a)2 a2 − x2 1 η η − + c = 2 4a 2x 2a a 2 − x 2 −a 2

a2 − x2 + a a2 − x2 − a

+

a2 − x2 2( a 2 − x 2 −a 2 )

+c =

1 η 4a

a2 − x2 + a a2 − x2 − a

a2 − x2 + a −

−

a2 − x2 +c 2 x2

1 a2 − x2 ηx− +c 2a 2 x2

9.23.- ∫ x 2 x + adx Solución.- Sea: x + a = t ⇒ x = t 2 − a, dx = 2tdt

206

∫x

2

x + adx = ∫ (t 2 − a) 2 t 2tdt = 2∫ t 2 (t 2 − a )2 dt = 2∫ (t 6 − 2at 4 + a 2t 2 )dt

2t 7 4at 5 2a 2t 3 − + +c 7 5 3 7 5 3 2( x + a ) 2 4a ( x + a) 2 2a 2 ( x + a) 2 = − + +c 7 5 3 dx 9.24.- ∫ 4 x + x + 28 x Solución.- Sea: 8 x = t ⇒ x = t 8 , dx = 8t 7 dt = 2 ∫ t 6 dt − 4a ∫ t 4 dt + 2a 2 ∫ t 2 dt =

∫

⎛ 3 dx t 6 dt t 2 + 4t + 4 ⎞ 8t 7 dt = = = − − + t t 8 8 2 ⎟dt 4 2 ∫ t 3 + t + 2 ∫ ⎝⎜ t3 + t + 2 ⎠ x + 4 x + 2 8 x ∫ t + t + 2t

t 2 + 4t + 4 t 4 8t 2 t 2 + 4t + 4 = − − + dt t 8 16 8 ∫ t 3 + t + 2 dt t3 + t + 2 4 2 t 2 + 4t + 4 = 2t 4 − 4t 2 − 16t + 8∫ 3 dt (∗) , por fracciones parciales: t +t +2 t 2 + 4t + 4 t 2 + 4t + 4 A Bt + C = = + 2 ⇒ A = 1 , B = 3 , C = 14 , luego: 3 2 4 4 4 (t + t + 2) (t + 1)(t − t + 2) (t + 1) (t − t + 2) = 8∫ t 3 − 8∫ tdt − 16∫ dt + 8∫

3 t + 14 ⎛ 1 dt ⎞ 4 4 dt ⎟ ⎜ + ∫ 42 (∗) = 2t − 4t − 16t + 8 ∫ t −t + 2 ⎜ t +1 ⎟ ⎝ ⎠ dt 3t + 14 ⎛ 1 dt 1 3t + 14 ⎞ = 2t 4 − 4t 2 − 16t + 8 ⎜ ∫ + ∫ 2 dt ⎟ = 2t 4 − 4t 2 − 16t + 2∫ + 2∫ 2 dt t +1 t −t + 2 ⎝ 4 t +1 4 t − t + 2 ⎠ 28 31 31 3 2t + 3 − 3 + 3 dt = 2t 4 − 4t 2 − 16t + 2 η t + 1 + 2 ∫ t2 − t + 2 2 (2t − 1) dt = 2t 4 − 4t 2 − 16t + 2 η t + 1 + 3∫ 2 dt + 31∫ 2 t −t + 2 t −t + 2 dt = 2t 4 − 4t 2 − 16t + 2 η t + 1 + 3 η t 2 − t + 2 + 31∫ (t − 1 ) 2 + 7 2 4 1 t− 2 2 +c arcτ g = 2t 4 − 4t 2 − 16t + 2 η t + 1 + 3 η t 2 − t + 2 + 31 7 7 2 t 62 2 − 1 arcτ g = 2t 4 − 4t 2 − 16t + 2 η t + 1 + 3 η t 2 − t + 2 + +c 7 7 1 62 2x 8 −1 1 1 1 1 1 1 8 8 8 2 4 4 = 2 x − 4 x − 16 x + 2 η x + 1 + 3 η x − x + 2 + arcτ g +c 7 7 4

2

9.25.- ∫ x3 x 2 + a 2 dx Solución.- Sea: x 2 + a 2 = t ⇒ x 2 = t 2 − a 2 , xdx = tdt

207

∫x

3

x 2 + a 2 dx = ∫ x 2 x 2 + a 2 xdx = ∫ (t 2 − a 2 )ttdt = ∫ (t 2 − a 2 )t 2 dt = ∫ (t 4 − a 2t 2 )dt

2 2 t 5 a 2t 3 a2 ⎞ 3 ⎛ x + a ( x2 + a2 ) 2 a2 ( x2 + a2 ) 2 = − +c = − + c = ( x2 + a2 ) 2 ⎜ − ⎟+c 5 3 5 3 3 ⎠ ⎝ 5 2 2 ⎞ 3 ⎛ 3 x − 2a = ( x2 + a2 ) 2 ⎜ ⎟+c 15 ⎝ ⎠ 5

3

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS A continuación, se adjunta un listado de ejercicios que se proponen al lector. Observará que no se indica técnica alguna solicitada para el desarrollo de los mismos, y que además no se han respetado normas relativas a niveles de dificultad, ni a las técnicas mismas. Como siempre, se adjuntaran las soluciones cuyos desarrollos pueden diferir de los aquí presentados. No importa, eso es posible; además una consulta con su profesor aclarará cualquier discrepancia. Encontrar: 4 1.- ∫ t 3es e n t cos t 4 dt

2.- ∫

4.- ∫ eτ g 3θ sec 2 3θ dθ

5.- ∫

dx (2 − x) 1 − x (t + 1)dt 10.- ∫ 2 t + 2t − 5

8.- ∫ e 2 − x dx

7.- ∫

13.- ∫

η2

sen

η

dη

a b 2 16.- ∫ sec (1 − x)dx dx x+4 − x+3 1 22.- ∫ t (1 − t 2 ) 2 arcs e n tdt

19.- ∫

25.- ∫ 28.- ∫

e x dx 9−e ds

2x

4 − s2

θ dθ (1 + θ ) 2 3

3.- ∫

xdx ax + b

11.- ∫ sec

ϕ

xdx

16 − x

4

20.- ∫ cos ecθ dθ

1 + cos 2 x dx s e n2 2x dx 26.- ∫ ( x − 1)3

23.- ∫

29.- ∫

x2 −1 x +1 e x dx 9.- ∫ x ae − b 12.- ∫ τ gθ dθ

6.- ∫

dϕ 2 14.- ∫ ϕ sec 2 ϕ dϕ

17.- ∫

θ eθ dθ (1 + θ ) 2

dx x2 x2 + e

15.- ∫ 18.- ∫

dx 5x dy 1+ 1+ y

21.- ∫ t (1 − t 2 ) 2 dt 1

24.- ∫ 27.- ∫ 30.- ∫

x2 + 1 dx x3 − x (3 x + 4)dx 2x + x2 xdx 1+ x

208

31.- ∫ 34.- ∫ 37.- ∫

y 2 dy y +1

32.- ∫

t 4 − t 3 + 4t 2 − 2t + 1 dt t3 +1 dx (16 + x 2 )3

40.- ∫ a ( x 2 + 1) 2 dy 1

43.- ∫

ex dx 16 + e 2 x

46.- ∫

2 y 5 − 7 y 4 + 7 y 3 − 19 y 2 + 7 y − 6 dy ( y − 1) 2 ( y 2 + 1) 2

35.- ∫ 38.- ∫ 41.- ∫

y 3 dy y2 −1 dϕ ηe x3 dx x2 + 4 dx ( 6 − x 2 )3

44.- ∫ cos 1 − xdx

5w3 − 5w2 + 2w − 1 dw w4 + w2 2 xe −2 x 52.- ∫ dx 2 s e n xesec x 55.- ∫ dx cos 2 x

49.- ∫

x η (1 + x 2 ) dx 1 + x2 dx 61.- ∫ cos 2 5 x 64.- ∫ τ g 4θ sec 2 4θ dθ

58.- ∫

67.- ∫ (1 + x) cos xdx

47.- ∫ s e n x + 1dx

50.- ∫

3dx 1 + 2x

53.- ∫ e 2t cos(et )dt 56.-

ds ∫ s 13 (1 + s 2 3 )

59.- ∫

co τ gxdx η sen x

dx 12 − 7 x xdx 65.- ∫ x−5 dx 68.- ∫ x( 1 + x − 1)

62.- ∫

70.- ∫ co τ g (2 x − 4)dx

71.- ∫ (et − e −2t ) 2 dt

73.- ∫ (co τ ge x )e x dx

74.- ∫

76.- ∫ x coτ g ( x

77.- ∫ x 4 x 2 − 2dx

2

5

)dx

79.- ∫ x 2 s e n 5 x3 cos x 3 dx 82.- ∫ s e n 2θ es e n θ dθ 2

80.- ∫

s e nθ +θ dθ cos θ + 1

xdx

5x2 + 7 dx 83.- ∫ x e − 9e − x

33.- ∫

dθ 1 + 2 cos θ

36.- ∫ x(10 + 8 x 2 )9 dx 39.- ∫

x3 dx

16 − x 2 dx 42.- ∫ x(3 + η x) x3 dx x −1 9x2 + 7 x − 6 dx 48.- ∫ x3 − x

45.- ∫

(1 − x) 2 dx x 3 54.- ∫ x ( x 2 − 4)3 dx

51.- ∫

10

1 ⎛ 1− z2 ⎞ 57.- ∫ 3 ⎜ 2 ⎟ dz z ⎝ z ⎠

60.- ∫

ax 2 − bx + c dx ax 2 + bx − c

63.- ∫ τ g16 xdx 66.- ∫

7t − 2

dt 7 − 2t 2 dx 69.- ∫ coτ g 6 x ( x + 1)dx 72.- ∫ ( x + 2) 2 ( x + 3) arcτ gxdx 75.- ∫ 3 (1 + x 2 ) 2 ( x 2 + 9) 2 dx 78.- ∫ x4 x3 dx 81.- ∫ 2 x − x−6 dw 84.- ∫ 1 + cos w 1

209

85.- ∫ e

⎛ 1− s e n 2 x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠

2

(cos x s e n x )dx 2 2 2 88.- ∫ (sec ϕ + τ gϕ ) dϕ 3

91.- ∫ s e n 2 ϕ cos3 ϕ dϕ

86.- ∫

x3 dx

19 − x 2 dt 89.- ∫ 1 t (4 + η 2t ) 2

87.- ∫

s e n ϕ dϕ 1 cos 2 ϕ

90.- ∫ aθ b 2θ c3θ dθ

sec 2 θ dθ 9 + τ g 2θ dx 95.- ∫ 2 5x + 8x + 5 3dy 98.- ∫ 1+ y tdt 101.- ∫ 1 (2t + 1) 2

93.- ∫

103.- ∫ (2 cos α s e n α − s e n 2α )dα

104.- ∫ t 4 η 2tdt

(ϕ + s e n 3ϕ )dϕ 106.- ∫ 3ϕ 2 − 2 cos 3ϕ

105.- ∫ u 2 (1 + v) dx

( y 2 + 1)dy 107.- ∫ 1 y 2 ( y + 1)

108.- ∫

1

94.- ∫ (e − 1)(e + 1)ds 2s

2s

97.- ∫ (arcs e n 1 − x 2 )0 dx 100.- ∫

dϕ a s e n ϕ + b 2 cos 2 ϕ 2

2

109.- ∫ u (1 + u 2 ) 2 du dx

112.- ∫

x − 2x − 8 x + 7 x2 − 5x + 5 115.- ∫ dx x2 + 2x − 3 xdx 118.- ∫ x2 + 4 x + 5 2

3

121.- ∫ η exp x − 1dx s e n xdx 1 + s e n x + cos x (1 + s e n x)dx 127.- ∫ s e n x(2 + cos x)

124.- ∫

92.- ∫

113.- ∫

( x3 + x 2 )dx x2 + x − 2 ( x + 1)dx 2x − x

e − 16 x +1 96.- ∫ 3 dx x −x 1 99.- ∫ x(1 + x) 5 dx 3

102.- ∫

s η s ds (1 − s 2 )

1

2

11

1

110.- ∫

dx 2x

2

ds 1 s ( s − 4) 2 3

2

111- ∫ adb 114.- ∫ f ( x) f ´( x)dx

dx

117.- ∫

( x − 1)dx

1 + x3 dx x dx 125.- ∫ 3 + 2 cos x dx 128.- ∫ 4 x +4

123.- ∫

x −1 1 dx x +1 x xdx

116.- ∫ e 119.- ∫ 122.- ∫

η 1+ x + x 2

4dx x + 4x 3

x2 − 4 x + 3 co τ gxdx 120.- ∫ η sen x

126.- ∫

x2 − 2 x + 5

RESPUESTAS 1.- ∫ t 3es e n t cos t 4 dt 4

Solución.- Sea: u = s e n t 4 , du = (cos t 4 )4t 3 dt ; luego: 1 1 u 1 u 1 s e n t4 3 sen t4 4 3 s e n t4 4 cos 4 cos t e t dt = t e t dt = e du = e + c = e +c ∫ 4∫ 4∫ 4 4

210

2.- ∫

θ dθ (1 + θ ) 2

Solución.Adθ Bdθ θ dθ ∫ (1 + θ )2 = ∫ 1 + θ + ∫ (1 + θ )2 (∗) A B θ = + ⇒ θ = A(1 + θ ) + B ⇒ θ = Aθ + ( A + B ) , de donde: 2 (1 + θ ) 1 + θ (1 + θ ) 2 dθ dθ θ dθ 1 A = 1, B = −1 , entonces: (∗) ∫ =∫ −∫ = η 1+ θ + +c 2 2 (1 + θ ) 1+θ (1 + θ ) 1+θ 3.- ∫

θ eθ dθ (1 + θ ) 2

Solución.θ

u=e

Sea:

du = eθ dθ

dv =

θ dθ (1 + θ ) 2

v = η 1+θ +

1 1+θ

θ eθ dθ eθ 1 θ θ = η + θ + − ∫ ( η 1+ θ + e 1 ) e dθ ∫ (1 + θ )2 1+θ 1+θ eθ eθ dθ = eθ η 1 + θ + − ∫ eθ η 1 + θ dθ − ∫ (∗) , resolviendo por partes la segunda 1+θ 1+θ θ dθ dv = u = eθ 1+θ integral se tiene: du = eθ dθ v = η 1+θ eθ dθ = eθ η 1 + θ − ∫ eθ η 1 + θ dθ , esto es: 1+θ eθ (∗) = eθ η 1 + θ + − ∫ eθ η 1 + θ dθ −eθ η 1 + θ + ∫ eθ η 1 + θ dθ 1+θ θ e = 1+θ 4.- ∫ eτ g 3θ sec 2 3θ dθ

Luego: ∫

Solución.- Sea: u = τ g 3θ , du = 3sec 2 3θ dθ τ g 3θ 2 ∫ e sec 3θ dθ =

5.- ∫

3

1 u 1 u eτ g 3θ = + = +c e du e c 3∫ 3 3

xdx ax + b

Solución.- Sea: ax + b = t 3 ⇒ x =

t3 − b 3t 2 , dx = dt a a

211

∫

3

⎛ t 3 − b ⎞ 3t 2 dt ⎜ ⎟ a ⎠ a xdx 3t (t 3 − b) 3 3 ⎛ t 5 bt 2 ⎞ ⎝ 4 =∫ =∫ = − = dt ( t bt ) dt ⎜ − ⎟+c t a2 a2 ∫ a2 ⎝ 5 2 ⎠ ax + b

=

3t 5 3bt 2 3(ax + b) 3 3b(ax + b) 3 − 2 +c = − +c 2 5a 2a 5a 2 2a 2

=

3(ax + b) 3 (ax + b) 2 3b 3 (ax + b) 2 − +c 5a 2 2a 2

5

2

x2 −1 dx x +1 Solución.6.- ∫

∫

x2 −1 dx = ∫ x +1

( x + 1) ( x − 1) x +1

( x − 1) 2 2( x − 1) 2 +c = +c 3 3 2 3

= ∫ ( x − 1) 2 dx = 1

3

2( x − 1) x − 1 +c 3 dx 7.- ∫ (2 − x) 1 − x Solución.- Sea: 1 − x = t 2 ⇒ x = 1 − t 2 , dx = −2tdt dx −2tdt dt ∫ (2 − x) 1 − x = ∫ ⎡2 − (1 − t 2 ) ⎤ t = −2∫ 1 + t 2 = −2 arcτ gt + c = −2 arcτ g 1 − x + c ⎣ ⎦ =

8.- ∫ e 2− x dx

Solución.- Sea: u = 2 − x, du = −dx

∫e

2− x

dx = − ∫ eu du = −eu + c = −e 2− x + c

e x dx ae x − b Solución.- Sea: u = ae x − b, du = ae x dx 9.- ∫

e x dx 1 du 1 1 x ∫ ae x − b = a ∫ u = a η u + c = a η ae − b + c (t + 1)dt 10.- ∫ 2 t + 2t − 5 Solución.- Sea: u = t 2 + 2t − 5, du = 2(t + 1)dt (t + 1)dt 1 du 1 1 2 ∫ t 2 + 2t − 5 = 2 ∫ u = 2 η u + c = 2 η t + 2t − 5 + c 11.- ∫ sec

ϕ

2

dϕ

Solución.- Sea: u = sec

ϕ 2

+τ g

ϕ

1 ϕ ϕ ϕ , du = (sec τ g + sec 2 )dϕ 2 2 2 2 2

212

∫ sec

ϕ 2

dϕ = ∫

sec ϕ (sec ϕ + τ g ϕ ) sec2 ϕ + sec ϕ τ g ϕ 2 2 2 dϕ = 2 2 2 dϕ ∫ ϕ ϕ ϕ ϕ sec sec +τ g +τ g 2 2 2 2

du = 2 η u + c = 2 η sec ϕ + τ g ϕ + c 2 2 u 12.- ∫ τ gθ dθ = 2∫

Solución.- Sea: u = cos θ , du = − s e n θ dθ s e nθ du 1 ∫ τ gθ dθ = ∫ cos θ dθ = −∫ u = − η u + c = − η cosθ + c = − η s ecθ + c 0

= − η1 + η s ecθ + c = η s ecθ + c 13.- ∫

η2

sen

a Solución.u=

η b

dη

η2

a 2η dη du = a

Sea:

dv = s e n

η b

v = −b cos

dη

η

b η η a 2 η 2b η ∫ a s e n b dη = − b η cos b + a ∫η cos b dη (∗) , resolviendo por partes la segunda 2

integral se tiene:

u =η du = dη

η

dv = cos dη b v = bsen

η b

a η 2b ⎛ η η ⎞ (∗) = − η 2 cos + ⎜ bη s e n − b ∫ s e n dη ⎟ b b a ⎝ b b ⎠ a η 2b 2 η 2b3 η η sen + = − η 2 cos + cos + c b b a b a b 2 14.- ∫ ϕ sec ϕ dϕ Solución.u =ϕ Sea: du = dϕ

dv = sec 2 ϕ dϕ v = τ gϕ

∫ ϕ sec ϕ dϕ = ϕτ gϕ − ∫ τ gϕ dϕ = ϕτ gϕ − dx 15.- ∫ 5 2

η sec ϕ + c

x

Solución.- Sea: u = − x, du = −dx

dx 5u 5− x 1 −x u ∫ 5x = ∫ 5 dx = − ∫ 5 du = − η 5 + c = − η 5 + c = − 5x η 5 + c

213

16.- ∫ sec 2 (1 − x)dx

Solución.- Sea: u = 1 − x, du = −dx

∫ sec (1 − x)dx = − ∫ sec 2

2

udu = −τ gu + c = −τ g (1 − x) + c

xdx

17.- ∫

16 − x 4 Solución.- Sea: u = x 2 , du = 2 xdx xdx xdx 1 2 xdx 1 du 1 u ∫ 16 − x4 = ∫ 42 − ( x 2 )2 = 2 ∫ 42 − ( x2 )2 = 2 ∫ 42 − u 2 = 2 arcs e n 4 + c

1 x2 = arcs e n + c 2 4 dy 18.- ∫ 1+ 1+ y 1

2 Solución.- Sea: t = ⎡⎣1 + (1 + y ) 2 ⎤⎦ ⇒ t 2 = 1 + (1 + y ) 2 ⇒ t 2 − 1 = (1 + y ) ⇒ (t 2 − 1) 2 = 1 + y ⇒ y = (t 2 − 1) 2 − 1, dy = 4t (t 2 − 1)dt 1

∫

dy 1+ 1+ y

=∫

1

1

2

t3 t2 4 t (t 2 − 1)dt = 4 ∫ (t 2 − 1)dt = 4( − t ) + c = 4t ( − 1) + c 3 3 t

1+ 1+ y 4 = 4 1 1+ y ( − 1) + c = 1 1 + y ( 1 + y − 2) + c 3 3 dx 19.- ∫ x+4 − x+3 Solución.1 1 dx ( x + 4) 2 + ( x + 3) 2 1 1 ∫ x + 4 − x + 3 = ∫ ( x + 4) − ( x + 3) dx = ∫ ⎡⎣( x + 4) 2 + ( x + 3) 2 ⎤⎦dx 2 ( x + 4)3 2 ( x + 3)3 ( x + 4) 2 ( x + 3) 2 x + + x + = + + c = + +c ( 4) ( 3) ∫ ∫ 3 3 3 3 2 2 2 = ( x + 4)3 + ( x + 3)3 + c 3 20.- ∫ cos ecθ dθ 3

1

2

(

1

3

2

)

Solución.- Sea: u = cos ecθ + coτ gθ , du = −(cos ecθ coτ gθ + cos ec 2θ )dθ

∫ cos ecθ dθ = ∫

cos ecθ (cos ecθ + co τ gθ )dθ cos ec 2θ + cos ecθ coτ gθ dθ =∫ cos ecθ + co τ gθ cos ecθ + coτ gθ

du = − η u + c = − η (cos ecθ + coτ gθ ) + c u 1 21.- ∫ t (1 − t 2 ) 2 dt = −∫

Solución.- Sea: u = 1 − t 2 , du = −2tdt

214

3

1 12 1 u2 1 3 1 3 + c = − u 2 + c = − (1 − t 2 ) 2 + c t (1 − t ) dt = − u du = − ∫ ∫ 2 3 3 2 3 2 2

1

2

22.- ∫ t (1 − t 2 ) 2 arcs e n tdt 1

Solución.u = arcs e n t

dv = t (1 − t 2 ) 2 dt dt Sea: 3 1 du = v = − (1 − t 2 ) 2 2 1− t 3 1 1 2 1 2 3 2 2 ∫ t (1 − t ) 2 arcs e n tdt = − 3 (1 − t ) 2 arcs e n t + 3 ∫ (1 − t ) 1 − t 1

dt 1− t2

(1 − t 2 ) 2 1 (1 − t 2 ) 2 1 t3 arcs e n t + ∫ (1 − t 2 )dt = − arcs e n t + (t − ) + c 3 3 3 3 3 3 1⎡ 3 t ⎤ = − ⎢(1 − t 2 ) 2 arcs e n t − t + ⎥ + c 3⎣ 3⎦ 3

3

=−

1 + cos 2 x dx s e n2 2x Solución.1 + cos 2 x 1 + cos 2 x dx dx 1 dx ∫ s e n 2 2 x dx = ∫ 1 − cos2 x dx = ∫ 1 − cos 2 x = ∫ ⎛ 1 − cos 2 x ⎞ = 2 ∫ s e n 2 x 2⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 1 1 = ∫ cos ec 2 xdx = − coτ gx + c 2 2 2 x +1 24.- ∫ 3 dx x −x Solución.x2 + 1 ( x 2 + 1)dx ( x 2 + 1)dx Adx Bdx Cdx dx = = ∫ x3 − x ∫ x( x2 − 1) ∫ x( x + 1)( x − 1) = ∫ x + ∫ ( x + 1) + ∫ ( x − 1) (∗) 23.- ∫

( x 2 + 1) A B C = + + ⇒ ( x 2 + 1) = A( x 2 − 1) + Bx( x − 1) + Cx( x + 1) x( x + 1)( x − 1) x ( x + 1) ( x − 1) x = 0 ⇒ 1 = − A ⇒ A = −1 De donde: x = −1 ⇒ 2 = B(−1)(−2) ⇒ B = 1 x = 1 ⇒ 2 = C (1)(2) ⇒ C = 1 Entonces: ( x 2 + 1)dx dx dx dx (∗) ∫ = −∫ + ∫ +∫ = − η x + η x +1 + η x −1 + c x( x + 1)( x − 1) x ( x + 1) ( x − 1) = η

x2 −1 +c x

215

e x dx

25.- ∫

9 − e2 x Solución.- Sea: u = e x , du = e x dx

∫

e x dx

e x dx

=∫

=∫

u ex = arcs e n + c = arcs e n + c 3 3 32 − u 2 du

9 − e2 x 32 − (e x ) 2 dx 26.- ∫ ( x − 1)3 Solución.dx ( x − 1) −2 1 −3 x dx = ( − 1) = − +c = − +c ∫ ( x − 1)3 ∫ 2 ( x − 1) 2 (3x + 4)dx 27.- ∫ 2x + x2 Solución.- Sea: u = 2 x + x 2 , du = 2(1 + x)dx (3 x + 4)dx (3x + 3) + 1 ( x + 1)dx dx 3 du dx ∫ 2 x + x2 = ∫ 2 x + x2 dx = 3∫ 2 x + x 2 + ∫ 2 x + x 2 = 2 ∫ u 12 + ∫ 2 x + x2 1 dx dx 3 du dx 3 u2 +∫ = 3 2 x + x2 + ∫ = ∫ 1 +∫ = 2 u2 ( x + 1) 2 − 1 ( x + 1) 2 − 1 ( x 2 + 2 x + 1) − 1 2 1 2 Sustituyendo por: x + 1 = sec θ , dx = sec θτ gθ dθ , ( x + 1) 2 − 1 = τ gθ

= 3 2 x + x2 + ∫

sec θ τ gθ

τ gθ

dθ = 3 2 x + x 2 + ∫ sec θ dθ = 3 2 x + x 2 + η sec θ + τ gθ + c

= 3 2x + x2 + η x + 1 + 2 x + x2 + c

ds

28.- ∫

4 − s2

Solución.- Sea: s = 2s e n θ , ds = 2 cos θ dθ , 4 − s 2 = 2 cos θ

∫

ds 4 − s2

29.- ∫

=∫

2 cos θ dθ = ∫ dθ = θ = arcs e n s + c 2 2 cos θ

dx x

2

x2 + e

Solución.- Sea: x = eτ gθ , dx = e sec 2 θ dθ , x 2 + e = e sec θ 1 dθ 2 e sec θ dθ 1 sec θ dθ 1 cos θ dx 1 cos θ ∫ x2 x 2 + e = ∫ eτ g 2 e secθ = e ∫ τ g 2 = e ∫ s e n 2 θ = e ∫ s e n 2 θ (∗) cos 2 θ Sea: u = s e n θ , du = cos θ dθ , luego:

216

(∗) =

1 du 1 −2 1 u −1 1 1 = = +c = − +c = − +c =− u du 2 ∫ ∫ e u e e −1 eu e s e nθ e

1 x

+c

x2 + e

x2 + e +c ex xdx 30.- ∫ 1+ x Solución.- Sea: x + 1 = t 2 ⇒ x = t 2 − 1, dx = 2tdt =−

t3 t2 xdx (t 2 − 1)2 t dt 2 = 2 ( t − 1) dt = 2( − t ) + c = 2 t ( − 1) + c = ∫ 1+ x ∫ ∫ 3 3 t x +1 x−2 = 2 x + 1( − 1) + c = 2 x + 1( )+c 3 3 y 2 dy 31.- ∫ y +1 Solución.- Sea: y + 1 = t 2 ⇒ y = t 2 − 1, dy = 2tdt

⎛ t 5 2t 3 ⎞ y 2 dy (t 2 − 1) 2 2 t dt 2 2 4 2 = 2 ( 1) 2 ( 2 1) 2 = t − dt = t − t + dt = +t⎟+c ⎜ − ∫ y +1 ∫ ∫ ∫ 3 t ⎝5 ⎠ 4 2 4 2 ⎛ ( y + 1) 2( y + 1) ⎞ ⎛t ⎞ 2t = 2t ⎜ − + 1⎟ + c = 2 y + 1 ⎜ − + 1⎟ + c ⎜ ⎟ 3 5 3 ⎝5 ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 ⎛ ( y + 1) 2 y + 2 ⎞ ⎛ y + 2 y +1 2 y + 2 ⎞ = 2 y +1⎜ − + 1⎟ + c = 2 y + 1 ⎜ − + 1⎟ + c 3 5 3 ⎝ 5 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 3 y2 − 4 y + 8 ⎞ = 2 y +1⎜ ⎟+c 15 ⎝ ⎠ 3 y dy 32.- ∫ y2 −1 Solución.- Sea: u = y 2 − 1 ⇒ y 2 = u + 1, dy = 2 ydy

⎛ 3 ⎞ 1 1 (u + 1)du 1 1⎜ u2 u2 ⎟ 1 −1 2 2 ∫ y 2 − 1 = ∫ y 2 − 1 = 2 ∫ u 12 = 2 ∫ (u + u )du = 2 ⎜ 3 + 1 ⎟ + c ⎜ 2 2 ⎟⎠ ⎝ 3 ⎛ y2 −1 ⎞ ⎛ y2 + 2 ⎞ u2 1 1 = + u 2 + c = u 2 ( 1 u + 1) + c = y 2 − 1 ⎜ + 1⎟ + c = y 2 − 1 ⎜ ⎟+c 3 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ dθ 33.- ∫ 1 + 2 cos θ 2dz 1− z2 Solución.- Sea: dθ = θ , cos = ,θ = 2 arcτ gz 1+ z2 1+ z2 y 3 dy

y 2 ydy

217

2dz 2dz 2dz 2dz 1+ z2 =∫ =∫ =∫ 2 2 2 2 2 2(1 − z ) 1 + z + 2(1 − z ) 1 + z + 2 − 2z 3 − z2 1+ 1+ z2 2dz dz dz 1 z− 3 η +c =∫ = −2 ∫ 2 = −2∫ 2 =−2 2 2 3− z z −3 z+ 3 2 3 z − ( 3) dθ ∫ 1 + 2 cos θ = ∫

τ gθ 2 − 3 1 =− +c η 3 τ gθ 2 + 3 t 4 − t 3 + 4t 2 − 2t + 1 34.- ∫ dt t3 +1 Solución.⎛ t 4 − t 3 + 4t 2 − 2t + 1 3t 2 − t + 1 ⎞ 3t 2 − t + 1 dt = t − 1 + dt = tdt − dt + ⎟ ∫ ∫ ⎜⎝ ∫ ∫ ∫ t 3 + t dt t3 +1 t3 + t ⎠ t2 3t 2 − t + 1 −t + ∫ 3 dt (∗) 2 t +t 3t 2 − t + 1 A Bt + C = + 2 ⇒ 3t 2 − t + 1 = A(t 2 + 1) + ( Bt + C )t t (t 2 + 1) t (t + 1)

=

t = 0 ⇒1= A ⇒ A =1 t =1⇒ 3 = 2A + B + C ⇒ B + C = 1 ⎫ De donde: ⎬ B = 2, C = −1 t = −1 ⇒ 5 = 2 A − (C − B) ⇒ B − C = 3 ⎭ 2 t Adt Bt + C t2 dt 2t − 1 (∗) = − t + ∫ +∫ 2 dt = − t + ∫ + ∫ 2 dt 2 t t +1 2 t t +1 t2 2tdt dt t2 = −t + η t + ∫ 2 −∫ 2 = − t + η t + η t 2 + 1 − arcτ gt + c t +1 t +1 2 2 2 t = − t + η t (t 2 + 1) − arcτ gt + c 2 dϕ 35.- ∫ ηe Solución.dϕ ∫ η e = ∫ dϕ = ϕ + c 36.- ∫ x(10 + 8 x 2 )9 dx Solución.- Sea: u = 10 + 8 x 2 , du = 16 xdx 2 9 ∫ x(10 + 8x ) dx =

=

1 1 1 u10 u10 2 9 9 x + x dx = u ddu = + c = +c 16 (10 8 ) 16 ∫ 16 ∫ 16 10 160

(10 + 8 x 2 )10 +c 160 218

37.- ∫

dx (16 + x 2 )3

Solución.- Sea: x = 4τ gθ , dx = 4sec 2 θ dθ

∫

dx

=∫

(16 + x 2 )3

38.- ∫

x 4sec 2 θ dθ 1 dθ 1 1 = ∫ = ∫ cos θ dθ = s e n θ + c = +c 3 3 16 sec θ 16 16 4 sec θ 16 16 + x 2

x3 dx

x2 + 4 Solución.- Sea: u = x 2 + 4 ⇒ x 2 = u − 4, du = 2 xdx

∫

x3 dx

=∫

x 2 xdx

=

1 (u − 4)du 1 1 1 1 −1 −1 = ∫ (u 2 − 4u 2 )du = ∫ u 2 du − 2∫ u 2 du 1 ∫ 2 2 2 u2

x2 + 4 x2 + 4 3 3 1 1 u 2 2u 2 u2 u x2 + 4 1 1 = − +c = − 4u 2 + c = u 2 ( − 4) + c = x 2 + 4( − 4) + c 1 3 3 3 2 3 2 2 x2 − 8 )+c 3 x3 dx

= x 2 + 4( 39.- ∫

16 − x 2 Solución.- Sea: u = 16 − x 2 ⇒ x 2 = 16 − u, du = −2 xdx

∫

x3 dx

=∫

x 2 xdx

=−

1 (16 − u )du 1 −1 1 = − ∫ (16u 2 − u 2 )du 1 ∫ 2 2 u2

16 − x 2 16 − x 2 3 3 1 u2 uu u 1 16u 2 1 u 2 1 1 2 = −16u + + c = −16u 2 + + c = u (−16 + ) + c =− + 3 3 3 2 1 2 3 2 2 16 − x 2 32 + x 2 ) + c = − 16 − x 2 ( )+c 3 3 1 40.- ∫ a ( x 2 + 1) 2 dy = 16 − x 2 (−16 +

Solución.1 1 1 2 2 2 ∫ a( x + 1) 2 dy = a( x + 1) 2 ∫ dy = a( x + 1) 2 y + c 41.- ∫

dx ( 6 − x 2 )3

Solución.- Sea: x = 6 s e n θ , dx = 6 cos θ dθ , 6 − x 2 = 6 cos θ

∫(

dx

=∫

6 cos θ dθ 1 dθ 1 1 1 x = ∫ = sec 2 θ dθ = τ gθ + c = +c 2 3 3 6 6 6 − x2 ( 6) cos θ 6 cos θ 6

6− x ) dx 42.- ∫ x(3 + η x) 2 3

219

Solución.- Sea: u = 3 + η x, du =

dx

∫ x(3 +

η x)

=∫

dx x

du = η u + c = η 3+ ηx + c u

ex dx 16 + e 2 x Solución.- Sea: u = e x , du = e x dx

43.- ∫

ex du 1 u 1 ex = = τ g + c = τ g +c dx arc arc ∫ 16 + e2 x ∫ 42 + u 2 4 4 4 4 44.- ∫ cos 1 − xdx Solución.- Sea: 1 − x = t 2 ⇒ x = 1 − t 2 , dx = −2tdt

∫ cos

1 − xdx = −2 ∫ cos tdt (∗) , integrando por partes se tiene: u =t du = dt

dv = cos tdt v = sent (∗) = −2 t s e n t − ∫ s e n tdt = −2t s e n t + 2 ∫ s e n tdt = −2t s e n t − 2 cos t + c

Sea:

(

)

= −2 1 − x s e n 1 − x − 2 cos 1 − x + c x3 dx 45.- ∫ x −1 Solución.- Sea: x − 1 = t 2 ⇒ x = t 2 + 1, dx = 2tdt x3 dx (t 2 + 1)3 2 t dt 2t 7 6t 5 6 4 2 = = 2 ( t + 3 t + 3 t + 1) dt = + + 2t 3 + 2t + c ∫ x −1 ∫ ∫ 7 5 t 6 4 3 2 ⎡ 2( x − 1) 6( x − 1) ⎤ 2t 6t = t( + + 2t 2 + 2) + c = x − 1 ⎢ + + 2( x − 1) + 2 ⎥ + c 7 5 7 5 ⎣ ⎦ ⎡ ( x − 1)3 3( x − 1) 2 ⎤ = 2 x −1 ⎢ + + x⎥ + c 5 ⎣ 7 ⎦ 5 4 3 2 2 y − 7 y + 7 y − 19 y + 7 y − 6 46.- ∫ dy ( y − 1) 2 ( y 2 + 1) 2 Solución.2 y 5 − 7 y 4 + 7 y 3 − 19 y 2 + 7 y − 6 dy (∗) ∫ ( y − 1) 2 ( y 2 + 1) 2 2 y 5 − 7 y 4 + 7 y 3 − 19 y 2 + 7 y − 6 A B Cy + D Ey + F = + + 2 + 2 2 2 2 ( y − 1) ( y + 1) y − 1 ( y − 1) ( y + 1) ( y 2 + 1) 2 2 y 5 − 7 y 4 + 7 y 3 − 19 y 2 + 7 y − 6 = A( y − 1)( y 2 + 1) 2 + B( y 2 + 1) 2 ⇒ + (Cy + D)( y − 1) 2 ( y 2 + 1) + ( Ey + F )( y − 1) 2 , luego: 2 y 5 − 7 y 4 + 7 y 3 − 19 y 2 + 7 y − 6 = ( A + C ) y 5 + (− A + B − 2C + D) y 4 ⇒ + (2 A + 2C − 2 D + E ) y 3 + (−2 A + 2 B − 2C + 2 D − 2 E + F ) y 2

220

⇒ + ( A + C − 2 D + E − 2 F ) y + (− A + B + D + F ) , Igualando coeficientes se tiene: +C = 2 ⎞ ⎛ A ⎜ ⎟ = −7 ⎟ ⎜ − A + B −2C + D ⎜ 2A +2C −2 D + E = 7 ⎟ ⇒ A = 1, B = −4, C = 1 ⎜ ⎟ +2 B −2C +2 D −2 E + F = −19 ⎟ D = 0, E = 3, F = −1 ⎜ −2 A ⎜ A + C −2 D + E −2 F = 7 ⎟ ⎜⎜ ⎟ + B +D +F = − 6 ⎟⎠ ⎝ −A 2 y 5 − 7 y 4 + 7 y 3 − 19 y 2 + 7 y − 6 dy dy ydy (3 y − 1)dy (∗) ∫ dy = ∫ − 4∫ +∫ 2 +∫ 2 2 2 2 2 y −1 ( y − 1) ( y + 1) ( y − 1) ( y + 1) ( y + 1) 2 4 1 ydy dy = η y −1 + + η y 2 + 1 + 3∫ 2 −∫ 2 y −1 2 ( y + 1) ( y + 1) 2 ⎡1 y ⎤ 4 3 1 = η y −1 + + η y2 + 1 − η y2 + 1 − ⎢ + arcτ gy ⎥ + c 2 y −1 2 ⎣ 2 y +1 2 ⎦ 4 3 y 1 = η ( y − 1) y 2 + 1 + − η y2 +1 − − arcτ gy + c 2 y −1 2 2( y + 1) 2 = η

( y − 1) y2 +1

+

4 y 1 − − arcτ gy + c 2 y − 1 2( y + 1) 2

47.- ∫ s e n x + 1dx Solución.- Sea: x + 1 = t 2 ⇒ x = t 2 − 1, dx = 2tdt

∫sen

x + 1dx = 2∫ (s e n t )tdt (∗) , trabajando por partes u =t du = dt

dv = s e n tdt v = − cos t (∗)2 ∫ (s e n t )tdt = 2 −t cos t + ∫ cos tdt = −2t cos t + 2s e n t + c

Sea:

(

)

= −2 x + 1 cos x + 1 + 2s e n x + 1 + c 9 x2 + 7 x − 6 48.- ∫ dx x3 − x Solución.9x2 + 7 x − 6 9x2 + 7 x − 6 Adx Bdx Cdx dx = ∫ x3 − x ∫ x( x + 1)( x − 1)dx = ∫ x + ∫ x + 1 + ∫ x − 1(∗) 9x2 + 7 x − 6 A B C = + + ⇒ 9 x 2 + 7 x − 6 = A( x + 1)( x − 1) + Bx( x − 1) + Cx( x + 1) 3 x −x x x +1 x −1 ⎧ x = 0 ⇒ −6 = − A ⇒ A = 6 ⎪ De donde: ⎨ x = 1 ⇒ 10 = 2C ⇒ C = 5 ⎪ x = −1 ⇒ −4 = 2 B ⇒ B = −2 ⎩

(∗) = 6∫

dx dx dx − 2∫ + 5∫ = 6 η x − 2 η x + 1 + 5 η x −1 + c x x +1 x −1

221

= η x 6 − η ( x + 1) 2 + η ( x − 1)5 + c = η

x 6 ( x − 1)5 +c ( x + 1) 2

5w3 − 5w2 + 2w − 1 dw w4 + w2 Solución.5w3 − 5w2 + 2w − 1 5w3 − 5w2 + 2w − 1 dw = ∫ ∫ w2 (w2 + 1) dw(∗) w4 + w2

49.- ∫

5w3 − 5w2 + 2w − 1 Aw + B Cw + D = + 2 w2 ( w2 + 1) w2 w +1 3 2 5w − 5w + 2 w − 1 = ( Aw + B)( w2 + 1) + (Cw + D) w2 ⇒ Aw3 + Aw + Bw2 + B + Cw3 + Dw2 ⇒ ( A + C ) w3 + ( B + D) w2 + Aw + B Igualando coeficientes se tiene: +C = 5⎞ ⎛A ⎜ ⎟ B + D = −5 ⎟ ⎜ ⇒ A = 2, B = −1, C = 3, D = −4 ⎜A = 2⎟ ⎜ ⎟ B = −1 ⎠ ⎝ Aw + B Cw + D 2w − 1 3w − 4 (∗) ∫ dw + ∫ 2 dw = ∫ dw + ∫ 2 dw 2 2 w w +1 w w +1 2 wdw 3 2 wdw dw =∫ − ∫ w−2 dw + ∫ 2 −4 w2 2 w + 1 ∫ w2 + 1 1 1 = η w2 + + η ( w2 + 1)3 − 4 arcτ gw + c = η w2 ( w2 + 1)3 + − 4 arcτ gw + c w w 3dx 50.- ∫ 1 + 2x Solución.- Sea: u = 1 + 2 x, du = 2dx 3dx dx 3 du 3 3 3 ∫ 1 + 2 x = 3∫ 1 + 2 x = 2 ∫ u = 2 η u + c = 2 η 1 + 2 x + c = η (1 + 2 x) + c (1 − x) 2 dx x Solución.(1 − x) 2 dx 1 − 2 x + x 2 dx dx x2 η = = − 2 dx + xdx = x − 2 x + +c ∫ x ∫ ∫x ∫ ∫ x 2 2 xe −2 x 52.- ∫ dx 2 Solución.- Sea: u = −2 x 2 , du = −4 xdx 51.- ∫

xe−2 x 1 1 u 1 u 1 −2 x2 −2 x 2 ∫ 2 dx = 2 ∫ xe dx = − 8 ∫ e du = − 8 e + c = − 8 e + c 53.- ∫ e 2t cos(et )dt 2

222

Solución.- Sea: w = et , dw = et dt

∫ e cos(e )e dt = ∫ w cos wdw(∗) , trabajando por partes t

t

t

u=w du = dw

Sea:

dv = cos wdw

v = sen w (∗) ∫ w cos wdw = w s e n w − ∫ s e n wdw = w s e n w + cos w + c = et s e n(et ) + cos(et ) + c

54.- ∫ x ( x 2 − 4)3 dx 3

3 xdx 2 3 3 2 3 2 u4 1 4 ( x 2 − 4) 4 3 2 ∫ x ( x − 4) dx = 3 ∫ u du = 3 4 + c = 6 u + c = 6 + c s e n xesec x s e n x 1 sec x 55.- ∫ dx = ∫ e dx = ∫ τ gx sec xesec x dx(∗) 2 cos x cos x cos Solución.- Sea: u = sec x, du = sec xτ gxdx Solución.- Sea: u = x 2 − 4, du = 3

(∗) = ∫ eu du = eu + c = esec x + c 56.-

∫s

1

3

ds 2 (1 + s 3 )

Solución.- Sea: t = s 3 ⇒ s = t 3 , ds = 3t 2 dt 1

ds 3t 2 dt 3tdt 3 tdt 2 = ∫ s 13 (1 + s 2 3 ) ∫ t (1 + t 2 ) = ∫ (1 + t 2 ) = 3∫ (1 + t 2 ) = 2 η 1 + t + c 10

57.- ∫

1 ⎛ 1− z2 ⎞ ⎜ ⎟ dz z3 ⎝ z 2 ⎠

Solución.- Sea: u =

1− z2 −2dz , du = 3 2 z z

10

11

1 ⎛ 1− z2 ⎞ 1 10 1 u11 u11 1 ⎛ 1− z2 ⎞ dz u du c c = − = − + = − + = − ⎜ ⎟ +c ∫ z 3 ⎜⎝ z 2 ⎟⎠ 2∫ 2 11 22 22 ⎝ z 2 ⎠ 58.- ∫

x η (1 + x 2 ) dx 1 + x2

Solución.- Sea: u = η (1 + x 2 ), du =

2 xdx 1 + x2 2

⎡⎣ η (1 + x 2 ) ⎤⎦ x η (1 + x 2 ) 1 1 u2 u2 +c ∫ 1 + x2 dx = 2 ∫ udu = 2 2 + c = 4 + c = 4 coτ gxdx 59.- ∫ η sen x Solución.- Sea: u = η s e n x , du = coτ gxdx

∫

coτ gxdx du =∫ = η u + c = η η sen x + c u η sen x

223

ax 2 − bx + c dx ax 2 + bx − c Solución.ax 2 − bx + c ax 2 − bx + c ax 2 − bx + c dx = dt = t+c ∫ ax 2 + bx − c ax 2 + bx − c ∫ ax 2 + bx − c dx 61.- ∫ cos 2 5 x Solución.- Sea: u = 5 x, du = 5dx dx 1 1 1 2 2 ∫ cos2 5x = ∫ sec 5xdx = 5 ∫ sec udu = 5 τ gu + c = 5 τ g 5x + c dx 62.- ∫ 12 − 7 x Solución.- Sea: u = 12 − 7 x, du = −7dx dx 1 du 1 1 ∫ 12 − 7 x = − 7 ∫ u = − 7 η u + c = − 7 η 12 − 7 x + c 63.- ∫ τ g16 xdx 60.- ∫

Solución.- Sea: u = cos(16 x), du = −16s e n(16 x)dx s e n(16 x) 1 du 1 1 ∫ τ g16 xdx = ∫ cos(16 x) dx = − 16 ∫ u = − 16 η u + c = − 16 η cos(16 x) + c 64.- ∫ τ g 4θ sec 2 4θ dθ

Solución.- Sea: u = τ g 4θ , du = 4sec2 4θ dθ 2 ∫ τ g 4θ sec 4θ dθ =

1 1 u2 u2 τ g 2 4θ udu = + c = + c = +c 4∫ 4 2 8 8

xdx x−5 Solución.- Sea: u = x − 5 ⇒ x = u + 5, du = dx

65.- ∫

xdx u+5 u2 u2 2u 2 −1 1 1 ∫ x − 5 = ∫ u 12 du = ∫ u 2 du + 5∫ u 2 du = 3 + 5 1 + c = 3 + 10u 2 + c 2 2 2 2 ⎛ x + 10 ⎞ = u u + 10 u + c = ( x − 5) x − 5 + 10 x − 5 + c = 2 x − 5 ⎜ ⎟+c 3 3 ⎝ 3 ⎠ 7t − 2 66.- ∫ dt 7 − 2t 2 Solución.7t − 2 7tdt 2dt 7 −4tdt dt ∫ 7 − 2t 2 dt = ∫ 7 − 2t 2 − ∫ 7 − 2t 2 = − 4 ∫ 7 − 2t 2 − 2 ∫ 7 2 −t 2 7 7 − 2t 2 − 2 arcs e n 2 t + c =− 7 2 67.- ∫ (1 + x) cos xdx 3

1

3

224

Solución.- Sea: x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt

∫ (1 + x) cos

xdx = ∫ (1 + t 2 )(cos t )2tdt = 2∫ (t + t 3 )(cos t )dt = 2∫ t cos tdt + 2∫ t 3 cos tdt (∗)

Trabajando por partes: ∫ t 3 cos tdt Sea:

dv = cos tdt v = sent

u = t3

du = 3t 2 dt 3 3 2 ∫ t cos tdt = t s e n t − 3∫ t s e n tdt

Trabajando por partes: ∫ t 2 s e n tdt

dv = s e n tdt u = t2 v = − cos t du = 2tdt 2 2 ∫ t s e n tdt = −t cos t + 2∫ t cos tdt

Sea:

Trabajando por partes: ∫ t cos tdt

u =t dv = cos tdt du = dt v = sent ∫ t cos tdt = t s e n t − ∫ s e n tdt = t s e n t + cos t + c1

Sea:

(

(∗) 2 ∫ t cos tdt + 2∫ t 3 cos tdt = 2 ∫ t cos tdt + 2 t 3 s e n t − 3∫ t 2 s e n tdt

(

)

= 2 ∫ t cos tdt + 2t 3 s e n t − 6 ∫ t 2 s e n tdt = 2∫ t cos tdt + 2t 3 s e n t − 6 −t 2 cos t + 2∫ t cos tdt

)

= 2 ∫ t cos tdt + 2t s e n t + 6t cos t − 12 ∫ t cos tdt = 2t s e n t + 6t cos t − 10 ∫ t cos tdt 3

2

3

2

= 2t 3 s e n t + 6t 2 cos t − 10(t s e n t + cos t ) + c = 2t 3 s e n t + 6t 2 cos t − 10t s e n t − 10 cos t + c = 2 x 3 s e n x + 6 x cos x − 10 x s e n x − 10 cos x + c dx 68.- ∫ x( 1 + x − 1)

Solución.- Sea: (1 + x) 2 = t ⇒ 1 + x = t 2 ⇒ x = t 2 − 1, dx = 2tdt dx 2tdt ∫ x( 1 + x − 1) = ∫ (t 2 − 1)(t − 1) (∗) t A B C = + + ⇒ t = A(t − 1) 2 + B(t 2 − 1) + C (t + 1) 2 2 (t + 1)(t − 1) t + 1 t − 1 (t − 1) ⎧t = 1 ⇒ 1 = 2C ⇒ C = 1 2 ⎪ ⎪ De donde: ⎨t = −1 ⇒ −1 = 4 A ⇒ A = − 1 4 ⎪ ⎪⎩t = 0 ⇒ 0 = A − B + C ⇒ B = 1 4 ⎡ Adt ⎡ 1 dt 1 dt 1 Bdt Cdt ⎤ dt ⎤ +∫ +∫ = 2 ⎢− ∫ + ∫ + ∫ (∗) = 2 ⎢ ∫ 2⎥ 2⎥ t −1 (t − 1) ⎦ ⎣ t +1 ⎣ 4 t + 1 4 t − 1 2 (t − 1) ⎦ 1

225

=−

=

1 dt 1 dt 1 1 1 dt + ∫ +∫ = − η t +1 + η t −1 − +c 2 ∫ 2 t + 1 2 t −1 (t − 1) 2 2 t −1

1 t −1 1 1 η − +c = η t + 1 t −1 2 2

1+ x −1 1 − +c 1+ x +1 1 + x −1

dx coτ g 6 x Solución.- Sea: u = cos 6 x, du = −6s e n 6 xdx dx s e n 6x 1 du 1 1 ∫ coτ g 6 x = ∫ τ g 6 xdx = ∫ cos 6 x dx = − 6 ∫ u = − 6 η u + c = − 6 η cos 6 x + c 69.- ∫

70.- ∫ co τ g (2 x − 4)dx

Solución.- Sea: u = s e n(2 x − 4), du = 2 cos(2 x − 4)dx cos(2 x − 4) 1 du 1 1 ∫ coτ g (2 x − 4)dx = ∫ s e n(2 x − 4) dx = 2 ∫ u = 2 η u + c = 2 η (2 x − 4) + c 71.- ∫ (et − e −2t ) 2 dt Solución.t −2 t 2 2t t −2t −4 t 2t −t −4 t ∫ (e − e ) dt = ∫ (e − 2e + e )dt = ∫ e dt − 2∫ e dt + ∫ e dt

1 1 = e 2t + 2e − t − e −4t + c 2 2 ( x + 1)dx 72.- ∫ ( x + 2) 2 ( x + 3) Solución.( x + 1)dx ( x + 1) A B C ∫ ( x + 2)2 ( x + 3) ⇒ ( x + 2)2 ( x + 3) = x + 2 + ( x + 2)2 + x + 3 (∗) ⇒ x + 1 = A( x + 2)( x + 3) + B( x + 3) + C ( x + 2) 2 ⎧ x = − 2 ⇒ − 1 = B ⇒ B = −1 ⎪ De donde: ⎨ x = −3 ⇒ −2 = C ⇒ C = −2 ⎪ x = 0 ⇒ 1 = 6 A + 3B + 4C ⇒ A = 2 ⎩ (∗)

Adx

Bdx

Cdx

dx

dx

∫ x + 2 + ∫ ( x + 2) + ∫ x + 3 = 2∫ x + 2 − ∫ ( x + 2) 2

2

− 2∫

dx x+3

1 x+2 1 −2 η x+3 +c = η + +c x+2 x+3 x+2 3

=2 η x+2 +

73.- ∫ (co τ ge x )e x dx Solución.- Sea: u = s e n e x , du = (cos e x )e x dx

(cos e x )e x dx du x ∫ (coτ ge )e dx = ∫ s e n e x = ∫ u = η u + c = η s e n e + c s e nθ +θ 74.- ∫ dθ cos θ + 1 x

x

226

Solución.s e nθ +θ s e n θ dθ θ dθ − s e n θ dθ θ (cos θ − 1)dθ ∫ cos θ + 1 dθ = ∫ cos θ + 1 + ∫ cos θ + 1 = − ∫ cosθ + 1 + ∫ cos2 θ + 1 θ cos θ dθ θ dθ = − η cos θ + 1 − ∫ +∫ 2 sen θ s e n2 θ = − η cos θ + 1 − ∫ θ co τ gθ cos ecθ dθ + ∫ θ cos ec 2θ dθ (∗) Trabajando por partes: ∫ θ coτ gθ cos ecθ dθ

u =θ dv = coτ gθ cos ecθ dθ du = dθ v = − cos ecθ ∫ θ coτ gθ cos ecθ dθ = −θ cos ecθ + ∫ cos ecθ dθ = −θ cos ecθ − η cos ecθ − coτ gθ + c1

Sea:

Trabajando por partes: ∫ θ cos ec 2θ dθ Sea:

u =θ du = dθ

dv = cos ec 2θ dθ v = −t co τ gθ

∫ θ cos ec θ dθ = −θ coτ gθ + ∫ coτ gθ dθ = −θ coτ gθ + 2

η s e n θ + c2

(∗) = − η cos θ + 1 + θ cos ecθ + η cos ecθ − coτ gθ − θ coτ gθ + η s e n θ + c (cos ecθ − co τ gθ ) s e n θ + θ (cos ecθ − coτ gθ ) + c cos θ + 1 1 − cos θ ⎛ 1 − cos θ ⎞ = η +θ ⎜ ⎟+c 1 + cos θ ⎝ s e nθ ⎠ arcτ gxdx 75.- ∫ 3 (1 + x 2 ) 2 = η

Solución.- Sea: x = τ gθ ⇒ θ = arcτ gx, dx = sec 2 θ dθ , 1 + x 2 = sec θ

arcτ gxdx θ sec 2 θ dθ θ dθ = 3 ∫ (1 + x 2 ) 2 ∫ sec 3 θ = ∫ secθ = ∫ θ cos θ dθ (∗) , trabajando por partes u =θ dv = cos θ dθ Sea: du = dθ v = s e nθ x 1 = θ s e n θ − ∫ s e n θ dθ = θ s e n θ + cos θ + c = (arcτ gx) + +c 2 1+ x 1 + x2 1 = ( x arcτ gx + 1) + c 1 + x2 2 76.- ∫ x coτ g ( x )dx 5 x2 2 x2 Solución.- Sea: u = s e n , du = x cos dx 5 5 5

227

x2 x cos 2 5 dx = 5 du = 5 η u + c = 5 η s e n x + c x 2 )dx = co ( x τ g ∫ ∫ 5 x2 2∫ u 2 2 5 sen 5 77.- ∫ x 4 x 2 − 2dx Solución.- Sea: u = 4 x 2 − 2, dx = 8 xdx

(4 x 2 − 2)3 1 12 1u 2 u2 4 2 x x − dx = u du = + c = + c = +c ∫ 8∫ 83 12 12 2 1 2 2 ( x + 9) dx 78.- ∫ x4 3

3

2

Solución.- Sea: x = 3τ gθ , dx = 3sec 2 θ , x 2 + 9 = 3sec θ

1 1 dθ ( x 2 + 9) 2 dx 3sec θ 3sec 2 θ dθ 1 sec3 θ dθ 1 cos3 θ 1 cos θ dθ =∫ = ∫ = ∫ = ∫ 4 4 4 4 ∫ x4 3 τg θ 9 τg θ 9 sen θ 9 s e n4 θ cos 4 θ 1⎛ 1 1 ⎞ 1 cos ec3θ = ⎜− + = − + = − +c c c ⎟ 9 ⎝ 3 s e n3 θ ⎠ 27 s e n 3 θ 27 3

1 ⎛ x2 + 9 ⎞ x2 + 9 2 =− ⎜ x +9 +c ⎟ +c = − 27 ⎜⎝ 27 x3 x ⎟⎠ 79.- ∫ x 2 s e n 5 x3 cos x 3 dx Solución.- Sea: u = s e n x3 , du = 3x 2 cos x 3 dx 2 5 3 3 ∫ x s e n x cos x dx =

80.- ∫

1 5 1 u6 u6 s e n 6 x3 u du = + c = + c = +c 3∫ 3 6 18 18

xdx

5x2 + 7 Solución.- Sea: u = 5 x 2 + 7, du = 10 xdx

1 du 1 u 2 u2 (5 x 2 + 7) 2 5x2 + 7 = = + c = + c = + c = +c ∫ 5 x2 + 7 10 ∫ u 12 10 1 5 5 5 2 3 x dx 81.- ∫ 2 x − x−6 Solución.x3dx 7x + 6 ⎞ (7 x + 6)dx ⎛ ∫ x2 − x − 6 = ∫ ⎜⎝ x + 1 + x 2 − x − 6 ⎟⎠dx = ∫ xdx + ∫ dx + ∫ ( x − 3)( x + 2) x2 (7 x + 6)dx (∗) = + x+∫ 2 ( x − 3)( x + 2)

xdx

1

1

1

228

(7 x + 6) A B = + ⇒ 7 x + 6 = A( x + 2) + B( x − 3) ( x − 3)( x + 2) x − 3 x + 2 ⎧ x = −2 ⇒ −8 = −5B ⇒ B = 8 ⎪ 5 De donde: ⎨ ⎪⎩ x = 3 ⇒ 27 = 5 A ⇒ A = 27 5 x2 Adx Bdx x 2 27 dx 8 dx (∗) = + x + ∫ +∫ = + x+ ∫ + 2 5 x −3 5 ∫ x + 2 x−3 x+2 2 x2 27 8 = + x+ η x−3 + η x+ 2 +c 2 5 5 s e n2 θ dθ 82.- ∫ s e n 2θ e Solución.- Sea: u = s e n 2 θ , du = 2s e n θ cos θ dθ sen θ sen θ u u sen θ ∫ s e n 2θ e dθ = ∫ 2s e n θ cos θ e dθ = ∫ e du = e + c = e + c 2

2

2

dx e − 9e − x Solución.- Sea: u = e x , du = e x dx 83.- ∫

x

dx e x dx e x dx du 1 u −3 1 ex − 3 η η = = = = + c = +c ∫ e x − 9e − x ∫ e 2 x − 9 ∫ ( e x ) 2 − 9 ∫ u 2 − 9 6 u + 3 ex + 3 6 dw 1 + cos w Solución.dw (1 − cos w)dw (1 − cos w)dw cos wdw 2 ∫ 1 + cos w = ∫ 1 − cos2 w = ∫ s e n 2 w = ∫ cos ec wdw − ∫ s e n 2 w (s e n w) −1 1 = − coτ gw − + c = − coτ gw + + c = − coτ gw + cos ecw + c −1 sen w Nota: Este ejercicio esta desarrollado diferente en el capitulo 8. 84.- ∫

85.- ∫ e

⎛ 1−s e n 2 x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠

2

(cos3 x s e n x )dx 2 2 2

⎛ 1− s e n2 x 2 ⎞ 2 x 3 x Solución.- Sea: u = ⎜ ⎟ , du = − cos s e n dx 3 9 2 2 ⎝ ⎠

∫e

⎛ 1−s e n 2 x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠

86.- ∫

2

9 2 2 (cos3 x s e n x )dx = − ∫ eu du = − eu + c = − e 2 2 2 9 9

⎛ 1−s e n 2 x ⎞ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2

+c

x3 dx 19 − x 2

Solución.- Sea: x = 19 s e n θ , dx = 19 cos θ dθ , 19 − x 2 = 19 cos θ

∫

x3 dx 19 − x

2

=∫

( 19)3 s e n 3 θ 19 cos θ dθ 19 cos θ

= 19 19 ∫ s e n θ (1 − cos 2 θ )dθ

229

= 19 19 ∫ s e n θ dθ − 19 19 ∫ s e n θ cos 2 θ dθ = −19 19 cos θ + 19 − x 2

= −19 19

+

19

19 19 3

(19 − x 2 )3 ( 19)

19 19 cos3 θ + c 3

+ c = −19 19 − x 2 + (19 − x 2 )3 + c

3

s e n ϕ dϕ 1 cos 2 ϕ Solución.- Sea: u = cos ϕ , du = − s e n ϕ dϕ

87.- ∫

s e n ϕ dϕ du u2 1 −1 2 = − = − = − + c = −2u 2 + c = −2 cos ϕ + c u du 1 1 ∫ cos 2 ϕ ∫ u 2 ∫ 1 2 2 88.- ∫ (sec ϕ + τ gϕ ) dϕ 1

Solución.2 2 2 ∫ (sec ϕ + τ gϕ ) dϕ = ∫ (sec ϕ + 2sec ϕτ gϕ + τ g ϕ )dϕ

= ∫ (sec 2 ϕ + 2sec ϕτ gϕ + sec 2 ϕ − 1)dϕ = ∫ (2sec 2 ϕ + 2sec ϕτ gϕ − 1)dϕ = 2 ∫ sec2 ϕ dϕ + 2∫ sec ϕτ gϕ dϕ − ∫ dϕ = 2τ gϕ + 2sec ϕ − ϕ + c

89.- ∫

dt t (4 + η 2t )

1

2

dt , además: u = 2τ gθ , du = 2sec 2 θ dθ , 4 + u 2 = 2sec θ t du 2 sec 2 θ dθ =∫ = ∫ sec θ dθ = η sec θ + τ gθ + c 2sec θ 4 + u2

Solución.- Sea: u = η t , du =

∫ t (4 + = η

dt

η 2t )

1

2

=∫

4 + u2 u + +c = η 2 2

4 + u2 + u +c = η 2

4 + η 2t + η t +c 2

90.- ∫ aθ b 2θ c3θ dθ Solución.- Sea: ab 2 c3 = k , θ 2θ 3θ θ θ 2 θ 3 θ 2 3 θ ∫ a b c dθ = ∫ a (b ) (c ) dθ = ∫ (ab c ) dθ = ∫ k dθ =

kθ

ηk

+c =

(ab 2 c3 )θ +c η (ab 2 c3 )

91.- ∫ s e n 2 ϕ cos3 ϕ dϕ 1

Solución.1 1 1 3 2 2 ∫ s e n 2 ϕ cos ϕ dϕ = ∫ s e n 2 ϕ cos ϕ cos ϕ dϕ = ∫ s e n 2 ϕ (1 − s e n ϕ ) cos ϕ dϕ

sen 2 ϕ sen 2 ϕ − +c 3 7 2 2 3

= ∫ s e n 2 ϕ cos ϕ dϕ − ∫ s e n 2 ϕ cos ϕ dϕ = 5

1

2s e n 2 ϕ 2s e n 2 ϕ − +c 3 7 3

=

7

7

230

sec2 θ dθ 9 + τ g 2θ Solución.- Sea: u = τ gθ , du = sec 2 θ dθ 92.- ∫

sec2 θ dθ du 1 u 1 (τ gθ ) ∫ 9 + τ g 2θ = ∫ 9 + u 2 = 3 arcτ g 3 + c = 3 arcτ g 3 + c dx 93.- ∫ 2x e − 16 du Solución.-Sea: u = e x , du = e x dx ⇒ dx = u Además: u = 4sec θ , du = 4sec θτ gθ dθ , u 2 − 16 = 4τ gθ du 4sec θ τ gθ dθ 1 dx du 1 u = ∫ e2 x − 16 ∫ u 2 − 16 = ∫ u u 2 − 16 = ∫ 4secθ 4 τ gθ = 4 ∫ dθ = 4 θ + c

1 u 1 ex = arc sec + c = arc sec + c 4 4 4 4 2s 2s 94.- ∫ (e − 1)(e + 1)ds Solución.-

1 − 1)(e 2 s + 1)ds = ∫ ⎡⎣ (e 2 s ) 2 − 1⎤⎦ds = ∫ e 4 s ds − ∫ ds = e 4 s + s + c 4 dx 95.- ∫ 2 5x + 8x + 5 Solución.dx dx 1 dx ∫ 5 x 2 + 8 x + 5 = ∫ 5( x 2 + 8 x + 1) = 5 ∫ x2 + 8 x + 1(∗) , completando cuadrados: 5 5 8 16 16 x2 + 8 x + 1 = ( x2 + x + ) + 1 − = ( x + 4 )2 + 9 = ( x + 4 )2 + ( 3 )2 5 5 25 5 5 5 25 25 x+4 1 dx 1 1 5 + c = 1 arcτ g 5 x + 4 + c arc τ g (∗) = ∫ = 2 2 3 3 3 5 (x + 4 ) + ( 3 ) 5 3 5 5 5 5

∫ (e

2s

x3 + 1 dx x3 − x Solución.x3 + 1 x +1 ⎞ x +1 ( x + 1)dx ⎛ ∫ x3 − xdx = ∫ ⎜⎝1 + x3 − x ⎟⎠ dx = ∫ dx + ∫ x3 − x dx =x + ∫ x( x 2 − 1) ( x + 1) dx dx Adx Bdx = x+∫ (∗) = x+∫ = x+∫ +∫ x( x − 1) x x −1 x ( x + 1) ( x − 1) 96.- ∫

1 A B = + ⇒ 1 = A( x − 1) + Bx x( x − 1) x x − 1

231

⎧ x = 0 ⇒ 1 = − A ⇒ A = −1 De donde: ⎨ ⎩x = 1 ⇒ 1 = B ⇒ B = 1 dx dx x −1 (∗) = x − ∫ + ∫ = x − η x + η x −1 + c = x + η +c x x −1 x 97.- ∫ (arcs e n 1 − x 2 )0 dx Solución.-

∫ (arcs e n 98.- ∫

1 − x 2 )0 dx = ∫ dx = x + c

3dy 1+ y

Solución.-Sea: y 2 = t ⇒ y = t 2 , dy = 2tdt 3dy dy 2tdt tdt 1 ⎞ dt ⎛ ∫ 1 + y = 3∫ 1 + y = 3∫ 1 + t = 6∫ 1 + t = 6∫ ⎝⎜1 − 1 + t ⎠⎟dt = 6∫ dt − 6∫ 1 + t 1

= 6t − 6 η 1 + t + c = 6 y − 6 η 1 + y + c = 6

(

)

y − η 1+ y + c

99.- ∫ x(1 + x) 5 dx 1

Solución.-Sea: u = 1 + x ⇒ x = u − 1, du = dx 11

6

u 5 u5 x (1 + x ) dx = ( u − 1) u du = ( u − u ) du = u du − u du = − +c ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 11 6 5 5 2 2 ⎛ 5u 5u ⎞ 15 ⎛ 5(1 + x) 5(1 + x ) ⎞ 1 5 =⎜ − ⎟u + c = ⎜ − ⎟ (1 + x) + c 11 6 11 6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dϕ 100.- ∫ 2 a s e n 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ Solución.-Sea: u = τ gϕ , du = sec2 ϕ dϕ 1

5

1

5

dϕ ∫ a 2 s e n 2 ϕ + b2 cos2 ϕ = ∫

6

5

1

5

s e n 4 ϕ dϕ

6

5

=∫

1

5

s e n 2 ϕ dϕ du =∫ 2 2 2 2 2 (a τ g ϕ + b ) (a u + b 2 )

1 (a 2τ g 2ϕ + b 2 ) cos 2 ϕ 1 du 1 1 u 1 au 1 ⎛ aτ gϕ ⎞ +c = +c = arcτ g arcτ g arcτ g ⎜ = 2∫ 2 = 2 ⎟+c 2 b a u + (b ) ab b ab a b ⎝ b ⎠ a a a tdt 101.- ∫ 1 (2t + 1) 2 Solución.dt dv = u =t Sea: 2t + 1 du = dt v = 2t + 1

232

tdt 1 (2t + 1) 2 (2t + 1) 2 + = + − +c 2 1 2 1 2 1 2 1 = t t + − t + dt = t t + − c t t 1 ∫ (2t + 1) 2 ∫ 3 3 2 2 3

3

2t + 1 ⎛ 2t + 1 ⎞ = 2t + 1 ⎜ t − ( t − 1) + c ⎟+c = 3 ⎠ 3 ⎝ s η s ds 102.- ∫ 1 (1 − s 2 ) 2 Solución.sds u= η s dv = 1 (1 − s 2 ) 2 , además: s = s e n θ , ds = cos θ , 1 − s 2 = cos θ Sea: ds du = 1 v = −(1 − s 2 ) 2 s

s η s ds

∫ (1 − s

2

)

1

2

= − 1− s2 η s + ∫

= − 1 − s2 η s + ∫

1 − s2 cos θ cos θ dθ ds = − 1 − s 2 η s + ∫ s s e nθ

(1 − s e n 2 θ )dθ = − 1 − s 2 η s + ∫ cos ecθ dθ − ∫ s e n θ dθ s e nθ

= − 1 − s 2 η s + η cos ecθ − co τ gθ + cos θ + c = − 1 − s2 η s + η

1 − 1 − s2 + 1− s2 + c s

103.- ∫ (2 cos α s e n α − s e n α )dα Solución.-

∫ (2 cos α s e n α − s e n 2α )dα = ∫ (s e n 2α − s e n 2α ) 104.- ∫ t η tdt 4

dα = ∫ 0d α = c

2

dv = t 4 dt

u = η 2t Sea:

0

du = 2 η t

dt t

t v= 5

5

t5 2 2 4 η t − ∫ t η tdt (∗) , trabajando por partes nuevamente: 5 5 u = ηt dv = t 4 dt 5 dt t du = v= t 5

4 2 ∫ t η tdt =

Sea:

(∗) =

=

⎞ t 5 2 2t 5 t5 2 2 ⎛ t5 1 2 t5 η t − ⎜ η t − ∫ t 4 dt ⎟ = η t− ηt + +c 5 5⎝ 5 5 25 25 5 ⎠ 5

t 5 2 2t 5 2t 5 η t− ηt + +c 5 25 125 11

105.- ∫ u 2 (1 + v) dx

233

Solución.2 11 2 11 2 11 ∫ u (1 + v) dx = u (1 + v) ∫ dx = u (1 + v) x + c

(ϕ + s e n 3ϕ )dϕ 3ϕ 2 − 2 cos 3ϕ Solución.-Sea: u = 3ϕ 2 − 2 cos 3ϕ , du = 6(ϕ + s e n 3ϕ )dϕ (ϕ + s e n 3ϕ )dϕ 1 du 1 1 2 ∫ 3ϕ 2 − 2 cos 3ϕ = 6 ∫ u = 6 η u + c = 6 η 3ϕ − 2 cos 3ϕ + c

106.- ∫

( y 2 + 1)dy 107.- ∫ 1 y 2 ( y + 1) 1

Solución.-Sea: y 2 = t ⇒ y = t 2 , dy = 2tdt 1

( y 2 + 1)dy (t + 1)2 t dt (t + 1)dt 2tdt dt 2 ∫ y 12 ( y + 1) = ∫ t (t 2 + 1) = 2∫ (t 2 + 1) = ∫ (t 2 + 1) + ∫ (t 2 + 1) = η t + 1 + 2 arcτ gt + c 1

= η y + 1 + 2 arcτ g y + c ds 1 s ( s − 4) 2 Solución.-Sea: s = 2sec θ , ds = 2sec θτ gθ dθ

108.- ∫

∫ s (s 3

3

2

2 sec θ τ gθ dθ 1 dθ ds 1 1 = ∫ = ∫ cos 2 θ dθ = ∫ (1 + cos 2θ )dθ =∫ 1 2 3 2 8 sec θ 8 16 − 4) 8sec θ 2 τ gθ

2

1 1 1⎛ s e n 2θ θ + s e n 2θ + c = ⎜ θ + 16 32 16 ⎝ 2 1⎛ 2 s2 − 4 ⎞ = ⎜ arc sec s + ⎟+c 2 ⎟ 16 ⎜⎝ s2 ⎠ 2 2 109.- ∫ u (1 + u ) du

=

1 ⎞ ⎟ + c = (θ + s e n θ cos θ ) + c 16 ⎠

Solución.5 9 1 2 2 2 4 ∫ u (1 + u ) du = ∫ u (1 + 2u +u )du = ∫ u 2 du + 2∫ u 2 du + ∫ u 2 du 3

7

11

3

7

11

u2 u2 u 2 2u 2 4u 2 2u 2 2u u 4u 3 u 2u 5 u = +2 + +c = + + +c = + + +c 3 7 11 3 7 11 3 7 11 2 2 2 3 ⎛ 2u 4u 2u 5 ⎞ = u⎜ + + ⎟+c 7 11 ⎠ ⎝ 3 ( x3 + x 2 )dx x2 + x − 2 Solución.( x3 + x 2 )dx 2x 2 xdx x2 2 xdx ⎛ ⎞ = x + dx = xdx + = ∫ x2 + x − 2 ∫ ⎜⎝ x 2 + x − 2 ⎟⎠ ∫ ∫ ( x + 2)( x − 1) 2 + ∫ ( x + 2)( x − 1)

110.- ∫

234

x2 2 xdx x2 Adx Bdx (∗) +∫ = +∫ +∫ 2 ( x + 2)( x − 1) 2 x+2 x −1 2x A B = + ⇒ 2 x = A( x − 1) + B( x + 2) ( x + 2)( x − 1) x + 2 x − 1 ⎧ x = 1 ⇒ 2 = 3B ⇒ B = 2 ⎪ 3 De donde: ⎨ ⎪⎩ x = −2 ⇒ −4 = −3 A ⇒ A = 4 3 x 2 4 dx 2 dx x2 4 2 + ∫ = + η x + 2 + η x −1 + c (∗) = + ∫ 2 3 x + 2 3 x −1 2 3 3 2 x 2 = + η ( x + 2) 2 ( x − 1) + c 2 3 111- ∫ adb =

Solución.∫ adb = a ∫ db = ab + c

dx

112.- ∫

x2 − 2 x − 8 Solución.Completando cuadrados se tiene: x 2 − 2 x − 8 = ( x 2 − 2 x + 1) − 9 = ( x − 1) 2 − 32

Sea: x − 1 = 3sec θ , dx = 3sec θτ gθ dθ , ( x − 1) 2 − 32 = 3τ gθ , luego:

∫

dx x2 − 2 x − 8

dx

=∫

( x − 1) 2 − 32

=∫

3 sec θ τ gθ dθ 3 τ gθ

= ∫ sec θ dθ = η sec θ + τ gθ + c

x −1 x2 − 2x − 8 = η + +c 3 3 113.- ∫

( x + 1)dx

2 x − x2 Solución.Completando cuadrados se tiene: 2 x − x 2 = −( x 2 − 2 x) = −( x 2 − 2 x + 1 − 1) = −( x 2 − 2 x + 1) + 1 = 1 − ( x 2 − 1)

Sea: x − 1 = s e n θ , dx = cos θ dθ , 1 − ( x − 1) 2 = cos θ , luego: ( x + 1)dx 1 (2 − 2 x) − 4 1 (2 − 2 x)dx dx ∫ 2 x − x 2 = − 2 ∫ 2 x − x 2 dx = − 2 ∫ 2 x − x 2 + 2∫ 2 x − x2 dx dx = − 2 x − x 2 + 2∫ = − 2 x − x 2 + 2∫ 2 2x − x 1 − ( x − 1) 2

= − 2 x − x 2 + 2∫

cos θ dθ = − 2 x − x 2 + 2θ + c = − 2 x − x 2 + 2 arcs e n( x − 1) + c cos θ

114.- ∫ f ( x) f ´( x)dx

235

Solución.- Sea: u = f ( x), du = f ´( x)dx

[ f ( x) ] + c u2 +c = 2 2 2

∫

f ( x) f ´( x)dx = ∫ udu =

x3 + 7 x 2 − 5 x + 5 dx x2 + 2x − 3 Solución.x3 + 7 x 2 − 5 x + 5 20 − 12 x ⎞ (20 − 12 x)dx ⎛ ∫ x 2 + 2 x − 3 dx = ∫ ⎜⎝ x + 5 + x2 + 2 x − 3 ⎟⎠dx = ∫ xdx + 5∫ dx + ∫ x 2 + 2 x − 3 (20 − 12 x)dx x 2 Adx B 5 xdx + dx + ∫ ∫ ∫ ( x + 3)( x − 1) = 2 + 5 x + ∫ x + 3 + ∫ x − 1(∗) 20 − 12 x = A( x − 1) + B( x + 3) ⎧ x = 1 ⇒ 8 = 4B ⇒ B = 2 De donde: ⎨ ⎩ x = −3 ⇒ 56 = −4 A ⇒ A = −14 115.- ∫

(∗) =

x2 dx dx x 2 + 5 x − 14∫ + 2∫ = + 5 x + 14 η x + 3 + 2 η x − 1 + c x+3 x −1 2 2

116.- ∫ e

η 1+ x + x 2

dx

Solución.-

∫e

η 1+ x + x 2

117.- ∫

x 2 x3 dx = ∫ (1 + x + x )dx = x + + + c 2 3 ( x − 1)dx 2

x2 − 4 x + 3 Solución.Completando cuadrados se tiene: x 2 − 4 x + 3 = x 2 − 4 x + 4 − 1 = ( x − 2) 2 − 1 Sea: x − 2 = sec θ , dx = sec θτ gθ dθ , ( x − 2)2 − 1 = τ gθ , luego: ( x − 1)dx 1 (2 x − 4) + 2 1 (2 x − 4)dx dx ∫ x 2 − 4 x + 3 = 2 ∫ x 2 − 4 x + 3 dx = 2 ∫ x 2 − 4 x + 3 + ∫ x 2 − 4 x + 3 dx dx = x2 − 4 x + 3 + ∫ = x2 − 4x + 3 + ∫ 2 ( x − 2) 2 − 1 x − 4x + 3

= x2 − 4x + 3 + ∫

sec θ τ gθ dθ

τ gθ

= x 2 − 4 x + 3 + ∫ sec θ dθ

= x 2 − 4 x + 3 + η sec θ + τ gθ + c

= x2 − 4x + 3 + η x − 2 + x2 − 4x + 3 + c 118.- ∫

xdx

x + 4x + 5 Solución.2

236

Completando cuadrados se tiene: x 2 + 4 x + 5 = x 2 + 4 x + 4 + 1 = ( x + 2) 2 + 1 Sea: x + 2 = τ gθ , dx = sec2 θ dθ , ( x + 2) 2 + 1 = sec θ , luego:

∫

xdx x2 + 4 x + 5

=∫

xdx ( x + 2) 2 + 1

=∫

(τ gθ − 2) sec 2 θ dθ = ∫ τ gθ sec θ dθ − 2∫ sec θ dθ sec θ

= sec θ − 2 η sec θ + τ gθ + c = x 2 + 4 x + 5 − 2 η

x2 + 4 x + 5 + x + 2 + c

4dx x + 4x Solución.4dx (3x 2 + 4) − 3x 2 (3 x 2 + 4)dx x 2 dx 3 dx = = − ∫ x3 + 4 x ∫ x3 + 4 x ∫ x3 + 4 x ∫ x3 + 4 x 3 2 xdx 3 = η x3 + 4 x − ∫ 2 = η x3 + 4 x − η x 2 + 4 + c 2 x +4 2 2 x( x + 4) x = η 2 +c = η +c 3 2 2 ( x + 4) x +4 coτ gxdx 120.- ∫ η sen x 119.- ∫

3

Solución.- Sea: u = η s e n x , du = coτ gxdx

∫

coτ gxdx du =∫ = η u + c = η η sen x + c u η sen x

121.- ∫ η exp x − 1dx Solución.-

2( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) 2 x − 1dx = +c = +c 3 3 2 3

∫

η exp x − 1dx = ∫ 1 + x3 dx x

122.- ∫

Solución.- Sea: 1 + x3 = t ⇒ t 2 = 1 + x3 ⇒ x = 3 t 2 − 1, dx =

∫

1+ x dx = ∫ x 3

t

2tdt 2 1 ⎞ 2 2 dt 3(t 2 − 1) 3 2 t 2 dt 2 ⎛ = ∫ 2 = ∫ ⎜1 + 2 ⎟dt = ∫ dt + ∫ 2 1 2 3 3 t −1 3 ⎝ t −1 ⎠ 3 3 t −1 (t − 1)

2 1 t −1 2 1 1 + x3 + η = t+ η +c = 3 3 3 3 t +1 123.- ∫

2tdt 2 3(t 2 − 1) 3

1 + x3 − 1 1 + x3 + 1

+c

x −1 1 dx x +1 x

237

Solución.- Sea:

∫

x −1 x −1 1+ t2 4tdt , dx = = t ⇒ t2 = ⇒ x(1 − t 2 ) = t 2 ⇒ x = 2 1− t (1 − t 2 ) 2 x +1 x +1

t 2 (1 − t 2 ) dt (1 − t 2 ) 4tdt x −1 1 t 2 dt = 4 dx = ∫ t 4 = ∫ (1 + t 2 )(1 − t 2 ) 2 ∫ (1 + t 2 )(1 − t 2 ) (1 + t 2 ) (1 − t 2 ) 2 x +1 x

t 2 dt Bdt Ct + D ⎤ ⎡ Adt = 4 ⎢∫ +∫ +∫ dt ⎥ (∗) 2 (1 + t )(1 − t )(1 + t ) 1− t 1+ t2 ⎣ 1+ t ⎦ 2 t A B Ct + D = + + 2 (1 + t )(1 − t )(1 + t ) 1 + t 1 − t 1 + t 2 ⇒ t 2 = A(1 − t )(1 + t 2 ) + B(1 + t )(1 + t 2 ) + (Ct + D)(1 − t 2 ) ⎧t = 1 ⇒ 1 = 4 B ⇒ B = 1 4 ⎪ ⎪ ⎨t = −1 ⇒ 1 = 4 A ⇒ A = 1 4 De donde: ⎪ ⎪⎩t = 0 ⇒ 0 = A + B + D ⇒ D = − 1 2 t = 2 ⇒ 4 = −5 A + 15B + (2C + D)(−3) ⇒ C = 0 dt dt dt ⎛ 1 dt 1 dt 1 dt ⎞ (∗) = 4 ⎜ ∫ + ∫ − ∫ =∫ −∫ − 2∫ 2 ⎟ 1+ t 1+ t2 t −1 ⎝ 4 1+ t 4 1− t 2 1+ t ⎠ t +1 = η t + 1 − η t − 1 − 2 arcτ gt + c = η − 2 arcτ gt + c t −1 = 4∫

x +1 +1 x +1 x −1 + x +1 x +1 = η x −1 − 2 arcτ g +c = η − 2 arcτ g +c x −1 x −1 x +1 x −1 − x + 1 −1 x −1 s e n xdx 124.- ∫ 1 + s e n x + cos x 2z 1− z2 x 2dz Solución.- Sea: s e n x = , cos , z = τ g , dx = x = 2 2 1+ z 1+ z 2 1+ z2 ⎛ 2 z ⎞⎛ 2 ⎞ 4z dz ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ s e n xdx + z + z 1 1 ⎝ ⎠⎝ ⎠ dz = 1+ z2 = ∫ 1 + s e n x + cos x ∫ ⎛ 2 z ⎞ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ∫ 1 + z 2 + 2 z + 1 − z 2 1+ ⎜ 2 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎝ 1+ z ⎠⎝ 1+ z ⎠ 4 zdz 2 zdz Adz Bz + C ∫ (1 + z 2 )(2 + 2 z ) = ∫ (1 + z )(1 + z 2 ) = ∫ 1 + z + ∫ 1 + z 2 dz (∗) 2z A Bz + C = + 2 (1 + z )(1 + z ) 1 + z 1 + z 2 ⎧ z = −1 ⇒ −2 = 2 A ⇒ A = −1 ⎪ De donde: ⎨ z = 0 ⇒ 0 = A + C ⇒ C = 1 ⎪ z = 1 ⇒ 2 = 2 A + 2 B + 2C ⇒ B = 1 ⎩

238

(∗) = − ∫

dz z +1 1 2 zdz dz +∫ dz = − η 1 + z + ∫ 2 +∫ 2 2 1+ z 1+ z 2 z +1 z +1

= − η 1+ z +

= η 125.- ∫

1 η z 2 + 1 + arcτ gz + c = η 2

τ g 2 x 2 +1 τ g x 2 +1

z2 +1 + arcτ gz + c z +1

+ arcτ gz + c

dx 3 + 2 cos x

Solución.- Sea: s e n x =

dx ∫ 3 + 2 cos x = ∫

2z 1− z2 x 2dz , cos , z = τ g , dx = x = 2 2 1+ z 1+ z 2 1+ z2

2z dz z 2dz 2 1+ z2 dz = ∫ arcτ g = 2∫ = +c 2 2 2 2 3 + 3z + 2 − 2 z 5+ z ⎛ 1− z ⎞ 5 5 3 + 2⎜ 2 ⎟ ⎝ 1+ z ⎠

⎛ 5 2 5 x⎞ τ g ⎟⎟ + c arcτ g ⎜⎜ 5 2⎠ ⎝ 5 xdx 126.- ∫ 2 x − 2x + 5 Solución.Completando cuadrados se tiene: x 2 − 2 x + 5 = x 2 − 2 x + 1 + 4 = ( x − 1) 2 + 22 , =

Sea: x − 1 = 2τ gθ , dx = 2sec 2 θ dθ , ( x − 1) 2 + 22 = 2sec θ ,luego: xdx 1 (2 x − 2 + 2)dx 1 (2 x − 2)dx dx ∫ x2 − 2 x + 5 = 2 ∫ x2 − 2 x + 5 = 2 ∫ x2 − 2 x + 5 + ∫ x2 − 2 x + 5 dx dx = x2 − 2x + 5 + ∫ = x2 − 2x + 5 + ∫ ( x − 1) 2 + 22 x2 − 2 x + 5

= x2 − 2x + 5 + ∫

2 sec 2 θ dθ = x 2 − 2 x + 5 + ∫ sec θ dθ 2sec θ

= x 2 − 2 x + 5 + η sec θ + τ gθ + c

127.- ∫

(1 + s e n x)dx s e n x(2 + cos x)

Solución.- Sea: s e n x =

2z 1− z2 x 2dz , cos , z = τ g , dx = x = 2 2 1+ z 1+ z 2 1+ z2

239

2z ⎞ 2 ⎛ ⎜1 + 2 ⎟ (1 + s e n x)dx (1 + z 2 + 2 z )dz ⎝ 1+ z ⎠ 1+ z2 = dz = ∫ s e n x(2 + cos x) ∫ 2 z ⎛ 1 − z 2 ⎞ ∫ 2 z (1 + z 2 ) + z (1 − z 2 ) ⎜2+ 2 ⎟ 1+ z2 ⎝ 1+ z ⎠

=∫

( z 2 + 2 z + 1)dz ( z 2 + 2 z + 1)dz Adz Bz + C = =∫ +∫ 2 dz (∗) } 3 2 ∫ ( z + 3) z + 3z z ( z + 3) z

( z 2 + 2 z + 1) A Bz + C = + 2 ⇒ z 2 + 2 z + 1 = A( z 2 + 3) + ( Bz + C ) z 2 z ( z + 3) z ( z + 3) 2 ⇒ Az + 3 A + Bz 2 + Cz ⇒ ( A + B ) z 2 + Cz + 3 A , igualando coeficientes se tiene:

⎛ A +B ⎜ ⎜ ⎜ 3A ⎝

=1 ⎞ ⎟ C = 2⎟ ⇒ A = 1 , B = 2 ,C = 2 3 3 = 1 ⎟⎠

2 z+2 1 dz 1 dz 1 2 zdz dz dz = ∫ + ∫ 2 + 2∫ 2 (∗) = ∫ + ∫ 32 3 z ( z + 3) 3 z 3 ( z + 3) ( z + 3) 2 ⎛τ g x ⎞ 1 1 2 2 ⎟+c arcτ g ⎜ = η τ g x + η τ g2 x + 3 + 2 2 3 3 ⎜ 3 3 ⎟ ⎝ ⎠ dx 128.- ∫ 4 x +4 Solución.- Sea: x 4 + 4 = x 4 + 4 x 2 + 4 − 4 x 2 = ( x 2 + 2) 2 − (2 x) 2 = ( x 2 + 2 x + 2)( x 2 − 2 x + 2) dx dx ( Ax + B )dx (Cx + D)dx ∫ x4 + 4 = ∫ ( x2 + 2 x + 2)( x 2 − 2 x + 2) = ∫ ( x 2 + 2 x + 2) + ∫ ( x 2 − 2 x + 2) (∗) 1 ( Ax + B ) (Cx + D) = 2 + 2 4 ( x + 4) ( x + 2 x + 2) ( x − 2 x + 2) 1 = ( Ax + B)( x 2 − 2 x + 2) + (Cx + D)( x 2 + 2 x + 2) 1 = ( A + C ) x3 + (−2 A + B + 2C + D) x 2 + (2 A − 2 B + 2C + 2 D) x + (2 B + 2 D) Igualando coeficientes se tiene: A + C =0⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ −2 A + B + 2C + D = 0 ⎟ ⇒ A = 1 , B = 1 , C = − 1 , D = 1 8 4 8 4 ⎜ 2 A − 2 B + 2C + 2 D = 0 ⎟ ⎜ ⎟ 2B + 2 D = 1⎠ ⎝ 1 ( x + 2)dx 1 ( x − 2)dx (∗) = ∫ 2 − ∫ 2 8 ( x + 2 x + 2) 8 ( x − 2 x + 2) 1 ( x + 1)dx 1 dx 1 ( x − 1)dx 1 dx = ∫ + ∫ − ∫ + ∫ 2 2 2 8 ( x + 1) + 1 8 ( x + 1) + 1 8 ( x − 1) + 1 8 ( x − 1) 2 + 1 1 1 1 1 = η x 2 + 2 x + 2 + arcτ g ( x + 1) − η x 2 − 2 x + 2 + arcτ g ( x − 1) + c 16 8 16 8

240

=

1 x2 + 2x + 2 1 η 2 + [ arcτ g ( x + 1) + arcτ g ( x − 1) ] + c 16 x − 2x + 2 8

241

BIBLIOGRAFIA

AYRES Frank, Cálculo Diferencial e Integral Ed libros Mac Graw Hill- Colombia 1970 Demidovich B, Ejercicios y problemas de análisis matemático Ed Mir Moscú 1968 Ortiz Héctor, La integral Indefinida y Técnicas de Integración U.N.E.T San Cristóbal- Venezuela 1977 Piscunov N, Cálculo Diferencial e Integral Ed Montaner y Simón, S.A Barcelona 1970 Protter Monrey, Cálculo y Geometría Analítica- Fondo Educativo InteramericanoEEUU 1970 Takeuchi yu, Cálculo II- Editado por el Autor- Bogota 1969 Thomas G.B, Cálculo infinitesimal y Geometría Analítica Ed.Aguilar-Madrid 1968

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