EJERCICIOS DEL PARCIAL # 2 ECONOMIA II UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARIBE FACULTAD DE INGENIERIA GRUPO: AD FORMULAS: 𝑉𝑃 = 𝐴 [
(1 + 𝑖)𝑛 − 1 ] (1 + 𝑖)𝑛 𝑖
(1 + 𝑖)𝑛 𝑖 𝐴 = 𝑃[ ] (1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑉𝐹 = 𝐴 [ ] 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 1 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑉𝐹 = 𝐴 [ ] − 𝐺[ ][ − 𝑛] 𝑖 𝑖 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 1 (1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑛 𝑉𝑃 = 𝐴 [ ] + [ ] + 𝐺 − ]] [𝐴 [ ][ 𝑛 𝑛 𝑛 (1 + 𝑖) 𝑖 (1 + 𝑖) 𝑖 (1 + 𝑖) 𝑖 (1 + 𝑖)𝑛 𝑖
1. En México se anunciaba hace muchos años: "Invierta en Bonos del
Ahorro Nacional, que duplican su valor a los 10 años". ¿Cuál era la tasa de interés anual que pagaban los BAN? n = 10 años. VF = 2VP VP(1 + i)n = 2VP (1 + i)n = 2 n
n
√(1 + i)n = √2 10
1 + i = √2 10
i = √2 − 1 i = (0.071774) ∗ 100 𝐢 = 𝟕. 𝟏𝟕𝟕𝟒% 𝐚𝐧𝐮𝐚𝐥 2. Si en un banco se ahorran $75 cada año, a un tasa de interés de 5%
capitalizada anualmente, ¿cuánto se tendrá al final de 8 años?
i = 5% A = $75 anuales (1 + i)n − 1 VF = A [ ] i (1 + 5%)8 − 1 VF = $75 [ ] 5% VF = $75(7.549) 𝐕𝐅 = $𝟕𝟏𝟔. 𝟏𝟕 3. Una persona ahorró durante cuatro años, al finalizar cada uno de
ellos, $125 en un banco que pagaba 10% de interés anual. Inmediatamente después de hacer su cuarto depósito, el banco bajó la tasa de interés a 8%. Luego de hacer el quinto depósito y hasta el décimo, el banco mantuvo la tasa inicial de 10% anual. ¿De cuánto dispondrá el ahorrador al final de los 10 años, si durante ese tiempo mantuvo constante su ahorro de $125 anual?
VF1−4 = A [
(1 + i)n − 1 (1 + 10%)4 − 1 ] = $125 [ ] = $125[4.641] = $580.125 i 10% VF4−5 = $580.125(1 + 8%) + 125 = $751.535
(1 + 10%)6 − 1 VF5−10 = $125 [ ] = $125[7.716] = $964.500 10% VF = $751.535(1 + 10%)5 + 964.500 VF = $1210.35 + 964.500
𝐕𝐅 = 𝟏𝟗𝟕𝟑. 𝟒𝟗 4. Una persona pide un préstamo hipotecario por $400000 con un
interés de 24% anual con capitalización mensual, para ser pagado en 60 mensualidades iguales, realizando el primer pago un mes después de hacer el trato. Justo después de pagar la mensualidad 24, el interés del préstamo disminuye a 18% anual capitalizado mensualmente y con el nuevo interés paga otras 24 mensualidades. Inmediatamente después de pagar la mensualidad 48, el interés sube nuevamente a 24% anual con capitalización mensual. Calcule el valor de cada una de las últimas 12 mensualidades que se deban pagar con un interés de 24% anual capitalizado mensualmente, para saldar la deuda por completo.
FF=0
(1 + 2%)11 − 1 ] (1 + 1.5%) − 1 2%(1 + 2%)11 [ ] A 24 (1 + 2%) − 1 1.5%(1 + 1.5%)23 (1 + 1.5%)24 400000 = A [ ] + A + (1 + 2%)23 (1 + 2%)24 2%(1 + 2%)24 23
[
400000 = A(19.0125) + A(12.2721) + A(8.2459) 𝐕𝐏 = $𝟏𝟎𝟏𝟏𝟖. 𝟕𝟔
5. Calcule P en el siguiente diagrama de flujo si i = 10%.
Vp =
50 70 90 + + 2 4 (1 + 10%) (1 + 10%) (1 + 10%)6 Vp = 41.3223 + 47.8109 + 50.8026 𝐕𝐩 = 𝟏𝟑𝟗. 𝟗𝟑
6. Calcule B del siguiente diagrama de flujo, si i = 8%
i = 8% (1 + 0.08)3 − 1 (1 + 0.08)3 − 1 1 B(1 + 0.08) + 30 [ ] (1 + 0.08) − B + 40 [ ] 0.08 0.08(1 + 0.08)3 B + =0 (1 + 0.08)4 4
B(1.3604) − B + B(0.7350) = −105.18 − 103.07 B(1.0954) = −208.25 B=−
208.25 1.0954
𝐁 = −𝟏𝟗𝟎. 𝟏𝟏 7.
Un matrimonio fue a una tienda a comprar ropa a crédito por un valor de $5000. La tienda ofrece dos planes de pago: en el primer plan se realizan 50 pagos semanales de $127.57 cada uno, haciendo el primer pago una semana después de la compra. El segundo plan de pago consiste en dar un enganche de 20% del valor de la compra y realizar 38 pagos semanales de $127.05 cada uno, haciendo el primer pago una semana después de haber realizado la compra. El esposo opina que deberían elegir el primer plan de pago, en tanto que la esposa dice que el segundo plan es el más conveniente. Con un interés anual de 52% con capitalización semanal, determine quién tiene la razón, desde el punto de vista económico.
Vp= 5000 N= 50 semanales i = 52%
Cp=semanal (1+1%)50 +1
a. 5000 = 127.57 [1%(1+1%)50 ] = 127.57(39.1961) = 𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟐𝟒𝟖𝟕 (1+1%)38 +1
b. 5000 = 127.05 [1%(1+1%)38 ] + 1000 = 127.05(31.4846) + 1000 = 𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟏𝟐𝟔𝟒 Son equivalentes pero el segundo plan es el mejor por 0.12 centavos. 8. Si i = 5%, calcule D en el siguiente diagrama de flujo
A=20 G=10 (1 + 5%)4 − 1 10 (1 + 5%)4 − 1 Vf1 = [20 [ ]+ [ − 4]] (1 + 5%) 5% 5% 5%
Vf1 = [20(4.3101) + 200(0.3101)](1 + 5%) Vf1 = 148.22(1 + 5%) Vf1 = 155.63 (1 + 5%)3 − 1 10 (1 + 5%)3 − 1 3 Vp1 = 50 [ ] − [ − ] 3 (1 + 5%)3 5%(1 + 5%) 5% 5% Vp1 = 50(2.7266) − 200(0.1318) Vp1 = 109.80 D=155.63+109.80 D=265.44 9. Se depositan $30000 en un banco que paga un interés de 15% anual
con capitalización mensual. Se desea efectuar 12 retiros trimestrales iguales, realizando el primer retiro al final del quinto mes después de haber hecho el depósito. Calcular el valor de cada uno de los doce retiros trimestrales iguales, de forma que con el último retiro se agote totalmente el depósito.
Vp=30000 I= 15% anual= 1.25 mensual Cp= mensual N=12 retiros trimestrales=36 meses 30000 =
x x x x + + + (1 + 1.25%)5 (1 + 1.25%)8 (1 + 1.25%)11 (1 + 1.25%)14 x x x x + + + + (1 + 1.25%)17 (1 + 1.25%)20 (1 + 1.25%)23 (1 + 1.25%)26 x x x x + + + + 29 32 35 (1 + 1.25%) (1 + 1.25%) (1 + 1.25%) (1 + 1.25%)38
30000 = x(0.9397 + 0.9053 + 0.8722 + 0.8403 + 0.8096 + 0.78 + 0.7514 + 0.7239 + 0.6974 + 0.6719 + 0.6474 + 0.6237) 30000 = x(9.2628) 𝐗 = 𝟑𝟐𝟑𝟖. 𝟕𝟔
10. El exclusivo club deportivo Failured Champs ofrece dos opciones a
los posibles socios: un pago de contado de $10000 que da derecho a una membrecía por 10 años, o pagos anuales al inicio de cada año. En el primer año se pagarán $1200 y este monto se incrementará en $100 anualmente. Si se considera una tasa de interés de 12% capitalizado cada año, ¿cuál plan escogería usted en caso de que deseara pertenecer al club por un periodo de 10 años? opcion 1 = 10000 de contado opcion 2 = 1200 + 1300(5.3282) + 100(17.3563)
𝐨𝐩𝐜𝐢𝐨𝐧 𝟐 =9862.29 En mi caso en la opción de plan que escogería sería la segunda porque en al contrario de pagar de contado pago mucho menos entonces es más conveniente porque ahorra 137.71. 11. Una persona compró un televisor en $750 y acordó pagarlo en 24 mensualidades iguales, comenzando un mes después de la compra. El contrato también estipula que el comprador deberá pagar en el mes de diciembre de ambos años anualidades equivalentes a tres pagos mensuales. Si el televisor se adquirió elide enero del año 1, tendrá que pagar, en diciembre del año 1 y diciembre del año 2, cuatro mensualidades en cada periodo (una normal más la anualidad). Si el interés que se cobra es de 1 % mensual, ¿a cuánto ascienden los pagos mensuales?
(1 + 1%)24 − 1 3A 3A 750 = A [ ] + + 1%(1 + 1%)24 (1 + 1%)12 (1 + 1%)24 750 = A(21.2433 + 2.6624 + 2.3627) A=
750 26.2685
𝐀 = 𝟐𝟖. 𝟓𝟓 12. La misma persona del problema anterior decide que en vez de pagar dos anualidades equivalentes a tres mensualidades cada una, pagará una sola en diciembre de 1990 por $200. ¿A cuánto ascienden ahora los 24 pagos mensuales uniformes, si el interés se mantiene igual?
750 = A [
(1 + 1%)24 − 1 200 ]+ 24 1%(1 + 1%) (1 + 1%)12
750 = A(21.2406) + 177.48 𝐀 = 𝟐𝟔. 𝟗𝟓
13. Una universidad local ofrece estudios de licenciatura por una cantidad anual de $4500 pagaderos al principio del año escolar. Otra forma de pagar los estudios es mediante la aportación de 10 mensualidades iguales. La primera se paga el 1 septiembre y la última el l' de julio del siguiente año. En los meses de diciembre y agosto no hay pago porque son vacaciones. ¿A cuánto ascienden los 10 pagos mensuales uniformes para ser equivalentes a un pago de contado de $4500 el 1 de septiembre de cada año, si la universidad aplica una tasa de interés de 2% mensual?
(1 + 2%)7 − 1 (1 + 2%)2 − 1 4500 = A + A [ ] A [ ] (1 + 2%)7 2% (1 + 2%)2 1% 4500 = A(1 + 1.942 + 6.098) 4500 A= 9.04 𝐀 = 𝟒𝟗𝟕. 𝟕𝟖 14. Se depositan $15000 en un banco que paga un interés de 24% anual con capitalización mensual. El primer retiro se realiza hasta el final del mes 25 y a partir de ese mes se realizan retiros iguales de $854.50 mensuales. ¿En qué mes se agota totalmente el depósito?
(1 + 2%)n − 1 ] 2%(1 + 2%)n 15000 = (1 + 2%)24 1 1 28.2347 = [ − ] 2% 2%(1 + 2%)n 1 21.7653 = 2%(1 + 2%)n 0.04594 = 2%(1 + 2%)n ln(2.2972) = nln(1.02) 0.8327 n= 0.01980 n = 42 𝐍 = 𝟐𝟒 + 𝟒𝟐 = 𝟔𝟔 854.50 [
15. Un padre de familia ha pensado en ahorrar $80 al mes durante cierto periodo de la vida de su hijo pequeño, en un banco que paga un interés de 12% anual capitalizado mensualmente. Los ahorros se harían hasta que el hijo cumpliera 17 años. Un año después, es decir, cuando el joven tuviera 18 años, empezaría su educación universitaria, la cual el padre ha calculado que costará $4500. Costará $5000 cuando cumpla 19 años y $5 500 a los 20 años, $6000 a los 21 y $6500 a los 22 años. ¿Qué edad debe tener el hijo para que el padre empiece a ahorrar $80 al mes, desde ese momento y hasta que cumpla 17 años, para que pueda disponer de las cantidades mencionadas en esas fechas?
iN−A = 12% iE−M =
12% = 1% 12
iE−P = (1 + 0.01)12 − 1 = 0.1268 (1 + i)n − 1 1 (1 + i)n − 1 n VP = A [ ]+ G[ ][ − ] n n (1 + i) i i (1 + i) i (1 + i)n (1 + 0.1268)5 − 1 VP = 4500 [ ] (1 + 0.1268)5 (1 + 0.1268)5 1 5 + 500 [ ][ − ] 0.1268 (1 + 0.1268)5 (0.1268) (1 + 0.1268)5 VP = 19037.55 (1 + 0.01)n − 1 19037.55 = 80 [ ] 0.01 2.38 + 1 = (1 + 0.01)n ln(3.38) = ln(1.01)n ln(3.38) = n ln(1.01) ln(3.38) =n ln(1.01) n = 122.4
122.4 meses → 10.2 años 𝟏𝟕 𝐚ñ𝐨𝐬 − 𝟏𝟎. 𝟐 𝐚ñ𝐨𝐬 = 𝟔. 𝟖 𝐚ñ𝐨𝐬 = 𝟔 𝐚ñ𝐨𝐬 𝐲 𝟗. 𝟔 𝐦𝐞𝐬𝐞𝐬
16. El joven futbolista Inocencio del Campo recientemente cumplió 21 años y su futuro en el deporte es muy prometedor. Su contrato con el equipo "Jamelgos" terminó y el mismo equipo ya le ofreció un nuevo contrato durante seis años por la suma de $1.6 millones de dólares, pagaderos al momento de la firma. Por otro lado, él piensa que si eleva continuamente su nivel de juego, puede conseguir contratos anuales, el primero de los cuales sería por $250000 dólares y, con cada contrato sucesivo, pedir una suma adicional de $50000 dólares. En todos los contratos se paga lo convenido a principio de año. Si la tasa de interés que se considera es de 15% anual, ¿qué deberá hacer Inocencio si quiere planear sus próximos seis años de carrera deportiva?
VP VP VPI = A ( , 15%, ,6) + G ( , 15%, , 6) A G VPI = 25000(3.7845) + 50000(7.9368) VPI = 1342965 VPT = VPI (1 + i) VPT = 1342965(1 + 0.15) = 1554409.75 Entonces tenemos que: 1600000 − 1554409.75 = $𝟓𝟓𝟓𝟗𝟎. 𝟐𝟓 Debe elegir el contrato por 6 años. 17. Una persona piensa depositar $150 cada mes durante el siguiente año en un banco que paga una tasa de interés de 1.5% mensual. Considera que después de hacer los 12 depósitos del primer año puede aumentar su ahorro mensual a $180. ¿Cuánto tendrá al final de dos años si no retira ninguna cantidad de dinero durante este tiempo?
i = 1.5% VFI = A [
(1 + i)n − 1 ] i
(1 + 1.5%)12 − 1 VFI = $150 [ ] = $150(13.041) = $1956.182 1.5% VFI = $1956.182 (1 + 1.5%)12 = $2338.847 (1 + i)n − 1 VFII = A [ ] i VFII = $180 [
(1 + 1.5%)12 − 1 ] = $180(13.041) = $2347.38 1.5%
VFT = VFI + VFII = $2338.847 + $2347.38 = $4686.23 𝐕𝐅𝐓 = $𝟒𝟔𝟖𝟔. 𝟐𝟑 18. Hay un depósito de $2 699 en un banco que paga una tasa de interés de 10% anual. Si es necesario retirar una cantidad de $300 dentro de un año y los retiros al final de los años sucesivos se incrementan por $50, ¿en cuántos años se extinguirá totalmente el fondo de $2699?
Para n = 10 VP = A (
VP VP , 10%, ,10) + G ( , 10%, ,10) A G
VP = 300(6.1446) + 50(22.8913)
VP = 2.987 Para n = 6 VP = A (
VP VP , 10%, ,6) + G ( , 10%, ,6) A G
VP = 300(4.3553) + 50(9.6842) VP = 1306.59 + 484.21 = 1790.8 10 − 6 10 − n = 2987 − 1790.8 2987 − 2699 4 10 − n = 1196.2 288 0.0033439(288) = 10 − n 0.9630432 − 10 = −n 𝟗. 𝟎𝟒 = 𝐧 ≈ 𝟗 𝐚ñ𝐨𝐬 19. Una familia cuenta con un fondo de $30000 para remodelar su casa en el futuro. El dinero está depositado en un banco que paga un interés de 7% anual. Si la familia considera que gastará $10 000 al final del segundo año y $15 000 al final del cuarto año, ¿con qué cantidad podrá contar al concluir el quinto año?
i=7 VP = $30000 n=5 VFI = $10000(1 + 7%)3 + $15000(1 + 7%) VFI = $12250.43 + $16050 = $28300.43 VFII = $30000(1 + 7%)5 = $42076.55 VFT = VFII − VFI
VFT = $42076.55 − $28300.43 𝐕𝐅𝐓 = $𝟏𝟑𝟕𝟕𝟔. 𝟏𝟐 20. Una persona adquiere una deuda de $10 015.20 con un banco que cobra un interés de 18% anual con capitalización mensual. Acuerda liquidar la deuda mediante el pago de 24 mensualidades iguales, haciendo el primer pago un mes después de obtener el crédito. El deudor logra pagar hasta la mensualidad 12 y, por tener problemas de dinero, suspende los pagos durante los meses 13, 14, 15 Y 16. A partir del final del mes 17 vuelve a pagar la mensualidad en forma normal, pero decide que en los siguientes meses va a pagar la mensualidad normal más $50, es decir, en el mes 18 pagará la mensualidad normal más $50, en el mes 19 pagará la mensualidad normal más $100, etc. ¿En cuál mes terminará de pagar la deuda? Determine el monto exacto del último pago si no es múltiplo de $50.
(𝟏 + 𝟏. 𝟓%)𝟐𝟒 − 𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟏𝟓 = 𝐀 [ ] 𝟏. 𝟓%(𝟏 + 𝟏. 𝟓%)𝟐𝟒 𝐀 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 (𝟏 + 𝟏. 𝟓%)𝟏𝟐 − 𝟏 𝐕𝐏𝟏𝟐 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 [ ] = 𝟓𝟒𝟓𝟑. 𝟕 𝟏. 𝟓%(𝟏 + 𝟏. 𝟓%)𝟏𝟐 𝐕𝐟𝟏𝟔 = 𝟓𝟒𝟓𝟑. 𝟕(𝟏 + 𝟏. 𝟓%)𝟒 = 𝟓𝟕𝟖𝟖. 𝟒𝟏
21. Calcule P del siguiente diagrama de flujo, si i = 20%
VP VP VP P = A ( , 20%, ,3) + G ( , 20%, ,3) + A ( , 20%, ,4) (1.2)−3 A G A P = 10(2.1065) + 10(1.8519) + 40(2.5887)(1.2)−3
𝐏 = $𝟗𝟗. 𝟓𝟎𝟕𝟔 22. Una persona se propuso ahorrar $1 000 cada fin de año durante 10 años, en un banco que paga un interés de 12% anual. Sin embargo, al final de los años 5 y 7, en vez de ahorrar tuvo que disponer de $500 en cada una de esas fechas. ¿Cuánto acumuló al final de los 10 años, si hizo ocho depósitos de $1000?
VF = A [
(1 + i)n − 1 (1 + i)n − 1 ] + 1000(1 + i)n + A [ ] i i
VF = 1000 [
(1 + 12%)4 − 1 (1 + 12%)3 − 1 ] + 1000(1 + 12%)4 + 1000 [ ] 12% 12%
VFI = 1000[4.779] + 1573.519 + 1000[3.3744] VFI = 4779 + 1573.519 + 3374.4 VFI = 4779(1 + 12%)6 + 1573.519 + 3374.4 VFI = 9432.899 + 2573.519 + 3374.4 VFI = $14380.818 VFII = 500(1 + 12%)5 + 500(1 + 12%)3 VFII = 881.171 + 702.464 VFII = $1583.635 VFT = VFI − VFII VFT = $14380.818 − $1583.635 𝐕𝐅𝐓 = $𝟏𝟐𝟕𝟗𝟕. 𝟏𝟖𝟑 23. Un matrimonio compró una casa de $180000 mediante una hipoteca que cobra 10% de interés anual. Si el matrimonio puede dar pagos de $23 000 cada fin de año, comenzando un año después de a compra, a) ¿cuándo terminarán de pagar la casa? b) si dan un enganche de contado de $35000 y desean pagar la casa en el mismo plazo calculado en el inciso a), ¿a cuánto ascenderán ahora los pagos de fin de año?
VP = $180000 A = $23000 i = 10% anual a) (1 + i)n − 1 VP = A [ ] (1 + i)n i 1 ln [ 1 VP ] [i − A ]i n= ln(1 + i) 1 ln [ ] 1 $180000 [10% − ] (10%) $23000 n= ln(1 + 10%) n=
ln(4.6) ln(1.1)
n=
1.526 0.095
n = 16.06 𝐧 ≈ 𝟏𝟔 𝐚ñ𝐨𝐬 b) VP = $145000 i = 10% anual n = 16
A = VP [
(1 + i)n i ] (1 + i)n − 1
(1 + 10%)16 (10%) A = $145000 [ ] (1 + 10%)16 − 1 A = $145000 [
0.459 ] 3.595
A = $145000[0.1271] 𝐀 = 𝟏𝟖𝟓𝟒𝟓. 𝟓 24. Se han pedido prestados 1 000 a una tasa de interés de 5% anual y se acuerda pagar cada fin de año, iniciando un año después de que fue otorgado el préstamo, de forma que cada pago disminuya $75 cada año, es decir, el segundo pago será menor que el primero por $75, el tercero menor que el segundo por $75, etc. Si se desea liquidar totalmente el préstamo en seis años, cuál será el pago al final del sexto año?
VPT = VPA − VPG VP VP VPT = A ( , i, , n) − G ( , i, , n) A G VP VP 1000 = x ( , 5%, ,6) − 75 ( , 5%, ,6) A G 1000 = x (5,0757) − 75(11,9680) 1000 + 896.600 = x (5,0757) x = $ 373.859 El sexto año sería igual a: 𝐀ñ𝐨𝟔 = 𝐀 − 𝟑𝟕𝟓 = 𝟑𝟕𝟑. 𝟖𝟓𝟗 − 𝟑𝟕𝟓 = −𝟏. 𝟏𝟒𝟏
Como observamos el resultado es negativo lo que nos indica que se terminará de pagar la deuda en el periodo 5, por lo tanto la cuota del sexto año es igual a cero. 25. Durante 10 años una persona ahorró cierta cantidad, de tal forma que el depósito del año siguiente siempre fue superior en $1 000 a la cantidad depositada el año interior. El interés que se pagó por este tipo de ahorros fue de 6% anual. Si al final de los 10 años se contaba con $66 193, ¿cuál fue la cantidad que se depositó el primer año?
i = 6% n = 10 VF = $66193 VF = A [
(1 + i)n − 1 1 (1 + i)n − 1 ] + G[ ][ − n] i i i
(1 + 6%)10 − 1 1 (1 + 6%)10 $66193 = A [ ] + 1000 [ ] [ − 10] 6% 6% 6% $66193 = A[13.181] + 1000[16.667][3.181] $66193 − 53017.727 = A[13.181] A=
13175.273 13.181
A = 999.56 𝐀 ≈ 𝟏𝟎𝟎𝟎
26. Una empresa pide un préstamo por $190288.85 a un banco que cobra un interés mensual de 1.5%. Acordó liquidar la deuda en 24
mensualidades iguales empezando a pagar un mes después de obtener el préstamo. Al momento de realizar el pago 12 decide reducir su pago mensual en $50, es decir, en el mes 13 va a realizar el pago normal menos $50, en el mes 14 pagará la mensualidad normal menos $100, etc. ¿En cuál mes terminará de pagar la deuda? Determine el monto exacto del último pago si no es un múltiplo de $50.
(1 + 1.5%)24 (1.5%) A = 190288.55 [ ] = 9500 (1 + 1.5%)24 − 1 (1 + 1.5%)12 − 1 Vp12 = 9500 [ ] = 103621.3 (1 + 1.5%)12 1.5% (1 + 1.5%)n − 1 103621.3 = 9450 [ ] (1 + 1.5%)n 1.5% 50 (1 + 1.5%)n − 1 1 + [ − n] ( ) (1 + 1.5%)n 1.5% 1.5% N=12 por prueba de error 27. Se depositaron $33000 en un banco que paga un interés anual de 9%. Al final del primer año de haber hecho el depósito y al final de los siguientes cuatro, se hicieron retiros por $4000, es decir, se hicieron cinco retiros de fin de año. Después de estos cinco años se desea, en lo sucesivo, hacer retiros de $3 000 cada fin de año. ¿Cuántos retiros de $3000 se podrán hacer antes de extinguir totalmente la suma depositada?
i = 9% (1 + i)n − 1 (1 + i)n − 1 1 VP = A [ ] + A [ ] [ ] (1 + i)n i(1 + i)n i(1 + i)n
33000 = 4000 [
(1 + 0.09)5 − 1 (1 + 0.09)n − 1 1 ] + 3000 [ ][ ] 5 n (0.09)(1 + 0.09) (0.09)(1 + 0.09) (1 + 0.09)5
(1 + 0.09)n − 1 33000 − 15558.6 = 1949.8 [ ] (0.09)(1 + 0.09)n (1 + 0.09)n − 1 33000 − 15558.6 =[ ] (0.09)(1 + 0.09)n 1949.8 8.9452 =
(1 + 0.09)n 1 − n (0.09)(1 + 0.09) (0.09)(1 + 0.09)n
8.9452 =
1 1 − 0.09 0.09(1 + 0.09)n
1 1 = − 8.9452 n 0.09(1 + 0.09) 0.09 1 ln ( ) = ln 0.195 (1 + 0.09)n ln(1) − ln(1.09)n = −1.63 n ln(1.09) = 1.63 n=
1.63 ln(1.09)
n = 18.91 ≈ 19 años Se hacen exactamente 18 retiros más 5 que se realizan anteriormente lo que da un total de 23 retiros antes de extinguirse totalmente el fondo. (1 + 0.09)5 − 1 (1 + 0.09)18 − 1 1 saldo = 4000 [ ] + 3000 [ ] [ ] (0.09)(1 + 0.09)5 (0.09)(1 + 0.09)18 (1 + 0.09)5 saldo = 15558.6 + 17071.6 = 32630.2 deuda = 33000 − 32630.2 = 369.8 𝐫𝐞𝐭𝐢𝐫𝐨 𝐦𝐞𝐬 𝟐𝟒 = 𝟑𝟔𝟗. 𝟖 (𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟗)𝟐𝟒 = 𝟐𝟗𝟐𝟓. 𝟓𝟏 Notamos que en total serian 24 retiros. 28. Un equipo viejo produce una gran cantidad de piezas defectuosas. Se calcula que durante los siguientes cuatro años se producirán 1 200 piezas defectuosas por año y a partir del quinto, éstas aumentarán en 150 unidades anuales. La empresa que tiene este equipo usa como regencia una tasa de interés de 12% anual y está haciendo un estudio para un periodo de ocho años. Si cada pieza defectuosa le cuesta $10, ¿cuánto
estarán dispuestos a pagar ahora por una máquina nueva que evite totalmente este problema?
i = 12% n=8 VP = A [
(1 + i)n − 1 (1 + i)n − 1 1 (1 + i)n − 1 n ] + [A [ ] + G [ ][ − ]] n n n (1 + i) i (1 + i) i (1 + i) i (1 + i)n i
(1 + 12%)8 − 1 VP = 12000 [ ] (1 + 12%)8 (12%) (1 + 12%)5 − 1 + [12000 [ ] (1 + 12%)5 (12%) 3 (1 + 12%)5 − 1 1 5 1 + 1500 [ ][ − ] [ ] ] 12% (1 + 12%)5 (12%) (1 + i)n (1 + 12%) 1 3 VP = 28821.97 + [43257.31 + 9595.52] [ ] 1.12 𝐕𝐏 = 𝟐𝟖𝟖𝟐𝟏. 𝟗𝟕 + 𝟑𝟕𝟔𝟏𝟗. 𝟔𝟎 = 𝟔𝟔𝟒𝟒𝟏. 𝟓𝟕 29. Por medio de la aplicación de técnicas de ingeniería industrial, una empresa logró ahorrar $28000 el primer año, disminuyendo los ahorros en $4000 cada año durante un periodo de cinco anos. A una tasa de interés de 12% anual, ¿a cuánto equivalen los ahorros de los cinco años al final del quinto año?
i = 12% PC = Anual
n = 5 Años (1 + i)n − 1 1 (1 + i)n − 1 VF = VFA − VFG = A [ ]− G[ ][ − n] i i i (1 + 0.12)5 − 1 (1 + 0.12)5 − 1 1 VF = 28000 [ ] − 4000 [ ][ − 5] 0.12 0.12 0.12 VF = 177879.72 − 45094.91 𝐕𝐅 = 𝟏𝟑𝟐𝟕𝟖𝟒. 𝟖𝟏 30. Se compró un equipo de sonido por $1100. se acordó pagarlo en 36 pagos mensuales iguales, que iniciarán un mes después de la compra. La tasa de interés es de 1 % mensual. a) Calcule el pago mensual que deberá hacerse. b) Al final de los meses 12, 24 Y 36 es posible hacer un pago adicional a la mensualidad de $100; si se desea pagar el equipo en 36 mensualidades iguales, ¿a cuánto ascienden ahora estos pagos?
a) i = 1% PC = mensual (1 + i)n i (1 + 0.01)36 (0.01) A = P[ ] = 1100 [ ] = 𝟑𝟔. 𝟓𝟑𝟓 (1 + i)n − 1 (1.01)36 − 1 b) i = 1% PC = mensual (1 + i)n − 1 1 n 1 n 1 n VP = A [ ] + VF12 [ ] + VF24 [ ] + VF36 [ ] (1 + i)n i 1+i 1+i 1+i
12 24 (1 + 0.01)36 − 1 1 1 100 = A [ ] + 100 [ ] + 100 [ ] (1 + 0.01)36 (0.01) 1 + 0.01 1 + 0.01
+ 100 [
36 1 ] 1 + 0.01
1100 − 237.39 = A[30.108] 1100 − 237.39 =A 30.108 𝐀 = $𝟐𝟖. 𝟓𝟏
31. Calcule F del siguiente diagrama de flujo, si i = 15%
F =? i = 15% P. F = 0 1 n 1 n F+F[ ] +F[ ] 1+i 1+i
1 n 1 n 1 n 1 n ] + 50 [ ] + 20 [ ] + 10 [ ] 1+i 1+i 1+i 1+i 1 n 1 n 1 n 1 n + 20 [ ] + 30 [ ] + 40 [ ] + 50 [ ] 1+i 1+i 1+i 1+i = 50 + 40 [
4 8 1 1 F [1 + [ ] +[ ] ] 1 + 0.15 1 + 0.15 1 2 3 1 1 1 = 50 + 40 [ ] + 50 [ ] + 20 [ ] 1 + 0.15 1 + 0.15 1 + 0.15 4 5 6 7 1 1 1 1 + 10 [ ] + 20 [ ] + 30 [ ] + 40 [ ] 1 + 0.15 1 + 0.15 1 + 0.15 1 + 0.15 8 1 + 50 [ ] 1 + 0.15
𝐅=
𝟏𝟖𝟎. 𝟔𝟑 = $𝟗𝟓. 𝟏𝟑𝟖 𝟏. 𝟖𝟗𝟗𝟔
32. Una persona depositó $500 cada mes, de los meses 1 a 17 en un banco que paga un interés de 1 % mensual. A partir del mes 18, el banco subió la tasa de 2% mensual que paga a sus ahorradores, y el ahorrador también incrementó sus depósitos en $50 cada mes, es decir, depositó $550 al final del mes 18, depositó $600 al final del mes 19, etc. ¿Cuánto acumuló en el banco al momento de realizar el depósito número 36?
𝐢𝟏 = 𝟏%, 𝐢𝟐 = 𝟐% (1 + 1%)17 − 1 Vf1 = 500 [ ] = 13424.83 1% (1 + 2%)19 − 1 50 (1 + 2%)19 − 1 Vf2 = 500 [ ]− [ ][ − 19] = 22163.70 2% 2% 2% Vf36 = Vf1 + Vf2 = 13424.83 + 22163.70 = 𝟑𝟓𝟓𝟖𝟖. 𝟓𝟒 33. Un préstamo de $4500 se liquidará pagando $800 al final de los años primero, segundo, cuarto y quinto. Si la tasa que se considera es de 10% de interés anual, ¿cuál debe ser el pago en el tercer año para saldar exactamente el préstamo?
VP =
800 800 X 800 800 + + + + 2 3 4 (1 + 10%) (1 + 10%) (1 + 10%) (1 + 10%) (1 + 10%)5 $4500 = 727.273 + 661.157 +
X + 546.411 + 496.737 1.331
$4500 = 2431.578 +
X 1.331
$4500 − 2431.578 =
X 1.331
X = 2068.422(1.331)
𝐗 = 𝟐𝟕𝟓𝟑. 𝟎𝟕
34. Se compró un equipo de cómputo en $3200 a una tasa de 1 % mensual; el primer pago se hace un mes después de la adquisición. Si la cantidad más alta que se puede pagar al mes es $100 durante los 12 primeros meses y $120 del mes 13 en adelante, ¿cuántos meses tardaría en liquidarse el equipo de cómputo? Si el último pago no es exactamente de $120, ¿a cuánto asciende este último pago?
Deuda en el año 12: VF = VP(1 + i)n VF = 3.200(1 + 1%)12 VF = $ 3.605,84 Abono en el año 12: VF = A (
VF VF , i, , n) → VF = 100.000 ( , 1%, ,12) → VF = 100.000 (12,6825) A A
VF = $ 1.268,25 Saldo de la deuda: 3.605,84 − 1.268,25 = $ 2.337,59
1 ln [ 1 VP ] [i − A ]i n= ln(1 + i)
1 ln [ 1 ] 2.337.59 [i1% − 120.000 ] 1% n= ln(1 + 1%) 𝐧 = 𝟐𝟏, 𝟕𝟔 ~ 𝟐𝟐 Se liquidará la deuda con total de 34 cuotas, donde 12 pagos son de $100.000 y 22 de $120.00, el cual 21 pagos de $120.000 con un último pago de $92,27. 35. Una persona quiere comprar un perro de un mes de nacido. Calcula que los gastos de manutención del animal serán de $20 durante el segundo mes de edad, cantidad que se incrementará $3 cada mes hasta que el perro tenga 12 meses. Después, esta cantidad permanecerá constante a 10 largo de los años, es decir, costará $50 al mes mantener al perro. Si al momento de hacer la adquisición, deposita $3 500 en un banco que paga 1 % de interés mensual, ¿durante cuánto tiempo podrá mantener al perro con el dinero que tiene en el banco sin hacer una inversión adicional?
i = 1% mensual (1 + i)n − 1 (1 + i)n − 1 1 (1 + i)n − 1 n 1 VP = A [ ] + G [ ] [ − ] + A [ ] [ ] (1 + i)n i (1 + i)n i (1 + i)n (1 + i)n i (1 + i)n i (1 + 0.01)n − 1 (1 + 0.01)n − 1 1 n 3500 = 20 [ ] + 3 [ ] [ − ] (1 + 0.01)n (0.01) 0.01 (1 + 0.01)n (0.01) (1 + 0.01)n (1 + 0.01)n − 1 1 + 50 [ ][ ] n (1 + 0.01) (0.01) (1 + 0.01)n (1 + 0.01)n 1 3500 = 207.35 + 152.42 + 50 [ − ] [0.896] n (1 + 0.01) (0.01) (1 + 0.01)n (0.01) 3500 − 359.77 1 1 = − (0.896)(50) 0.01 (0.01)n (0.01) (70.094 − 100)(0.01) = −
1 (1 + 0.01)n
− ln(0.3) = − ln 1 + nln (1.01) 1.20 =n ln(1.01) 𝐧 = 𝟏𝟐𝟎 𝐦𝐞𝐬𝐞𝐬 = 𝟏𝟎 𝐚ñ𝐨𝐬
36. Calcule I del siguiente diagrama de flujo si i = 20%
4I(1 + 20%)10 + 3I(1 + 20%)9 + 2I(1 + 20%)8 + I(1 + 20%)7 = 10(1 + 20%)6 + 10(1 + 20%)5 + 10(1 + 20%)4 + 10(1 + 20%)3 + 20(1 + 20%)2 + 30(1 + 20%)1 + 40 4I(6.192) + 3I(5.160) + 2I(4.300) + I(3.583) = 29.860 + 24.883 + 20.736 + 17.28 + 28.8 + 36 + 40 24.768I + 15.48I + 8.6I + 3.583I = 197.559 I(52.431) = 197.559 I=
197.559 52.431
𝐈 = 𝟑. 𝟕𝟔𝟕 37. Una persona quiere reunir $10270.23 en un banco que paga un interés de 1% mensual. Para lograrlo, deposita $100 cada mes durante los meses 1 a1 36. A partir del mes 37 su depósito se incrementa en $100 cada mes, es decir, deposita $200 en el mes 37, deposita $300 en el mes 38, etc. ¿En cuál mes logrará la cantidad propuesta?
(1 + 1%)36 − 1 10270.23 = 100 [ ] 1% (1 + 1%)n − 1 100 (1 + 1%)n − 1 = (1 + 1%)n + 200 [ ]−[ ][ − n] 1% 1% 1% Por prueba de error encontramos que n=9, acumulando 10237.23 38. Un préstamo de $10 000 se paga con anualidades iguales de $1 200 a una tasa de interés anual de 8%, que comienza a liquidarse un año después de otorgado el préstamo. Después de 5 pagos, por problemas financieros, se suspende el pago y se acuerda liquidar con una sola suma toda la deuda al final del año 10. ¿A cuánto ascenderá este pago único?
i = 8% VP = $10000 n = 10 1200(1 + 8%)9 + 1200(1 + 8%)8 + 1200(1 + 8%)7 + 1200(1 + 8%)6 + 1200(1 + 8%)5 + x = 10000(1 + 8%)10 2398.805 + 2221.116 + 2056.589 + 1904.249 + 1763.194 + x = 21589.250 x = 21589.250 − 10343.953 𝐱 = 𝟏𝟏𝟐𝟒𝟓. 𝟐𝟗𝟕
39. Una empresa depositó $1000 al final de cada año durante cinco años. Al final del año seis depositó $1250, al final del año siete $1500; y al final del octavo año depositó $1 750. Si por estos ahorros le pagaron una tasa de interés de 7.5% anual, ¿cuánto tendrá acumulado al final del año 10?
VFI = A [
(1+i)n −1
(1+7.5%)5 −1
i
7.5%
] = $1000 [
] = $1000[5.808] = $5808>
VFI = $5808(1 + 7.5%)5 = $8338.135 VFII = 1250(1 + 7.5%)4 + 1500(1 + 7.5%)3 + 1750(1 + 7.5%)2 VFII = 1669.336 + 1863.445 + 2022.344 VFII = $5555.125 VFT = VFI + VFII VFT = $8338.135 + $5555.125 VFT = $13893.26 40. El banco A paga un interés de 8% anual capitalizado semestralmente. El banco B paga 7.9% anual capitalizado mensualmente, y el banco e paga una tasa de 7.8% anual capitalizada diariamente. Si usted tiene $500 para invertir, ¿qué banco elegiría si el periodo de depósito es de al menos un año? BANCO A PC = semestral n = 1 año VP = $500 in−A n iE−A = (1 + ) − 1 n 8% 2 iE−A = (1 + ) − 1 2 iE−A = 8,16% VF = $500(1 + 8,16%)1 VF = $540.8
BANCO B PC = mensual n = 1 año = 12 meses VP = $500 in−A n iE−A = (1 + ) − 1 n 7,9% 12 iE−A = (1 + ) − 1 12 iE−A = 8,1924% VF = $500(1 + 8,1924%)1 VF = $540,962
BANCO C PC = diaria n = 1 año = 360 dias VP = $500 in−A n iE−A = (1 + ) − 1 n 7,8% 360 iE−A = (1 + ) − 1 360 iE−A = 8,1113% VF = $500(1 + 8,1113%)1 VF = $540.557
Se debe escoger el BANCO B
41. Una persona depositó $5000 en la institución A, que paga un interés de 10% capitalizado anualmente. También depositó $5000 en la institución B que paga 10% anual capitalizado mensualmente. a) ¿Cuánto dejó de ganar en el primer caso si el dinero permaneció en ambas instituciones por tres años? b) ¿Si dejó el dinero por 3.5 años?
INSTITUCION A VP = $5000 i = 10% PC = Anual VF = VP(1 + i)n VF = 5.000(1 + 10%)3 VFa = $ 6.655
INSTITUCION B VP = $5000 i = 10% in−A n iE−A = (1 + ) − 1 n 10% 12 iE−A = (1 + ) − 1 12 iE−A = 10,4713% PC = Mensual VF = VP(1 + i)n VF = 5.000(1 + 10,4713%)3 VFb = $ 6.740,90
a) Lo que dejó de ganar permaneciendo el dinero en ambas instituciones por 3 años: 𝐕𝐅𝐛 − 𝐕𝐅𝐚 = 𝟔. 𝟕𝟒𝟎, 𝟗𝟎 − 𝟔. 𝟔𝟓𝟓 = $ 𝟖𝟓, 𝟗𝟎 b) Si observamos la Institución A tiene un periodo de capitalización anual por tanto se tomarían solo 3 años, tendríamos que: 0.10 42 FB = 5000 [1 + ] = $7085.05 12 Notamos que se dejaría de ganar aproximadamente $430.05 ya que: 7085.05 − 6655 = $𝟒𝟑𝟎. 𝟎𝟓 42. Se depositan $10000 en un banco que paga un interés del 18% anual capitalizado mensualmente. Durante los 5 primeros meses después del depósito se retiran $500 cada mes. A partir de ese momento los retiros se incrementan en $100 y se efectúan cada tres meses, es decir, se retiran $600 en el mes ocho, se retiran $700 en el mes 11, etc. ¿En cuál mes se puede efectuar un último retiro de forma que se extinga totalmente el fondo depositado? Determine la cantidad exacta del último retiro si no es un múltiplo de $100.
𝟏𝟖% = 𝟏. 𝟓% 𝟏𝟐 𝟏𝟖% 𝐢𝐭𝐫𝐢𝐦 = = 𝟒. 𝟓% 𝟒 𝐢=
(1 + 1.5%)5 − 1 VP = 500 [ ] (1 + 1.5%)5 1.5% (1 + 4.5%)n − 1 + [A [ ] (1 + 4.5%)n 4.5% 100 (1 + 4.5%)n − 1 +[ ][ 4.5% (1 + 4.5%)n 4.5% n 1 − ]] ( ) ((1 + 1.5%)5 ) (1 + 4.5%)n (1 + 4.5%)n
Por prueba de error encontramos entonces que en el mes 35 siendo múltiplo de 5, podrá retirar $321.43 43. Se depositan $3000 cada año en un banco que paga una tasa de interés anual de 12% capitalizada mensualmente, ¿qué cantidad se acumulará al final de cinco depósitos anuales? iN−A = 12% PC = mensual iE−M =
12% = 1% 12
iE−A = (1 + 0.01)12 = 12.68% VF = A [
(1 + i)n − 1 ] i
VF = 3000 [
(1 + 0.1268)5 − 1 ] 0.1268
𝐕𝐅 = $𝟏𝟗𝟑𝟏𝟖 44. Se depositan mensualmente $100 en un banco que paga 12% de interés anual capitalizado trimestralmente. ¿Cuánto se habrá acumulado después de hacer 36 depósitos mensuales? iE−T =
12% = 3% 4 1
iE−M = (1 + 0.03)3 − 1 = 0.0099 = 0.99% (1.0099)36 − 1 VF = 100 [ ] = $𝟒𝟐𝟓𝟕. 𝟔 0.0099 45. Una casa comercial anuncia: "Compre cualquier artículo de esta tienda con un cargo de interés de 15% anuaL Para su comodidad salde su deuda en cómodos pagos semanales iguales". ¿Cuál es la tasa de interés efectivo anual que cobra la tienda?
iE−A iE−A
iN−A n = [[1 + ] − 1] ∗ 100 n 15% 52 = [[1 + ] − 1] ∗ 100 52
𝐢𝐄−𝐀 = 𝟏𝟔. 𝟏𝟓𝟖% 46. Algunos planes de empresas automotrices dicen: "Adquiera su auto sin enganche y sin interés. Páguelo en 40 mensualidades congeladas (iguales)". El plan que le presentan a un comprador es el siguiente: Valor del auto de contado = $25 000 Costo de investigación y apertura de crédito, 20% del valor del auto = $5000 Deuda inicial = $30000 Liquidación en 40 pagos mensua1es iguales de 30000/40 = 750 La primera mensualidad se dará un mes después de haber hecho el trato. ¿Cuál es la tasa de interés efectivo anual que se cobra por este tipo de ventas? VP = A (
VP , i, , n) A
VP 25000 = 750 ( , i, , 40) A VP 25000 ( , i, ,4) = = 33.3 A 750 Por interpolación tenemos que: Tasa de interés (VP/A, i,, 4) 0.75% 34.4469 i 33.333 1 32.8347 0.75 − 1 i−1 − 34.4469 − 32.835 33.333 − 32.835 −
0.25 i−1 = 1.6119 0.498
−
0.25(0.498) =i−1 1.6119
−0.0772398 + 1 = i i = 0.9227% mensual iE−A = (1 + 0.009227)12 − 1
𝐢𝐄−𝐀 = 𝟎. 𝟏𝟏𝟔𝟓 = 𝟏𝟏. 𝟔𝟓% 47. Se anuncia la venta de un mueble de cocina por $2000 de contado. Otra forma de pagar el mueble es mediante seis mensualidades iguales; la primera se empieza a pagar tres meses después de hecha la compra. Si el vendedor aplica una tasa de interés de 18% anual capitalizada mensualmente, ¿de cuánto serán los seis pagos iguales que son necesarios para cubrir la deuda? i = 18% anual;
18% = 1.5% mensual 12
PC = mensual n=6 VF = 2000(1 + 1.5%)2 = 2060.45 A = VP [
(1 + i)n i ] (1 + i)n − 1
A = 2060.45 [
0.0164 ] 0.0934
A = 2060.45(0.17551) 𝐀 = 𝟑𝟔𝟏. 𝟔𝟐 48. El popular cantante Thomas D 'Mass decidió retirarse del medio artístico dentro de dos años. La promotora artística Broken Stars le ha ofrecido un jugoso contrato por $2000000 dólares, pagaderos de contado al momento de firmar un contrato donde se especifica que los dos últimos años de su vida artística, el cantante dará todos los conciertos que la empresa logre conseguir. Por otro lado, Thomas D'Mass piensa que, gracias a su popularidad, él puede trabajar de manera independiente y conseguir conciertos, por cada uno de los cuales cobrará $50000 dólares. En cualquier caso, Thomas ahorraría todas sus ganancias en un banco que paga un interés de 12% anual capitalizado quincenalmente, con lo que podría vivir en forma decorosa cuando se retire. ¿Cuántos conciertos necesita dar Thomas de manera independiente para que le resulte igual que firmar el contrato por dos años? i
i E−q = N−A n
iE−q = 0.12 24
iE−q = 0.5% quincenal
1 In [ 1 VP ] (i) − ( A )i n= In (1 + i) In [ n=
1 ] 1 2.000.000 ( )− ( ) 0.005 0.005 50.000 In (1 + 0.005)
𝐧 = 𝟒𝟒, 𝟕𝟒 ≈ 𝟒𝟓 𝐜𝐨𝐧𝐜𝐢𝐞𝐫𝐭𝐨𝐬. Un concierto cada 15 días, durante dos años. 49. Una persona deposita $1000 cada mes durante 12 meses consecutivos, en un banco que paga una tasa de interés de 18% anual capitalizada mensualmente. Luego de depositar $1 000 en el mes 12, eleva la cantidad del depósito a $2500 cada tres meses, es decir, deposita $2500 en el mes 15, $2500 en el mes 18, etc., y realiza otros 12 depósitos trimestrales consecutivos por esa cantidad. Si no retira dinero, ¿cuánto se acumula en el banco al momento de realizar el depósito número 24?
𝟏𝟖% = 𝟒. 𝟓% 𝟏𝟐 (1 + 1.5%)12 − 1 (1 + 4.5%)12 − 1 12 (1 𝐕𝐟𝟒𝟖 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 [ ] + 4.5%) + 2500 [ ] 1.5% 4.5% = 𝟔𝟏𝟏𝟎𝟎. 𝟖𝟖 𝐢=
50. En México existe la llamada Lotería Nacional, juego que consiste en que si se gana el premio mayor, por cada unidad monetaria que se apueste se recibirán 10000 a cambio. Una persona jugó $10 por semana durante muchos años y nunca obtuvo el premio mayor. Si se considera una tasa de interés de 18% anual capitalizada mensualmente, ¿cuánto tiempo sería necesario para que, si hubiera ahorrado todo ese dinero a la tasa mencionada en vez de jugar, la ganancia acumulada fuera igual a la del premio mayor? iE−M =
18% = 1.5% 12
(1 + 0.015)12/50 = (1 + iE−semanal )50/50 (1.015)6/25 − 1 = iE−Semanal
0.00358 = iE−Semanal (1 + 0.00358)n − 1 100000 = 10 [ ] 0.00358 10000x0.00358 = (1.00358)n − 1 35.8 + 1 = (1.00358)n ln(36.8) = nln (1.00358) ln(36.8) =n ln(1.00358) n = 1008.92 = 1009 semanas = 20.18 años
51. Se depositan $100 cada fin de mes en un banco que paga una tasa de 16% anual capitalizado trimestralmente. Al cabo de un año, es decir, después de hacer 12 depósitos, el banco decide capitalizar de manera mensual la tasa de interés. Si se continúa haciendo depósitos de $100 cada fin de mes, ¿cuánto se tendrá acumulado al final de dos años? 100
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 Pc = trimestral
i=
100
(mensual)
Pc = mensual
16% = 4% 4
VF12
(1 + i)n − 1 = A[ ] i
La anualidad es de $100 pero como se capitaliza trimestralmente, se toma como anualidad los $100 acumulados en los tres meses, que da un total de $300. (1 + 4%)12 − 1 VF12 = 300 [ ] 4%
VF12 = $ 1.273,9302 Capitalización mensual: VF = VP(1 + i)n VF = 1.273,9392(1 + 1,33%)12 VF12 = $ 1.492,8123 VF24 = 100 [
(1 + 1,33%)12 − 1 ] 1,33%
VF24 = $1.291,7905 VFT = $1.291,7905 + 1.492,8123 𝐕𝐅𝐓 = $𝟐. 𝟕𝟖𝟒, 𝟔𝟎
52. Se depositan $2500 en un banco que paga un interés de 14% anual capitalizado cada semana. Seis meses después del primer depósito se retiran $1 000. Al cabo de un año del depósito inicial, vuelven a depositarse $1000. Si en lo sucesivo ya no hay movimientos de dinero, ¿cuánto se tendrá acumulado después de 18.5 meses de haber iniciado las operaciones? VF=? 2.500 1.000
1
2
3
4
5
6 ………
1.00
i
i E−S = N−A n
iE−S = 0.14 52
iE−S = 0.2692% semanal
12
18.5 (MESES)
Valor futuro de seis meses después del primer depósito, es decir, las primeras 26 semanas del año con retiro de $1.000: VF = VP (1 + i)n VF = 2.500(1 + 0.002692)26 VF = $2.681,01 − 1.000 = $1.681,01 Valor futuro para las 26 semanas restantes del año, con depósito de $1.000: VF = VP (1 + i)n VF = 1.681,01(1 + 0.002692)26 VF = $ 1.802,71 + 1.000 = $ 2.802,71 Valor futuro al mes 18,5, es decir a las 28 semanas siguientes: VF = VP (1 + i)n VF = 2.802,71(1 + 0.002692)28 𝐕𝐅 = $𝟑. 𝟎𝟐𝟏, 𝟖𝟐 53. En México, mucha gente participa en las llamadas tandas, que consisten en reunir cierto número de personas, quienes periódicamente aportan una cantidad fija de dinero. Luego, cada una de ellas, de manera sucesiva, recibe el total de las aportaciones del resto del grupo. Supóngase que se reúnen 30 personas, y que cada quincena cada una aporta $1 000, de forma que en el primer periodo de aportación una de ellas recibe $30000, en el segundo periodo otra recibe la misma cantidad, y así durante 29 quincenas. La última persona en cobrar también recibe $30000. Si la persona que cobra en primer lugar ahorra ese dinero en un banco que paga un interés de 18% anual capitalizado cada semana, a) ¿cuánto dinero extra tendrá al final de la quincena 29, respecto de la persona que en ese momento apenas está recibiendo $30000? b) ¿a cuánto asciende esta diferencia si el banco paga un interés de 18% anual capitalizado mensualmente? i
i E−S = N−A n
iE−S = 0.18 52
iE−S = 0.346%
semanal
VF = VP (1 + i)n VF = 30.000(1 + 0.00346)58
VF = $36.658 La diferencia que existe con respecto a la otra persona que apenas está recibiendo el dinero con interés de 18% cada semana es de: 36.658 – 30.000= $ 6.658 i
i E−M = N−A n
iE−M = 0.18 12
iE−M =1.5% mensual VF = VP (1 + i)n VF = 30.000(1 + 0.015)14 VF = $36.952,67 Si el banco paga un interés del 18% anual capitalizado cada mes la diferencia que existe es de: 36.952,67 – 30.000= $ 6.952,67 54. Si un usurero presta $1 000 a cambio de recibir $1 100 al cabo de una semana, y si se supone que esta práctica la realiza en forma continua durante todo el año, ¿cuál es la tasa efectiva de interés anual que habrá ganado? iE−sem = 10% iE−A = (1 + 0.1)50 − 1 𝐢𝐄−𝐀 = 𝟏𝟏. 𝟔𝟑𝟗%
54. Si un usurero presta $1 000 a cambio de recibir $1 100 al cabo de una semana, y si se supone que esta práctica la realiza en forma continua durante todo el año, ¿cuál es la tasa efectiva de interés anual que habrá ganado? 55. se ahorran $7000 en un banco que paga un interés de 8% anual capitalizado trimestralmente. Se desean hacer 10 retiros semestrales iguales, empezando a retirar tres meses después de haber hecho el depósito inicial. ¿A cuánto ascienden cada uno de los diez retiros semestrales, para que con el último se extinga el fondo?
VP = $ 7.000
i = 8% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 P𝐶 = 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑖
𝑖 0.08 𝐸−𝑇= 𝑁−𝐴 = = 0.02 = 2% 𝑛 4
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖)𝑛 𝑉𝐹 = 7.000(1 + 0.02)1 𝑉𝐹 = $ 7.140 𝑖𝑒−𝑠=(1+0.02)2 − 1= 4.04% 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 𝐴 = 𝑉𝑃 [ ] (1 + 𝑖)𝑛 − 1 4.04(1 + 4.04)10 𝐴 = 7.140 [ ] (1 + 4.04)10 − 1 𝑨 = $ 𝟖𝟒𝟕. 𝟕𝟖 𝒓𝒆𝒕𝒊𝒕𝒐 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍𝒆𝒔 56. Se depositan $12222 en un banco que paga un interés de 15% anual capitalizado cada mes. Si se estima que será necesario retirar $1 800 cada tres meses, ¿cuántos retiros de $1800 se podrán hacer hasta extinguir totalmente el depósito? 𝑉𝑃 = $ 12.222 𝑖 = 15% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝐴 = 1800 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑖 𝑖𝐸−𝐴= (1 + )𝑛 – 1 𝑛 𝑖𝐸−𝐴= [1 +
0.15 12 ] –1 12
𝑖𝐸−𝐴= 16,07% 𝑖𝐸−𝑇= ( 𝑛√𝑖 𝐸−𝐴 +1 ) − 1 4
𝑖𝐸−𝑇= ( √0.1607 + 1) − 1 𝑖𝐸−𝑇= 3, 795%
1 𝐼𝑛 1 ( 𝑖 − 𝑉𝑃/𝐴)𝑖 𝑛= 𝐼𝑛 (1 + 𝑖) 𝐼𝑛 𝑛=
1 1 12.222 ( − 1800 ) 0,03795 𝑖0.03795 𝐼𝑛 (1 + 0.03795)
𝒏 = 𝟖 𝒓𝒆𝒕𝒊𝒓𝒐𝒔 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 57. Existen tres formas de pago para comprar un automóvil. La primera consiste en comprar el auto de contado a un precio de $110 000. La segunda forma es pagar 60 mensualidades iguales de $3164.47 cada mes, haciendo el primer pago un mes después de la compra. La tercera forma de adquirir el auto es mediante el pago de 48 mensualidades iguales de $1 955.00 cada una, empezando a pagar un mes después de pacer la compra, y además pagar cuatro anualidades iguales al final de los meses 12,24,36 Y 48 por $21877.83. Con un interés de 24% anual capitalizado mensualmente, determine ¿cuál es la mejor forma de pago desde el punto de vista económico? 𝑖=
24 = 2% 12
Primera forma de pago: contado $110 000. (1+2%)60 −1
Segunda forma de pago: 𝑉𝑝 = 316.47 [2%(1+2%)60 ] = 110000 (1+2%)28 −1
21877.83
21877.83
21877.83
Tercera forma de pago: 21877.83 [2%(1+2%)48 ] + (1+2%)12 + (1+2%)24 + (1+2%)36 + 21877.83
(1+2%)48
= 110000
Los tres planes de pago son iguales se puede tomar cualquiera de los tres. 58. Se depositan $750 mensuales en un banco que paga un interés de 14% anual capitalizado cada mes. Si se hacen 15 depósitos en forma consecutiva, ¿cuánto se tendrá acumulado al final del mes 20? 𝑖 = 14% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑃𝐶 = 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝐴 = $750 𝑛 = 15
𝐼𝐸−𝑀 =
14% = 1.167% 12
(1 + 𝑖)𝑛 − 1 𝑉𝐹 = 𝐴 [ ] 𝑖 𝑉𝐹 = $750 [
(1 + 1.167%)15 − 1 ] 1.167%
𝑉𝐹 = $750[16.289] 𝑉𝐹 = 12216.75 𝑉𝐹 = 12216.75 (1 + 1.167%)5 𝑉𝐹 = 12216.75(1.0597) 𝑽𝑭 = $𝟏𝟐𝟗𝟒𝟔. 𝟎𝟗 59. Se compra un equipo de sonido en $5 500 y se acuerda pagarlo en 36 mensualidades iguales, a una tasa de interés de 18% anual, capitalizado cada mes. Después de hacer el pago número 18, por problemas inflacionarios la tasa se eleva a 22% de interés anual capitalizado mensualmente. Si quien hizo la compra puede pagar el resto del adeudo, exactamente con el mismo pago mensual de las primeras 18 mensualidades, a) ¿cuándo terminará de pagar la deuda?, b) el último pago no es exactamente igual al resto de las mensualidades, ¿a cuánto asciende el pago del último mes para liquidar la deuda?
A =?
1
2
3
4
5
6 ……
18…. …..
i= 18%
36
i= 22%
5.500
𝑖=
18% = 1.5% 12
𝐴 𝐴 = 5500 ( , 1,5%, 36) = 198.83 𝑃
𝑃 𝑃 = 198.83 ( , 1.5%, 18) = 3116.3 𝐴 𝑖=
20% = 1.83 12
(1 + 1.83%)𝑛 − 1 3116.3 = 198.83 [ ] 1.83%(1 + 1.83%)𝑛 𝒏 = 𝟏𝟗 𝒏 = 𝟑𝟔, 𝑨 = 𝟏𝟗𝟖. 𝟖𝟑; 𝒏 = 𝟑𝟕, 𝑷 = 𝟏𝟐𝟖. 𝟗𝟐
60. Se invierten $2207.93 en un banco que paga un interés de 12% anual capitalizado mensualmente. El dinero se deja depositado un año completo y al final del mes 12 se retiran $450; los retiros sucesivos se efectúan cada dos meses y disminuyen $25 cada vez, es decir, al final del mes 14 se retiran $425, al final del mes 16 se retiran $400, al final del mes 18 se retiran $375, etc. Si se continúa retirando cada dos meses y cada retiro sucesivo disminuye $25, ¿en cuál mes se extingue totalmente el depósito? 12% 𝑖= = 2% 6 2207.93 = {[450 [
(1 + 2%)𝑛 − 1 ] 2%
25 (1 + 2%)𝑛 − 1 1 1 ][ − 𝑛]] } 𝑛 (1 + 2%) (1 + 2%)5 2% 2% Por prueba de error el ultimo retiro es en 24 a un valor de 300 −[
61. Una persona compra un auto cuyo precio de contado es $43000 y decide pagarlo a plazos con un interés ajustable a las condiciones del mercado. Durante el primer año pagó 12 mensualidades con un interés de 1.5% mensual. Si a partir del segundo año el interés del mercado se eleva a 2.2% mensual, ¿cuál será el monto de cada una de las últimas 12 mensualidades que tenga que pagar para saldar la deuda? La deuda inicial se contrata para pagar en 24 mensualidades. 1.5%(1 + 1.5%)24 𝐴 = 43000 [ ] = 2146.48 (1 + 1.5%)24 − 1 (1 + 1.5%)12 − 1 𝑉𝑝12 = 2146.48 [ ] = 23416.02 1.5%(1 + 1.5%)12 2.2%(1 + 2.2%)24 𝐴12 − 24 = 23416.02 [ ] = 𝟐𝟐𝟒𝟏. 𝟏𝟓 (1 + 2.2%)24 − 1
62. Una empresa depositó $100000 en un banco que paga una tasa de interés de 12% anual con capitalización mensual. Desea realizar 12 retiros bimestrales, el primer retiro lo hará al final del segundo mes después de hacer el depósito. Luego de efectuar el sexto retiro bimestral, la tasa de interés se elevó a 18% anual con capitalización mensual. a) ¿Cuál es el monto de cada Uno de los primeros seis retiros bimestrales? b) ¿Cuál es el monto de cada uno de los últimos seis retiros bimestrales? a) 𝑖 =
b) 𝑖 =
12% 6
18% 2
= 2% (1 + 2%)12 2% 𝐴 = 100000 [ ] 9461.7 (1 + 2%)12 − 1 (1 + 2%)6 − 1 𝑉𝑃 = 9461.7 [ ] = 𝟗𝟐𝟗𝟖𝟏 (1 + 2%)6 2% = 3% 𝐴 = 92981 [
(1 + 3%)6 2% ] = 𝟗𝟕𝟖𝟕. 𝟓𝟓 (1 + 3%)6 − 1
70. Del siguiente diagrama de flujo y con interés de 4% por periodo, determínese el valor de X:
992 =
𝑥 𝑥+5 𝑥 + 10 𝑥 + 15 𝑥 + 20 200 + + + + 1 2 3 4 5 (1 + 4%) (1 + 4%) (1 + 4%) (1 + 4%) (1 + 4%) (1 + 4%)6 210 200 + + 7 (1 + 4%) (1 + 4%)8 X=109
71. 𝑝 = 400; 𝑛 = 9; 𝑖 = 400 =
18% 24
= 0.0075 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙
𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 + + + 25 29 33 (1 + 7.5%) (1 + 7.5%) (1 + 75%) (1 + 7.5%)37 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 + + + + 41 45 49 (1 + 7.5%) (1 + 7.5%) (1 + 7.5%) (1 + 7.5%)53 𝐴 + (1 + 7.5%)57
𝑨 = $𝟔𝟎𝟏. 𝟗𝟔 (1+3%)6 −1
72. 400 − 250 [3%(1+3%)6 ] = 2645.7(1 + 3%)6 = 3159.1 (1 + 3%)𝑛 − 1 50 (1 + 3%)𝑛 − 1 1 3159.1 = 300 [ ] + [ − 𝑛] [ ] (1 + 3%)𝑛 3%(1 + 3%)𝑛 3% 3% Por prueba y error genera entonces que es en el mes 14 y se pagan $496.93 73. Se depositan $5000 en un banco que paga un interés de 12% anual capitalizado mensualmente. Se desean realizar seis retiros iguales cada cuatro meses; el primer retiro se realiza dos meses después de haber hecho el depósito inicial y luego, cada cuatro meses se retirarán cantidades iguales. Determínese el monto de cada uno de los seis retiros iguales de manera que con el último retiro se extinga totalmente el depósito. 5000 =
𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 + + + + (1 + 1%)2 (1 + 1%)6 (1 + 1%)10 (1 + 1%)14 (1 + 1%)18 𝐴 + (1 + 1%)22
𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙; 𝑖 = (1 + 1%)4 − 1 = 0.040604 (1.040604)6 5000 = 𝐴[ ] (1 + 1%)2 0.040604(1.040604)6 𝐴𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑨 = $𝟗𝟑𝟔. 𝟖𝟓 74. Una persona compró un aparato doméstico por $1350 y acordó pagarlo en 24 mensualidades iguales, empezando a pagar un mes después de haber hacho la compra. El interés de la compra es de 1.5% mensual. Inmediatamente después de haber realizado el pago número 12, el cobrador le informa al comprador, que a partir del siguiente mes los intereses disminuirán a 1 % mensual. Si el comprador decidiera liquidar toda su deuda restante en una sola suma, tres meses después, es decir, al final del mes 15, ¿cuánto tendría que pagar? 15%(1+15%)24
𝐴 = 1350 [ (1+15%)24 −1 ]=67.39 𝑑𝑒𝑢𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑔𝑜 12: (1 + 15%)12 − 1 𝑃 = 67.39 [ ] = 𝟕𝟑𝟓. 𝟏𝟒 15%(1 + 15%)12 75. Una persona invirtió $813791.64 en un banco que paga un interés de 18% anual capitalizado mensualmente. Al final del primer mes tuvo que
retirar 250000 y después, al final de los meses 2,5,8, 11,14, 17,20 Y 23 retiró una cantidad igual. Determine a cuánto asciende cada uno de los ocho retiros iguales, de forma que con el último retiro se extinga totalmente la inversión. 250000 𝐴 𝐴 𝐴 813791.64 = + + + (1 + 15%)1 (1 + 15%)2 (1 + 15%)5 (1 + 15%)8 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 + + + + (1 + 15%)11 (1 + 15%)14 (1 + 15%)17 (1 + 15%)20 𝐴 + (1 + 15%)23 𝑨 = 𝟖𝟓𝟎𝟎𝟎 76. Se depositan $1 000 en un banco que paga una tasa de interés de 12% anual capitalizada mensualmente. En el primer año se realizan cuatro retiros trimestrales, y el primero de estos ocurre al final del tercer mes. En el segundo año se efectúan tres retiros cuatrimestrales; el primero se realiza al final del mes 16. Determínese el monto de cada uno de los siete retiros, si tanto los cuatro retiros trimestrales como los tres cuatrimestrales tienen el mismo valor y con el último retiro se extingue el depósito. 𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
1000 = (1+1%)3 + (1+1%)6 + (1+1%)9 + (1+1%)12 + (1+1%)16 + (1+1%)20 + (1+1%)24 𝑨 = $𝟏𝟔𝟏. 𝟗𝟔 77. Se depositan $667.63 en un banco que paga un interés anual de 18% capitalizado mensualmente. Al final del segundo mes, a partir de la fecha de depósito, se efectúa un retiro, y después de éste se retira la misma cantidad cada tres meses, es decir, se realizan retiros los meses 2, 5, 8, 11, 14, 17,20 Y 23. ¿A cuánto asciende cada uno de los ocho retiros iguales, de forma que al realizar el último retiro se extinga totalmente el depósito? 𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
𝐴
667.63 = (1+15%)2 + (1+15%)5 + (1+15%)8 + (1+15%)11 + (1+15%)14 + (1+15%)17 + 𝐴 (1+15%)20
𝐴
+ (1+15%)23 𝑨 = $𝟏𝟎𝟎
78. Una persona pidió un préstamo al principio del año 1 por $100000, para liquidarlo en ocho pagos semestrales con un interés de 2% mensual. Luego de hacer los pagos correspondientes a los semestres 1, 2, 3 Y 4 a partir de la fecha del préstamo, acuerda suspender los pagos debido a un incremento en las tasas de interés, que a partir de esa fecha se elevan a 4% mensual. Asimismo, se compromete a pagar toda la deuda restante tres meses después. ¿Cuánto pagará al final de ese periodo (2 años y 3 meses) para liquidar totalmente la deuda a la nueva tasa de interés de 4% mensual?
𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = (1 + 2%)6 − 1 = 0.1261624 𝐴 = 100000 [
0.1261624(1.1261624)8 ]=20565.63 (1.1261624)8 −1
𝑑𝑒𝑢𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠: (1.1261624)4 − 1 𝑃 = 20565.63 [ ] = 61662.86 0.1261624(1.1261624)4 Pago final, tres semestres (18meses) después de la nueva tasa i= 4% mensual: 𝐹 = 61662.86(1 + 4%)18 = $𝟏𝟐𝟒𝟗𝟏𝟕. 𝟔𝟓 79. Elide enero del año 1 una persona compró un departamento por $200000 para ser liquidado en 60 mensualidades con un interés de 15% anual capitalizado mensualmente. La primera mensualidad se pagó un mes después de la fecha de adquisición. El contrato también estipula el pago de cinco anualidades con un valor de $5000 cada una, al final de los meses 12, 24, 36, 48 Y 60. Al iniciar el cuarto año ya se habían pagado 36 mensualidades y las anualidades correspondientes a los meses 12,24 Y 36. A partir del cuarto año el interés se elevó a 48% anual capitalizado mensualmente. Si el comprador aún desea pagar las anualidades correspondientes a los meses 48 y 60, por un monto de $5000 cada una, ¿cuál es el valor de las últimas 24 mensualidades que le faltan por pagar a la nueva tasa de interés? 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 =
18% = 1.25% 12
(1 + 1.25%)24 − 1 5000 5000 200000 = 𝐴 [ ] + + = 98129.72 (1 + 1.25%)12 (1 + 1.25%)24 1.25%(1 + 1.25%)24 Interés a partir del 𝑚𝑒𝑠 37: 𝑖 =
48% 12
= 0.04
(1 + 4%)24 − 1 5000 5000 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑: 98129.72 = 𝐴 [ ]+ + 24 12 (1 + 4%) (1 + 4%)24 4%(1 + 4%) 𝑨 = $𝟔𝟏𝟎𝟑. 𝟐𝟓 80. Se piden $15 000 en préstamo para ser pagados en 24 mensualidades iguales, a una tasa de interés de 3% mensual. El contrato declara que la primera mensualidad se va a pagar al final del primer mes y que al final de los meses 9, 10, 19 y 20 no se efectuarán pagos, por 10 que la deuda se terminará de pagar en el mes 28 (24 mensualidades con cuatro de meses de suspensión de pagos). Determínese el monto de cada una de las 24 mensualidades iguales.
(1 + 3%)8 − 1 (1 + 3%)8 − 1 1 15000 = 𝐴 [ ] + 𝐴 [ ] 8 8 3%(1 + 3%) 3%(1 + 3%) (1 + 3%)10 (1 + 3%)8 − 1 1 +𝐴[ ] 8 3%(1 + 3%) (1 + 3%)20 𝑨 = $𝟗𝟐𝟗. 𝟗𝟔 81. Se pidió un préstamo por $100000 y se acordó pagarlo en 24 mensualidades iguales con un interés de 15% anual con capitalización mensual. Habiendo pagado sólo las primeras dos mensualidades, la tasa de interés se elevó a 48% anual con capitalización mensual y con esta tasa se pagaron las siguientes 10 mensualidades. Se informa que a partir del mes 13 la tasa de interés se eleva a 60% anual capitalizada mensualmente. Se han pagado 12 mensualidades y se desea pagar la deuda restante al final del mes 13 con el nuevo interés. ¿Cuánto se debe pagar? 15% 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = = 1.25%; 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 24 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠: 12 1.25%(1 + 1.25%)24 − 1 𝐴 = 100000 [ ] = 4848. .66 (1 + 1.25%)24 Deuda restante después de pagar solo dos mensualidades: (1 + 1.25%)22 − 1 𝑃 = 4848.66 [ ] = 92757.68 1.25%(1 + 1.25%)22 0.48
Nueva mensualidad a pagar con la nueva tasa i: = 12 = 0.04 𝑒𝑛 22 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠: 𝐴 = 92757.68 [
4%(1 + 4%)22 ] = 6418.72 (1 + 4%)22 − 1
Se pagan 10 mensualidades de $6418.72 mas dis que ya habían pagado; deuda restante después de pagar 12 mensualidades: (1 + 4%)12 − 1 𝑃 = 6418.72 [ ] = 60240.17 4%(1 + 4%)12 0.6
Liquidación total de la deuda en el mes 13 con i= 12 = 0.05 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 Pago final = 60240.17(1 + 5%)1 = $𝟔𝟑𝟐𝟓𝟐. 𝟏𝟖 82. Usted puede comprar una TV por $1 400 de contado. Un plan alternativo de pago consiste en liquidar la compra mediante 12 pagos bimestrales, más el pago de dos anualidades al final de los meses 11 y 23 después de hacer la compra. Entonces, al final de los meses 11 y 23, además de la bimestralidad normal, se paga una extra. El primer pago se efectúa un mes después de la adquisición. Si el interés es de 15% anual
capitalizado mensualmente, calcule el valor de cada uno de los 14 pagos bimestrales iguales (12 normales más dos anualidades) con los cuales se liquida totalmente la deuda. 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 𝑖400 =
15% = 0.0125 12
𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 + + + (1 + 1.25%)1 (1 + 1.25%)3 (1 + 1.25%)5 (1 + 1.25%)7 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 + + + + 9 11 13 (1 + 1.25%) (1 + 1.25%) (1 + 1.25%) (1 + 1.25%)15 𝐴 𝐴 𝐴 + + + 17 19 (1 + 1.25%) (1 + 1.25%) (1.01251 + 1.25%)21 𝐴 + (1 + 1.25%)23 𝑨 = $𝟏𝟏𝟔. 𝟔𝟕
83. Una persona desea comprar una calculadora de bolsillo cuyo costo es de $1 960. Puede ahorrar $100 al mes en un banco que paga un interés de 24% anual capitalizado mensualmente. Luego de realizar el depósito número 13, el banco informa que la tasa de los ahorradores disminuye a 18% anual con capitalización mensual. ¿En qué mes podrá esta persona adquirir la calculadora? Suponga que el valor de la calculadora permanece constate en el tiempo. (1 + 2%)12 − 1 𝐹 = 100 [ ] = 1341.2 2% Con el nuevo interés 𝑖 =
18% 12
= 0.015
(1 + 15%)𝑛 − 1 1960 = 1341.2(1 + 15%)𝑛 + 100 [ ] 15% Por prueba y error se encuentra que n=5 84. Se pidió un préstamo por $20000 a un banco que cobra un interés de 18% anual capitalizado mensualmente. Se acuerda liquidar el préstamo en 10 pagos trimestrales iguales, que se empezarán a pagar cuatro meses después de recibir el préstamo. Inmediatamente después de haber realizado el sexto pago trimestral, el deudor decide liquidar el resto de la deuda en ese mismo momento. ¿Cuánto deberá pagar?
𝑖𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 =
18% = 4.5% 4
(1 + 4.5%)10 − 1 20000(1 + 15%) = 𝐴 [ ] 4.5%(1 + 4.5%)10 𝐴 = 2574.05 Deuda restante después de realizar seis pagos trimestrales: (1 + 4.5%)4 − 1 𝑃 = 2574.05 [ ] = 𝟗𝟐𝟏𝟗. 𝟖𝟑 4.5%(1 + 4.5%)4
