Ecuación exacta Una expresión M( x x , y ) dx + N( N( x x , y ) dy es una diferencial plano xy si si corresponde a la exacta en una región R del plano xy diferencial de alguna función f función f ( x x , y ) definida en R. Una ED de primer orden en la forma diferecial diferecial M( x x , y ) dx + N( N( x x , y ) dy = 0 es una ecuación exacta, si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta. exacta.
Criterio para una diferencial exacta Sean M( x, x, y) y N( x x , y) continuas y con primeras derivadas continuas en una región rectangular R definida por a < x < b, c < y < d. Entonces una condición necesaria y suficiente para que M( x x , y ) dx diferencial ncial exacta exacta es: + N( x x , y ) dy sea dy sea una difere
M N y x
Demostración Condición necesaria: Si M( x, y ) dx + N( x , y ) dy es exacta, existe una función f tal que para todo x de R: M( x , y ) dx + N( x , y ) dy = ( f / x ) dx + ( f /y ) dy Por tanto y
f f M( x , y ) = , N( x , y ) = y x M f 2 f f N y y x y x x y x
La igualdad de las derivadas cruzadas es consecuencia de la continuidad de las parciales.
Para demostrar la condición suficiente, basta con demostrar que existe una función f para la cual:
f f = M( x , y ) y = N( x, y ) y x siempre y cuando
M N y x
Todo esto nos proporciona un método de solución...
Como f / x = M( x , y ), tenemos
f ( x, y) M ( x, y)dx g ( y) Derivando con respecto a y y suponiendo f /y = N( x , y ). Tenemos
y
f M ( x, y)dx g ' ( y) N ( x, y) y y
g ' ( y) N ( x, y) M ( x, y)dx y Integrando con respecto a y, obtenemos g(y ). Teniendo f(x, y), como la ED es una diferencial exacta de esta función, la solución implícita es f ( )
Reso ver 2 xy x + x – 1
y = 0.
Solución:
Identificando M( x , y ) = 2 xy, N( x , y ) = x 2 – 1, tenemos que M/y = 2 x = N/ x. Así que la ecuación es exacta y por tanto existe una función f tq:
f / x = 2 xy ,
f /y = x 2 – 1
Para encontrarla integramos la primera ec. respecto a x: f ( x , y ) = x 2y + g(y ). Derivando respecto a y , y utilizando la segunda ec.: f /y = x 2 + g’(y ) = x 2 – 1 g’(y ) = -1. Que integrando nos da: g(y ) = -y
Así que f ( x, y ) = x 2y – y. Y como la ED es una diferencial exacta de f(x, y), la solución es: x 2y – y = c, y = c/(1 – x 2) El intervalo de definición es cualquier intervalo que no contenga a 1ó
Resolver (e2y – y cos xy )dx+(2 xe2y – x cos xy + 2y)dy = 0. Solución:
Esta ED es exacta porque
M/y = 2e2y + xy sen xy – cos xy = N/ x f /y = 2 xe2y – x cos xy + 2y
f ( x, y) 2 x e2 y dy x cos xydy 2 ydy
xe2 y senxy y 2 h( x) f 2 y e y cos xy h' ( x) e2 y y cos xy x Así que h’( x ) = 0, entonces h( x ) = c. La solución es 2y sin 2 =0
Resolver
dy dx
xy2 cos x sin x y(1 x ) 2
, y(0) 2
Solución:
Escribimos la ED en forma diferencial (cos x sin x – xy 2) dx + y (1 – x 2) dy = 0 Como
M/y = – 2 xy = N/ x Ahora
f /y = y (1 – x 2)
(Esta ED es exacta)
f ( x , y ) = ½y 2(1 – x 2) + h( x ) f / x = – xy 2 + h’( x ) = cos x sin x – xy 2
Ejemplo: Resolver la siguiente ED ( x y 1 )dx ( x y 2 3 )dy 0 ( x y 1) ( x y 2 3) y x u ( x, y ) ( x y 1) dx c( y ) Integrando respecto a x
Es exacta puesto que
Es decir,
u ( x, y)
2
x 2
xy x c( y)
Derivando respecto a y De donde
c( y )
u x c' ( y ) x y 2 3 y
( y 2 3)dy c1
Finalmente la solución general es x 2 2
xy x
y3 3
3 y c2
En algunos casos se puede hallar un factor integrante ( x , y ), tal que una ED que no es exacta, se convierta:
( x , y )M( x , y )dx + ( x , y )N( x , y )dy = 0 Esta ecuación será exacta si ( M)y = ( N) x Es decir: My + y M = N x + x N,
x N – y M = (My – N x )
Resolver esta EDP para encontrar el factor integrante puede ser más complicado que la ecuación original, de modo que haremos algunas suposiciones sobre el factor integrante que la simplifiquen:
Suponiendo que es función solo de la variable x :
x N – y M = (My – N x ) x = d /dx y = 0
d M y N x dx
N
Si tenemos que (My – N x ) / N sólo depende de x , entonces nuestra EDO es de primer orden y es separable. De manera similar, si solo es función de y :
x N – y M = (My – N x ) y = d /dy x = 0
d N x M y dy
M
Si (N x – My ) / M solo es función de y , nuestra EDO es de primer orden y separable.
Así que, si tenemos la ED en forma diferencial: M( x, y ) dx + N( x , y ) dy = 0 pero no es una ecuación exacta, podemos convertirla multiplicándola por un factor integrante . Si (My – N x ) / N solo depende de x, entonces
( ) x e
M y N x N
dx
Si (N x – My ) / M solo depende de y, entonces
( y ) e
N x M y M
dy
Una última observación: Puesto que multiplicamos la ED por un factor
La ED no lineal: xy dx + (2 x 2 + 3y 2 – 20) dy = 0 no es exacta. Con M = xy, N = 2 x 2 + 3y 2 – 20, hallamos My = x, N x = 4 x. Observemos que
M y N x N
depende de x y de y . Pero
x 4 x
2 x2 3 y 2 20
N x M y M
3 x 2 x2 3 y 2 20
3 y
solo depende de y . El factor integrante adecuado será entonces: e 3dy/y = e3lny = y 3 = (y ) Multiplicando la ED original: xy 4 dx + (2 x 2y 3 + 3y 5 – 20y 3) dy = 0 Que tiene como solución: ½ x 2y 4 + ½ y 6 – 5y 4 = c
Ejemplo: Para la siguiente ED 2 xy ln ydx x 2 y 2 1 y 2 dy 0
M 2 xy ln y, N x 2 y 2 1 y 2 1 N M 1 Entonces y M x y
Por lo tanto
d ln dy
1 y
1 y
Así obtenemos la ecuación diferencial exacta: 2 x ln ydx
x 2 y 2 1 y 2 y
dy 0
Demuestra que en efecto es una ED exacta y obtén su solución general.
EJEMPLO: Obtener el F.I. de la siguiente ED no exacta y posteriormente resolverla por el método de las exactas. SOLUCIÓN: 1º Paso: Checar si la ED es exacta o no exacta No exacta
2º Paso: Búsqueda del factor integrante (F. I.) para convertir la ED en exacta: Para esto es necesario realizar las dos consideraciones para ver cuál de las dos se puede factorizar y por ende produce un factor integrante:
Factorizando se tiene:
3º Paso: Conversión de la ED no exacta en exacta
4º Paso: Aplicación de los 4 pasos (i a iv) del método de solución de las ED exactas. Paso i): Comprobar si la ED es exacta
Exacta
Paso ii): Integrar con respecto a x , dejando a y constante
Paso iii ): Derivar con respecto a y la ecuación resultante en el paso ii
Despejando g (y) de la igualdad anterior, se tiene: ´
Paso iv ): Obtener la función g (y) Paso v ): Sustitución del valor de g (y) en el paso ii Solución general: x2 y 3 2 xy2
c1
siendo c1 c k
EJEMPLO: Obtener el F.I. de la siguiente ED no exacta y posteriormente resolverla por el método de las exactas. SOLUCIÓN:
Aplicando las propiedades de los logaritmos y exponenciales: Se tiene lo siguiente:
c
( y 3 x) ( y 3(0)) e x c e x ( y 2 x) ( y 2(0))
c
( y 0) ( y) e x c e x ( y 0) ( y) c1 e x c e x
La ED:
dy/dx + P(x)y = f(x)y n
donde n es un número real cualquiera, se conoce como ecuación de Bernoulli . Observemos que para n = 0 y n = 1, la ec. de Bernoulli es directamente lineal y podemos resolverla por separación de variables. En caso contrario con el cambio de variable: u = y 1-n siempre podemos reducirla a una lineal.
Nota: y(x) = 0 siempre es solución de una ec. de Bernoulli. Se aconseja comprobar que
Resolver x dy /dx + y = x 2y 2. Solución:
Escribimos la ED como: dy /dx + (1/ x )y = xy 2 Con n = 2, y = u-1, dy /dx = -u-2(du/dx ). La ED se convierte en: du/dx – (1/ x )u = -x Ahora, utilizando el factor integrante e
dx / x
e
ln x
ln x1
e
en (0, ) e integrando
x1
1 u x dx x se obtiene x -1u = - x + c, u = - x 2 + cx. du
Como u = y -1, tenemos y = 1/u y la solución es y = 1/(− x 2 + cx ).
EJEMPLO : Resolver la siguiente ED de Bernoulli SOLUCIÓN: Despejando la diferencial dy/dx se tiene: Observamos que al despejar de esta manera no se dy 1 visualiza P(x) ni el factor integrante (F. I.). Por lo que 2 procedemos a invertir las variables, es decir la dx xy(1 xy ) variable independiente la hacemos dependiente. Despejando la diferencial invertida dx/dy se tiene: dx xy(1 xy2 ) xy x 2 y 3 dy
Escribiendo la nueva ecuación diferencial en su forma canónica se observa que tiene la forma de la ED de Bernoulli con variable dependiente x , con n =2 : dx xy x2 y3 dy
(1)
Haciendo la sustitución w y1n se tiene:w x12 x 1 w 1 x 1 x w1 x
w
Derivando en forma implícita la ecuación (2) respecto de y, se tiene: dx dw w2 dy dy
Sustituyendo el nuevo valor de dx/dy en la ecuación (1) se tiene:
w2
dw yw1 y 3 w2 dy
(3)
Multiplicando ambos miembros de la ecuación (3) por w2 se tiene: Paso i).
dw yw y 3 dy
Que es una ED lineal en w de primer orden :
Por lo tanto se resuelve por método de los 5 pasos de una ED lineal de primer orden: Paso ii). Así escrita, reconocemos que p( y) y, factor integrante es:
Q( y) y 3 y 2
p ( y ) dy ydy e e 2 F I e
y entonces el
Paso iii). La ecuación del paso i se multiplica por este factor y se obtiene lo siguiente:
wF . I . F . I .Q( y)dy C Paso i v). El lado izquierdo de la ecuación obtenida en el paso iii es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente w ; esto es: y 2
y 2
we 2 e 2 ( y 3 )dy C
(4)
y 2 u , 2
Haciendo las siguientes sustituciones la nueva ecuación (4) de la siguiente manera: y 2
y 2
we 2 ( y 3 )e 2 dy C y 2
y 2
we 2 2ue du C
2u y 2
se tiene
y 2
we 2 ( y 2 )e 2 ( ydy) C y 2
u
du ydy,
we 2 2 ueu du C
Paso v). Se integran ambos lados de la ecuación obtenida en el paso iv para obtener la solución en términos de w y u ; y 2
we 2 2ueu 2eu C
(5)
Paso vi ). Se sustituyen en la ecuación (5) los valores de w y u en términos de x e y ; para encontrar la solución general buscada. y 2
y 2
y 2
x1e 2 y 2e 2 2e 2 C Poniendo la ecuación general en forma explícita, es decir tomando a la variable x como dependiente y a la variable y como independiente se tiene después de despejar lo siguiente:
1 y 2 2 Ce x
y2
2
Solución general
Considerando las condiciones iniciales del problema y (1) 0 solución particular. 1 (0)2 2 Ce 1
( 0) 2 2
, se busca una
1 0 2 Ce0 1 0 2 C 1 2 C C 1
1 y 2 2 e x
y2
2
Solución particular
Reducción a separación de variables por sustitución Una ED de la forma dy /dx = f ( Ax + By + C ) siempre puede reducirse a una ecuación separable por medio de la sustitución u = Ax + By + C.
Resolver dy /dx = (-2 x + y )2 – 7,
y (0) = 0.
Solución:
Sea u = -2 x + y, entonces du/dx = -2 + dy /dx , du/dx + 2 = u2 – 7 ; du/dx = u2 – 9 Que ahora es separable. Al utilizar fracciones parciales,
du dx (u 3)(u 3)
1 1 1 du dx 6 u 3 u 3
1 u 3 ln x c1 6 u 3
u
3(1 ce6 x ) 1 ce6 x
3(1 ce6 x ) y 2 x 1 ce6 x Al aplicar y (0) = 0 se obtiene c = -1.
2
2
3(1 e6 x )
Abajo puedes ver la gráfica de la solución particular
3(1 e6 x ) y 2 x u 2 x 1 e6 x
