T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales opicos Ordinarias Renato Benazic
Cap´ıtulo 1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1.1 1.1
Intr In trodu oducc cci´ i´ on on
El mejor lenguaje creado por la raza humana para entender el mundo que lo rodea se llama Matem´atic a tica. a. Esta Esta es una de las razones por la cual el estudio de esta ciencia ocupa un papel preponderan preponderante te en nuestra nuestra moderna sociedad. Haciendo Haciendo un poco de historia, historia, a comienzos comienzos del siglo XVI, el gran f´ısico italiano italiano Galileo Galilei (1564-1642) lleg´ o a la conclusi´on on de que “la naturaleza uraleza esconde sus secretos secretos en el lenguaje de las matem´ matem´aticas”. aticas”. Algunos a˜ nos nos m´as as tarde el ingl´es es Isaac Newton (1642-1727) y el alem´an an Wilhelm Gottfried Leibnitz (1646-1716) elaboraron un nuevo tipo de matem´atic a tica: a: el C´ C´alculo alculo Diferencial e Integral, que permiti´o a los cient´ cient´ıficos de la ´epoca, epo ca, resolver muchos problemas problem as f´ısicos y geom´ g eom´etricos. etricos. En particular, particu lar, esta nueva herramienta fue indispensable para que Newton estableciera sus tres inmortales leyes del movimiento de los cuerpos por acci´on 1
Cap´ıtulo 1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 1.1 1.1
Intr In trodu oducc cci´ i´ on on
El mejor lenguaje creado por la raza humana para entender el mundo que lo rodea se llama Matem´atic a tica. a. Esta Esta es una de las razones por la cual el estudio de esta ciencia ocupa un papel preponderan preponderante te en nuestra nuestra moderna sociedad. Haciendo Haciendo un poco de historia, historia, a comienzos comienzos del siglo XVI, el gran f´ısico italiano italiano Galileo Galilei (1564-1642) lleg´ o a la conclusi´on on de que “la naturaleza uraleza esconde sus secretos secretos en el lenguaje de las matem´ matem´aticas”. aticas”. Algunos a˜ nos nos m´as as tarde el ingl´es es Isaac Newton (1642-1727) y el alem´an an Wilhelm Gottfried Leibnitz (1646-1716) elaboraron un nuevo tipo de matem´atic a tica: a: el C´ C´alculo alculo Diferencial e Integral, que permiti´o a los cient´ cient´ıficos de la ´epoca, epo ca, resolver muchos problemas problem as f´ısicos y geom´ g eom´etricos. etricos. En particular, particu lar, esta nueva herramienta fue indispensable para que Newton estableciera sus tres inmortales leyes del movimiento de los cuerpos por acci´on 1
2 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias del campo campo gravit gravitato atorio rio (por ejemp ejemplo lo traye trayecto ctoria ria de planet planetas, as, sat´elites elit es y cometas come tas as´ı como tambi´en en el movimiento movim iento de proyectiles, tiles, conectando conectando de esta manera la f´ısica de los cielos cielos con la f´ısica terrestre). En el siglo siguiente se establecieron leyes similares que gobiernan los fen´omenos omenos de electricidad y magnetismo. Todas oda s estas es tas leyes ten t en´´ıan algo en com´ co m´un: un: el fen´omeno omeno que se desea conocer (el cual es modelado matem´aticamente aticamente por el concepto de funci´on) on) estaba escondido bajo la operaci´on on de diferenciaci´ on. on. Resolver Resolver un Sistema Sistema de Ecuaciones Ecuaciones Diferencia Diferenciales les Ordinarias (E.D.O.) consiste justamente en determinar tal funci´on on o funciones inc´ognitas. ognitas. Por ejemplo el movimiento movimiento de un p´endulo endulo no amortiguado de longitud longitud est´a gobernado por el sistema
x (t) = y g sen x y (t) =
−
(1.1)
en donde g representa la aceleraci´on on de la gravedad. Si en cambio consideramos el p´endulo endulo amortiguado, con una constante de amortiguamiento c > 0, la ecuaci´on on que gobierna su movimiento es dada por
x (t) = y c y (t) = y m
−
− g sen x
(1.2)
Como segundo ejemplo consideremos el problema del rapaz y la pres presa, a, el cual cual es uno uno de los los probl problem emas as fund fundam amen enta tale less de la ecolog´ıa ıa matem´atic a tica. a. Sean Sean x(t) e y(t) las poblaciones, en cualquier instante t de dos especies una de las cuales (y ( y el rapaz) devora a la otra (x (x la presa). Se supone que en ausencia de rapaces, el n´ umero umero de presas pr esas crecer´ crecer´ıa ilimitad i limitadamente, amente, mientras que en ausencia de presas, la poblaci´on on de rapaces decrecer´ decrecer´ıa.
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias opicos
3
Alrededor Alrededor de 1925 el biof´ biof´ısico americano americano Alfred Alfred Lotka Lotka (18801949) y el matem´atico atico italiano Vito Volterra (1860 - 1940) propusieron el siguiente modelo matem´atico atico para que las especies se mantengan en equilibrio.
x (t) = ax bxy y (t) = cy + dxy
−
−
(1.3)
en donde a,b,c y d son constantes reales positivas. Como tercer ejemplo, suponga que se tienen dos especies semejant semejantes es que compiten compiten por un alimento alimento com´ un un el cual es limitado. Sean x(t) e y(t) el n´umero umero de individuos de cada especie en cualquier instante t. El model modeloo matem´ matem´ atico atico propuesto que rige el crecimiento de las poblaciones x e y viene dado por
x (t) = a1 x y (t) = b1 y
2
− a x − a xy − b y − b xy 2
2
2
3
3
(1.4)
en donde a1 , a2 , a3 , b1 , b2 y b3 son constantes reales positivas. Como ejemplo final, mencionaremos el sistema masa resorte. Considere Consideremos mos un resorte de masa m sujeto a un resorte de constante de estiramiento k el cual est´a conectado a un mecanismo cuya constante de amortiguaci´on on es c. Suponga Suponga adem´ adem´ as a s que a la masa que pende del resorte se le aplica una fuerza exterior peri´odica odica del tipo f ( per´ıodo de la f (t) = cos wt (donde w es el per´ fuerza f ). modelo matem´ matem´ atico que gobierna el movimiento atico f ). El modelo del sistema masa-resorte viene dado por el sistema
x (t) = y y (t) =
− mk x − mc y + m1 cos wt
(1.5)
Todos los ejemplos presentados son casos particulares de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden,
4 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias concepto que pasamos a definir y estudiar a partir de la pr´oxima secci´on. Note el lector la Teor´ıa de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias no s´olo interesa al matem´atico, sino que es u ´ til a cualquier ciencia que pueda expresar sus leyes en lenguaje matem´atico. La F´ısica, la Qu´ımica, la Biolog´ıa, la Ecolog´ıa y la Econom´ıa son algunos ejemplos de tales disciplinas.
1.2
Sistemas Aut´ onomos y no Aut´ onomos
Definimos a continuaci´ on nuestro principal objeto de estudio.
Definici´ on 1.2.1 Un Sistema de n Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) de primer orden es una expresi´on del tipo
x1 = F 1 (t, x1 , x2 , . . . , xn ) x2 = F 2 (t, x1 , x2 , . . . , xn ) .. .. .. . . . xn = F n (t, x1 , x2 , . . . , xn )
(1.6)
en donde t es una variable independiente que denota al tiempo, x1 , x2 , . . . , xn son variables que dependen de t que toman valores reales y F 1 , F 2 , . . . , Fn son funciones real valoradas definidas en un subconjunto de D de Rn+1 . Los ejemplos dados en la secci´on anterior son casos particulares del sistema (1.6). En efecto, en el modelo de Lotka-Volterra (1.3) tenemos que x1 = x,
x2 = y,
F 1 (t, x1 , x2 ) = ax1
y F 2 (t, x1 , x2 ) =
−cx
2
+ dx1 x2 .
− bx x
1 2
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
5
Mientras que en el modelo matem´atico (1.5) propuesto para el sistema masa-resorte se tiene x1 = x,
x2 = y,
y
F 1 (t, x1 , x2 ) = x2
1 cos wt. m En diversas ocasiones sucede que las funciones F 1 , F 2 , . . . , F n s´olo dependen de las variables x1 , x2 , . . . , xn y no de la variable temporal t, en este caso (1.6) toma la forma F 2 (t, x1 , x2 ) =
− mk x − mc x 1
2
+
x1 = F 1 (x1 , x2 , . . . , xn ) x2 = F 2 (x1 , x2 , . . . , xn ) .. .. . .
(1.7)
xn = F n (x1 , x2 , . . . , xn )
Decimos que (1.7) es un Sistema Aut´onomo de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, mientras que (1.6) es llamado Sistema no Aut´onomo. Los modelos (1.1), (1.2), (1.3) y (1.4) son ejemplos de sistemas aut´onomos, mientras que el modelo masa-resorte (1.5) es un ejemplo de sistema no aut´onomo. A continuaci´ o n, vamos a precisar lo que se entiende por soluci´ on de un sistema de E.D.O. on de (1.6) es un conjunto de n Definici´ on 1.2.2 Una Soluci´ funciones ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , con valores reales y definidas en un mismo intervalo abierto J de la recta real tales que satisfacen las dos condiciones siguientes: 1. (t, ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t))
∈ D, para todo t ∈ J .
6 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 2. Cada ϕi es diferenciable en J y para cada t
∈ J se cumple
ϕ1 (t) = F 1 (t, ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)) ϕ2 (t) = F 2 (t, ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)) .. .. . .
(1.8)
ϕn (t) = F n (t, ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t))
En el caso de sistemas aut´ onomos, si denotamos por U Rn al dominio com´ un de las funciones F 1 , F 2 , . . . F n , tenemos el siguiente caso particular de la Definici´on (1.8).
⊆
on del sistema aut´onomo (1.7) es Definici´ on 1.2.3 Una Soluci´ un conjunto de n funciones ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , con valores reales y definidas en un mismo intervalo abierto J de la recta real tales que satisfacen las dos condiciones siguientes:
∈ U , para todo t ∈ J . es diferenciable en J y para cada t ∈ J se cumple
1. (ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)) 2. Cada ϕi
1.3
ϕ1 (t) = F 1 (ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)) ϕ2 (t) = F 2 (ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t)) .. .. .. . . . ϕn (t) = F n (ϕ1 (t), ϕ2 (t), . . . , ϕn (t))
(1.9)
Repaso de Matrices y Transformaciones Lineales
En lo sucesivo, K denotar´ a al campo de los n´ umeros reales R o al de los n´ umeros complejos C y sus elementos ser´an llamados
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
7
escalares. Sean m y n dos enteros positivos, denotemos por I m,n al conjunto de todos los pares ordenados (i, j) tales que 1 i m y 1 j n. Una matriz de m filas y n columnas con coeficientes en K o simplemente K-matriz m n, es cualquier funci´ on A que a cada par (i, j) I m,n le asocia un elemento A(i, j) = aij K llamado la entrada ij de la matriz A. Se acostumbra disponer los valores aij de la matriz A en un arreglo de m filas y n columnas, de la manera siguiente
≤ ≤
≤ ≤
∈
∈
A=
×
a12 a22 .. .
··· ···
a1n a2n .. .
am1 am2
···
amn
a11 a21 .. .
= [aij ].
×
El conjunto de todas las K-matrices m n ser´a denotado por . Si m = n, A se llama matriz cuadrada . Si A K1×n enK tonces A se llama matriz fila mientras que si A Km×1 entonces A es una matriz columna . Dos matrices A = [aij ], B = [bij ] Km×n son iguales , lo que denotamos A = B, si y s´ olo si aij = bij , para todo par (i, j) I m,n . Sean A = [aij ], B = [bij ] Km×n y c K, definimos la suma de las matrices A y B y el producto del escalar c por la matriz A, denotados respectivamente por A + B y cA, como m×n
∈
∈
∈
∈
∈
∈
A + B = [aij + bij ],
cA = [caij ]
Con las operaciones de suma de matrices y producto de un escalar por una matriz, Km×n se torna un K-espacio vectorial de dimensi´on mn. Denotaremos por θ a la matriz cero. Si Km×n denota la matriz que tiene todas sus entradas E ij iguales a cero, excepto la entrada ij la cual es igual a uno, entonces el conjunto E ij ; (i, j) I m,n es una base de Km×n
∈
{
∈
}
8 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias llamada base can´ onica . Por ejemplo las matrices E 11 =
1 0 0 0
, E 12 =
0 1 0 0
, E 21 =
0 0 1 0
, E 22 =
0 0 0 2
forman la base can´onica de K2×2 . Como Km×n es un K-espacio vectorial de dimensi´on mn, entonces ´el es isomorfo a Kmn , v´ıa el isomorfismo
a12 a22 .. .
··· ···
a1n a2n .. .
am1 am2
···
amn
a11 a21 .. .
←→
(a11 , . . . , a1n , . . . , am1 , . . . , amn(1.10) )
En particular una matriz fila A K1×n (respectivamente una Km×1 ) puede identificarse con un vector matriz columna B de Kn (respectivamente de Km ), v´ıa el isomorfismo anterior, es decir
∈
∈
A= y
a11 a12
a11 a21 .. . am1
···
a1n
←→
←→
(a11 , a12 , . . . , a1n )
(a11 , a21 , . . . , am1 )
A lo largo del texto usaremos frecuentemente el isomorfismo anterior. Sea A = [aij ] Km×n la transpuesta de A, denotada por At , es definida por
∈
At = [a ji ] =
a11 a21 a12 a22 .. .. . . a1n a2n
··· ···
am1 am2 .. .
···
amn
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
9
es decir, la matriz obtenida de A intercambiando filas por columnas. Es claro que At Kn×m Sean A = [aij ] Km×n y B = [b jk ] Kn× p . El producto de las matrices A y B, denotado por A B o simplemente AB, es la
∈
matriz de K
m× p
∈
∈
·
n
·
definida por A B = [cik ], donde cik =
aij b jk .
j=1
El producto de matrices satisface las siguientes propiedades: 1. Propiedad Asociativa: A(BC ) = (AB)C,
∀A ∈ K
m×n
∀ ∈K
, B
n× p
p×r
∀ ∈K
, C
.
2. Propiedad Distributiva a derecha:
∀ A, B ∈ K
(A + B)C = AC + BC,
m×n
n× p
.
n× p
.
∀ ∈K
, C
3. Propiedad Distributiva a izquierda: A(B + C ) = AB + AC,
∀A ∈ K
En el espacio de matrices cuadradas
I = [δ ij ] =
m×n
Kn×n ,
0 1 .. .
··· ···
0 0 .. .
0 0
···
1
1 0 .. .
∀
, B, C
∈K
definimos
donde δ ij es la delta de Kronecker , es decir δ ij = 0 si 1 j n y δ ii = 1. Se cumple
≤
AI = IA = A,
n×n
∀ A∈K
≤ i =
,
es decir I es la matriz identidad (multiplicativa) de Kn×n . No es dif´ıcil probar que el conjunto de las matrices cuadradas Kn×n con
10 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias las operaciones de suma de matrices y producto de matrices es un anillo no conmutativo con elemento identidad. Si A Kn×n y k 0, definimos la potencia k-´esima de A, denotada Ak por inducci´on como sigue:
∈
≥
A0 = I,
A1 = A,
Ak = A Ak−1 ,
·
∀ k ≥ 2.
Decimos que A Kn×n es una matriz no singular (o matriz inversible ) si y s´olo si existe B Kn×n tal que AB = BA = I . En caso de existir tal matriz B, se prueba que ella es ´unica y recibe el nombre de inversa de A. Usaremos la notaci´on A−1 para representar a la matriz inversa de A. Las matrices que no son inversibles son llamadas singulares . El conjunto de todas las matrices no singulares se llama grupo lineal de Kn y ser´a denotado por GL(Kn ). Queda como ejercicio para el lector, probar que GL(Kn ) con la multiplicaci´on de matrices tiene estructura de grupo (no abeliano). Un concepto fuertemente relacionado con el de matriz es el Km es una de transformaci´on lineal. Una funci´on T : Kn Transformaci´ on Lineal si y s´olo si se cumple
∈
∈
→
T (αx + βy) = αT (x) + βT (y),
n
∀ x, y ∈ K , ∀ α, β ∈ K.
Denotaremos por (Kn ; Km ) al conjunto de todas las transformaciones lineales de Kn en Km . Con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de un n´umero real por una transformaci´ on lineal, el conjunto (Kn ; Km ) se torna un Kespacio vectorial de dimensi´on mn. Observe que como Km×n y (Kn ; Km ) son K-espacios vectoriales de la misma dimensi´on, ellos son isomorfos (de ahora en adelante usaremos la notaci´on V W para establecer que los K-espacios vectoriales V y W , son isomorfos). Conviene dar expl´ıcitamente el isomorfismo entre Km×n y (Kn ; Km). Denotemos por e1 = (1, 0, . . . , 0),
L
L
L
≈
L
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11
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , ek = (0, . . . , 0, 1) la base can´onica de Kk , (k = n, m). Como T (e j ) Km , existen u ´ nicos escalares a1 j , . . . amj ( j = 1, 2, . . . , n) tales que:
∈
T (e1 ) = a11 e1 + a21 e2 + T (e2 ) = a12 e1 + a22 e2 + .. .. . .
··· + a ··· + a
T (en ) = a1n e1 + a2n e2 +
··· + a
m1 em m2 em
mn em
Los n´ umeros reales aij forman una matriz, cuya transpuesta que denotamos por AT recibe el nombre de matriz asociada (en las bases can´onicas de Kn y Km ) a la transformaci´on lineal T , es decir a11 a12 a1n a21 a22 a2n AT = . .. .. .. . . .
··· ···
am1 am2
···
amn
Rec´ıprocamente, dada A = [aij ] Km×n , definimos la transformaci´ on lineal T A : Kn Km mediante T A (x) = Ax, es decir
→
T A (x1 , . . . , xn ) = (a11 x1 +
∈
··· + a
1n xn , . . . , am1 x1
+
··· + a
mn xn ) .
Es claro que la matriz asociada a T A (en las bases can´onicas de Kn y Km ) es A. As´ı, es f´acil probar que la funci´on ψ que asocia a T (Kn ; Km) la matriz ψ(T ) = AT Km×n es un isomorfismo entre los K-espacios vectoriales (Kn ; Km ) y Km×n . De ahora en adelante usaremos indistintamente la letra A (o la T ) para denotar matrices o transformaciones lineales. El n´ ucleo de la transformaci´on lineal A (Kn ; Km ), el cual es denotado por Nu(A), es definido como el conjunto de todos los x Kn tales que Ax = 0. Es claro que Nu(A) es un K-espacio vectorial.
∈L
L
∈L
∈
∈
12 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Sea A Kn×n , decimos que λ K es un autovalor de A, si Kn tal que Ax = λx. y s´olo si existe un vector no nulo x El vector no nulo x es llamado autovector de A asociado al autovalor λ. No es dif´ıcil probar que λ K es un autovalor de A si y s´olo si A λI es singular si y s´olo si Nu(A λI ) = 0 . Adem´as se cumple que si x1 y x2 son autovectores de A asociados a los autovalores λ1 y λ2 respectivamente (λ1 = λ2 ), entonces x1 y x2 son linealmente independientes. Para calcular los autovalores de una matriz, necesitamos introducir el concepto de determinante. Sea A = [aij ] Kn×n , escribiremos A = [A1 A2 . . . An ], donde A j denota la j-´esima columna de la matriz A, es decir
∈
∈
∈
∈
−
−
{}
∈
A j =
a1 j a2 j .. . amj
1
≤ j ≤ n.
El determinante es una funci´o n que a cada matriz cuadrada A Kn×n le asocia el escalar det(A) y que satisface las siguientes propiedades:
∈
1. det es una funci´ on n- lineal, es decir para cada j = 1, 2, . . . , n se cumple det[A1 . . . αA j + βA j . . . An ] = α det[A1 . . . A j . . . An ] + +β det[A1 . . . A j . . . An ], 2. Si Ai = A j (con 1 0. 3. det(I ) = 1.
≤ i = j ≤ n) entonces det[A
1
. . . An ] =
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
13
Por ejemplo la funci´on det : K2×2 det
a11 a12 a21 a22
= a11
→ K definida por a −a a 22
12 21
es un determinante, puesto que satisface las 3 condiciones anteriores. Se puede demostrar que ella es la ´unica funci´on determinante en K2×2 . Si A, B Kn×n entonces no es dif´ıcil probar que
∈
det(AB) = det(A)det(B). Una consecuencia del resultado anterior es que A GL(Kn ) si y s´olo si det(A) = 0. De esta manera λ es un autovalor de A Kn×n si y s´olo si det(A λI ) = 0. Note que det(A λI ) es un polinomio de grado n con coeficientes en K en la variable λ, el cual es llamado el polinomio caracter´ıstico de la matriz A y al que denotaremos por P A (λ). Las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico son los autovalores de A. Concluimos que toda matriz cuadrada A Kn×n posee n autovalores (contando multiplicidad).
∈
∈
−
−
∈
1.4
Nociones de C´ alculo Matricial
Una funci´on definida en un intervalo J de la recta real con valores en Rm×n es llamada funci´ on matricial . En virtud del isomorfismo (1.10) cualquier funci´on matricial Φ : J t
−→
Rm×n
−→
Φ(t) =
a12 (t) a22 (t) .. .
··· ···
a1n (t) a2n (t) .. .
am1 (t) am2 (t)
···
amn (t)
a11 (t) a21 (t) .. .
= [aij (t)]
14 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias puede ser observada como un camino en Φ : J t
−→ −→
Rmn
Rnm
Φ(t) = (a11 (t), . . . , a1n (t), . . . , am1 (t), . . . , amn (t))
As´ı, dada una funci´on matricial Φ(t) = [aij (t)] Rnm quedan autom´aticamente determinadas una colecci´on de nm funciones reales de variable real aij llamadas funciones coordenadas de A. R, Observe que aij : J (i, j) I m,n . Las propiedades comunes a estas funciones coordenadas, caracterizan las propiedades de la funci´on matricial Φ.
∈
→
∀
∈
Definici´ on 1.4.1 Sea Φ : J Rm×n una funci´on matricial tal que Φ(t) = [aij (t)], t J . Si t0 J , decimos que la matriz A = [aij ] Rm×n es el l´ımite de Φ(t) cuando t tiende a t0 , lo que denotamos por lim Φ(t) = A si y s´o lo si lim aij (t) = aij ,
∈
∀ ∈
→
∈
t→t0
t→t0
∀ (i, j) ∈ I
m,n .
No es dif´ıcil probar que se cumplen las reglas usuales del ´algebra de l´ımites (ver ejercicios al final del cap´ıtulo). La continuidad de funciones matriciales se definen tambi´ en en t´ermino de sus funciones coordenadas.
Definici´ on 1.4.2 Sea Φ : J Rm×n una funci´on matricial tal que Φ(t) = [aij (t)], t J . Decimos que Φ es continua en t0 J si y s´olo si cada aij es continua en t0 .
∈
∀ ∈
→
Definici´ on 1.4.3 Sea Φ : J Rm×n , donde J es un intervalo abierto. Decimos que Φ es diferenciable en t0 J si y s´olo si existe el siguiente l´ımite: 1 lim [Φ(t) Φ(t0 )] . t→t0 t t0
→
−
∈
−
En caso afirmativo, denotamos por Φ (t0 ) al l´ımite anterior.
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
15
El lector no tendr´a dificultad en demostrar el siguiente resultado. on matricial Proposici´ on 1.4.1 Sea Φ : J Rm×n una funci´ tal que Φ(t) = [aij (t)], t J . Φ es diferenciable en t0 J si y s´o lo si aij es diferenciable en t0 , (i, j) I m,n . En caso afirmativo se cumple que
∀ ∈
→
∀
∈
∈
Φ (t0 ) = [aij (t0 )]. Rm×n es de Decimos que la funci´ o n matricial Φ : J clase C 1 en el intervalo J si y s´olo si Φ es diferenciable en J y la funci´on derivada Φ es continua en J . Procediendo por inducci´ on, decimos que Φ es de clase C k (k > 1) en el intervalo J si y s´o lo si Φ(k−1) es diferenciable en J y la funci´on derivada k-´esima Φ(k) es continua en J . En cuanto a la integral de una funci´on matricial, tenemos
→
Definici´ on 1.4.4 Sea Φ : [a, b] Rm×n una funci´ on matricial tal que Φ(t) = (aij (t)), t [a, b]. Decimos que Φ es integrable en [a, b] si y s´o lo si cada aij es integrable en [a, b]. En caso afirmativo se tiene que
∀ ∈
b
a
→
b
Φ(t)dt =
a
aij (t)dt .
Naturalmente muchas de las reglas del calculo diferencial e integral que conocemos pueden ser extendidas al c´alculo matricial. En los ejercicios al final del cap´ıtulo, se le pide al lector que demuestre estas reglas.
16 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Volviendo al estudio de los sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, resulta claro ahora que si denotamos
x=
x1 x2 .. . xn
,
F (t, x1 , . . . , xn ) =
F 1 (t, x1 , . . . , xn ) F 2 (t, x1 , . . . , xn ) .. . F n (t, x1 , . . . , xn )
,
entonces el sistema (1.6) se escribe de manera m´as compacta como x = F (t, x)
(1.11)
An´alogamente, una soluci´on de (1.11) es una funci´on ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) : J
1×n
n
→R ≈R
diferenciable en J tal que 1. (t, ϕ(t))
∈ D, ∀ t ∈ J .
2. ϕ (t) = F (t, ϕ(t)).
1.5
Sistemas Lineales
Un caso particularmente importante de Sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias viene dado cuando las funciones F 1 , . . . F n son del tipo F i (t, x1 , x2 , . . . , xn ) = ai1 (t)x1 + ai2 (t)x2 +
≤
≤
··· + a
in (t)xn
+ bi (t),
en donde aij y bi (1 i, j n) son funciones dadas definidas en un cierto intervalo J de la recta real R y con valores en R. En este caso el sistema (1.6) toma la forma
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
x1 = a11 (t)x1 + a12 (t)x2 + x2 = a21 (t)x1 + a22 (t)x2 + .. .. . .
1n (t)xn
xn = an1 (t)x1 + an2 (t)x2 +
nn (t)xn
··· + a ··· + a
+ b1 (t) 2n (t)xn + b2 (t)
··· + a
17
(1.12)
+ bn (t)
El sistema (1.12) recibe el nombre de Sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales . Si denotamos
x=
y A(t) =
x1 x2 .. . xn
,
b(t) =
a11 (t) a12 (t) a21 (t) a22 (t) .. .. . . an1 (t) an2 (t)
b1 (t) b2 (t) .. . bn (t)
··· ···
a1n (t) a2n (t) .. .
···
ann (t)
entonces (1.12) toma la forma x = A(t)x + b(t)
(1.13)
Definici´ on 1.5.1 Sean A : J Rn×n y b : J Rn×1 funciones Rn×1 es una soluci´ matriciales. Una funci´ on ϕ : I on de la E.D.O. (1.13) si y s´olo si ϕ es diferenciable en el intervalo I J y se cumple:
→
→
ϕ (t) = A(t)ϕ(t) + b(t),
→
⊆
∀ t ∈ I.
18 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ejemplo 1.5.1 Determine una soluci´on del Sistema x = A(t)x + b(t) en donde A(t) =
1 0 0 t
y
b(t) =
t 0
,
∀ t ∈ R.
Soluci´ on. El sistema dado es equivalente a
x1 = x1 + t x2 = tx2
Usando los m´etodos estudiados en un primer curso de Ecuaciones Diferenciales, no es dif´ıcil ver que la soluci´on de x1 = x1 +t viene dada por ϕ1 (t) = t 1 + C 1 et , t R y la soluci´on 1 2 de x2 = tx2 es ϕ2 (t) = C 2 e 2 t , t R. Luego, la soluci´ on del sistema propuesto es:
−−
ϕ(t) =
1 + C 1 et 1 2 C 2 e 2 t
− − t
∀ ∈
,
∀ ∈
∀ t ∈ R.
En el ejemplo anterior se observa que existen infinitas soluciones del sistema dado (basta darle cualquier valor real a las constantes C 1 y C 2 ), y que cada soluci´on es una curva diferenciable en R2 . Esto es un hecho general: Dadas las funciones maRn×n y b : J Rn×1 , el sistema (1.13) tiene triciales A : J infinitas soluciones siendo todas ellas curvas diferenciables en Rn . (Note el lector, que estamos identificando geom´ etricamente n×1 el espacio de matrices R con el espacio vectorial Rn . De ahora en adelante, usaremos esta identificaci´on sin m´as comentarios). En las aplicaciones a menudo se busca una soluci´on de (1.13) que cumpla una condici´ on inicial es decir que tome un valor R en un instante t0 dado. Esto se conoce determinado x0 como un Problema de Valor Inicial .
→
∈
→
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
19
Definici´ on 1.5.2 Sean A : J Rn×n y b : J Rn×1 funciones matriciales. Un Problema de Valor Inicial (P.V.I.) o Problema de Cauchy asociado a la E.D.O. lineal (1.13) es una expresi´on del tipo:
→
→
= A(t)x + b(t) x x(t0 ) = x0
(1.14)
en donde t0 J y x0 Rn×1 son dados. Rn×1 definida en el intervalo abierto Una funci´on ϕ : I on del P.V.I. (1.14) si y s´olo si ϕ es diferenI J es una soluci´ ciable en I , t0 I y se cumple:
∈
⊆
∈ →
∈
ϕ (t) = A(t)ϕ(t) + b(t), ϕ(t0 ) = x0 .
∀ t ∈ I.
La interpretaci´on geom´etrica de la soluci´on del P.V.I. (1.14) es que de entre todas las soluciones (curvas diferenciables en Rn ) del sistema dado, escogemos aquella que en el instante t0 pase por el punto x0 del espacio Rn .
Ejemplo 1.5.2 Determine una soluci´on del P.V.I.
= A(t)x + b(t) x x(t0 ) = x0
en donde A(t) y b(t) son como en el Ejemplo 1.5.1, t0 = 0 y 0 x0 = 1
Soluci´ on. Sabemos que para cualquier par de n´umeros reales C 1 y C 2 , la funci´on ϕ(t) =
1 + C 1 et 1 2 C 2 e 2 t
− − t
,
∀ t ∈ R.
20 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias es soluci´on de la E.D.O. dada. Usando las condiciones iniciales:
0 1
= ϕ(0) =
−
1 + C 1 C 2
de donde C 1 = 1 y C 2 = 1, luego la soluci´ on del P.V.I. propuesto es t 1 + et ϕ(t) = , t R. 1 2 e2t
− −
∀ ∈
Con respecto al ejemplo anterior, surge una pregunta natural: ¿Es la funci´ on hallada la u´nica soluci´on del P.V.I. dado?, dicho de otra manera ¿Es posible que el P.V.I. del Ejemplo 1.5.2 admita m´as de una soluci´on? Por la interpretaci´ on geom´etrica de una soluci´on del P.V.I. que dimos l´ıneas arriba, nosotros podr´ıamos responder que ¡no! puesto que de entre todas las soluciones posibles (las cuales son curvas en R2 ), hemos elegido aquella que en el instante t = 0 pase por el punto (0, 1). N´otese que este razonamiento es correcto si supi´eramos que las soluciones de un sistema son disjuntas (es decir curvas que no se intersectan). En el caso de nuestro ejemplo, uno podr´ıa probar con un poco de paciencia, que esto es cierto, dos soluciones de la E.D.O. dada o son iguales o bien son disjuntas. ¿Esta propiedad se cumplir´a para cualquier E.D.O.? De manera m´as general: ¿Todo P.V.I. del tipo (1.14) admite soluci´on? Si la respuesta es afirmativa, ¿esta soluci´ o n es u ´nica? en caso contrario ¿bajo qu´e condiciones un P.V.I. admite soluci´on? El Teorema de Existencia y Unicidad para un Sistema Lineal de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias responde a todas estas interrogantes. Uno de los objetivos del pr´oximo cap´ıtulo es probar el Teorema de Existencia y Unicidad.
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
1.6
21
Ecuaciones de Orden Superior
Hasta el momento s´olo hemos visto el caso en que la funci´on (o funciones) inc´ognita est´an afectadas por una derivaci´on, sin embargo, como ya el lector debe haber estudiado en un primer curso de Ecuaciones Diferenciales, en muchas aplicaciones se presentan modelos matem´aticos en donde la funci´on inc´ognita est´a afectada por una doble derivada (como ocurre en f´ısica cuando tenemos como dato la aceleraci´on) e inclusive por derivadas de orden m´as alto. Tales ecuaciones son llamadas de orden superior. Rn+1 y f una funci´ on definida en Definici´ on 1.6.1 Sea D on Diferencial Ordinaria de D y con valores reales. La Ecuaci´ orden n, asociada a la funci´on f es una expresi´on del tipo
⊆
x(n) = f (t,x,x , . . . , x(n−1) )
(1.15)
en donde t es una variable independiente que denota al tiempo, d j x x depende de t y x( j) = j , (1 j n). dx
≤ ≤
Como ejemplo consideremos la E.D.O. de segundo orden mx + cx + kx = cos wt
(1.16)
la cual describe el movimiento de una masa m suspendida de un resorte de constante de elasticidad k, sujeta a un mecanismo que ejerce una amortiguaci´on constante igual a c y tal que se ejerce sobre la masa una fuerza exterior peri´odica cos wt. En este caso f es una funci´on definida en todo R3 y su regla de correspondencia viene dada por f (t, x1 , x2 ) =
1 cos wt m
− mk x − mc x . 1
2
22 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Un caso interesante de la E.D.O. (1.15) ocurre cuando la R es de la forma: funci´on f : J Rn
× →
f (t, x1 , . . . , xn ) = b(t)
− a (t)x − a (t)x − · · · − a (t)x(1.17) 1
n
2
n−1
n
1
en donde a1 , a2 , . . . , an y b son funciones a valores reales definidas en un mismo intervalo J R y x1 , x2 , . . . , xn son variables reales. La E.D.O. de orden n asociada a la funci´on (1.17) es
⊆
x(n) + a1 (t)x(n−1) +
n−1 (t)x
··· + a
+ an (t)x = b(t),
(1.18)
la cual se llama Ecuaci´ on Lineal no Homog´ enea de orden n. Como ocurre con los sistemas, para las E.D.O.’s de orden n existe tambi´en un concepto de Problema de Valor Inicial y el de su correspondiente soluci´on.
Definici´ on 1.6.2 Sean D D.
⊆R
n+1
, f : D
0 0
n−1 ) 0
1 0
→ R y (t , x , x , . . . , x 0
1. El Problema de Valores Iniciales (P.V.I.) o Problema de Cauchy asociado a f es dado por
x(n)
= f (t,x,x , . . . , x(n−1) ) (1.19)
x(t0 ) =
x00 ,
x (t0 ) =
x10 , . . . , x(n−1) (t0 )
=
xn−1 . 0
2. Una soluci´ on del P.V.I. (1.19) es una funci´on ϕ : J n-veces diferenciable en el intervalo J R tal que:
⊆
∈
(a) t0
→R
J .
(b) t, ϕ(t), ϕ (t), . . . , ϕ(n−1) (t)
∈
D,
∀ t ∈ J . (t)), ∀ t ∈ J .
(c) ϕ(n) (t) = f (t, ϕ(t), ϕ (t), . . . , ϕ(n−1)
∈
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
23
(d) ϕ(t0 ) = x00 , ϕ (t0 ) = x10 , . . . , ϕ(n−1) (t0 ) = xn−1 . 0 Como mostramos a continuaci´on, existe una ´ıntima relaci´on entre Ecuaciones Diferenciales de orden n y sistemas de E.D.O.’s. En efecto, consideremos el P.V.I. (1.19) y definamos la funci´on Rn como F : D
→
(1.20) F (t, x1 , x2 , . . . , xn ) = (x2 , . . . , xn , f (t, x1 , x2 , . . . , xn )). Observe que el P.V.I. asociado a la funci´on F es
x1 x2
= x2 , = x3 , .. .
x1 (t0 ) x2 (t0 )
xn−1 = xn , = f (t, x1 , x2 , . . . , xn ), xn
= x00 = x10 .. .
(1.21)
xn−1 (t0 ) = xn−2 0 = xn−1 xn (t0 ) 0
Proposici´ on 1.6.1 Resolver el P.V.I. de orden n (1.19) es equivalente a resolver el P.V.I. (1.21). Demostraci´ on. Sea ϕ : J (1.19). Consideremos φ : J
→ R soluci´on del P.V.I. de orden n → R definida por n
φ(t) = (ϕ(t), ϕ (t), . . . , ϕ(n−1) (t)) un f´a cil c´alculo muestra que φ es soluci´on del P.V.I. (1.21). Rn es soluci´ Rec´ıprocamente, si φ = (φ1 , φ2 , . . . , φn ) : J on (1.21), entonces no es dif´ıcil ver que la primera coordenada R es soluci´ o n de (1.19). Dejamos los c´ alculos para φ1 : J el lector.
→
→
24 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Ejemplo 1.6.1 Dada la E.D.O de segundo orden (1.16), hacemos el cambio de coordenadas
x1 = x 1 cos wt x2 = m
− mk x − mc x 1
2
y obtenemos el sistema
x (t) = y y (t) =
− mk x − mc y + m1 cos wt
Compare el lector con (1.5).
Cap´ıtulo 2 Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Coeficientes Constantes En el presente cap´ıtulo, nos proponemos estudiar Problemas de Valores Iniciales del tipo
= Ax + b(t) x x(t0 ) = x0
(2.1)
Rn×1 es una en donde A Rn×n es una matriz dada, b : J funci´ on matricial definida en el intervalo J , t0 J , y x0 Rn×1 . Note que el P.V.I. (2.1) es un caso particular de (1.14) (basta considerar la funci´on matricial constante A(t) = A, t J ). La E.D.O.
∈
∈
→
∈
∀ ∈
x = Ax + b(t) 25
(2.2)
26 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes es llamada Sistema Lineal no Homog´ eneo de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Coeficientes Constantes y (2.1) es su Rn×1 es la funci´ P.V.I. asociado. Cuando b : J on matricial constante cero, decimos que (2.2) es un Sistema Lineal homog´eneo. Vamos a empezar estudiando estos sistemas.
→
2.1
Sistemas Lineales Homog´ eneos
En la presente secci´on, consideraremos P.V.I.’s del tipo
= Ax x x(t0 ) = x0
(2.3)
en donde A Rn×n es una matriz fijada y t0 R, x0 Rn×1 son dados. La E.D.O. x = Ax es llamada Sistema Lineal Homog´eneo de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Coeficientes Constantes y (2.3) es su P.V.I. asociado. Observe que cuando n = 1, A y x0 son matrices 1 1, es R a la matriz decir, n´ umeros reales. Si denotamos por a 1×1 A R , entonces el P.V.I. (2.3) toma la forma:
∈
∈
∈
∈
= ax x x(t0 ) = x0
∈
×
(2.4)
Como es bien conocido, la ´unica soluci´on del P.V.I. escalar (2.4) es dada por ϕ(t) = x0 ea(t−t0) ,
∈
(2.5)
la cual esta definida para todo t R. En los ejemplos siguientes, veremos como este resultado puede ser usado para resolver algunos sistemas de P.V.I.
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
27
Ejemplo 2.1.1 Resolver el siguiente P.V.I.:
x1 = 2x1 , x1 (0) = 1 3x2 , x2 (0) = 1 x2 =
−
−
Soluci´ on. De acuerdo a (2.5) las soluciones de los P.V.I.’s
= 2x1 x1 x1 (0) = 1
y
= x2 x2 (0) =
−3x −1 y ϕ (t) = −e
2
−3t son, respectivamente ϕ1 (t) = e2t las cuales 2 est´an definidas en todo R, luego la soluci´on del P.V.I. dado es:
ϕ:R t
→ →
R2
ϕ(t) = (e2t , e−3t )
−
Ejemplo 2.1.2 Resolver el P.V.I.:
x1 = λ1 x1 , x1 (0) = x10 x2 = λ2 x2 , x2 (0) = x20 .. .. .. .. . . . . xn = λn xn , xn (0) = xn0
Soluci´ on. Desde que ϕi (t) = xi0 eλi t ,
en donde 1 es
∀ t ∈ R es soluci´on de
= λi xi xi xi (0) = xi0
≤ i ≤ n, tenemos que la soluci´on del P.V.I. propuesto
ϕ:R t
→ →
Rn
ϕ(t) = (x10 eλ1t , x20 eλ2 t ,
n λn t ). 0
··· , x e
28 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes
Ejemplo 2.1.3 Resolver el P.V.I.:
x1 = 2x1 + 3x2 , x1 (0) = 0 2x2 , x2 = x2 (0) = 1
−
Soluci´ on. En primer lugar, observe que este ejemplo difiere un poco de los dos anteriores puesto que ahora el P.V.I.
= 2x1 + 3x2 x1 x1 (0) = 0
(2.6)
no es del tipo (2.4), sin embargo la soluci´on de
= 2x2 x2 x2 (0) = 1
es dada por ϕ2 (t) = e−2t , en (2.6), tenemos
−
∀ t ∈ R. Reemplazando este resultado
= 2x1 + 3e−2t x1 x1 (0) = 0
cuya soluci´on (usando los m´etodos que se dan en un primer curso 3 −2t 3 2t de Ecuaciones Diferenciales) es dada por ϕ1 (t) = e + e , 4 4 t R. De esta manera, la soluci´on del P.V.I. propuesto es dada por:
−
∀ ∈
ϕ:R t
→ →
R2
ϕ(t) = (
−
3 −2t 4e
+ 34 e2t , e−2t ).
Observaciones: 1. Los tres ejemplos anteriores podr´ıan dejar al lector la impresi´on de que las t´ecnicas aprendidas en un curso b´asico
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
29
de Ecuaciones Diferenciales, son suficientes para resolver P.V.I.’s del tipo (2.3). Nada m´as falso, en efecto, trate de resolver como en los ejemplos anteriores, el P.V.I.
x1 = 5x1 + 3x2 , x1 (0) = x10 6x1 4x2 , x2 (0) = x20 x2 =
− −
2. Las matrices asociadas a los P.V.I’s de los Ejemplos 2.1.1, 2.1.2 y 2.1.3 son, respectivamente:
− 2 0
0 3
,
··· ···
0 λ1 0 0 λ2 0 .. .. . . . . .. . . 0 0 λn
···
y
2 0
3 2
−
mientras que la matriz asociada al P.V.I. de la Observaci´ on 1 es 5 3 . 6 4
− −
Inmediatamente se observa que las tres primeras matrices son triangulares superiores (inclusive las dos primeras son matrices diagonales) mientras que la cuarta no lo es. El hecho que una matriz no sea triangular trae como consecuencia que en su P.V.I. asociado, las funciones inc´ognitas x1 , x2 , . . . , xn est´en “mezcladas entre s´ı” lo cual hace que no se pueda aplicar el m´ etodo usado en los 3 ejemplos dados en la secci´on. 3. Prestemos por una vez m´as nuestra atenci´on al P.V.I. de la Observaci´on 1. Considerando el cambio lineal de coordenadas L:
R2
(x1 , x2 )
→ →
R2
− − x ) = (y , y )
L(x1 , x2 ) = (2x1 + x2 , x1
2
1
2
30 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes tenemos: y1 = 2x1 + x2 = 2(5x1 + 3x2 ) + ( 6x1 = 4x1 + 2x2 = 2(2x1 + x2 ) = 2y1
− − 4x ) 2
y y2 = x1 x2 = (5x1 + 3x2 ) = x1 + x2 = ( x1 x2 ) =
− −
− −− −
− (−6x − 4x ) −y 1
2
2
Luego el cambio de coordenadas lineal L transforma el P.V.I. dado en el P.V.I.
donde
y1 = 2y1 , y1 (0) = y01 y2 = y2 , y2 (0) = y02
−
(y01 , y02 ) = L(x10 , x20 ) = (2x10 + x20 , x10
2 0
− − x ),
cuya soluci´on es dada por: ϕ:R t
→ →
R2
ϕ(t) = (y01 e2t , y02 e−t )
Desde que L es una transformaci´on lineal inversible cuya inversa L−1 es dada por L−1 :
R2
(y1 , y2 )
→ →
R2
L−1 (y1 , y2 ) = (y1 + y2 , y1
− − 2y ) = (x , x ) 2
podemos retornar a las variables originales x1 y x2 usando L−1 y obtenemos: ψ(t) = L−1 (ϕ(t)) = L−1 y01 e2t , y02 e−t = y01 e2t + y02 e−t , y01 e2t + 2y02 e−t .
−
1
2
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
31
De esta manera ψ:R t
→ →
R2
ψ(t)
dada por (2x10 + x20 )e2t
ψ(t) =
−
1 0
− (x
+ x20 )e−t
(2x10 + x20 )e2t + 2(x10 + x20 )e−t
es soluci´on del P.V.I. original.
El lector debe guardar en mente que, por un cambio adecuado de coordenadas (en este caso lineal) L, hemos transformado un P.V.I. en donde sus inc´ognitas “est´an mezcladas” en otro P.V.I. tal que su matriz asociada sea diagonal (y por lo tanto pueden usarse las t´ecnicas elementales de los ejemplos anteriores). Surgen de manera inmediata las siguientes preguntas: ¿C´ o mo se obtuvo la Transformaci´on Lineal L?, ¿existe una manera sistem´atica de obtener L? ¿Este m´etodo puede ser generalizado a cualquier P.V.I. con cualquier n´umero de variables? Todas estas preguntas ser´an respondidas conforme avancemos en este cap´ıtulo. Volviendo a nuestro estudio, estamos interesados en saber si el P.V.I. (2.3) admite soluci´on u ´nica. Ya sabemos que cuando n = 1, la soluci´o n es dada por ϕ(t) = x0 eat , procediendo por analog´ıa (un m´etodo muy usado en matem´ atica), es de esperar que para el caso en que A Rn×n , una funci´on del tipo ϕ(t) = x0 etA sea soluci´on de (2.3), pero ¿tiene sentido la expresi´on anterior? Observe que si A es una matriz n n, tambi´en lo es tA (para cualquier t R) luego etA es la exponencial de una matriz
∈
∈
×
32 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes cuadrada . Se deduce que si queremos que nuestro m´etodo tenga ´exito, lo primero que debemos hacer es definir lo que entendemos por exponencial de una matriz. Con este objetivo en mente, recordemos que si a R (´o a´un en C) entonces el n´umero real (o complejo) ea queda definido por una serie de potencias del tipo ∞ 1 k 1 1 a e = a = 1 + a + a2 + a3 + 2! 3! k! k=0
∈
···
la cual es convergente para cualquier a. ¿La serie anterior tiene sentido si reemplazamos el n´umero real a por una matriz cuadrada A? En primer lugar, sabemos que Rn×n es un anillo con elemento identidad
I =
1 0 .. .
··· ···
0 0 .. .
···
1
0 1 .. . . . . 0 0
.
∈
En este anillo de matrices cuadradas se cumple que si A R y c R entonces cA Rn×n , luego si A Rn×n y k Z+ , 1 entonces Ak Rn×n , se desprende que k! n×n
∈
m
k=0
∈
∈
∈
1 k 1 A = I + A + A2 + 2! k!
m
n×n
(estamos usando la notaci´ on A0 = I ) . Si la m 1 k sucesi´on de matrices cuadradas A tuviera l´ımite cuando k! k=0 m tiende al infinito, entonces este l´ımite ser´ıa el candidato a ser la exponencial de la matriz A. para todo m
∈Z
+
··· + m!1 A ∈ R
∈
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
33
En resumen, una manera de resolver el P.V.I. (2.3) ser´ıa introduciendo el concepto de exponencial de una matriz cuadrada y para ello necesitamos estudiar la noci´on de convergencia de sucesiones y series de matrices. Esto es justamente lo que haremos en la pr´oxima secci´on.
2.2
Sucesiones y Series de Matrices
En la presente secci´ o n solamente vamos a trabajar con matrices cuadradas de orden n, sin embargo, todos los resultados obtenidos pueden ser generalizados sin dificultad a matrices n m. Sea una norma en Rn (puede ser la euclidiana), sabemos que la bola unitaria cerrada B1 [0] = x Rn ; x 1 es un n n×n subconjunto compacto de R . Dada A R , consideremos su transformaci´ on lineal asociada
×
|·|
{ ∈ ∈
T A :
Rn
x
−→ −→
| |≤ }
Rn
T A (x) = Ax,
claramente T A es una funci´on continua en Rn , luego T A (x) alcanza su m´aximo sobre la bola B1 [0], denotemos por A a este m´aximo, i.e.
| |
A = max{|Ax|; x ∈ B [0]} Observe que a cada matriz A ∈ R le hemos asociado el n´umero real A . 1
n×n
Proposici´ on 2.2.1 Se cumplen las siguientes propiedades: 1.
A ≥ 0, ∀ A ∈ R
n×n
.
34 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes
A = 0 =⇒ A = θ. 3. rA = |r | A , ∀ A ∈ R , ∀ r ∈ R . 4. A + B ≤ A + B , ∀ A, B ∈ R . 2.
n×n
n
n×n
Demostraci´ on. Probaremos solamente (3.) las dem´as quedar´an como ejercicio para el lector.
rA
{|
| ∈ B [0]} = max{|r||Ax|; x ∈ B [0]} {| | ∈ B [0]} = |r| A
= max (rA)x ; x = r max Ax ; x
||
1
1
1
Observaci´ on: De acuerdo a la proposici´on anterior, la funci´on
· :
Rn×n
A
es una norma sobre en Rn×n asociada a
−→ R −→ A = max{|Ax|; x ∈ B [0]}, 1
Rn×n
la que llamaremos Norma Uniforme
| · |. Lema 2.2.1 Sea | · | : R → R una norma en R . Entonces la norma uniforme · en R asociada a | · |, satisface las n
n
n×n
siguientes propiedades:
n×n
1. Ax
n
| | ≤ A |x|, ∀ A ∈ R , ∀ x ∈ R . 2. AB ≤ A · B , ∀ A, B ∈ R . 3. A ≤ A , ∀ A ∈ R , ∀ m ∈ N. n×n
m
m
n×n
El siguiente resultado establece una relaci´on entre la norma de una matriz y la norma de sus entradas.
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
35
Lema 2.2.2 Dada A = [aij ] Rn×n , existen constantes positivas C 1 y C 2 (independientes de la matriz A) tales que
∈
n
| | ≤ A ≤ C
C 1 aij
2
|
|
aij .
i,j=1
Como (Rn×n , ) es un espacio normado, podemos definir el concepto de l´ımite de una sucesi´on de matrices.
·
on de matrices en Rn×n es una Definici´ on 2.2.1 Una sucesi´ funci´ on que a cada n´umero natural k le asocia una matriz Ak Rn×n llamada el k-´ esimo t´ermino de la sucesi´on. En este caso escribiremos (Ak ) Rn×n .
∈
⊆
Ejemplo 2.2.1 Dada A 0. Luego (Ak ) Rn×n .
⊆
∈R
n×n
definimos Ak =
1 k A , k!
∀ k≥
Definici´ on 2.2.2 Dados (Ak ) Rn×n y A Rn×n , decimos que A es el l´ımite de la sucesi´on (Ak ), lo que denotaremos por lim Ak = A, si y s´olo si para todo > 0 existe un k0 N tal
⊆
k→∞
≥
∈
∈
−
que si k on k0 entonces Ak A < . Cuando una sucesi´ de matrices tiene l´ımite, decimos que es convergente , en caso contrario se le llama divergente . El siguiente resultado establece que una condici´on necesaria y suficiente para que una sucesi´on de matrices tenga l´ımite es que todas sus entradas formen sucesiones convergentes de n´umeros reales.
Teorema 2.2.2 Sean (Ak ) [akij ] y A = [aij ]. Se cumple lim Ak = A
k→∞
n×n
⊆R
k ij
⇐⇒ lim a k→∞
yA
= aij ,
∈R
n×n
tales que Ak =
∀ (i, j) ∈ I
n,n .
36 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes A toda sucesi´on (Ak ) Rn×n , le podemos asociar una nueva Rn×n , definida por: S 0 = A0 , S 1 = A0 + A1 , sucesi´on (S k ) S 2 = A0 + A1 + A2 , en general:
⊆
⊆
k
S k =
A j ,
j=0
∀ k ≥ 0.
(S k ) Rn×n es llamada sucesi´ on de sumas parciales asociada a n×n R Rn×n depende de (Ak ) . Para hacer notar que (S k ) Rn×n , denotaremos (S k ) = la sucesi´on original (Ak ) Ak ,
⊆ ⊆
⊆
⊆
⊆ k,0
Ak es llamada serie de matrices . Decimos que la serie
k,0
Ak
k,0
es convergente si y s´olo si la sucesi´on de sumas parciales (S k ) ∞
R
n×n
es convergente y a su l´ımite lo denotaremos por
Ak .
k=0
Damos a continuaci´ on una caracterizaci´on bastante u ´ til del concepto de convergencia de una serie de matrices.
Teorema 2.2.3 (Criterio de Cauchy) Sea (Ak ) afirmaciones siguientes son equivalentes: 1.
n×n
⊆R
. Las
Ak es convergente.
k,0
2. Dado > 0, existe un k0
∈ N tal que si m, k ≥ k
0
− m
k
A j
j=0
entonces
A j < .
j=0
Finalizamos la secci´on con un criterio bastante u ´ til de convergencia.
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
37
Teorema 2.2.4 Si (Ak ) Rn×n es tal que la serie de n´umeros reales Ak es convergente, entonces la serie de matrices
k,0
⊆
Ak tambi´en es convergente y se cumple
k,0
∞
∞
Ak
k=0
2.3
≤
Ak .
k=0
Exponencial de una Matriz
El objetivo central de esta secci´o n, es definir el concepto de exponencial de una matriz cuadrada y estudiar sus principales propiedades.
Teorema 2.3.1 La serie
j,0
Demostraci´ on. Dado j
1 j A j!
1 j A es convergente, j!
n×n
∀ A∈R
.
≥ 0 se cumple:
≤ j!1 A A es convergente, por Como la serie de n´umeros reales =
1 j A j!
j
j,0 j
el Criterio de Comparaci´on
j,0
A j!
j
j!
es convergente, y por el
Teorema 2.2.4, concluimos que la serie de matrices
j,0
convergente.
1 j A es j!
38 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes
Definici´ on 2.3.1 Dada la matriz A Rn×n , la exponencial de A, denotada por exp(A) ´o eA , es la matriz de Rn×n definida por
∈
∞
exp(A) =
Ejemplo 2.3.1 Si A =
1 j A j! j=0
0 1 0 0 0 1 0 0 0
Soluci´ on: Es f´acil ver que A2 =
∀ j ≥ 3, luego: 1 eA = I + A + A2 = 2
∈
3×3
R
0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 12 0 1 1 0 0 1
, determine eA .
y A j =
.
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Observaciones: 1. La exponencial es una funci´ on que a una matriz le asocia una nueva matriz, es decir: exp :
Rn×n
A 2.
A
exp(A) ≤ e
3. eθ = I .
,
Rn×n
−→ −→
∀ A∈R
n×n
exp(A) = eA .
,
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
39
R1×1 entonces A puede ser identificado con un 4. Si A n´ umero real, luego la exponencial de una matriz cuadrada es la generalizaci´on natural de la funci´on exponencial que se estudia en el C´alculo.
∈
Sabemos que la funci´on exponencial cumple la propiedad: = ea eb , a, b R. e (a+b)
∀
∈
Teorema 2.3.2 Sean A, B afirmaciones: 1
−
i) eP AP
∈R
n×n
, Se cumplen las siguientes
= P eA P −1 ,
n
∀ P ∈ GL(R ). ii) Si AB = BA entonces e =e ·e . A+B
A
B
iii) (eA )−1 = e−A .
Ejemplo 2.3.2 En lo sucesivo, denotaremos por diag [λ1 , λ2 , n×n R a las matrices diagonales
λ1 0 0 λ2 .. .. . . 0 0
0 0 .. .
... ... ...
. . . λn
n×n
··· , λ ] ∈ R , e , ··· , e ].
Afirmo que si D = diag[λ1 , λ2 , eD = diag[eλ1
n
λ2
λn
En efecto, por inducci´on, es f´acil probar que: D j = diag [λ j1 , λ j2 ,
j n
··· , λ ], ∀ j ∈ N,
entonces:
··· , λ ] ∈ n
40 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes
≥ 0 dado, tenemos 1 diag[λ , λ , ··· , λ ] j!
luego, para cualquier m m
1 j D = j! j=0
=
m
··· ··· j 1
j=0 m
j 2
j n
1 j 1 j λ, λ, j! 1 j! 2
diag
j=0
m
,
1 j λ j! n
m
m
1 j 1 j = diag λ1 , λ2 , j! j! j=0 j=0 Entonces ∞
D
e
1 j λn j! j=0
,
m
1 j 1 j = D = lim D m→∞ j! j! j=0 j=0
∞
∞
1 j 1 j = diag λ1 , λ2 , j! j! j=0 j=0 = diag [eλ1 , eλ2 ,
λn
··· , e
],
··· ∞
,
1 j λn j! j=0
lo cual prueba la afirmaci´on. Como caso particular, observe que la matriz identidad I n×n puede escribirse como matriz diagonal I = diag [1, 1, , 1] R y si λ R entonces λI = diag [λ,λ, , λ], luego
∈
eλI = diag[eλ , eλ ,
λ
λ
···
···
∈
λ
··· , e ] = e diag [1, 1, ··· , 1] = e I. Ejemplo 2.3.3 Decimos que A ∈ R es una matriz nilpotente si y s´olo si existe n ∈ N tal que A = θ. Dada A ∈ R θ para nilpotente, sea r = min{n ∈ A = θ}, es decir A = todo 0 ≤ j < r y A = θ. Este n´ umero r es llamado orden de nilpotencia de la matriz A. Si A ∈ R una matriz nilpotente de orden de nilpotencia n×n n
n×n
n
j
r
n×n
r, entonces se cumple
eA = I + A +
1 2 A + 2!
··· + (r −1 1)! A
r−1
.
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
41
Ejemplo 2.3.4 Sea A=
a b b a
−
∈
2×2
R
.
Con la finalidad de calcular eA , consideremos r = Entonces existe un u ´ nico θ [0, 2π[ tal que
√ a
2
+ b2 .
∈
a + ib = reiθ = r(cos θ + i sen θ) = r cos θ + ir sen θ. Luego A=r Dado j
∈ N, se sigue que A j = r j
cos θ sen θ
sen θ cos θ
−
cos jθ sen jθ
sen jθ cos jθ
−
.
Entonces k
A
e
=
lim
k→∞
k
A j r j = lim k→∞ j! j! j=0
− −
j=0
k
=
lim
k→∞
Luego
r j cos jθ j! j=0 k
r j sen jθ j! j=0
∞
eA =
−
cos jθ sen jθ
k
r j sen jθ j! j=0 k
r j cos jθ j! j=0
∞
r j cos jθ j! j=0
r j sen jθ j! j=0
r j sen jθ j! j=0
r j cos jθ j! j=0
∞
sen jθ cos jθ
∞
(2.7)
42 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes Por otro lado: ∞ a+ib
e
=
j=0
∞
∞
(a + ib) j (reiθ ) j r j eijθ = = , j! j! j! j=0 j=0
esto implica ∞
r j (cos jθ + i sen jθ), e (cos b + i sen b) = j! j=0
a
de donde ∞
∞
r j cos jθ, e cos b = j! j=0
r j sen jθ. e sen b = j! j=0
a
a
(2.8)
Reemplazando (2.8) en (2.7), obtenemos eA =
ea cos b ea sen b ea sen b ea cos b
−
= ea
cos b sen b
−
sen b cos b
.
Por lo tanto hemos probado que si A= entonces eA = ea
∈ − − ∈ a b b a
Ejemplo 2.3.5 Sea A = eA .
cos b sen b
R
2×2
sen b cos b
λ 1 0 λ
R2×2 ,
. vamos a calcular
En primer lugar, observe que A = λI + N , donde N =
0 1 0 0
.
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
43
Es f´acil ver que N 2 = θ (es decir N es una matriz nilpotente con orden de nilpotencia 2) y que λI y N conmutan, luego: A
λI +N
e =e
2.4
λI
=e
N
·e
λ
λ
= (e I )(I + N ) = e
1 1 0 1
.
El Teorema de Existencia y Unicidad de E.D.O. Lineales
En la presente secci´on presentamos la demostraci´on del Teorema de existencia y unicidad para un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes reales constantes. Para ello, necesitamos algunas definiciones y propiedades previas. Rn×n , para cualquier t R es claro Dada la matriz A n×n tA n×n R que tA R y por consiguiente e . Luego podemos definir Rn×n ΦA : R ΦA (t) = etA t Observe que Φ A es un camino en el espacio de matrices cuadradas n n. El siguiente resultado nos dice que Φ A es diferenciable, m´as espec´ıficamente:
∈
∈
∈
∈
→ →
×
Proposici´ on 2.4.1 Si A
n×n
∈R
, entonces
ΦA (t) = etA A = AetA ,
∀ t ∈ R.
Demostraci´ on. Por definici´on de derivada: ΦA (t)
ΦA (t + h) = lim h→0 h etA+hA h→0 h
= lim
−Φ
A (t)
tA
−e
e(t+h)A = lim h→0 h
etA ehA h→0 h
= lim
tA
−e
tA
−e
44 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes Luego
etA (ehA I ) = lim h→0 h 1 1 I = hA + (hA)2 + (hA)3 + , luego 2! 3!
−
ΦA (t)
Pero ehA
−
(2.9)
···
1 1 ehA I = A + hA2 + h2 A3 + 2! 3! h
−
···
Reemplazando en (2.9): ΦA (t)
tA
= lim e h→0
1 1 A + hA2 + h2 A3 + 2! 3!
···
= etA A.
An´alogamente se prueba que Φ A (t) = AetA .
Corolario. La funci´on ΦA : R
→R
n×n
es de clase C ∞ en
R.
Teorema 2.4.2 (Teorema de Existencia y Unicidad) Si A Rn×n y x0 Rn , entonces la u ´ nica soluci´on del P.V.I.
∈
es dada por
= Ax x x(0) = x0
ϕ:R t
→ →
(2.10)
Rn
ϕ(t) = etA x0 .
Demostraci´ on. Por la Proposici´on 2.4.1: ϕ (t) = (AetA )x0 = A(etA x0 ) = Aϕ(t), adem´as ϕ(0) = e0A x0 = eθ x0 = x0 .
∀ t ∈ R,
∈
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
45
Por lo tanto ϕ es soluci´on del P.V.I. (2.10). Rn otra soluci´ Para probar la unicidad, sea ψ : R on del P.V.I. (2.10). Defino
→
→ →
f : R t Se cumple
n
R
f (t) = e−tA ψ(t).
f (t) = e−tA ( A)ψ(t) + e−tA ψ (t) =
−
tA
−e
Aψ(t) + e−tA Aψ(t) = 0
luego f (t) = 0, t R. Se sigue que f (t) = C Rn , t R. En particular C = f (0) = e−0A ψ(0) = Ix0 = x0 , de donde f (t) = x0 . De esta manera e−tA ψ(t) = x0 , es decir ψ(t) = etA x0 = ϕ(t), t R.
∀ ∈
∈
∀ ∈
∀ ∈
Se debe observar que en el teorema anterior, el instante iniR, cial t = 0 puede ser reemplazado por cualquier t = t0 esto es precisamente lo que nos dice el siguiente corolario cuya demostraci´ on es dejada al lector.
∈
Corolario 1. Si A soluci´ on del P.V.I.
n×n
∈R
es dada por ϕ:R t
∈R
, x0
n
y t0
∈ R, entonces la ´unica
x = Ax x(t0 ) = x0
→ →
(2.11)
Rn
ϕ(t) = e(t−t0 )A x0 .
Corolario 2. El P.V.I. lineal homog´eneo de orden n
x(n) + a1 x(n−1) +
n−1 x
··· + a
+ an x
= 0
x(t0 ) = x00 , x (t0 ) = x10 , . . . , x(n−1) (t0 ) = xn−1 . 0
n−1 R, y t0 , x00 , . . . x0 (en donde a1 , . . . , an u ´ nica soluci´on definida en R.
∈
∈ R), admite una
46 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes
2.5
Formas can´ onicas y c´ alculo de la exponencial de una matriz
Hasta ahora s´ olo sabemos calcular la exponencial de algunas matrices especiales (ver los ejemplos de la secci´on 2.3). Vamos a agregar a esa lista algunos otros casos m´ as.
Ejemplo 2.5.1 Sea A
A=
∈R
n×n
de la forma
θn1×n2 A2 .. .
··· ···
θnm ×n1 θnm ×n2
···
A1 θn2×n1 .. .
θn1 ×nm θn2 ×nm .. ... . Am
n ×n donde Ai 1 R i i, i m, θni ×nj es la matriz cero de ni ×nj R y n1 + n2 + + nm = n. Tales matrices son llamadas matrices diagonales por bloques y las denotaremos por
∈
∀ ≤ ≤ ···
diag[A1 , A2 ,
··· , A
m ].
No es dif´ıcil probar que si A = diag[A1 , A2 , para cualquier k N se tiene:
∈
Ak = diag [Ak1 , Ak2 ,
··· , A
eA = diag [eA1 , eA2 ,
··· , e
··· , A
m ] entonces
k m ],
luego: Am
].
(Compare con el Ejemplo 2.3.2).
Ejemplo 2.5.2 Sea A
∈R
n×n
de la forma: A = λI + N n en
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias donde λ
∈Ry N n =
Observe que
N n2 =
47
0 0 .. .
0 0 .. .
0 0 .. .
1 0 .. .
0 1 .. . . . . 0 0 0 0 0 0
··· ···
1 0 .. .
0 0 1 0 .. . . .. . . . 0 0 0 0 0
···
··· ···
0 0 .. .
··· ···
1 0
∈
, . . . , Nnn−1 =
R
n×n
0 0 .. .
0 0 .. .
0 0 .. .
··· ···
0 1 0 0 .. . . .. . . . 0 0 0 0 0
···
y N nn = θ, es decir N n es una matriz nilpotente con orden de nilpotencia n. Para calcular eA en primer lugar observamos que (λI )N n = λ(N n I ) = N n (λI ), luego eA = eλI +N n = eλI eN n
(2.12)
eλI = eλ I
(2.13)
Sabemos que
Por otro lado eN n = I + N n +
=
1 2 N + 2! n
1 2!1 1 1 .. .. . . 0 0 0 0 0 0 1 0 .. .
··· ··· ··· ···
··· + (n −1 1)! N
n−1 n
1 (n−2)! 1 (n−3)!
.. . 1 0
1 (n−1)! 1 (n−2)!
.. . 1 1
(2.14)
48 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes Reemplazando (2.13) y (2.14) en (2.12) obtenemos:
eA = eλ
1 2!1 1 1 .. .. . . 0 0 0 0 0 0
1 (n−2)! 1 (n−3)!
··· ···
1 0 .. .
1 (n−1)! 1 (n−2)!
.. . 1 0
··· ···
.. . 1 1
(Compare con el Ejemplo 2.3.5).
Ejemplo 2.5.3 Denotemos
−
∈
cos b sen b
sen b cos b
I 2 (a; b) =
a b b a
R
2×2
.
Por el Ejemplo 2.3.4 tenemos eI 2(a;b) = ea
−
= ea R2 (b).
Llamemos J 2n (a, b) = diag[I 2 (a; b), I 2 (a; b), Sea A
2n×2n
∈R
··· , I (a; b)] ∈ R 2
2n×2n
matriz de la forma 2 A = J 2n (a, b) + N 2n ,
donde
N n2 =
0 0 .. .
0 0 .. .
1 0 .. .
0 1 .. . . . .
··· ···
0 0 .. .
···
0
0 0 0 0
=
θ θ .. .
I θ .. .
··· ···
θ θ I θ .. . . .. . . . θ θ θ I θ θ θ θ
··· ···
.
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
49
2 2 No es dif´ıcil probar que J 2n (a, b)N 2n = N 2n J 2n (a, b); luego: 2
2
eA = eJ 2n (a,b) eN 2n = diag[eI 2 (a;b) , , eI 2 (a;b) ]eN 2n 2 = diag [ea R2 (b), , ea R2 (b)]eN 2n = ea diag[R2 (b),
···
···
2
Concluimos que eA = ea diag[R2 (b),
N 22n
··· , R (b)]e 2
.
En resumen, los ejemplos anteriores nos muestra como calcular la exponencial de A, cuando A es una matriz de la forma:
• Diagonal por bloques, • λI + N , • J (a, b) + N . n
2n
2 2n
¿C´omo calcular la exponencial de cualquier matriz A Rn×n ? Un resultado bien conocido del a´lgebra lineal (el cual enunciaremos a continuaci´on), establece que no necesitamos m´as esfuerzo, puesto que toda matriz cuadrada real puede reducirse a alguno de los tres tipos anteriores.
∈
Teorema 2.5.1 (Forma Can´ onica de Jordan para matrin×n ces reales) Si A R , entonces existe una matriz P n GL(R ) tal que
∈
P AP −1 = J A = diag[J 1 , J 2 ,
∈
··· , J ], m
donde cada J i es una matriz cuadrada de la forma: 1. J i = λi I + N ni , si λi es un autovalor real de A.
N 22n
··· , R (b)]e
50 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes 2 2. J j = J 2nj (a j , b j )+ N 2n , si a j +ib j es un autovalor complejo j de A.
Adem´ a s, la suma de los ´ordenes de los bloques de la forma λi I +N ni es igual a la multiplicidad de λi como ra´ız del polinomio caracter´ıstico de A mientras que la suma de los ´ordenes de los 2 bloques de la forma J 2nj (a j ; b j ) + N 2n es igual al doble de la j multiplicidad de a j + ib j como ra´ız del polinomio caracter´ıstico de A. La matriz J A Rn×n es llamada Forma Can´ onica de Jordan (Real) de A y ella es u ´ nica salvo el orden de los bloques y el signo de la parte imaginaria b j de las ra´ıces complejas del polinomio caracter´ıstico de A.
∈
Observe que J A es una matriz diagonal por bloques y que sus bloques son matrices del tipo λi I + N ni , ´o J 2nj (a j , b j ) + 2 . De los ejemplos del inicio de la secci´ o n, se sigue que N 2n j podemos calcular sin mayores dificultades la exponencial de J A . Finalmente, para determinar eA hacemos uso del Teorema 2.3.2 - (i). En efecto, sabemos que A = P −1 J A P , luego 1
−
eA = eP
2.6
J A P
= P −1 eJ A P.
Sistemas Lineales no Homog´ eneos
Finalizamos el cap´ıtulo estudiando las soluciones de los Sistemas Lineales no Homog´eneos con Coeficientes Constantes. Como veremos a continuaci´on, la manera de resolver tales E.D.O.’s es completamente an´aloga al caso escalar que se estudia en los cursos b´asicos de Ecuaciones Diferenciales.
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
51
Consideremos el P.V.I.
= Ax + b(t) x x(t0 ) = x0
(2.15)
Rn×1 es una en donde A Rn×n es una matriz dada, b : J funci´ on matricial continua en el intervalo J , t0 J , y x0 Rn×1 . Supongamos que φ : J on de (2.15), multiRn es soluci´ plicando ambos miembros de φ (t) = Aφ(t) + b(t) por el “factor integrante” e−tA y operando, tenemos
∈
∈
→
→
∈
d −tA (2.16) e φ(t) = e−tA b(t), t J dt Luego si integramos ambos miembros de (2.16) entre t0 y t J , por el Teorema Fundamental del C´alculo, se llega a
−tA
e
φ(t)
−t0 A
−e
∀ ∈
∈
t
φ(t0 ) =
e−sA b(s)ds.
t0
Multiplicando por etA y operando, se obtiene (t−t0 )A
φ(t) = e
tA
x0 + e
t
e−sA b(s)ds
(2.17)
t0
Un f´acil c´alculo nos lleva a concluir que la funci´on φ : J Rn cuya regla de correspondencia es dada por (2.17) es soluci´on del P.V.I. (2.15). ¿Esta soluci´ o n es u ´ nica? Supongamos que n R es otra soluci´ on de (2.15), no es dif´ıcil probar que ψ : J n ψ φ : J R es soluci´on del P.V.I. homog´eneo
→
−
→
→
= Ax x x(t0 ) = 0
(2.18)
Pero la u ´nica soluci´on de (2.18) es la funci´on constante cero, concluimos que ψ = φ y de ´esta manera (2.15) admite una u ´nica soluci´ on. Resumimos los resultados obtenidos en el siguiente teorema.
52 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes
Teorema 2.6.1 Sea A Rn×n es una matriz dada, b : J Rn×1 es una funci´ on matricial continua en el intervalo J , t0 J , n×1 y x0 R . Entonces la u ´nica soluci´on del P.V.I.
∈
∈
∈
es dada por φ : J
= Ax + b(t) x x(t0 ) = x0 n
→R
(t−t0 )A
φ(t) = e
→
donde tA
x0 + e
t
e−sA b(s)ds,
∀ t ∈ J.
t0
Corolario. El P.V.I. lineal no homog´eneo de orden n
x(n) + a1 x(n−1) +
··· + a
n−1 x
+ an x
= b(t)
x(t0 ) = x00 , x (t0 ) = x10 , . . . , x(n−1) (t0 ) = xn−1 . 0
∈
→
R es una funci´ (en donde a1 , . . . , an R, b0 : J on continua n−1 0 R), admite una definida en el intervalo J y t0 , x0 , . . . x0 u ´nica soluci´on definida en J .
∈
Observaciones: 1. Sean las funciones φh , φ p : J e(t−t0)A x0 y φ p (t) = etA
t
→R
n
definidas por φh (t) =
e−sA b(s)ds. Observe que φh es
t0
soluci´ on del P.V.I. homog´eneo
= Ax x x(t0 ) = x0
mientras que φ p (t) es una soluci´on del P.V.I.
= Ax + b(t) x x(t0 ) = 0
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
53
2. No obstante tener una f´ormula expl´ıcita para resolver Problemas de Valores Iniciales Lineales no Homog´eneos con Coeficientes Constantes, los c´ alculos envueltos son muy engorrosos y en muchos casos no es posible obtener soluciones expl´ıcitas. Esto sucede a´un en el caso n = 2.
Cap´ıtulo 3 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales Por lo hecho en el cap´ıtulo anterior, el lector podr´ıa pensar que ya no habr´ıa nada m´ as que hacer en cuanto a los sistemas lineales con coeficientes constantes, puesto que sabemos que su soluci´on existe, es u ´ nica, tenemos una f´ormula expl´ıcita para su soluci´on e incluso, con auxilio del ´algebra lineal podemos pasar a un sistema de coordenadas en el que la matriz asociada al nuevo P.V.I. sea una matriz diagonal por bloques (forma can´onica de Jordan) en donde los bloques son tales que resulta f´acil calcular su exponencial y finalmente volver al sistema de coordenadas originales. Entonces ¿por qu´ e seguir estudiando los sistemas lineales con coeficientes constantes?. La respuesta a esta interrogante es bastante simple: para poder encontrar la forma can´onica de Jordan de una matriz A Rn×n necesitamos antes que nada conocer sus autovalores los cuales, como sabemos, son ra´ıces del polinomio caracter´ıstico P A (λ). Ahora bien, P A (λ) es
∈
54
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
55
un polinomio de grado n y como el lector debe saber, no existe una f´ormula (por radicales) que nos permita hallar todas las ra´ıces de un polinomio de grado mayor que o igual a 5. Una consecuencia de la no existencia de esta f´ormula es que, salvo en casos particulares, s´olo podemos conocer los autovalores de la matriz A Rn×n (n 5) de una manera aproximada se deduce que los autovectores (y por lo tanto la matriz P −1 ) tambi´en ser´an aproximados y la propia forma can´onica de Jordan es una matriz aproximada. ¿Cu´ anto se diferencia la “soluci´on aproximada” de la “soluci´on te´orica”? Intuitivamente podemos ver que en las vecindades del instante inicial t0 la “soluci´ on aproximada” representa bastante bien a la “soluci´on te´orica”, pero esto deja de ser v´alido para valores de t muy lejanos del t0 . El An´alisis Num´erico nos proporciona t´ecnicas para estudiar la “soluci´ on aproximada” y controlar el error cometido al usar esta aproximaci´ on para predecir el valor te´orico. No pretendemos en estas notas estudiar estos m´etodos num´ericos, puesto que existe una bibliograf´ıa extensa sobre el tema que el lector interesado puede consultar, estudiaremos a cambio un m´etodo alternativo al An´alisis Num´erico que nos permita predecir fen´omenos modelados por sistemas Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Este m´etodo alternativo fue llamado por Poincar´e como “Teor´ıa Geom´etrica de las Ecuaciones Diferenciales” y su objetivo es obtener propiedades cualitativas de las soluciones de una E.D.O. a´ un sin conocer expl´ıcitamente estas soluciones . En el presente cap´ıtulo iniciamos el estudio de la Teor´ıa Geom´etrica de las E.D.O.’s lineales homog´eneas con coeficientes constantes. Algunos de los resultados obtenidos en esta secci´on ser´an posteriormente generalizados a los sistemas no lineales. Cabe mencionar que el estudio cualitativo de las E.D.O.’s forma una parte importante de la Teor´ıa de los Sistemas Din´ amicos, rama de la matem´atica que ocupa en la actualidad el inter´es de
∈
≥
56 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales muchos cient´ıficos y es motivo de investigaci´on.
3.1
El flujo asociado a una E.D.O. lineal
Sea A Rn×n y x0 Rn , por el Teorema 2.4.2 sabemos que la u ´nica soluci´on del P.V.I.
∈
∈
es dada por: ϕx0 : R t
x = Ax x(0) = x0
→ →
(3.1)
Rn
ϕx0 (t) = etA x0
Haciendo variar la condici´on inicial x0 en todo Rn , obtenemos todas las soluciones de la E.D.O. x = Ax. El objetivo de este cap´ıtulo es estudiar las propiedades geom´etricas que tienen estas soluciones y para ello necesitamos del concepto de flujo.
Definici´ on 3.1.1 Sea A lineal x = Ax es dado por
∈R
ϕA : R
n×n
n
×R → (t, x) →
, el flujo asociado a la E.D.O. Rn
ϕA (t, x) = etA x
Ejemplo 3.1.1 Dada la E.D.O.
x1 = 5x1 + 3x2 6x1 4x2 x2 =
− −
∈
5 3 2×2 R Su matriz asociada es A = . Luego el flujo 6 4 2 R definida asociado a esta E.D.O. es la funci´on ϕA : R R2
− −
× →
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
57
por ϕA (t, x1 , x2 ) = (2x1 + x2 )e2t , (x1 + x2 )e−t
Ejemplo 3.1.2 Dada la E.D.O.
x1 = x2 + x3 x2 = x1 + x3 x3 = x1 + x2
0 1 Su matriz asociada es A = 1 0 1 1 asociado a la E.D.O. es la funci´on por
∈
1 1 0 ϕA :
R
3×3
R
3
×R → R
1 ϕA (t, x1 , x2 , x3 )= (x1 + x2 + x3 )e2t (1, 1, 1) + 3 1 + (2x1 x2 x3 , x1 + 2x2 3
− − −
. Luego el flujo 3
definida
− x , −x − x 3
1
2
+ 2x3 )e−t
Observaciones: 1. Toda matriz A Rn×n determina una E.D.O. lineal x = Ax y rec´ıprocamente. Luego podemos decir indistintamente que ϕA es el flujo “asociado a la matriz A” o “es el flujo asociado a la E.D.O. x = Ax”.
∈
2. Si A Rn×n , entonces su flujo asociado ϕA es una funci´on que depende de n + 1 variables: una variable temporal t y n variables espaciales x = (x1 , . . . , xn ).
∈
Rn×n (o equivalentemente, a cada 3. A cada matriz A E.D.O. x = Ax), le estamos asociando un flujo ϕA , el
∈
58 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales cual es una funci´on definida en R Rn con valores en Rn . ¿Qu´e podemos decir con relaci´on a la rec´ıproca? es decir Rn es un flujo? si no lo fuera ¿toda funci´on F : R Rn Rn es ¿bajo qu´e condiciones una funci´ on F : R Rn el flujo asociado a una matriz? Intentaremos responder estas interrogantes, demostrando algunas propiedades de los flujos.
×
× →
Proposici´ on 3.1.1 Si A ϕA
×
→
n×n
∈ R , entonces su flujo asociado :R×R →R n
n
satisface las siguientes propiedades: i) ϕA (0, x) = x,
n
∀x ∈ R .
ii) ϕA (t + s, x) = ϕA (t, ϕA (s, x)),
n
∀ t, s ∈ R, ∀ x ∈ R .
Demostraci´ on. Sabemos que ϕA (t, x) = etA x, luego ϕA (0, x) = e0A x = Ix = x. lo cual prueba (i). Por otro lado ϕA (t + s, x) = e(t+s)A x = etA+sA x = (etA esA )x = etA (esA x) = ϕA (t, esA x) = ϕA (t, ϕA (s, x)).
·
Observaciones: Rn el flujo asociado a la matriz 1. Sea ϕA : R Rn A Rn×n . Fijando un t0 R podemos definir la funci´on n R , como (ϕA )t0 : Rn
∈
× →
→
∈
(ϕA )t0 (x) = ϕA (t0 , x) = et0 A x.
(3.2)
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
59 −1
=
es una familia en GL(Rn ) indexada por el par´ametro t R. M´ a s a´ un, de la Proposici´on 3.1.1 se desprende que
∈
Resulta claro que (ϕA )t0 GL(Rn ), m´as a´ un (ϕA )t0 (ϕA ) t0 . Tenemos entonces que
∈
−
{(ϕ ) } A
(a) (ϕA )t1 +t2 = (ϕA )t1
◦ (ϕ
t
t∈R
A )t2 ,
para todo t1 , t2
∈ R.
(b) (ϕA )0 = I luego la funci´on ΞA : R GL(Rn ) definida por ΞA (t) = (ϕA )t es un monomorfismo del grupo aditivo de los reales en GL(Rn ).
→
2. Conocida la posici´ on inicial de todas las part´ıculas, el isomorfismo lineal (ϕA )t0 se interpreta geom´etricamente como la posici´on de las part´ıculas en el instante t0 que fluyen a lo largo de las soluciones de la E.D.O. x = Ax, tal como se muestra en la Figura 3.2. Rn el flujo asociado a la matriz A 3. Sea ϕA : R Rn Rn×n . Si fijamos un x0 Rn podemos ahora definir la n funci´ on (ϕA )x0 : R R , como
×
→ →
∈
∈
(ϕA )x0 (x) = ϕA (t, x0 ) = etA x0
(3.3)
Es decir, (ϕA )x0 es la soluci´on de la E.D.O. x = Ax que en el instante 0 pasa por el punto x0 . 4. Existe la derivada parcial
∂ϕ A en todo punto de ∂t
R
n
×R .
60 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales De las observaciones anteriores concluimos que si ϕA es el flujo asociado a la matriz A Rn×n entonces ϕA es una funci´on que admite derivada parcial con respecto a t en todo R Rn y que satisface las siguientes propiedades:
∈
1. (ϕA )t
×
n
∈ GL(R ), para todo t ∈ R. = (ϕ ) ◦ (ϕ ) , para todo t , t ∈ R.
2. (ϕA )t1 +t2
A
t1
A
1
t2
2
3. (ϕA )0 = I Estas son las propiedades que caracterizan a los flujos asociados a matrices cuadradas. M´ as espec´ıficamente, tenemos el siguiente resultado:
Proposici´ on 3.1.2 Si la funci´on F : R siguientes propiedades: i) Existe la derivada parcial
∂F en ∂t
n
n
×R → R R
satisface las
n
×R .
n
∈ L(R ), para todo t ∈ R. iii) F = F ◦ F , para todo t , t ∈ R. ii) F t
t1 +t2
t1
t2
1
2
iv) F 0 = I . Entonces existe una u ´ nica matriz A asociado.
n×n
∈R
tal que F es su flujo
Observaciones: 1. De las propiedades ii), iii) y iv) se deduce que F t t R.
∀ ∈
n
∈ GL(R ),
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
61
2. Existe una correspondencia biun´ıvoca entre las matrices Rn×n , las E.D.O.’s lineales homog´ eneas con coefiA R cientes constantes x = Ax y las funciones F : R Rn que satisfacen las 4 condiciones de la Proposici´on 3.1.2. De esta manera, adem´as del ´algebra lineal, podemos valernos del an´alisis en varias variables reales para obtener informaci´ on cualitativa sobre el sistema x = Ax.
∈
× →
A continuaci´on veremos que las soluciones de la E.D.O. x = on del espacio Rn . Ax generan una partici´ Dado x Rn , la ´ orbita o trayectoria del punto x a trav´es del flujo ϕA denotada por A (x) se define como el conjunto
∈
O
O
{ Proposici´ on 3.1.3 Sean A ∈ R A (x)
= ϕA (t, x); t n×n
∈ R}
y ϕA su flujo asociado. Se
cumplen las siguientes propiedades: 1. Dados x, y Rn entonces o bien se cumple que o bien A (x) = A (y). A (y) =
O
∅
∈
O
O
A (x)
∩
O 2. x ∈ Nu(A) si y s´o lo si O (x) = {x}. En particular O (0) = {0}. El conjunto F formado por todas las ´orbitas O (x), (donde on por curvas de R generada por la x ∈ R ) es llamado foliaci´ matriz A ∈ R (o por la E.D.O. lineal x = Ax). Note que la foliaci´on F es el conjunto formado por todas las A
A
A
A
n
n
n×n
A
soluciones de la E.D.O. x = Ax la cuales pueden ser puntos o curvas de Rn . Como una primera consecuencia de esto, tenemos que dos soluciones de una E.D.O. lineal o bien coinciden o bien son disjuntas. En las secciones siguientes, vamos a estudiar las propiedades geom´etricas de los elementos de una foliaci´ on.
62 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales
3.2
Conjugaci´ on de Sistemas Lineales
F
El flujo ϕA (o equivalentemente, la foliaci´on A ) nos proporciona toda la informaci´on cualitativa necesaria sobre las soluciones de la E.D.O. x = Ax, por este motivo vamos a iniciar en esta secci´on un estudio sistem´atico del mismo. Una manera de iniciar este estudio es clasificar los flujos de acuerdo a “ciertas propiedades comunes” que nos interese investigar. Clasificar ob jetos de acuerdo a “propiedades comunes” es una pr´actica usual no s´olo en matem´atica sino tambi´ en en otras disciplinas, por ejemplo la taxonom´ıa es una rama de la ciencia que se encarga en clasificar a los seres vivientes, la especie es considerada la unidad de clasificaci´on animal. Las especies relacionadas constituyen un g´enero. Los generos similares se combinan para formar una familia , familias similares se agrupan para formar un orden , ´ordenes similares para formar una clase y clases similares para formar un phylum . El phylum es la primera etapa de clasificaci´ on del reino animal, por ejemplo al phylum cordados pertenecen la clase de los peces, de los anfibios, de los reptiles, de las aves y de los mam´ıferos. La propiedad com´ un de todos ellos es la presencia de una notocorda o ”columna vertebral”. Conforme vamos descendiendo en la clasificaci´on, tenemos m´as “propiedades comunes” entre los individuos hasta llegar a la especie. Imitando al tax´onomo, vamos a clasificar los flujos (o equivalentemente las matrices cuadradas) de acuerdo a ciertas propiedades geom´etricas comunes, pero ¿cu´ales son estas “propiedades comunes” que tantas veces hemos mencionado? veamos: en primer lugar sabemos que los elementos de una foliaci´on A son curvas las cuales resuelven la E.D.O. x = Ax, si queremos clasificar foliaciones, entonces debemos caracterizar las propiedades esenciales de las curvas que la componen. Desde este punto de
F
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
63
vista, podr´ıamos ensayar el siguiente criterio de clasificaci´ on: “Decimos que las foliaciones A y B est´an relacionadas si y Rn tal que h lleva s´olo si existe un homeomorfismo h : Rn ´orbitas de A en ´orbitas de B ” dicho de otra manera “las soluciones de la E.D.O. x = Ax son homeomorfas a las soluciones Rn es un de la E.D.O. x = Bx”. Recordemos que h : Rn homeomorfismo si y s´olo si h es biyectiva, continua y su inversa tambi´ en es continua. Los homeomorfismos preservan todas las propiedades topol´ogicas de las curvas (por ejemplo compacidad, conexidad, etc.), sin embargo, si estamos interesados en preservar propiedades diferenciables de las curvas (tales como concavidad, puntos de inflexi´on, etc.) entonces un difeomorfismo es lo n adecuado. Recordemos que h : Rn R es un difeomorfismo de clase C r (con 1 ) si y s´o lo si h es biyectiva, de r r clase C y su inversa tambi´ en es de clase C r . Finalmente, si estamos interesados en las propiedades algebraicas de las curvas entonces debemos imponer que h sea un isomorfismo. Vamos a formalizar las ideas acabadas de dar, en la siguiente definici´on.
F
F F → F
→
≤ ≤∞
→
Definici´ on 3.2.1 Sean A, B Rn×n y consideremos sus flu jos asociados ϕA y ϕB . Decimos que las matrices A y B (o sus respectivas E.D.O’s asociadas x = Ax y x = Bx) son topol´ ogicamente conjugadas , lo que denotamos A top B si y Rn llamado conjus´olo si existe un homeomorfismo h : Rn gaci´ on topol´ ogica tal que
∈
→
h(ϕA (t, x)) = ϕB (t, h(x)),
≡
n
∀ t ∈ R, ∀ x ∈ R .
(3.4)
En el caso que h sea un difeomorfismo de clase C r (1 r r ), entonces decimos que A y B son C conjugados y h es llamado conjugaci´ on C r . Por u´ltimo, si h es un isomorfismo lineal, entonces A y B son linealmente conjugados y en este caso on lineal . Usaremos la notaci´ on A C r h es llamado conjugaci´
∞
≤ ≤ ≡
64 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales B, (respectivamente A lin B), para decir que A y B son C r conjugados (respectivamente linealmente conjugados).
≡
Observaciones: 1. Las conjugaciones topol´ ogicas respetan el par´ametro t y por tanto la orientaci´on de las ´orbitas. 2. A y B son conjugadas si y s´olo si el siguiente diagrama es conmutativo: ϕA n
n
n
n
× R −−−→ R ↓h ↓h id ↓ R × R −−−→ R R
ϕB
3. Si fijamos un x0 Rn , entonces la conjugaci´on h : n R satisface la siguiente propiedad:
∈
Rn
→
O (x )] = O (h(x )). En efecto, sea y ∈ h[O (x )], entonces existe un x ∈ O (x ) tal que y = h(x). Como x ∈ O (x ), tenemos que existe un t ∈ R tal que x = ϕ (t , x ). Luego h[
A
0
B
A
A
0
0
0
A
0
A
0
0
0
y = h(x) = h(ϕA (t0 , x0 )) = ϕB (t0 , h(x0 ))
∈O
es decir y alogo, B (h(x0 )). El otro contenido es an´ −1 basta intercambiar h por h . De esta manera, hemos demostrado que las conjugaciones lleva ´orbitas en ´orbitas (ver Figura 3.3).
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
65
4. Por definici´on de ϕA , (3.4) es equivalente a h(etA x) = etB h(x),
n
∀ t ∈ R, ∀ x ∈ R .
A continuaci´on, demostramos que las conjugaciones topol´ogicas, C y lineales generan particiones en el espacio de matrices cuadradas de orden n. r
≡
Proposici´ on 3.2.1 “ equivalencia en Rn×n .
top ”,
≡
“
C r ”
≡
y “
lin ”
son relaciones de
≡
Demostraci´ on. Probaremos que “ lin ” es una relaci´o n de equivalencia en Rn×n , las otras dos quedan como ejercicio para el lector. i) Reflexividad: I (ϕA (t, x)) = ϕA (t, x) = ϕA (t, I (x)), n×n
∀A∈R . ii) Conmutatividad: A ≡ B, entonces existe L ∈ GL(R ) de donde A
≡
n
∀x ∈ R , ∀t ∈ R,
lin
A,
n
lin
tal que
L(ϕA (t, x)) = ϕB (t, L(x)), Luego para L−1
n
∈ GL(R ), se tiene
L−1 (ϕB (t, y)) = ϕA (t, L−1 (y)), de donde B
≡
lin
n
∀ t ∈ R, ∀ x ∈ R .
A.
∀ t ∈ R, ∀ y ∈ R
n
66 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales
≡
≡
iii) Transitividad: Sean A lin B y B lin C , luego existen L1 , L2 GL(Rn ) tales que para todo t R y para todo x, y Rn se tiene
∈
∈
∈
L1 (ϕA (t, x)) = ϕB (t, L1 (x)) y L2 (ϕB (t, y)) = ϕB (t, L2 (y)). n
De esta manera L2 L1
◦ ∈ GL(R ) y
◦
L2 L1 (ϕA (t, x)) = L2 (ϕB (t, L1 (x)) = ϕC (t, L2 (L1 (x))) = ϕC (t, L2 L1 (x)), t R, x Rn . As´ı A
◦
≡
lin
∀ ∈ ∀ ∈
C .
Observaciones: 1. De la proposici´ on anterior, podemos construir los conjuntos cocientes Rn×n /≡top , Rn×n /≡C r y Rn×n /≡lin . Sus elementos son clases de equivalencia de matrices. Si por ejemplo [A] Rn×n /≡top , entonces B [A] si y s´olo si las ´orbitas de B son homeomorfas (por un mismo homeomorfismo) a las ´orbitas de A.
∈
∈
2. Denotando por Hom(Rn ) (respectivamente Diff r (Rn )) al conjunto de todos los homeomorfismos (respectivamente difeomorfismos de clase C r ) de Rn , del an´alisis en varias variables reales se tiene la siguiente cadena de contenidos estrictos GL(Rn )
∞
⊂ Diff
(Rn )
1
n
n
⊂ ··· ⊂ Diff (R ) ⊂ Hom(R )
Se sigue que la clasificaci´on “m´as fina” es la lineal mientras que la m´as “gruesa” es la topol´ogica.
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
67
3. Para estudiar las propiedades cualitativas de las soluciones de una E.D.O. homog´enea con coeficientes constantes, basta considerar cualquier representante de su clase y analizarlo. ¿C´omo debemos elegir tal representante?. Una manera natural de hacerlo es eligiendo aquella matriz de la clase de equivalencia cuya exponencial sea f´acil de ser calculada, pero ¿cada clase de equivalencia (ya sea topol´ogica, C r o lineal) admitir´a tal representante? Responderemos a esta interrogante dentro de poco. El siguiente resultado nos dice esencialmente que las matrices cuadradas de orden n s´olo admiten dos clasificaciones: la topol´ogica y la lineal.
Proposici´ on 3.2.2 Sean A, B ciones son equivalentes: 1. A
≡
C 1
≡
lin
n×n
, las siguientes afirma-
B.
2. Existe P 3. A
∈R
n
∈ GL(R ) tal que P A = BP .
B.
Observaciones: 1. De la demostraci´ on de la proposici´on anterior, se desprende que toda h Diff 1 (Rn ) conjugaci´on C 1 entre A y B induce una conjugaci´on lineal entre A y B la cual viene dada por h (0) GL(Rn ).
∈
∈
Rn×n 2. En ´algebra lineal se dice que dos matrices A, B son similares si y solamente si existe P GL(Rn ) tal que 3. de la Proposici´ on P A = BP . La equivalencia 2. anterior nos dice que A lin B si y s´o lo si A y B son similares.
≡
⇔
∈
∈
68 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales 3. Por el Teorema 2.5.1, sabemos que toda matriz A Rn×n Rn×n . es similar a su forma can´onica de Jordan J A Luego cada clase de equivalencia lineal admite un representante “simple” en el sentido que su exponencial (y por lo tanto su regla de correspondencia) queda expl´ıcitamente determinada. Esto responde la interrogante planteada antes de enunciar la Proposici´on 3.2.2.
∈ ∈
3.3
Sistemas Lineales Bidimensionales
Con el objetivo de fijar ideas y motivar futuras generalizaciones, en esta secci´on vamos a estudiar el flujo generado por las maR2×2 , de acuerdo a la trices cuadradas de orden 2. Sea A Proposici´on 3.2.2, para entender el comportamiento cualitativo de las soluciones de la E.D.O. x = Ax, basta estudiar su Forma Can´onica de Jordan J A . Ahora bien, si denotamos por λ1 y λ2 a los autovalores de A, entonces se presentan las siguientes posibilidades:
∈
1) λ1 , λ2
∈ R, con λ = λ . 1
2
2) λ1 = λ2 = λ. 3) λ1 = a + ib, λ2 = a
− ib.
Vamos a analizar cada una de ellas. 1) Si las ra´ıces son reales y distintas, la forma can´onica es λ1 0 dada por J A = , luego el flujo asociado a J A en 0 λ2 cualquier punto p0 = (x0 , y0 ) R2 viene dado por
∈
ϕJ A (t, p0 ) = eλ1 t x0 , eλ2 t y0 ,
∀ t ∈ R.
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
O
{
}
69
Es claro que J A ((0, 0)) = (0, 0) . Adem´as, para puntos ubicados sobre los ejes coordenados (cuando λ1 = 0 y λ2 = 0) tenemos:
∞ ×{ } − ∞ ×{ } { }× ∞ { }× − ∞ ]0, + [
O
J A ((x0 , 0))
=
]
J A ((0, y0 ))
O
=
0
, 0[
si x0 > 0
0
si x0 < 0
0
]0, + [
si y0 > 0
0
]
, 0[ si y0 < 0
Para determinar el comportamiento geom´etrico de las dem´as ´orbitas, observamos que si hacemos
tenemos
x = eλ1 t x0 y = eλ2 t y0
x y = y0 x0
λ2 /λ1
t
∈ R, x = 0, y = 0 0
0
y o´ x = x0 y0
seg´ un λ1 = 0 ´o λ2 = 0 respectivamente.
λ1 /λ2
De esta manera las ´orbitas est´an contenidas en curvas del plano del tipo: f (x) = C x α
||
cuya traza depende del signo de C y del valor de α. Como el comportamiento geom´etrico de las o´rbitas depende de los signos de los autovalores λ1 y λ2 , se presentan los siguientes casos:
70 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales a) Si λ1 < λ2 < 0, entonces lim ϕJ A (t, p0 ) = (0, 0), t→+∞
2
∈ R − {(0, 0)}.
para todo p0 Por otro lado
lim ϕJ A (t, p0 ) =
t→−∞
∞ ∞ −∞ ∞ −∞ −∞∞ −∞ (+ ( ( (+
, + ), si x0 > 0, y0 , + ), si x0 < 0, y0 ), si x0 < 0, y0 , ), si x0 > 0, y0 ,
>0 >0 <0 <0
De esta manera, todas las trayectorias vienen del infinito y tienden al origen cuando t + a excepci´on del origen que permanece fijo, tal como se muestra en la Figura. En este caso decimos que 0 R2 es un atractor o pozo.
→ ∞
∈
{
∈ }
b) Si λ1 < λ 2 = 0 se tiene que Nu(J A ) = (0, y); y R luego J A (0, y0 ) = (0, y0 ) . Para determinar las otras ´orbitas, consideremos x0 = 0. Como ϕJ A (t, p0 ) = eλ1 t x0 , y0 , se tiene
O
{
}
lim ϕJ A (t, p0 ) = (0, y0 )
t→+∞
lim ϕJ A (t, p0 ) =
t→−∞
∞ −∞
(+ , y0 ), si x0 > 0 ( , y0 ), si x0 < 0
Concluimos que las o´rbitas est´an contenidas en rectas horizontales que se acercan al eje vertical y orientadas de acuerdo a la Figura 3.6-(b). c) Si λ1 < 0 < λ2 tenemos lim ϕJ A (t, p0 ) =
t→+∞
lim ϕJ A (t, p0 ) =
t→−∞
∞ −∞ (+∞, 0), (−∞, 0),
(0, + ), si y0 > 0 (0, ), si y0 < 0 si x0 > 0 si x0 < 0
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
71
De esta manera las ´orbitas son curvas que tienen un comportamiento geom´etrico muy parecido a las hip´erbolas y est´an orientadas de acuerdo a la Figura . Decimos que el origen es un punto silla . d) Si 0 = λ1 < λ 2 se tiene que Nu(J A ) = (x, 0); x R luego J A (x0 , 0) = (x0 , 0) . Para determinar las otras ´orbitas, consideremos y0 = 0. Como ϕJ A (t, p0 ) = x0 , eλ2t y0 , se tiene
O
{
}
{
∈ }
lim ϕJ A (t, p0 ) = (x0 , 0)
t→−∞
lim ϕJ A (t, p0 ) =
t→+∞
∞ −∞
(x0 , + ), si y0 > 0 (x0 , ), si y0 < 0
Concluimos que las ´orbitas est´an contenidas en rectas verticales que se alejan del eje horizontal y orientadas de acuerdo a la Figura. e) Si 0 < λ 1 < λ 2 tenemos lim ϕJ A (t, p0 ) = (0, 0)
t→−∞
lim ϕJ A (t, p0 ) =
t→+∞
∞ ∞ −∞ ∞ −∞ −∞∞ −∞ (+ ( ( (+
, + ), si x0 > 0, y0 , + ), si x0 < 0, y0 ), si x0 < 0, y0 , ), si x0 > 0, y0 ,
>0 >0 <0 <0
De esta manera, todas las trayectorias emanan del origen y tienden al infinito, a excepci´on del origen que permanece fijo. En este caso decimos que 0 R2 es un repulsor o fuente .
∈
2) Si las ra´ıces son reales e iguales, entonces la Forma Can´onica de Jordan viene dada por J A =
λ 0 0 λ
o´
J A =
λ 1 0 λ
72 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales Analicemos cada caso.
λ 0 y λ < 0, entonces el flujo en el 0 λ punto p0 = (x0 , y0 ) es ϕJ A (t, p0 ) = eλt x0 , eλt y0 = eλt p0 , se sigue que J A ((0, 0)) = (0, 0) y todas las dem´as o´rbitas son rectas, adem´as
a) Si J A =
O
{
lim ϕJ A (t, p0 ) = (0, 0)
y
t→+∞
|
}
|
∞
lim ϕJ A (t, p0 ) = + .
t→−∞
Luego se tiene el comportamiento geom´etrico de la Figura.
λ 0 y λ > 0, entonces como en el caso 0 λ anterior ϕJ A (t, p0 ) = eλt p0 , pero ahora
b) Si J A =
|
|
lim ϕJ A (t, p0 ) = +
t→+∞
∞
y
lim ϕJ A (t, p0 ) = (0, 0).
t→−∞
λ 1 y λ < 0 entonces el flujo viene 0 λ dado por ϕJ A (t, p0 ) = eλt (x0 + ty0 , y0 ). Se observa que J A ((0, 0)) = (0, 0) ,
c) Si J A =
O
{
O
J A ((x0 , 0))
=
}
∞ ×{0} ] − ∞, 0[ ×{0} ]0, + [
si x0 > 0 si x0 < 0
todas las dem´as ´orbitas se encuentran en la curva que es gr´afica de la funci´on
1 y x = x0 y + y ln λ y0
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
73
y se tiene lim ϕJ A (t, p0 ) = (0, 0)
t→+∞
y
|
|
lim ϕJ A (t, p0 ) = +
t→−∞
∞.
Este comportamiento geom´etrico se bosqueja en la Figura.
λ 1 y λ > 0 entonces el flujo es el 0 λ mismo que en el caso anterior, pero ahora se tiene
d) Si J A =
lim ϕJ A (t, p0 ) = (0, 0)
t→−∞
y
lim ϕJ A (t, p0 ) = +
t→+∞
|
|
∞.
0 1 . 0 0 Observe que Nu(J A ) = (x, 0); x R , luego J A (x0 , 0) = (x0 , 0) . Para determinar las otras ´orbitas, consideremos y0 = 0. Como ϕJ A (t, p0 ) = (x0 + ty0 , y0 ), se tiene
e) En el caso que λ = 0 tenemos que J A =
{
}
{
∈ }
O
∞ −∞ −∞
(+ , y0 ), si y0 > 0 ( , y0 ), si y0 < 0
lim ϕJ A (t, p0 ) =
t→+∞
( , y0 ), si y0 > 0 (+ , y0 ), si y0 < 0
lim ϕJ A (t, p0 ) =
∞
t→−∞
Concluimos que las ´orbitas son rectas horizontales (excepto el eje X ) orientadas de acuerdo a la Figura. ¯ = 3) Si las ra´ıces son complejas conjugadas λ = a + ib, λ a ib, entonces su forma can´onica de Jordan viene dada por no existe autoespacio en el plano real y el flujo viene a b dado por J A = , no existe autoespacio en el b a plano real y el flujo viene dado por
−
−
ϕJ A (t, p0 ) = eat (x0 cos bt
−y
0
sen bt,x0 sen bt + y0 cos bt).
74 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales Se presentan los siguientes casos: a) Si a = 0 (ra´ıces imaginarias puras) entonces la ´orbita 2 2 J A ( p0 ) es una circunferencia de radio p0 = (x0 ) + (y0 )2 , orientada de acuerdo al signo de b. En este caso decimos que el origen es un centro.
O
| |
b) Si a < 0 entonces las ´orbitas son espirales que tienden al origen cuando t + .
→ ∞
c) a > 0 entonces las ´orbitas son espirales que emanan del origen.
Observaciones: 1. El lector debe haber notado que el comportamiento de las ´orbitas no es tan simple cuando la matriz A no es inversible (vea los casos 1b, 1d y 2e). 2. Al igual que en el caso 1a, en los casos 2a, 2c y 3b el origen es la u ´ nica o´rbita puntual la cual puede ser vista como un atractor. An´alogamente, en los casos 2b, 2d y 3b el origen puede ser visto como un repulsor. 3. El comportamiento de centro s´ olo ocurre en el caso 3a.
3.4
Atractores y Repulsores de Sistemas Lineales
En la secci´on anterior hemos observado algunos comportamientos geom´etricos comunes para las o´rbitas asociadas a matrices 2 2 (repulsor, atractor). En esta secci´on vamos a caracterizarlos y generalizarlos a dimensi´on cualquiera.
×
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
75
Decimos que un punto p es un atractor (resp. repulsor) de una matriz A si y s´olo si cualquier part´ıcula que se desplaza a lo largo de las o´rbitas de A despu´es de un tiempo suficientemente grande se encuentra muy cerca (resp. muy lejos) del punto p. M´as espec´ıficamente, tenemos la siguiente definici´on. n×n
∈R
Definici´ on 3.4.1 Sea A ciado ϕA .
∈R
i) Decimos que 0 si
n
, y consideremos su flujo aso-
es un atractor (o pozo) de A si y s´olo
lim ϕA (t, x) = 0,
t→+∞
∈R
ii) Decimos que 0 s´olo si
n
|
es un repulsor (o fuente ) de A si y
|
lim ϕA (t, x) = +
t→+∞
n
∀x ∈ R . n
∞, ∀ x ∈ R − {0}.
Observaci´ on: De la definici´on se sigue directamente que 0 n n×n si y s´olo si 0 es un repulsor de R es un atractor de A R A.
∈
∈
−
Teorema 3.4.1 Dada la matriz A maciones son equivalentes:
n×n
∈R
, las siguientes afir-
≡ −I . ii) 0 ∈ R es un atractor de A. i) A
top
n
iii) Todos los autovalores de A tienen parte real negativa. iv) Existen constantes µ > 0 y K Ke −µt x , x Rn , t 0.
||∀ ∈
∀ ≥
≥ 1 tales que |ϕ
A (t, x)
|≤
76 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales
Teorema 3.4.2 Sea A equivalentes:
≡ ii) 0 ∈ R i) A
top n
n×n
∈R
. Las siguientes afirmaciones son
I . es un repulsor de A.
iii) Todos los autovalores de A tienen parte real positiva.
≥ 1 tales que |x|, ∀ t ≥ 0, ∀ x ∈ R .
iv) Existen constantes µ > 0 y K
|ϕ
A (t, x)
3.5
−1 µt
| ≥ K
e
n
Sistemas Lineales Hiperb´ olicos
Nos proponemos generalizar los resultados de la secci´on anterior en una teor´ıa que englobe los casos 1a, 1c, 1e, 2a, 2b, 2c, 2d, 3b y 3c de la Secci´on 3.3.
Definici´ on 3.5.1 Sea A
n×n
∈R
i) Decimos que la matriz A (o su sistema asociado x = Ax) es hiperb´ olico si y s´olo si todos los autovalores de A tienen parte real distinta de cero. ii) Si A es una matriz hiperb´olica, El ´ındice de estabilidad de A, denotado por i(A) es el n´umero de autovalores de A (contando multiplicidad) con parte real negativa.
Ejemplo 3.5.1 Sea A 1. 0
n
∈R
∈R
n×n
, se cumple
es un atractor de A si y s´olo si i(A) = n.
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 2. 0
∈R
n
77
es un repulsor de A si y s´olo si i(A) = 0.
∈
0 1 1 3×3 R . Sabemos que Ejemplo 3.5.2 Sea A = 1 0 1 1 1 0 los autovalores de A son λ1 = 2 y λ2 = 1 (con multiplicidad 2), luego A es una matriz hiperb´olica y i(A) = 2.
−
−
De ahora en adelante, denotaremos por Hip(Rn ) al conjunto de todas las matrices A Rn×n que son hiperb´olicas.
∈ Observaci´ on: Hip(R ) ⊆ GL(R ). n
n
Definici´ on 3.5.2 Sea A
n
∈ Hip(R )
i) El subespacio estable de A, denotado por E s (A), es el subespacio vectorial de Rn que es generado por los autovectores correspondientes a los autovalores con parte real negativa. ii) El subespacio inestable de A, denotado por E u (A), es el subespacio vectorial de Rn que es generado por los autovectores correspondientes a los autovalores con parte real positiva.
Ejemplo 3.5.3 Sea A
n×n
∈R
, se cumple
Rn es un atractor de A entonces E s (A) = 1. Si 0 E u (A) = 0 .
Rn
y
2. Si 0 Rn es un repulsor de A, entonces E u (A) = E s (A) = 0 .
Rn
y
∈
∈
{}
{}
78 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales
∈
0 1 1 3×3 1 0 1 , entonces v1 = Ejemplo 3.5.4 Si A = R 1 1 0 (1, 1, 1) es un autovector asociado al autovalor λ1 = 2 y que v2 = (1, 0, 1), v3 = (0, 1, 1) son autovectores asociados al autovalor λ2 = 1, luego
−
−
−
E s (A) = = u E (A) =
(1, 0, −1), (0, 1, −1) {(x , x , x ) ∈ R ; x + x + x = 0} (1, 1, 1) = {(α,α,α); α ∈ R}. 1
2
3
3
1
2
3
Las conjugaciones lineales respetan los espacios estables e inestables. M´as espec´ıficamente, tenemos el siguiente resultado.
Lema 3.5.1 Sean A, B Hip(Rn ). Si h GL(Rn ) es una con jugaci´on lineal entre A y B entonces i(A) = i(B) y h[E s (A)] = E s (B) y h[E u (A)] = E u (B).
∈
∈
n
Teorema 3.5.1 Sean A, B
∈ Hip(R ). Se cumple A ≡ B ⇐⇒ i(A) = i(B). top
Corolario. Sea A
n
∈ Hip(R ) con i(A) = m. Entonces A ≡ diag[I , −I ] top
m
n−m
en donde I m e I n−m son las matrices identidad de R(n−m)×(n−m) respectivamente.
Rm×m
y
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
3.6
79
Estabilidad Estructural de Campos Lineales
En la secci´on anterior hemos clasificado topol´ogicamente las matrices hiperb´olicas de Rn×n . Debemos mencionar que no existe a la fecha una clasificaci´on topol´ogica de matrices que tengan alg´ un valor con parte real 0. Por esta raz´ on es relevante pren×n guntar “que tan grande” es el conjunto R Hip(Rn ). Eso es justamente lo que haremos a continuaci´on. En lo sucesivo, denotaremos por Dr (z 0 ) C (resp. Dr [z 0 ] C) al disco abierto (resp. cerrado) centrado en z 0 C y de radio r > 0, es decir
− ⊆
{ ∈ C; |z −z | < r }
Dr (z 0 ) = z
⊆
∈
{ ∈ C; |z −z | ≤ r}
y Dr [z 0 ] = z
0
0
Asimismo, denotaremos por Σ(A) al conjunto de todos los auRn×n . Este conjunto es llamado tovalores de la matriz A espectro de A.
∈
Nuestro primer resultado establece que para que los autovalores de B Rn×n est´en tan cercanos cuanto querramos de los autovalores de una matriz A, es suficiente tomar B cerca de A.
∈
Lema 3.6.1 Sean A que si B Rn×n y B
∈
n×n
∈ R . Dado > 0, existe un δ > 0 tal − A < δ entonces Σ(B) ⊆ D (λ)
λ∈Σ(A)
Demostraci´ on. En primer lugar, observe que si A Rn×n y λ Σ(A) entonces λ A . Afirmo que si B Rn×n es tal
∈
| |≤
∈
∈
80 Teor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales
−
que B A < 1 entonces Σ(B) si tomamos µ Σ(B) entonces
⊆D
= D. En efecto,
D (λ). Observe que si
A+1 [0]
∈ |µ| ≤ B ≤ B − A + A < 1 + A
y esto prueba la afirmaci´on. Dado > 0, denotemos V =
λ∈Σ(A)
z D V entonces det(A la funci´on
∈ −
Φ:
C
×R
n×n
(z, M ) Si en
C
×R
n×n
− zI ) = 0. Esto nos induce a definir
→ →
C
Φ(z, M ) = det(M
− zI )
consideramos la norma del m´aximo
(z, M ) = max{|z |, M } entonces Φ es continua en su dominio. Como observamos anteriormente, si z D V entonces Φ(z, A) = 0, por la continuidad de Φ existe δ z > 0 tal que si w z < δ z y M A˜ < δ z entonces det(M wI ) = Φ(w, M ) = 0, es decir w / Σ(M ). Por otro lado, es claro que
∈ − −
| − |
D
− V ⊆
− ∈
Dδz (z )
z∈D−V
−
y como D V es compacto, se tienen que existen z 1 , z 2 , . . . , zr D V tal que
−
∈
− V ⊆ D (z ) ∪ · · · ∪ D (z ) Tomando δ = min{δ , . . . , δ , 1}, dado B ∈ R tal que B − A < δ , tenemos que si µ ∈ D − V entonces existe j ∈ {1, 2, . . . , r} tal que µ ∈ D (z ) y como B − A < δ de lo anterior tenemos que µ ∈ / Σ(B), es decir D − V ⊆ D − Σ(B) y desde que Σ(B) ⊆ D, se tiene Σ(B) ⊆ V . D
δz1
z1
1
δzr
r
n×n
zr
δzj
j
zj
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias opicos
81
Teorema 3.6.1 Hip(Rn ) es un subconjunto abierto y denso de Rn×n . Demostraci´ on. on. Probemos primeramente que Hip(Rn) es abierto en Rn×n . Sea A Hip(Rn) y tomemos 0 < < min Re Re((λ) ; λ Rn×n y Σ(A Σ(A) . Por el Lem Lemaa 3.6.1 3.6.1,, δ > 0 tal que si B B A < δ entonces
} −
∈
{|
∃
Σ(B Σ(B )
⊆
| ∈
∈
D 2 (λ)
λ∈Σ(A Σ(A)
∈
Si µ Σ(B Σ(B ) entonces existe un λ Como
∈ Σ(A Σ(A) tal que |µ − λ| < . 2
|Re Re((λ)| = |Re Re((λ − µ) + Re Re((µ)| ≤ |Re Re((µ − λ)| + |Re Re((µ)|, se tiene |Re Re((µ)| ≥ |Re Re((λ)| − |Re Re((µ − λ)| ≥ |Re Re((λ)| − |µ − λ| > − = 2 2 De esta manera ning´un un autovalor de B tiene parte real distinta Rn×n y de cero. cero. Hemos Hemos probado probado que δ > 0 tal que si B B A < δ entonces B Hip(Rn ).
−
∃
∈
∈
Probemos ahora que Hip(Rn) es denso en Rn×n . Sean B Rn×n y > 0. Debem Debemos os proba probarr que que exis existe te A Hip(Rn ) tal que B A < . . Para ello, defino los conjuntos
∈
∈
− 0} Σ = {λ ∈ Σ(B Σ(B ); Re Σ(B ); Re Re((λ) = 0} y Σ = {λ ∈ Σ(B Re((λ) = Es claro que Σ(B Σ(B ) = Σ ∪ Σ . Sea δ = min{|Re Re((λ)|; λ ∈ Σ }, consideremos 0 < r < min{, δ } y A = B + rI . Es claro que Σ(B ) ⇔ λ + r ∈ Σ(B Σ(B + rI ) = Σ(A Σ(A) λ ∈ Σ(B 1
2
1
2
2
eor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales 82 Teor´
∈ Σ(A Σ(A) entonces λ − r ∈ Σ(B Σ(B ). Existen dos alternativas: Si λ − r ∈ Σ entonces Re Re((λ − r) = 0, luego Re Re((λ) = r > 0. 0, luego |Re Si λ − r ∈ Σ entonces Re Re((λ − r ) = Re((λ − r)| ≥ δ . Se Si λ
1
2
sigue que
|Re Re((λ)| = |Re Re((λ − r) + r| ≥ |Re Re((λ − r)| − r ≥ δ − r > 0 0. Luego En cualquiera de los dos casos, tenemos que Re Re((λ) = B − A = r < y A ∈ Hip(R ). n
Del resultado anterior se desprende que el conjunto de las matrices que no son hiperb´olicas olicas forman un subconjunto “muy n×n fino” de R puesto que su complemento (o sea Hip( Rn )) es abierto y denso en el espacio de las matrices cuadradas. Una idea geom´ geom´etrica etrica de este comportamien comportamiento to esta dada en la siguiente siguiente n figura, en donde do nde las l as l´ıneas ıneas representa Hip(R ). Definimos a continuaci´on on el importante concepto de matriz estructuralmente estable.
Definici´ on on 3.6.1 Decimos que la matriz A Rn×n es estructuralmente estable si y s´olo olo si existe δ > 0 tal que si B Rn×n con B A < δ entonces B top A.
∈
−
∈
≡
Observaci´ on: on: Intuitivamente una matriz es estructuralmente estable estable si al pertu p erturbarl rbarlaa un poco, po co, la configuraci configuraci´ on o´n de sus ´orbitas orbitas no se altera, salvo homeomorfismos. En lo que resta de la secci´on, on, demostraremos que existe una estrecha relaci´on on entre hiperbolicidad y estabilidad estructural. Sea A Rn×n y λ Σ(A Σ(A). El n´ umero umero entero positivo m = m(λ) denotar´a la multiplicidad algebraica del autovalor λ. Del Teorema de la Descomposici´on on Espectral se tiene que si λ Σ(A Σ(A) es tal que m(λ) = m entonces dim Nu((A Nu((A λI )m) = m.
∈
∈
−
∈
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias opicos No es dif´ dif´ıcil probar que Nu((A Nu((A k m.
∀ ≥
83
k
− λI ) ) = Nu((A Nu((A − λI )
m
),
Σ(A) con m(λ) = m. ExLema 3.6.2 Sean A Rn×n y λ Σ(A Rn×n y isten constante constantess 0 > 0 y δ 0 > 0 tales que si B B A < δ 0 entonces
∈
∈
∈
−
m(µ)
µ∈Σ(B Σ(B )∩D0 (λ)
≤m
Demostraci´ on. on. Procediendo por contradicci´on, on, supongamos n×n que > 0 y δ > 0 existe Bδ R tal que Bδ A < δ y
∀
∀
∈
−
m(µ) > m
µ∈Σ(B Σ(Bδ )∩D (λ)
Tomando = δ = 1/k (k 1 tal que Bk A < y k
−
n×n
∈ N) tenemos que existe B ∈ R k
m(µ) > m
µ∈Σ(B Σ(Bk )∩D 1 (λ) k
n×n
⊆R ∈ ∩ D (λ) (repetidos de acuerdo a su multiplicidad) y m > m, ∀ k ∈ N. Sea m = min{m ; k ∈ N} > m. Para k ∈ N, denotemos ( B − µ I ) · · · (B − µ I ) C = (B Podemos suponer que dim Nu(C Nu(C ) = m y consideramos {e , . . . , e } una base ortonormal de Nu(C Nu(C ). Desde que (e ( e ), . . . , ( e ) ⊆ De esta manera, hemos construido una sucesi´on on (Bk ) tal tal que que lim lim Bk = A y µk,1 Σ(B Σ(Bk ) k, 1 , µk,2 k, 2 , . . . , µk,mk k→∞
1
k
k
k
k
k
k,1 k,1
k
k
k
n−1
S
n−1
y S
k,m
k,1 k,1
k,1 k, 1
k,m
es compacto, entonces tomando subsucesiones si es
k,m
eor´ıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales 84 Teor´ necesa necesario rio,, podemos podemos suponer que lim ek,j = e j , 1 j m . k→∞ Sea N el subsepacio vectorial de Rn generado por e1 , e2 , . . . , em . Observe que lim C k = (A λI )m = C
∀ ≤ ≤
−
k→∞
⊆ Nu(C Nu(C ), ), en efecto desde que |C e | ≤ |C e − C e | + |C e − C e | + |C e | ≤ C − C · |e | + C · |e − e | Tomando oma ndo l´ımite ımi te cuando cuan do k → ∞ tenemos que C e = 0, ∀ 1 ≤ on. j ≤ m , esto prueba la afirmaci´on. Afirmo que N j
j
k j
k
k j
j
k
k k,j j
k k,j
k,j
j
Finalmente, concluimos que
m = dim N
m
≤ dim N u(C ) = dim ((A ((A−λI )
) = dim ((A ((A λI )m ) = m
−
lo cual es una contradicci´on. on.
Rn×n y Σ(A Σ(A) = λ1 , . . . , λk Teorema 3.6.2 Sean A m(λ j ) = m j . Dado > 0, existe un δ > 0 tal que si B con B A < δ entonces
∈
{
∈R
−
m(µ) = m j ,
µ∈Σ(B Σ(B )∩D (λj )
} con n×n
∀1≤j≤k
Demostraci´ on. on. Procediendo por contradicci´on, on, supongamos que existe existe 1 > 0 tal que para todo δ > 0 existe Bδ Rn×n con existe j0 1, . . . , k tal que Bδ A < δ y δ y existe j m(µ) =
−
∈{
}
∈
µ∈Σ(B Σ(Bδ )∩D1 (λj0 )
Aux.). Por el Lema 3.6.2, 3.6.2, existen existen constantes constantes 0 > 0 m j0 (Hip. Aux.). n×n y δ 0 > 0 tales que si B R y B A < δ 0 entonces
∈
µ∈Σ(B Σ(B )∩D0 (λj )
− m(µ) ≤ m , ∀ 1 ≤ j ≤ k j
T´ opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
{
}
Tomando = min 0 , 1 tenemos
m(µ) < m j0 ,
µ∈Σ(Bδ )∩D (λj0 )
adem´ as por el Lema 3.6.1 existe un δ > 0 tal que si B k
⊆
y B
k
⊆
− A < δ entonces Σ(B) D (λ ) el B ∈ R de la hip´otesis auxiliar tenemos
j
j=1
n×n
δ
85
n×n
∈R
D1 (λ j ). Para
j=1
≤ k
n =
m(µ) =
m(µ)
j=1
µ∈Σ(Bδ )
µ∈Σ(Bδ )∩D (λj )
k
k
< m j0 +
m(µ)
j=1,j = j0
µ∈Σ(Bδ )∩D0 (λj )
m j = n
j=1
lo cual es una contradicci´on.
n
Corolario. Si A B Rn×n con B
∈ Hip(R ) entonces existe δ > 0 tal que si ∈ − A < δ entonces i(B) = i(A). Demostraci´ on. Sean λ , . . . , λ ∈ Σ(A) con m(λ ) = m , ordenados de tal manera que los r primeros tienen parte real negativa. Tomando 0 < < min{|Re(λ )|; 1 ≤ j ≤ k }, observe que para esta elecci´on del se tiene que si z ∈ D (λ ) entonces Re(z ) < 0 para 1 ≤ j ≤ r y Re(z ) > 0, ∀ r+1 < j ≤ k. Adem´as por el Teorema anterior, existe δ > 0 tal que si B − A < δ 1
k
j
j
j
j
entonces
m(µ) = m j
µ∈Σ(B)∩D (λj )
Se sigue que i(B) = i(A).
Teorema 3.6.3 A estable.
n
∈ Hip(R ) si y s´olo si A es estructuralmente