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Ecuaciones Dferenciales
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Barranquilla, 20 de febrero de 2015 Universidad Universidad del Norte Norte ´ n de cienc ´ sicas Division o ciencias ias b asicas a ´ ticas y estadistic Depart Departamento amento de matematicas a estadisticas as Ecuaciones Ecuaciones diferenciales diferenciales - Taller 4 Ejercicios
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E ) 5 1 . 2 0 . 7 2 5 1 . 2 0 . 3 2 ( 5 a
Ejemplo 1
Determine si la EDO es exacta, en caso de serlo determine su soluci´on. on.
ln(
x
−
x + y y) + dx + ln(x x y
−
x + y dy = 0 x y
− y) − −
Soluci´ on on
Sean M (x, y) y N (x, y ) continuas y con primeras derivadas parciales en una regi´on on rectangul D entonces una condici´ on necesaria y suficiente para que on M (x, y )dx + N (x, y )dy
sea una diferencial diferencial exacta exacta (es decir, si corresponde corresponde a la diferencial diferencial de alguna funci´ on on f (x, y) definid en D ) es ∂M ∂N = ∂y ∂x
Se tiene a partir de la EDO que M (x, y) := ln(x N (x, y) := ln(x
Por lo tanto
∂M = ∂y
1
−
− (x − y)
+ (x
− y) + xx +− yy − y) − xx +− yy
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−
− y)
+
x + y
(x
Useful Not useful x + y
− y)2 = (x − y)2
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Integrando con respecto a x se tiene que f (x, y
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)= (
M x, y )dx + g (y )
=
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E ) 5 1 . 2 0 . 7 2 5 1 . 2 0 . 3 2 ( 5 a
ln(x
x + y y) + x y
− dx + g(y) = ln ln (x − y ) (x − y ) − x + y + x + 2 ln (x − y ) y + g (y ) = ln ln (x − y ) (x − y ) + y + 2 ln ln (x − y ) y + g (y ) −
Derivando con respecto a y se tiene ∂f ∂ = (ln (ln (x ∂y ∂y
esto es ln (x por lo que
f (x, y ) = ln ln (x
′
x + y = ln(x − y ) − − y) − 2 x −y y + g (y) x−y
g ′ (y ) = 2
De lo anterior,
= N (x, y) − y) (x − y) + y + 2 ln (x − y) y) + g (y) ′
x + y = −1 − x−y x−y y
=
⇒
g(y ) =
−y
− y) (x − y) + y + 2 lnln (x − y) y − y = lnln (x − y) (x + y )
Entonces, la soluci´ on en forma implicita toma la forma on ln (x
− y) (x + y) = C
Ejemplo 2
Determine si la EDO es exacta, en caso de serlo determine su soluci´on. on. up =to0vote on this title ex (x2 ex + ex + xy + y ) dx + (xex +Sign y ) dy Useful Not useful
Soluci´ on on
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entonces
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∂M ∂N = ∂y ∂x
y se puede concluir que la ecuaci´on on diferencial es Exacta es Exacta.. Entonces existe una funci´on on f tal que ∂f = N (x, y ) = xe x + y ∂y
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E ) 5 1 . 2 0 . 7 2 5 1 . 2 0 . 3 2 ( 5 a
Integrando con respecto a y se tiene que
)=
f (x, y
=
N (x, y ) dy + g (x)
(xex + y ) dy + g (x)
1 = x ex y + y 2 + g (x) 2 Derivando con respecto a x se tiene ∂f ∂ = ∂x ∂x
1 xe y + y 2 + g (x) = M (x, y ) 2 x
esto es
′
ex y + xex y + g (x) = ex (x2 ex + ex + xy + y ) ′
por lo que g ′ (x) = ex x2 ex + ex + xy + y
entonces
( )= e
g x
De lo anterior,
2x
−e
x2 + 1 dx =
f (x, y ) = x ex y +
x
y
− xex y = e2 x x2 + 1
1 3 4
1 2 1 y + 3 2 4
− 2 x + 2 x2 e2 x
−2
Entonces, la soluci´ on on en forma impl´ impl´ıcita toma la forma
x + 2 x2 e2 x
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xex y +
1 2 1 y + 3 2 4
Useful
− 2 x + 2 x2 e2 x = C
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Soluci´ on on Como se asume que la EDO es exacta, entonces
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∂M ∂N = ∂y ∂x
donde
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E ) 5 1 . 2 0 . 7 2 5 1 . 2 0 . 3 2 ( 5 a
M (x, y ) := 3 k2 xy + 8 xy 2 N (x, y ) := 6 x2
Por lo tanto
∂M = 3 k2 x + 16 xy ∂y
y
entonces
− 2 (2 − p) x2y
∂N = 12 x ∂x
3 k 2 x + 16 xy = 12 x
− 4 (2 − p) xy
− 4 (2 − p) xy =⇒ (24 − 4 p) xy + 3 k2 − 12 x = 0
Para que lo anterior sea cierto se debe cumplir que 24
− 4 p = 0 ⇒ p = 6
y 3 k2
− 12 = 0 ⇒ k = ±2
es decir la EDO toma la forma (12 xy + 8 xy 2 )dx + (6 x2 + 8 yx 2 )dy = 0
Ejemplo 4
Sign upon, to vote on this title Determine si la EDO es exacta, en caso de serlo determine su soluci´ on, en caso contrario calcule u factor integrante y resuelva la EDO Useful Not useful
[2(x + y )sec2 x + tan x] dx + tan x dy = 0
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y
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∂N = sec2 x ∂x
entonces
∂M ∂N = ∂y ∂x
y se puede concluir que la ecuaci´on on diferencial NO diferencial NO es Exacta; por lo que es necesario determinar u factor integrante. Se observa que
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E ) 5 1 . 2 0 . 7 2 5 1 . 2 0 . 3 2 ( 5 a
g(x) :=
∂M ∂y
− ∂N ∂x N
=
2sec2 x sec2 x sec2 x = tan x tan x
−
entonces el factor integrante viene dado por µ(x) = e
g (x) dx
= e ln(tan x) = tan x
Esto es, la EDO [2(x + y )sec2 x + tan x] tan x dx + tan x tan x dy = 0
·
·
tiene que ser exacta! Comprobemoslo: M (x, y ) := 2(x + y )sec2 x tan x + tan2 x N (x, y ) := tan2 x
Por lo tanto y
entonces
∂M = 2sec2 x tan x ∂y ∂N = 2sec2 x tan x ∂x ∂M ∂N = ∂y ∂x
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useful a una ED Useful Notoriginal y se puede concluir que el factor integrante nos permite llevar a la EDO (equivalente!) Exacta Exacta.. Entonces existe una funci´on on f tal que
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Derivando con respecto a x se tiene ∂f ∂ y tan2 x + g ′ (x) = M (x, y ) = ∂x ∂x
esto es
2y sec2 x tan x + g (x) = 2(x + y )sec2 x tan x + tan2 x ′
por lo que
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E ) 5 1 . 2 0 . 7 2 5 1 . 2 0 . 3 2 ( 5 a
g′ (x) = 2x sec2 x tan x + tan2 x
g (x) = x tan2 x
⇒
De lo anterior, f (x, y ) = y tan2 x + x tan2 x
Entonces, la soluci´ on en forma implicita toma la forma on (y + x)tan2 x = C
Ejercicios E1
Determine si las ecuaciones siguientes son exactas, en caso de serlo determine su soluci´ on. on. 1. (x + arctan y )dx +
x + y dy = 0 1 + y 2
2. y x2 + y 2 )1/2 + x dy + y + x(x2 + y 2 )1/2 dx = 0
3.
(
y
1 − 2
1 (x
− y)2
4. y (x2 + y 2
+ 1 + dx
x
2
1 (x
− y)2
dy = 0
up = to vote − 1) dy + x(x2 + y 2 +Sign 1) dx 0 on this title
5. x2 dx + y 2 dy +
y dx
Useful
− x dy = 0
Not useful
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(5x4
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− 9x2 y2 + 5y4) dx + 2xy(10y2 − 3x2) dy = 0
10. sec x(tan x tan y + y sec x) dx + (sec x sec2 y + tan x) dy = 0 11.
2
y
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E ) 5 1 . 2 0 . 7 2 5 1 . 2 0 . 3 2 ( 5 a
12.
− x1 + cos(3x)
1 + ln
13.
dy y + 2 dx x
− 4x3 − 3y sin(3x) = 0
y x + dx = (1 x
− ln x)dy
1 − 3 + + 1 − 3 + y
x dy
x
y dx = 0
14. (12 xy + 8 xy 2 )dx + (6 x2 + 8 yx 2 )dy = 0
Respuestas Ejercicios E1
1.
1 2
ln 1 + y 2 + x arctan( arctan( y) + 12 x 2 = C
2.
1 3
3.
x
x2 + y 2
3/2
1 2 y + ( x
+ xy = C
− y)
1
−
=
C
4.
1 4 4 y
+ 12 x2
5.
1 3 3 y
− arctan xy + 13 x3 = C
6.
− 1 y2 + 14 x4 + 12 x2 = C
xy sin(x + y ) = C
7. exy + y
8. y = −x + x2C 9.
x5 + 5 xy 4
− 3 x3y2 = C
10. sin y + y sin x cos y = C cos cos x cos y 11. 12. 13.
−x5 + y2x − y + cos cos (3 x) yx = C x ln (x) x − y + y ln (x) = C x − 3 ln(x) + y − 3 ln ln (y ) + xy = C
14. 6 yx2 + 4 y 2 x2 = C
x2
Ejercicios E2
− y2 = C
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Resuelva al ecuaci´on on diferencial sujeta a la condici´on on inicial dada
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Respuestas Ejercicios E2
1.
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2. 3.
y 2 sin(x)
− x3 y + y ln (y) − y − x2 = 0 3 y 2 + 4 xy − y + x2 − 5 x = 2 −6 y2 + x2 = −5y4
4.
x
− 3 lnln (x) + y − 3 ln(y) + xy = 3
5. 6 yx2 + 4 y 2 x2 =
5 2
Ejercicios E3
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E ) 5 1 . 2 0 . 7 2 5 1 . 2 0 . 3 2 ( 5 a
Determine si las ecuaciones siguientes son exactas, en caso de serlo determine su soluci´on, on, en ca contrario calcule un factor integrante y resuelva la EDO 1.
3
6.
2
(4x + 3y )dx + 3xy dy = 0 (y ln y + ye x )dx + (x + y cos y )dy =
2. (sec x + y tan x)dx + dy = 0 7.
3. x(1
− y) dx − dy = 0
1 + 1 tan x
4.
y dx + sec 2 ydy = 0
8. (y 2
− 1) dx + [x − (y2
5.
− 1) + 1] y
(x3 + x + y ) dx
dy = 0
4
x2 + 3 cos cos y )dx
− x sin ydy = 0
− x dy = 0
Respuestas Ejercicios E3
1. µ(x) = x 2 , x3 y3 + x4 = C 2. µ(x) = sec x, 3. µ(x) = e 4. µ(y) =
y + sin sin (x) = C cos(x)
2
x
2
o´ µ(y) = ( 1 + y )
−
1
√ y − 1 (y + 1)
1
−
2
,e
x
2
( 1 + y ) = C
−
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Not useful √ y − 1 −3 x + 2 y√ y + 1 − 2 √ Useful y + 1 √ y + 1 , = C 3/2
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Ejercicios E4
Determine si la funci´on on dada es un factor integrante para la EDO, en tal caso resuelva la EDO. Sheet Music
1. y (3 + 2 xy ) dx + 2x (1 + xy ) dy = 0;
µ(x, y ) =
2.
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E ) 5 1 . 2 0 . 7 2 5 1 . 2 0 . 3 2 ( 5 a
y (x2 + y 2
− 1) dx + x(x2 + y 2 + 1) dy = 0;
µ(x, y ) =
3. y (2 + xy ) dx + x(1 + xy ) dy = 0;
µ(x, y ) =
1 xy
1 x2 + y 2
1 xy
4. y (y 2 + 1) dx + x (y 2
µ(x, y ) = x −1 y −2
− 1)ln x dy = 0;
5. (y 2
− 1) dx + [x − (y2 − 1)] dy = 0;
µ(x, y ) = x + y
Respuestas Ejercicios E4
1. Si es factor factor integrante integrante,, 3 ln ln (x) + 2 xy + 2 ln ln (y ) = C Ejercicios E5
Encuentre los valores de k de manera que la ecuaci´on on diferencial sea exacta. 1. (y 3 + kxy 4
− 2x)dx + (3xy2 + 20x2 y3)dy = 0 2. (2x − y sin(xy ) + ky 4 )dx − (20xy 3 + x sin(xy ))dy = 0 3. (k x2 y 2 − x sin y )dy = −(6xy 3 + cos(y ))dx Sign up to vote on this title
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