UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA- INGENIERIA CIVIL
I.
EJERCICIO CON ESFUERZOS
Calcular la línea de influencia del momento flector en el apoyo B en una viga de dos vanos, apoyada en sus dos extremos y recorrida por una carga unitaria.
Solución Empleando el Teorema de Müller – Breslau, se articula el punto B y se aplica un momento flector de valor unidad con él. Con esto la viga se transforma en dos vigas independientes, cada una apoyada en sus dos extremos, que comparten el apoyo B y están cargadas cada una con un momento unitario en su extremo.
El valor de la línea de influencia será:
∆ = −
+
Donde:
∆ = es la deformada elástica de las dos vigas biapoyadas cargadas con el momento unidad, en dirección de la carga (hacia abajo)
+ = es el giro relativo entre las dos vigas en el punto B (el comportamiento de las dos vigas es simétrico, basta con calcular una de ellas).
ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
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Determinando la ecuación de la elástica, tenemos:
=
El valor del momento flector en la viga AB es:
Por lo tanto la ecuación de la curva deformada elástica es:
(2) =
2
() → = ´´ Reemplazando tenemos:
′′
=
Integrando:
′′ 2
′
+ = 2
′ 2 Las condiciones de contorno son:
ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
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( = 0) = 0 → ′(=) =
0
→
= 0 =−
6
Por lo tanto la deformada de la viga será:
3 6 6 − = − = − 3 +
=
∆ 6
6
2
El giro en el extremo B de la viga es:
= ′( = ) = 2 − 6 = 3 Por simetría el giro por la derecha del apoyo B es igual al giro por la izquierda:
3
= =
Por lo tanto la línea de influencia será:
3 =
∆
6 − 6 = 32 −
− + = + 3
4
(0 < < )
4
3
Calculando la posición de la carga, donde se produce el máximo del momento flector en B, para ello derivamos
, igualando a 0, tenemos:
3 = (
32 1 2 − 4 ) = 4 2 − 4 = 0 →
√3
4
Reemplazando x, el Valor del momento máximo es:
ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
4
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3
Finalmente:
II.
EJERCICIO CON MÉTODO DIRECTO
Se tiene un puente viga de 20m de luz, por el cual va a cruzar un Camión C2, con la configuración de pesos que se muestra en la imagen. Hallar las líneas de influencia para las reacciones y el momento en el punto C que está ubicado en el medio del puente viga.
SOLUCIÓN Primer caso (0
ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
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=
( − )
() = Para X=0, RA=7 tn y RB=0 tn Para X=10, RA=3.5 tn y RB=3.5 tn
Segundo caso (10
=
( − ) ( − ( − )) +
()
( − )
=
+
Para X=10, RA=14.5 tn y RB=3.5 tn
ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
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Para X=20, RA=5.5 tn y RB=12.5 tn
Tercer caso (20
=
( − ( − ))
( − ) = Para X=20, RA=5.5 tn y RB=5.5 tn Para X=30, RA=0 tn y RB=11 tn
GRAFICOS DE LINEAS DE INFLUENCIA REACCION A
ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
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REACCION B
MOMENTO FLECTOR EN EL PUNTO C Primer caso (0
= ∗ () =
ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
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Para X=0, MC=0 tn Para X=10, Mc= 35 tn
Segundo caso (10
= ∗ − ( − ) ()
( − )
=
+
− )
− (
Para X=10, MC=35 tn Para X=20, Mc= 55 tn
Tercer caso (20
ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
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= ∗ ( − ( − )) =
Para X=20, MC=55 tn.m Para X=30, Mc= 0 tn.m
LINEA DE INFLUENCIA MOMENTO EN EL PUNTO C
ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
10
