Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Problemas resueltos y propuestos
Joe García
Copyright c 2017 Joe García García
P UBLISHED
BY P UBLISHER
BOOK - WEBSITE . CO M
Licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License (the “License”). You may not use this file except in compliance with the License. You may obtain a copy of the License at http://creativecommon http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0 s.org/licenses/by-nc/3.0. Unless required by applicable law or agreed to in writing, software distributed under the License is distributed on an “AS IS ” BASIS , WITHOUT WARRANTIES OR CONDITIONS OF ANY KIND , either express or implied. See the License for the specific language governing permissions and limitations under the License. First printing, March 2017
Índice general
I
Ecuaciones diferenciales de primer orden
1
Ecuaciones diferenciales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1
Conceptos generales
7
1.1.1 Ecuaciones diferenciales diferenciales y su clasificación clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Métodos de solución . solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.4 Problemas Problemas de valor inicial y problemas problemas de valor valor de frontera frontera . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.5 Existencia de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Ejercicios 1.3 El método de separación de variables 1.3.1
Separación de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Ejercicios 1.5 Ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas 1.5.1
16 18 21 23
Ecuaciones homogéneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Ejercicios 1.7 Ecuaciones reducibles a homogéneas 1.8 Ejercicios
26 30 33
I
Ecuaciones diferenciales de primer orden
1
Ecuaciones diferenciales de primer orden
7
1.1 Conceptos generales 1.2 Ejercicios 1.3 El método de separación de variables 1.4 Ejercicios 1.5 Ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas 1.6 Ejercicios 1.7 Ecuaciones reducibles a homogéneas 1.8 Ejercicios
1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
1.1 Conceptos generales El tema de las ecuaciones diferenciales constituye una rama grande y muy importante de la matemática moderna. Desde los primeros días del cálculo el tema ha sido un área de gran investigación teórica y aplicaciones prácticas, y sigue siendo así en nuestros días. de esta afirmación, varias preguntas surgen naturalmente. ¿Qué es una ecuación diferencial y qué significa? ¿Dónde y cómo se originan las ecuaciones diferenciales y de qué uso son? Frente a una ecuación diferencial, ¿qué se hace con ella, cómo se hace y cuáles son los resultados de tal actividad? Estas preguntas indican tres aspectos principales del tema: teoría, método y aplicación. El propósito de este capítulo es presentar al lector los aspectos básicos del tema y, al mismo tiempo, dar una breve reseña de los tres aspectos que acabamos de mencionar. En el curso de este capítulo encontraremos respuestas a las preguntas generales planteadas anteriormente, respuestas que serán cada vez más significativas a medida que avanzamos en el estudio de las ecuaciones diferenciales en los siguientes capítulos.
1.1.1 Ecuaciones diferenciales y su clasificación Definición 1.1.1 — Ecuación diferencial. Una ecuación que incluye derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se denomina ecuación diferencial. Es evidente que debe hacerse algún tipo de clasificación. Para empezar, clasificamos las ecuaciones diferenciales de acuerdo con si hay una o más de una variable independiente involucrada.
Definición 1.1.2 — Ecuación diferencial ordinaria. Una ecuación diferencial que implica derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se llama ecuación diferencial ordinaria.
Definición 1.1.3 — Ecuación diferencial parcial. Una ecuación diferencial que implica derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a más de una variable independiente se llama ecuación diferencial parcial.
8
Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
Clasificamos además las ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como parciales, de acuerdo con el orden de la derivada más alta que aparece en la ecuación. Para este propósito damos la siguiente definición.
Definición 1.1.4 — Orden de una ecuación diferencial.
El orden de la derivada ordenada más alta involucrada en una ecuación diferencial se llama el orden de la ecuación diferencial.
Procediendo con nuestro estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias, introducimos ahora el importante concepto de linealidad aplicado a tales ecuaciones. Este concepto nos permitirá clasificar aún más estas ecuaciones.
Definición 1.1.5 Una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n, en la variable dependiente y y la variable independiente x , es una ecuación que puede expresarse en la forma a0 ( x) y n) + a1 ( x) y n−1) + a2 ( x) y n−2) + ... + an−2 ( x) y 00 + an−1 ( x) y 0 + an y = f ( x),
donde a 0 no es idénticamente cero. Observe que la variable dependiente y y sus diversas derivadas sólo ocurren al primer grado, que no existen productos de y y/o cualquiera de sus derivadas, y que no hay funciones trascendentales de y y/o sus derivadas.
Definición 1.1.6 — Ecuación diferencial no lineal. Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es una ecuación diferencial ordinaria que no es lineal. Las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales se clasifican además según la naturaleza de los coeficientes de las variables dependientes y sus derivadas. Habiendo clasificado las ecuaciones diferenciales de varias maneras, consideremos ahora brevemente dónde y cómo se originan realmente estas ecuaciones. De esta manera obtendremos alguna indicación de la gran variedad de temas a los que pueden aplicarse la teoría y los métodos de las ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales se producen en relación con numerosos problemas que se encuentran en las diversas ramas de la ciencia y la ingeniería. Indicamos algunos de estos problemas en la siguiente lista, que podría ampliarse fácilmente 1. El problema de determinar el movimiento de un proyectil, cohete, satélite o planeta. 2. El problema de determinar la carga o corriente en un circuito eléctrico. 3. El problema de la conducción del calor en una barra o en una losa. 4. El problema de determinar las vibraciones de un alambre o una menbrana. 5. El estudio de la tasa de descomposición de una sustancia radiactiva o la tasa de crecimiento de una población. 6. El estudio de las reacciones de los productos químicos. 7. El problema de la determinación de curvas que tienen ciertas propiedades geométricas. La formulación matemática de tales problemas da lugar a ecuaciones diferenciales. Pero ¿cómo ocurre esto? En las situaciones consideradas en cada uno de los problemas anteriores, los objetos involucrados obedecen a ciertas leyes científicas. Estas leyes implican varias tasas de cambio de una o más cantidades con respecto a otras cantidades. Recordemos que tales tasas de cambio se expresan matemáticamente por derivadas. En la formulación matemática de cada una de las situaciones anteriores, las diversas tasas de cambio se expresan así por varias derivadas y las propias leyes científicas se convierten en ecuaciones matemáticas que implican derivados, es decir, ecuaciones diferenciales. En este proceso de formulación matemática, generalmente deben hacerse ciertas suposiciones simplificadoras para que las ecuaciones diferenciales resultantes sean manejables. Por ejemplo, si la situación real en un cierto aspecto del problema es de naturaleza relativamente complicada, a me-
1.1 Conceptos generales
9
nudo nos vemos obligados a modificarlo asumiendo una situación aproximada que es relativamente simple. De hecho, a menudo se deben eliminar por completo algunos aspectos relativamente poco importantes del problema. El resultado de tales cambios de la naturaleza real de las cosas significa que la ecuación diferencial resultante es en realidad la de una situación idealizada. Sin embargo, la información obtenida a partir de tal ecuación es de mayor valor para el científico. Una pregunta natural ahora es la siguiente: ¿Cómo se obtiene información útil de una ecuación diferencial? La respuesta es esencialmente que si es posible hacerlo, uno resuelve la ecuación diferencial para obtener una solución; si esto no es posible, se utiliza la teoría de las ecuaciones diferenciales para obtener información sobre la solución. Para comprender el significado de esta respuesta, debemos discutir lo que significa una solución de una ecuación diferencial; esto se hace en la siguiente sección.
1.1.2 Soluciones Consideremos ahora el concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria de orden n .
Definición 1.1.7 Considere la ecuación diferencial ordinaria de orden n F ( x, y, y 0 , ..., y n) ) = 0,
(1.1)
donde F es una función real de (n + 2) argumentos x , y , y 0 , ..., y n) . 1. Sea f una función real definida para todo x en un intervalo real I y que tenga una derivada n-ésima (y por lo tanto también todas las derivadas ordenadas inferiores) para todo x I . La función f se llama solución explícita de la ecuación diferencial (1.1) en I si cumple los siguientes dos requisitos:
∈
F [ x, f ( x), f 0 ( x), ..., f n ) ( x)]
se define para todos los x
(1.2)
∈ I , y
F [ x, f ( x), f 0 ( x), ..., f n ) ( x)] = 0
(1.3)
para todo x I . Es decir, la sustitución de f ( x) y sus diversas derivaciones por y y sus correspondientes derivadas, respectivamente, en (1.1) reduce (1.1) a una identidad en I . 2. Una relación g ( x, y) = 0 se denomina solución implícita de (1.1) si esta relación define al menos una función real f de la variable x en un intervalo I tal que esta función es una solución explícita de (1.1) en este intervalo. 3. Las soluciones explícitas y las soluciones implícitas se llamarán generalmente soluciones simples.
∈
Por lo tanto, podemos decir que una solución de la ecuación diferencial ( 1.1) es una relación explícita o implícita entre x y y , que no contiene derivadas, lo cual satisface idénticamente (1.1). Al aplicar los métodos de los siguientes capítulos, obtendremos a menudo relaciones que podemos comprobar con facilidad, son al menos soluciones formales. Nuestro objetivo principal será familiarizarse con los métodos mismos y con frecuencia nos contentaremos con referirnos a las relaciones así obtenidas como “soluciones", aunque no tenemos ninguna garantía de que estas relaciones sean realmente soluciones implícitas verdaderas. Si se requiere un examen crítico de la situación, se debe comprobar si estas soluciones formales así obtenidas son en realidad soluciones implícitas verdaderas que definen soluciones explícitas. Consideremos ahora la significación geométrica de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones. Primero recordamos que una función real F puede representarse geométricamente por una curva y = F ( x) en el plano xy y que el valor de la derivada de F a x , F 0 ( x), puede interpretarse como la
Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
10
pendiente de la curva y = F ( x) a x . Así, la ecuación diferencial general de primer orden y 0 = f ( x, y),
(1.4)
donde f es una función real, puede interpretarse geométricamente como la definición de una pendiente f ( x, y) en cada punto ( x, y) en el que se define la función f . Supongamos ahora que la ecuación diferencial (1.4) tiene una familia de soluciones de un solo parámetro que se puede escribir en la forma y = F ( x, y),
(1.5)
donde c es la constante o parámetro arbitrario de la familia. La familia de funciones de un parámetro definida por (1.5) está representada geométricamente por una familia de curvas de un parámetro en el plano xy, cuyas pendientes están dadas por la ecuación diferencial ( 1.4). Estas curvas, las gráficas de las soluciones de la ecuación diferencial ( 1.4), se llaman las curvas integrales de la ecuación diferencial (1.4).
1.1.3 Métodos de solución Cuando decimos que resolveremos una ecuación diferencial queremos decir que encontraremos una o más de sus soluciones. ¿Cómo se hace esto y qué significa realmente? La mayor parte de este texto se refiere a varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales. El método a emplear depende del tipo de ecuación diferencial considerada, y no entraremos aquí en los detalles de métodos específicos. Pero supongamos que resolvemos una ecuación diferencial, usando uno u otro de los diversos métodos. ¿Significa esto necesariamente que hemos encontrado una solución explícita f expresada en la llamada forma cerrada de una suma finita de funciones elementales conocidas? Es decir, en términos generales, cuando hemos resuelto una ecuación diferencial, ¿significa necesariamente que hemos encontrado una “fórmula"para la solución? La respuesta es “no". Comparativamente pocas ecuaciones diferenciales tienen soluciones tan expresables; de hecho, una solución de forma cerrada es realmente un lujo en las ecuaciones diferenciales. En los capítulos 2 y 4 consideraremos ciertos tipos de ecuaciones diferenciales que tienen tales soluciones de forma cerrada y estudiaremos los métodos exactos disponibles para encontrar estas soluciones deseables. Pero, como acabamos de señalar, tales ecuaciones están en realidad en minoría y debemos considerar lo que significa “resolver” ecuaciones para las cuales los métodos exactos no están disponibles. Tales ecuaciones se resuelven aproximadamente por varios métodos, algunos de los cuales se consideran en los capítulos 6 y 8. Entre estos métodos se encuentran los métodos en serie, los métodos numéricos y los métodos gráficos. ¿Qué producen estos métodos aproximados? La respuesta a esto depende del método bajo consideración. Los métodos de la serie producen soluciones en forma de series infinitas; Los métodos numéricos dan valores aproximados de las funciones de solución correspondientes a los valores seleccionados de las variables independientes; y los métodos gráficos producen aproximadamente las gráficas de las soluciones (las curvas integrales). Estos métodos no son tan deseables como métodos exactos debido a la cantidad de trabajo implicado en ellos y porque los resultados obtenidos de ellos son solamente aproximados; Pero si los métodos exactos no son aplicables, uno no tiene más remedio que recurrir a métodos aproximados. La ciencia moderna y los problemas de ingeniería continúan dando lugar a ecuaciones diferenciales a las que no se aplican los métodos exactos, y los métodos aproximados son cada vez más importantes.
1.1.4 Problemas de valor inicial y problemas de valor de frontera En la aplicación de ecuaciones diferenciales tanto de primer orden como de orden superior, los problemas más frecuentemente encontrados son similares al problema introductorio anterior, ya
1.1 Conceptos generales
11
que implican una ecuación diferencial y una o más condiciones suplementarias que debe satisfacer la solución de la ecuación diferencial dada. Si todas las condiciones suplementarias asociadas se refieren a un valor de x , el problema se denomina problema de valor inicial (o problema de valor de frontera en un punto). Si las condiciones se relacionan con dos valores x diferentes, el problema se denomina problema de dos puntos de frontera (o simplemente un problema de valor de frontera). Con respecto a la notación, generalmente empleamos notaciones abreviadas para las condiciones suplementarias que son similares a la notación abreviada. Pasemos ahora a una consideración más detallada del problema del valor inicial para una ecuación diferencial de primer orden.
Definición 1.1.8 Considere la ecuación diferencial de primer orden y 0 = f ( x, y),
(1.6)
donde f es una función continua de x y y en algún dominio D del plano xy ; y que ( x0 , y0 ) sea un punto de D . El problema de valor inicial asociado con ( 1.6) es encontrar una solución φ de la ecuación diferencial (1.6), definida en algún intervalo real que contiene x 0 , y satisface la condición inicial
φ ( x0 ) = y0 . En la notación acostumbrada abreviada, este problema de valor inicial puede escribirse y 0 y( x0 )
=
f ( x, y),
= y0 .
Para resolver este problema, debemos encontrar una función φ que no sólo satisface la ecuación diferencial (1.6), sino que también satisface la condición inicial que tiene el valor y 0 cuando x tiene valor x 0 . La interpretación geométrica de la condición inicial, y por lo tanto del problema de valor inicial, se entiende fácilmente. La gráfica de la solución deseada φ debe pasar a través del punto con coordenadas ( x0 , y0 ). Es decir, interpretado geométricamente, el problema de valor inicial es encontrar una curva integral de la ecuación diferencial ( 1.6) que pasa por el punto ( x0 , y0 ). El método de encontrar realmente la solución deseada φ depende de la naturaleza de la ecuación diferencial del problema, es decir, de la forma de f ( x, y). Ciertos tipos especiales de ecuaciones diferenciales tienen una familia de soluciones de un parámetro cuya ecuación puede encontrarse exactamente siguiendo procedimientos definidos. Si la ecuación diferencial del problema es de algún tipo especial, se obtiene primero la ecuación de su familia de soluciones de un parámetro y luego se aplica la condición inicial a esta ecuación en un intento de obtener una solución“particular" φ que satisface todo el problema de valor inicial. Explicaremos esta situación más precisamente en el párrafo siguiente. Antes de hacerlo, sin embargo, señalamos que en general no se puede encontrar la ecuación de una familia de soluciones de un parámetro de la ecuación diferencial; entonces se deben usar métodos aproximados. Ahora supongamos que uno puede determinar la ecuación g( x, y, c) = 0
(1.7)
de una familia de soluciones de un parámetro de la ecuación diferencial del problema. Entonces, dado que la condición inicial requiere que y = y 0 a x = x 0 , dejemos x = x 0 y y = y 0 en (1.7) y obtengamos así g( x0 , y0 , c) = 0.
Resolviendo esto para c , en general obtenemos un valor particular de c que denotamos aquí por c 0 . Ahora reemplazamos la constante arbitraria c por la constante particular c 0 en (1.7), obteniendo así
Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
12 la solución particular g( x, y, c0 ) = 0.
La solución explícita particular que satisface las dos condiciones (ecuación diferencial y condición inicial) del problema se determina a partir de esto, si es posible.
1.1.5 Existencia de soluciones El problema de valor inicial, no necesita tener una solución única. Con el fin de garantizar la unicidad, algunos requisitos adicionales deben ser impuestos. Veremos qué es esto en el Teorema 1.1.1, el cual se expone a continuación.
Teorema 1.1.1 Considere la ecuación diferencial y 0 = f ( x, y),
(1.8)
dónde 1. La función f es una función continua de x y y en algún dominio D del plano xy , y 2. La derivada parcial ∂ f /∂ y es también una función continua de x y y en D; y que ( x0 , y0 ) sea un punto en D . Existe una solución única φ de la ecuación diferencial (1.8), definida en algún intervalo | x x0 | h, donde h es suficientemente pequeña, que satisface la condición
− ≤
φ ( x0 ) = y0 . Este teorema básico es el primer teorema de la teoría de las ecuaciones diferenciales que hemos encontrado. Por lo tanto, trataremos de explicar su significado en detalle. 1. Es un teorema de existencia y unicidad. Esto significa que es un teorema que nos dice que bajo ciertas condiciones (expresadas en la hipótesis) existe algo (la solución descrita en la conclusión) y es única (sólo hay una de estas soluciones). No da ninguna pista sobre cómo encontrar esta solución, sino que simplemente nos dice que el problema tiene una solución. 2. La hipótesis nos dice qué condiciones se requieren de las cantidades involucradas. Se trata de dos objetos: la ecuación diferencial ( 1.8) y el punto ( x0 , y0 ). En cuanto a la ecuación diferencial (1.8), la hipótesis requiere que tanto la función f como la función ∂ f /∂ y (obtenida diferenciando f ( x, y) parcialmente con respecto a y ) debe ser continua en algún dominio D del plano xy . En lo que concierne al punto ( x0 , y0 ), debe ser un punto en este mismo dominio D, donde f y ∂ f /∂ y se comportan tan bien (es decir, continua). 3. La conclusión nos dice de qué podemos estar seguros cuando se satisface la hipótesis establecida. Nos dice que se nos asegura que existe una y una sola solución φ de la ecuación diferencial, que se define en algún intervalo | x x0 | h centrado alrededor de x0 y que asume el valor y 0 cuando x toma el valor x 0 . Es decir, nos dice que, bajo la hipótesis dada sobre f ( x, y), el problema de valor inicial y 0 = f ( x, y),
− ≤
y( x0 ) = y0 , tiene una solución única que es válida en algún intervalo sobre el punto inicial x 0 . 4. El valor de un teorema de la existencia puede valer un poco de atención. ¿De qué sirve, se podría preguntar, si no nos dice cómo obtener la solución? La respuesta a esta pregunta es muy simple: Un teorema de la existencia nos asegurará que hay una solución a buscar. Será inútil gastar tiempo, energía e incluso dinero en tratar de encontrar una solución cuando no había ninguna solucíon que encontrar. En cuanto al valor de la unicidad, sería igualmente
1.1 Conceptos generales
13
inútil perder el tiempo y la energía encontrando una solución particular sólo para saber más tarde que había otros y que el encontrado no era el que se quería. Hemos incluido esta discusión bastante larga con la esperanza de que el estudiante, que probablemente nunca antes ha encontrado un teorema de este tipo, obtendrá una idea más clara de lo que este importante teorema realmente significa. Esperamos que esta discusión le ayude a analizar los teoremas que encontrará en este libro como en otros lugares.
R
∂ f ( x, y )
Se puede demostrar que si ∂ y es continua en R, entonces f ( x, y) satisface la condición de Lipschitz. Debido a que generalmente es difícil comprobar la condición de Lipschitz, la condición de Lipschitz suele ser reemplazada por la condición más fuerte de la derivada
parcial continua
R
∂ f ( x, y ) ∂ y
en R.
El teorema de la existencia y la unicidad es una condición suficiente, lo que significa que la existencia y singularidad de la solución está garantizada cuando las condiciones especificadas se mantienen. No es una condición necesaria, lo que implica que, incluso cuando las condiciones especificadas no están todas satisfechas, todavía puede existir una solución única.
Ejemplo 1.1 Sabiendo que y = Cx2 satisface xy 0 = 2 y, discuta la existencia y la unicidad de las
soluciones del problema del valor inicial xy 0 = 2 y,
y( x0 ) = y 0 ,
para los tres casos siguientes 1. x0 = 0; 2. x0 = 0, y0 = 0; 3. x0 = 0, y0 = 0. Solución Puesto que
6
6
f ( x, y) =
2 y x
∂ f ( x, y) 2 = , ∂ y x
,
las condiciones del teorema de existencia y unicidad no se satisfacen en una región que incluye puntos con x = 0. Con la ayuda del campo de dirección como se muestra en la figura siguiente, la solución del problema de valor inicial se puede obtener fácilmente. 1. x0 = 0 Si x 0 > 0, entonces, en la región R con x > 0, existe una solución única al problema de valor inicial y0 y = 2 x2 , x > 0. x0
6
Si x 0 < 0, entonces, en la región inicial y0 y = 2 x2 , x < 0. x0
R
con x < 0, existe una solución única al problema de valor
Si x 0 > 0, entonces, en la región R incluyendo x = 0, la solución al problema de valor inicial no es única y =
y0 x20
(
x2 ,
ax2 ,
x
≥ 0,
x < 0.
siendo a una constante.
Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
14
Si x 0 < 0, entonces, en la región R incluyendo x = 0, la solución al problema de valor inicial no es única y =
(
ax2 ,
x > 0,
y0 x20
x
x2 ,
≤ 0.
siendo a una constante. 2. x0 = 0, y0 = 0 Pasando por ( 0, 0), hay infinitas soluciones y =
(
ax2 ,
x
bx2 ,
x < 0.
≥ 0,
siendo a , b constantes. 3. x0 = 0, y0 = 0 No hay soluciones que pasen por el punto ( x0 , y0 ) con y 0 = 0.
6
R
6
Si una función determinada es o no una solución de una ecuación diferencial se puede comprobar sustituyendo la función en la ecuación diferencial junto con las condiciones iniciales o de contorno si las hay.
Ejemplo 1.2 Demuestre que
y = c1 e−4 x + c2 e x
3 (13sin3 x + 9cos3 x) − 125
es una solución de la ecuación diferencial y 00 + 3 y 0 Solución
− 4 y = 6 sin3 x.
Diferenciando y sucesivamente dos veces, se obtiene
y 0 =
−4c e− 1
4 x
+ c2 e x
y 00 = 16c1 e−4 x + c2 e x
3 (39cos3 x − 27sin3 x), − 125 3 (−117sin3 x − 81cos3 x). − 125
La sustitución en la ecuación diferencial da y 00 + 3 y 0
− 4 y
3 (−117sin3 x − 81cos3 x) + 3 −4c e− − 125 3 − 125 (39cos3 x − 27sin3 x) − 4 c e− + c e −
= 16c1 e−4 x + c2 e x +c2 e x 3
− 125 (13sin3 x + 9cos3 x)
4 x
1
1
2
1
1
= 6sin3 x.
4 x
2
x
+
x
3 (−117sin3 x − 81cos3 x) − 12c e− − 125 3 (−81sin3 x + 117cos3 x) − 4c e− − 4c e − − 125 3 (−52sin3 x − 36cos3 x) − 125
= 16c1 e−4 x + c2 e x
4 x
4 x
+ 3c2 e x
−
1.1 Conceptos generales
15
Por lo tanto y = c1 e−4 x + c2 e x
3 (13sin3 x + 9cos3 x) − 125
es una solución de la ecuación diferencial.
Ejemplo 1.3 Demuestre que
u( x, t ) = 2sin
3π x
e
L
− Lπ 22
t
es una solución de la ecuación diferencial parcial 1 ∂ 2 u ∂ u = , ∂ t 9 ∂ x2 con la condición inicial u( x, 0) = 2 sin
3π x L
,
para
0
≤ x ≤ L;
y las condiciones de contorno u(0, t ) = 0, Solución
u( L, t ) = 0,
t > 0.
para
Evaluar las derivadas parciales
∂ u ∂ t ∂ u ∂ x ∂ 2 u ∂ x2
= 2sin = 2
3π x L
·
π 2
− − L2
− 3π
cos
L
3π x
3π
= 2 ( )
e
L
sin
t
,
π 2 − L · e 2 t ,
L 2
π 2 L2
3π x L
π 2
· e− L2 t .
Sustituir en la ecuación diferencial 1 ∂ 2 u 9 ∂ x2 ∂ u
∂ t
2
=
− 2 Lπ 2
sin
2
=
− 2 Lπ 2
sin
3π x L 3π x L
e
− Lπ 22 t
e
− Lπ 22 t
Compruebe las condiciones iniciales y de contorno u( x, 0)
= 2sin
u(0, t )
= 2sin
u( L, t )
= 2sin
3π x
π 2 3π x − ·0 L e 2 = 2 sin ,
L 3π · 0 L
3π · L L
L
satisface,
− Lπ 22 t = 0,
satisface,
− Lπ 22 t = 0,
satisface.
e
e
Por lo tanto u( x, t ) = 2sin
3π x L
e
− Lπ 22
t
es una solución de la ecuación diferencial parcial con las condiciones iniciales y de contorno dadas.
Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
16
1.2 Ejercicios 1. Compruebe si la función dada es solución de la ecuación diferencial.
( x + 1) y 00
a)
y = (C 1 e x + 1) x + C 2 ,
b)
y = sin(C 1 + x) + C 2 x + C 3 ,
c)
y = (C 1 + C 2 x)e x + 16 x3 e x ,
d )
y = C 1 + C 2 e3 x
− ( x + 2) y 0 + x + 2 = 0;
y 000 2 + y 00 2 = 1;
− 2 y 0 + y = xe ; − cos x + 3sin x − x − x , 1 10
y 00
2. Demuestre que la función definida por
x
1 2 6
1 9
y 00
− 3 y 0 = x + cos x.
f ( x) = c1 e4 x + c2 e−2 x
siendo c 1 y c 2 constantes arbitrarias, es una solución de la ecuación diferencial y 00
− 2 y 0 − 8 y = 0.
3. Demuestre que la función definida por f ( x) = c1 e2 x + c2 xe2 x + c3 e−2 x
donde c 1 , c 2 y c 3 son constantes arbitrarias, es una solución de la ecuación diferencial y 000
− 2 y 00 − 4 y 0 + 8 y = 0.
4. Para ciertos valores de la constante m la función definida por f ( x) = e mx es una solución de la ecuación diferencial y 000
− 3 y 00 − 4 y 0 + 12 y = 0.
Determine todos los valores de m . Resp: m = 2, m = 2, m = 3.
−
m 1 5. Para ciertos valores de la constante m la función definida por f ( x) = x es una solución de la ecuación diferencial
x3 y 000 + 2 x2 y 00
− 10 xy 0 − 8 y = 0.
Determine todos los valores de m . Resp: m = 2, m = 1, m = 4.
−
−
6. Demuestre que la función definida por f ( x) = ( 2 x2 + 2e3 x + 3)e−2 x
satisface la ecuación diferencial y 0 + 2 y = 6e x + 4 xe−2 x
y también la condición f (0) = 5.
1.2 Ejercicios
17
7. Demuestre que la función definida por 2 f ( x) = 3e2 x
2 x
− 2 xe − cos2 x
satisface la ecuación diferencial y 00
− 4 y 0 + 4 y = −8sin2 x
y también las condiciones f (0) = 2 y f 0 (0) = 4. 8. Demuestre que la ecuación diferencial de primer orden y 0 2
− 4 y = 0
tiene una familia de soluciones de un solo parámetro de la forma f ( x) = ( x + c)2 , donde c es una constante arbitraria, además de la solución extra g ( x) = 0 que no es miembro de la familia f ( x) = ( x + c)2 para cualquier elección de la constante c .
−3 x es una solución del problema de valor inicial 2 x 3 9. Demuestre que y = 4e + 2e y 00 + y 0
− 6 y = 0,
y(0) = 6, y 0 (0) = 2.
¿Es también y = 2e2 x + 4e−3 x una solución de este problema? Explica por qué si o por qué no.
410. Dado que cada solución de la ecuación diferencial y 0 + y = 2 xe− x
puede escribirse en la forma y = ( x2 + c)e− x , para cierta elección de la constante arbitraria c , resuelva los siguientes problemas de valor inicial: a)
y 0 + y = 2 xe− x , y(0) = 2. Resp: y = ( 2 + x2 )e− x .
b)
y 0 + y = 2 xe− x , y( 1) = e + 3. Resp: y = ( 3 + ex2 )e−( x+1) .
−
5 11. Dado que cada solución de la ecuación diferencial y 00
− y 0 − 12 y = 0
puede escribirse en la forma y = c1 e4 x + c2 e−3 x , para cierta elección de las constantes arbitrarias c 1 y c 2 , resuelva los siguientes problemas de valor inicial: a)
y 00 y 0 12 y = 0, y(0) = 5, y 0 (0) = 6. Resp: y = 2e−3 x + 3e4 x .
b)
y 00 y 0 12 y = 0, Resp: y = 2e−3 x .
− − − −
−
y(0) =
−2, y 0(0) = 6.
12. Toda solución de la ecuación diferencial y 00 + y = 0
puede escribirse en la forma y = c 1 sin x + c2 cos x, para cierta elección de las constantes arbitrarias c 1 y c 2 . Utilizando esta información, muestre que los problemas de fronteras (a) y (b) no poseen soluciones, pero que (c) si posee solución:
Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
18 a)
y 00 + y = 0, y(0) = 0, y 0 (π /2) = 1. Resp: No poseee solución.
b)
y 00 + y = 0, y(0) = 1, y 0 (π /2) = Resp: No poseee solución.
c)
y 00 + y = 0, y(0) = 0, y 0 (π ) = 1. Resp: y = sin x.
−1.
−
6 13. Dado que cada solución de la ecuación diferencial x3 y 000
− 3 x y 00 + 6 xy 0 − 6 y = 0 2
puede escribirse en la forma y = c 1 x + c2 x2 + c3 x3 , para cierta elección de las constantes arbitrarias c1 , c2 y c3 , resolver el problema de valor inicial que consiste en la ecuación diferencial anterior más las tres condiciones y (2) = 0, y 0 (2) = 2, y 00 (2) = 6. Resp: y = ( 2 3 x + x2 ) x.
−
14. Aplicar el Teorema 1.1.1 para demostrar que cada uno de los siguientes problemas de valor inicial tiene una solución única definida en algún intervalo suficientemente pequeño | x 1| h sobre x 0 = 1:
− ≤ a)
y 0 = x2 sin y,
y(1) =
−2.
b)
y2
y 0 = x−2 ,
y(1) = 0.
15. Considere el problema de valor inicial y 0 = p ( x) y2 + q( x) y,
y(2) = 5,
donde p( x) y q( x) son ambos polinomios de tercer grado en x. Tiene este problema una solución única en algún intervalo | x 2| h sobre x 0 = 2? Explique por qué si o por qué no.
− ≤
16. Hemos afirmado que el problema de valor inicial y 0 = y1/3 ,
y(0) = 0,
tiene infinitas soluciones: a) Compruebe que esto es realmente el caso mostrando que y =
(
0, 2 ( x 3
≤ c, x ≥ c, x
− c) /
3 2
,
≥
es una solución del problema indicado para cada número real c 0. b) Cuidadosamente grafique la solución para la cual c = 0. Luego, usando este gráfico en particular, también grafique las soluciones para las cuales c = 1, c = 2 y c = 3.
1.3 El método de separación de variables Existen varias técnicas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y de orden superior. La clave en la aplicación de la técnica específica depende de la identificación del
1.3 El método de separación de variables
19
tipo de una ecuación dada. Los objetivos de este capítulo son introducir varios tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y las técnicas correspondientes para resolver estas ecuaciones diferenciales. En esta sección, se supone que x es la variable independiente y y es la variable dependiente. Soluciones en la forma explícita y = g( x) o en la forma implícita u ( x, y) = 0 son buscados. Una dificultad que podemos encontrar con ecuaciones diferenciales separables es que los procesos algebraicos que intervienen en la separación de estas variables pueden imponer una o más condiciones no contenidas en la ecuación original. No existe una prueba simple para determinar con facilidad si una ecuación de primer orden es separable. En la práctica, por lo general tratamos de separar las variables hasta que lo logramos o bien hasta que quedamos convencidos de que la ecuación no es separable.
R
1.3.1 Separación de variables Definición 1.3.1 Una ecuación de la forma F ( x)G( y) d x + f ( x)g( y) d y = 0
(1.9)
se denomina una ecuación con variables separables o simplemente una ecuación separable. En general, la ecuación separable (1.9) no es exacta, pero posee un factor de integración evidente, a 1 saber . Si multiplicamos la ecuación ( 1.9) por esta expresión, separamos las variables, f ( x)G( y) reduciendo (1.9) a la ecuación esencialmente equivalente F ( x) f ( x)
dx +
g( y) G( y)
dy = 0.
(1.10)
Esta ecuación es exacta, ya que
∂ F ( x) ∂ g( y) = 0 = . ∂ y f ( x) ∂ x G( y) F ( x)
Z
por M ( x) y
g( y)
por N ( y), la ecuación (1.10) toma la forma M ( x) dx + N ( y) dy = 0. f ( x) G( y) Dado que M es una función de x solamente y N es una función de y solamente, vemos a la vez que una familia de soluciones de un parámetro es Denota
M ( x) dx +
Z
N ( y) dy = c,
(1.11)
donde c es la constante arbitraria. Así, el problema de encontrar una familia de soluciones de la ecuación separable (1.9) se ha reducido al de realizar las integraciones ( 1.11). En este sentido, las ecuaciones separables son las ecuaciones diferenciales de primer orden más simples. Dado que obtuvimos la ecuación exacta separada (1.10) de la ecuación no exacta (1.9) multipli1 cando (1.9) por el factor de integración , las soluciones pueden haberse perdido o ganado f ( x)G( y) en este proceso. Ahora consideramos esto con más cuidado. En la multiplicación formal por el factor 1 de integración , en realidad dividido por f ( x)G( y). Lo hicimos bajo el supuesto tácito de f ( x)G( y) que ni f ( x) ni G ( y) es cero; y, bajo este supuesto, procedimos a obtener la familia de soluciones de un parámetro dada por (1.11). Ahora, debemos investigar la posible pérdida o ganancia de soluciones que pueden haber ocurrido en este proceso formal. En particular, con respecto a y como
Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
20
variable dependiente como de costumbre, consideramos la situación que ocurre si G ( y) es cero. Escribiendo la ecuación diferencial original (1.9) en la forma derivada f ( x)g( y) y 0 + F ( x)G( y) = 0,
inmediatamente notamos lo siguiente: Si y 0 es cualquier número real tal que G ( y0 ) = 0, entonces y = y0 es una solución (constante) de la ecuación diferencial original; y esta solución puede (o no) haberse perdido en el proceso formal de separación. Al encontrar una familia de soluciones de una ecuación separable de un solo parámetro, siempre haremos la suposición de que cualquier factor por el cual nos dividimos en el proceso formal de separación no es cero. Entonces debemos encontrar las soluciones y = y0 de la ecuación G( y) = 0 y determinar si alguna de éstas son soluciones de la ecuación original que se perdieron en el proceso de separación formal.
R
Cuando se divide una ecuación diferencial por una función, es importante asegurarse de que la función no es cero. De lo contrario, las soluciones pueden perderse en el proceso. Por lo tanto, el caso cuando la función es cero se debe considerar por separado para determinar si produce soluciones adicionales. Debe enfatizarse que, sólo cuando un lado de la ecuación contiene sólo la variable x y el otro lado de la ecuación contiene sólo la variable y, la ecuación puede ser integrada para obtener la solución general.
Ejemplo 1.4 Resuelva la ecuación diferencial:
( xy2 y2 + x
−
Solución
2
− 1) dx + ( x y − 2 xy + x
2
+ 2 y
− 2 x + 2) dy = 0.
Reagrupamos la ecuación
( x
− 1)( y
2
+ 1) d x + [ x2 ( y + 1)
( x
− 1)( y
2
+ 1) d x + ( x2
− 2 x( y + 1) + 2( y + 1)] d y = 0
o
− 2 x + 2)( y + 1) dy = 0
o x x2
−1
− 2 x + 2
dx +
y+1 y2 + 1
dy = 0
La integración de ambos lados da como resultado la solución general 1 ln ( x2 2
− 2 x + 2) + 12 ln( y
2
+ 1) + arctan y = c
o ln [( x2
− 2 x + 2)( y
2
+ 1)] + 2arctan y = c
La solución general se convierte en c( x2
− 2 x + 2)( y
2
+ 1) = e−2arctan y .
1.4 Ejercicios
21
Ejemplo 1.5 Resuelva la ecuación diferencial:
( x2 y3 + y + x
3 2
− 2) dx + ( x y
+ x) dy = 0,
u = xy.
Haciendo la sustitución u = xy entonces y 0 =
Solución
inicial
o
u2
u x
u
+ + x x
(u3 + u + x2
−2
+ (u2 x + x)
2
− 2 x) + (u
xu 0
+ 1)( xu 0
xu 0 u . x2
−
Reemplazamos en la ecuación
− u = 0.
x2
− u) = 0.
o x( x
2
− 2) + x(u
+ 1)u 0 = 0
⇒
(u2 + 1) du + ( x
− 2) dx = 0
La integración de ambos lados da como resultado la solución general 1
1 u3 + u + ( x 3 2
2
− 2)
= c.
Regresando a las variables de inicio, la solución general se convierte en 2 x3 y2 + 6 xy + 3( x
− 2)
2
= c.
Definición 1.3.2 Las soluciones de una ecuación diferencial que no pueden obtenerse de la solución general para cualquier valor de las constantes arbitrarias se llaman soluciones singulares.
R
Una ecuación separable variable es muy fácil de identificar, y es fácil expresar la solución general en términos de integrales. Sin embargo, la evaluación real de las integrales a veces puede ser muy difícil.
1.4 Ejercicios 1. En cada uno de los literales, determine si la ecuación diferencial es separable. Si lo es, encuentre la solución general: a)
b)
c)
y2
y 0 = 1 + x2 ;
x Resp:
d )
y3 = 32 x2 + 34 x4 + c.
y + x y 0 = 0; Resp: xy = c.
4
(2 y + xy) y 0 = 1 + + Resp:
e)
cos y · y 0 = sin( x + y); Resp: No es de variables separables. f )
y2 = 2 ln x
x2 4 + c. x x
−
4
;
4 x ; y2 y3 = 2 x2 + c.
3 y 0 = Resp: y 0 =
Resp:
( x + 1)2
− 2 y ;
y No es de variables separables.
Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
22 7g)
8 h)
9 i)
y 0 + y = y (sin x + 1); Resp: yecos x = c. y 0 =
; 2 y + x2 y Resp: y2 + 4 = c( x2 + 2).
Resp:
10 j)
11 k )
12 l)
15 ñ)
4 x + xy2
x2
y 0 = y
y + 3 1 3 2 3 y y e = ce 3 x − x + x .
2 ln y x · y 0 = 3 x√ y; 3 | x| Resp: y = ce .
e x+ y y 0 = 2 x; Resp: ce x+ y =
14 n)
16 o)
17 p)
18 q)
cos2 y dx + (1 + e− x ) sin y dy = 0; Resp: ln (1 + e x ) = sec y + c. x y 0 =
3 x2
e
; y ln y Resp: y2 ln y
1 2
−
2
= e x ( x2
− 1) + c.
x cos2 y d x + e x tan y dy = 0; Resp: 2e− x ( x + 1) = sec2 y + c. x( y2 + 1) d x + (2 y + 1)e− x dy = 0; Resp: ( x 1)e x + ln ( y2 + 1)+ arctan y = c.
−
−2( x + 1).
( x + y)2 y 0 = x 2 + y2 ; y Resp: x = c( x y)e x . x sin y · y 0 = sec y;
Resp:
x2 (2 y2 + 1) = cy2 ( x + 1)2 .
−
− 2 x + 1 ;
−
13 m)
Resp:
xy3 dx + e x dy = 0; 2 Resp: e− x + y−2 = c .
20 s)
x cos2 y d x + tan y d y = 0; Resp: x2 + tan2 y = c.
2
x2 ecos y = c .
21 t )
2 y2 + 1 ; y 0 = y x + 1 x
2
19 r )
xy3 dx + ( y + 1)e− x dy = 0; Resp: e x ( x 1) y1 2 y12 = c.
− − −
2. En cada uno de los literales, obtenga la solución general de la ecuación diferencial separable. Luego encuentre una solución particular que satisfaga la condición inicial: a)
y 0 = 3 x2 ( y + 2), y(4) = 8; 3 Resp: y = 10e x −64 2.
−
b)
x y 0 = y2 ,
Resp: c)
=
y 0 =
y = x
2 3
−1,
−
e)
x
1 y 0 = ,
Resp:
y(4) = 9; y 2 xy2 = 163 x 4.
−
y
f )
e y 0 = , x
y(1) = 4;
3. Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
y 0 =
Resp:
. x + 4 x + 133 3
−
2
h)
3
y( 1) = 6; y + 2 Resp: ( y + 2)2 = x2 2 x + 61.
y 0 =
Resp:
−
y(1) = 7;
y
2
g)
y(3) = 5; ln x.
1 + ln 3 5
x2 + 2 y 0 = ,
Resp: d )
1 y
Resp:
i)
j)
e− y = e−4
− 2sin y(1 + x) , 2
y(π ) = 4;
y3 = 6cos(1 + x) + 64
− y 3+ x4 , 2
y y 0 =
− 6cos1.
y(2) = 7;
( y + 4)2 = 133
2 y y 0 = e x− y , Resp: y2 = x .
Resp: 21.
− ln x.
2
− 3 x . y(4) = −2;
x2
, y(3) = 2; y + 4 3 y 12ln ( y + 4) = x 3
−
− 12ln6 −
1.5 Ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas a)
4 xy dx + ( x2 + 1) dy = 0, Resp: y( x2 + 1)2 = c.
b)
( xy + 2 x + y + 2) d x + ( x2 + 2 x) d y = 0, Resp: x( x + 2)( y + 2)2 = c .
c)
2 x( x2 + 1) dx + ( x4 + 1) dy = 0, Resp: ln( x4 + 1) + 2 y + 2arctan x2 = c .
d )
csc y d x + sec x dy = 0, Resp: sin x cos y = c .
23
−
e)
(e y + 1) cos x dx + e y (sin x + 1) dy = 0, Resp: (sin x + 1)(e y + 1) = c.
f )
( x + 4)( y2 + 1) dx + y( x2 + 3 x + 2) dy = 0, Resp: ( x + 1)6 ( y2 + 1) = c ( x + 2)4 .
4. Resuelva el problema de valor inicial: a)
( y + 2) d x + y( x + 4) dy = 0, Resp: ( y + 2)2 = ( x + 4)e1+ y .
y( 3) =
b)
8 cos2 y d x + csc2 x d y = 0, y(π /12) = π /4, sin2 y Resp: 4 x 2sin2 x + 1+cos2 = π 3 . y
−
−1,
−
c)
(3 x + 8)( y2 + 4) dx + 4 y( x2 + 5 x + 6) d y = 0, Resp: ( x + 2)2 ( x + 3)( y2 + 4)2 = 2304.
d )
( x2 + 3 y2 ) dx 2 xy d y = 0, Resp: y2 = x 2 (5 x 1).
−
y(2) = 6,
−
− 5 y) d x + (4 x − y) dy = 0, y(1) = 4, Resp: (2 x + y) = 12( y − x). (3 x + 9 xy + 5 y ) dx − (6 x + 4 xy) d y = 0, f ) e)
y(1) = 2,
(2 x
2
2
Resp:
2
2
2(3 x2 + 3 xy + y2 )2 = 9 x5 .
y(2) =
−6;
1.5 Ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas La mayoría de las ecuaciones diferenciales de primer orden no son separables. En algunos casos, se puede utilizar un cambio de variables para transformar una ecuación diferencial que no es separable en una que sí lo es.
1.5.1 Ecuaciones homogéneas Consideremos ahora una clase de ecuaciones diferenciales que pueden ser reducidas a ecuaciones separables a través de un cambio de variables.
Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
24
Definición 1.5.1 Se dice que la ecuación diferencial de primer orden M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0 es homogénea si, cuando se escribe en la forma derivada y 0 = f ( x, y), existe una función g tal y que f ( x, y) puede expresarse en la forma g . x
Antes de proceder a la solución real de las ecuaciones homogéneas consideraremos un procedimiento ligeramente diferente para reconocer dichas ecuaciones. Una función F se llama homogénea de grado n si F (tx , ty ) = t n F ( x, y). Esto significa que si tx y ty son sustituidos por x y y, respectivamente, en F ( x, y), y si t n es entonces factorizado, el otro factor que permanece es la expresión original F ( x, y) sí mismo. Supongamos ahora que la función M y N en la ecuación diferencial M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0 son ambas homogéneas del mismo grado n . Entonces, como M (tx, ty) = t n M ( x, y), si hacemos 1 t = , tenemos x
M
1
x
· x,
1 x
n
1
· y =
M ( x, y).
x
Claramente, esto puede escribirse como
M 1,
y
1
=
x
n
M ( x, y).
x
y de esto obtenemos inmediatamente M ( x, y) =
− 1
n
y
M 1,
x
x
.
Asimismo, encontramos N ( x, y) =
− 1
x
n
N 1,
y
x
.
Ahora escribiendo la ecuación diferencial M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0 en la forma y 0 =
( x, y) , − M N ( x, y)
encontramos y 0 =
− − − 1 x 1 x
n
M 1,
n
N 1,
y x y x
=
y x y x
M 1,
− N 1,
. y
, por lo que la ecuación M ( x, y) dx + x N ( x, y) dy = 0 es homogénea en el sentido de la definición original de homogeneidad. Por lo tanto, concluimos que si M y N en M ( x, y) d x + N ( x, y) dy = 0 son funciones homogéneas del mismo grado n , entonces la ecuación diferencial es una ecuación diferencial homogénea. Ahora mostramos que cada ecuación homogénea puede reducirse a una ecuación separable probando el siguiente teorema. Es evidente que la expresión de la derecha es de la forma g
Teorema 1.5.1 Si M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0
(1.12)
es una ecuación homogénea, entonces el cambio de las variables y = ux transforma (1.12) en una
1.5 Ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas
25
ecuación separable en las variables u y x . Demostración. Dado que M ( x, y) dx + N ( x, y) dy = 0 es homogénea, puede escribirse en la forma dy
= g
dx
y
x
.
Sea y = ux. Entonces dy
= u + x
dx
du dx
y (1.12) se convierte en du
u + x
dx
= g(u)
o
[u
− g(u)] d x + x d u = 0.
Esta ecuación es separable. Separando la variable obtenemos du u
− g(u)
+
d x x
= 0.
(1.13)
Así, para resolver una ecuación diferencial homogénea de la forma (1.12), hacemos y = ux y transformamos la ecuación homogénea en una ecuación separable de la forma ( 1.13). De esto, tenemos
Z
du u
− g(u)
+
Z
dx x
= c,
donde c es una constante arbitraria. Hacemos que F (u) denote
Z
du u
− g(u)
y volviendo a la variable dependiente original y , la solución toma la forma F
R
y
x
+ ln | x| = c.
Una ecuación diferencial homogénea no necesita ser separable. Sin embargo, una ecuación homogénea se transforma siempre en una ecuación separable mediante el cambio de variables y = ux.
Ejemplo 1.6 Resuelva la ecuación diferencial:
−
x y cos
Solución
y x
dx + x cos
y x
dy = 0.
La ecuación diferencial es homogénea. Hacemos
y = u x
⇒
y 0 = u + x u 0
Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
26
la ecuación diferencial se convierte en x cos u · (u + xu 0 ) + x
− u x cos u = 0 ⇒
cos u du =
− x1 dx
La integración de ambos lados da sin u =
− ln x + ln c.
Convertimos de nuevo a las variables originales x y y resulta en la solución general sin
y x
= ln
c
y
c = xe sin x .
⇒
x
Ejemplo 1.7 Resuelva la ecuación diferencial:
√
√
x + y − x − y √ , y 0 = √
x > 0,
x + y + x y
−
Solución
x
≥ | y|.
Hacemos una transformación algebraica
√ x + y − √ x − y √ x + y − √ x − y x − 0 √ · √ x + y − √ x − y = y = √ x + y + x − y
p − x2
y2
y
.
La ecuación diferencial es homogénea. Hacemos y = u x
y 0 = u + x u 0
⇒
la ecuación diferencial se convierte en u + x u 0 =
x
√
x2
−
2 2
− x u
⇒
ux
La integración de ambos lados da
− ln |
p − 1
u2
u du
√ − − √ −
− 1| = ln x + ln c ⇒
1
u2
c = x
1
1
u2
=
dx x
p − − 1
u2
1 .
Convertimos de nuevo a las variables originales x y y resulta en la solución general c + x =
p − x2
y2
⇒
( x + c)2 = x2 y2 .
−
1.6 Ejercicios 1. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones: a)
( x + 2 y) dx + (2 x y) dy = 0; Resp: x2 + 4 xy y2 = c .
−
b)
−
(3 x y) dx ( x + y) d y = 0; Resp: y2 + 2 xy 3 x2 = c.
−
−
−
1.6 Ejercicios c)
27
( x2 + 2 y2 ) dx + (4 xy y2 ) d y = 0; Resp: y3 6 xy2 x3 = c .
−
−
−
d )
(2 x2 + 2 xy + y2 ) d x + ( x2 + 2 xy) dy = 0; Resp: x2 ( x2 + 3 xy + 3 y2 ) = c.
e)
(2 xy + 3 y2 ) dx + (2 xy + x2 ) dy = 0, Resp: x9 y5 (5 y + 3 x) = c.
f )
y3 dx + ( x3
2
− xy ) dy = 0, y2
y = ce 2 x2 .
Resp: g)
+ y dx x y x = c sin x .
x tan
Resp: h)
y
(2 x2 + 2 xy + y2 ) d x + ( x2 + 2 xy y2 ) dy = 0, Resp: y3 3 xy2 3 x2 y 2 x3 = c.
−
i)
− x dy = 0,
3
( x + y
2
−
p
x2
− + y ) dx − xy
−
2
p
x2 + y2 dy = 0,
3 2
3 x3 ln |cx| = ( y2 + x2 ) .
Resp:
2. Suponga que la ecuación M dx + N dy = 0
(1.14)
es homogénea: a) Demuestre que la ecuación (1.14) es invariante bajo la transformación x = ku ,
y = kv,
(1.15)
donde k es una constante. b) Demuestre que la solución general de la ecuación (1.14) puede escribirse en la forma x = cφ
y
x
,
(1.16)
donde c es una constante arbitraria. c) Utilice el resultado de (b) para mostrar que la solución (1.16) es también invariante bajo la transformación (1.15). d ) Interpretar geométricamente los resultados demostrados en (a) y (c). 3. En cada uno de los literales, determine si la ecuación diferencial es homogénea. Si lo es, encuentre la solución general: a)
b)
y 0 =
x
y
+ ;
y x Resp: y2 = 2 x2 ln |cx|. y 0 =
c)
x2 y 0 = y2 + 2 xy; Resp: xy = c ( x + y).
d )
xy 0 = 2 x + 3 y; Resp: x + y = cx3 .
y
; x + y x Resp: cy = e y .
Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
28 y
e)
xy 0 = y + 2 xe− x ; y Resp: e x = ln |cx2 |.
f )
x2 y 0 3 xy 2 y2 = 0; Resp: y = cx2 ( x + y).
g)
− −
y 0 =
Resp: h)
i)
k )
x + y
y0 +
+ 2 = 0; y x Resp: ln | x + y| + x+ = c. y
m)
x dy
Resp:
;
x y e x = cx .
x
− y dx = x cot y x dx ; y
cos x = xc . 2 y
n)
−
y dx + x d y = 0; x ln | x| + tan y x = c .
x cos
Resp:
−
; y + x y Resp: c x2 + y2 = e− arctan x .
ñ)
p
x dy = y (1 + ln y Resp: y = xe cx .
2 x( x2 + y2 ) y 0 = y ( y2 + 2 x2 );
o)
xy dx + ( x2 + y2 ) dy = 0; Resp: y2 (2 x2 + y2 ) = c.
y0 =
Resp: j)
l)
y x
x2 y2
2
cy = xe .
−
y2 dx ;
Resp:
x2
y
q)
− ( x + y) dy = 0; − 2 xy − y = c. 2
y
− dy + 1
x
dx = 0;
xe x + y = c .
Resp:
( x y) dx
−
y 1 + e− x
p)
p −
x dy y d x = x2 y Resp: cx = earcsin x .
− ln x) dx;
( x2 xy + y2 ) dx xy dy = 0; y Resp: ( y x)e x = c.
−
−
−
4. En cada uno de los literales, determine si la ecuación diferencial es homogénea. Si lo es, encuentre la solución general: a)
b)
c)
p p
x y 0 = x2 + y2 ; Resp: y2 + y x2 + y2 + x2 arcsin y x = x 2 ln |cx2 |. y y x sin y 0 = x + y sin ; x x y cos x Resp: cx = e .
−
( x2
2
− 2 y ) dx + xy d y = 0; Resp: x = c x − y . 2
d )
e)
y 0 =
y 0 =
1
2
2
− y x
−2 x + 5 y ; 2 x + y √ √ [( 41 + 7) x − 2 y]
3 41 82
x2 y 0 = 3( x2 + y2 ) arctan
Resp: g)
+
2
; 2 x y Resp: cx = earcsin x .
Resp: f )
y
p r
arctan y x = cx3 .
( x2 + y2 ) dx xy d y = 0;
−
y x
p
7 xy
+ xy;
2
− 2 x − y
2
√ − 7) x + 2 y] √
= c[( 41
3 41 82
.
1.6 Ejercicios
29 y2
cx2 = e x2 .
Resp: h)
i)
( x + y) dx + x dy = 0; Resp: x( x + 2 y) = c. y 0 =
Resp: j)
l)
y
+ sin ;
x x y x cot 2 x = c.
p p − − −
( x + xy) y 0 = x 2
Resp: k )
y
arcsin y x
√ −
1 x
x2 y2 + xy + y2 ; x2 y2 = ln |cx|.
( xy x) dy + y d x = 0, Resp: 2 x + ln | y| = 2. y
y(1) = 1;
q p p −
( y + x2 + y2 ) d x x d y = 0, Resp: x2 = y + x2 + y2 .
y(1) = 0;
5. En cada uno de los literales, determine la solución general:
a)
b)
xy 0 = y +
Resp: c)
xy 0
Resp: e)
y(1) =
π
−6.
1 2
−
− y = ln y −y ln x , y = xe
√
1+ln x2
y(1) = e;
.
− 3 x,
y(1) = 6;
1 ln |2 y2 + 3 x2 | + 1 arctan 2 6
q
√
y(e) = 9e;
√ 9 − 4.
y = 4 ln | x| + 2 x
2
y2 y 0 = x 2 +
y 3 x
,
y(e) = 2e;
y3 = x 3 (3 ln x + 5).
− 2 y) y 0 = x − y, y(1) = 4; Resp: 2 y − 2 xy + x = 25. x − y , y(2) = 8; i) y 0 =
h)
;
, y(1) = 4; x 2 x2 ) = 4 x3 .
√
Resp:
y(3) = 0;
y 2
xy 0 = y + 4 xy,
Resp: g)
y(3
y2 ,
y arcsin x
( x + 2 y) y 0 = y Resp:
f )
x2
x = e
xy 0 = 3 y +
Resp: d )
p − p −
xy 0 = x2 + y2 + y, Resp: y = 16 ( x2 9).
( x
2
2
x2
2
2
q 2 y 3 x
√
1 arctan(2 6). = 12 ln |75| + √ 6
Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden √ √ 2 5+18 √ √ ( 5−5+1 x1)− x+2 y2 yx√ 5 = 2√ . [( ) ] ( 5−18)2 5
30 Resp:
1.7 Ecuaciones reducibles a homogéneas Definición 1.7.1 Consideremos la ecuación diferencial y 0 =
f
ax + by + c dx + ey + h
(1.17)
en la que a , b , c , d , e y h son constantes. Si x = 0, podemos escribir esta ecuación como
6
y 0 = f
y
a + b x + c x1 y
d + e x + h x1
!
Podemos observar que cuando la ecuación (1.17) se escribe en esta forma es homogénea exactamente cuando c = h = 0; si c = 0 o h = 0, la ecuación (1.17) no es homogénea.
6
6
R
La idea es hacer que u = x r y v = y k e intentar elegir las constantes r y k de modo que la ecuación (1.17) sea homogénea en términos de u y v .
R
Supongamos que cuando c y/o h es distinto de cero, de modo que la ecuación ( 1.17) no es homogénea. Sustituimos el cambio de variables en la ecuación (1.17) y obtenemos
−
dv du
=
f
=
f
−
a(u + r ) + b(v + k ) + c d (u + r ) + e(v + k ) + h
au + bv + (ar + bk + c)
du + ev + (dr + ek + h)
esta ecuación es homogénea exactamente cuando
(
ar + bk + c = 0 dr + ek + h = 0
Estas ecuaciones tienen solución para r y k cuando ae bd = 0. Aquí, utilizamos las soluciones de r y k en el cambio de variables u = x r y v = y k , resultando una ecuación diferencial homogénea en términos de u y v.
−
− 6 −
Si encontramos una ecuación diferencial de la forma ( 1.17) en la que ae caso tenemos que hacer otro cambio de variables. Ahora sea v =
ax + by
(1.18)
a
suponiendo que a = 0. Como
6
v =
− bd = 0, en este
b a
=
e
, entonces d
d x + ey d
Calculamos dv dx
= 1 +
b dy a dx
⇒
dy dx
=
a b
− dv dx
1
(1.19)
1.7 Ecuaciones reducibles a homogéneas
31
Sustituimos las ecuaciones (1.18) y (1.19) en la ecuación (1.17) para obtener a b
− dv
1
dx
= f
av + c
dv + h
⇒
dv dx
b
= 1 + f a
av + c
dv + h
ésta ecuación es separable. En forma diferencial se puede escribir como 1 1 + ba f
av+c dv +h
dv = dx .
Resolvemos esta ecuación y luego escribimos la solución general en términos de x e y .
Ya hemos hecho uso de transformaciones para reducir las ecuaciones homogéneas a tipos más manejables. Otro tipo de ecuación que se puede reducir a un tipo más básico por medio de una transformación adecuada es una ecuación de la forma
(a1 x + b1 y + c1 ) dx + (a2 x + b2 y + c2 ) dy = 0. Se establece el siguiente teorema con respecto a esta ecuación.
Teorema 1.7.1 Considere la ecuación (a1 x + b1 y + c1 ) dx + (a2 x + b2 y + c2 ) d y = 0
(1.20)
donde a 1 , b 2 , c 1 , a 2 , b 2 y c 2 son constantes. a2 b2 Caso 1. Si = , entonces la transformación a1 b1
6
x = X + h, y = Y + k ,
donde (h, k ) es la solución del sistema a1 h + b1 k + c1 = 0, a2 h + b2 k + c2 = 0,
reduce la ecuación (1.20) a la ecuación homogénea
(a1 X + b1Y ) dX + (a2 X + b2Y ) dY = 0 en las variables X y Y . a2 b2 = = k , entonces la transformación z = a1 x + b1 y reduce la ecuación (1.20) a Caso 2. Si a1 b1 una ecuación separable en las variables x y z .
Ejemplo 1.8 Resuelva la ecuación diferencial:
( x
− 2 y + 1) dx + (4 x − 3 y − 6) dy = 0. Solución Aquí a = 1, b = −2, a = 4, b = −3, y así 1
1
2
2
a2 a1
= 4 pero
b2 b1
=
Por lo tanto, este es el Caso 1 del teorema 1.20. Hacemos la transformación
(
x = X + h, y = Y + k ,
3 2
6=
a2 . a1
Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden
32
donde ( h, k ) es la solución del sistema
(− h
2k + 1 = 0,
4h
− 3k − 6 = 0.
La solución de este sistema es h = 3, k = 2, y entonces la transformación es
(
x = X + 3, y = Y + 2.
Esto reduce la ecuación propuesta en la ecuación homogénea
( X 2Y ) dX + (4 X 3Y ) dY = 0.
−
−
(1.21)
Ahora siguiendo el procedimiento de la sección anterior, primero ponemos esta ecuación homogénea en la forma Y X
−2 = dX 3 − 4 1
dY
Y X
y hacemos que Y = uX para obtener u + X
du dX
=
Esto se reduce a
Pasos para eq Homogenea
− 2u , 3u − 4
1
(3u 3u2
− 4) du = − dX . − 2u − 1 X
(1.22)
Integrando, obtenemos 1 ln |3u2 2
− 2u − 1| −
o ln (3u
2
2
− 2u − 1) − ln
o ln
(3u + 1)5 u
−1
o, por último,
3u
c 41
X 4
X 4 |(3u + 1)5 | = c|u
−
−3
3u + 1
= ln
3 3u 3 ln = 4 3u + 1 3
− ln | X | + ln |c |, 1
c 41
= ln
,
X 4
,
− 1|,
donde c = c41 . Estas son las soluciones de la ecuación separable (1.22). Ahora reemplazando v por Y , obtenemos las soluciones de la ecuación homogénea (1.21) en la forma X
|3Y + X |5 = c|Y X |.
−
−
−
Finalmente, reemplazando X por x 3 y Y por y 2 de la transformación original, obtenemos las soluciones de la ecuación diferencial propuesta en la forma
|3( y
− 2) + ( x − 3)|
5
= c|( y
− 2) − ( x − 3)|
o
| x + 3 y
− 9|
5
= c| y x + 1|.
−
1.8 Ejercicios
33
Ejemplo 1.9 Resuelva la ecuación diferencial:
( x + 2 y + 3) dx + (2 x + 4 y
− 1) dy = 0. a2 a1
Aquí a 1 = 1, b 1 = 2, a 2 = 2, b 2 = 4, y teorema 1.20. Hacemos la transformación Solución
=
b2 b1
= 2. Por lo tanto, este es el Caso 2 del
z = x + 2 y,
y la ecuación propuesta se transforma en
( z + 3) dx + (2 z
− 1) dz −2 dx = 0
o 7 dx + (2 z
− 1) d z = 0,
que es separable Integrando, tenemos 7 x + z2
− z = c.
Sustituyendo z por x + 2 y, obtenemos la solución de la ecuación propuesta en la forma 7 x + ( x + 2 y)2
− ( x + 2 y) = c
o x2 + 4 xy + 4 y2 + 6 x
− 2 y = c.
1.8 Ejercicios 1. Resuelva cada ecuación diferencial haciendo una transformación adecuada: a)
(5 x + 2 y + 1) dx + (2 x + y + 1) dy = 0; Resp:
.
− (6 x − 2 y − 3) dy = 0; Resp: 2 y − x − ln |3 x − y − 2| = c. ( x − 2 y − 3) dx + (2 x + y − 1) dy = 0; c)
b)
(3 x y + 1) dx
−
Resp:
d )
(10 x Resp:
e)
.
− 4 y + 12) dx − ( x + 5 y + 3) dy = 0; .
(3 + 2 x + 4 y) y 0 = 1 + x + 2 y; Resp: 8 y 4 x + ln |4 x + 8 y + 5| = c ,
4 x + 8 y + 5 = 0.
−
f )
− √ − 2) y 0 = 2 x ++ y − 1; Resp: 2 arctan √ = ln[( y + 1) ( x y
y 1 2( x 1)
−
2
+ 2( x
2
− 1) ] + c.
