EJERCICIO PROPUESTO

La pote potenc ncia ia P gene genera rada da por por un ciert cierto o dise diseño ño de aero aeroge gene nera rado dorr depende de su diámetro D, la densidad del aire ρ, la velocidad del viento V, la velocidad de giro Ω y el número de palas n.  (a) scri!a esta relaci"n en #orma adimensional. $n modelo de %& cm de diámetro del aerogenerador, 'ue gira a && rpm, desarrolla *,+ - a nivel del mar cuando V  & m/s. (!) 01u2 potencia desarr arrollará un prototipo ipo geom2tric rica y dinámicamente seme3ante de % m de diámetro con vientos de 4* m/s a *&&& m de altura estándar5 (c) 06uál es la velocidad de giro apropiada para el prototipo5 78L$698:

PPotencia ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;< ;;;;;;;;;;;;;;< 2

−3

 P= M L T 

DDiámetro ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;< ;;;;;;;;;;;;;<  D= L  ρ Densidad ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;< ;;;;;;;;;;;< −3

 ρ= M L

VVelocidad VVelocidad ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;< ;;;;;;;;;;;;;;;;< −1

V = L T 

ω velocidad de giro −1

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;< ω =T 

n número de palas ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;< ;;;;;< n =1

Parte a) =ediante el teorema de pi de >ucing?am

 scogemos las tres varia!les di#erentes dimensionalmente@  D = L −3

 ρ= M L

−1

V = L T 

A. π 1

¿ Da ρb V  c ω

π 1

b

c

¿ M   L T  =( La ) ( M L − ) ( L T − ) T − 0

0

0

3

1

1

9gualando eBponentes tenemos las siguientes ecuaciones@ a C c ; !  & ;;;;;;;< a  4 !& ;c E 4 & ;;;;< c  ;4 π 1

>. π 2

¿

 D ω V 

¿ Da ρb V  c n

π 2

b

c

¿ M   L T  =( La ) ( M L − ) ( L T − ) 0

0

0

3

1

9gualando eBponentes tenemos las siguientes ecuaciones@ a C c ; !  & ;;;;;;;< a  & !& c& π 2

6. π 3

¿n

¿ Da ρb V  c P

π 3

b

c

¿ M   L T  =( La ) ( M L − ) ( L T − )  M L T − 0

0

0

3

1

2

3

9gualando eBponentes tenemos las siguientes ecuaciones@ a C c ; ! C *  & ;;;;;;;;< a  ;* ! C 4 & ;;;;< !  ;4 ;c E  & ;;;;< c  ; π 3

¿

P 2

3

 D  ρ V 

6oncluimos@

π 1=f  ( π 2 , π 3)

 D ω P =f  ( n , 2 3 ) V   D  ρV 

Parte !) Datos

 =odelo D  %& cm V = 40 m / s

P  *.+ F ρ  4.**%

 Prototipo D  %&& cm V =12 m / s

 ρ  4.&&+G

Por la relaci"n antes calculada tenemos@

 P 2

3

 D  ρ V 

2.7 50

2

3

( 1.2254 ) 40



P 500

2

3

( 1.0076 ) 12

P  %.HH F-

Parte c) Datos

 =odelo D  %& cm V = 40 m / s ω  && rpm

 Prototipo D  %&& cm V =12 m / s

Por la relaci"n antes calculada tenemos@  D ω V 

( 50 ) 4800 40



ω =144 rpm

( 500 ) ω 12