UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ingeniería Química y Textil Área Académica de Ciencias Básicas APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
1. Un tanque cilíndrico de 5 ft de largo y 3 ft de radio está colocado con el eje en posición horizontal. Si se abre un agujero circular en el fondo con radio de 1 pulgada y el tanque inicialmente está lleno a la mitad de xyleno, ¿cuánto tardará el liquido en vaciarse por completo? 2. Un tanque esférico de 4 ft de radio, lleno de gasolina, tiene un agujero en el fondo de 1 pulgada de radio. ¿Cuánto tiempo necesitará la gasolina en vaciarse cuando se abra el agujero? 3. (La clepsidra o reloj de agua) Un reloj de agua de 12 horas va a ser diseñado con las dimensiones que se muestran en la siguiente figura, con la forma de la superficie de revolución obtenida al girar la curva y = f(x) alrededor alrededor del eje de las y. ¿Cuál debe ser la curva y cuál debe ser el radio del agujero circular en el fondo, para que el agua descienda a razón de 4 pulgadas por hora (in./h)? y 1 ft
4 ft y=f(x) x Flujo del agua
4. Un tanque contiene inicialmente 60 gal de agua pura. Entra al tanque, a una tasa de 2 gal /min, salmuera que contiene 1 lb de sal por galón, y la solución (perfectamente mezclada) sale de él a razón de 3 gal/min; el tanque se vacía después de 1 h exactamente. Encuéntrese la cantidad de sal que hay en el tanque después de t minutos. ¿Cuál es la máxima cantidad de sal que llega a tener el tanque? 5. Un tanque de 400 gal contiene inicialmente 100 gal de agua. Entra salmuera cuya concentración es de 1 lb de sal por galón a razón de 5 gal /s, y la salmuera mezclada en le tanque se derrama a razón de 3 gal/s. ¿Qué cantidad de sal contendrá el tanque cuando esté lleno de salmuera? 6. Considere la cascada de los dos tanques ilustrados en la siguiente figura, siendo V1 = 100 (gal) y V 2 = 200 (gal) los volúmenes de salmuera en los tanques respectivos. Cada tanque contiene inicialmente 50 lb de sal. Los tres flujos son de 5 gal/s cada uno, con agua pura fluyendo al tanque 1. (a) Encuentre la cantidad x(t) de sal en el tanque 1 al instante t. (b) Suponga que y (t) es la cantidad de sal que hay en el tanque 2 en el instante t. Demuestre en primer lugar que
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5 x 5 y dt 100 200
dy
=
−
Tanque 1
Volumen v1 Cantidad x
Volumen v2 Cantidad y
Tanque 2
y luego despéjese y(t), usando el valor de x(t) encontrado en la parte (a), (c) Finalmente, encuentre la máxima cantidad de sal que llega al tener el tanque 2. 7.
Suponga que en la cascada que se muestra en la figura anterior el tanque 1 contiene inicialmente 100 gal de alcohol etílico puro y que el tanque 2 contiene inicialmente 100 gal de agua pura. Al tanque 1 fluye agua pura a razón de 10 gal/min y en los otros dos desagües el flujo es también una tasa de 10 gal/min. (a) Encuéntrense las cantidades x(t) y y(t) de alcohol que hay en los dos tanques. (b) Encuéntrense la máxima cantidad de alcohol que llega a tener el tanque 2.
8.
Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de elipses con centro en el origen, un foco en el punto (c, 0) y semieje mayor de longitud 2c. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de circunferencias que son tangentes al eje y en el origen.
9.
Hallar el valor de K para que las parábolas y = c 1x2 + K sean las trayectorias ortogonales a la familia de elipses x 2 + 2y2 – y = c2.
10. Hallar el valor de n para que las curvas x n + yn = c1 sean las trayectorias ortogonales a la familia y
x =
1 c −
2 x
11. Se dice que una familia de curvas es autoortogonal autoortogonal si su familia de trayectorias ortogonales coincide con la familia dada. Demostrar que la familia de parábolas y2 = 2cx + c2 es autoortogonal. 12. En cierto cultivo bacteriano el coeficiente de variación del aumento del número de bacterias es proporcional al número presente. a) Si se triplica el número en 5 horas, ¿cuántas habrá presentes en 10 horas? b) ¿Cuándo será el número presente 10 veces el número inicial de bacterias? 13. Un depósito contiene inicialmente 100 litros de una solución en la que hay disueltos 20 gramos de sal. Comenzando en el instante t = 0, empieza a entrar en el deposito una solución que contiene 3 gramos de sal por litro a razón de 4 Ing. Edgar Norabuena
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lit/min. Se conserva uniforme la mezcla agitándola y esta mezcla uniforme fluye simultáneamente fuera del depósito con la misma velocidad. a) ¿Cuánta sal habrá en el depósito al cabo de 10 minutos? b) ¿Cuándo habrá 160 gramos de sal en el depósito? 14. Un depósito grande contiene inicialmente 400 litros de salmuera en la que hay 5 kilogramos de sal disuelta. A partir del instante t = 0 comienza a entrar agua pura en el depósito a razón de 20 lit/min. La mezcla se mantiene uniforme por agitación y esta mezcla uniformizada fluye al exterior a razón de 8 lit/min. a) ¿Cuál será la cantidad de sal en el depósito al cabo de 15 minutos? Hallar la concentración en ese instante. b) Si la capacidad del depósito es de 1000 litros, ¿cuál será la concentración en el momento en que rebose dicho depósito? 15. Un depósito contiene inicialmente 100 litros de agua pura. A partir del instante t = 0 comienza a entrar en el depósito, a razón de 5 lit/min, una solución que contiene 4 gramos de sal por litro. La mezcla se conserva uniforme y fluye al exterior a razón de 3 lit /min. a) ¿Cuánta sal hay en el depósito al cabo de 20 minutos? b) ¿Cuándo habrá 50 g de sal en el tanque? 16. Un tanque grande contiene inicialmente 800 litros de salmuera en la que se han disuelto 8 kilogramos de sal. A partir del instante t = 0 comienzan a entrar 3,5 lit/min de salmuera conteniendo 250 gramos de sal por litro. La mezcla se conserva uniforme y abandona el tanque a razón de 8 lit/min. a) Hallar la cantidad de sal en el tanque al cabo de una hora. b) Hallar la cantidad de sal en el tanque cuando éste contiene solamente 200 litros de salmuera. 17. Se determina que el aire de una habitación de 10 000 pies cúbicos de volumen contiene 0,15% de dióxido de carbono. A partir del instante t = 0, entra aire exterior con 0,05% de dióxido de carbono a razón de 5000 pies cúbicos por minuto a) Hallar el porcentaje de dióxido de carbono en la habitación al cabo de 3 min. b) ¿Cuándo contendrá el aire de dicha habitación 0,1% de dióxido de carbono? 18. El aire en una habitación de 10 x 4 x 5 metros, contiene 0,2% de dióxido de carbono. En el instante t = 0 comienza a penetrar en la habitación aire exterior conteniendo 0,05% de dióxido de carbono. ¿Cuántos metros cúbicos de este aire exterior se han de admitir por minuto en dicha habitación a fin de que al cabo de 30 minutos el contenido del aire interior sea 0,1%? 19. La Ley de Newton para el enfriamiento afirma que la rapidez con que un cuerpo se enfría es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio que lo rodea. Un cuerpo con una temperatura de 80º F se coloca en el instante t = 0 en un medio cuya temperatura se mantiene a 50º F. Al cabo de 5 min, el cuerpo se ha enfriado hasta los 70º F. a) Hallar la temperatura del cuerpo al cabo de 10 minutos b) ¿Cuándo será de 60º F la temperatura de dicho cuerpo?
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20. (Eliminación de drogas) Suponga que se usa pentobarbitol sódico para anestesiar a un perro: el perro queda anestesiado cuando la concentración en su corriente sanguínea es por lo menos de 45 miligramos (mg) de pentobarbitol sódico por kilogramo del peso del perro. Suponga también que el pentobarbitol sódico es eliminado de la corriente sanguínea del perro en forma exponencial, con una vida media de 5 h. ¿Qué dosis simple debe ser administrada para tener anestesiado durante una hora a un perro de 50 kg? 21. La vida media del cobalto radiactivo es de 5.27 años. Supóngase que un accidente nuclear ha dejado que el nivel de cobalto radiactivo ascienda en cierta región a 100 veces el nivel aceptable para la vida humana. ¿Cuánto tiempo pasará para que la región vuelva a ser habitable ? (Ignore la posible presencia de otros elementos radiactivos) 22. Suponga que un cuerpo mineral, formado en un antiguo cataclismo (quizá la formación de la Tierra misma) originalmente contenía el isótopo de uranio U 238 (cuya vida media 4.51 x 10 9 años), pero no plomo, producto final de la desintegración del U238 . Si la proporción actual de los átomos de U 238 al plomo en ese cuerpo mineral es de 0.9, ¿Cuándo ocurrió el cataclismo? 23. En cierta roca lunar se encontró igual contenido de átomos de potasio que de argón. Suponga que todo el argón es el resultado de la desintegración del potasio (cuya vida media es de unos 1.28 x 10 9 años) y que uno de cada nueve átomos de potasio desintegrados producen un átomo de argón. ¿Cuál es la edad de la roca, contada desde el tiempo en que contenía únicamente potasio? 24. Un tarro de crema, inicialmente a 25º C, se va a enfriar colocándola en el pórtico donde la temperatura es de 0 o C. Suponga que la temperatura de la crema ha descendido a 15º C después de 20 min. ¿Cuándo estará a 5º C? 25. Cuando se disuelve azúcar en agua, la cantidad A que permanece sin disolver después de t minutos satisface la ecuación diferencial dA / dt = - kA (k > 0). Si después de 1 min se disuelve el 25% de azúcar, ¿qué tiempo tardará en disolverse la mitad del azúcar? 26. La intensidad I de la luz a una profundidad de x metros satisface la ecuación diferencial dI / dx = (-1.4) I. (a) ¿A qué profundidad la intensidad es la mitad de la intensidad I 0 en la superficie (donde x = 0)? (b)¿Cuál es la intensidad a una profundidad de 10 metros (como fracción de I 0 )? (c)¿A qué profundidad la 1 intensidad será de la correspondiente a la superficie? 100 27. La presión barométrica p (en pulgadas de mercurio) a una altura de x millas sobre el nivel del mar satisface el problema de valores iniciales dp /dx = (- 0.2) p; p(0) = 29.92. (a) Calcule la presión barométrica a 10,000 ft y a 30,000 ft. (b) Sin acondicionamiento previo, poca gente puede sobrevivir cuando la presión desciende a menos de 15 pulgadas de mercurio. ¿Cuál es esa altura? 28. (Crecimiento de poblaciones) Cierta ciudad tenía una población de 25,000 habitantes en 1960 y una población de 30,000 en 1970. Suponiendo que su población continúe creciendo exponencialmente con un índice constante, ¿qué población pueden esperar los urbanistas que tengan la ciudad en el año 2000? Ing. Edgar Norabuena
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29. (Crecimiento de poblaciones) En cierto cultivo de bacterias, el número de éstas se han sextuplicado en 10 h. ¿Qué tiempo tardó la población en duplicar su número inicial? 30. (Fechado por radiocarbono) El carbono extraído de un cráneo antiguo contenía solamente una sexta parte del carbono C 14 extraído de un hueso de los tiempos actuales. ¿Cuál es la antigüedad del cráneo? 31. (Fechado por radiocarbono) El carbono extraído de una reliquia característica de los tiempos de Cristo contenía 4.6 x 10 10 átomos de C14 por gramo. El carbono extraído de un espécimen actual de la misma sustancia contiene 5.0 x 1010 átomos de C14 por gramo. Calcule la edad aproximada de la reliquia. ¿Cuál es su opinión sobre la autenticidad de la reliquia? 32. De acuerdo con una teoría cosmológica, había igual cantidad de los dos isótopos de uranio U235 y U238 en el momento de la creación del universo, durante el “Gran estallido”. En el momento actual hay 137.7 átomos de U 238 por cada átomo de U 235. Considerando como vida media 4.51 mil millones de años para el U 238 y 0.71 mil millones de años para el U 235, calcúlese la edad del universo. 33. Un pastel es retirado de horno a 210º F y dejado enfriarse a la temperatura ambiente, 70º F. Después de 30 min, la temperatura del pastel es de 140º F. ¿Cuándo estará a 100º F? 34. Cierta información dudosa relativa a los efectos de la feniltiourea en el consumo del agua comenzó a extenderse un día en una ciudad de 100,000 habitantes. Después de una semana 10,000 personas habían oído el rumor. Suponga que la razón de aumento del número de las que han oído el rumor es proporcional al de las que todavía no lo han oído. ¿Cuánto tiempo pasará para que la mitad de la población de la ciudad se entere de esa información? 35. Un tanque tiene la forma de un cilindro vertical; inicialmente contiene agua con una profundidad de 9 ft y un tapón en el fondo es retirado en el momento t = 0 (horas). Después de 1 h la profundidad ha descendido a 4 ft. ¿Cuánto tiempo tardará el agua en salir del tanque?
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