ECUACIÓNES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y EL OPERADOR 'INTEGRADOR' Para predecir del comportamiento de un sistema físico, a menudo la construcción de l os modelos matemáticos que comprende las ecuaciones diferenciales. Los derivados miden las tasas de variación de los parámetros de un sistema con respecto a algún otro parámetro como el tiempo o el espacio. Los modelos matemáticos o ecuaciones que env uelven las derivadas son llamadas ecuaciones diferenciales. La presencia de una variable dependiente y una independiente hace de una ecuación diferencial la ecuación diferencial odinaria. Por ejemplo dy/dx+y=9 y d4y/dx4+y=9 son ecuaciones diferenciales ordinarias, don de y es la variable dependiente y x la independiente. La x representa el tiempo, espacio u otro parámetro. El orden d e la ecuación diferencia el es mayor grado de derivada que se presente en la ecuac ión. Por lo tanto, una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es de la forma f( x,y,dy/dx)=0, una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden será de la forma f (x,y,dy/dx,d2y/dx2)=0, etc. Una ecuación diferencial puede ser catalogada como ref iriéndose a si tiene o no entrada o excitación, por ejemplo: dy/dt+2y=0 - la función de entrada es cero, la variable independiente es t d2y/dt2+ 2dy/dt+8y=cost+sint - la función de entrada es cost+sint, la variable ind ependiente es t ud3v/du3+ y/du-34ycosu= 1+u2+logu - la función de entrada es 1+u2+logu, la variabl e independiente es u La solución de una ecuación diferencial ordinaria es una función que satisface la ecua ción diferencial en más de un dominio de la variable independiente. El método para enc ontrar la solución a la ecuación diferencial ordinaria puede ser analítico o numérico. L a solución analítica tiene dos componentes - la función complementaria y la integral p articular - para adquirir más experiencia y amaestrar las técnicas, modelamos y simu lamos varias ecuaciones diferenciales ordinarias en las siguientes secciones. Para hallar la solución de la ecuación diferencia en SIMULINK, siempre empleamos el operador 'integrador' no el 'diferencial'. Hay algunas razones por las que opera dor diferencial no es contratado para encontrar la solución de una ecuación diferenc ial: el flujo de entrada y salida funcional no puede ser mantenida por el operad or diferencial, las condiciones iniciales de la variable dependiente se pierde p or el operador diferencial, y un repentino cambio de función de entrada o de entra da escalón hace que el operador de lugar a un pico como salida. Sin embargo, se en cuentra el operador 'integrador' en SIMULINK, haciendo clic en esta secuencia: ' SIMULINK->Continuous->Integrator'. Cuando llevas el bloque a tu archivo modelo, aparece algo como esto: La función 1/s en el dominio o del tiempo L(Sydt)=Y(s)/s. s diferenciales es encontrar /dt, y se puede obtener como resentada como sigue:
de Laplace es equivalente a la integración en el domini Nuestro principal objetivo de simular las ecuacione la forma de onda de la y dependiente. Si tenemos dy y=Sdy/dtdt y cuya operación en SIMULINK puede ser rep
y para la segunda derivada d2y/dt2 se obtiene como y=SSd2y/dt2dtdt y la operación en SIMULINK es como sigue Similarmente, recuperar y desde d3y/dt3 -> y=SSSd3y/dt3dtdtdt puede hacerse com o sigue La ecuación diferencia también es una ecuación algebraica. Cuando varios bloques se co nectan para simular una ecuación diferencial, la igualdad de la ecuación y el flujo funcional adecuado de entrada y salida de los bloques empleados para ser manteni da. La transformada de Laplace de la integración dice que las condiciones iniciale s necesariamente siempre deben iniciar en t=0. Ya que el concepto de pasado y fu turo es relativo, se puede utilizar las condiciones iniciales para t = 0, sin la
pérdida de la generosidad 3.2 Modelación de la ecuación diferencial de primer orden La derivada mas alta en una ecuación diferencial de primer orden, es de orden 1uno , por ejemplo dy/dt +2y=0, tdy/dt + 2Lnt= Sint, dy/dt + 2y=e-2t,... etc. Para re solver este tipo de ecuaciones diferenciales, se necesita saber una condición inic ial preferiblemente el valor de la variable dependiente en el valor cero de la v ariable independiente. Empecemos con un ejemplo de la ecuación homogénea dy/dt+2y=0 con una condición inicial de y=10 para t=0. Fig 3.1. Grafica y Vs. t en 2<=t=<0 3.1.b MOdelo en SIMULINK que resuelve la ecuacion dy/dt+2y=0 3.1c. MOdelo en SIMULINK de la figura 3.2b mencionando el flujo de las funciones Fig. 3.1.d. Ventana de parametros del bloque 'Integrator' en SIMULINK
'Fig. 3.1a + 3.1b + 3.1c +3.1d' La solución analítica d la ecuación diferencial, puede encontrarse con una ecuación auxi liar, asumiendo y=emt que proporciona m+2=0 y una solución general y=Ae-2t. Con la aplicación de la condición inicial se tiene que y=10e-2t, grafica como lo que se mu estra en la Fig. 3.1a para 2<=t=<0. En una palabra, podemos resumir que se tien e: Problema espacial y solución espacial dy/dt +2y=0 con y=10 para t=0 y=10e-2t grafica fig3.1a para 2< =t=<0
Nuestro objetivo es lograr la solución que se muestra en la Fig. 3.1a para SIMULIN K. Si reorganizamos la ecuación diferencial dy/dt +2y=0 que es colocar la mayor de rivada del lado izquierdo de la ecuación dy/dt=-2y y el modelo en SIMULINK debe ma ntener la igualdad entre dy/dt=-2y. Para obtener y desde dy/dt, un integrador es necesario y la salida del integrador es y. En el lado derecho de la ecuación se t iene -2y. Multiplicando el y por -2 se obtiene -2y, para este se requiere un blo que de ganancia de valor -2. Se muestra el procedimiento en SIMULINK: -Abra un nuevo archivo modelo SIMULINK, guarde el archivo en su path de trabajo, y haga clic en el icono del buscador de librería -Lleve un bloque integrador al archivo modelo siguiendo el link 'SIMULINK ->Cont inuous->Integrador' y haga doble clic para insertar la condición inicial y(0)=10 c omo se muestra en la figura 3.1d -lleve un bloque de ganancia al archivo modelo siguiendo el link 'SIMULINK ->Mat h Operations->Gain' Fig. 3.1.e Ventanas de ajustes de parametros para resolucion ecuacion dy/dt+2y= 0
'se muestran las figuras 3.1e + 3.1f' -Haga doble clic en el bloque de ganancia para cambiar a ganancia a -2 y de la v uelta al bloque (select -> haga clic en el botón derecho -> formato -> girar el bl oque) -Lleve un bloque 'Scope' al archivo modelo siguiendo el link 'SIMULINK ->Sinks-> Scope' -Coloque los tres bloques relativamente y conecte de acuerdo a la figura 3.1b -Haga clic en 'Simulation->Simulation parameters->Solver' de la barra de menú de s u archivo modelo y coloque el tiempo de inicio como 0 y el tiempo de parada como 2, a insertar o<=t<=2 en la ventana de 'Solve Parameters' como muestra la figura 3.1e -Haga clic en el icono de iniciar la simulación 'se muestra la figura 3.1g' -haga doble clic en el bloque 'scope', lleve el puntero del Mouse al área de la am plitud de la salida, haga clic en el botón derecho -> 'Axes Properties' para ver l as propiedades de la Y abscisas como la figura 3.1g, y coloque 0 y 12 como Ymin y Ymax valores, respectivamente (Debe ser consistente con la figura 3.1a) -Todos estos pasos al final resulta la amplitud de salida de la figura 3.1f, que es exactamente la misma de la figura 3.1a Como diferentes funciones están fluyendo en el modelo SIMULINK son mostradas en la figura 3.1c. Le aconsejamos mantener los otros ajustes de la venta de dialogo de las figuras 3.1d, 3.1e, y 3.1f como están. A veces una caja de dialogo puede tener muchos parám etros de bloque. Nos dirigimos solo a los parámetros esenciales para resolver un p roblema en particular manteniendo lo otros parámetros del bloque sin cambiar. Una serie de ejemplos para modelación de ecuaciones diferenciales de primer orden se m uestran a continuación.
EJEMPLO 1 El ejemplo de ecuación diferencial inicia con que no tiene ninguna función de entrad a. Ahora Nos dirigimos a una ecuación diferencial que contiene una función de entrad a polinómica, por ejemplo, dy/dt +7y=1+t-t2. Simulemos la ecuación para 0<=t=<5 con una condición inicial y(0)=-4 Solución Analítica: La solución de prueba, ecuación auxiliar, raíz de la ecuación auxiliar, la función complem entaria, la integral particular, y la solución complementaria de la ecuación no homo génea son: y=emt m+7=0 m=-7 'se muestran las figuras 3.2a + 3.2b + 3.2c + 3.2d' ycf=Ae-7t yPI=(1+7t-t2)/(D+7) (Donde D es el operador d/dt)=-t2/7+9t/49+40/343, y y=Ae-7t-t2/7+9t/49+40/343 respectivamente La inserción de la condición inicial y(0)=-4 produce y=-1412/343e-7t-t2/7+9t/49+40/3 43 cuando se grafica entre 0<=t=<5 resulta la figura 3.2a. Basada en computación a nalítica, la inferencia puede citar: Problema espacial solución espacial dy/dt +7y =1+t-t2 con y(0)=-4 y y=-1412/343e-7t-t2/7+9t/ 49+40/343 graficada en la figura 3.2a para 0<=t=<5 Solución SIMULINK: Se reorganiza la ecuación diferencial, se obtiene dy/dt = -7y + 1+t-t2 del lado de
recho puede quedar como una suma de (-7y) y (1+t-t2) s a un bloque de sumatoria).
(puede agregar dos entrada
El polinomio 1+t-t2 puede ser generado desde una función rampa (que simula t) al pasar por un bloque definido por el usuario (que contiene el código funcional del polinomio 1+t-t2). El diseño del modelo será tal que la igualdad dy/dt y -7y + 1+t-t 2 se mantendrá. El modelo en SIMULINK esta representado el la figura 3.2c. Para la conveniencia de entendimiento, el modelo con el flujo funcional es presentado e n la figura 3.2d El procedimiento en SIMULINK a aplicar es: -Abra un nuevo archivo modelo en SIMULINK y haga clic en el icono de búsqueda en l ibrería -Lleve el bloque integrador al archivo modelo, y haga doble clic para insertar l as condiciones iniciales y(0)=-4. -Lleve el bloque ganancia al archivo modelo, y haga doble clic para cambiar la g anancia a -7 y gire el bloque. -Lleve un bloque 'Scope' y un 'Sum' al archivo modelo. -Lleve un Bloque 'Fcn' (función simulada) al archivo modelo siguiendo este link 'S imulación->Funciones definidas por el usuario->Fcn', haga doble clic al bloque par a cambiar los parámetros de la expresión a 1+u-u2 en la ventana de parámetros, este es el código para 1+t-t2 considerando a 'u' como la variable independiente. -Lleve un bloque 'Ramp' al archivo modelo siguiendo el siguiente link 'Simulatio n->Sources->Ramp' cuya ventana de parámetros aparece en la figura 3.2b haciendo do ble clic. 'se muestra la figura 3.2 f' -Coloque los bloques relativamente en el archivo modelo de acuerdo a la figura 3 .2c y conéctelos. -haga clic en 'Simulation->Simulation Parameters->Solver' en la barra de menú de a rchivo modelo y coloque el tiempo de inicio y el tiempo de parada como 0 y 5 res pectivamente, para insertar o<=t<=5. -Haga clic en el icono de iniciar la simulación, y haga doble clic en el bloque 'S cope', lleve el puntero del Mouse al área de la amplitud de la salida, haga clic e n el botón derecho-> 'Axes Properties' para ver las propiedades de la Y abcisas, y coloque la Ymin y Ymax, -5 y 1, respectivamente. -Realizando todos estos pasos, el display del Scope se muestra en la figura 3.2f q ue es idéntica a la prevista en la figura 3.2a. EJEMPLO 2
'se muestra la figura 3.3a' Encuentre la solución para dy/dt=4y2x4 con condiciones iniciales y(0)=10 para 0<=x <=2. Solución Analítica: La solución de prueba no se aplica en la ecuación, en su lugar se emplea el método de separación de variables a partir de la cual y=-5/(4x5+A).La constante arbitraria ' A' se elimina por la condición inicial y(0)=10 y se obtiene y=-10/(8x5-1), cuya gr afica se traza en la Fig. 3.3a para 0<=x<=2. Solución SIMULINK:
'se muestra la figura 3.3b' Asumiendo que la variable independiente es x como t y se obtiene la dependiente y pasando dy/dt por el operador integrador. La y se puede hallar pasando através d e un bloque de función cuadrática (para actuar como y2) y luego se puede multiplicar por un bloque 'Gain' de ganancia 4. De forma similar, se puede generar x4 y luego se multiplican 4y2 y x4 a través de un bloque 'Product' en la medida en que la igualdad de dy/dt y 4y2x4 se mantenga . 'se muestra la figura 3.3c' Como sea, el modelo en SIMULINK y la descripción del flujo funcional son presentad
os en las figuras 3.2b y 3.2c respectivamente. 'se muestra la figura 3.3d' Abrir un nuevo archivo modelo. Los ejemplos precedentes mencionan los enlaces pa ra colocar bloques 'Intregator, Gain, Ramp, Scope y Fcn' en tu archivo modelo pa ra trabajar. Ahora son necesarios dos bloques Fcn. Lleva un bloque 'Fcn' renómbralo 'Fcn1', establece la expresión funcional u2 para y2, lleva el otro bloque 'Fcn', r enómbralo 'Fcn2' y establece la expresión u4 para x4.Aparte de estos bloques, necesi tas un bloque 'Product' con dos entradas puede conseguirse en el link 'Simulink>Math Operations->Product'. Lleva todos los bloques necesarios, colócalos y conéctal os en tu archivo modelo SIMULINK como se presenta en la figura 3.3b. 'se muestra la figura 3.3e' Los bloques 'Ramp' y 'Fcn2' necesitan ser girados y uno 'Product' debe ser rotad o (Select-> botón derecho del Mouse-> Format->Rotate Block) 90° en el sentido de las agujas del reloj. Doble clic en los bloques 'Integrator' y 'Gain' para las condiciones iniciales y (0)=10 y la ganancia 4 respectivamente. Clic en 'Simulation->Simulation Parameters->Solver' en la barra de menú y coloque el tiempo de inicio (0) y el tiempo de parada (2) para la simulación, como hemos h echo. Ahora clic en el icono para iniciar la simulación. Debe aparecer una ventana de dialogo error como muestra la figura 3.3d. Vamos a investigar la solución analítica de y=-10/(8x5-1, donde se hace indefinida, con 8x51=0 o x=1/(5V8)=0.6598. el comportamiento asintótico de la función se muestra en la figura 3.3a. La simulación falla Con x=.6598 porque la computadora no puede lidiar numéricamente con el infinito. Cambiamos el tiempo de inicio y parada, por esta vía 'Simulation->Simulation Param eters->Solver' a 0 y 0.6 respectivamente y se hace clic en el icono para iniciar la simulación. SIMULINK responde con la salida del 'Scope' (Ymin y Ymax -15 y 25 respectivament e), como se muestra en la figura 3.3a es idéntica dentro del intervalo 0<=x<=0.6. El remedio para el manejo de circunstancias asintóticas se provee en la Sección 3.8 'se muestran las figuras 3.4a y 3.4b' EJEMPLO 3 Algunas ecuaciones diferenciales pueden no tener una solución o hasta cierto punto se puede obtener una solución numérica o solución numérica de la ecuación diferencial MATLAB, se puede ia. Un ejemplo puede ser la simulación de la ecuación diferencial on las condiciones iniciales y(0)=10 entre 0<=x<=3.
de forma analítica per de SIMULINK. Para la considerar como referenc (s2+y3)dy/dt=x+sinhy c
Solución SIMULINK Las figuras 3.4a y 3.4b trazan el modelo SIMULINK y el modelo con el flojo funci onal respectivamente. Haremos una breve mención de algunos detalles del proceso de construcción del modelo . - Se reorganiza la ecuación como dy/dy=(x+sinhy)/x2+y3 - Se necesitan 4 bloques de función: 'Fcn1','Fcn2','Fcn3','Fcn4' para x2, 1/(x2+y3 ), sinhy y y3 respectivamente. - Se necesitan dos bloques 'Ramp': 'Ramp1' y 'Ramp2'. El bloque 'Ramp2' se rata 90° sentido de las agujas del reloj. Pero los ajustes van de acuerdo a la figura 3 .2b 'se muestra la figura 3.4c' - El bloque 'Scope' debe ser girado a una posición relativa en el modelo. - Inyecte las condiciones iniciales y(0)=5 al bloque 'Integrator' - Ajuste el tiempo de inicio y salida como 0 y 3 respectivamente. La construcción exitosa del modelo y la simulación deben retornar por la salida del
bloque 'Scope' lo que se muestra en la Fig. 3.4c (con Ymin y Ymax ajustados a 5 y 10 respectivamente) 3.3 Modelación de la ecuación diferencial de segundo orden 'se muestra la figura 3.5a' Una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden posee el orden derivativo más al to como 2. Dos bloques 'Integrator' y dos condiciones iniciales son necesarios para simular una ecuación diferencial de segundo orden. Tomemos la ecuación 4d2y/dt2+12dy/dt+8y= 0 con las condiciones iniciales y(0)=-5 y y'(0)=3 para la simulación que será grafic ada para 0<=t<=9. Solución Analítica: Empleando la solución de prueba y=emt que provee las raíces de la ecuación auxiliar co mo m=-2 y -1, y donde la ecuación general es y=Ae-2t+Be-t. Aplicamos las condiciones iniciales y(0)=-5 y y'(0)=3 y se obtiene A+B=-5 cuya -> A=+2 -2A-B=+3 solución es -> B=-7 así se proporciona la solución final como y=2e-2t - 7e-t La argumento de esta función es mostrada en la Fig. 3.5a.por lo que nuestra condic ión es: Problema espacial Solución espacial 4d2y/dt2+12dy/dt+8y=0 con las condiciones iniciales y(0)=-5 y y'(0)=3 - and->> y=2e-2t - 7e-t graficada en la figura 3.5a 'se muestra la figur 3.5b y 3.5c' Solución SIMULINK: Reordenamos la ecuación dejando el la derivada de mayor grado del lado izquierdo d e la ecuación, se obtiene d2y/dt2=-3dy/dt-2y. Dos bloques 'Integrator' son requeri dos para obtener y desde d2y/dt2. La ganancia asociada con dy/dt y y son -3 y -2 respectivamente. El modelo SIMULINK es presentado en la Fig. 3.5b seguido de la descripción del flujo funcional en la Fig. 3.5c. 's muestra la figura 3.5d' Describimos los enlaces para traer varios bloques como se muestra en la fig.3.5b en ejemplos anteriores. El procedimiento en SIMULINK a aplicar es: -Abra un nuevo archivo modelo SIMULINK -Lleve un bloque integrador, renómbrelo 'Integrator1', ajuste la condición inicial y '(0)=3 en 'Integrator1', lleve otro bloque integrador y renómbrelo 'Integrator2' y ajuste la condición inicial y(0)=-5 en el. -Lleve un bloque de ganancia y renómbrelo 'Gain1' ajuste la ganancia a -3, lleve o tro bloque de ganancia, renómbrelo 'Gain2' ajuste la ganancia a -2, y gire ambos b loques. -Lleve un bloque 'Sum' y gírelo, y también lleve el bloque 'Scope' -Sitúe relativamente los bloques en el archivo modelo de acuerdo a la figura 3.5b y conéctelos -Ajuste el tiempo de inicio y salida a 0 y 9 respectivamente para la inserción de 0<=t<=9 -Haga clic en el icono para inicial la simulación, la salida del bloque 'Scope' se muestra en la figura 3.5d (con Ymin y Ymax como -5 y 0 respectivamente) Se pueden comparar las graficas 3.5a y 3.5d son idénticas como se esperaba. Presen tamos 3 ejemplos con simulación de ecuaciones diferenciales de segundo orden, a co ntinuación:
EJEMPLO1 Tomemos una ecuación diferencial de segundo orden que tiene función de entrada como sigue, por ejemplo, 3d2y/dt2+30dy/dt+63y=-8+3t-e-5t con condiciones iniciales y(0)=-2 y y'(0)=-900 d entro de 0<=t<=2. 'se muestran las figuras 3.6a + 3.6b +3.6c +3.6d' Solución Analítica Las raíces de de la ecuación auxiliar., la función complementaria, la integral particu lar, la ecuación general, y la solución completa considerando las condiciones inicia les son: Raíces: -7 y -3 Ycf=Ae-7t+Be-3t Ypi=-22/147+t/21+e-5t/12 Ecuación General: y=Ae-7t+Be-3t-22/147+t/21+e-5t/12 Solución Completa: y=266197/1176*e-7t-5479/24*e-3t-22/147+t/21+e-5t/12 La grafica de la función toma la forma como se muestra en la figura 3.6a. Nuestra declaración es cuestión de: Problema espacial Solución espacial 3d2y/dt2+30dy/dt+63y=-8+3t-e-5t con y(0)=-2 y y'(0)=-900 -> y vs. t graficad a como la figura 3.6ª
