Exerc´ıcios Resolvidos
Diego Oliveira - Vit´oria oria da Conquista/BA
Exerc Exe rc´ ´ıcio ıcioss Resol Res olvi vido dos: s: EDO Homo Ho mogˆ gˆ enea ene a Contato: Contato:
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Atualizado em 11/09/2016
Como resolver uma EDO homogˆ enea? enea?
dy du = u + u + x x na EDO; dx dx c˜ao ao de vari´aveis aveis separadas; Passo 2: resolvemos a EDO como uma equa¸c˜ caao y ˜o y = xu = xu e Passo 1: Primeiro fazemos as substitui¸c˜ aveis aveis originais. Passo 3: voltamos as vari´
c˜ao ao da equa¸ eq ua¸c˜ c˜ao: ao: Exemplo 1: Determine a solu¸c˜ x
dy y − y ln + 1 = 0 dx x
Solu¸ c˜ cao: ˜ Passo 1:
Fazendo a substitui¸c˜ caao y ˜o y = xu = xu e
du x u + x + x dx
+ x ⇒ xu + xu x2
⇒ x 2
xu + 1 = 0
− xu ln
du ⇒ x u + x + x dx
dy du = u + u + x x na EDO chegamos a equa¸c˜ cao a˜o (1), dx dx
x
− xu (ln (u) + 1) = 0
du = 0 − xu · xu · ln ln (u) − xu = xu dx
du − xu − xu · · ln ln (u) = 0 (1) (1) dx
Passo 2:
Ap´ os os a substitui¸c˜ cao a˜o (1) se torna uma EDO de vari´aveis aveis separ´aveis aveis e pode ser resolvida com facilidade. ⇒
du x = 2 dx u · ln · ln (u) x
⇒
du dx = u · ln · ln (u) x
1
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integrando ambos os termos da equa¸c˜ cao a˜o acima ⇒ ln( ln (ln( ln(|u|)) + c + c1 = ln = ln((x) + c + c2 (sendo c (sendo c uma constante) exponenciando eln(ln(|u|))+c = e ln(x)+c 1
2
⇒ e ln(ln(|u|)) · ec = e ln(x) · ec 1
2
⇒ ln( ln (|u|) · e · ec = x · x · e ec 1
2
e c ec
2
⇒ ln( ln (|u|) = x · x ·
1
ec de k de k,, ec 2
Chamando
1
⇒ ln( ln (|u|) = kx k x exponenciando novamente novamente eln(|u|) = e kx ⇒ |u| = e = e kx (Solu¸c˜ c˜ao ao da equa¸c˜ c˜ao ao (1)) Passo 3:
Resolvida Resolvi da a EDO atrav´es es da t´ecnica ecnica de separa¸c˜ c˜ao ao de vari´aveis aveis ´e hora de escrever a solu¸c˜ c˜aaoo y encontrada em termos das vari´aveis aveis originais (x (x e y). y ). Como fizemos y fizemos y = xu = xu ent˜ ent˜ aao u o u = , assim: x |u| = e = e
kx
y ⇒ = e x
kx
⇒ |y| = | = |x x|ekx
que ´e a solu¸ sol u¸c˜ cao a˜o da EDO do enunciado.
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