VIBRACIONES FORZADAS Desde el punto de vista de las aplicaciones de ingeniería, las vibraciones más importantes son las vibraciones forzadas de un sistema. Estas vibraciones ocurren cuando un sistema se somete a una fuerza periódica o cuando esta elásticamente conectado a un apoyo que tiene un movimiento alternante. Considérese en primer lugar el caso de un cuerpo de masa 𝑚 suspendido de un resorte y sometido a una fuerza periódica 𝑷 de magnitud 𝑃=𝑃𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡, donde 𝜔𝑓 es la frecuencia circular de 𝑷 y se conoce como frecuencia circular forzada del movimiento. Esta fuerza puede ser una fuerza externa real aplicada al cuerpo, o una fuerza centrifuga producida por la rotación de alguna parte desbalanceada del cuerpo, medido a partir de su posición de equilibrio, se escribe la ecuación de movimiento 𝑚
(
𝑃 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑡
)
𝑚
𝑠𝑡, se tiene 𝑚 ̈ 𝑃 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑡 ( ) A continuación se considera el caso de un cuerpo de masa 𝑚 suspendido de un resorte conectado a un apoyo móvil cuyo desplazamiento es igual a 𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡. Como
Si el desplazamiento del cuerpo se mide a partir de la posición de equilibrio estático correspondiente a 𝜔𝑓𝑡=0, se halla que el alargamiento total del resorte en el instante 𝑡 es 𝑠𝑡+ − 𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 . La ecuación de movimiento es, por tanto, 𝑚 ( 𝑠𝑡 𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡) 𝑚 Como 𝑠𝑡, se tiene 𝑚 𝑚𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓 ( ) Se ve que las ecuaciones (*) y (**) son de la misma forma y que una solución de la primera ecuación satisfará la segunda si se hace 𝑃𝑚= 𝑚. Una ecuación diferencial como la (*) o la (**), con el miembro del lado derecho diferente de cero, se conoce como no homogénea. Su solución general se obtiene agregando una solución particular de la ecuación dad a la solución general de la ecuación homogénea correspondiente (con el miembro del lado derecho igual a cero). Se puede obtener una solución particular probando una solución de la forma 𝑡 𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑓𝑡 ( ) Si se sustituye 𝑡 por en la ecuación (*), se obtiene 𝑚𝜔 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑡 𝑃 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑡 La que se puede resolver para la amplitud, 𝑚
𝑃𝑚 𝑚𝜔
Vibraciones Forzadas Existe un motor magnético que genera una fuerza que desplazará el cono. Fees la nueva fuerza añadida.
Podemos escribir la ecuación de esta forma, reuniendo todas las fuerzas presentes:
En el caso del altavoz, la fuerza de excitación es una suma de frecuencias puras, y resulta interesante examinar el caso de cuando f(t) es una onda cosenoidal pura:
(ec2) Como ya hemos resuelto la parte homogénea, aplicaremos el método de los coeficientes indeterminados para hallar la resolución, que será alguna de las tres posibles soluciones anteriores (soluciones homogéneas) más una solución particular. Tomaremos como solución:
Sustituimos en (ec2) y obtenemos el sistema
de donde otenemos A y B, que son:
Es decir, nuestra solución particular es la siguiente:
Para simplificar la ecuación hacemos el siguiente cambio:
y nos queda la siguiente solución particular:
Recordamos que la solución a una ecuación diferencial de 2º orden no homogénea es la suma de la solución homogénea más la particular (x=xh+xp), y que tenemos tres posibles soluciones homogéneas que dependen de los parámetros c (coeficiente de rozamiento viscoso), M (masa móvil) y k (constante elástica), y que definen los casos estudiados anteriormente: sobreamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado. Sobreamortiguado:
Críticamente amortiguado:
Submortiguado:
En todos, como consecuencia del tipo de movimiento y con la única necesidad de que exista un mínimo amortiguamiento, tenemos una parte que decrece, que tiende a cero (la que define el tipo de vibración) y una parte que es constante en el tiempo, consecuencia de la vibración forzada. A la primera parte se la denomina transitoria y a la segunda estacionaria, ya que con el transcurso del tiempo la primera desaparece, se hace cero, pero la segunda permanece.
¿de qué nos sirve esto? Sirve para interpretar la respuesta temporal del sistema: Los sistemas sobreamortiguados son los que mejores características temporales poseen, mientras que los sistemas subamortiguados son los que peor se comportan. Por decirlo de alguna manera, los tiempos de establecimiento (subida y bajada completa) de la onda (pensando más bien en valor abosluto, quizás en un valor RMS) son menores en los sistemas sobreamortiguados que en los subamortiguados. En la imagen de arriba a la derecha podemos ver la respuesta ante tres ciclos de onda de un sistema resonante críticamente amortiguado (por ejemplo: caja cerrada con Q=0,5, Bessel). El tiempo de subida puede interpretarse como parte del comportamiento paso alto que tiene la onda, al final vemos que la onda desaparece dejando sólo una ligera sobreoscilación, que puede deberse a un error en la simulación. En la imagen central podemos ver un ejemplo de sistema subamortiguado, en el caso una caja cerrada con Q=0,707 (Butterworth). La respuesta es buena pero la sobreoscilación al final es mayor. La última imagen no corresponde con lo estudiado porque se trata de una caja bass-freflex, que es un sistema resonante de 4º orden, no de 2º. Conocemos las ventajas de extensión de la respuesta de las BR, y también que se consigue a base de penalizar la respuesta temporal. Aquí vemos el porqué. La respuesta es mala, con sobreoscilaciones al principio pero muy especialmente al final, y sin que se llegue a alcanzar el valor máximo que debía alcanzar. Esto da una idea de que el orden también es un elemento tan importante como el coeficiente de amortiguamiento.
1. Un objeto de 10 kg está suspendido por dos muelles idénticos de constante elástica K=500 N/m asociados en serie, y un amortiguador de tipo viscoso de constante c=90 N·s/m. Calcular: a) b) c) d)
Coeficiente de amortiguamiento crítico Factor de frecuencias (Ω) Valor del pseudoperiodo justificando su existencia Si, inicialmente, se separa de su posición de equilibrio estable 5cm, calcular la energía total en ese instante. e) Indicar el principio de conservación de la energía que cumple RESOLUCIÓN a) Constante equivalente (serie) 𝑚
√ 𝑚
𝑠 𝑚
√
√
𝑚
𝑠
𝑓
b) Factor de frecuencias 𝑓 √
(
)
√
(
)
𝑠
c) Pseudoperiodo, existe por ser un amortiguamiento subcrítico 𝑠 d) Cumple el principio de conservación de la energía total, el principio de conservación de la energía mecánica no lo cumple por existir fuerza amortiguadora disipadora de energía.
2. El motor eléctrico de 30kg mostrando en la figura, está soportando mediante cuatro resortes y cada resorte tiene rigidez de 200 N/m. Si el rotor R esta desbalanceado de manera que su efecto es equivalente a una masa de 4 kg ubicado a 60 mm del eje de rotación, determine la amplitud
de vibración cuando el rotor este girando a 𝜔 amortiguamiento es C/Cc = 0.15
𝑠. El factor de
Solucion La fuerza periódica responsable de que el motor vibre es la fuerza centrífuga debida al rotor desbalanceado. Esta fuerza tiene magnitud constante de 𝑚 Como
𝑚 𝜔
𝑔(
𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡, donde 𝜔
𝑚) (
𝑠
)
entonces
𝑠𝑒𝑛 𝑡 La rigidez de todo el sistema de cuatro resortes es K=4(200 N/m)=800 N/m. Por tanto, la frecuencia naturalde vibraciones es
𝜔
√ 𝑚
𝑚 𝑔
√
𝑠
Como el factor de amortiguador es conocido, la amplitud de estado estable puede ser determinada con la primera de las ecuaciones vistas anteriormente, esto es,
𝑚 √[
𝜔 (𝜔 ) ]
* (
)(
)+
𝑚
