03/06/13
EJERCICIOS CPM Y PERT Ejemplo 1: Dibujo de la Red CPM Se ha organizado un equipo de proyectos en Manufacturing Technology (MTI) para diseñar y desarrollar una versión ligeramente distinta de uno del robot industrial de la empresa !l nuevo robot se conoce como "andom #ccess Mobile $rthogonal %ision ("#M$%) "amov es móvil& tiene capacidad visual& es multia'ial y es programable en el piso de la planta no de los clientes ms importantes de MTI& un gran fabricante automotriz& planea reemplazar en cinco fbr fbric icas as un banc banco o de mqu mquin inas as con con los los nuev nuevos os robo robots ts&& en sus sus l*nea l*neas s de ensamble !l cliente desea ver en dos meses una demostración del robot& una propuesta t+cnica y una propuesta de costo ,o primero que hizo el equipo del proyecto fue enlistar y describir sus actividades& determinar su orden y estimar cun cun tiempo tiempo tomar* tomar*a a cada cada una una de las activi actividad dades es !sta !sta inform informac ación ión sobre sobre activi actividad dades es y event eventos os del del proye proyecto cto apare aparece cen n en la tabla tabla que incluimo incluimos s a continu continuaci ación ón -repar -reparare are un progra programa ma .-M partie partiendo ndo de la inform informaci ación ón de dicha tabla
Actividad
a b c d e f g h i
Actividades predecesora s inmediatas / a b a c&d e d e g&h
Duración de la actividad (días) 01 21 3 22 4 5 20 26 7
!vento8 2 !l proy proyect ecto o se ha inicia iniciado do 0 !l dise diseño ño "#M$ "#M$% % se ha ha termin terminado ado 6 ,as unidades unidades prototipo prototipo se han han const construido ruido 9 ,as pruebas pruebas de de prototipo prototipo se han han termin terminado ado 7 Se han han completad completado o las estima estimacione ciones s de materia materiales les 5 ,a afinaci afinación ón del del diseño diseño "#M$% "#M$% est terminada terminada 4 ,a propuest propuesta a t+cnica t+cnica y las estimacio estimaciones nes de costo costo de mano de de obra estn estn terminadas 3 ,as unidad unidades es "#M$% "#M$% se han han demostrad demostrado o y se ha entrega entregado do la propuesta al cliente !l proyecto se ha terminado
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Solución8 1
a
2
b
3
d
4
c
e
6 h
ficticia 5
8
f i 7
g
:ote que tanto la actividad c como la actividad d son predecesores inmediatos de la actividad e -ara mostrar que la actividad d debe quedar terminada antes del inicio de la Terminal e& se utiliza una actividad falsa na actividad ficticia no involucra traba;o ni tiempo< simplemente muestra la relación de precedencia& es decir& el orden de las actividades Ejemplo 2: n!lisis de las tra"ectorias# #hora que en el e;emplo 2 se desarrolló el diagrama de red para el proyecto "#M$%& analice las trayectorias a trav+s de la red =etermine cul de ellas es la ruta cr*tica y cuanto se espera que tome la terminación del proyecto Solución8 2 -rimero& escriba la duración de cada actividad deba;o de su flecha -or e;emplo a > 01 se escribe deba;o de la flecha a8 1
a = 20
2
b = 10
3
d = 11
c=8
4
e=7
ficticia 5
g = 12
6
f =6
h = 13
8 i=5
7
0 # continuación& identifique las trayectorias y calcule la duración de cada trayectoria8 Trayectorias a/b/c/e/f a/b/c/e/h/i a/d/e/f a/d/e/h/i a/d/g/i @ "uta cr*tica
Duración de las trayectorias (días) 01 ? 21 ? 3 ? 4 ? 5 > 72 01 ? 21 ? 3 ? 4 ? 26 ? 7 > 56@ 01 ? 22 ? 4 ? 5 > 99 01 ? 22 ? 4 ? 26 ? 7 > 75 01 ? 22 ? 20 ? 7 > 93
,a trayectoria ms larga es de 59 d*as& y se trata de la ruta cr*tica& que determina la duración de todo el proyecto< por lo tanto& se espera que el proyecto demore 56 d*as en terminarse
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Ejemplo $: C!lculo de la terminación m!s temprana (E%) de as actividades# =e la red en e;emplo calcule la terminación ms temprana (!A) de cada actividad !scriba la !A de cada actividad en la parte izquierda del recuadro sobre su flecha !mpiece por el evento 2 y mu+vase de izquierda a derecha por la red para determinar el valor de !A correspondiente a la actividad ,a !A representa el tiempo transcurrido ms temprano desde el inicio del proyecto en el que podamos terminar una actividad -ara todas las actividades que empiezan un proyecto& sus !A son iguales a sus duraciones -or e;emplo& la !A de la actividad a es 01& lo mismo que su duración& puesto que es la actividad con que empieza el proyecto -ara las dems actividades& la !A de una actividad es la !A de su predecesor inmediato ms su duración (=) .alculemos los valores de !A8 EF 20
1
a = 20
30
2
b = 10
38
3
45
4
c=8
d = 11 31
51
e=7 6 h = 13
i=5
58 43
5
g = 12
8
f =6 63
7
!Aa > 01 !Ab > !Aa ? =b > 01 ? 21 > 61 !Ac > !Ab ? =c > 61 ? 3 > 63 !Ad > !Aa ? =d > 01 ? 22 > 62 !Ae > !Ac ? =e > 63 ? 4 > 97 !Af > !fe ? =f > 97 ? 5 > 72 !Ag > !Ad ? =g > 62 ? 20 > 96 !Ah > !fe ? =h > 97 ? 26 > 73 !Ai > !fh ? =i > 73 ? 7 > 56 $bserve que cuando una actividad tiene dos o ms actividades inmediatamente predecesoras& para el clculo de su !A deber utilizarse la !A ms grande entre todas las inmediatas predecesoras !;emplo& la actividad i tiene dos actividades inmediatas predecesoras8 h y g =ado que !Ah > 73 es mayor que !Ag > 96 & !Ah deber emplearse para calcular !Ai8 !Ai > !Ah ? =i > 73 ? 7 > 56 =e manera similar& la actividad e tiene dos predecesores8 c y d =ado que !Ac > 63 es mayor que !Ad > 62& deber utilizarse !Ac para calcular !Ae8 !Ae > !Ac ? =e > 63 ? 4 > 97
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!l !A ms grande de las actividades que terminan en el evento 3 representa el tiempo esperando de terminación de todo el proyecto y la duración de la ruta cr*tica !n este e;emplo& la !A ms grande !Ai > 56& por lo que se espera que el proyecto "#M$% quede terminado 56 d*as despu+s de su inicio Ejemplo &: C!lculo de la terminación m!s tardía ('%) " la olura (*)# !l ,A es el tiempo ms tard*o transcurrido desde el principio de un proyecto en que podemos terminar una actividad sin retrasar la finalización del proyecto Siguiendo a lo largo de la red .-M de derecha a izquierda& se escriben los valores de ,A en la parte derecha del recuadro sobre cada flecha de actividad ,as actividades que terminan en el Bltimo evento de un proyecto siempre tienen una ,A que es igual a la ,A ms grande entre todas las actividades del proyecto Si una actividad tiene ms de una actividad inmediatamente sucesora& su ,A es el ms pequeño ,A C= entre sus actividades sucesoras inmediatas !l valor de la holgura (S de una actividad se calcula restando su !A de su ,A y colocando su valor en la parte superior del recuadro& por encima de la flecha Mediante una pasada de izquierda a derecha a trav+s de la red& se han calculado las terminaciones ms tempranas (!A) de todas las actividades del proyecto .alculemos ahora la terminación ms tard*a (,A) y la holgura (S) correspondiente a cada actividad Solución8 S EF LF 0 20 20
1
a = 20
0 30 30
2
b = 10
0 38 38
3
c=8
0 45 45
4
12 51 63
e=7 6 h = 13
d = 11
15
58 58
31 38
43 58
0
7
5
g = 12
f =6
8 i=5 63 63
7
0
!mpiece con el evento 3 en el e'tremo derecho del diagrama y mu+vase de derecha a izquierda a trav+s de la red !scriba la ,A de cada actividad en la parte derecha del recuadro sobre su flecha ,a ,A representa el tiempo ms tard*o transcurrido desde el inicio que podemos utilizar para terminar una actividad ,a ,A para todas las actividades que terminan en el Bltimo evento siempre ser la ,A ms grande del proyecto ,a ,A de las actividades f e i es& por lo tanto& de 56 d*as& que es el mismo de !Ai& la !A ms grande de todas las actividades ,Ai > !Ai > 56 ,Af > !Af > 56
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,a ,A para cualquier otra actividad se calcula restando la duración (T) de las actividades inmediatas sucesoras (la actividad a su derecha inmediata dentro de la red) de la terminación ms tard*a de la actividad inmediata sucesora (,A) ,as terminaciones ms tard*as de las actividades dentro del proyecto se calculan como sigue8 ,Ah > ,Ai C =i > 56 C 7 > 73 ,Ag > ,Ai C =i > 56 C 7 > 73 ,Ae > ,Ah C =h > 73 C 26 > 97@ ,Ad > ,Ae C =e > 97 C 4 > 63@ ,Ac > ,Ae C =e > 97 C 4 > 63 ,Ab > ,Ac C =c > 63 C 3 > 61 ,Aa > ,Ab C =b > 61 C 21 > 01@ @ Tienen ms de una actividad sucesora $bserve que si una actividad tiene ms de una actividad inmediata sucesora (actividades a su inmediata derecha en la red) su ,A se calcula comparando los valores de ,A/= de todas las actividades sucesoras inmediatas Se utilizar entonces la ,A C= de valor ms pequeño para su ,A -or e;emplo& las actividades e& d& y a arriba citadas tienen un asterisco (@) para indicar que tienen ms de una actividad sucesora Tome por e;emplo la actividad e8 las actividades f y h suceden a la actividad e ,Ae se calcula entonces como sigue8 -or lo tanto ,Ae > 97 .alculo de la holgura (S) correspondiente a cada actividad -ara cada actividad& S > ,A C !A !n cada actividad reste su !A de su ,A y escriba el valor de S en la parte superior del recuadro& sobre la flecha ,a holgura de todas las actividades en la ruta cr*tica es igual a 1 #ctividades adyacentes en secciones de trayectoria comparten la holgura -or e;emplo& considere la trayectoria a/b/g/i& de la red .-M ,a actividad d tiene siete d*as de holgura& la actividad g tiene 27 d*as de holgura& pero la sumas de las duraciones de las actividades a lo largo de la trayectoria es de 93 d*as !'iste& por lo tanto& un total de 56/93 > 27 d*as de holgura a lo largo de su trayectoria& por lo que siete d*as de holgura se comparten entre las actividades d y g Ejemplo +: C!lculo del inicio m!s temprano (E*) " del inicio m!s tardío ('*)# =e la red del e;emplo calcule el inicio ms temprano (!S) y el inicio ms tard*o (,S) correspondiente a cada actividad Solución8 $btenga los valores !A& ,A y S de cada actividad colóquelos en la tabla que sigue a continuación #cto seguido& calcule los valores !S y ,S de cada una de las actividades utilizando las siguientes fórmulas8 !S > !A C= ,S > ,A C =
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Activida d
a b c d e f g h i
Duració Inicio n de la más actividad tempran o (ES) 01 1 21 01 3 61 22 01 4 63 5 97 20 62 26 97 7 73
Terminació n más temprana (EF) 01 61 63 62 97 72 96 73 56
Inicio más tardío (LS) 1 01 61 04 63 74 95 97 73
Terminació n más tardía (LF)
Holura (S)
01 61 63 63 97 56 73 73 56
1 1 1 4 1 20 27 1 1
Demos demostrado la forma en que el anlisis .-M desarrolla información para la gerencia8 duración del proyecto& actividades cr*ticas y holgura de las actividades !stos clculos se desarrollan al principio del proyecto y se modifican cuando se tengan nuevas estimaciones& conforme avanza dicho proyecto !stas actualizaciones resultan en nuevos informes periódicos que se env*an a los gerentes de proyecto ,os informes de e'cepción .-M& los de actividades en falla y los de actividades comprimidas son e;emplos de informes que proporcionan a los gerentes de proyecto información a la fecha sobre detalles del proyecto& permitiendo as* un estrecho control de las actividades ,-cnica de Evaluación " Revisión de Proramas -!"T es prcticamente id+ntico a .-M en lo que se refiere a sus funciones& diagramas de red& clculos internos y los informes resultantes de administración de proyectos ,as e'cepciones menores giran alrededor de las estimaciones de los tiempos de las actividades !n .-M& la duración de una actividad se basa en una simple estimación del tiempo !n -!"T& para cada actividad se hacen tres estimaciones de tiempo8 el tiempo pesimista (,p) si se tiene mala suerte< el tiempo m!s probable (,m) que es la me;or estimación consensual y el tiempo optimista (,o) si todo sale bien =e estas tres estimaciones& para cada actividad se calcula una media (,e) y una varianza (.t)# Te > (To ? 9 Tm ? Tp) E 5 %t > F(Tp C To) E 5G0 H-or qu+ -!"T utiliza estimaciones mBltiples de tiempos de actividades -or que hay incertidumbre respecto a la duración de las actividades #l estimar un tiempo pesimista y uno optimista se da una gama probable de duraciones !l tiempo ms probable es nuestra me;or estimación de la duración Tres estimaciones de tiempo permiten el desarrollo de una duración promedio y de una varianza para cada una de las trayectorias de la red =efiniendo as* completamente la distribución de la duración de las trayectorias ,a duración media de una trayectoria es igual a la suma de las duraciones medias de sus actividades y la varianza de una trayectoria es igual a la suma de las varianzas
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de sus actividades .uando la distribución de la duración de una trayectoria se supone normal& y se calcularon su media y su varianza& podemos hacer enunciados probabil*sticas sobre dicha trayectoria -or e;emplo8 2) Sólo hay una probabilidad de 21J que la ruta cr*tica resulte superior a 67 semanas& 0) hay una probabilidad de 67J de que el proyecto pueda terminarse en medios de 71 semanas ,a capacidad de hacer enunciados probabil*sticas sobre la duración de las trayectorias del proyecto es la Bnica diferencia e'istente entre .-M y -!"T -!"T utiliza Te para las duraciones de actividades< todos los dems clculos son id+nticos en ambos m+todos Ejemplo /: n!lisis PER, del pro"ecto# !l cliente pidió al equipo estimar la probabilidad de que el proyecto pudiera quedar terminado dentro de 57 d*as -ara responder& el equipo desarrolló tres estimaciones de duración de cda una de las actividades del proyecto =esarrolle un anlisis -!"T del proyecto y responda a la pregunta del cliente Solución8 2 -rimero calcule la media y la varianza de cada actividad8 Actividad
a b c d e f g h i
T o
T m
T p
(tiempo
(Tiempo
(Tiempo
optimista)
pro!a!le)
pesimista)
23 3 7 21 4 9 21 20 7
01 21 3 22 4 5 20 26 7
00 29 K 20 4 4 29 27 7
T e " (T o# $ T m#T p )%& 01&11 21&66 4&54 22&11 4&11 7&36 20&11 26&24 7&11
' t " (T p T o )%&* + 1&99 2&11 1&99 1&22 1&11 1&07 1&99 1&07 1&11
0 =espu+s dibu;e la red -!"T y calcule la terminación ms temprana (!A)& la terminación ms tard*a (,A)& y la holgura (S) correspondiente a cada actividad =etermine la trayectoria o ruta crt*tica
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S EF LF 0 20 20
1
a = 20
0 10,33 10,33 30
2 b=10,33
0 38 38
3
c=7,67
d = 11 31 38 7
5
0 45 45
4
12,34 50,83 63,17
e=7 6 f =5,83 h=13,17
15,17
58,17 58,17
43 58,17
0
g = 12
8 i=5
63,17 63,17
7
0
.omo se puede observar en la red que arriba se muestra& la trayectoria a/b/c/ e/h/i es la ruta cr*tica y se espera que tome 56&24 d*as 6 =espu+s& calcule la desviación estndar de la ruta cr*tica8 Sume las varianzas de las actividades a lo largo de la ruta cr*tica a/b/c/e/h/i8 %path > %a ? %b ? %c ? %e ? %h ? %i > 1&99 ? 2&1 ? 1&99 ? 1 ? 1&07 ? 1 > 026 2E0 σpath > (%path) > (0&26) 2E0 > 2&95 =*as 9 =espu+s& calcule la probabilidad de terminar el proyecto dentro de 57 d*as8 Suponiendo que la distribución del tiempo de terminación de la trayectoria a/b/ c/e/h/i es normal con una media de 5624 d*as y una desviación estndar de 2&95 d*as8 65
Media > 56&24 =*as σpath > 2&07 !ncuentre a cuntas desviaciones estndar de la media est 57 d*as8 L > (57 C 56&24) E
σpath
> (57 C 56&24) E 2&95 > 2&07
tilizando la tabla de distribución de probabilidad normal& para el valor de L > 2&07 encontramos que la probabilidad de que el proyecto se termine en menos de 57 d*as es de 1&3K967 (apro'imadamente 3K&9J) pero esa es la buena noticia ,a mala noticia es que e'iste una probabilidad de 1&21757 (apro'imadamente 21&5J) de que el proyecto tarde ms de 57 d*as
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!n el anlisis -!"T debemos tener cierto cuidado al interpretar el significado de una ruta cr*tica ,a ruta cr*tica en un anlisis -!"T es simplemente la trayectoria que tiene la duración esperada ms larga ,a ruta cr*tica del e;emplo fue la trayectoria a/b/c/e/h/i& que ten*a una duración esperada de 56&24 d*as& y e'iste una probabilidad de 21&5J que esta trayectoria pudiera tomar ms de 57 d*as !n la red "#M$% puede haber una o ms trayectorias que tengan duraciones esperadas ms pequeñas& pero su;etas a gran incertidumbre !stas trayectorias no cr*ticas pueden tener& de hecho& una mayor probabilidad de requerir ms de 57 d*as para su terminación que la trayectoria a/b/c/e/h/i !n estos casos& la varianza de la ruta cr*tica disminuye la importancia de la varianza real de la duración del proyecto !l significado en este punto es que cuando se utiliza -!"T al determinar la probabilidad de e'ceder alguna fecha particular de terminación del proyecto& los analistas deben poner atención a la ruta cr*tica y a otras rutas o trayectorias con duraciones esperadas cercanas a la cr*tica
03/06/13
!!M-,$ 4 na empresa constructora ha elaborado un proyecto para construir una serie de chal+s ,as actividades que tiene que realizar son las siguientes8
ctividad Descripción Días # rbanización de la zona 0 N #cometida de la luz en la urbanización 2&7 . .onstrucción de los bloques de viviendas 2 = #cometida de luz en las viviendas 1&7 ! -avimentado de las calles 7 A -avimentado de las aceras 9 O .onstrucción de la piscina 2&7 D Traba;os en servicios au'iliares de la urbanización 1&7 I Traba;os en la urbanización interna 5 #cometida del gas en las viviendas 9 P #cometida de electricidad en las viviendas 0 , .arpinter*a en las viviendas 6 M .ontrol y verificación 7
.amino cr*tico
Orfica O#:TT
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!!M-,$ 3 Teniendo en cuenta las siguientes actividades o situaciones en el proceso de instalación de un equipo de control de contaminación en una central t+rmica& se pide8 a) "ealizar la representación grfica del modelo -!"T/.-M ctividad Descripción Duración (días) Precedente Instalación de componentes internos 9 /// 0 Instalación de componentes e'ternos 5 /// C Modificación de estructuras internas 9 # D Instalación de la estructura e'terna 3 N E Instalar el sistema de control 9 . % Instalar el dispositivo de control 21 = -ruebas y verificación 9 !& A
