ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS CON FACTOR INTEGRANTE (ECUACIONES DIFERECIALES TRANSFORMABLES A EXACTAS) Algunas ecuaciones diferenciales M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 pueden resultar no ser ∂ M ( x, y) ∂N ( x, y) = exactas, es decir no se cumple que: por lo tanto se necesita un ∂ y ∂x factor integrante. Un factor integrante que solo depende de x es: Un factor integrante que depende de y: μ ( y )
h ( x )dx ∫ μ ( x) = e
= e∫
K (y )d y
El método que debería buscarse siempre en la práctica es por supuesto el método de separación de variables, donde el factor integrante es generalmente aparente puesto que M y N y N pueden cada una escribirse como el producto de una función de x y una función de y. Veamos uno de tales ejemplos usando las ideas del factor integrante y exactitud.
Si se da el caso de que:
⎡ ∂ M ( x, y) ∂N ( x, y) ⎤ ⎢ ∂y − ∂x ⎥ = h( x) es una función solamente N ( x, y) ⎣ ⎦
de “x”, entonces μ ( x)
1
= e∫
h ( x )dx
es un factor integrante; es decir, si se multiplica
Por lo tanto μ ( y)
=e
−
2
∫ y dy
−2
= e−2 ln y = eln y ⇒ μ ( y) =
1 y
2
es un factor integrante
Multiplicando la ecuación por el factor obtenido resulta:
1 y y 2 x
dx +
1
1
y
xy
( y3 − ln x)dy = 0 ⇒ 2
dx + ( y −
ln x y2
)dy = 0
Se determina el criterio de exactitud nuevamente:
1 ∂N ( x, y) 1 ∂ M ( x, y) =− 2; − 2 xy xy ∂ y ∂x Por lo tanto se puede observar que es una EDO exacta y ahora se procede a resolverla según los procedimientos adecuados. f ( x, y ) =
1
∫ xy
dx =
1 dx y
∫
x
1
⇒ f ( x, y ) = ln x + G ( y )derivando y
⎡1 ⎤ ∂ ⎢ ln x + G ( y ) ⎥ ⎣ y ⎦ = − 1 ln x + G ′( y ) ⇒ igualando ∂ y y2
−
1 y 2
ln x + G′( y ) = y −
ln x y2
⇒ G′( y) = y ⇒ ∫ G ′( y )dy = ∫ ydy ⇒ G ( y ) =
y
2
2
+c
x y x y d x + ( e e + 2 y ) dy = 0 ⇒ (e e + 1)dx
∂ M ( x, y ) = e xe y ; ∂ y
∂N ( x, y ) = e xe y ∂x
∂ (e x e y + x + G ( y )) f ( x, y ) = ∫ (e e + 1)dx = e e + x + G ( y ) ⇒ = e xe y + G ′( y ) ∂ y x
y
x
y
∫
∫
e e + G ′( y ) = e e + 2 y ⇒ G ′( y ) = 2 y ⇒ G ′( y )dy = 2 ydy = y + c x
y
x
y
f ( x, y ) = e x e y + x + 2 y + c ⇒ c = e xe y + x + 2 y 2
2
EJEMPLO 3. 3.Resolver Resolver 2 xdx + ( x ctgy) dy = 0 2
∂ M ( x, y ) ∂N (x , y ) =0≠ = 2 xctgy ∂ y ∂x
∂ M ( x, y) ∂N ( x, y) ≠ ∂ y ∂x h( x) =
⎡ ∂ M ( x, y) ∂N ( x, y) ⎤ 2 − ⇒ = − ( ) h x ⎢ ∂x ⎥⎦ N ( x, y) ⎣ ∂y x 1
Luego h( x ) en función de solo " x", por lo tanto el factor integrante es: dx 1 ∫ μ ( x) = e x = 2
−2
x
2
( x
2
∂ M ∂N = 2y ≠ =0 ∂n ∂x ⎡ ∂ M ( x, y) ∂N ( x, y) ⎤ − ⎢ ⎥ ⇒ h( x) = −2
+ y 2 − x ) dx − ydy = 0 ⇒
h( x) = μ ( x )
1
N ( x, y) ⎣
∂y
∂x
⎦
−2 dx = e ∫ = e−2 x
Multiplicar la ecuación por el factor integrante y probar de nuevo el criterio de exactitud. −2 x 2 ∂ M ∂N e y −2 x 2x = 2 ye = ⇒ −e ∫ ydy = − + G( x ) 2 ∂ y ∂x
∂ e −2 x y 2 (− + G( x ) ) = y 2e −2 x + G(′x) = x 2e −2 x + y 2e −2 x − xe − 2 x ∂ x 2 Despejar G(′ y ) e integrar el resultado con respecto a "x" (usar método de integración por partes). G(′ y ) = x 2e −2 x − xe −2 x Cambios de variables sugeridos para cada una de las integrales: x = u ⇒ 2 xdx = du ⇒ 2
x = u ⇒ dx = du ⇒ G( x ) = −
x 2 e
−2 x
2
+c
−e −2 x
−e−2 x 2
2
=v
=v
y x
2
+ G(′ x ) =
y x
2
+
ln x x2
Despejar G(′ y ) e integrar el resultado con respecto a "x" (usar método de integración por partes) G(′ y ) =
ln x x
2
ln x = u ⇒
Cambio de variable sugerido 1 x
∫
−
dx = dv = x 2 dx ⇒ v = −
Solución general: −
y x
1
1
x
x
− ln x −
1 x
1
1
x
x
⇒ G( x ) = − ln x − + c
= c ⇒ y + ln x + 1 = cx
3) ( 3 xy + y 2 ) dx + ( x 2 + xy ) dy = 0; y ( 2) = 1
∂ M ∂N = 3 x + 2 y ≠ = 2x + y ∂ y ∂x ⎡ ∂ M ( x, y) ∂N ( x, y) ⎤ 3 x + 2 y − 2 x − y 1 1 1 ( ) − ⇒ = ⇒ = h( x ) = h x ⎢ ∂y ∂x ⎥⎦ N ( x, y ) ⎣ x( x + y) x x 1
∫ dx μ ( x) = e x = x
( 3 x
2
∫ (3
y + xy2 ) dx + ( x3 + x2 y ) dy = 0 ⇒ 2
2
)∂
3
x 2 y 2
G
∂ M ∂N = 3x2 + 2 xy = ∂ y ∂x
5) ( x + y ) dx + tgxdy = 0
∂ M ∂N =1⇒ = sec 2 x ∂ y ∂x ⎡ ∂ M ( x , y ) ∂N (x , y ) ⎤ 1 − sec2 x − ⇒ = −tgx ⇒ h ( x ) = −tgx h( x ) = ⎢ ∂y ∂x ⎥⎦ N ( x, y ) ⎣ tgx − ∫ tgxdx − ln cos x ) μ ( x ) = e =e ( = cos x 1
( x cos x + y cos x ) dx + senxdy = 0 ⇒
dM dy
= cos x =
dN dx
∫
cos x senx dy = ys ysenx + G( x ) ⇒ y cos x + G(′x ) = x cos x + y co G(′ y ) = x cos x ⇒ G( y ) = xsenx + cos x + c ⇒ ysenx + xsenx + cos x = c 2 2 2 6) ( 2 xy + 3 x y + 3 y ) dx + ( x + 2 y ) dy = 0
∂ M ∂N = 2 x + 3x 2 + 6 y ≠ = 2x ∂ y ∂x 2 ⎡ ∂ M ( x, y ) ∂N (x , y ) ⎤ 3 ( x + 2 y ) h( x ) = − ⇒ 2 = 3 ⇒ h(x ) = 3 ⎢ ∂y ∂x ⎥⎦ N ( x, y ) ⎣ x + 2y 3 dx ∫
1
1 y
1
∫x
∂ x =
1 y
ln x + G( y ) ⇒ −
G(′ y ) = y ⇒ G( y ) =
y
2
2
+c ⇒
ln x y
2
ln x y
+ G(′y ) = y − +
y
2
2
ln x y
2
=c
8) ysenx + y′ cos x = 1 ⇒ ( ysenx − 1) dx + cos xdy = 0
∂ M ∂N = senx ≠ = − senx ∂ y ∂x ⎡ ∂ M ( x, y ) ∂N ( x, y ) ⎤ − ⇒ h( x ) = 2tgx ⎢ ∂y N ( x, y ) ⎣ ∂x ⎥⎦ 2 tgxdx ∫ μ ( x ) = e = sec2 x
h( x ) =
1
( y sec xtgx − sec x ) dx + sec xdy = 0 ⇒ 2
∫
∂ M ∂N = sec xtgx = ∂ y ∂x
∫
y sec xtgxdx − sec2 xdx = y sec x − tgx + G( y ) ⇒ sec x + G(′y) = sec x G(′ y ) = 0 ⇒ G( y) = c ⇒ y sec x − tgx = c ⇒ y = senx + c cos x
9) ( 3 xy + 2 y 2 ) dx + ( x 2 + 2 xy ) dy = 0
⎡ ∂ M ( x, y ) ∂N ( x, y ) ⎤ 2 h x − ⇒ = − ( ) ⎢ ∂y N ( x, y ) ⎣ x ∂x ⎥⎦ ∂ x −2 ∫ 1 2 ∂ M ∂N x μ ( x ) = e = 2 ⇒ ∂x + cotgy∂y = 0 ⇒ =0 = x x ∂y ∂x ∂ x 2∫ = 2 ln x + G( y ) ⇒ G(′y) = ctgy ⇒ G( y) = ln seny + c 1
h( x ) =
x
2 ln x + ln l n seny = ln c = C ⇒ x2 seny = c
11) ( 3 x 2 + y ) dx + ( x 2 y − x ) dy = 0
∂ ∂ 2 3 x 2 + y ) = 1 ≠ x y − x ) = 2xy − 1 ( ( y x ∂ ∂ h( x) =
⎡ ∂ M ( x, y ) ∂N (x , y ) ⎤ 2 − ⇒ = − ( ) h x ⎢ ∂y ∂x ⎥⎦ N ( x, y ) ⎣ x 1
dx 1 ∫ x μ ( x ) = e ⇒ μ = 2
−2
x
1 x
2
( 3 x
2
+ y ) dx +
sol. 3x +
y
2
2
−
y
1 x
2
(x
2
⎛ ⎝
y − x ) dy = 0 ⇒ ⎜ 3 +
= C. x ≠ 0
.
x
1⎞ y ⎞ ⎛ + − dx y ⎟ ⎜ ⎟ dy = 0 2 x ⎠ x ⎝ ⎠
K ( y) =
μ ( y )
⎡ ∂ N ( x, y ) ∂M (x , y ) ⎤ 2 − ⇒ K (y) = − ⎢ ⎥ M ( x, y ) ⎣ ∂x y ∂y ⎦
=e
1
−2
dy
∫ y
⇒ μ =
1 y
2
2 2 2 ⎛ 2 x ⎞ x x x ⎜1 + y ⎟ dx − y 2 dy = 0 ⇒ x + y = C sol . x + y = C. ⎝ ⎠
14) 2 cos(π y )dx = π sen(π y )dy 2 cos(π y )dx − π sin(π y )dy = 0
∂ M ( x, y ) ∂N ( x, y ) = ∂ y ∂x ∂ M ( x, y ) = −2π sen (π y ) ∂ y ∂ N ( x, y ) ∂M ( x, y ) ∂N ( x, y ) N ( x, y ) = −π sen (π y ) ⇒ =0⇒ ≠ ∂ x ∂y ∂x
M ( x, y ) = 2 cos(π y ) ⇒
⎡ ∂ M ( x, y ) ∂N ( x, y ) ⎤ −2π sen (π y ) − 0 − = h x ⇒ h x = =2 ( ) ( ) ⎢ ⎥ ( , ) ( ) π π N x y ⎣ ∂y ∂x ⎦ − sen y ∫ h ( x ) dx = e ∫ 2 dx = e 2 x μ ( x ) = e 1
2 cos(π y )dx − π sen (π y )dy = 0 ⇒ 2e 2 x cos(π y )dx − π sen (π y )e 2 xdy = 0
15) (3xy3 + 4 y )dx + (3x 2 y 2 + 2x )dy = 0
∂ M ( x, y) = 9 xy2 + 4 ∂ y ∂ N ∂M ∂N 2 2 2 N( x, y) = 3x y + 2 x ⇒ ( x, y) = 6 xy + 2 ⇒ ≠ ∂ x ∂y ∂x
M ( x, y) = 3xy + 4 y ⇒ 3
⎡ ∂ M ( x, y) ∂N( x, y) ⎤ − ⎢ N( x, y) ⎣ ∂y ∂x ⎥⎦ ⎢ 9 xy2 + 4 − (6xy2 + 2) 2) ⎥ (3xy2 + 2) 1 ⇒ = ⇒ = h( x) = ⎢ h x h x ( ) ( ) , ⎥ 2 2 2 x y x x xy x 3 2 ( 3 2 ) + + ⎣ ⎦ 1
h( x) =
dx
∫ 3 2 2 2 3 3 2 2 μ ( x) = e x = x ⇒ x(3xy + 4 y)dx + x(3x y + 2 x)dy = 0 ⇒ (3x y + 4 xy) dx+ (3 x y + 2 x ) dy= 0 ∂ M ∂N ∂M ∂N 2 2 2 2 ( x, y) = 9x y + 4x ; ( x, y) = 9 x y + 4 x ⇒ = ∂ y ∂x ∂y ∂x
∫
f ( x, y) : (3x y + 4xy)dx ⇒ f ( x, y) = x y + 2 x y+ g( y) 2
3
3 3
2
∂ f ( x, y) = 3x3 y2 + 2x2 + g´( y) ∂ y 3x3 y2 + 2x2 + g´( y) = 3x3 y2 + 2 x2 ⇒ g´( y) = 0 ⇒ g( y) = c ⇒ f ( x, y) = x3 y3 + 2x2 y + g( y) sol. x y + 2x y = c 3 3
2
∂F ( x, y) = e2 x + g´(y ) ⇒ e2 x + g´(y ) = e2 x ∂ y g´( y) = 0 ⇒ g ( y ) = c F(x, y) = ye2 x − ln x + g (y ) , pero F (x , y ) = c ⇒sol . ye 2 x − lnx =c . aydx + bxdy bxdy = 0 17) aydx
M ( x, y) = ay ⇒ k ( y) =
∂ M ∂N ∂M ∂N = a; N ( x, y) = bx ⇒ = b⇒ ≠ ∂ y ∂x ∂y ∂x
⎡ ∂ N ⎤ b− a b− a ∂M ( , ) ( , ) ( ) x y x y k y − = ⇒ = ⎢ ⎥ ay M ( x, y) ⎣ ∂x ay ∂y ⎦
∫ μ ( y) = e
1
k ( y )dy
=e
∫
b − a dy a
y
aydx + bxdy = 0 ⇒ ayy b ( ) a
M ( x, y) = ay
N ( x, y) = bxy bxy
∫
(
=e b−a a
)
a
∫y
b −a
=e
dx + bxy
(
a
b− a a
)
ln y
=e
ln y
(
b−a a
)
dy = 0 ⇒ ay
⇒ μ ( y) = y b ( ) a
dx + bx bxy
(
(
b− a
b− a a
a
)
)
dy = 0
b b− a b ( a −1) ∂ M ∂M ⇒ =a y ⇒ = by a ∂ y ∂y a
b −a a
(
b− a dy
)
b− a b− a ( ) ( ) ∂ N ∂ ∂ M N ⇒ = by a ⇒ = = by a ∂ x ∂y ∂x
∫
b
b
∫
f ( x, y) = M ( x, y)dx + g ( y) ⇒ f ( x, y) = aya dx + g ( y) ⇒ aya dx + g( y)
x ( 3xe + 2y) dx + x( x2e + x) dy = 0 ⇒( 3x2e + 2xy) dx + ( x3e + x2 ) dy = 0 y
y
y
y
∂ M ∂N ∂M ∂N = 3 x2e y + 2x; = 3x2ey +2x ⇒ = ∂ y ∂x ∂y ∂x ∂ f ∂f 3 y 2 = 3 x2e y + 2xy ; y = x e +x ⇒ x y ∂ ∂ f ( x, y) =
∫ (3x e + 2xy) dx + g ( y) = ∫3x e dx+ ∫ 2xydx + g( y) ⇒ f ( x, y) = x e + x y + g( y) ⇒ 2 y
2 y
3 y
2
∂ f 3 y 2 ∂ f y y y y x e + x y) + g´( y) ⇒ ( x3e + x2 y) + g´( y) = x3e + x2 ⇒ x3e + x2 + g´( y) = x3e + x2 ⇒ g´( y) = 0 ( ∂ y ∂ y
∫ g´( y) = ∫ 0 ⇒ g ( y) = 0 ⇒ f ( x, y) = x e
3 y
+ x2 y + 0 ⇒ Sol. c = x3ey + x2 y
⎛ 2 y ⎞ 19) ( xy′ - y ) cos ⎜ ⎟ = − 3x 4 ⎝ x ⎠
⎛ dy ⎞ ⎛ 2y ⎞ 4 x y − ⎜ dx ⎟ cos ⎜ x ⎟ + 3x = 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2 y ⎞ dy ⎛ 2y ⎞ ⎛ 2y ⎞ ⎛ 2y ⎞ 4 4 x cos ⎜ y x x y dx x − + = ⇒ − + c o s 3 0 3 co c o s c o s ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ x ⎟ dy = 0 ⎝ x ⎠ dx ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2 y ⎞ ∂M ⎛ 2y ⎞ ⎛ 2y ⎞ ⎛ 2y ⎞ 4 ⇒ = − + ⎜ ⎟ sin ⎜ ⎟ M ( x, y ) = 3x − y cos ⎜ ( x , y ) co c o s ⎟ ⎜ ⎟ ∂y ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ∂M ∂N ⎛ 2 y ⎞ ∂ N ⎛ 2y ⎞ ⎛ 2y ⎞ ⎛ 2y ⎞
∂M ∂N 1 ⎛ 2 y ⎞ ∂N 1 ⎛ 2y ⎞ ⎛ 2y ⎞ ⎛ 2y ⎞ N( x, y) = cos ⎜ ⎟ ⇒ (x, y) = − 2 cos⎜ ⎟ +⎜ 3 ⎟ sen⎜ ⎟ ⇒ = x ⎝ x ⎠ ∂x x ∂y ∂x ⎝ x⎠ ⎝x ⎠ ⎝ x⎠ y ⎛ 2y ⎞ 2 f (x, y) = 3x − 2 cos ⎜ ⎟ dx + g( y) ⇒ f (x, y) = 3 x ⎝x⎠
∫
du 3x 1 ⎛ 2y ⎞ 3 + − + ⇒ = + + ⇒ = + x dx d x c o s d x g ( y ) f ( x , y ) c o s u g ( y ) f ( x , y ) x (cos u)du + g( y) ⎜ ⎟ ∫ ∫ x2 ⎝ x ⎠ 3 ∫ 2 2∫ 1 1 ⎛ 2y ⎞ ⎛ 2y ⎞ ⎛ 2 ⎞ 31 3 1 ⎛ 2 y ⎞ f (x, y) = x senu + g( y) ⇒ f ( x, y) = x ⎜ ⎟ + g( y) ⇒ cos ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + g′( y) ⇒ cos⎜ ⎟ + g′( y) 2 2 ⎝ x ⎠ 2 ⎝ x ⎠⎝ x ⎠ x ⎝ x⎠ 1 ⎛ 2 y ⎞ 1 ⎛ 2y ⎞ cos⎜ ⎟ + g′( y) = cos⎜ ⎟ ⇒ g′( y) = 0 ⇒ g( y) = c x ⎝ x ⎠ x ⎝ x⎠ 1 ⎛ 2 y ⎞ 1 ⎛ 2y ⎞ 3 3 f (x, y) = x + sen⎜ ⎟ + g( y) ⇒ x + sen⎜ ⎟ = c 2 ⎝ x ⎠ 2 ⎝ x⎠ 3
y
2
1)dx − ( x + 1) 1)dy = 0 20) ( y + 1) M ( x, y) = y +1 ⇒ k ( x) =
⎡ ∂ N ( x, y) ∂M ( x, y) ⎤ −1 −1 −2 − ⇒ = ⎢ ∂y ⎥⎦ M ( x, y) ⎣ ∂x y +1 y +1 1
−2
μ ( y)
∂ M ∂N ∂M ∂N ( x, y) =1 y N( x, y) = −( x +1) ⇒ ( x, y) = −1 ⇒ ≠ ∂ y ∂x ∂y ∂x
∫ y+1
=e
−2
=e
dy
∫ y+1
−2
= e−2ln( y+1) = ( y +1)−2 =
1 ( y +1)2
g ( y) =
1 y + 1
⇒ f ( x, y ) =
x y +1
+ g (y ) ⇒
x y +1
+
1 y +1
=c
21) (1 + 2 x 2 + 4 xy )dx + 2dy = 0 M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy = 0 2 M ( x , y ) = 1 + 2 x + 4xy ⇒
∂ M = 4x ∂ y
N(x,y) = 2 ⇒
∂N =0 ∂x
2 xdx ⎡ ∂ M ( x , y ) ∂N ( x , y ) ⎤ − = h ( x ) = 2 x ⇒ μ ( x ) = e ∫ = e x ⎢ ⎥ N ( x , y ) ⎣ ∂y ∂x ⎦
1
x 2
2
x2
e (1 + 2 x + 4 xy )dx + 2e dy = 0 ⇒ 2
x 2
M ( x , y ) = e (1 + 2x + 4xy ) ⇒ 2
∫
∂ M ∂N = 4xe x ; N (x , y ) = 2e x ⇒ = 4 xe x ∂ y ∂x 2
∫
2
2
2
2
x x f ( x , y ) = M ( x , y )dx + g ( y ) ⇒ e (1 + 2x + 4xy )dx + g (y ) = e (x + 2y ) + g (y ) x 2
f ( x , y ) = e ( x + 2 y ) + g ( y ) ⇒
∫
2
∂ f = 2e x + g '( y ) ⇒ 2e x + g '( y ) = 2e x ⇒ g '( y ) = 0 ∂ y
∫
2
g ' ( y )dy = 0d y = g ( y ) = 0 ⇒g ( y ) = c sol . e
22) 2 xy 3 + 1) dx + 3 x 2 y 2 − y −1 ) dy = 0
2
x 2
(x + 2y ) = c .
2
24) 2 y 2 + 2 y + 4 x 2 ) dx + (2 xy + x ) dy = 0
∂ (μ (2 y 2 + 2 y + 4 x2 )) = ∂μ (2 y 2 + 2 y + 4 x 2 ) + μ (4 y + 2); ∂ (μ (2 xy + x)) = ∂μ (2 xy + x) + μ (2 y +1) ∂ x ∂ x ∂ y ∂ y ∂μ 2 (2 y + 2 y + 4 x 2 ) + μ (4 y + 2) = ∂μ (2 xy + x) + μ (2 y +1) ∂ y ∂ x ∂μ 2 (2 y + 2 y + 4 x 2 ) − ∂μ (2 xy + x) = μ (2 y +1) − μ (4 y + 2) ∂ y ∂ x ∂μ 2 (2 y + 2 y + 4 x 2 ) − ∂μ (2 xy + x) = −2μ y − μ = −μ (2 y +1) ∂ y ∂ x ∂μ d μ (2 xy + x) = μ (2 y + 1) = 0; → ∂ y dx d μ μ (2 y + 1) μ d μ dx = = ; → = ; → μ = x μ dx (2 xy + x) x x 2 xy2 dx + 2 xy dx + 4 x 3dx + 2 x 2 y dy + x 2 dy = 0 ⇒ 2 xy2 dx + 2 x 2 y dy + 2 xy dx + x 2 dy + 4 x 3dx = 0;
(
) ( ) ( )
d x y + d x y + d x = 0 ⇒ x y + x y + x = C. 2
2
2
4
2
2
2
4
25) 2 y 2 − 6 xy ) dx + 3 xy − 4 x 2 ) dy = 0 Esta ecuación se resuelve utilizando un factor integrante del tipo x ny m. ∂
26) (12 + 5 xy ) dx + 6 xy −1 + 3 x 2 ) dy = 0
∂ n m ( x y (12 + 5 xy )) = mx n y m−1 (12 + 5 xy ) + x n y m (5 x ) ∂ y ∂ n m ( x y (6 xy −1 + 3 x 2 )) = nx n−1 y m (6 xy −1 + 3 x 2 ) + x n y m (6 y −1 + 6 x ) ∂ x
(
)
(
1 1 1 2 1 mx n y m− (12 + 5 xy ) + x n y m (5 x ) = nx n− y m 6 xy − + 3 x + x n y m 6 y − + 6 x
)
12mx n y m− + 5mx n + y m + 5 x n+ y m = 6nx n y m− + 3nx n+ y m + 6 x n y m− + 6 x n + y m 1
1
1
1
1
1
1
12mx n y m−1 = 6nx n y m−1 + 6 x n y m−1 5mx n+ y m + 5 x n + y m = 3nx n+ y m + 6 x n+ y m 1
1
1
1
n = 3; ⎧12m = 6n + 6 ⎧2 m − n = 1 ⇒⎨ ⇒ ⇒ μ ( x, y ) = x 3 y 2 ⎨ ⎩5m + 5 = 3n + 6 ⎩5m − 3n = 1 m = 2;
(
)
x 3 y 2 (12 + 5 xy ) dx + x 3 y 2 6 xy −1 + 3 x 2 dy = 0 ⇒ 12 x 3 y 2 dx + 5 x 4 y 3 dx + 6 x 4 y dy + 3 x 5 y 2 dy = 0
12 x 3 y 2 dx + 6 x 4 y dy + 5 x 4 y 3 dx + 3 x 5 y 2 dy = 0 ⇒ 3d ( x 4 y 2 ) + d ( x 5 y 3 ) = 0 ⇒ 3 x 4 y 2 + x 5 y 3 = C.
EJERCICIOS PROPUESTOS
( ) 15) 6 xy dx + ( 4 y + 9x ) dy = 0 14) − y 2 dx + x2 + xy dy = 0 2
sen x + 2 y cos x ) dx + 2 x cos x dy = 0 16) ( − xy sen
17) y ( x + y + 1) dx + ( x + 2 y ) dy = 0
( 19) ( x
)
18) 2 y 2 + 3x dx + 2xy dy = 0 2
+ 2xy − y′) dx + ( y2 + 2xy − x2 ) dy = 0
20) ( cos ( 2 y ) − senx senx) dx − 2 tan xsen xsen(2 y)dy = 0
(
)
(
)
21) 3 xy3 + 4 y dx + 3x2 y2 + 2x dy = 0
)
(
22)2 xy ln d x + x2 + y2 y2 + 1 dy = 0
(
)
(
)
23) 2wz 2 − 2z dw + 3w2 z − 4w dz = 0
(
)
24)e x dx + ex cot y + 2 y csc y dy = 0
( xdy − ydx ydx = ( 2 x + 3 y ) 26) xdy 27) ydx ydx + ( 2x − ye ) dy = 0
xdy + ydx ydx = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3 25) xdy 2
y
2
3
) ( dx+ dy)
xdx + 3 ydy ydy ) ( 2xdx
