Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas; si lo son, resolverlas.
( 2 x − 5 y + 2 ) dx +( 1−6 y −5 x ) dy = 0
1.-
M y =−5
N x =−5
M y = N x ; es exacta 2 x −5 y + 2
(¿)dx f x =∫ ¿
f x =2 x −5 y + 2
∫
f x =2 xdx −5 y
∫ dx +2 ∫ dx
2
f = x −5 xy + 2 x + f ( y ) d 2 ( x −5 xy + 2 x + f ( y ))=−5 x + f ' ( y ) dy
−5 x + f ' ( y )=1 −6 y −5 x f ( y )= y −3 y
∫ f ( y ) dy =1∫ dy −6 ∫ ydy '
f ( y )=1− 6 y '
2
2
2
x −5 xy + 2 x + y −3 y = c
( 2 x y − 4 y +4 x −3 ) dx +( 3 x y − 4 x ) dy =0 3
2.-
2
2
2
M y = N x ; es exacta
2
M y =6 x y −4
N x = 6 x y − 4 2 x
3
f x =2 x y − 4 y + 4 x −3
3
y − 4 y + 4 x −3 (¿) dx
∫
f x = ¿ f x =2 y
3
∫ xdx− 4 y ∫ dx +4 ∫ x dx−3 ∫ dx
f = x y − 4 xy + 2 x −3 x + f ( y ) 2
3
2
1
d 2 3 2 2 2 x y − 4 xy + 2 x −3 x + f ( y ) )=3 x y −4 x + f ' ( y ) ( dy 2
3 x
y − 4 x + f ( y )=3 x y − 4 x 2
2
'
2
f ( y )=0 ∴ f ( y )= 0 '
2
3
2
x y − 4 xy + 2 x −3 x = c
( 16 xy −3 x ) dx +( 8 x +2 y ) dy =0 2
3.-
M y =16 x
2
N x = 16 x
M y = N x ; es exacta 16 xy −3 x
f x =16 xy −3 x
f x =16 y
2
(¿)dx f x =∫ ¿
2
∫ x−3∫ x
2
2
3
f =8 x y − x + f ( y ) d 2 3 2 8 x y − x + f ( y ) )= 8 x + f ' ( y ) ( dy 8 x
2
2
2
3
2
y − x + y = c
(−20 x y + 6 x )+ ( 3 y −20 x y ) =0 2
4.-
'
2
f ( y )= y 8 x
∫ f ( y ) dy=∫ 2 y dy
+ f ' ( y ) =8 x + 2 y
M y =−40 xy
3
2
N x =−40 xy
M y = N x ; es exacta
2
2
−20 x y + 6 x (¿) dx f x =∫ ¿
2
f x =−20 x y + 6 x
f x =−20 y
2
2
∫ xdx +6∫ x dx 2
2
f =−10 x y + 3 x + f ( y ) d −10 x 2 y 2+ 3 x 2 + f ( y ) ) =−20 x 2 y + f ' ( y ) ( dy
−20 x y + f ' ( y )=3 y −20 x y 2
2
f ( y )=3 y '
2
2
f ( y )=
2
2
2
3 y
3
3
= y
3
3
−10 x y + 3 x + y =c 5.-
( e x + y ) dx +( e y + x ) dy =0
M y =1
N x = 1
M y = N x ; es exacta x
e + y (¿) dx
x
f x =e + y
∫
f x = ¿
∫
x
f x = e dx + y
∫ dx
x
f =e + xy + f ( y ) d x (e + xy + f ( y )) = x + f ' ( y ) dy x + f ( y )= e + x '
y
∫ f ( y ) dy =∫ e '
y
3
dy
f ( y )= e
y
x
y
e + xy +e =c
6.-
(
y −
y x
M y =1−
N x = 1+
e
2
(
y x
) (
dx + x + e x
( e )( x )+e y x
y 2
x
1
1
y x
)
dy =0
( ))
y x
1
=1 −
2
x
− y − ( e ) + e ( x ( x ) ( x y x
1
y x
1
2
y
f x = y − 2 e x
2
))
y e x
=1−
y x
−
3
y e x
y x
3
y −
e
y x
x
−
y
2
e
M y = N x ;es exacta
2
x
e 2 x (¿) dx
y x
y x
y x
∫
f x = ¿
f x = y
f x = y
e
∫ dx − y ∫ x ∫ dx − y ∫ ∫
du
y x 2
u
2
dx
(
y du − y − x du 1 seau = = 2 dx = = x dx x − y y 2 x
2
e − x du 2 y x
)
u
f x = xy + e du y x
f = xy + e + f ( y )
(
y x
)
y x
d e xy +e + f ( y ) = x + + f ' ( y ) dy x
4
y x
y
e 1 ' x + + f ( y ) = x + e x x x
f ( y )=0 ∴ f ( y )= 0 '
y x
xy + e =c
7.-
(
1−
y x
(
M y =−
N x =
e
2
y x
2
y x
) ( dx +
1+
1
x
e
( e ) ( x )+ e ( y x
y x
1
1
x
− y − ( e ) + e ( x ( x ) ( x y x
1
y x
2
f x =1−
y x
e 2
y x
2
1 2
)
dy =0
)) ))
=
=
y x
− y e x
3
y x
− y e x
3
−
−
e
y x
x
e
2
y x
x
M y = N x ;es exacta
2
y
− e
1
y x
y x
2
x (¿) dx
∫
f x = ¿ du
y x
2
∫
∫ xe dx
f x = x − y
e − x du 2 y x
f x = dx − y
∫
∫
2
u
(
2
y du − y − x du 1 seau = = 2 dx = = x dx x − y y 2 x
)
u
f x = x + e du
5
y x
f = x + e + f ( y )
(
y x
)
y x
d e x + e + f ( y ) = + f ' ( y ) dy x y x
y
e 1 + f ' ( y )=1 + e x x x
∫ f ( y ) dy =∫ dy '
f ( y )=1 '
f ( y )= y y x
x + e + y =c
8.-
(
y
)
y x y / x 1− e dx + e dy = 0 x
(
M y =−
( )( x )+e
y e x
y x
( ( ))
N x = e
.-
y x
− y x
2
1
=
y x
− y e x
( )) 1
x
=
− y e 2
x
y x
2
y x
−
y x
e x
M y ≠ N x ; NOes exacta
y (1 + cos xy ) dx + x (1 + cos xy ) dy = 0
( y + ycos xy ) dx + ( x + xcos xy ) dy =0 M y =1 + ( y (−sen xy ) ( x ) +cos xy )=1− xysen xy + cos xy N x = 1+ ( x (−sen xy ) ( y ) + cos xy )= 1− xysen xy + cos xy
f x = y + ycos xy
y + ycos xy (¿) dx
∫
f x = ¿
6
M y = N x ;es exacta
f x = y
∫ dx + y∫ cos xy dx
f x = y
∫ dx + y ∫ cos u du y
f x = y
∫ dx +∫ cos udu
seau = xy
du du = y dx = dx y
f = xy + senxy + f ( y )
d ( xy +senxy + f ( y ))= x + xcosxy + f ' ( y ) dy x + xcosxy + f ( y )= x + xcos xy
f ( y )=0 ∴ f ( y )=0
'
'
'
xy + senxy =c
( 6 x y + ysen xy + 1 ) dx + ( 9 x 3
1!.-
2
y + xsen xy ) dy =0 2
M y =18 x y + ( y ( cos xy ) ( x ) + sen xy )=18 x y + xysen xy 2
2
M y = N x ;es exacta
N x = 18 x y + ( x ( cos xy ) ( y ) + sen xy ) =18 x y + xysen xy 2
2
6 x 3
f x =6 x y + ysen xy + 1
3
y + ysen xy + 1 (¿) dx
∫
f x = ¿
f x =6 y
3
f x =6 y
3
2
∫ xdx+ y ∫ sen xydx +∫ dx
seau = xy
+∫ dx ∫ xdx+ y ∫ senu du y 3
f =3 x y −cos xy + x + f ( y )
7
du du = y dx = dx y
d 2 3 2 2 3 x y − cos xy + x + f ( y ) )= 9 x y + xsen xy + f ' ( y ) ( dy 2
y + xsen xy + f ( y )=9 x y + xsen xy
2
y −cos xy + x = c
9 x
3 x
'
2
2
f ( y )=0 ∴ f ( y )= 0 '
2
3
( 3 x + ycos xy ) dx + ( 3 y + xcos xy ) dy =0 2
11.-
2
M y =( y (−sen xy ) ( x ) + cos xy )=− xysen xy + cos xy M y = N x ;es exacta
N x = ( x (−sen xy ) ( y ) + cos xy ) =− xysen xy + cos xy 2
+ ycos xy (¿) dx f x =∫ ¿
3 x 2
f x =3 x + ycos xy
∫
2
f x =3 x dx + y
3
f x =
3 x 3
∫ cos xy dx
seau = xy
du du = y dx = dx y
du y
+ y ∫ cos u
3
f = x + sen xy + f ( y ) d 3 ( x +sen xy + f ( y ))= xcos xy + f ' ( y ) dy xcos xy + f ( y )=3 y + xcos xy '
∫ f ( y ) dy =∫ 3 y '
3
f ( y )=3 y '
2
2
f ( y )= y
dy
3
x + sen xy + y = c
( 4 x −4 x y + y ) dx + ( 4 y −4 x y + x ) dy =0 3
12.-
2
2
3
2
8
3
M y =−8 xy + 1
N x =−8 xy + 1
M y = N x ; es exacta 4 x
3
2
f x = 4 x −4 x y + y
∫
3
2
f x = 4 x dx − 4 y 4
2
3
2
− 4 x y + y (¿)dx f x =∫ ¿
∫ xdx + y ∫ dx
2
f = x −2 x y + xy + f ( y ) d 4 2 2 2 x −2 x y + xy + f ( y ) )=−4 x y + x + f ' ( y ) ( dy
−4 x y + x + f ' ( y )= 4 y − 4 x y + x 2
3
∫ f ( y ) dy =∫ 4 y '
4
2
2
3
f ( y )= 4 y '
2
3
f ( y )= y
dy
4
4
x −2 x y + xy + y =c
13.-
(
sen y +
M y =cos y +
N x =
cos y
−
y x
sen 2
( )) ( y x
( ))
y 1 dx + xcos y − sen x x
( ( ( )( )) ( )( )) y
x
2
cos
y 1 y + sen x x x
1
x
2
ycos
=cos y +
( ( ( )( )) ( )( )) 1
x
cos
y x
− y 2
x
y + sen x
−1 x
dy =0
2
M y = N x ; es exacta
9
x
( )+ ( ) y x
3
2
x
ycos
=
cos y
+
x
y x
sen
( )+ ( )
3
y x
sen
x
y x
2
sen y +
()
y
y f x = sen y + 2 sen x x
f x = sen y
f x = sen y
∫ dx+ y ∫ ∫ dx+ y ∫
y x
sen 2
() y x
(¿) dx f x =∫ ¿
()
y sen x x
2
(
du 2
y du − y 1 − x du seau = = 2 dx = = x dx x y − y 2 x
dx
sen ( u ) − x 2 du 2 y x
)
∫ senudu
f = xsen y −
f = xsen y + cos
()
(
y + f ( y ) x
()
)
d y xsen y + cos + f ( y ) = xcos y − dy x
sen xcos y −
xsen y + cos
14.-
( )+ y x
x
( )= y x
sen
( )+ y x
x
f ' ( y )
()
y 1 ' f ( y )= xcos y − sen x x
f ( y )= 0 ∴ f ( y )= 0 '
c
( ycosh xy +2 x ) dx +( xcosh xy −2 y ) dy =0
M y = y ( senh xy ( x ) ) + cosh xy = xysenh xy + cosh xy N x = x ( senh xy ( y ) ) + cosh xy = xysenh xy + cosh xy
10
M y = N x ;es exacta
ycosh xy + 2 x (¿) dx
f x = ycosh xy + 2 x
∫
f x = ¿
f x = y
∫ cosh xy dx +2∫ x dx
f x = y
+ 2∫ x dx ∫ cosh u du y
seau = xy
du du = y dx = dx y
2
f =senh xy + x + f ( y ) d 2 senh xy + x + f ( y ) )= xcosh xy + f ' ( y ) ( dy xcosh xy + f ( y )= xcosh xy− 2 y
