PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS PROF.: RICHARD DE SOUZA COSTA CURSO DE VERÃO – JANEIRO/2014
APLICAÇÕES DE EDO EDO 1ª ORDEM 1) Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número
de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, quando ela triplicará? 2) Suponha que a população da comunidade do problema anterior seja 1. ap!s " anos. #ual
era a população inicial? #ual será a população em 1 anos? u ma taxa proporcional % população em qualquer tempo. 3) $ população de uma cidade cresce a uma Sua população inicial de 5 habitantes aumenta 15& em 1 anos. #ual será a população em " anos? 4) ' is!topo radioati(o de chumbo, )h *+, decresce a uma taxa proporcional % quantidade
presente em qualquer tempo. Sua meia (ida de "," horas. Se 1 rama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo le(ará para +& de chumbo desaparecer? 5) nicialmente ha(ia 1 miliramas de uma subst/ncia radioati(a presente. $p!s 0 horas a
massa diminui "&. Se a taxa de decrescimento proporcional % quantidade de subst/ncia presente em qualquer tempo, determinar a meia (ida desta subst/ncia. 6) Com relação ao problema anterior, encontre a quantidade remanescente ap!s * horas. 7) Em um pedaço de madeira queimada, ou car(ão, (eri2icou-se que 35,5& do 4-1 tinha se
desinterado. #ual a idade da madeira? 8) m term6metro retirado de uma sala, em que a temperatura 789, e colocado no lado 2ora
onde a temperatura 189. $p!s ,5 minuto o term6metro term6me tro marca(a 589. #ual será a temperatura marcada pelo term6metro no instante t:1 minuto? #uanto le(ará para marcar 1589? 9) Seundo a ;ei de
di2erença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar. Se a temperatura do ar *84 e o corpo se res2ria res2ria em * minutos minutos de 184 para 084, dentro dentro de quanto tempo sua temperatura temperatura descerá para "84? 10) m indi(>duo encontrado morto em seu escrit!rio pela secretária que lia imediatamente
para a pol>cia. #uando a pol>cia chea, * horas depois da chamada, examina o cadá(er e o ambiente, tirando os seuintes dados $ temperatura do escrit!rio era de *o4, o cadá(er inicialmente tinha uma temperatura de "584. ma hora depois medindo no(amente a temperatura do corpo obte(e ".*84. ' in(estiador, supondo que a temperatura de uma pessoa (i(a de "0.584, prende a secretária. )or que?
ru (>russ da rip ripe e retor retorne ne para para um camp campus us 11) Supo uni(ers uni(ersitá itário rio 2echad 2echado o com mil estuda estudantes ntes.. @etermi @etermine ne a equaçã equação o di2ere di2erenci ncial al que descre( descre(e e o número de pessoas xAtB que contrairão a ripe, se a taxa seundo a qual a doença 2or espalhada 2or proporcional ao numero de interaçCes entre os estudantes ripados e os estudantes que ainda não 2oram expostos ao (>rus. 12) Suponha um rande tanque para misturas contenha inicialmente " alCes de áua,no qual
2oram dissol(idas dissol(idas 5 libras de sal. Dua pura bombeada pra dentro do tanque e uma taxa de " alEmin, e então, quando a solução esta bem misturada, ela bombeada para 2ora seundo a mesma taxa. @etermine uma equação di2erencial para a quantidade de sal $AtB no tanque no instante t. 13) ma pequena barra de metal, cuja temperatura inicial de *84, colocada em um
recip recipie ient nte e com com áua áua 2er(e 2er(end ndo. o. #uant #uanto o temp tempo o le(a le(ará rá para para a barr barra a atin atini irr +84 +84 se sua sua temperatura aumentar *8 c em 1 seundo? #uanto tempo le(ará para a barra atinir +384?
14) m tanque contm * litros de 2luido no qual 2oram dissol(idos " ramas de sal. ma
salmoura contendo 1 rama de sal por litro então bombeada para dentro do tanque a uma taxa de ;EminF a solução bem misturada bombeada para 2ora % mesma taxa. $che o número $AtB de ramas de sal no tanque no instante t. 15) m rande tanque contm 5 alCes de áua pura. ma salmoura contendo * libras por
alão bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 alEmin. $ solução bem misturada bombeada para 2ora % mesma taxa. $che a quantidade $AtB de libras de sal no tanque no instante t. #ual a concentração da solução no tanque no instante t : 5 min? 16) m rande tanque esta parcialmente cheio com 1 alCes de um 2luido no qual 2oram
dissol(idas 1 libras de sal. ma salmoura contendo G libra de sal por alão bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 0 alEmin. $ solução bem misturada então bombeada para 2ora a uma taxa de alEmin. $che a quantidade de libras de sal no tanque ap!s " minutos. 17) Suponha que um tanque contenha uma mistura de áua e sal com um (olume inicial 1 litros
e 1 ramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de " litros por minuto possuindo uma concentração de 1 rama de sal por litro. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de * litros por minuto. (a) @etermine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t contado a partir do in>cio
do processo. (b) @e qual (alor se aproxima a concentração quando o tanque está enchendo, se a sua capacidade de * litros? 18) Suponha que um tanque contenha uma mistura de áua e sal com um (olume inicial 1 litros
e 1 ramas de sal e que áua pura seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de * litros por minuto. (a) @etermine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t contado a partir do in>cio do processo. (b) @e qual (alor se aproxima a concentração quando o tanque se aproxima de 2icar (aHio? 19) $ população de bactrias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de
bactrias no instante t. $p!s trIs horas, obser(ou-se a existIncia de bactrias. $p!s + horas, *5 bactrias. #ual era o número inicial de bactrias? 20) Suponha que em uma comunidade de 1 pessoas inicialmente apenas uma pessoa seja
portador de um (>rus e que a taxa com que o (>rus se espalha na comunidade seja proporcional tanto ao número de pessoas in2ectadas como tambm ao número de pessoas não in2ectadas. Se 2or obser(ado que ap!s semanas 5 pessoas estão in2ectadas. @etermine o número de pessoas in2ectadas em 2unção do tempo. Gabarito
x
1) 7,+* anos. 3)
dx
dA
= kx.(1000 − x )
11) dt 13) $proximadamente 3*,1 s
A( t )
=
200 − 170e
−
Q( t )
=−
12B dt
A 100
$proximadamente 15,7 s
t 50
14) 16) 0,"3 lb 17B aB
6600,66
=
2) 0 e
15)
A( t )
=
1000 − 1000e
= 100 + t − .10 .(100 + t ) −
−
t 100
; 4A5B = ,+75 lbEal
2
5
ramasF bB 71E3 ramasElitro 2 −! "#$ c ( t ) = 0 ( ) = Q t 10 .(100 − t ) ramasF bB t →100 ramasElitro 18B aB y ( t )
100
=
t
1 + 1 4
.
19) 10 bactrias
20)
EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE 1ª ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES Equações de e!"#u$$%
•
o
1 – Jrans2orme as seuintes equaçCes em lineares e re sol(a-as
dy
aB dx
cB
x
+ xy = x y !
dy dx
2 xy
eB
!
+ y = x y !
dy dx
x
bB
dy dx
dy
!
=
dB dx dy
− y + x = 0 2
+ y = y
2B dx
4
x
2
"% x
y + x y
− 2 xy = xy
!
Gabarito
y
1
=
x 2
aB
+
1 + C .e
x
2
1
y
=
y
= x
bB
"% ( x.e ) + C .x 2
cB
−
y 2
eB
!
2 x y
2
+
= x. "%
C . x 2 . y 2
=
1
dB
C x
4
y
2B
2
=−
1 "% x + C 2 2e
e 2 x
2
2 x
2
+ K
