UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DEINGENIERÍA CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
Materia: Ecuaciones Diferenciales
Tema: Ecuaciones de Primer Orden y Grado Superior
Nombres y Apellidos: .Henry Vinicio Carrión Vivar .Pedro David Gallegos Agila . Wilson Daniel Narváez Granda .Leonardo Javier Pulles Mina Curso: Tercero Paralelo: Segundo
Profesor: Ing. Raúl Villacres
Fecha de Entrega: 10/Jun/13
Marzo/Agosto
– 2013–
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
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OBJETIVO. General: Reconocer e identificar los modelos que se usan para ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior. Específicos Resolver modelos de ecuaciones diferenciales como Ricatti y de Clairout. Desarrollar los distintos métodos de solución para ecuaciones de primer orden y grado Superior
INTRODUCCION Hasta ahora hemos visto únicamente ecuaciones diferenciales en las que y’ no estaba elevada a ninguna potencia, es decir, que tenían la forma:
En este apartado vamos a estudiar ecuaciones de la forma:
En las que y’ puede estar elevada a la potencia n.
Existen algunos tipos de ecuaciones diferenciales que pueden ser transformadas y estudiadas como ecuaciones de primer grado y primer orden; entre ellas tenemos como casos especiales los siguientes: Ecuación de Bernouilli Ecuación de Riccati Dentro Dentro de la categoría de las ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior a uno, tenemos varios tipos: Ecuaciones diferenciales resolubles en y’ Toda ecuación diferencial algebraica resoluble en y’:
descomponerse, despejando y’, ene Donde P0, P1, …, Pn son funciones de x e y, pueden descomponerse, ecuaciones lineales, habiendo tantas de estas como raíces tenga la ecuación algebraica:
Para cada uno de estos casos tendremos una solución de la forma:
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
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OBJETIVO. General: Reconocer e identificar los modelos que se usan para ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior. Específicos Resolver modelos de ecuaciones diferenciales como Ricatti y de Clairout. Desarrollar los distintos métodos de solución para ecuaciones de primer orden y grado Superior
INTRODUCCION Hasta ahora hemos visto únicamente ecuaciones diferenciales en las que y’ no estaba elevada a ninguna potencia, es decir, que tenían la forma:
En este apartado vamos a estudiar ecuaciones de la forma:
En las que y’ puede estar elevada a la potencia n.
Existen algunos tipos de ecuaciones diferenciales que pueden ser transformadas y estudiadas como ecuaciones de primer grado y primer orden; entre ellas tenemos como casos especiales los siguientes: Ecuación de Bernouilli Ecuación de Riccati Dentro Dentro de la categoría de las ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior a uno, tenemos varios tipos: Ecuaciones diferenciales resolubles en y’ Toda ecuación diferencial algebraica resoluble en y’:
descomponerse, despejando y’, ene Donde P0, P1, …, Pn son funciones de x e y, pueden descomponerse, ecuaciones lineales, habiendo tantas de estas como raíces tenga la ecuación algebraica:
Para cada uno de estos casos tendremos una solución de la forma:
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Y la solución general vendrá dada por una combinación lineal de ellas. Ejemplo.- resolver la ecuación diferencial:
Puesto que no podemos poner y’ de forma explícita aplicamos el método que estamos estudiando. Consideramos la ecuación ecuación como un polinomio de grado 4 en y’, y calculamos sus raíces.
Como en el caso general de las ecuaciones algebraicas podemos aplicar la regla de Ruffini para determinar las raíces de la anterior ecuación:
Podemos decir que 1 es raíz de la anterior ecuación. Aplicando los métodos de resolución de ecuaciones algebraicas se llega a la conclusión de que, además de 1, las raíces de la anterior ecuación son 0, x, 2y, es decir, que la anterior ecuación se puede poner en la forma:
Con lo que tenemos cuatro ecuaciones diferenciales que serán:
Para expresar la solución general debemos poner cada solución parcial en la forma hi(x,y,Ci) = 0 para después multiplicar todas las ecuaciones obtenidas entre sí, es decir:
En el caso más general de las ecuaciones de la forma F(x,y,y’) = 0 se puede sustituir y’ por una variable p, de modo que se tenga F(x, y, p) = 0 que es la ecuación de una superficie, puesto que se tienen tres parámetros independientes: x, y, p.
Si se conoce una representación paramétrica de la superficie, podemos poner:
Si se conoce una integral de la ecuación diferencial del sistema anterior, dicha solución vendrá representada por una curva α y su ecuación sería:
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR Donde suponemos que α es la proyección de otra curva superficie S de tal forma que se verifica:
σ
que se encuentra sobre la
Recíprocamente, si σ es una curva tal que y = f(x) ; p = g(x), sobre la que se cumple p = dy/dx, la proyección de σ sobre el plano XY nos da la curva y = f(x) que es la integral buscada. Según eso, el problema de buscar las soluciones cumplan la condición (1):
α
sobre la superficie S tales que
Integrando esta ecuación se obtiene una solución de la forma H(u, v, C) = 0 que corresponde a la curva σ dada por los parámetros u, v. Mediante el cambio:
Obtendremos una proyección de dicha curva sobre el plano XY: h(x, y, C) = 0, que será la curva α buscada. Según la anterior interpretación de la ecuación F(x, y, y’) = 0, podemos encontrar además de las ecu aciones resolubles en y’ otros casos que estudiamos en el capítulo siguiente.
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
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PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON ECUACIONES DIFERENCIALES
Ejemplo de aplicación número 01
Tipo: Ecuaciones que se pueden resolver respecto a P
RESOLVER:
SOLUCIÓN:
1) Problema:
√ ①
2)
②
3) ② en ①
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⁄ ∫ ⁄ ⁄ ⁄ Calculo de la integral de
Potencialidad Negativa
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Potencialidad Positiva
∫ ⁄ ⁄
Formula:
∫[∫ ∫] ⁄ ⁄ ⁄ *⁄ + ⁄⁄ ∫∫∫
SOLUCIÓN FINAL
⁄
∗
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Ejemplo de aplicación número 02
Tipo: Ecuaciones que se pueden resolver respecto a P
Resolver:
SOLUCIÓN:
1.
√
2. Problema:
3.
4. Solución por la fórmula:
5. Raíces:
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6.
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7. SOLUCIÓN FINAL:
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Ejemplo de aplicación número 03
Tipo: Ecuaciones que se pueden resolver respecto a P RESOLVER:
SOLUCIÓN:
1) Problema: ①
2) ②
3) ② en ①
√ ( ) ( )
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
{ ⁄ ∫ ⁄ ⁄ ⁄ ∫ ⁄ Calculo de la integral de
Potencialidad Negativa
Potencialidad Positiva
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Formula:
∫[∫ ∫] ⁄ ⁄ *⁄ + ∗ ∗ ∫∫∫
SOLUCIÓN FINAL
∗
∗
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
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Ejemplo de aplicación número 04
Tipo: Ecuaciones que se pueden resolver respecto a P RESOLVER:
SOLUCIÓN:
1) Problema:
2)
√ 3) en
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
Modelo
{ ∫ ∫
Calculo de la integral de
Potencialidad Negativa
Potencialidad Positiva
Formula:
∫[∫ ∫]
SOLUCIÓN FINAL
()
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
Ejemplo de aplicación número 05
Tipo: Ecuación Diferencial De Ricatti RESOLVER:
SOLUCIÓN: 1) Modelo:
2) Problema:
3) Sustitución:
4) Reemplazamos
B en A
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
①
∗ () ∫ () ∫
5) Sustitución: ②
③
6) ② y ③ en ①
Calculo de la integral de
Potencialidad Negativa
Potencialidad Positiva
Formula:
∫[∫ ∫]
Integral por Partes
∫
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7) Regreso a
8) Regreso a
SOLUCIÓN O PRIMITIVA
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Ejemplo de aplicación número 06
Tipo: Ecuación Diferencial De Ricatti
Resolver:
SOLUCIÓN: 1.
MODELO: Problema:
2.
SUSTITUCIÓN:
3.
Reemplazamos
4.
SUSTITUCIÓN:
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
5.
6.
7.
8.
9.
∫ ∫ ∫ ∫ Cálculo de la integral de P(x): Potencialidad Negativa:
Potencialidad Positiva: FÓRMULA:
10. Regresamos a
(u):
11. Regresamos a
(y):
Como:
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
Ejemplo de aplicación número 07
Tipo: Ecuación Diferencial De Ricatti RESOLVER:
SOLUCIÓN: 1) Modelo:
2) Problema:
ᴬ
3) Sustitución:
ᴮ
4) Reemplazamos
B en A
̇ ̅ ́ ̇ ̅ ̇ ́
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
①
∫ ∫
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∗
5) Sustitución: ②
③
6) ② y ③ en ①
Calculo de la integral de
Potencialidad Negativa
Potencialidad Positiva
Formula:
∫ [∫ ∫]
Integral por Partes
∫
∗
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
7) Regreso a
8) Regreso a
SOLUCIÓN O PRIMITIVA
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Ejemplo de aplicación número 08
Tipo: Ecuación Diferencial De Ricatti RESOLVER:
-
Condición:
Solución.1. Modelo:
Problema:
Sustitución:
Reemplazo de (B) en (A):
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
Sustitución:
(2) y (3) en (1).-
∗ ∫ ∫ ∫ ∫
-
Cálculo de la integral P(x).-
-
Exponencial Negativa
-
Exponencial Positivo
-
Fórmula:
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
-
Regreso a u:
-
Regreso a y:
SOLUCIÓN O PRIMITIVA
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Ejemplo de aplicación número 09
Tipo: Ecuación Diferencial De Clairout
Resolver:
SOLUCIÓN:
1. MODELO: Problema:
2. 3.
4. Derivamos
5.
6. Trabajamos con
con respecto a “x”:
:
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7.
8. SISTEMA DE ECUACIONES ENTRE
9. DESPEJAMOS P DE
10.
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FOCO
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR Ejemplo de aplicación número 10 Tipo: Ecuación Diferencial De Clairout RESOLVER:
SOLUCIÓN: 1) Modelo:
e e
2) Problema:
3) Sustitución
4)
5) Derivamos
6)
con respecto de
7) Trabajamos con
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8)
∫∫ ⑧ e en
9) Sistema de ecuaciones entre
10) De
11)
11)
despejamos P
Grafico
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Ejemplo de aplicación número 11
Tipo: Ecuación Diferencial De Clairout RESOLVER:
SOLUCIÓN: 1) Modelo:
e e
2) Problema:
3) Sustitución
4)
5) Derivamos
6)
con respecto de
7) Trabajamos con
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
8)
∫∫ ⑧ e en
9) Sistema de ecuaciones entre
10) De
11)
11)
despejamos P
Grafico
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
Ejemplo de aplicación número 12
Tipo: Ecuación Diferencial De Clairout RESOLVER:
SOLUCIÓN: 1) Modelo:
e e
2) Problema:
3) Sustitución
4)
5) Derivamos
6)
con respecto de
7) Trabajamos con
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR
8)
∫∫ ⑧ e en
9) Sistema de ecuaciones entre
10) De
11)
despejamos P
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ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 11)
Grafico
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