PROBLEMA N°1 (parte a)
a) Utilizando el WinQsb, PomQm, Lindo o Solver de Excel encuentre la solución óptima de los siguientes problemas. Muestre la salida del software. MAX 8X + 7Y ST 2X + 0.5Y <= 12 4X + 7Y <= 36 X, Y >= 0 Y ENTERO Solución del problema aplicando el software lindo
Encontramos como solución óptima entera los siguientes valores X= 5 Y=2 Z = 54 PROBLEMA N°2 (parte a) MAX 3X1 + 3X2 + 13X3 ST -3X1 + 6X2 + 7X3 <= 8 6X1 – 3X2 + 7X3 <=8 X1, X2, X3 <= 5 X2 >= 0 X1, X3 >= 0 Y ENTERO
a) Utilizando el WinQsb, PomQm, Lindo o Solver de Excel encuentre la solución óptima de los siguientes problemas. Muestre la salida del software.
Encontramos como solución óptima entera los siguientes valores X1 = 0 X2 = 0.1667 X3 = 1 Z = 13.5
EJERCICIO N°4 (parte a)
a) Utilizando el WinQsb, PomQm, Lindo o Solver de Excel encuentre la solución óptima de los siguientes problemas. Muestre la salida del software.
SOLUCION OPTIMA EJERCICIO 4 MAX 3X1 + X2 + 2X3 - X4 + X5 ST 2X1+X2-3X4<=1 X1+2X2-3X3-X4+2X5>=2 X1,X2,X3,X4,X5 { 0,1}
x1 x2 x3 x4 x5 Z
= = = = = =
1 1 0 1 1 4
EJERCICIO N°5 (parte a)
a) Utilizando el WinQsb, PomQm, Lindo o Solver de Excel encuentre la solución óptima de los siguientes problemas. Muestre la salida del software. MIN 3X1 + 2X2 + 4X3 ST 2X1 + 4X2 + 3X3 >= 40 X1 + X2 + 5X3 >= 30 X1, X2, X3 >= 0 Y ENTERO
Encontramos como solución óptima entera los siguientes valores X1= 0 X2=7 X3= 5 Z = 34
PROBLEMA N°1 (parte b)
b) Utilizando el algoritmo de Ramificación y Acotamiento, construya el árbol respectivo para cada problema de la parte a) y muestre la rama que tiene la solución óptima. Verifique sus respuestas con las obtenidas en el punto anterior MAX 8X + 7Y ST 2X + 0.5Y <= 12 4X + 7Y <= 36 X, Y >= 0 Y ENTERO La gráfica de este problema se muestra en la figura siguiente:
La solución no entera óptima cae en la intersección de las dos primeras restricciones: X = 5.5, Y=2, Z = 58 La variable X no es entera. También puede afirmarse que ninguna otra solución no entera dará un valor mayor a 58 para la función objetivo.
Ramificación
Se hace la ramificación de la variable “X” que tiene un valor de solución de 5.5. Como sólo son de interés las soluciones enteras, pueden eliminarse todos los valores de X entre 5 y 6. Es decir, puede dividirse el espacio de soluciones en dos partes, con una X<= 5 y otra con X>= 6, tal como se muestra en la figura siguiente:
Esto crea dos nuevos problemas de PL uno para cada rama Rama PPL2: Maximizar: Z = 8X + 7Y
Restricciones: 2X + 0.5Y <= 12 4X + 7Y <= 36 X <= 5 Rama PPL3: Maximizar: Z = 8X + 7Y
Restricciones: 2X + 0.5Y <= 12 4X + 7Y <= 36 X >= 6
Ahora debemos resolver cada uno de los problemas ignorando de nuevamente la restricción de variables enteras. Un diagrama de árbol es muy útil para guardar un registro de las ramas. La solución para las dos ramas se muestra en el diagrama de árbol de la figura siguiente: PPL 1 X = 5.5 Y=2
X<=5
Z = 58
X>=6
PPL 2
PPL 3
X=5
X=6
Y = 2.28
Y =0
Z = 56
Z = 48
SUB MODELO (PPL2)
SUB MODELO (PPL3)
Aunque ambas soluciones dan valores enteros de X, sin embargo la rama PPL2 la variable Y da un valor no entero. Por lo cual nos vemos en la necesidad de volverla a dividir PPL2 para buscar la solución óptima entera. Los modelos de programación lineal correspondientes a cada una de las nuevas ramas del árbol son:
Rama PPL4:
Maximizar: S.t.:
Rama PPL5:
Z = 8X + 7Y
Maximizar:
2X + 0.5Y <= 12
Z = 8X + 7Y S.t:
4X + 7Y <= 36
2X + 0.5Y <= 12 4X + 7Y <= 36
X <= 5
X <= 5
Y <= 2
Y >= 3
Nótese también que la función objetivo ha disminuido en ambos casos. En este punto puede afirmarse que ninguna solución entera en la rama A puede dar un valor de la función objetivo mayor que 58. PPL 1 X = 5.5 Y=2
X<=5
Y <= 2
Solucion Oprtima cota
PPL 3
X=5
X=6
Y = 2.28
Y =0
Z = 56
Y >= 3
PPL 5
X=5
X = 3.75
Y=2
Y=3
SUB MODELO (PPL4)
X>=6
PPL 2
PPL 4
Z = 54
Z = 58
>
Z = 51
Z = 48
SUB MODELO (PPL5)
Para encontrar la solución óptima entera, no es necesario terminar de ramificar el árbol completo, debido a que la solución de una de las ramas puede servir de cota para ya no extender otras ramas del árbol cuyas soluciones sean igual o de menor valor que la cota. En nuestro caso no hubo la necesidad de ramificar todo el árbol ya que al tener la rama PPL4 un valor de Z= 54 y en la rama PPL5 (mismo nivel) un valor de Z=51 esto implica que la rama PPL5 al ramificarla nunca obtendrá un valor superior a Z=51 por lo que la solución óptima está en la rama PPL4 con X=5, Y=2 y Z= 54
PROBLEMA N°2 (parte b)
b) Utilizando el algoritmo de Ramificación y Acotamiento, construya el árbol respectivo para cada problema de la parte a) y muestre la rama que tiene la solución óptima. Verifique sus respuestas con las obtenidas en el punto anterior.
Ramificación MODELO RAIZ (PPL1) MAX 3X1 + 3X2 + 13X3 ST -3X1 + 6X2 + 7X3 <= 8 6X1 - 3X2 + 7X3 <=8 X1 <= 5 X2 <= 5
X3 <= 5 X2 >= 0 X1 >= 0 X3 >= 0 END
Nos muestra los valores: X1=2 X2=0 X3=2.33 Z = 16 Nuestro ejercicio nos pide que las variables X1 y X3 sean valores enteros, entonces hacemos la ramificación para la variable “X1” que tiene como valor de solución 2.67 Como solo son de interés las soluciones enteras, pueden eliminarse todos los valores de “X3” entre 2 y 3. Es decir pueden dividirse el espacio de soluciones en dos partes, con una “X1<=2” y “X1>=3”, tal como se muestra en la figura siguiente.
X1 <= 2
PPL 1
X1 >= 3
X1 = 2.67 X2 = 2.67 X3 = 0 Z = 16
PPL 2 X1 = 2 X2 = 2 X3 = 0.286 Z = 15.71
SUBODELO (PPL3)
SUBODELO (PPL2)
PPL 3 SOLUCION NO FACTIBLE
Nos muestra los valores: X1=2 X2=2 X3=0.285714 Z = 15.71429 Nuestro ejercicio nos pide que las variables X1 y X3 sean valores enteros, entonces hacemos la ramificación para la variable “X3” que tiene como valor de solución 0.285714 Como solo son de interés las soluciones enteras, pueden eliminarse todos los valores de “X3” entre 0 y 1. Es decir pueden dividirse el espacio de soluciones en dos partes, con una “X3<=0” y “X3>=1”, tal como se muestra en l a figura siguiente.
PPL 2 X1 = 2
X3 <= 0
X2 = 2
X3 >= 1
X3 = 0.286 Z = 15.71
PPL 4
PPL 5
X1 = 2
X1 = 0.333
X2 = 2.333
X2 = 0.333
X3 = 0
X3 = 1
Z = 13
Z = 15
SUBODELO (PPL4)
Nos muestra los valores:
X1=2 X2=2.333 X3=0 Z = 13 Nuestro ejercicio nos pide que las variables X1 y X3 sean valores enteros, hemos de notar que cumple con las condiciones, pero al resolver el SUBMODELO PPL5 notaremos que es más conveniente ir por la otra rama ya que el (Z = 15) del PPL4 es mayor que el (Z = 13) del PPL5
SUBODELO (PPL5)
Nos muestra los valores: X1=0.333 X2=0.333 X3=1 Z = 15 Nuestro ejercicio nos pide que las variables X1 y X3 sean valores enteros, entonces hacemos la ramificación para la variable “X1” que tiene como valor de solución 0.333 Como solo son de interés las soluciones enteras, pueden eliminarse todos los valores de “X1” entre 0 y 1. Es decir pueden dividirse el espacio de soluciones en dos partes, con una “X1<=0” y “X1>=1”, tal como se muestra en l a figura siguiente.
X1 <= 0
PPL 5
X1 >=1
X1 = 0.333 X2 = 0.333 X3 = 1 Z = 15
PPL 6
PPL 7
X1 = 0 X2 = 0 X3 = 1.143
SOLUCION NO FACTIBLE
Z = 14.857
SUBODELO (PPL6)
Nos muestra los valores: X1=0 X2=0 X3=1.142857 Z = 14.85714 Nuestro ejercicio nos pide que las variables X1 y X3 sean valores enteros, entonces hacemos la ramificación para la variable “X3” que tiene como valor de solución 1.142857 Como solo son de interés las soluciones enteras, pueden eliminarse todos los valores de “X1” entre 0 y 1. Es decir pueden dividirse el espaci o de soluciones en dos partes, con una “X1<=0” y “X1>=1”, tal como se muestra en l a figura siguiente.
PPL 6 X1 = 0
X3 <= 1
X2 = 0
X1 >= 2
X3 = 1.143 Z = 14.857
PPL 8
PPL 9
X1 = 0 X2 = 0.167 X3 = 1 Z = 13.5
SUBODELO (PPL7)
SUBODELO (PPL8)
SOLUCION NO FACTIBLE
Nos muestra los valores: X1=0 X2=0.166667 X3=1 Z = 13.5 Nuestro ejercicio nos pide que las variables X1 y X3 sean valores enteros, y podemos notar que hemos cumplido con las condiciones y de esta maner a hemos llegado a nuestra solución, tal como se muestra en la figura siguiente.
X1 <= 2
PPL 1
X1 >= 3
X1 = 2.67 X2 = 2.67 X3 = 0 Z = 16
PPL 2
PPL 3
X1 = 2
X3 <= 0
X2 = 2
X3 >= 1
SOLUCION NO FACTIBLE
X3 = 0.286 Z = 15.71
PPL 4
X1 <= 0
PPL 5
X1 = 2
X1 = 0.333
X2 = 2.333
X2 = 0.333
X3 = 0
X3 = 1
Z = 13
Z = 15
PPL 6
X1 >=1
PPL 7
X1 = 0
X3 <= 1
X2 = 0
X1 >= 2
FACTIBLE
X3 = 1.143 Z = 14.857
PPL 8
PPL 9
X1 = 0 X2 = 0.167 X3 = 1 Z = 13.5
SOLUCION NO
SOLUCION NO FACTIBLE
EJERCICIO N°4 (parte b)
b) Utilizando el algoritmo de Ramificación y Acotamiento, construya el árbol respectivo para cada problema de la parte a) y muestre la rama que tiene la solución óptima. Verifique sus respuestas con las obtenidas en el punto anterior.
MODELO RAIZ PPL1 MAX 3X1+X2+2X3-X4+X5 ST 2X1+X2-3X4<=1 X1+2X2-3X3-X4+2X5>=2 x1<=1 x2<=1 x3<=1 x4<=1 x5<=1 Nos muestra los valores x1=1 x2=1 x3=0.777 x4=0.666 x5=1
Z=5.8889 Nuestro ejercicio nos pide que las variables sean valores enteros entre 0 y 1, entonces hacemos la ramificación para la variable “X3 o X4” indistintamente ya que tienen como valor de solución un decimal para nuestro caso tomaremos X3 Como solo son de interés las soluciones enteras, pueden eliminarse todos los valores de “X3” entre 0 y 1. Es decir pueden dividirse el espacio de soluciones en dos partes, con una “X3<=0” y “X3>=1”, tal como se muestra en l a figura siguiente.
RAMA PPL3 No tiene solución factible
RAMA PPL2 Nos muestra los valores: x1=1 x2=1 x3=0 x4=0.66667 x5=1
Z=4.3334
Nuestro ejercicio nos pide que las variables sean valores enteros entre 0 y 1, entonces hacemos la ramificación para la variable “X4” ya que tienen como valor de solución 0.66667 Como solo son de interés las soluciones enteras, pueden eliminarse todos los valores de “X4” entre 0 y 1. Es decir pueden dividirse el espacio de soluciones en dos partes, con una “X4<=0” y “X4>=1”, tal como se muestra en l a figura siguiente.
RAMA PPL4
Nos muestra los valores x1=0.5 x2=0 x3=0 x4=0 x5=1
Z=2.5
Nuestro ejercicio nos pide que las variables sean valores enteros BINARIOS, hemos de notar que cumple con las condiciones, pero al resol ver el SUBMODELO PPL5 notaremos que es más conveniente ir por la otra rama ya que el (Z = 2.5) del PPL4 es MENOR que el (Z = 4) del PPL5
RAMA PPL5
Nos muestra los valores x1=1
Nuestro ejercicio nos pide que las variables sean valores enteros binarios, y podemos notar que hemos cumplido con las condiciones y de esta manera hemos llegado a nuestra solución, tal como se muestra en la figura siguiente.
x2=1 x3=0 x4=1 x5=1
Z=4
Arbol de ramificación completa PPL1
X3<=0
X1
=
1.00
X2
=
1.00
X3
=
0.77
X4
=
0.66
X5
=
1.00
X3>=1
Z=5.8889
PPL2
X4<=0
PPL3
X1
=
1.00
X2
=
1.00
X3
=
0.00
NO
X4
=
0.66
FACTIBLE
X5
=
1.00
SOLUCION
X4>=1
Z=4.3334
PPL4
PPL5
X1
=
0.50
X1
=
1.00
X2
=
0.00
X2
=
1.00
X3
=
0.00
X3
=
0.00
X4
=
0.00
X4
=
1.00
X5
=
1.00
X5
=
1.00
Z=2.5
RAMA DE SOLUCION OPTIMA
Z=4
Dado que la solución de la rama PPL5 es mayor a la solución de la rama PPL4 no hay necesidad de seguir extendiendo el árbol debido a que las soluciones posteriores serán menores. Por lo tanto, la solución óptima del problema se encuentra en la rama PPL5 con X1= 1; X2= 1; X3= 0; X4= 1; X5= 1 y Z= 3X1+X2+2X3-X4+X5 = 4
LAS RESPUESTAS OBTENIDAS POR EL ALGORITMO DE RAMIFICACION Y ACOTAMIENTO SON IGUALES A LAS OBTENIDAS POR EL PROGRAMA LINDO
EJERCICIO N°5 (parte b)
a) Utilizando el algoritmo de Ramificación y Acotamiento, construya el árbol respectivo para cada problema de la parte a) y muestre la rama que tiene la solución óptima. Verifique sus respuestas con las obtenidas en el punto anterior MIN 3X1 + 2X2 + 4X3 ST 2X1 + 4X2 + 3X3 >= 40 X1 + X2 + 5X3 >= 30 X1, X2, X3 >= 0 Y ENTERO
La solución no entera óptima cae en la intersección de las dos primeras restricciones: X1=0, X2=6.5, X3=4.7, Z=31.76. La variable X2 y X3 no son enteras. También puede afirmarse que ninguna otra solución no entera dará un valor MENOR a 31.76 para la función objetivo.
RAMIFICACIÓN Se inicia la ramificación con cualquiera de las dos variables, seleccionare X2 que tiene un valor de solución de 6.5. Como sólo son de interés las soluciones enteras, pueden eliminarse todos los valores de X entre 6 y 7. Es decir, puede dividirse el espacio de soluciones en dos partes, con una X<= 6 y otra con X>= 7. Esto crea dos nuevos problemas de PL uno para cada rama.
RAMA B
RAMA A MIN 3X1+2X2+4X3
MIN 3X1+2X2+4X3
ST 2X1+4X2+3X3>=40
ST
X1+X2+5X3>=30 X1>=0
X1+X2+5X3>=30 X1>=0
X2>=0
X2>=0
X3>=0
X3>=0
X2<=6
X2>=7 END
END
2X1+4X2+3X3>=40
Nótese que la restricción original X2>=0 se convierte en superflua en la rama B. Ahora debe resolverse cada uno de los problemas igno rando de nuevo la restricción de variables enteras. Un diagrama de árbol es muy útil para guardar un registro de las ramas. La solución para las dos ramas se muestra en el diagrama de árbol de la figura siguiente:
INICIO X1=0 X2<=6
X2=6.5
X2>=7
X3=4.7 Z=31.76
A
B
X1=0
X1=0
X2=6
X2=7
X3=5.3
X3=4.6
33.3
32.4
Aunque ambas soluciones dan valores enteros para X1 y X2, dejan a X3 con valores no enteros. Nótese también que la función objetivo ha AUMENTADO en ambos casos. En este punto puede afirmarse que ninguna solución entera en la rama A puede dar un valor de la función objetivo MENOR que 33.3. De igual manera, 32.4 es una cota superior en la rama B. La ramificación posterior se muestra en la figura de la página siguiente. Los modelos de programación lineal correspondientes a cada una de las ramas posteriores del árbol son:
RAMA B.1
RAMA B.2
RAMA A.1
RAMA A.2
MIN 3X1+2X2+4X3
MIN 3X1+2X2+4X3
ST 2X1+4X2+3X3>=40
ST 2X1+4X2+3X3>=40
MIN 3X1+2X2+4X3 ST
MIN 3X1+2X2+4X3 ST
2X1+4X2+3X3>=40
2X1+4X2+3X3>=40
X1+X2+5X3>=30
X1+X2+5X3>=30
X1+X2+5X3>=30
X1+X2+5X3>=30
X1>=0
X1>=0
X1>=0
X1>=0
X2>=0 X3>=0
X2>=0 X3>=0
X2>=0
X2>=0
X3>=0
X3>=0
X2>=7
X2>=7
X2<=6
X2<=6
X3<=4
X3>=5
END
END
X3<=5 END
X3>=6 END
Árbol de ramificación
INICIO X1=0 X2=6.5
X2<=6
X2>=7
X3=4.7 Z=31.76
A X3<=5
X1=0
B X3>=6
X1=0
X3<=4
X2=6
X2=7
X3=5.3
X3=4.6
Z=33.3
Z=32.4
X3>=5
A.1
A.2
B.1
B.2
X1=0.5
X1=0
X1=0
X1=0
X2=6
X2=5.5
X2=10
X2=7
X3=5
X3=6
X3=4
X3=4.6
Z=33.5
Z=35
Z=36
Z=32.4
RAMA A A.1 La solución da valores enteros para X2 y X 3, dejan a X3 con valores no enteros. A.2 La solución da valores enteros para X1 y X3, dejan a X2 con valores no enteros. Nótese también que la función objetivo ha AUMENTADO en ambos casos A.1 y A.2.
RAMA B B.1 La solución da valores enteros. B.2 La solución da valores enteros para X1 y X2, dejan a X3 con valores no enteros. Nótese también que la función objetivo ha AUMENTADO en ambos casos B.1 y B.2
En este punto puede afirmarse que la solución obtenida en la rama B.1 puede ser la óptima pero debemos desarrollar las siguientes ramas puesto que sus cotas son menores a Z=36. La ramificación posterior se muestra en la figura de la página siguiente. Los modelos de programación lineal correspondientes a cada una de las ramas posteriores del árbol son:
RAMA B.2.b
RAMA A.1.a
RAMA A.1.b
MIN 3X1+2X2+4X3 ST
MIN 3X1+2X2+4X3 ST
MIN 3X1+2X2+4X3
2X1+4X2+3X3>=40
2X1+4X2+3X3>=40
ST 2X1+4X2+3X3>=40
X1+X2+5X3>=30
X1+X2+5X3>=30
X1+X2+5X3>=30
X1>=0 X2>=0
X1>=0 X2>=0
X1>=0
X3>=0
X3>=0
X2>=0 X3>=0
X2>=7
X2<=6
X2<=6
X3>=5 X3>=5
X3<=5 X1<=0
X3<=5
END
X1>=1
INICIO X1=0 X2<=6
X2=6.5
X2>=7
X3=4.7 Z=31.76 A X3<=5
X1=0
X3>=6
X1=0
X3<=4
X2=6
X2=7
X3=5.3
X3=4.6
Z=33.3
Z=32.4
A.1 X1<=0
B X3>=5
A.2
B.1
X1=0
X1=0
X2=6
X2=5.5
X2=10
X2=7
X3=5
X3=6
X3=4
X3=4.6
Z=33.5
Z=35
Z=36
Z=32.4
X1=0.5
X1>=1
B.2 X3<=4
X1=0
X3>=5
A.1.b
B.2.a
B.2.b
Nno hay
X1=1
X1=0
X1=5
solucion
X2=6
X2=7
X2=7
factible
X3=4.6
X3=5
X3=5
Z=33.6
Z=34
Z=49
RAMA A A.1.a No tiene solución factible A.1.b La solución da valores enteros para X1 y X2, dejan a X3 con valores no enteros. A.2 No se desarrolla ya que en la rama B.2.a la cota es Z=34 y si desarrollaríamos esta rama nos daría valores superiores a este.
RAMA B B.1.a La solución da valores enteros. B.2.b La solución da valores enteros Nótese también que la función objetivo ha AUMENTADO en ambos casos B.1.a y B.2.b.
En este punto puede afirmarse que la solución obtenida en la rama B.1.a puede ser la óptima pero debemos desarrollar las siguientes ramas puesto que sus cotas son menores a Z=36 en la rama A.1.b es por ello que la desarrollaremos. La ramificación posterior se muestra en la figura de la página siguiente. Los modelos de programación lineal correspondientes a cada una de las ramas posteriores del árbol son:
RAMA A.1.b.m
RAMA A.1.b.n
MIN 3X1+2X2+4X3
MIN 3X1+2X2+4X3
ST 2X1+4X2+3X3>=40
ST 2X1+4X2+3X3>=40
X1+X2+5X3>=30
X1+X2+5X3>=30
X1>=0
X1>=0
X2>=0 X3>=0
X2>=0 X3>=0
X2<=6
X2<=6
X3<=5
X3<=5
X1>=1 X3<=4
X1>=1 X3>=5
END
END
Árbol de ramificación completa
INICIO X1=0 X2<=6
X2=6.5
X2>=7
X3=4.7 Z=31.76 A X3<=5
X1=0
X3>=6
X1=0 X2=7
X3=5.3
X3=4.6
Z=33.3
Z=32.4
X3>=5
A.2
B.1
X1=0
X1=0
X2=6
X2=5.5
X2=10
X2=7
X3=5
X3=6
X3=4
X3=4.6
Z=33.5
Z=35
Z=36
Z=32.4
X1=0.5
X1>=1
A.1.b Nno hay
X3<=4
X2=6
A.1 X1<=0
B
X<=4
X1=1
X>=5
B.2 X3<=4
X1=0
X3>=5
B.2.a
B.2.b
X1=0
X1=5
solucion
X2=6
X2=7
X2=7
factible
X3=4.6
X3=5
X3=5
Z=33.6
Z=34
Z=49
A.1.b.m
A.1..b.n
X1=4
X1=1
X2=6
X2=5.7
X3=4
X3=5
Z 40
Z=34.5
Luego de desarrollar la rama A.1.b obtuvimos las ramas RAMA A.1.b.m y R AMA A.1.b.n de las cuales la primera nos da una solucion optima pero con un Z=40 y por tratarse de un problema de minimizacion no es considerado Por lo tanto la solución entera óptima del problema se encuentra en la rama B.2.a con
X1= 0 X2=7 X3= 5 Z = 34
