Simulación Especialización Ingeniería de Operaciones en Manufactura y Servicios
Pontificia Universidad Javeriana Bogotá – Colombia Ing. Alvaro Gil Berrocal
En esta presentación 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Introducción a la simulación Generación de números aleatorios Simulación con hojas de cálculo Identificación de variables Teoría de colas Colas en serie y teoría de Redes Revisión de programas de simulación Introducción a Promodel Modelos avanzados de simulación
Simulación 1. Introducción a la simulación Conceptos básicos
Qué es la simulación?
Representación analítica de sistemas apoyada en herramientas matemáticas y computacionales que permiten evaluar el impacto de cambios en diferentes variables así como la elección de los recursos y óptimos para el proceso analizado.
Definiciones
Sistema
Conjunto de elementos relacionados total o parcialmente entre si y cuyos elementos pueden depender de sí mismos y de otros, tanto en el presente como en el pasado.
Variable
Puede estar abierto o cerrado Sistemas deterministas o estocásticos. Estático o dinámico Representación de un conjunto de datos Variables independientes o dependientes Variables endógenas y exógenas
Eventos
Discretos o Continuos
Para qué modelar
Entendimiento Aprendizaje
Mejoramiento Optimización Toma de decisiones
Aplicaciones de la simulación Mediante técnicas de simulación es posible desarrollar de manera teórica casos relacionados con:
Producción Logística Distribución Servicio al cliente Construcción Militar Salud Economía y Finanzas Y muchos otros campos
Qué se necesita para simular? • Identificación
• Identificación
del proceso
• Qué pasa si?
de variables involucradas
Problema
Muestreo
Aplicación de herramientas de ingeniería
Modelación • Técnicas
analíticas
• Programas
especializados
Elementos de la simulación
Proceso (Flujograma) Estados:
Definir estados: número de clientes/sucesos en el sistema Identificar las transiciones de los estados.
Identificar los eventos de llegadas y salidas del sistema Caracterizar las variables del sistema (entradas, tiempos de funcionamiento, salidas, etc.) Generación de eventos aleatorios Reloj de Simulación: paso del tiempo (delimitado). Definir condiciones especiales en el modelo: paros, mantenimientos, alertas, turnos, etc.
Pasos para una campaña de simulación Inicio
Análisis de la situación
Experimentación
Análisis de Recolección de datos
resultados
Construcción del modelo N S N
Representación real? S
N
Es válido?
S
Modificación del modelo?
S
Más experimentos? N
Documentación Implementación Fin
Cuándo modelar y cuándo no?
Cuándo NO
Cuando costosa la simulación Cuando es no demasiado se tienen datos reales de las observaciones o estas están incompletas Cuando la situación actual cambia con el tiempo y no podemos proyectarla Cuándo SI Todos los demás casos
Cuando el problema se puede resolver fácilmente de manera analítica
Métodos para la simulación
Métodos analíticos: Según el tamaño y complejidad del proceso,
es posible utilizar sencillos desarrollos matemáticos para resolver un problema de simulación. Entre ellas encontramos:
Teoría de Colas Teoría de Redes Sistemas Dinámicos Algoritmos de mayor elaboración Métodos computacionales: Cuando un sistema es relativamente
grande o contiene una serie de excepciones en las variables, se vuelve compleja su resolución analítica y por tanto se hace indispensable la utilización de un programa especializado.
En general todo lenguaje y programa que permita generar números aleatorios
Lenguajes: C, Fortran, Pascal, Basic, Siman, Visual Slam, SimScript, etc. Hojas de cálculo en general Programas especializados (aplicaciones de los lenguajes ya mencionados)
Simulación 2. Generación de números aleatorios
Introducción
Los números aleatorios son un ingrediente básico para simular casi cualquier sistema discreto. La gran mayoría de programas contienen una subrutina de generación que facilita su utilización.
Si se trata un lenguaje de yprogramación, necesario generar unde número aleatorio de estos partirespara la generación de variables aleatorias. A continuación se explican las técnicas básicas para la generación de números aleatorios y posteriormente técnicas para la generación de variables aleatorias a partir de estos números
Propiedades de los números aleatorios
Toda serie de números aleatorios R1, R2, … Rn, debe cumplir con dos propiedades fundamentales, Uniformidad e Independencia. Esto a su vez significa que:
Si se grafican los números aleatorios en el intervalo [0,1] y este es dividido a su vez en n clases ó subintervalos de igual magnitud, el número esperado de observaciones en cada intervalo es de N/n donde N es el número total de observaciones. La probabilidad de observar un valor en un intervalo particular es independiente del valor inmediatamente anterior.
Generación de números pseudo-aleatorios
Si hablamos de Pseudo generar, queremos decir que esta generación es falsa por naturaleza. Siempre que utilizamos una técnica para generar números aleatorios, significa a su vez que hay una ecuación o fórmula que permite dicha generación por tanto es pronosticable de alguna manera (ejemplo, revisar los números decimales de PI). Para evitar estos inconvenientes, se acuden a generaciones computacionales que eviten estos problemas, no obstante, analizaremos solo un método matemático que a su vez tiene dos composiciones.
Técnica de congruencia lineal
Este método propuesto inicialmente por Lehmer (1951) produce una secuencia de enteros X1, X2,… entre 0 y m-1 de acuerdo a la siguiente relación: X i 1 aX i c mod m, i 0,1,2 ...
0 c es El valor inicial llamado semilla, es el multiplicador, incremento y mXel, es módulo (módulo hacea referencia al remanente ó el
decimal producto de la división, así pues si decimos que 143mod100, debemos dividir 143 entre 100 obteniendo 1.43, lo que quiere decir que su módulo es 43).
Si c es diferente de cero, se llama método de congruencia lineal mixto, de lo contrario se conoce como método de congruencia lineal multiplicativo. La selección de las constantes a, c y m, así como de la semilla, afectan drásticamente el resultado de los números y por ende sus propiedades y longitud de ciclo.
Ejemplo numérico 1
Use el método de congruencia lineal mixto para generar una secuencia de números aleatorios con X0=27, a=17, c=43 y m=100. Nótese que siempre los resultados estarán comprendidos entre 0 y 100 que es el módulo elegido. Así mismo, debe tener en cuenta que el resultado debe ser dividido por el módulo (100) para obtener un intervalo más adecuado. Solución: El desarrollo comienza por incluir la semilla en el número siguiente. El resultado de este número se vuelve a incluir en el la siguiente generación y así sucesivamente hasta obtener la serie total de números. X0
27
X1
17 *27
X2
17* 2
X3
17 *77
R0
0.27
43m od100 43m od100
502 mod100
2
77 mod100 77
43m mod100 52 od100 1352
2
R1 R2
100 77 100
R3
0.02 0.77
52 100
0.52
Test para números aleatorios
Una vez obtenida la serie de números aleatorios, es necesario revisarla para garantizar que cumpla con las propiedades (uniformidad e independencia). Existen dos métodos básicos según la propiedad que se desee comprobar.
Test de frecuencia: Utiliza el test de Kolmogorov-Smirnov o el
test de Chi cuadrado para comparar la serie con una distribución uniforme (este concepto ya es conocido por el estudiante). Test de autocorrelación: Mide la correlación entre números y compara la muestra con una correlación cero, es necesario generar correlogramas y una prueba de hipótesis basada en la distribución normal (solo se enunciará).
Test para números aleatorios
Frecuencia (Kolmogorov-Smirnov) Pasos mediante la prueba de Kolmogorov-Smirnov: Ordene los datos en forma ascendente Halle los valores de D+ y D
D
max i Ri N
D max Ri i 1 N
Establezca el mayor de todos
D max D , D
Compare este valor máximo con el valor crítico de la tabla Kolmogorov-Smirnov (diapositiva siguiente). Si D<=Dcrítico, no hay diferencias entre la distribución analizada y una distribución uniforme.
Test de frecuencia por Kolmogorov-Smirnov Tabla de valores críticos de D
Test para números aleatorios
Frecuencia (Chi cuadrado) Esta prueba utiliza el estadístico Chi comparando los datos observados contra los esperados haciendo antes una ordenación por clases, donde los datos esperados en cada clase, por tratarse de una distribución uniforme, son iguales en todos los casos (E )
i
n
2 0
x
i 1
Oi E i Ei
2
Ei
N n
Se espera entonces que la muestra analizada se distribuya Chi cuadrado con n-1 grados de libertad. Si X o calculado < X o tablas entonces se acepta la hipótesis nula de que se trata de una distribución uniforme.
Test de frecuencia por Chi-Cuadrado Tabla de distribución Chi de Pearson con n grados de libertad
Test para números aleatorios
Autocorrelación: Test de Durbin-Watson para autocorrelación positiva y negativa Función de Autocorrelación Parcial (PACF) Prueba de colas en una distribución Normal.
No hay Autocorrelación
Sí hay Autocorrelación
Ejemplo numérico 2
Suponga que han sido generados los siguientes números aleatorios y se desea saber si cumplen con la propiedad de uniformidad mediante el test de Kolmogorov-Sminrnov con un nivel de significancia del 5%. (0.44, 0.81, 0.14, 0.05, 0.93)
Solución: Primero debemos ordenar los números en forma ascendente y aplicamos las fórmulas respectivas. Ri i /N i /N-Ri i Hallamos entonces el máximo D, esto es 1 0.05 0.2 0.15
D max D, D
i i 1 max max Ri , max Ri N N
2 3 4 5
0.14 0.4 0.44 0.6 0.81 0.8 0.93 1 Maximo
0.26 0.16 -0.01 0.07 0.26
Ri-(i -1)/N 0.05 -0.06 0.04 0.21 0.13 0.21
Tenemos entonces que D=0.26 Comparamos este valor con la tabla de valores críticos de D para un nivel del 5% (0.563) y como D
Generación de variables aleatorias
La sola generación de números aleatorios es indispensable más no suficiente para una simulación ya que en la mayoría de los casos es necesario utilizar una distribución de probabilidades asociada al sistema a modelar. A continuación, examinaremos la técnica más utilizada para la generación de variables aleatorias a partir de números aleatorios.
Técnica de la transformada inversa
La TTI puede utilizarse en cualquier distribución de probabilidad donde conozcamos su función de distribución acumulada. Para hacer una explicación detallada, tomaremos como ejemplo la distribución exponencial. Esta distribución tiene entonces: e x x 0 f x x0 0
Función de densidad:
Función de probabilidad:
F x
x 1 e x x 0 f x dx x0 0
Técnica de la transformada inversa La idea es sustituir la serie de números aleatorios en la función de distribución acumulada FDA, en resumen los pasos son los siguientes:
1.
Hallar la función de distribución acumulada F(x)
2.
Igualar la FDA a R Resolver la ecuación F(x)=R en términos de x
3.
F x 1 e x R e x 1 R
x ln 1 R x
1
ln 1 R
Función generadora de variables aleatorias para la distribución exponencial
Técnica de la transformada inversa
Esta función también puede notarse como X=F-1(R) en cualquier distribución de probabilidad. Con este resultado, sustituimos cada uno de los números de la serie aleatoria y podemos construir una función de probabilidad con una distribución específica, muy útil para utilizarla en simulaciones posteriores. A continuación examinaremos esta técnica en otra distribución (Weibull).
Técnica de la transformada inversa
Función generadora de variables aleatorias para la distribución Weibull
F x 1 e
x B
R
e
x B
1 R
x B ln 1 R x B ln 1 R
1
x B ln 1 R
1
Ejemplo numérico 3
Suponga la serie de números aleatorios hallada en el ejemplo numérico 1. Sobre esta serie aplique la función generadora de variable aleatoria exponencial, asumiendo un parámetro lambda de 6. x
1
ln 1 R
La serie x resultante es una distribución exponencial con media 1/lambda (1/6).
R (Aleatorio inicial)
Xi (expo resultante)
0.27000
0.052451791
0.02000
0.003367118
0.77000
0.244945995
0.52000
0.122328196
0.27000
0.052451791
0.02000
0.003367118
0.77000
0.244945995
0.52000
0.122328192
Etc..
Etc..
Distribución Uniforme
Distribución Exponencial
TTI
60
Distribución uniforme (números aleatorios generados con el método de congruencia lineal mixto)
50 a i c n e u c e r F
40 30 20 10 0
Frecuencia % acumulado
3 2 1 7 4 2 6 2 8 8 9 29 48 22 91 78 82 10 35 16 04 09 18 462 484 408 978 25 613 473 828 398 054 0 1 29 32 34 73 08 .45 354 483 386 322 870 0. 0.0 0.9 0.7 0.7 0 0. 0. 0. 0. 0.
250 200 ia c n e u c e r F
100.00% 90.00% 80.00% 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00%
150 100 50 0 6 2 4 6 7 2 4 5 4 4 2 65 43 33 82 52 07 31 30 91 70 00 73 822 908 384 689 47 861 814 251 423 119 6 0 03 46 56 40 03 .55 623 990 697 917 954 0. 0.1 0.2 0.4 0.4 0 0. 0. 0. 0. 0.
100.00% 90.00% 80.00% 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00%
Frecuencia % acumulado
Distribución exponencial resultante al aplicar la TTI
Algunas funciones de TTI* Distribución
Generador Ui a b ar
Uniforme
Triangular
Normal
Exponencial Weibull
Poisson
Parámetros
a = límite inferior b = límite superior
i
c a a b ac ar r i , si i b a Ti c a a ba bc r r1 i ,si i b a Ni
2ln1
Ni
2ln1
Ei
ln 1 ri
r sin2 r s
ri cos2 r j s i
j
m
Uniforme: a = límite inferior
c = moda de la distribución
Triangular: b = límite superior
m = media de la distribución s = Desviación estándard. Normal:
m
Exponencial:
1/= media de la distribución
1
x B ln 1 R
1
Poisson:
Inicialización: Hacer N=0, T=1 y generar un aleatorio r i. Paso 1: Calcular T’=Tri. Paso 2: Si T’>=e-, entonces hacer N=N+1, T=T’ y
calcular otro ri, y regresar al paso 1. Si no, la variable generada está dada por Pi=N. *Tomado de: García, Eduardo. Simulación y análisis de sistemas con Promodel, cap 3.
Intervalos de confianza
Simulaciones terminales: Intervalo definido o eventos que dan por terminada la
simulación s t r
x
s
IC x IC x
/ 2,r 1
x ,
r / 2
,t
s
r
r / 2 s
/ 2,r 1
Distribuciones normales Otras distribuciones
Donde: r =número de réplicas = nivel de rechazo
Simulaciones no terminales o de estado estable: Independientemente del tiempo
transcurrido, los elementos se estabilizan en un comportamiento determinado. Este caso requiere del cálculo de longitud de réplicas. Longitud de réplicas: Se debe garantizar que la variación entre réplicas no sea significativa. n
sZ /2
n
1 s
2
2
Distribuciones normales Otras distribuciones
Simulación 3. Simulación con hojas de cálculo
Concepto general
Toda serie que incluya en el tiempo un comportamiento aleatorio es modelable mediante hojas de cálculo, así como las distribuciones personalizadas y los procesos de llegada y atención. El concepto básico está dado por la generación de números aleatorios y su aplicación la serie mediante ecuaciones dinámicas ó la conversión a la adistribución de probabilidad asociada Una vez generada la iteración por eventos o por tiempos (según el método de avance del tiempo), se debe repetir la simulación según si es terminal o de estado estable. Al finalizar la simulación, se debe analizar el resultado en estado estable y las diferentes réplicas, y serán estos resultados los que permitan realizar las conclusiones de la simulación. A continuación realizaremos algunos ejemplos básicos desarrollados en Excel.
Paseo Aleatorio
Es el resultado de hacer sucesivas iteraciones aleatorias en el tiempo, lo que conforma una senda variante en el tiempo. En inglés se conoce como Random Walk. Sus resultados han tenido múltiples aplicaciones tanto en la las Finanzas, los Juegos de Azar, la Sociología, la Física yEconomía, la Biología. Definición: Sea Xt una serie temporal que comienza en la posición en X(0)=X0, su trayectoria está dada por:
xt t
xt t
Donde define la variable aleatoria que describe la probabilidad de la dirección del siguiente paso.
Algunas aplicaciones de los paseos aleatorios
Suponga una acción que comienza costando $100 y no tiene tendencia alguna, haciendo que su comportamiento en el tiempo sea aleatorio. Mediante cuatro series aleatorias es posible entonces describir este paseo aleatorio como se muestra a continuación:
Esto dará como resultado una serie de incrementos y decrementos que no puede ser pronosticada, esto es en sí un paseo aleatorio.
Algunas aplicaciones de los paseos aleatorios (tendencia)
Si la serie tiene alguna clase de pronóstico (técnicas de Forecasting), es posible determinar una tendencia fija, no obstante la naturaleza aleatoria de la serie puede afectar los resultados. Este es el concepto básico de la especulación financiera (bonos, acciones, divisas, etc.).
Por citar unbajo ejemplo, suponga una serie cuyo comportamiento ha sido modelado la siguiente ecuación:
xt t
xt t
Donde =1.001 Se espera que el parámetro alfa garantice un incremento constante del 0.1% sobre la acción. Un inversionista que conozca este modelo, comprará entonces esta acción y hará un análisis financiero simple estableciendo que el retorno neto será de 2.94% mensual, es decir que si invierte $100, obtendrá $102.94 a final de mes (Vf=Vp*(1+Crecimiento)^29), claramente mayor a la DTF actual, haciendo atractiva la inversión.
Algunas aplicaciones de los paseos aleatorios (tendencia)
Al incluir la naturaleza estocástica dentro de la serie, los resultados pueden variar positiva ó negativamente. A continuación se presenta la formulación en Excel.
Lo que arroja un resultado negativo en este caso, haciendo que el retorno sea de -6.14%.
Algunas aplicaciones de los paseos aleatorios (Martingalas)
Otras aplicaciones se presentan con frecuencia mediante la Martingala (determinado proceso estocástico). La Martingala tiene múltiples aplicaciones, una de ella es en los juegos de azar, donde se asume que tanto la banca como el jugadorduplica tienen un de esta manera si elque jugador pierde, su capital apuestainfinito, en forma sucesiva hasta el juego lo premia y recupera todo lo invertido. En forma práctica el supuesto de recursos infinitos no se cumple, haciendo que eventualmente la banca gane el juego. Adicionalmente existe un desbalance en las probabilidades pues la banca no paga por los resultados 0 ó 00, inclinando las probabilidades hacia la pérdida. Un ejemplo sencillo se puede observar en Excel.
Otras aplicaciones de las hojas de cálculo: Modelo de colas MM1
Se puede también modelar un proceso de llegadas y atención mediante la conversión de la serie aleatoria a la función de probabilidad asociada (técnica de la transformada inversa). Suponga un sistema de colas donde los clientes arriban de acuerdo a una distribución entre llegadas con de 5 min y una atenciónexponencial con parámetro exponencial de parámetro 4 min. Determine los indicadores de esta cola MM1. A continuación se presenta la formulación en Excel para su desarrollo:
Otras aplicaciones de las hojas de cálculo: Modelo de colas MM1
Una vez corrida la simulación para 200 registros con 20 réplicas, se encuentra que el tiempo promedio en cola está alrededor de los 14 minutos (rango entre 12 y 17). La variabilidad ocurre por la naturaleza estocástica involucrada en la formulación y por la poca cantidad de registros analizados.
Si resolvemos este sistemas con la formulación básica de teoría de colas encontraremos que el Wq es de 16 minutos, valor que coincide con el rango hallado, pero que por sus generalidades de convergencia infinita, ignora los conceptos estocásticos involucrados.
Ventas variables por hora Suponga una venta de arepas ubicada en un sector universitario cuya clientela es estudiantil. La clientela siempre está de afán y desea rápida atención. Los tiempos entre llegadas se distribuyen exponencialmente sin embargo según la hora del día las llegadas son diferentes (ver histograma). El tiempo de atención es exponencial con media de 1 minuto. Cuál es la cola y el tiempo de atención promedio? Ventas Diarias 15%
10%
5%
0% 9
10
11
12
13 % Teórico
14 % Real
15
16
17
18
Procesamiento de piezas El tiempo que transcurre entre la llegada de ciertas piezas a una estación de inspección sigue una distribución exponencial con media de 5 minutos/pieza. El proceso está a cargo de un operario y la duración de la inspección sigue una distribución normal con media de 4 y desviación estándar de 0.5 min/pieza. Calcular el tiempo promedio de permanencia de las piezas en el proceso de inspección. Tiempo promedio en el sistema 12 10 8 6 4 2 0 Tiempo promedio en inspección
Modelos de Inventarios
Existen múltiples modelos de inventarios en la literatura que buscan optimizar el valor de compras, pedidos y por ende el costo total de la mercancía. Los modelos básicos van desde el EOQ (comienzos de siglo XX) hasta modelos heurísticos meta-heurísticos que implementan algoritmos inteligentes queyconstruyen las sendas óptimas. Para simular estos modelos comenzaremos con sistemas básicos sin reorden y sin lead time, con demanda estática. Luego se relajaran algunos supuestos hasta conformar modelos más complejos.
Simulación 4. Identificación de variables
Medición de variables
Toda variable involucrada en el sistema debe ser medida Para ello partimos de datos históricos del proceso y de estimaciones realizadas a partir de un muestreo Una serie suficientemente grande de datos nos permite identificar primero gráfica y luego estadísticamente el comportamiento de cada variable Los datos más comúnmente estimados en un modelo son:
Tiempos de atención y procesamiento Tiempos entre llegadas Cantidad de entradas al sistema: frecuencia Probabilidades de ruteo y error
Muestreo
Herramienta fundamental para la medición de tiempos y tipificación de los mismos. Principio fundamental: La información se recoge cuando algo ocurre Se captura todo ingreso y salida del proceso o conjunto de ellos Ejemplo sencillo en un sistema de una cola con un servidor:
De esta tabla podemos elaborar:
Ejemplo de un programa sencillo en Excel para capturar tiempos en una operación •Nombre una hoja de cálculo como “Captura” •Cree los títulos como se muestra a continuación
e inserte un botón llamado capturar •Luego asócielo a una subrutina llamada captura como se muestra en el código de la derecha.
Sub captura() Dim cap As Worksheet Set cap = Sheets("Captura") j=4 Do While cap.Cells(j, 1) <> "" If cap.Cells(j + 1, 2) = "" Then cap.Cells(j + 1, 2) = Time() cap.Cells(j + 1, 1) = j - 3 Exit Sub Else If cap.Cells(j + 1, 3) <> "" Then j=j+1 GoTo siguiente Else cap.Cells(j + 1, 3) = Time()
cap.Cells(j + 1, 4) = (cap.Cells(j + 1, 3) - cap.Cells(j + 1, 2)) * 3600 * 24
•Los datos resultantes de la columna D, serán
los tiempos de la operación, estos datos determinarán la distribución de probabilidad asociada al proceso.
Exit Sub End If End If j=j+1 siguiente: Loop End Sub
Análisis de los datos
Una vez realizado el muestreo (mínimo 30 registros por cada actividad), es necesario realizar agrupaciones que permitan elaborar una distribución de frecuencias desde la cuál se puedan identificar las posibles distribuciones de probabilidad que describan la serie.
Sobre las distribuciones que se desee verificar, es necesario luego realizar una prueba de bondad de ajuste (test estadístico que indica cuán cerca o lejos está una serie de una distribución específica)
Test Chi cuadrado: Compara contra poblaciones normalmente
distribuidas
Test de Kolmogorov-Smirnov: Compara contra cualquier otra
distribución.
Test de Anderson Darling: Compara contra cualquier otra
distribución. Es decir que primero graficamos mediante un histograma de frecuencias y luego realizamos los test estadísticos según el caso
Análisis de los datos
Este proceso debe aplicarse a todas las actividades involucradas en la modelación, obteniendo finalmente algo como lo plasmado en la gráfica (ejemplo atención en una cafetería) Entrada
Llegada de clientes P(90)
Caja
Cocina
Barra
Solicitud de Pedido E(1,2)
Alistamiento del pedido G(2,5)
Entrega del Pedido al usuario N(0.5,1)
Salida
Existen además paquetes computacionales especializados que ya elaboran todos estos procesos, entre ellos encontramos: STATA, SPSS, EVIEWS, Cristal Ball, Expert Fit, etc. Adicionalmente, Promodel cuenta con una herramienta incorporada llamada Stat-Fit, a continuación haremos una introducción a su uso.
Utilización de StatFit
Es un programa anexo a Promodel que permite identificar distribuciones estadísticas de cualquier serie de datos La versión estudiantil solo permite analizar 50 datos por serie.
Utilización de StatFit
Por ejemplo, supongamos que tenemos una serie de 30 datos en STAT FIT tal como nos muestran las gráficas de la derecha.
Una vez los datos, esintroducidos posible realizar varias acciones con ellos, como graficas y estadísticas descriptivas Adicionalmente, es posible ejecutar un comando llamado AUTOFIT que mediante diferentes técnicas puede establecer las diferentes distribuciones de probabilidad asociadas a la serie
Utilización de StatFit
Ahora aplicamos el AUTOFIT para determinar cuál es la distribución que mejor describe estos datos.
Le decimos al programa que sin límite o no acotado (es mejor no acotar el límite, es decir Unbounded)
Utilización de StatFit
Lo que nos da como resultado un ajuste en tres diferentes distribuciones, todas en este caso válidas.
Seleccionando varias de ellas, una nos o muestra el histograma que describe la serie y sobre el mismo ubica la función de densidad de la distribución sugerida (muy ajustada en algunos casos como muestra la gráfica)
Utilización de StatFit
Adicionalmente, es posible verificar las pruebas de bondad de ajuste de cada una de las distribuciones analizadas (Chi Cuadrada, Anderson Darling y Kolmogorov Smirnov por lo general).
Utilización de StatFit
Finalmente, es necesario exportar la distribución seleccionada en el mismo formato que el programa destino, en este caso Promodel. Para hacer esto simplemente vamos a Export > Export Fit y luego le indicamos la distribución que vamos a exportar y en el combo desplegable izquierdo (Aplicación) seleccionamos PROMODEL.
Lo que nos arroja finalmente una distribución resultante en formato PROMODEL de: Normal: N(9.87, 4.52)
Lognormal: -1920+L(1939, 4.538)
Uniforme: U(8.81, 10.2)
Simulación 5. Introducción a la teoría de Colas
Definición e historia
Una cola es una línea de espera de cualquier clase de recurso (personas, materiales, documentos, etc.) La teoría de colas es el conjunto de modelos matemáticos y computacionales que intentan explicar el comportamiento de las líneas de espera Su precursor fue Erlang (Ingeniero Danés 1978 – 1929), quien en 1909 publicó su primer trabajo sobre la modelación de las esperas y su dimensionamiento en la empresa de teléfonos de Copenhague Con el tiempo sus teorías fueron ampliamente aceptadas y aplicadas a muchos otros campos, incluso hoy en día. Hay muchos otros padres y aportes posteriores (Chebyshov , Markov, Kendall, Little, entre otros) Las colas son una aplicación particular de los procesos estocásticos
Proceso de nacimiento y muerte
Esquema básico para modelación de colas (cambios en tamaño de población)
El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos como cambia N(t) al aumentar t Suposiciones:
Nacimiento: llegada de un nuevo cliente al sistema Muerte: salida de un cliente servido N(t): número de clientes que hay en el sistema en un momento t
Dado N(t)=n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento es exponencial con parámetro Dado N(t)=n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación) es exponencial con parámetro m n solo puede saltar 1 estado a la vez
Diagrama de tasas:
Proceso de nacimiento y muerte
Principio clave (ecuación de balance):
Tasa media de entrada = Tasa media de salida 0
Estado 0:
0
P 1 m1 P 0 0
1
P 1
m1
Estado 1:
0
1
0
2
1
m1 P0 0 mP2 mP1 2 P2
P1 1 m1
m2
1
m2
P1 m1 mP2 2
m
P0
Generalizando:
P 0 0 m1
pn
P1
P0 m 0 10 P 0 m m m 2 1 2
0
01 2 ... n 1 , m1m m m n 2 3 ...
1
1
P0 mm
p
n
n=0
1
1
0 2
P0
0
P2
P0
0 1 0
1
Componentes de una Cola Fuente de entrada
Cola
Proceso o servicio
Salida
Definiciones
N(t): Número de clientes en el estado t r : Tasa de utilización ( debe ser menor a 1 para que el sistema sea estable) Pn(t): Probabilidad de hallar n clientes en el sistema en el instante t S: Número de servidores Número de clientes por unidad de tiempo (tasa de llegada) L: Número esperado de clientes en el sistema Lq: Número esperado de clientes en la cola W: Tiempo de espera en el sistema (cola y servicio) para cada cliente m Tasa media de servicio (número esperado de clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) Wq: Tiempo esperado en la cola para cada cliente Abandono e Impaciencia
Notación y Disciplina
Notación:
A/B/C/D/E
A: Distribución de tiempos de llegada B: Distribución de tiempos de salida C: Número de servidores D: Capacidad del sistema E: Disciplina de la cola
Disciplinas
FIFO: Primero en llegar, primero en servirse LIFO: Último en llegar, primero en servirse SIFO: Se atiende primero las tareas que demandan menor
servicio RR (Round Robin): Se reparte el tie po del recurso equivalente entre todas las tareas pendientes
Cola M | M | 1
Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y un solo servidor, La disciplina será FIFO Las llegadas se producen según un proceso de Poisson de razón , donde es el número medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/ es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, Exp() Los tiempos entre servicios también se distribuirán exponencialmente, Exp(m), de tal manera que m es el número medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/ m es el tiempo medio de servicio
Condición de no saturación
Se demuestra que si m, el sistema se satura, es decir, el número de clientes en la cola crece indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente, la condición de no saturación será: r 1, donde r m
Cuando una cola no se satura, también se dice que alcanza el estado estacionario,
Probabilidades
El parámetro r se llama carga, flujo o intensidad de tráfico del sistema, puesto que mide la relación entre la cantidad de trabajos que llegan y que la capacidad Suponiendo el sistemadenoprocesarlos se satura, se deduce la siguiente fórmula para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN: pn
r n 1 r
Medidas de rendimiento
El número medio de clientes en el sistema, L, se calcula así: j L j p j j r 1 r 1 r j r j j 0
j 0
j 0
Sumamos la serie aritmético-geométrica: S r 2r 2 3r 3 4 r 4 ...
rS
r 2 2r 3 3r 4 ...
1 r S r r 2 r 3 r 4 ... L 1 r
r
1 r 2
r 1 r
r 1 r
Medidas de rendimiento
La utilización del servidor, notada U, es la fracción de tiempo (en tanto por uno) que el servidor permanece ocupado, Para hallarla, nos valemos de que cuando no hay saturación, el número medio de clientes que entran en el sistema debede serél:igual al número medio de clientes que salen Um U
r m
Como para deducir la anterior fórmula no hemos usado ninguna característica especial del modelo de entrada ni del de salida, dicha fórmula es válida para colas G | G | 1
Medidas de rendimiento
El tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio que un trabajo permanece en el sistema, Si suponemos que un trabajo, al llegar al sistema, se encuentra con que hay por delante de él otros j trabajos, el tiempo medio que tardará en salir del sistema será j+1 veces el tiempo medio de servicio, Por lo tanto: W
1
j 1 m j 0
Tiempo que se pasa en el sistema si hay j por delante al llegar
pj
1
1
j mp mp j
j 0
j 0
j
L 1 m m
Probabilidad de que haya j por delante al llegar
Medidas de rendimiento
Podemos simplificar algo más: W
L 1 1 m m m
El tiempo medio de espera en la cola W q se hallará restando a W el tiempo que tarda en ser servido el trabajo (esto es válido para cualquier tipo de cola): Wq W
1
m En el caso particular de una cola M | M | 1, obtenemos: r Wq m
Ejemplo
Unos mecánicos llegan a una media de 10 por hora a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se las da un dependiente pagado con $5/hora y que tarda como media 5 min en servir, Cada hora que tiene que esperar un mecánico (en el sistema) le cuesta al taller $10, Queremos saber si merece la pena contratar a un ayudante del dependiente, pagado con $4/hora, de forma que el tiempo medio de servicio se reduzca a 4 min Nota: Al resolver un problema de colas, tener siempre muy presente la coherencia de unidades
Ejemplo
Tenemos dos opciones:
Sin ayudante: 1/m1 = 5 min = 1/12 h Con ayudante: 1/m2 = 4 min = 1/15 h En ambos casos, = 10 clientes/h
Opción 1 (sin ayudante):
10
r1
10 12
;
L1
r1 12 5 mecánicos 10 1 r1 1 12
Por tanto, perdemos 5·($10/h) = $50/h
Ejemplo
Opción 2 (con ayudante): 10
r2
10 15
;
L1
r1
1 r
1
15
2
mecánicos
1 10 15
Por tanto, perdemos 2·($10/h) = $20/h debido a la espera de los mecánicos, Pero también perdemos $4/h debido al sueldo del ayudante, Por tanto, las pérdidas totales son $24/h En la opción 1 perdemos $50/h y en la opción 2 perdemos $24/h, con lo cual la más ventajosa es la opción 2.
Cola M | M | s
Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y s servidores, La disciplina será FIFO Las llegadas se producen según un proceso de Poisson de razón , donde es el número medio de llegadas por llegadas, unidad deLos tiempo y 1/entre es elllegadas tiempo se medio entre tiempos distribuirán exponencialmente, Exp() Los tiempos de servicio también se distribuirán exponencialmente, Exp(m), de tal manera que m es el número medio de clientes que cada servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/ m es el tiempo medio de servicio
Condición de no saturación
Se demuestra que si sm, el sistema se satura, es decir, el número de clientes en la cola crece indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente, la condición de no saturación será: r 1, donde r
sm
Nosotros sólo estudiaremos las colas que no se saturan, Cuando una cola no se satura, también se dice que alcanza el estado estacionario,
Probabilidades
Suponiendo que el sistema no se satura, se deducen las siguientes fórmulas para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN: 1
n s 1 ss r s sr p0 s ! 1 r n ! n 0 s r n p , si n 0,1,...,s n! 0 pn s s r n p , en otro caso s ! 0
Medidas de rendimiento
Número medio de clientes en cola: Lq
s s r s 1p0 s ! 1 r
2
Usamos razonamientos ya vistos para obtener: 1 W
Lq Wq
Wq
m L W
Otras medidas de rendimiento
Número medio de servidores ocupados, C, En el estado estacionario, la razón de las salidas será igual a la razón de las llegadas: cm
c m
sr
Probabilidad de que un trabajo tenga que esperar para recibir su servicio (fórmula de retraso de Erlang): q
s s r s p0 s ! 1 r
Ejemplos
Ejemplo: Usando L como medida de
rendimiento, comparar estas dos alternativas: Alternativa 1:
Alternativa 2:
/2 /2
Ejemplos
Alternativa 1: L1
r 1 r
Alternativa 2: r2
r m m 2 2
n 2 1 22 r 2 2r p02 2 ! 1 n ! r n 0
1
Ejemplos 1
4r 2 4r 2 2 2r 4r 4r 2 p02 1 2 r 2 1 r 2 1 r 1
p02 2 2 r 1 r 21 r 1 r L2
1 2 W2 Wq 2 m Wq 2 Wq 2 2 r m 2
L2 Lq 2 2 r
4 r 3 p02 21 r
2
2r
2 r 3 1 r
1 r
2
1 r
2r
1
Ejemplos L2
2r 3
1 r 1 r
2r
2r 3 2r 2r 3
1 r 1 r
2r
1 r 1 r
Para que la alternativa 1 sea mejor, ha de cumplirse que L1
1 r
r 2 0 1 1 r 1 r 1 r 1 r 2r
1 r 2 r 1
Como <1 siempre se cumple, tendremos que la alternativa 1 siempre es mejor, Es decir, no conviene dividir la capacidad de procesamiento en dos servidores
Ejemplos
Ejemplo: Usando el número medio de clientes en el
sistema como medida de rendimiento, comparar estas dos alternativas: Alternativa 1: /2
/2
/2
/2
Alternativa 2: /2 /2
Ejemplos
Alternativa 1 (nótese que hay 2 colas): L1 2
r1 2r , donde r 1 r1 1 r m
Alternativa 2 (es la alternativa 2 del ejemplo anterior): r2
r m m
2
L2
2
2r
1 r 1 r
Ejemplos
Para que la alternativa 2 sea mejor, ha de cumplirse que L1>L2: 2r 1 r
2r
2r 0 1
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 0
1 1 r
Como >0 siempre se cumple, tendremos que la alternativa 2 siempre es mejor, Es decir, no conviene poner dos colas, sino tener una única cola global
Ejemplos
Ejemplo: En una copiadora se dispone de 3
máquinas fotocopiadoras a disposición del público, Cada máquina es capaz de servir, por término
medio, 8 trabajos5 cada hora, la copiadora llegan como promedio clientes a laAhora, Parámetros del sistema: = 5 clientes/h, m = 8 clientes/h, s = 3 servidores, El sistema no se satura porque r<1, 5 5 r s m 3·8 24
Ejemplos
¿Cuál es la probabilidad de que las tres máquinas estén libres a la vez?
ss r s s 1 s r n p0 s ! 1 r n 0 n !
1
33 r 3 3! 1 r
2
n 0
3r
n
1
n!
1
1 33 r 3 3r 0 3r 1 3r 2 125 5 25 304 3! 1 r 0! 1! 2! 2432 1 8 128 569 0,5342706
¿Cuál es el número medio de clientes en la cola? 304 33 r 4 569 s s r s 1p0 302 Lq 2 2 0,00722643 clientes 41791 s ! 1 r 3! 1 r
Ejemplos
¿Cuál es el tiempo medio de espera en la cola? Wq
Lq
302 5·41791
52 35979
0,00144529 h
¿Cuál es el tiempo medio de espera en el sistema? 1 52 1 514 0,126445 h W Wq m
35979
8
4065
¿Cuál es el número medio de clientes en el sistema? L W
5·
514 4065
514 813
0.632226 clientes
Resumen de ecuaciones de Little M/M/1
1 W P0 1 r m m m n 1 Wq Pn m m m m
L
Lq
m
P0
1 m 1 m
P0 m
n
W
M 1
, nM
L
Wq
Lq
1
W
L
s
1 1 s m n ! m s!m n0 m s n s 1
1 PM
M 1
M 1 m m L M 1 1 m 1 m
1 n n s P0 n s s !s m Pn n 1 ns n ! m P0
2 m m
M/M/1/n P0
Pn
M/M/S
1
L
m
1 PM m
W
m m
s
s 1 ! sm
L
2
P0
Lq L
m
m
Wq W
1
m
Simulación 6. Colas en serie y teoría de Redes
Redes de colas
Una red de colas es un sistema donde existen varias colas y los trabajos van fluyendo de una cola a otra Ejemplos:
Fabricación (trabajos=artículos) Oficinas (trabajos=documentos) Redes de comunicaciones (trabajos=paquetes) Sistemas operativos multitarea (trabajos=tareas)
Enrutado de trabajos
Criterios para decidir a qué cola se dirige un trabajo que acaba de salir de otra:
Probabilístico: se elige una ruta u otra en función de una probabilidad (puede haber distintos tipos de trabajos, cada uno con sus probabilidades) Determinista: cada clase de trabajo se dirige a una cola fija
Tipos de redes de colas
Se distinguen dos tipos de redes de colas:
Abiertas: Cada trabajo entra al sistema en un momento dado, y tras pasar por una o más colas, sale del sistema, Dosnunca subtipos: Acíclicas: Un trabajo puede volver a la misma
cola (no existen ciclos) Cíclicas: Hay bucles en la red
Cerradas: Los trabajos ni entran ni salen del sistema, Por lo tanto permanecen circulando por el interior del sistema indefinidamente, Usualmente existe un número fijo de trabajos,
Red abierta acíclica
Red abierta cíclica
Red cerrada
Redes de Jackson abiertas
Una red de colas abierta se dice que es de Jackson si:
Sólo hay una clase de trabajos Los enrutados r ij 0salido es ladel probabilidad deson ir alprobabilísticos, nodo j despuésdonde de haber nodo i, Por otro lado, ri0 es la probabilidad de abandonar del sistema después de haber salido del nodo i, donde ri0 = 1– ∑jrij Cada nodo i es una cola .|M|ci
La tasa de llegadas externas al nodo i se notará i El número total de nodos de la red se notará K
Ecuaciones de equilibrio
Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos que: K
i i jji r, i 1,..., K j 1
Las K ecuaciones anteriores forman un sistema lineal con solución única, que resolveremos para hallar las tasas de llegada a cada nodo i
Condición de no saturación
Para que ninguna de las colas del sistema se sature, es preciso que se cumpla la siguiente condición: i 1,2,..., K , ri 1, donde ri
i ci mi
Nota: Se trata de la condición de no saturación del modelo M|M|c, aplicada a cada uno de los nodos por separado
Teorema de Jackson para redes abiertas
Teorema: Sea una red de Jackson abierta que
cumple la condición de no saturación, Entonces en el estado estacionario, la distribución del número de clientes en cada nodo es la que sigue: p ( n)
K
p (n ), i
i
n1 ,
, nK
0
i 1
donde pi(ni) es la probabilidad de que haya n i clientes en el nodo i, calculada según las ecuaciones del modelo M|M|c
Consecuencias del teorema
Corolario: Las medidas de rendimiento para
cada nodo se calculan según las ecuaciones del modelo M|M|s, Además se tendrán las siguientes medidas:
Tasa global de salidas del sistema (throughput), que es el número medio de trabajos que salen del sistema por unidad de tiempo, Coincide con el número de trabajos que entran en el sistema: K
red i i 1
Consecuencias del teorema
Número medio de trabajos en el sistema, L red, que es la suma de los número medios de trabajos en cada uno de los nodos: K
Lred
Li i 1
Tiempo medio en el sistema, Wred, que es el tiempo medio que pasa una tarea desde que entra en la red hasta que sale de ella:
Wred
Lred red
Consecuencias del teorema
Razón de visitas al nodo i, V i, que es el número medio de veces que un trabajo visita el nodo i desde que entra en la red hasta que sale:
i 1,2,..., K , Vi i
red
Nota: en una red acíclica habrá de cumplirse que Vi 1 i {1,2,,,,,K}, ya que cada tarea visitará cada nodo a lo sumo una vez
Ejemplo (red acíclica) 1,5
1
2 4 3 5
0,5
6
mi 2 i 1,2,..,6
Ejemplo (red acíclica)
Ecuaciones de equilibrio:
1 r 4
3
1
;
2
; 34
5
r ; 3
r ;
1 12
r 3
35
1 13
r ; 6 65
6
6
En el ejemplo, 1=1,5; r12=0,2; r13=0,8; r34=0,6; r35=0,4; 6=0,5; r65=1; con lo cual la solución es:
1 4
1,5; 0,72;
0,3;
2 5
0,98;
1,2;
3 6
0,5
Ejemplo (red acíclica)
Condición de no saturación (se cumple porque
ri
i mi
r1
r4
0,36; r
0,75;r
5
2
0,49; r
0,15; r
6
3
0,6;
0,25
Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo M|M|1): ri L1 3; L2 0,1764; L3 1,5; Li 1 ri L4
0,5625; L5 0,9607; L6 0,3333
i<1):
Ejemplo (red acíclica) Wi
1
mi i
W4
Wqi
0,78125; W5 0,9803; W6 0,6666
Wi Wq 4
W1 2; W2 0,5882; W3 1,25;
1
mi
Wq1 1,5; Wq 2 0,0882; Wq3 0,75;
0,28125; Wq5 0,4803; Wq6 0,1666
Red abierta cíclica 0,2
1
2 4
0,8
3 5
mi 3 i 1,2,4 mi 4 i 3,5 0,6
Ejemplo (red cíclica)
Ecuaciones de equilibrio:
1
1
;
2
r ;
1 12
r 4
3
3 3 1r13 ;
34
r ;
5 53
r
5
3
35
En el ejemplo, 1=0,2; r12=0,3; r13=0,7; 3=0,8; r53=0,6; r34=0,1; r35=0,9; con lo cual la solución es:
1
0,2;
4
2
0,06;
0,2043;
3 5
2,0434;
1,8391
Ejemplo (red cíclica)
Condición de no saturación (se cumple porque
ri
i mi
r1 r4
0,0666; r
0,0681; r
5
2
r0,02;
3
i<1):
0,5108;
0,4597
Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo M|M|1): ri L1 0,0714; L2 0,0204; L3 1,0443; Li 1 ri L4
0,0731; L5 0,8511
Ejemplo (red cíclica) Wi
1
mi i
W1 0,3571; W2 0,3401; W3 0,5111; W4
Wqi
Wi
1
mi
0,3576; W5 0,4627
Wq1 0,0238; Wq 2 0,0068; Wq3 0,2611; Wq 4
0,0243; Wq5 0,2127
Redes de Jackson cerradas
Una red de colas cerrada se dice que es de Jackson sii:
Sólo hay una clase de trabajos Los enrutados r ij 0salido es ladel probabilidad deson ir alprobabilísticos, nodo j despuésdonde de haber nodo i, Cada nodo i es una cola .|M|ci Hay una cantidad constante M de trabajos en el sistema
El número total de nodos de la red se notará K
Ecuaciones de equilibrio
Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos que: *
K
*
j 1 r , i 1,..., K i
jji
Las K ecuaciones anteriores forman un sistema lineal indeterminado con un grado de libertad, que resolveremos para hallar las tasas de llegad a re lativas a cada nodo i*, Para ello fijaremos un valor positivo arbitrario para una incógnita, por ejemplo 1*=1
Análisis del valor medio
Hallaremos las siguientes medidas de rendimiento para M tareas en el sistema:
Li(M)=Número medio de tareas en el nodo i Wi(M)=Tiempo medio que cada tarea pasa en el nodo i cada vez que lo visita i(M)=Tasa real de salidas del nodo i
Se trata de un algoritmo iterativo que va calculando Li(m), Wi(m) para valores crecientes de m a partir de m=0
Análisis del valor medio
Las ecuaciones son: 1 m Wj ( )
mj
L j (m 1) , Km j c jm j
*jW j (m) L j ( m) m K * , i1 iWi (m)
j (m)
L j ( m)
,j
W j ( m)
M 1,..., j 1,...,K
K m 1,...,M
L j (0) 0, j 1,..., K
1,...,
m 1,..., M 1,...,
Red cerrada 1 2
3
1 4
1
mi 5 i 1,2,..,6
Ejemplo (red cerrada)
Ecuaciones de equilibrio:
1* *3r31 *4 r41; *2 * * r ; * 3
2 23
4
*
* 1 12
r ;
r
1 14
En el ejemplo, r12=0,3; r14=0,7; r23=1; r31=1; r41=1; con lo cual la solución es, tomando 1*=1:
1*
1; *2
*3
0,3;
0,3; * 4
0,7
Ejemplo (red cerrada) W j (m) L1 ( m) m
1 L j ( m 1) 5
,
j 1,..., 4
W1 ( m)
1234 Wm ( ) 0,3 W ( m) 0,7 m ( )Wm0,3 W 0,3 W2 ( m) L2 ( m) m m ( )Wm0,3 W W1234 m( ) 0,3 W ( m) 0,7
L3 ( m) m L4 ( m) m
( ) ( )
0,3 W3 ( m)
Wm ( ) 0,3 W m ( )Wm0,3 W ( m) 0,7 1234
( )
0,7 W4 ( m)
W1234 m( ) 0,3 W m ( )Wm0,3 W ( m) 0,7
( )
Ejemplo (red cerrada)
Primera iteración: j L j (0) 0,
4 1,...,
W j (1)
0,2 L1 (1) 1 2,3 0,2
L2 (1) 1 L3 (1) 1 L4 (1) 1
0,3 0,2 2,3 0,2 0,3 0,2 2,3 0,2 0,7 0,2 2,3 0,2
1 L j (0) 5
0,4347 0,1304 0,1304 0,3043
0, 2
j
1,..., 4
Ejemplo (red cerrada) m
W1(m)
W1(m)
W1(m)
W1(m)
L1(m)
L2(m)
L3(m)
L4(m)
0
--
--
--
--
0
0
0
0
1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,4348
0,1304
0,1304
0,3043
2
0,2870
0,2261
0,2261
0,2609
0,9483
0,2241
0,2241
0,6034
3
0,3897
0,2448
0,2448
0,3207
1,5360
0,2895
0,2895
0,8849
4
0,5072
0,2579
0,2579
0,3770
2,1913
0,3343
0,3343
1,1401
5
0,6383
0,2669
0,2669
0,4280
2,9065
0,3646
0,3646
1,3644
6
0,7813
0,2729
0,2729
0,4729
3,6737
0,3850
0,3850
1,5564
7
0,9347
0,2770
0,2770
0,5113
4,4852
0,3987
0,3987
1,7173
Ejemplo (red cerrada) L
16
14
12
Cola 1
10
8
6
4
Cola 4 2
Colas 2 y 3
0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
m
Ejemplo (red cerrada) W 3.5
3
2.5
Cola 1 2
1.5
Cola 4
1
Colas 2 y 3
0.5
0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
m
Ejemplo (red cerrada) Utilizaci ón del servido r (%) U= / = L/(W )
100
Cola 1
90
80
70
60
Cola 4
50
40
30
Colas 2 y 3
20
10 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
m
Cuellos de botella
Un cuello de botella en un sistema de colas es un nodo cuya capacidad de procesamiento determina el rendimiento de todo el sistema Definición: Sea una red de Jackson cerrada. Diremos que el nodo j es un cuello de botella sii Lj(m) cuando m En el ejemplo anterior el nodo 1 es un cuello de botella. Trabaja al límite de su capacidad mientras que los otros no (se quedan al 30% o al 70%). Para mejorar el rendimiento global del sistema habría que aumentar la capacidad de procesamiento del nodo 1
Simulación 7. Revisión de diferentes programas especializados para simulación
Introducción
Los precursores de la simulación fueron Von Newmann y Morgenstern quienes idearon el método de Montecarlo en la década de los 40’s (padres también de la teoría de juegos)
Poco tiempo después se desarrolló el primer modelo de simulación
durante el apoyado programaen Manhattan en laprocesadores, segunda guerra desarrollo los nacientes fuemundial. el primerEste programa de simulación que existió. Algunos aportes se hicieron en forma posterior, sin embargo, en la década de los 70’s se dio nuevamente el boom de estos programas
gracias a los desarrollos en bases de datos que permitieron integrar los ordenadores a procesos productivos. En los años posteriores fueron surgiendo programas más especializados hasta llegar a los muy avanzados que tenemos hoy en día.
Qué hay de nuevo en la tecnología de simulación?
Hoy en día los programas de simulación son más que emuladores de variables aleatorias en procesos Más allá de esto, existen una serie de características que buscan ofrecer soluciones especializadas en entornos más amigables al usuario, fáciles de usar y flexibles para trabajar. Entre las principales características encontramos:
Animación en 2 y 3 dimensiones Imágenes ultra realísticas (adición de diseños CAD) Integración con lenguajes y sistemas populares como: C#, C++, VB, Access, VBA, Excel, Visio Herramientas de Optimización (OptQuest) Reportes de resultados automáticos y/o personalizados Integración con sistemas de análisis de datos (Stat::Fit, ExpertFit) Paquetes de modelos especializados
Software de Simulación más conocidos A continuación haremos un recorrido por los sistemas más populares para simulación a nivel mundial, indicando algo de historia y sus características más importantes. Evaluaremos:
Analytica AnyLogic (simulación de sistemas dinámicos) Arena AutoMod Flexsim GoldSim MicroSaint Promodel Simul8 Vensim (simulación de sistemas dinámicos) Witness
Analytica
Propiedad de Lumina Decision Systems Inc., compañía de srcen Norteamericano, fundada en 1991 Modelación en 2D
Integración Excel y Access Aplicacionescon principales:
Aeroespacial Construcción Modelación Financiera Riesgo Financiero Procesos y Manufactura
Precios
Edición Profesional: US $1.295 Optimizador: US $2.995 Reproductor: US $500
http://www.lumina.com/ana/whatisanalytica.htm
AnyLogic
Propiedad de XJ Technologies, compañía de srcen Ruso, fundada en 1992 Modelación en 2D Aplicaciones principales: Educación
Sistemas Complejos Militar Redes y Comunicaciones Cadena de suministros y Transporte
Precios
V6 Edición Avanzada: 4.800 EUR + 1.200 EUR con OPT Quest V6 Edición Profesional: 12.000 EUR
http://www.xjtek.com/anylogic/
Arena
Propiedad de Rockwell Automation, compañía de srcen Norteamericano, fundada en 1983. Modelación en 2D (post-animación en 3D) Fácil utilización Integración con VB Aplicaciones principales:
Sistemas Complejos Servicios Militar Cadena de suministros Comparación de escenarios
Precios
Básico: US $795 OptQuest: US $ 995
http://www.arenasimulation.com/
AutoMod
Propiedad de Applied Materials Inc., compañía de srcen Norteamericano, fundada en 1967. Modelación en 3D, ultra realista Requiere nivel avanzado de programación
Lenguaje propio, orientado a objetos
Módulos de manufactura especializados: Aplicaciones principales:
Sistemas Complejos Salud Manufactura Cadena de suministros y Transporte Aeroespacial
Precios
Versiones desde US $20.000 hasta US $40.000
http://www.automod.com/
FlexSim
Propiedad de Flexsim Software Products Inc., compañía de srcen Norteamericano, fundada en 1993. Fácil Utilización Es tal vez el software más popular en simulación 3D Permite incluir objetos CAD Integración con C++, Access y Excel Módulos de manufactura especializados Aplicaciones principales:
Manufactura Cadena de suministros
Precios
US $19.500
http://www.flexsim.com/
GoldSim
Propiedad de Golder Associates, compañía de srcen Norteamericano, fundada en 1990
Modelación 2D Aplicacionesen principales:
Medio Ambiente Modelación financiera y de negocios Procesos industriales Sistemas dinámicos
Precios
GoldSim Pro: US $3.950
http://www.xjtek.com/anylogic/
MicroSaint
Propiedad de Alion MA&D Operation, compañía de srcen Norteamericano, fundada en 1984 Modelación en 2D (tiene una leve integración con 3D)
Integración con Visio Reportes configurables por el usuario Aplicaciones principales:
Medio Ambiente Modelación financiera y de negocios Procesos industriales
Precios
Modelador Básico US $4.995 Avanzado (Incluye animación en 2D y OptQuest): US $8.995
http://www.maad.com/index.pl/micro_saint
ProModel
Propiedad de Promodel Corporation, compañía de srcen Norteamericano, fundada en 1988 Software de propósito general Modelación en 2D (post-animación en 3D) Programas especializados
Aplicaciones principales:
ProcessModel (integración con VISIO) MedModel ServiceModel Servicios Procesos industriales
Precios
US $3.500 Stat::Fit US $245
http://www.promodel.com
Simul8
Propiedad de Simul8 Corporation, compañía de srcen Norteamericano, fundada en 1994. Fácil Utilización Modelación en 2D (post-animación en 3D) Integración con C++, VB, Access y Excel Aplicaciones principales:
Manufactura Cadena de suministros Simulación de escenarios
Precios
Standard: US $1.495 Profesional: US $4.995 Stat::Fit US $245 OptQuest: US $495
http://www.simul8.com/
Vensim
Propiedad de Ventana Systems Inc., compañía de srcen Norteamericano, fundada en 1985 Modelación en 2D Aplicaciones principales:
Modelación de sistemas dinámicos (cadenas de abastecimiento, modelación financiera, modelos de crecimiento, económicos, sociales, etc.)
Precios
DSS: US $1.995 Profesional: US $1.195 PLE: gratis
http://www.vensim.com/
Witness
Propiedad de Laner, compañía de srcen Británico, fundada en 1978 Modelación en 3D Diseños Optimizados Integración con Visio Reportes configurables por el usuario Aplicaciones principales:
Medio Ambiente Modelación financiera y de negocios Procesos industriales
Precios
http://www.lanner.com/corporate/technology/witne ss.htm
Aplicaciones más frecuentes
Conclusiones
En la literatura revisada se encontraron 57 diferentes programas de simulación, se destacaron los 11 aquí revisados. Todos cuentan con múltiples características como simulación discreta y continua, sistemas dinámicos, modelación en 2 y 3 dimensiones, integración con otros sistemas, etc. Así mismo se identifican diferentes campos de aplicación, la elección del programa depende básicamente de este parámetro y el costo. Arena es el software de simulación más difundido a nivel mundial, por su bajo costo y su amplio soporte en muchos países. En segundo lugar se encuentra Promodel, tiene una mayor difusión en ámbitos académicos ya que está enfocado a propósito general (abarca casi todos los campos), no obstante no permite una gran especialización y modelación de sistemas complejos. Existen otros programas más especializados como Flexsim, Witness y Automod, pero por su alto costo solo se utiliza en empresas con departamentos dedicados al campo de la simulación
Simulación 8. Introducción a la Simulación con Promodel
Definiciones para un modelo de simulación
Locaciones (Locations): Lugares donde ocurrirán los eventos
del proceso
Entidades (Entities): Objetos o personas que se mueven en el
modelo (elementos, máquinas, materiales y clientes) Recursos (Resources): Elementos limitados que utilizamos en el sistema. Por lo general implican costos. Redes (Path Networks): Posibles recorridos de una entidad ó recurso Procesos (Processing): Iteraciones de los recursos y las entidades en las locaciones Llegadas (Arrivals): Entradas al sistema Turnos y horarios (Shifts) Atributos (Atributes): Variables asociadas a una entidad o
locación
Ejemplos de las definiciones L o c ac i o n es
E n t i d ad es
Rec u r s o s
Clientes, Recibos de Cajeros, consignación, Formatos Computadores de nuevas cuentas Personas que dispensan, harina Clientes,Facturas empleada, vasos de refresco
Banco
Fila, Cajero, Asesores
Cafetería
Fila,Caja
Fábrica de Zapatos
Filas, Centros de proceso (corte del cuero, pintura, Cuero, Cajas de cartón, confección, pegado, control insumos en general de calidad, etc)
Mano de obra, Cuero, Cordones, Zuelas
Central de acopio logística
Recepción de mercancía, Filas, Alistamiento, Empaque, Despacho, etc.
Mano de obra, Impresoras, Máquinas de empaque
Productos, Cajas, Camiones, Listados de Alistamiento, Etiquetas
Pantalla de promodel
Conceptos básicos
Identificar distribuciones de entrada a través de StatFit DTS Creación de variables globales Recursos y rutas Turnos
Ejemplo centro de copiado (DTS) Un Juzgado tiene a su disposición un centro de copiado el cuál posee 5 máquinas fotocopiadoras las cuales procesan tanto documentos carta como oficio. La máquina 1 no tiene períodos muertos, pero debe ajustarse durante 1 minuto cada que cambia de tamaños carta a Oficio. La máquina 2 debe parar por 20 minutos cada que ha procesado 300 copias o corre el riesgo de fundirse. La máquina 3 debe parar durante 10 minutos cada 2 horas de trabajo para enfriar sus mecanismos internos. La máquina 4 debe cambiar los rodillos cada 200 copias, operación que le toma 7 minutos. La quinta máquina no requiere preparación alguna ni mantenimientos durante la operación. Cada paquete de copias llega en grupos de 5 hojas y sus tiempos de llegada en el día están dados por la siguiente tabla: Hora del día
Paquetes recibidos de Paquetes recibidos de tamaño Carta
5 1
tamaño Oficio
10
10 2
12
3
2
8
4
5
6
5
2
10 6 5 7
8
4 9 15
8
4
El proceso de copiado toma en promedio 2 minutos por cada paquete pues requiere quitar y poner ganchos de cosedora en cada paquete. Al salir de la copiadora se ponen en una banda final que los lleva hasta un almacén transitorio donde cada paquete dura en promedio 10 minutos. Cuál máquina de las cuatro primeras es más eficiente?
Ejercicio DTS y Recursos
Centro de diagnostico automotriz: Un taller especializado recibe automóviles y camiones para revisiones y mantenimiento general. Este taller cuenta solamente con tres estaciones de trabajo, una de lavado, a continuaicón una alineación y balanceo, una de cambio de aceite y una de
Ejemplo carpintería El Roble La carpintería El Roble, procesa madera de la siguiente manera: Recibe troncos de madera a razón de 30 T/hora y los ingresa a un control de calidad inicial. En este se determina si el tronco es válido o no para su procesamiento. La probabilidad de encontrar un tronco en buen estado es de un 80% y el tiempo de la inspección es de 1 min por tronco. En caso de no ser apto, pasa a un proceso de aserrado (conformación de aserrín) en una máquina especial cuyo tiempo de operación es uniforme con parámetro de 5 minutos. Los troncos aptos pasan a un proceso de corte donde se cuenta con dos máquinas cortadoras con tiempos de operación que se distribuyen exponencialmente con parámetro de 8 minutos por máquina. Al salir de este proceso deben pasar por un proceso de lijado y pulido en una máquina lijadora que tiene un tiempo de procesamiento distribuido normalmente con media 6 y desviación estándar 3. Finalmente estas piezas pasan a un proceso de pintura con barniz, realizado por dos operarios de forma artesanal. Estos operarios tienen un tiempo de procesamiento distribuido Triangularmente con media 4.2, mínimo 1.4 y máximo 12.6. Al finalizar el proceso las piezas pasan a una bodega de almacenamiento de producto terminado. El dueño de la carpintería está preocupado por que encuentra que cerca del 50% de la mercancía ingresada al día no alcanza a ser procesada en un turno normal de 8 horas y desea saber qué estrategias debería seguir para corregir este problema, minimizando costos.
Ejemplo red abierta de Jackson y aplicación en Promodel (Empresa de juguetes Muñequita) La empresa de juguetes muñequita tiene 4 secciones (A, B, C, D). Los juguetes que fabrican se pueden clasificar en 5 categorías, con demandas anuales variables: Tipo 1: demanda anual de 500 unidades y por sus especificaciones los deben circular por la sección A, luego la sección B y por último la sección C Tipo 2: demanda anual de 3000 unidades y deben circular por ABD Tipo 3: demanda anual de 2000 unidades y deben circular por BD Tipo 4: demanda anual de 2000 unidades y deben circular por AC Tipo 5: demanda anual de 1000 unidades y deben circular por BC Sabiendo que el ritmo de producción por hora en una máquina de tipo A es de 2 unidades, el de B de 2 unidades, el de C de 4 unidades y el de D de 2 unidades por hora, con un año de 220 días y 8 horas diarias de trabajo, y asumiendo tiempos exponenciales: a) Modele el problema definiendo los parámetros básicos para cada sección b) Defina el número de máquinas indispensables en cada sección c) Asumiendo que los niveles de inventario se mantendrán en los mínimos indispensables, Cuál es el tiempo medio esperado de producción de un producto en el sistema? d) Si el tiempo medio de entrega de un producto es de 10 días, cuál es el nivel medio de inventarios en el sistema?
Solución analítica
Primero definimos los recorridos del modelo
ABC ABD AC BD BC
Ahora establecemos la red del modelo basado en los recorridos (derecha) Calculamos la probabilidad de tránsitos en la red
rAB= 3500/5500 = 0.6363 rAC= 2000/5500 = 0.3636 rBC= 1500/6500 = 0.2307 rBD= 5000/6500 = 0.7692
0.63
A
B 0.23
0.36
C
0.76
D
Solución analítica
Dado que este modelo plantea años de 220 días con jornadas de 8 horas, se estima entonces un rango de tiempo total de 1.760 horas Tasas de llegada T1=500/1760 = 0.2840 unidades/hora T3=2000/1760 = 1.1363 unidades/hora
T2=3000/1760 = 1.7045 unidades/hora T4=2000/1760 = 1.1363 unidades/hora
T5=1000/1760 = 0.5681 unidades/hora
i i
Ecuaciones de equilibrio 1 A B B C r ACA
K
r, jji j 1
500 3000 2000
5500 3.125 1760 1760 2000 1000 rAB A 0.6363 3.125 1760
r
BC B
0.3636
3.125
0.2307
D rBDB 0.7692 2.8409 3.6931
3.6931 3.6931
1.9886
i
1,2,..., K
Solución analítica Condición de NO saturación
ri
i 1 Si mi
Medidas de rendimiento
Una vez halladas las tasas, aplicamos las ecuaciones de un modelo M/M/S para determinar L, Lq, W y Wq
3.125
rA
S 2
0.78125
SA
2
A
rB
3.6931
S 2
0.9232
SB
0.4971
SC
P0
2
1 s
1 1 sm n ! m sm n0 ! m s n s 1
B
rC
1.9881
S 4
1
C
rD
2.8409
S 2
0.7102
SD
L
m m
s
s 1 ! sm
2
P0
m
Lq L
2
D
W
L
Wq W
1
m
m
Solución analítica Resultados de las medidas de rendimiento Parámetro
Lq
A 3.125 2242 2212 78.13% 4.01002506 2.44752506
W Wq
1.28320802 0.78320802
3.38837697 2.88837697
0.49716615 0.24716615
1.00891793 0.50891793
P0
12.28%
3.99%
50.29%
16.94%
S L
B 3.6931
C
D 1.9886
Total 2.8409
92.33%
49.72%
71.02%
12.513615
0.98866461
2.86623494
10.667065
0.49151461
1.44578494
20.3785396 15.0518896 6.17766907 4.42766907
Inventario promedio: Dado que las estaciones que se encuentran en la rama final de la
cadena son C y D, es necesario conocer el resultado de producción de estas (tasa de producción) y basado en esto proyectar 80 horas de procesamiento para establecer el inventario máximo. El valor medio de esta cifra, será el inventario promedio. ProducciónC rCSC mC 0.4971 1 2 0.9943 ProducciónD rDSD mD 0.7102 2 2 2.8409 Producción Total 0.9943 2.8409 3.8352 Inventario 10 días 3.8352 80 306.81 Inventario Promedio
306.81 2
154 Unidades
Solución con Promodel®
Definimos cuatro estaciones de trabajo, cuatro colas y un almacén.
Solución con Promodel®
Definimos también cinco entidades equivalentes a cada línea de juguetes
Estas entidades tendrán una tasa de llegada similar a la obgenida en la solución analítica
Solución con Promodel®
Para medir el proceso, creamos además una serie de variables
Solución con Promodel® En t i ty
ALL
L o c at i o n
Cola_A
Op e r at i o n IF ENTITY()=jA THEN
{ INC ingA RENAME AS jA INC ing_tot } IF ENTITY()=jB THEN { INC ingB RENAME AS jB INC ing_tot }
O u tp u t D es t in a t io n
ALL
Estacion_A
Ru l e
FIRST 1
En t i t y
ALL
Lo c at i o n
Op e r at i o n
Cola_C
Ou t p u t D es ti n a ti o n
ALL
Estacion_C
Rul e
FIRST 1
IF ENTITY()=jD THEN { INC ingD RENAME AS jD INC ing_tot}
ALL
jA
Cola_B
IF ENTITY()=jA, 1
ALL
jB
Cola_B
IF ENTITY()=jB
ALL
jD
Cola_C
IF ENTITY()=jD
ALL
ALL
Estacion_B
FIRST1
jA jE jB jC
Cola_C Cola_C Cola_D Cola_D
IF ENTITY()=jA, 1 IF ENTITY()=jE IF ENTITY()=jB IF ENTITY()=jC
Estacion_A WAIT E(30)
WAIT E(15) IF ENTITY()=jA THEN { INC procA INC proc_tot} IF ENTITY()=jD THEN Estacion_C { INC procD INC proc_tot} IF ENTITY()=jE THEN { INC procE INC proc_tot } Cola_D WAIT E(30) IF ENTITY()=jB THEN Estacion_D
{ INC procB INC proc_tot} IF ENTITY()=jC THEN { INC procC INC proc_tot}
ALL
Almacen
FIRST1
ALL
Estacion_D
FIRST 1
ALL
Almacen
FIRST1
ALL
EXIT
FIRST1
IF ENTITY()=jC THEN { INC ingC
ALL
Cola_B
RENAME AS jC INC ing_tot } IF ENTITY()=jE THEN { INC ingE RENAME AS jE INC ing_tot }
ALL
Estacion_B WAIT E(30)
ALL
Almacen
dia=INT(CLOCK( HR)/8)+1 WAIT UNTIL INT (dia/10)=dia/10
Procesamiento del modelo
Solución con Promodel®
Layout del modelo
Solución con Promodel®
Corremos el modelo por 1760 horas equivalentes a 220 días (1 año)
Solución con Promodel®
Resultados
De esta columna obtenemos
De esta columna obtenemos L y el inventario
W
promedio
Solución con Promodel®
Inventario promedio: Oscila entre los 150 y 160 unidades, en la
tabla anterior se resalta un valor de 155.04 (aprox 155). El dato obtenido en forma analítica era de 154 unidades.
Solución con Promodel®
Utilización (Promodel Vs. Analítico) Soluciones obtenidas en forma analítica
r A 78.12%
rB 92.32% rC 49.71%
rD 71.02%
Solución con Promodel®
Se observa la gran precisión y similitud entre los resultados obtenidos con Promodel y los obtenidos en forma analítica Este ejercicio es una clara muestra de la utilidad de la simulación por ordenadores para plasmar casos reales contrastados además por soluciones matemáticas.
Recursos
Un recurso es aquello que se utiliza para realizar una operación o transporte dentro del modelo. Pueden ser personas, equipos, máquinas, etc., siempre que estos sean limitados. Esto quiere decir además que los recursos pueden tener un costo asociado A diferencia de las locaciones, un recurso se mueve, toma otros objetos, descansa, tiene turnos de trabajo, etc. Para mover un recurso es necesario asignar una red en el layout del modelo.
Recursos
Para crear un recurso, entramos al menú de construcciones. Una vez definido el nombre, cantidad y gráficos, podemos asignar también una red de movimientos, lógicas de operación, turnos y tiempos muertos (Downtimes)
Redes
Las redes son los recorridos que los recursos pueden realizar dentro del lay out del modelo. Siempre se debe asociar los nodos con las locaciones.
Ejemplo Bodega Televisores Suponga una bodega en la zona franca donde se almacenan televisores para ser distribuidos a almacenes de grandes superficies. Diariamente se reciben camiones con cargas de 20 televisores, el tiempo de llegada entre cada camión es de 60 minutos distribuidos exponencialmente. Una vez ingresan pasan por un control de calidad que tarda 1 minuto con distribución exponencial. flujoelde salida es constante por lo que no existe como tal, por El ende único proceso que determina la salida es eluna de demanda preparación, donde unos operarios (10) reciben los televisores, verifican el estado y les agregan en la caja unas instrucciones en español y un folleto de garantía, lo empacan nuevamente en una caja propia de la compañía. Este proceso está distribuido normalmente con media de 6 minutos y desviación estándar de 1 minuto. Luego estos televisores pasan a un muelle de salida donde varios camiones esperan hasta que se complete un lote de 10 aparatos y salen con destino a los clientes. El almacén cuenta con 2 montacargas para realizar estos movimientos, ¿es suficiente para cubrir la, operación? Suponga que los movimientos del montacargas tienen una duración de 2 min cada uno.
Turnos de trabajo
Son los horarios de trabajo y descanso que se asignan únicamente a los recursos del modelo. Para crearlos se ingresa en la ruta que
se algo muestra a laaderecha y su inferiores. resultado es similar los cuadros Cada turno se debe crear por separado.
Turno 1
Turno 2
Ciclos de llegadas
Esta útil herramienta permite establecer llegadas al modelo en distribuciones de tiempo horarias. Pueden establecerse en cantidades fijas o variables (porcentuales)
Distribuciones personalizadas
En ocasiones no es posible hallar una distribución de probabilidad predeterminada acorde con el proceso modelado. En estos casos es recomendable utilizar una distribución personalizada que permite asignar resultados enteros o reales a un porcentaje de ocurrencia. Ejemplo, suponga un dado cargado donde la probabilidad de obtener un número específico es el doble que la de los otros, en este caso el número en cuestión tendrá una probabilidad de 1/3 mientras que los demás números tendrán una probabilidad de 2/15
Caso Call-Center
La empresa Call Inc. Tiene una infraestructura que le permite servir como operador de servicio al cliente para diferentes empresas mediante líneas 1-800. Actualmente cuenta con 2 clientes
Banco El Porvenir Editorial El Buho
Con ambos tiene contratado el servicio de atención al cliente 24 horas al día, 365 días al año Por el tipo de servicio y empresa requiere que los asesores tengan una capacitación especial (el recurso es exclusivo)
Descripción General del Caso
Cuenta con 3 turnos de trabajo (6-14, 14-22, 226) En cuanto a su estructura cuenta con un coordinador para cada cliente y 21 asesores. La distribución actual de los asesores está dada de acuerdo a la tabla siguiente:
Descripción General del Caso
En cuanto a la distribución de las llamadas en el día, se reciben cerca de 1000 para el banco y 200 para la editorial, con diferentes frecuencias según la hora del día. La tabla siguiente contiene una distribución promedio por cada hora y cliente. Las llamadas tienen una duración promedio de:
Banco: 5 min Editorial: 10 min
H o ra
Ba nc o
Edi to rial
6
1 .0 0 %
0 .5 0 %
7
2 .0 0 %
0 .5 0 %
8
3 .0 0 %
1 .0 0 %
9
4 .0 0 %
1 .5 0 %
10
6 .5 0 %
2 .5 0 %
11
7 .0 0 %
4 .0 0 %
12
9 .0 0 %
1 0 .0 0 %
13
9 .5 0 %
1 0 .0 0 %
14
1 0 .0 0 %
1 1 .0 0 %
15
9 .0 0 %
1 3 .0 0 %
16
8 .0 0 %
1 2 .0 0 %
17
5 .5 0 %
9 .5 0 %
18
5 .0 0 %
9 .0 0 %
19
6 .0 0 %
8 .0 0 %
20
4 .5 0 %
2 .5 0 %
21
4 .0 0 %
2 .0 0 %
22
2 .0 0 %
1 .0 0 %
23
1 .5 0 %
0 .5 0 %
0
1 .0 0 %
0 .2 5 %
1
0 .5 0 %
0 .2 5 %
2
0 .2 5 %
0 .2 5 %
3
0 .2 5 %
0 .2 5 %
4
0 .2 5 %
0 .2 5 %
5
0 .2 5 % 100 .00%
0 .2 5 % 100 .00%
Descripción General del Caso
Usted ha sido contratado para establecer cuál debe ser la distribución adecuada de los turnos de trabajo, optimizando recurso y garantizando un tiempo de espera no mayor a 10 minutos (en cola) por llamada (adicional al tiempo de atención).
Su respuesta de debe presentarse simulada y con un soporte de investigación operaciones donde se compruebe que la cantidad de recursos elegidos, es la solución óptima del problema.
Solución Analítica
Es claro que por el comportamiento de las llamadas en el día no es posible asociarlas a una distribución de probabilidad que describa las llegadas. Esto hace que el análisis se centre en una mixta, mediante el uso de la programación lineal y algunos principios de la teoría de colas.
Solución Analítica
El planteamiento debe ser entonces hallar una distribución de turnos tal que la capacidad de atención por hora sea equivalente a la demanda de llamadas para una cola con tiempo de espera no superior a 10 minutos, dividiendo el día en varios escenarios, y que la suma de los recursos no supere la cantidad de recursos totales. Bajo el esquema de teoría de colas (asumiendo un proceso Poisson), esto querría decir que nuestro proceso estuviese balanceado bajo la condición de no saturación: i ri 1 Si mi
Solución Analítica
Hallando entonces el valor máximo de llamadas en cada turno se puede evaluar esta ecuación para establecer que la cantidad de recursos necesarios está dada por: Turno
Max(Banco)
T1 T2 T3
95 100 20
Disponibilidad
Funcionarios Requeridos B
8 9 2 19 13
Max(Editorial)
Funcionarios Requeridos ED
20 26 2
4 5 1 10
8
Esta solución no es factible pues implicaría la contratación de 8 funcionarios más. La solución (si la hay) estará dada entonces por un análisis de máximos en cada hora del día, hallando patrones en rangos de 8 horas que permitan conformar el turno, en las diapositivas siguientes se encuentra esta solución.
TABLA DE TURNOS PARA EL BANCO Hora F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 Demanda Capacidad % Holgura del día 6 10 12 17% x 7 20 36 44% x x x 8 30 48 38% xxxx
xxxx xxxxxx xxxxxx
40
48
17%
10 11
65 70
72 72
10% 3%
12
xxxxxxxx
90
96
6%
13
xxxxxxxx
95
96
1%
14
x
100
120
17%
90
96
6%
80 55
96 96
17% 43%
50 60
72 72
31% 17%
9
x
15
x x
16 17
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x x x
x x xx xx
x x
x x x x
18 19
x x x x
20
xxxx
45
48
6%
21
xxxx
40
48
17%
20 15
24 24
17% 38%
10 5 2.5 2.5 2.5 2.5 1000
12 12 12 12 12 12
17% 58% 79% 79% 79% 79%
22 23
x x
x x x x x x x x
0 1 2 3 4 5
Horas
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
TABLA DE TURNOS PARA LA EDITORIAL Hora del día 6
F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
Demanda
Capacidad
x
x
1
7
x
x
1
12
9 2%
8
x
x
2
12
8 3%
9
x
x
x
3
18
8 3%
10 11
x
x
x
5
18
7 2%
x
x
x
8
18
5 6%
12
x
13
xx
x
x
12
9 2%
20
x
xx
24
20
x
% Ho l g u r a
1 7%
30
3 3%
14
x
x
x
x
x
2 2
30
2 7%
15
x
x
x
x
x
6 2
30
1 3%
16 17
x
x x x x x x x x
4 2 9 1
30 24
2 0% 2 1%
x
x
x
x
8 1
24
2 5%
x
x
x
x
6 1
24
18 19 20
x
21
x
x
x
x
5
18
4
12
2
6 6
3 3% 7 2% 6 7%
22 23
x x
1
0
x
0. 5
6
9 2%
1
x
0. 5
6
9 2%
2
x
0. 5
6
9 2%
3 4 5
x
0. 5
6
9 2%
x
0. 5
6
9 2%
x
0. 5
6
9 2%
200 H ora s
8 8
8 8
8 8
8 8
6 7% 8 3%
Solución Analítica
Como se puede observar, en forma analítica se puede hallar una distribución de turnos tal que permita resolver el problema aparentemente en forma óptima. Esta solución será llevada a Promodel para contrastar en una forma más real si es o no viable. En las diapositivas siguientes está este desarrollo.
Solución con Promodel®
Par simular este modelo establecemos 3 locaciones:
Conmutador Operador de Banco Operador de Editorial
Los operadores se tomarán como locaciones y no como recursos ya que para efectos prácticos es más fácil su modelación y asignación de turnos El counter se tomará como una fila de capacidad finita de 100 llamadas, con ruteo por tipo de entidad (banco o editorial) Las llamadas serán tomadas como dos tipos de entidad Banco o Editorial, cada una con su ciclo de llegadas según lo descrito en el enunciado del ejercicio. Se asignan en primera instancia los tres turnos básicos con los que cuenta el call center Finalmente se crean los procesos de atención con demoras de 5 y 10 minutos según el caso.
Solución con Promodel®
El siguiente es el layout del modelo
Solución con Promodel®
Luego de correr el modelo se vuelve a modelar esta vez con los 10 turnos de trabajo hallados en la solución analítica Turno
Turno 1 Turno 2 Turno 3 Turno 4 Turno 5 Turno 6 Turno 7 Turno 8 Turno 9 Turno 10
Hora
Funcionarios
6a14 14 a 22
B1,E1,E2 B9, B10, B11, E6, E7
22a6 7a13 16 a8 17 a9 10a18 12a22 14 23 a 16 24 a
B13,E8 B2,B3 B4 E3 B5,B6 B7,B8,E4 E5 B12
El rendimiento del modelo en ambos escenarios será analizado teniendo en cuenta el tiempo medio de espera y las llegadas fallidas. Si el número es muy grande, significa que aún no está balanceado el modelo También se incluyeron en el modelo una serie de variables y
archivos externos para poder analizar esta información en Excel.
Solución con Promodel®
Al correr el modelo con los turnos srcinales se observan los siguientes resultados:
Por otra parte, al correrlo con los 10 turnos hallados en forma analítica se observan estos resultados:
No hubo arribos fallidos
Conclusiones sobre las dos metodologías
Evidentemente el resultado de la atención mejora considerablemente dada la distribución de turnos hallada como se muestra en la tabla siguiente: Vari able Llamadas Atendidas Banco Editorial Llamadas Fallidas Banco Editorial
Escenario Original
Escenari o 10 turnos
Mejora
3709 707
60006 1.77% 1200 69.73%
2207 493
0 100.00% 0 100.00%
Así mismo el tiempo de espera en el conmutador mejora sustancialmente al pasar de 31.16 a 0.93 minutos, todo con los mismos recursos. Esto se debe a la optimización de los recursos gracias a la distribución hallada mediante técnicas heurísticas.
Conclusiones sobre las dos metodologías
No obstante se observan ciertas horas del día en las que el tiempo de espera es superior a los 5 minutos.
Es entonces necesario evaluar la necesidad de inclusión de otros funcionarios para lograr cumplir el requerimiento de tiempo de 10 minutos.
Tarea
Halle la cantidad de recursos adicionales y su distribución de turnos, necesarios para lograr mantener este parámetro de atención en 5 minutos y extienda su análisis para la editorial. Debe lograr este resultado con la menor cantidad de operadores posibles.
Simulación 9. Modelos Avanzados con Promodel® Casos de Producción
Casos de producción
La simulación es una herramienta básica para la modelación de procesos de todo tipo. En el caso de la producción como ya lo hemos visto, es una herramienta muy útil para aplicar con poco esfuerzos mejoras en operaciones para establecer las mejores soluciones. Promodel permite no solo el diseño de la operación sino también la creación de indicadores a través de variables y subrutinas, de forma que se evidencie el rendimiento del procesos y se facilite hallar los puntos críticos a mejorar.
Casos de producción
Definiciones
Throughput (TH): Tasa de producción de piezas por unidad de
tiempo, conocido también como tasa de facturación. Work in Process (WIP): Inventario en proceso en el sistema
Cycle Time (CT): Tiempo que gasta un producto desde que
entra hasta que sale del sistema Cuello de Botella (CB): Proceso o serie de ellos que marcan la pauta de producción pues limitan el Througput del proceso Tasa del cuello de botella (rb): Es la tasa (partes por unidad de tiempo) de la estación con mayor utilización a largo plazo. Su abreviatura se debe a sus siglas en inglés “Bottleneck Rate”
Caso Industrias ECI*
La empresa ECI Ltda. Cuenta con un proceso productivo de 9 estaciones (4 almacenes, 4 procesos y 1 pallet de agrupación), con un flujo de procesos como se muestra en la diapositiva siguiente. La fábrica procesa dos tipos de entidades: Piñones y Piezas Los tiempos de operación se distribuyen normalmente con los siguientes parámetros: Operación Limpieza Torno Fresa Inspección
Piñón N(4, 0.8) N(6,1) N(5, 0.4) N(2, 0.2)
Pieza N(2, 0.5) N(4,1) N(3, 0.6) N(6, 0.2)
Los almacenes tienen capacidad infinita y las estaciones con capacidad unitaria
* Modelo t om ado d e Blanc o y Fajardo , Ver Bib liog rafía
Caso Industrias ECI
Las llegadas ocurren de otros procesos anteriores, con un total de 100 veces en un día con una frecuencia de 5 minutos y 7 minutos para piñones y piezas respectivamente La empresa cuenta además con 4 operarios para realizar todos los movimientos de materiales entre estaciones.
La empresa desea modelar este proceso para identificar los cuellos de botella Para ello, usted debe hacer uso de sus conocimientos de simulación y producción para establecer los indicadores ideales para este proceso
Flujograma de procesos en empresas ECI Recepción 1 Limpieza Recepción 2
Piñón
Torno
Fresa
Recepción 3
Recepción 3
Fresa
Torno
Recepción 4 Inspección Paletizado
Pieza
Solución con Promodel®
Creamos 9 locaciones, de las cuales 4 son estaciones de trabajo, 4 recepciones y 1 pallet donde se realizará el paletizado. Estas últimas 5 locaciones tienen capacidad infinita, las restantes tienen capacidad unitaria.
Se dos entidades: y Piñones Se crean establecen arribos conPiezas frecuencia de 5 y 7 minutos con 100 ocurrencias. Se parametriza la simulación para correr durante 8 horas Se crea 1 recurso con 4 unidades y una red de movimientos Se crean 17 variables, 3 atributos y 1 subrutina
Solución con Promodel®
Una vez corrido el modelo, se encuentran los siguientes resultados:
Cuello de botella: Torno
Ti empo de producción de cada entidad
Throughput de cada entidad y general
Solución con Promodel®
Cuello de bo tella
Solución con Promodel®
Evolución del Througput general y de cada entidad en el tiempo.
Caso Integrador Se tiene una línea de empaque a la que llegan piezas cada 2 minutos con distribución exponencial. Esta línea cuanta con cinco procesos que se describen a continuación:
Recepción de materiales: Cuenta con un espacio ilimitado de almacenamiento. En este
lugar se reciben las piezas que llegan al sistema y luego estas pasan a un proceso de lavado. El traslado de las piezas de una estación a otra tarda 3 minutos con distribución exponencial. Lavado de la pieza: La lavadora tiene capacidad para limpiar 5 piezas a la vez. El tiempo de proceso de cada pieza se distribuye normalmente con media de 10 minutos y desviación estándar de 2 minutos. De aquí pasan a un proceso de pintura, antes del cuál llegan a un almacén con capacidad para un máximo de 10 piezas. El tiempo de traslado entre estas estaciones es de 2 minutos con distribución exponencial. Pintura: En el área de pintura se tiene capacidad para pintar 2 piezas a la vez. El tiempo de pintado tiene una distribución triangular de (4, 8, 10) minutos. Posteriormente las piezas pasan a un horno, el cual cuenta con un almacén que tiene capacidad para 10 piezas. El tiempo de transporte entre estos proceso está uniformemente distribuido con límite inferior de 2 minutos y superior de 5 minutos.
Caso Integrador
Horno: En el horno se seca la pintura. El horno sólo puede procesar una pieza a la
vez. La duración de este proceso es de 3 ±1 minuto. De aquí son transportadas a dos mesas de inspección visual. No existe un almacén entre el horno y las mesas de inspección. El tiempo de transporte entre estas estaciones es de 2 ±1 minuto. Inspección: En cada mesa hay un operario que realiza la inspección de 3 elementos en cada pieza. La revisión de cada elemento tarda 2 minutos con distribución exponencial. Al finalizar este proceso, las piezas salen del sistema.
Realice lo siguiente
Simule el sistema por 30 días de 8 horas cada uno (consejo, ejecute primero un calentamiento antes de cada réplica) Ejecute 3 réplicas de la simulación Determine en una tabla las utilizaciones de todas las locaciones del modelo
Caso Integrador Análisis del modelo Cada una de las siguientes preguntas es independiente y tienen como base el modelo srcinal. Respóndalas con base en el análisis de sus resultados. 1. Dónde se encuentra el cuello de botella? 2. Si pudiera lograr una mejoría de 10% en el tiempo de proceso de alguna de las estaciones, ¿en cuál de ellas sería y por qué? 3. ¿Es necesario que alguno de los almacenes sea más grande? ¿Cuál y por qué? 4. ¿Considera necesario colocar un almacén entre el horno y las mesas de inspección?, ¿de qué capacidad? 5. Cada pieza deja una utilidad de $5 y ninguna de las inversiones debe recuperarse en más de 3 meses. ¿cuál sería su recomendación si se está analizando la posibilidad de comprar otro horno con la misma capacidad y que cuesta $100.000? 6. Cuál sería su recomendación si lo que se desea comprar es otra lavadora de la misma capacidad con un costo de $100.000? 7. Valdría la pena contratar otro operario para la inspección? El costo de esta operación es de $50.000 8. Con base en su conocimiento del sistema, haga combinaciones de los incisos anteriores y trate de obtener la mayor cantidad de piezas con el mínimo costo de inversión.
Solución con Promodel®
A continuación el layout del modelo
Solución con Promodel®
Tarea
Desarrolle nuevamente el modelo del caso integrador incluyendo además el concepto del Throughput y cuellos de botella, basado en estos parámetros establezca nuevamente la o las locaciones que podrían mejorarse en el modelo.
Modelos de Control de Inventarios
A lo largo del siglo XX se hicieron múltiples desarrollos matemáticos que facilitaran la planeación de inventarios en las empresas. Varios autores han realizado valiosos aportes que años después conformaron todo el compendio de modelos de inventario (Harris, Taft, Wagner & Whitin, etc.). encontramos: Entre ellos estos métodos
EOQ (con todas sus variaciones y adiciones posteriores) Lotes Dinámicos Wagner-Whitin News Vendor Stock Base Punto de Re-Orden
Modelos de Planeación de la producción
Si bien los modelos de control de inventarios demostraron ser bastante útiles en la administración de productos con demandas independientes, no fueron lo suficientemente efectivos en procesos cuyo resultado final fuese la fabricación o ensamble de artículos.
En estos modelos, demanda independiente estaba asociada aallas producto terminado,lagenerando así una demanda dependiente partes intermedias, demanda que no puede ser modelada por los métodos tradicionales. Es entonces cuando surge la necesidad de desarrollar nuevos métodos capaces de responder a estos requerimientos Hacia el último tercio del siglo XX, nacen los métodos de planeación de la producción, desarrollos liderados básicamente por dos diferentes ideologías, la norteamericana y la japonesa. A continuación haremos una breve reseña de los modelos más importantes de planeación de la producción.
Modelos de Planeación de la producción 1.
MRP (Material Requirements Planning): Desarrollado en la década de los 60’s por Joseph Orlick, un ingeniero de sistemas que trabajando
para la IBM y basándose en el desarrollo de bases de datos, pudo retroceder el proceso y los requerimientos de insumos, basado en la demanda independiente de los productos terminados y la explosión de materiales (composición del PT). De esta manera logró un sistema de empuje (tipo PUSH) en el cuál los insumos eran procesados en la medida que llegaban y posteriormente almacenados temporalmente hasta lograr el ensamble del producto.
A11
O1
A12
A21
O2
A22
A31
O3
A32
Modelos de Planeación de la producción 2.
JIT (Just In Time): Desarrollado en la década de los 70’s en el
Japón por Taiichi Ohno para Toyota. Este modelo basado en el consumo de productos en un supermercado, requiere que exista en cada estación únicamente el material necesario para la exhibición o en otras palabras, para la producción. Implica entonces la entrega constante de materiales (arribos) y la utilización de controles para el movimiento de productos (kanban), de manera que los insumos se mueven en el proceso en forma de halado (tipo PULL), reduciendo el nivel de inventarios y su respectivo costo.
O1
A1
O2
A2
O3
A3
Modelos de Planeación de la producción DRB (Drum-Buffer-Rope): Basado en la teoría de restricciones (TOC) desarrollada por Eliyahu Goldratt en la década de los 80’s.
3.
DRB es el aplicación de esta teoría en un proceso productivo.
El Drum (tambor) se refiere a los cuellos de botella que marcan el paso del proceso. El Buffer es un amortiguador de impactos que protege al throughput de las interrupciones y asegura que el Drum nunca se quede sin material. En lugar de los tradicionales Inventarios de Seguridad "basados en cantidades de material" los Buffer del TOC están "basados en tiempo de proceso“, ubicados solo en ciertas locaciones
que se relacionan con restricciones especificas. El tiempo de ejecución necesario para todas las operaciones anteriores al Drum, más el tiempo del Buffer, es llamado " Rope-lenght" (longitud de la soga).La liberación de materias primas y materiales, está entonces "atada" a la programación del Drum, lográndose un flujo de materiales uniforme. O1
A1
O2
A2
O3
A3
Cuello de botella (Drum
ó Ta mb or)
Modelos de Planeación de la producción 4.
Conwip (Constant Work in Process): Desarrollado en la década de los 90’s por Hopp y Spearman. Este modelo que combina las mejores
características de los modelos PULL y PUSH (sus autores lo denominan Long Pull), se basa en el mantenimiento de una cantidad fija de inventario en proceso, apoyado en tarjetas CONWIP, las cuales se asocian a la orden de trabajo a lo largo de la línea de producción en vez de asociarse a una sola estación de trabajo como ocurre con el KANBAN.
O1
A1
O2
A2
O3
A3
Modelos de Planeación de la producción
El CONWIP puede ser aplicado en entornos donde el KANBAN no puede serlo, tal como ocurre cuando se modifica con frecuencia el programa de producción. Además es posible extender la aplicación del m ismo a líneas de montaje mostrándose como con el CONWIP se alcanza una mayor producción en la línea con menores inventarios en proceso. El sistema CONWIP puede ser transformado con buenos resultados en un sistema DBR en entornos donde se ha identificado un cuello de botella bien diferenciado. Se ha visto que CONWIP y DBR comparten características comunes. El papel de la “Rope ” en el DBR es sustituido por las tarjetas CONWIP. El “Drum ” quedaría
sustituido por el mecanismo de control de las tarjetas en la cabecera y el “Buffer” queda autorregulado con el CONWIP.
Modelos de Planeación de la producción
Comparación de sistemas:
Industrias IO
Industrias IO fabrica autopartes para ser utilizadas en posterior ensamblaje La empresa cuenta con 3 procesos básicos de transformación de materiales, así como con unos
Recepción Pulidora
almacenes y finalmente cliente (ver temporales diagrama parte derecha)la entrega al Los tiempos de operación en estos tres procesos están distribuidos como se muestra en la siguiente tabla: Proceso Pulido Rectificado Troquelado
Ti e m p o e(10) n(20,10) e(15)
Rectificadora Troqueladora Producto Terminado Consumidor
Industrias IO
La empresa cuenta con un almacén de materias primas que tiene al comienzo de las operaciones 300 piezas para ser procesadas. Estas piezas provienen de otras líneas de producción Así mismo la empresa cuenta con dos tipos de recursos:
4 Operarios 2 Operadores
El tiempo de corrida de la simulación será de 72 horas continuas sin turnos de trabajo. Los almacenes temporales cuentan con una capacidad limitada llamada BUFFER de manera que se controla la cantidad de material en proceso a mantener
Sistemas Push Vs. Pull
Utilizaremos este sencillo ejemplo para modelar diferentes sistemas de producción tanto de empuje (Push) como de halado (Pull). En las diapositivas siguientes se mostrará el desarrollo con Promodel para cada uno de los siguientes métodos:
MRP Kanban (JIT) Conwip DBR
Al finalizar, el estudiante estará en capacidad de comprender, comparar y elegir el mejor modelo según el proceso que se modele
Solución con Promodel® (MRP)
En este sistema MRP (push), el inventario en proceso crece bastante (WIP=19) así como el tiempo de ciclo (CT=392 min), mientras que el throughput converge con una leve tendencia a la disminución situándose en 0.053 piezas por minuto.
Solución con Promodel® (MRP)
Tanto el tiempo de ciclo, como el WIP como el TH son bastante estables en este modelo.
Solución con Promodel® (MRP)
Las mejoras en este sistema deben estar enfocadas a los balanceos de línea de manera que se pueda elevar el TH
Solución con Promodel® (JIT)
En este sistema JIT (push), el inventario en proceso crece mucho menos (WIP=7) y el tiempo de ciclo es más bajo (CT=152 min). A pesar de esto, el throughput es muy similar al obtenido en el modelo anterior, convergiendo a 0.052 piezas por minuto.
Solución con Promodel® (JIT)
A pesar de contar con indicadores tan bajos, es preocupante la gran oscilación del WIP. Esto genera muchos tiempos muertos de operación y exige una muy buena programación de recursos para optimizar costos
Solución con Promodel® (JIT)
Comportamiento similar tiene el TH.
Solución con Promodel® (DRP)
En este sistema DBR (push), el inventario en proceso crece es menor que en el caso del MRP pero mayor que el obtenido en el JIT (WIP=10) , así como el tiempo de ciclo (CT=177 min). Medida similar ocurre con el throughput el cuál converge a 0.068 piezas por minuto.
Solución con Promodel® (DRP)
Las oscilaciones en este modelo son menos erráticas facilitando la programación de recursos. Esto ocurre por que el cuello de botella está más cerca al inicio de operaciones, haciendo que la variabilidad de máquinas afecte menos el paso de material y su inventario en proceso.
Solución con Promodel® (DRP)
Igual comportamiento en el TH.
Solución con Promodel® (CONWIP)
En este sistema CONWIP (push), el inventario en proceso es mayor que en el DRB (WIP=11) , así como el tiempo de ciclo (CT=239 min). Para este caso, el throughput es el menor de todos, convergiendo a 0.049 piezas por minuto.
Solución con Promodel® (CONWIP)
Al igual que el MRP, el comportamiento del WIP y del TH es relativamente estable. Esto se debe a que la cuerda de procesos es más corta que en los sistemas JIT, sin embargo no controla el cuello de botella directamente y sí sus operaciones circundantes.
Solución con Promodel® (CONWIP)
El resultado se evidencia en el TH.
Estadísticas comparativas de los 4 modelos
Una vez realizada la corrida para estos cuatro modelos, se analizan estos indicadores como los más importantes para la elección del mejor modelo en este ejemplo: V ar i ab l e Tipo
Piezas recibidas Piezasprocesadas % Procesamiento TiempodeCiclo(min) WIP Throughput(p/min)
MR P Push
300 191 64% 392 19 0.053
JI T Pull
DB R Pull
C ONWIP Pull
300 186 62% 152 7 0.052
300 207 69% 177 10 0.068
300 191 64% 239 11 0.049
Se puede observar que el modelo que mejor resultado tuvo para este caso fue el DRB (Drum-Buffer-Rope). En este modelo solo existe un cuello de botella, esto en parte favorece la elección del modelo DBR pues esta metodología se basa en la determinación de movimientos basados en la restricción de operaciones
Bibliografía
BANKS, J., CARSON, J.S., NELSON,B.L., NICOL, D.M. Discrete-event System Simulation. Prentice Hall International, 2001. BLANCO Rivero, Luis. FAJARDO Piedrahita, Iván. Simulación con promodel: casos de producción y logística. Escuela Colombiana de Ingeniería, Bogotá, 2003. GARCÍA, Eduardo. GARCÍA, Heriberto. CÁRDENAS, Leopoldo. Simulación y análisis de Sistemas con Promodel. Prentice Hall, 2006. Gross, Donald. Harris, Carl. Fundamentals of Queueing Theory. John Wiley & Sons Inc. 1998. HILLIER, F. LIEBERMAN, G. Investigación de Operaciones. Ed. McGraw Hill, 7ª edición, Mexico, 2003 HOPP, Wallace., SPEARMAN, Mark., Factory Physics. Mc Graw Hill 2000. N.U. Prabhu, Foundations of Queueing Theory. Kluwer Academic Publishers, Ithaca, 2002
