ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Definición 1. La diferencial de una función de una o más variables es llamada una diferencial exacta. Definición 2.
Si Μ ( x, y )dx + Ν ( x, y )dy = 0 se multiplica por u ( x, y ) para obtener
u ( Μdx + Νdy ) = 0 cuyo lado izquierdo es una diferencial exacta, decimos que hemos
hecho exacta la ecuación diferencial. Definición 3. La función multiplicadora p es llamada un factor integrante de la ecuación diferencial Μ dx + Νdy = 0 En el método de separación de variables, hemos, sin darnos cuenta, hecho uso de las ideas anteriores. Por ejemplo, en la ecuación diferencial ( 2 x 2 y ) dx − xdy = 0 Después multiplicamos la ecuación por el factor integrante “apropiado” u =
1 xy
para
1⎞ dy ⎛ obtener ⎜ 2 x + ⎟ dx − =0 x ⎠ y ⎝
Esto es,
(
)
d x 2 + ln x − ln y = 0
x + ln x − ln y = 0 2
o
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS Si la ecuación diferencial Μ ( x, y )dx + Ν ( x , y )dy = 0 es exacta, entonces por definición hay una función U ( x, y ) tal que Μ ( x , y )dx + Ν ( x , y )dy = dU (1) Ejemplo:
La
ecuación
x y dx + x y dy = 0 2
2
3
2
es
exacta,
por
que
⎛1 ⎞ d ⎜ x 3 y 3 ⎟ = x 2 y3 dx + x3 y 2 dy. ⎝3 ⎠ Pero, del cálculo elemental, dU =
∂U ∂U dx + dy ∂ x ∂y
(2) y así, al comparar (1) y (2), vemos
∂U ∂U =Ν (3) = Μ, ∂ y ∂ x Diferenciando la primera de las ecuaciones (3) con respecto a y, y la segunda con respecto que:
∂ 2U
∂Μ
∂ 2U
∂Ν
Obsérvese
que,
en
el
ejemplo,
si M ( x, y ) = x 2 y 3 y N ( x, y ) = x3 y 2 ,
entonces
∂ M / ∂y = 3x 2 y 2 = ∂N / ∂x. indica que esta igualdad de derivada parcial no es una casualidad. CRITERIO PARA UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA Sean continuas M ( x, y ) y N ( x, y ) , con derivadas parciales continuas en una región rectangular, R, definida por a < x < b, c < y < d . Entonces, la condición necesaria y suficiente para que M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy sea una diferencial exacta es que
∂ M ∂N = ∂ y ∂x
DEMOSTRACIÓN DE LA NECESIDAD para simplificar supongamos que M ( x, y ) y N ( x, y ) tiene primeras derivadas parciales continuas en toda
( x, y ) . Si la expresión
M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy es exacta, existe una función f tal que, para todo X de R, M ( x, y ) dx + N ( x , y ) dy =
∂ f ∂f dx + dy . ∂ x ∂y
∂ f ∂f ∂ M ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂ 2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂N En consecuencia: M ( x, y ) = ;N ( x, y ) = Y = ⎜ ⎟= = ⎜ ⎟= ∂ x ∂y ∂ y ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂y ∂x ∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂x La igualdad de las derivadas parciales mixtas es consecuencia de la continuidad de las primeras derivadas parciales de M ( x, y ) y N ( x, y ) . MÉTODO DE SOLUCIÓN
Dada una ecuación de la forma M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0, se determina si es válida la igualdad
∂Μ ∂Ν ∂ f ( x, y ) = . En caso afirmativo, existe una función para la cual = M ( x, y ) ∂ y ∂x ∂ x
Podemos determinar f si integramos M ( x, y ) con respecto a x, manteniendo Y constante: f ( x, y ) = ∫ M ( x , y ) dx + g ( y )(*) En donde la función arbitraria g ( y ) es la “constante” de integración. Ahora derivamos la
g ′ ( y ) = N ( x, y ) −
∂ M ( x , y ) dx. ∂ y ∫
Por último, a ese resultado lo integramos con respecto a Y, para obtener el valor de g ( y ) y sustituimos el resultado en la ecuación (*) dada. La Solución de la ecuación es f ( x, y ) = c.
Resumen del procedimiento para solucionar este tipo de ecuaciones diferenciales 1. Se integra M( x , y ) con respecto a “x” (cuando se integra con respecto a “x”, entonces “y” es constante) se reemplaza la constante de integración por una función de “y” (g(y)).
∫
f ( x , y ) = M ( x , y )dx = F ( x, y ) + g ( y )
2. Se deriva la función F ( x, y ) + g ( y) con respecto a “y”, se iguala con N (x, y)
∂F ( x, y ) ∂g ( y ) + = N ( x, y ) ∂ y ∂y 3. Se integra ambos lados del resultado de la ecuación anterior con respecto a “y”, para obtener el valor de g (y) y se sustituye este resultado en el paso "1". Nota: Es pertinente hacer unas observaciones. La primera, es importante darse cuenta, que la expresión N ( x, y ) − ( ∂ / ∂y ) ∫ M ( x, y ) dx es independiente de x por que
⎤ ∂ N ⎛ ∂ ∂ ⎡ ∂ ⎞ ∂N ∂M , , N x y M x y dx M ( x , y ) dx ⎟ = − = − =0 ( ) ( ) ⎜ ⎢ ⎥ ∫ ∫ ∂ x ⎣ ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ y x x y ⎝ ⎠ ⎦ En segundo lugar, también pudimos iniciar el procedimiento anterior suponiendo que
∂ f / ∂y = N ( x, y ) dy. después de integrar N con respecto a y derivar el resultado, con respecto a x, llegaríamos a los análogos que serían, respectivamente.
∫
f ( x , y ) = N ( x, y ) dy + h ( x )
h ' ( x ) = M ( x, y ) −
y
ambos casos, no se deben memorizar las formulas. Ejemplo 1. Resolver 2
dx +
(
2
1) dy
0
∂ N ( x , y ) dy . En ∂ x ∫
∫
∫
f ( x, y ) = M ( x, y ) dx + g ( y ) ⇒ f ( x, y ) = 2xydx xydx + g ( y ) ⇒ f ( x, y ) = x 2 y + g ( y )
Determinamos la derivada parcial con respecto a y, e igualamos el resultado a N ( x, y ) f ( x, y ) = x y + g ( y ) ⇒ 2
Por lo tanto,
∂ f ( x, y ) = x 2 + g ´( y ) ⇒ x 2 + g ´( y ) = x 2 − 1 ∂ y
∫
∫
g´( y ) = −1 ⇒ g´( y ) dy = − dy ⇒
g ( y ) = − y.
No es necesario incluir la constante de integración en este caso por que la solución es 2 f ( x, y ) = c. En la figura se ilustran algunas curvas de la familia la familia x y − y = c.
Nota:
La
solución
de
la
ecuación
no
f ( x, y ) = x y − y, 2
es
sino
es
f ( x, y ) = c o f ( x, y ) = 0, si se usa una constante en la integración de g ' ( y ) . obsérvese
que la ecuación también se podría haber resuelto por separado de variables. Ejemplo 2. Resuelva 2 xydx + ( x 2 + cos y ) dy = 0 Solución: Μ = 2 xy; Ν = x 2 + cos y ,
∂Μ ∂Ν = 2x = Y la ecuación es exacta. Así f ( x, y ) ∂ y ∂x
∂ f ∂ f = 2 xy, = x 2 + cos y ∂ y ∂ x Integrando la primera ecuación con respecto a x da existe tal que
∫
2 f ( x, y ) = 2 xydx + g ( y ) ⇒ f ( x, y ) = x y + g ( y)
Se deriva
resultado
∂ f ( x, y )
2
′ ( ) ahora
igualan las
( xy − 1) dado que y = 1 donde x = 0 Ejemplo 3. Resuelva y ′ = (1 − x y ) 2
2
Solución: ( xy 2 − 1) dx + ( x 2 y − 1) dy = 0 tenemos: Μ ( x, y ) = xy 2 − 1, Ν( x, y) = x2 y − 1
∂Μ ∂Ν ∂ f ( x , y ) = = 2 xy y la ecuación es exacta. Así, de =Μ ∂ y ∂x ∂ y encontramos f ( x, y ) = −
2
x y
2
2
y
∂ f ( x , y ) =Ν ∂ x
−x− y =c 1
Usando la condición de que y = 1 donde x = 0 tenemos finalmente x 2 y 2 − x − y = −1 2
El estudiante puede encontrar más fácil resolver ecuaciones exactas por un método de inspección conocido como “agrupación de términos”. Este está basado en la habilidad de reconocer ciertas diferenciales exactas. Como hemos visto, es útil tener una intuición para evitarse el engorroso empleo de la fórmula de reconstrucción. Para ayudar en esa intuición sirve la siguiente lista: d ( xy ) = xdy + ydx
⎛ x ⎞ ydx − xdy ⎟= y y2 ⎝ ⎠ d ( x 2 + y 2 ) = 2( xdx + ydy )
d ⎜
d (arctg d (log
( )) = x y
( )) = x y
ydx − xdy x + y 2
2
ydx − xdy xy
Ejemplo 4. Resuelva 2 xydx + ( x 2 − seny ) dy = 0 Solución La ecuación es exacta. Si agrupamos los términos como sigue:
( 2 xydx + x dy ) − senydy = 0 2
Entonces
(
)
d x 2 y + d ( cos y ) = 0
ò
(
)
d x 2 y + cos y = 0
Así, la solución es x 2 y + cos y = c
( xy Ejemplo 5. Resuelva y′ = (
2
− 1) 2
)
por “agrupación de términos”.
2 2 ⎛ x 2 y 2 ⎞ ⎛ x 2 y 2 ⎞ x y −x − y =c d⎜ ⎟ − dx − dy = 0 Esto es, d ⎜ ⎟− x− y = 0 ⇒ 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
En general, el método de agrupación produce resultados más rápidos pero requiere más experiencia. El método general requiere menos ingenio Ejemplo 6. Resolver ( e2 y − y cos xy ) dx + ( 2 xe2 y − x cos xy + 2 y ) dy = 0. Solución La ecuación es exacta, por que
∂ M ∂N . = 2e2 y + xysenxy − cos xy = ∂ y ∂x
Entonces, existe una función f ( x, y ) para la cual
∂ f ∂f y N ( x, y ) = . ∂ x ∂y Para variar, comenzaremos con la hipótesis que ∂ f / ∂y = N ( x, y ) ;
M ( x, y ) =
Esto es,
∂ f = 2 xe2 y − x cos xy + 2 y ⇒ f ( x , y ) = 2x ∫ e 2 ydy − x ∫ cos xy dy + 2∫ y dy . ∂ y
Recuérdese que la razón por la que X sale del símbolo
∫
es que en la integración con
respecto a y, se considera que X es una constante ordinaria. Entonces f ( x, y ) = xe
2 y
− sen xy + y 2 + h ( x )
∂ f ( x, y ) 2 y = e − y cos xy + h ' ( x ) = e 2 y − y cos xy ∂ x
← M ( x, y )
Así que Así que h ' ( x ) = 0, o h ( x ) = c; por consiguiente, una familia de soluciones es xe y − sen xy + y + c = 0. 2
2
Ejemplo 7. Resolver el problema de valor inicial
( cos x sen x − xy ) dx + y (1 − x ) dy = 0, y ( 0 ) = 2. 2
2
Solución La ecuación es exacta, por que Entonces
∂ f = y (1 − x 2 ) ∂ y
∂ M ∂N = −2 xy = ∂ y ∂x
La última ecuación implica que h ' ( x ) = cos x se s en x. Al integrar obtenemos h ( x) = −
Así
y
∫ ( cos x ) ( − sen x )dx = − 2
(1 − x ') −
2
1 2
cos2 x = c1
1
cos 2 x.
2
o sea y 2 (1 − x 2 ) − cos2 x = c ,
En donde C, reemplazo a 2c1. para que se cumpla la condición inicial y = 2 cuando x = 0, Se requiere que 4 (1) − cos 2 ( 0) = c es decir, que c = 3. Así una Así una solución del problema es
(
)
y 2 1 − x 2 − cos 2 x = 3.
Observación Al probar si una ecuación es exacta se debe asegurar que tiene la forma precisa M ( x, y ) dx + N ( x, y ) dy = 0. Quizás en ocasiones haya una ecuación diferencial de la dx = H ( x, y ) dy dy. en este caso se debe reformular primero como forma C ( x , y ) dx G ( x , y) dx − H ( x, y ) dy dy = 0, y después identifica M ( x, y ) = G ( x, y ) , y N ( x, y ) = − H ( x, y )
y solo entonces aplicar la ecuación respectiva EJERCICIOS RESUELTOS 1) x ( 6 xy + 5) dx + ( 2 x3 + 3 y ) dy = 0
∂ M ∂N = 6 x 2 = ∂ y ∂x Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x" 2 x3 y +
5 2
x + G( y ) 2
Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo con "N" 2 x 3 + G(′ y ) = 2 x 3 + 3 y Paso 3: Despejar G(′ y ) e integrar con respecto a “y”
∫
G(′ y ) = 3 y ⇒ G(′y ) = 3 ydy ⇒ G(′y) =
3 y 2 2
+c
2) ( ye xy + 2 xy ) dx + ( xexy + x2 ) dy = 0
∂ M ∂N = e xy + xye xy + 2 x = ∂ y ∂x Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x”
∫ ( ye
xy
+ 2 xy ) dx = e xy + x2 y + G( y )
Paso 2: Derivar con respecto a "y" e igualarlo a "N" xe xy + x 2 + G(′ y ) = xe xy + x 2 Paso 3: Despejar G(′ y ) e integrar con respecto a “y”
∫
G(′ y ) = 0 ⇒ G( y ) = 0dy = c
Sustituir G( y ) en el paso “1” Solución general e xy + x2 y = c
3) ( 3 y + e x ) dx + ( 3x + cos y ) dy = 0
∂ M ∂N =3= ∂ y ∂x Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x" ∫ ( 3 y + e x ) dx = 3xy + e x + G( y ) c os y Paso 2: Derivar este resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N" 3 x + G(′ y ) = 3x + co
Paso 3: Despejar G(′ y ) e integrar con respecto a “y” 4) ( 4 x3e x + y + x 4e x + y + 2x ) dx + ( x 4e x + y + 2x ) dy = 0 ⇒ y ( 0) = 1
∂ M 3 x+ y ∂N 4 x e + x 4e x + y = ∂ y ∂x
∫ ( x e e 4 x
y
+ 2 y ) dy = x 4e xe y + y 2 + G( x ) ⇒ 4 x 3e xe y + x 4e xe y + G(′x) = 4 x 3e xe y + x 4e xe y + 2x
Despejar G(′ ) e integrar con respecto a “x”, luego sustituir la condición inicial y( 0) = 1 .
5) ( 2 x sen y + y 3e x ) dx + ( x 2 cos y + 3y 2e x ) dy = 0
∂ M ∂N = 2 x cos y + 3 y 2e x = ∂ y ∂x
∫
∫
2 sen y xdx + y 3 e x dx = x 2 sen y + y 3e y + G( y ) ⇒ x 2 cos y + 3 y 2e x + G(′x ) = x 2 cos y + 3y 2e x
Despejar G(′ y ) e integrar con respecto a "y" G(′ y ) = 0 ⇒ G( y ) = c ⇒ x sen y + y e = c 2
6) ( x3 cos y + 4 y )
3
x
∂ y + 2 x sen y = −5 ∂ x
( 2 x sen y + 5) dx + ( x 2 cos y + 4 y ) dy = 0 ⇒
∫
∂ M ∂N = 2 x cos y = ∂ y ∂x
∫
2 2 2 2 sen y xdx + 5 dx = x sen y + 5 x + G( y ) ⇒ x cos y + G(′y ) = x cos y + 4 y ⇒
G(′ y ) = 4 y ⇒ G( y ) = 2 y + c ⇒ x sen y + 5 x + 2 y = c 2
2
2
⎛ 1 y ⎞ 2 2x 1 0 7) ⎜ ye2 x + + − = ⇒ = dy y e dx y ( ) ⎟ ( 0) 1 + 4 y 2 ⎠ 2 ⎝ ∂ M ∂N = 2 ye2 x = ∂ y ∂x y
2
∫
∫
e ∂x − ∂x = 2 x
G( y ) =
1 8
2 2
y e x
2
− x + G( y ) ⇒ ye2 x + G(′y ) = ye2 x +
ln 1 + 4 y 2 + c
Solución general: 4 y 2e2 x − 8 x + ln 1 + 4 y 2 = c Solución particular: 4 y 2 e2 x − 8 x + ln 1 + 4 y 2 = 1 + ln 2 8) 2 y sen xy dx + ( 2x sen xy + y 3 ) dy = 0
∂ M ∂N cos xy = = 2 sen xy + 2 xy co ∂ y ∂x
y
1 + 4 y
2
⇒ G(′y ) =
y
1+ 4 y
⇒
Solución general: −2cos xy +
y
4
4
=c
9) cos y dx − ( x sen y − y 2 ) dy = 0
∂ M ∂N = − sen y = ∂ y ∂x
∫ cos y dx = x cos y + G( ) ⇒ − x sen y + G(′ ) = − x sen y + y
2
y
y
Solución general: x cos y +
y
3
3
⇒ G(′y) = y ⇒ G( y) =
=c
10) ( 2 x + 3 y + 4 ) dx + ( 3 x + 4 y + 5 ) dy = 0
∂ M ∂N =3= ∂ y ∂x
∫ ( 2 x + 3 y + 4 ) dx = x
2
+ 3xy + 4x + G( y ) ⇒ 3x + G(′y ) = 3x + 4 y + 5 ⇒
G(′ y ) = 4 y + 5 ⇒ G( y) = 2 y + 5 y + c 2
Solución general: x2 + 3xy + 4 x + 2 y2 + 5 y = c 11) ( 2 x + y ) dx + ( x − 2 y ) dy = 0
∂ ∂ (2 x + y ) = 1; 1; (x − 2 y) = 1 ∂ y ∂x 2 x dx + y dx + x dy − 2 y dy = 0; 2 2 2 2 d ( x ) + d ( xy ) − d ( y ) = 0 ⇒ x + xy − y = C.
t
12) (1 + ln y ) dt + ( ) dy = 0 y
1 ∂ t 1 ∂ (1 + ln ln y ) = ; ( ) = ∂ y y ∂t y y
∫
F (t , y ) = (1 + ln y ) dt + g ( y );
2
y 3
3
+c
∂ t t t F (t , y ) = ⇒ + g´( y ) = ⇒ g´(y) = 0 y y y ∂ y F(t, y) y) = t + t ln y + C2 .
y g(y) = C1 ;
c os y + 2 x) dx − ( sen x sen y + 2 y ) dy = 0 13) ( cos x co
⎧∂ ⎪⎪ ∂ y (cos x cos y + 2 x) = − cos x sen y; ⎨ ⎪ ∂ (−(sen x sen y + 2 y ) = − cos x sen y; ⎪⎩ ∂ x cos x cos y dx + 2 x dx − sen x sen y dy − 2 y dy = 0; cos x cos y dx − sen x sen y dy + 2 x dx − 2 y dy = 0; 2 2 d (sen x cos y ) + d ( x ) − d ( y ) = 0;
sen x cos y + x 2 − y 2 = C. y
14) (e x sen y − 3 x 2 ) dx + (e x cos y +
) dy = 0
∂ x y (e cos y + ) = e x cos y ∂x 3
e sen y dx + e cos y dy − 3x dx + x
3
− 23
∂ x (e sen y − 3x 2 ) = e x cos y ; ∂ y x
− 23
2
y
− 23
3
dy = 0;
1
1
x x 3 3 d (e sen y ) − d ( x ) + d ( y 3 ) = 0 ⇒ e sen y − x + y 3 = C. C.
15) cos θ dr − (r sen θ − eθ ) dθ = 0
∂ ∂ (cos θ ) = − sen θ ; ( − (r sen θ − eθ ) = − sen θ ∂θ ∂r cos θ dr − r sen θ dθ + eθ dθ = 0 θ θ d (r cos θ ) + d (e ) = 0 ⇒ r cos θ + e = C 1
x
y
y
16) ( ye xy − ) dx + ( xe xy +
2
) dy = 0
1 1 ∂ xy xy ( ye − ) = e (1 + yx ) + 2 ; ∂ y y y
1 x ∂ xy xy ( xe + 2 ) = e (1 + yx ) + 2 ∂x y y
e ( y dx + x dy ) + xy
x dy − y dx y
2
= 0;
⎛ x ⎞ ⎛x⎞ x xy xy ⎟ = 0 ⇒ d (e ) − d ⎜ ⎟ = 0 ⇒ e − = C. y ⎝ y ⎠ ⎝y⎠
e d ( xy ) − d ⎜ xy
17) et ( y − t ) dt + (1 + et )dy = 0
∂ t ∂ ( e ( y − t )) = e t ; (1 + e t ) = e t ∂ y ∂t
ye dt − te dt + dy + e dy = 0 ⇒ ye dt + e dy + dy − te dt = 0 t
t
t
t
t
∫
t
t
∫
t
e dt = dv; e = v; t
d ( ye ) + dy − te dt = 0 ⇒ ye + y − te dt = C ⇒ t
t
t
t = u;
dt = du;
ye + y − te + e dt = C ⇒ ye + y − te + e = C ⇒ y(e +1) + e ( 1 −t) = C. t
t
t
t
t
t
t
⎛ ⎞ ⎛ x ⎞ y 18) ⎜ 2 x + + − 2 dx y ⎜1+ 2 2 ⎟ dy = 0 2 2 ⎟ 1 + x y x y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧ ∂ ⎛ ⎞ 1 + x 2 y 2 − 2 x 2 y 2 1 − x 2 y 2 y ⎟= ; = ⎪ ⎜⎜ 2 x + 2 2 ⎟ 2 2 2 2 2 2 y ∂ + 1 x y ( 1 ) ( 1 ) + + x y x y ⎝ ⎠ ⎪ ⎨ ⎞ 1 + x 2 y 2 − 2 x 2 y 2 1 − x 2 y 2 x ⎪ ∂ ⎛ ⎜ ⎟ = ; ⎪ ∂ x ⎜ 1 + x 2 y 2 − 2 y ⎟ = 2 2 2 2 2 2 (1 + x y ) (1 + x y ) ⎠ ⎩ ⎝ 2 x dx − 2 y dy + d (x − y 2
2
)+
y dx + x dy
1 + x 2 y 2
d ( xy )
1 + x y 2
2
=0
= 0 ⇒ d ( x 2 − y 2 ) + d (arctg xy ) = 00;;
x − y + arctg (xy) = C ⇒ xy = tg (C − x + y 2
2
2
2
).
19) ⎡⎣ 2 x + y 2 − cos( x + y ) ⎤⎦ dx + ⎡⎣ 2xy − cos(x + y ) − e y ⎤⎦ dy = 0
⎧∂ 2 ⎪⎪ ∂ y [2 x + y − cos( x + y )] = 2 y + sen ( x + y ); ⎨ ⎪ ∂ [2 xy − cos( x + y ) − e y ] = 2 y + sen( x + y ); ⎪⎩ ∂ x
t
d ( x ) − d (e y ) + d ( xy ) − cos( x + y )(dx + dy ) = 0; 2
2
d ( x ) − d (e y ) + d ( xy ) − cos( x + y ) d (x + y ) = 0; 2
2
d ( x ) − d (e y ) + d ( xy ) − d (sen(x + y )) = 0 ⇒ x − e y + xy − sen (x + y) = C. 2
2
2
2
⎡ 2 ⎤ − y cos( xy )⎥ dx + ⎡ x cos( xy ) − y ⎤ dy = 0 20) ⎢ + 2 ⎣ ⎦ ⎣ 1 − x ⎦ 1 3
⎧∂ ⎡ 2 ⎤ cos( ) + y xy ⎪ ⎢ ⎥ = cos( xy) − sen( xy); ⎪ ∂ y ⎣ 1 − x 2 ⎦ ⎨ − 13 ⎤ ⎪∂ ⎡ − = cos( xy) − sen( xy ); cos( ) x xy y ⎪⎩ ∂ x ⎢⎣ ⎥⎦ 2 dx 1 − x 2
− 13
+ y cos( xy) dx + x cos( xy) dy − y dy = 0;
2 d (arcsen x) + d (sen( xy )) − d (
3 2
2
y ) = 0 ⇒ 2 arcsen x + sen (xy) − 3
3 2
2
y 3 = C.
21) ( y 3 − y 2 senx − x )dx + (3xy 2 + 2 y cos x )dy = 0 M ( x, y ) = y 3 − y 2senx − x ; N (x , y ) = 3xy 2 + 2y cos x ⇒
∂ M ∂N = 3y 2 − 2ysenx = ∂ y ∂x
2 x ∂ f ∂f 3 2 2 3 2 = y − y s e n x − x y = 3xy + 2 y cos x ⇒ f (x , y ) = y x + y cos x − + g (y ) ∂ x ∂y 2 ∂ f ( x, y ) = 3xy 2 + 2 y cos x + g ′( y ) ⇒ 3xy 2 + 2 y cos x + g ′( y ) = 3xy 2 + 2y cos x , ∂ y
g ′( y ) = 0 ⇒ g ( y ) = c ⇒ y cos x − 2
x
2
2
+ xy 3 = c
1 ⎞ dx ⎛ 22) ⎜ x 2 y 3 − + x3 y 2 = 0 2 ⎟ 1 + 9 x ⎠ dy ⎝ ( x 2 y 3 −
1 1 + 9 y
) dx + x3 y 2 dy = 0 ⇒ M ( x, y) = x2 y3 − 2
N ( x, y ) = x3 y 2 ⇒
1 1 + 9 x2
⇒
∂ M ( x, y) = 3 x2 y2 ∂y
∂ N ∂M ∂N = 3 x2 y2 ⇒ ( x, y) = 3 x2 y2 = ( x, y) ∂ ∂ ∂
1 3 3 1 ∂F F(x, y) = x y − arctan(3x) + g( y) ⇒ ( x, y) = x3 y2 + g´( y) 3 3 ∂ y 3 2 3 2 x y + g´( y) = x y ⇒ g´( y) = 0 , Inte Integ gran rando g( y) = c , pero ero F( x, y) = c , sust sustitu ituye yen ndo en
1 3 3 1 1 3 3 1 F(x, y) = x y − arctan(3x) + g( y), se obtiene x y − arctan(3 x) = C, Multiplicando por (−) 3 3 3 3 arcta rctan( n(3 3 x)
la solución general :
3
−
3
x y
3
3
= −C
23) (2 x − 1)dx + (3 y + 7)dy = 0 M ( x, y ) = 2 x − 1;
N (x , y ) = 3y + 7
∂ M ∂N ∂M ∂N ( x, y ) = 0; 0; ( x, y ) = 0 ⇒ (x , y ) = (x , y ) ∂ y ∂x ∂y ∂x
∫ M ( x, y ) dx + g ( y ) ⇒ f ( x, y ) = ∫ ( 2 x − 1) dx + g ( y ) f ( x , y ) = 2 ∫ xdx xd x − ∫ dx + g ( y ) ⇒ f ( x , y ) = x − x + g ( y ) f ( x , y ) =
2
df dy
( x , y ) = g ´( y ) ⇒ g ´( y ) = 3 y + 7 ⇒ g ( y ) =
∫
∫
g ( y ) = 3 ydy + 7 dy ⇒ g ( y ) = x − x + 2
3 y 2 2
3 y 2 2
∫ (3 y + 7 )dy
+ 7 y ⇒ f ( x, y ) = x − x + 2
+ 7 y = C
2 24) (1− 2 x − 2 y)
dy dx
= 4x3 + 4xy
(4 x 3 + 4 xy )dx − (1 − 2x 2 − 2 y )dy = 0 ⇒ (4x 3 + 4xy )dx + ( 2x 2 + 2 y −1)dy = 0 M ( x, y ) = 4x 3 + 4xy;
∂ M ( x, y ) = 4x; ∂ y
N ( x , y ) = 2x 2 + 2y − 1
∂N ( x , y ) = 4x ∂x
∫
∫
3 f ( x, y ) = M ( x , y )dx + g ( y ) ⇒ f (x , y ) = ( 4x + 4xy )dx + g (y )
f ( x y )
x + 2x y + g ( y ) ⇒ 4
2
∂ f
(x y )
2x 2 + g ´( y )
3 y2 2
+ 7y⇒
g ( y ) = y 2 − y ⇒ f ( x , y ) = x 4 + 2 x 2 y + g ( y ) ⇒ f ( x, y ) = x 4 + 2 x 2 y + y 2 − y
c o m o y ( x , y ) = C ⇒ x 4 + 2 x 2 y + y 2 − y = C y ⎞ ⎛ 25) ⎜1 + ln x + ⎟ dx = (1− ln x) dy x ⎠ ⎝
∂N ( x, y) 1 y ∂ M ( x, y) 1 = ; N ( x, y) = −1+ ln x ⇒ = ⇒ M ( x, y) =1+ ln x + ⇒ ∂y ∂x x x x M ( x, y) = N ( x, y)
∫
f ( x,y) = N ( x, y)dy + g ( x) ⇒ f ( x,y ) = f ( x,y) = − y + y ln x + g ( x) ⇒ y x
+ g ' ( x ) = 1 + ln x +
y x
⇒−∫ dy + ∫ ln xdy + g ( x ) ∫ (−1+ ln x)dy + g ( x) ⇒−
∂ f ( x,y) y = + g ' ( x) ∂ x x
⇒ g ' ( x ) = 1 + ln x ⇒ g ( x ) = ∫ (1 + ln x )dx
∫ dx + ∫ ln xdx ⇒ g ( x ) = x + x ln x − x ⇒ g ( x ) = x ln x ⇒ f ( x,y ) = −y + y ln x + g (x ) f ( x,y) = − y + y ln x + x ln x como como f(x,y f(x,y)= )=cc ⇒ −y + y ln x + x ln x = c ⇒ ( x + y ) ln x − y = c
26) ( y 2 cos x − 3x 2 y − 2 x )dx + (2 ysenx − x 3 + ln y )dy = 0, y (0) = e 2 2 3 M ( x, y ) = y cos x − 3x y − 2x ; N (x , y ) = 2ysenx − x + ln y
∂ M ∂N = 2 y cos x − 3x 2 ) = ∂ y ∂x
∫
f ( x, y ) = ( y cos x − 3x y − 2x )dx ⇒ f (x , y ) = y senx − x y − x + g (y ) 2
2
2
3
2
∂ f ( x, y ) = 2 ysenx − x 3 + ln y + g ′( y ) ⇒ 2 ysenx − x 3 + g ′( y ) = 2 ysenx − x 3 + ln y ∂ y
∫
∫
g′(y)=lny ⇒ g ′( y )dy = ln ydy ⇒ g ( y ) = y ln y − y ⇒ y 2 senx − x 3 y − x 2 + y ln y − y = c 2 3 2 x = 0, y = e ⇒ e sen 0 − 0 e − 0 + e ln e − e = c ⇒ c = 0
la solución particular es y senx − x y − x + y ln y − y = 0 2
3
27) (3 x 2 y 3 + 4 xy )dx + (3x 3 y 2 + 2x 2 )dy = 0
2
∫
f ( x, y) = (3x y + 4xy)dx ⇒ f (x, y ) = x y + 2x y + g ( y ) 2
3
3
3
2
∂ f ( x, y) = 3 x3 y 2 + 2x2 + g´( y ) ⇒ 3x 3 y 2 + 2x 2 + g ´( y ) = 3x 3 y 2 + 2x 2 ⇒ g ´(y ) = 0 ∂ y g ( y) = c ⇒ f ( x, y) = x y + 2x y + g ( y ) ⇒ x y + 2x y = c 3
3
2
3
3
2
⎛ 3 y 2 − x 2 ⎞ dy x 28) ⎜ + = 0; y (1) = 1 ⎟ 5 4 y dx 2 y ⎝ ⎠ ⎛ 3y 2 − x2 ⎞ 2x ∂M ( x , y ) xdx +⎜ =− 5 ⎟ dy = 0 ⇒ M ( x, y ) = 4 ⇒ 4 5 2 y 2y y ∂y ⎝ y ⎠ 3 y 2 − x 2 2x ∂N ( x, y ) N ( x, y ) = ⇒ = − 5 5 ∂x y y xdx
2 x ∂f(x,y) f ( x, y ) = ∫ 4 + g ( y ) ⇒ + g (y) ⇒ = − 5 + g '( y ) ∂y 2 y 4 y4 y
1 x2
xdx
−
x
2
y
5
+ g '( y ) =
f ( x, y ) =
x
2
4 y 4
3y2 y
−
5
−
3 2y2
x
2
y
5
⇒ g '( y ) = 3 y ⇒ g ( y ) = 3∫ y dy ⇒ g ( y ) = −3
−3
3y
−2
−2
3
⇒ g ( y ) = − y −2 2
, como f ( x , y ) = c ⇒ c
condiciones x=1 , y=1 ⇒
(1) 2 4(1) 4
−
3 2(1) 2
2
5
x
4
4 y 4
=c =− ⇒
−
3 2y2
5
x − 6y + 5y
4
y
=− ⇒
2
2
4
4
=0
29) ( y 3 − y 2 senx − x )dx + (3xy 2 + 2 y cos x )dy = 0 M (x, y) = y3 − y 2senx senx − x ; N (x , y ) = 3xy 2 + 2y cosx ⇒
∂ M ∂N = 3y 2 − 2ysen ysenxx = ∂ y ∂x
2 x ∂ f ∂f 3 2 2 3 2 = y − y senx = 3xy + 2y cos x ⇒ f (x, y ) = y x + y cos x − +g (y ) senx − x y 2 ∂ x ∂y ∂ f ( x, y) = 3xy2 + 2y cos x + g ′(y ) ⇒ 3xy2 + 2y cos x + g ′(y ) = 3xy 2 + 2y cos x , g ′(y ) = 0 ⇒g (y ) =c ∂ y
x2
cos x − la solución general es y cos 2
2
+ xy3 = c
∂F ∂F dx + dy = 0; F ( x, y ) = C ; ∂ x ∂ y
dF ( x, y ) =
∂F ∫ ∂ x dx + g ( y); F ( x, y ) = ∫ ( 2 xy + 3) dx + g ( y ); F ( x, y ) =
F ( x, y ) = x 2 y + 3 x + g ( y );
⎧ ∂F ( x, y ) ∂ 2 = ( x y + 3 x + g ( y )); ⎪ ∂ y ∂ y ⎪ ⎨ ⎪ ∂F ( x, y ) = x 2 − 1; ⎪⎩ ∂ y ∂ 2 ( x y + 3 x + g ( y )) = x 2 − 1; ∂ y x 2 + g´( y ) = x 2 − 1; g´( y ) = −1;
g ( y ) = − y;
2 F(x,y) = x y + 3 x − y = C ;
→ y ( x 2 − 1) = C − 3 x.
)
y x 2 − 1 = C − 3 x
31) (1 / y ) dx − (2 y − x / y 2 ) dy = 0
⎧∂ 1 ⎨ ( y ) = − 1 y 2 ; ⎩ ∂ y dx y dx y
− 2 y dy + +
x dy y
2
2
y
2
dy = 0;
− 2 y dy = 0;
y dx + x dy y
x
∂ ( −2 y + x 2 ) = 1 2 ; y y ∂ x
− 2 y dy = 0;
y dx + x dy − 2 y 3 dy = 0;
EJERCICIOS PROPUESTOS Escriba cada ecuación en la forma Μ ( x, y )dx + Ν ( x , y )dy = 0 pruebe la exactitud, resuelva aquellas ecuaciones que son exactas. a ) 3 xdx + 4 ydy = 0; e)
dy dx
=
x − y cos x se s en x + y
;
b ) y′ = f)
dr dφ
x − y x + y
=
;
c) 2 xyy′ = x2 − y 2 ; d ) y′ =
r 2 senφ
y ⎞ ⎛ h ) ⎜ x 2 + ⎟ dx + ( ln x + 2 x ) dy = 0; x ⎠ ⎝
i ) y′ =
x−y
g ) ye − x − senx dx − e− x + 2 y dy = 0
(
;
2 r c os φ − 1
x
(
)
y y − e
x
e − 2 xy x
),
(
(
)
)
j ) x 2 + x dy + ( 2 xy + 1 + 2 cos x ) dx = 0
Resuelva cada ecuación sujeta a las condiciones indicadas. a) y′ = c) y′ =
y − 2 x
2 x − y
; y (1) = 2;
2 x − seny x cos y
; y ( 2) = 0
(
)
b )2xydx + x + 1 dy = 0; y (1) = − 3; 2
d ) x + 2 ye ye x y ′ + 2xy + 2 y e
(
2
2
)
2 2x
= 0; y ( 0) = 1
Determine si la ecuación respectiva es exacta. Si lo es, revuélvala. 1. ( 2 x − 1) dx + ( 3 y + 7 ) dy = 0
2. ( 2x + y ) dx − ( x + 6 y ) dy = 0
3. ( 5 x + 4 y ) dx + ( 4 x − 8 y 3 ) dy = 0
4. ( sen y − sen x ) dx + ( cos x + cos y − y ) dy = 0
1 ⎛ ⎞ dy y + cos 3x ⎟ + 2 − 4x 3 + 3ysen3x = 0 x ⎝ ⎠ dx x y ⎞ ⎛ 7. ( x + y ) ( x − y ) dx + x ( x − 2 y ) dy = 0 8. ⎜1 + ln x + ⎟ dx = (1 − ln x ) dy x ⎠ ⎝ 9. ( y 3 − y 2 senx − x ) dx + ( 3xy 2 + 2 y cos x ) dy = 0 10. ( x 3 + y 3 ) dx + 3xy 2dy = 0 5. ( 2 y 2 x − 3) dx + ( 2 yx 2 + 4 ) dy = 0
11. ( y ln y − e 13. x
dy dx
− xy
⎛1 ⎞ ) dx + ⎜ y + x ln y ⎟ dy = 0 ⎝ ⎠
= 2 xe x y + 6x 2
6. ⎜ 2 y −
12.
2 x y
dx −
x
2
y
2
dy = 0
14. ( 3x 2 y + e y ) dx + ( x 3 + xe y − 2 y ) dy = 0
⎛ ⎝
⎞ dx 3 2 18.( 5 y − 2 x) y '− 2 y = 0 ⎟ +x y =0 1 + 9 x 2 ⎠ dy 19. ( tan x − sen x sen y ) dx + cos x cos y dy = 0 17. ⎜ x 2 y3 −
1
20. ( 3 x cos 3x + sen 3x − 3) dx + ( 2 y + 5 ) dy = 0
(
2
)
(
21. (1 − 2x 2 − 2 y ) 2
dy dx
= 4x 3 + 4xy
)
22. 2 y sen x cos x − y + 2 y 2e xy dx = x − sen 2 x − 4xye xy dy 3 2 4 2 2 3 . ( 4 x y − 1 5 x − y ) d x + ( x + 3 y − x ) d y = 0
⎛1
24.⎜
⎝ x
+
1 x2
−
⎞ ⎛ y ⎞ x d x y e dy = 0 + + ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ x2 + y2 ⎠ x y + ⎝ ⎠ y
Resuelva cada ecuación diferencial sujeta a la condición inicial indicada. 2
25. ( x + y ) dx + ( 2 xy + x2 − 1) dy = 0, y (1) = 1 26. ( e x + y ) dx + ( 2 + x + ye y ) dy = 0, y ( 0 ) = 1 27. ( 4 y + 2 x − 5) dx + ( 6 y + 4 x − 1) dy = 0, y ( −1) = 2
⎛ 3 y 2 − x2 ⎞ dy x 28. ⎜ ⎟ + 4 = 0, y (1) = 1 5 y ⎝ ⎠ dx 2 y 3 29. ( y 2 cos x − 3x2 y − 2 x) dx + ( 2 ysenx ysenx − x + ln y) dy = 0, y ( 0 ) = e Determine el valor de k para la ecuación diferencial correspondiente sea exacta.
31.( y3 + kxy4 − 2x) dx + ( 3xy2 + 20x2 y3 ) dy = 0 4 3 32.( 2 x − ysen senxy + ky ) dx − ( 20xy + xsen senxy ) dy = 0 x 2 2 33.( 2 xy xy + ye '') dx + ( 2x y + ke −1) dy = 0
34.( 6 xy xy3 + cos y ) dx + ( kx2 y2 − xsen seny ) dy = 0