AÑO DE AÑO DE LA INVERSIÓN PARA EL DESARROLLO RURAL Y LA SEGURIDAD
“
ALIMENTARIA”
Universidad Nacional de Ucayali
FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS Y DE INGENIERIA CIVIL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
“ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS”
CATEDRÁTICO
:
LIC. YONY HUAMAN.
CURSO
:
EUACIONES DIFERENCIALES.
ALUMNO
:
DIAZ PUYO, EROS.
PERU-UCAYALI-PUCALLPA 2013
INTRODUCCION
Las ecuaciones diferenciales (E.D.) son expresiones matemáticas que establecen relaciones entre variables independientes, dependientes y las derivadas de ésta última. Las E.D. tienen diversas clasificaciones, una de ellas indica que este tipo de ecuaciones pueden ser: Ordinarias y Parciales
De acuerdo al contenido programático, serán analizadas solo las ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O), las cuales se caracterizan por poseer en su estructura, derivadas ordinarias de la variable dependiente.
Resolver una E.D.O., consiste en aplicar un conjunto de técnicas que permitan obtener, a partir de una ecuación diferencial, una expresión matemática que no presente derivadas; sino que exhiba una relación entre las variables mencionadas. Existen muchos métodos para resolver E.D.O, sin embargo, en el presente trabajo se desarrollara solo a lo que compete la investigación en esta monografía “Ecuaciones Diferenciales Exactas”.
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS. Primero debemos retomar algunos conceptos de cálculo vectorial. Definición (Vector gradiente) Sea
una función escalar, entonces el
gradiente
es la función vectorial
dada por
Ejemplo El gradiente de la función
es
Ejemplo El gradiente de la función
es
Definición (Campo vectorial conservativo) Sea que
una función vectorial, decimos es un campo vectorial conservativo si existe una función
escalar escalar
tal que
. A la función
se le llama función potencial.
Ejemplo La función vectorial conservativo, pues, si
es un campo vectorial se tiene que
.
La definición anterior no es muy útil al tratar de verificar que un campo vectorial es conservativo, pues involucra el hallar una función potencial. El siguiente teorema nos facilitará esta tarea.
Teorema
Sea un campo vectorial definido sobre una región simplemente conexa y dado por
donde continuas en
y tienen derivadas parciales de primer orden , entonces es conservativo sí y sólo sí
De paso este teorema nos da la clave para construir la función potencial, como veremos en el próximo ejemplo. Ejemplo
El campo vectorial
Es conservativo, pues si
Tenemos que
Como es conservativo, existe una función escalar
tal que
De donde, como
Derivando con respecto a
e igualando a la derivada parcial
Con lo cual
.
Observación: algunas veces resulta más fácil integrar respecto a y luego elegimos tomando los términos repetidos una vez.
respecto a
como la suma de ambos,
y
Definición (Ecuación diferencial exacta) Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden escrita en la forma
es exacta si el campo vectorial asociado
es conservativo.
Teorema La solución general de la ecuación diferencial exacta
Está dada por
, donde
campo vectorial
es la función potencial del .
Demostración:
Comprobemos que Suponiendo que
Como
es solución de la ecuación diferencial. es función de , derivamos implícitamente
es la función potencial del campo vectorial Y
Como se quería.
, de donde
,
Método de solución Para resolver una e.d. exacta es necesario determinar la derivada parcial mediante:
Forma general Para que una e.d. sea exacta debemos determinar que la derivada parcial con respecto a “x” y con respecto a “y” cumpla con la siguiente forma:
Ejemplo Tomemos como ejemplo la siguiente ecuación:
Lo primero que hay que saber es si es exacta: NOTA. Hay que recordar que M va acompañada de su dx y N de su dy para luego sacar sus respectivas derivadas parciales. Ya que el resultado de ambas derivadas parciales es el mismo, decimos que la ecuación es exacta.
Integramos 2xy:
Ahora debemos sacar la derivada parcial de x²y con respecto a y:
Eliminamos términos semejantes:
Nos queda:
Integramos y el resultado es:
Conclusión: En resumen podemos mencionar:
Las derivadas parciales de X y Y deben tener el mismo valor, solo así serán exactas.
Tenemos que tomar en cuenta la formula básica para poder resolverlas.
En caso de no ser exactas se resolverán por medio de factor integral, un tema que veremos más adelante.
