FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA COMPLEMENTOS de MATEMÁTICA
UNIDAD II: ÁLGEBRA SEMANA 1: ECUACIONES CUADRÁTICAS DE UNA VARIABLE SOLUCIÓN
I) Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas: cuadráticas: 2
1) x 10 x 21 0
Solución: 2
x 10 x 21 0
7 3
x x
x 7 x 3 0 x 7; 3 C.S 7; 3 2
2) 5 x 13x 6 0
Solución: 2
5 x 13x 6 0
2
1 5 x 13x 6 0 2
5 x 13x 6 0 5 x x
3 2
5 x 3 x 2 0 x 3/5;2 C.S 3 / 5; 2 2
2
3) x 4 2 x 32
Solución: 2
2 x 4 2 x 32
x
2
2
8x 16 2x 32
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0 x 8 x 48
12 4
x x
x 12 x 4 0 x 12;4 C.S 12; 4
4)
x
2
6
x 2
3 x 5
Solución: x
2
6
x
2
3 x 5
x 2 x 6 3 x 5 6 2 x x
2
3x 18 x 5
2
21x 90 0 15 6
x x
x 15 x 6 0 x 15;6 C.S 6;15 5)
2 x 3 x 1 x 2 3x 7
Solución: 2 x 3 x 1 x 2 3x 7 2
2
x 6 x 9 x 2 x x 2 3x 7 2
2 x 5 x 7 3x 7 2
2 x 2 x 0 2 x x 1 0
x 0; 1 C.S 1; 0
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2 2 3 x 1 4 x 2
Solución: 2 2 3 x 1 4 x 2
3 x 1
4 x 2
2
3 x 1 2 x 2 3x 1 2 x 4 x 3 3 x 1 2 x 2 3 x 1 2 x 2 3x 1 2 x 4 5x 5 x 1 C.S 1;3 7) x 1.5
2
x 1 x 3.5 x x 1.5
Solución: 2 x 1.5 x 1 x 3.5 x x 1.5 2
2
2
x 3 x 2.25 x 2.5 x 3.5 x 1.5 x 2
3 x 2.25 x 4 x 3.5 2
0 x x 6 0 x 3 x 2
x 3; 2 C.S 2;3
8) x 1 x
2
x 1 x
2
35
Solución:
35 x x 1 x x 1 35 x x 1 35 x x 36 x 1 x
2
x 1 x
2
2
2 2
2
2
2
2
2
x x 6 2
x x 6
2
x x 6
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2
2
x x 6 0
x x 6 0(
0 : notiene solución real )
0 x 3 x 2
x 3 x 2 C.S 3; 2 3
9) x
4 x2 5 x 0
SOLUCIÓN
Factorizando y aplicando en uno de los factores aspa simple, se tiene:
2
x x – 4 x – 5
x x – 5 x
0
5
x
CS
Por tanto: 3
x 1
0
10) x
0 x
1
1;0;5
2x 2 x 2 0
SOLUCIÓN
Utilizando, divisores binómicos: 1 2
1 2 1
1
3
2
1 3
2
0
Se tiene la siguiente factorización:
x 1
x
2
3x 2
0
Para el factor cuadrático se emplea aspa simple, obteniéndose: x 1 x 2 x 1 0 Por tanto: 3
11) x
CS
2; 1;1
3x2 4 x 12 0
SOLUCIÓN
Utilizando, divisores binómicos: 1 3 4 2
12
2 12 1 6 0
2 1
Se tiene la siguiente factorización: ( x 2)( x 2 x 6) 0
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Para el factor cuadrático se emplea aspa simple, obteniéndose: ( x 2)( x 2)( x 3) 0
Por tanto:
CS:
2,2,3
2 2 12) (x 4) 2x 32
SOLUCIÓN
Desarrollando el término de lado izquierdo en la igualdad: x
2
2
8 x 16 2 x 32
Reduciendo términos: x
2
8 x – 48 0
Empleando aspa simple
x 12 x 4 Por tanto:
CS
0
12;4
2
2
13) 2 x 3 x 3 24
Solución: 2 2 2 x 3 x 3 24 2
2
4 x 12 x 9 x 6 x 9 24 2
3 x 18 x 24 0 2
x 6 x 8 0 x x
4 2
x 4 x 2 0 x 4;2 C.S 2; 4 14) x4 – 5x2 + 6 = 0
Solución: Utilizando el Método del Aspa Simple:
( − 3)( − 2 ) = 0
− 3 = 0 ⟹ = 3 ⟹ = ±√ 3 − 2 = 0 ⟹ = 2 ⟹ = ±√ 2 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CICLO 2016 - II
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∴ ..{±√ 3 ; ±√ 2} 2
15) 3 x 1 4 x 2
2
Solución: 2 2 3 x 1 4 x 2
3 x 1
4 x 2
2
3 x 1 2 x 2 3x 1 2 x 4 x 3 3 x 1 2 x 2 3x 1 2 x 4 5x 5 x 1
3 x 1 2 x 2 C.S 1;3 16) x
3
4x 2 x 6 0
SOLUCIÓN
Utilizando, divisores binómicos: 1 4 1
1
6
1 5 6 1 5 6 0
Se tiene la siguiente factorización:
x 1
x
2
5x 6
0
Para el factor cuadrático se emplea aspa simple, obteniéndose:
x 1 x 3 x 2 0 CS
Por tanto:
3
17) x
1;2;3
111x 110 0
SOLUCIÓN
Utilizando, divisores binómicos: 111
1 0 1
1 110
1 1
110
1 110
0
Se tiene la siguiente factorización:
x 1
x
2
x – 110
0
Para el factor cuadrático se emplea aspa simple, obteniéndose:
x 1 x 11 x 10
0
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CS
Por tanto:
3
11;1;10
x2 66 x 216 0
18) x
SOLUCIÓN
Utilizando, divisores binómicos: 1 1 66 4 1
216
4
12
216
3
54
0
Se tiene la siguiente factorización:
x 4
x
2
3 x 54
0
Para el factor cuadrático se emplea aspa simple, obteniéndose:
x 4 x 9 x 6 CS
Por tanto:
3
0
9;4;6
2
19) 4x 4 x x 1 0
SOLUCIÓN
Utilizando, divisores binómicos: 4
1 1
4
1
4
0
1
0
1
0
4
Se tiene la siguiente factorización:
x 1
4
x
2
1 0
Para el factor cuadrático se emplea diferencia de cuadrados, obteniéndose:
x 1 2 x 12 x 1 Por tanto:
4
CS 1;
3
0
1 1 ; 2 2
2
20) 3x 2x 3x 2x 0
SOLUCIÓN
Por factor común monomio se tiene: 3
2
x(3x 2x 3x 2) 0
Aplicando al factor cúbico divisores binómicos, se tiene:
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2 3 2 1 3 5 2 3 5 2 0 3
Se tiene la siguiente factorización 2
x(x+1)(3x 5x 2) 0
Para el factor cuadrático, aplicamos aspa simple: x(x+1)(3x 2)(x 1) 0 Por tanto:
CS
2 1; 0; ; 1 3
2
21)
4 x 3x 5 x
2
2 x 13
2
Solución: 2
4 x 3x 5 2
x 2 x 13
2
2
2
4 x 3x 5 2 x 2 x 13 2
2
4 x 3x 5 2 x 4 x 26 2
2 x x 21 0 2 x x
7 3
2 x 7 x 3 0 x 7 / 2;3 C.S 7 / 2;3
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II) Plantee los siguientes problemas usando ecuaciones cuadráticas 1. Con una cartulina cuadrada se construye una charola cortando en cada esquina un cuadrado de 3 cm de lado y doblando después hacia arriba los lados. Determine: ¿Qué tamaño tenía la cartulina original, si la charola tiene un volumen de 192 cm 3? 3 cm 3 cm
3 cm x cm
x x
Volumen = Largo x ancho x alto
=
192 3
=
64
192 = 3
= 8 .
Lado de la cartulina antes de los cortes = + 3 + 3 = 14 . La cartulina original tenía una forma cuadrada de 14 . de lado. 2. Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de ancho uniforme. Determine la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m². SOLUCIÓN
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50 2 x 34 2x 50 34 540 2
50 34 100 x 68x 4x 50 34 540 2
4 x 168x 540 0 x x x
2
42 x 135 0 3 45
x 3 x 45 0 x 3; 45 C.S 3; 45
INTERPRETACIÓN: La anchura del camino es 3 m. 3. Una caja sin tapa se fabricara a partir de una hoja rectangular de lata cortando, cuatro pulgadas de cada esquina y doblando los lados hacia arriba. Si e l ancho de la caja es de 3 pulgadas menos que el largo y la caja contiene 280 pulgadas cubicas, encuentre las dimensiones de la hoja de lata. SOLUCIÓN Si denotamos con “x” pulgadas el ancho de la caja, entonces su largo es (x+3) pulgadas y su
altura 4 pulgadas El volumen de la caja está dado por (largo)(ancho)(altura) = (x+3)(x)4 = 4x(x+3) Pero la caja contiene 280 pulg3 de modo que: 4x (x+3) = 280 Dividiendo entre 4 x (x+3) = 70
+ 3 − 7 0 = 0 x x
+ 10 – 7
(x + 10)(x – 7) = 0 x = – 10óx = 7 Pero x = – 10 no es aceptable; ya que representa el ancho de una caja, así x = 7 Las dimensiones de la hoja de lata antes de que le cortemos las esquinas son: (x+8) y (x+3) + 8; ya que x = 7; las dimensiones son 15 y 8 pulgadas
4. Un vendedor vendió un reloj en 75 dólares. Su porcentaje de ganancia fue igual al precio de costo en dólares. Determine el precio de costo del reloj. SOLUCIÓN Sea Pv: precio de venta, entonces Pv = 75 Pc: precio de costo G: ganancia
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Pv = Pc + G …. (1)
Como su porcentaje de ganancia fue igual al precio de costo en dólares, entonces: (Pc/100) es el porcentaje de ganancia Reemplazando en (1)
() 100 () 75=+ 100 7500 = 100 + + 100 − 7500 = 0 75=+
Pc + 150 – 50 Pc (Pc + 150)(Pc – 50) = 0 Pc = 50 ó Pc = – 150
INTERPRETACIÓN: $50 es el precio de costo del reloj. 5. El ingreso total mensual de cierta compañía está dado por I = 8 0 0 p − 7 p, donde “p” es el precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. Determine: ¿A qué precio el ingreso total mensual será de 10 000 dólares, si el precio debe ser mayor de 50 dólares? SOLUCIÓN Ingreso total mensual: I = 800p – 7p2 “p”: precio del producto (en dólares) Para qué valor de “p”; I = 10 000; si p>50 10 000 = 800p – 7p2
7 − 800 + 10000 = 0 800 ± (800) − 4(7)(10000) = 14 800± √ 360000 800 ± 600 = = 14 14 = 100 Como p>50, entonces p= 100
= 14,285
INTERPRETACIÓN: $100 debe ser el precio del producto. 6. Cada semana, una compañía puede vender “x” unidades de su producto a un precio de “p” dólares cada uno, en donde p = 6 0 0 − 5 x. A la compañía le cuesta 8000 + 75dólares producir "" unidades. Determine: a) ¿Cuántas unidades debe vender la compañía cada semana para generar un ingreso de 17 500 dólares? b) ¿Cuántas unidades debe producir y vender cada semana para obtener una utilidad semanal de 5 500 dólares? Solución:
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a) =
= 17 500 (600−5) = 17 500 600 − 5 − 17 500 = 0 5 − 600 + 17 500 = 0 ( − 7 0)( − 5 0) = 0 ..= 50;70 Interpretación: Para generar un ingreso de 17 500 dólares se debe vender 50 o 70 unidades de dicho producto.
b) = −
= (600−5)−(8000+75) = 600 − 5 −8000−75 = −5 + 525 − 8000 5 − 525 + 8000 + 5500 = 0 5 − 525 + 13500 = 0 − 105 + 2700 = 0 ( − 6 0)( − 4 5) = 0 ..= 45;60 Interpretación: Debe producir y vender 45 o 60 unidades de dicho producto cada semana para obtener una utilidad semanal de 5 500 dólares. 7. Steve es propietario de un edificio de apartamentos que tiene 60 departamentos. Él puede rentar todos los departamentos si cobra una renta de 180 dólares mensuales. A una mayor renta, alguno de los departamentos permanecerán vacíos; en promedio, por cada incremento de 5 dólares en la renta, 1 departamento quedara vacante sin posibilidad de rentarlo. Determine la renta que debe cobrar por cada departamento para obtener un ingreso total de 11475 dólares. SOLUCIÓN Denótese con “n” el número de incrementos de 5 dólares
Entonces el aumento en la renta por departamento es 5n dólares, lo cual significa que la renta por departamento es: (180 + 5n) dólares Asi el número de unidades no rentadas será n, de modo que el número de rentados será (60 – n). La renta total que él recibirá está dada por: Ingreso por la renta = (Renta por departamento)(número de departamentos) Por tanto: 11475 = (180 + 5n)(60 – n) O bién: 11475 = 5(36 + n)(60 – n)
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Dividiendo entre 5: 2295 = (36 + n)(60 – n) Por tanto:
− 24 + 135 = 0
n – 9 – 15 n (n –9)(n – 15) = 0 n = 9; 15 INTERPRETACIÓN: Larenta debe ser (180 + 5n); que es (180 + 5*9) = $225 ó 180 + 5*15 = $255; ambos dan un ingreso total de $11 475. 8. El gerente de una cadena de tiendas de carne de res, sabe que si la carne se ofrece a “p” soles por kilo, venderá “q” kilos diarios.
Si se comprobó que la relación de dichas variables es q = 20p – 200, entonces determine: ¿Qué precio se deberá fijar al kilo de carne con el fin de que se obtenga un ingreso total diario de S/. 12 000? SOLUCIÓN Se tiene que:
“p”: el precio del kilo de ca rne de res. “q”: la cantidad de kilos de carne vendidos.
La relación de dichas variables es: q=20p-200 ¿p? con el fin de obtener un ingreso total diario de S/. 12 000 I 12000 pq 12000 p 20 p 200 12 000 20 p p 10 12 000 p p 10 600 2
p 10 p 600 0 p p
30 20
p 30 p 20 0 p 30; 20 C.S 30; 20 INTERPRETACIÓN: A $30 deb er á fij ars e el kilo de carn e; pa ra qu e obte nga un ingreso total diario de S/. 12 000.
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9. Un ladrillo rectangular tiene como volumen la siguiente expresión algebraica: 3
2
V(x) = x 3x 4x 12 , determine las medidas de sus tres dimensiones.
SOLUCIÓN Buscaremos tres factores algebraicos por medio del método de los divisores binómicos: 3 4
1 3
12
3
0
12
0
4
0
1
Se tiene la siguiente factorización V ( x) ( x 3)( x
4)
2
Para el factor cuadrático, aplicamos aspa simple: V ( x) ( x 3)( x 2)( x 2)
Así, las medidas de sus tres dimensiones son: x+3 , x +2 , x – 2.
x+2
x+3
x – 2
10. Pedro es una persona soltera y tiene tantos hermanos como la suma de las raíces de la siguiente 3
2
expresión algebraica x 2x x 2 0 . ¿Cuántas entradas para el cine tiene que comprar si él quiere invitar a sus hermanos y padres?
SOLUCIÓN
Buscaremos las raíces por medio del método de los divisores binómicos: 1
1 2 1
2
1 1 3
0
3 2 2
Se tiene la siguiente factorización 2
(x+1)(x -3x+2)=0
Para el factor cuadrático, aplicamos aspa simple:
x 1 x 2 x 1 0 Luego las raíces son: 1;1;2 y cuya suma es: 2, lo que indica que Pedro tiene 2 hermanos. Por tanto las entradas que tiene que comprar para el cine son 5.
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11. Manuel tiene tantos años como la suma de las raíces de la siguiente expresión algebraica: 3
2
x 7x 7x 15 0 . ¿Cuántos años tiene Manuel?. SOLUCIÓN Buscaremos las raíces por medio del método de los divisores binómicos: 1 7 1
7
15
1 8 15 1 8 15 0
Se tiene la siguiente factorización 2
(x+1)(x -8x+15)=0
Para el factor cuadrático, aplicamos aspa simple:
x 1 x 3 x 5 0 Luego las raíces son: 1;3;5 y cuya suma es: 7, lo que indica que Manuel tiene 7 años.
12. La empresa MALI S.A. modela sus ingresos totales por la venta de uno de sus productos a través de la siguiente función C ( x) x
2
I ( x)
3
x 24 x , además sus costos totales son modelados por
36 . Donde “x” representa las cantidad de productos vendidos (en miles), ¿qué
cantidad de productos se deben vender para no ganar ni perder?.
SOLUCIÓN
Para que una empresa no gane ni pierda entonces sus ingresos totales deben ser iguales a sus costos totales, es decir: I ( x) x
3
C ( x) 2
24 x x 36
Pasando todo al lado derecho de la ecuación y buscando las raíces por el método de los divisores binómicos: x
3
1 1 24 6 1
2
x 24 x 36 0 36
6
30
36
5
6
0
Se tiene la siguiente factorización 2
(x-6)(x +5x+6)=0
Para el factor cuadrático, aplicamos aspa simple:
x 6 x 3 x 2 0
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Luego las raíces son: 3; 2; 6 , por lo que representa “x” nos quedamos con el valor de 6. Por tanto para no perder ni ganar la empresa MALI S.A. debe vender 6 mil produ ctos.
Visita tu canal de videos TuCiencia:http://www.youtube.com/user/TuCiencia SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DEL PPT 13.De un tablero de 2 400 cm 2 se cortan dos piezas cuadradas; en donde el lado de una de
ellas es 5 cm más del lado de la otra. Si sobró 1 283 cm 2, determine la medida de los lados de las piezas cuadradas cortadas. SOLUCIÓN
x+5 x
x x
2
x 5 1283 2400
2
x 10 x 25 1283 2400
2
2
2
2 x 10 x 1092 0 x x x
2
5 x 546 0 21 26
x 21 x 26 0 x 21; 26 C.S 21; 26
INTERPRETACIÓN: Las medidas de las piezas cuadradas son 21 cm y 26cm respectivamente. 14. Se debe preparar un terreno cuadrado para sembrarlo y cercarlo de manera lineal con alambre. Si el costo por preparar el terreno es de 0.5 dólares por metro cuadrado y la cerca cuesta 1 dólar el metro lineal. Determine las dimensiones del terreno si el costo total por prepararlo y cercarlo es de 120 dólares. SOLUCIÓN Sea x: el ancho del terreno = largo del terreno Organizando los datos
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Perímetro del terreno = 4x metros Área del terreno = x2 metros Costo en dólares por:
Cercar 1 metro Cercar todo el terreno Preparar 1 m2 Preparar todo el terreno 1
1(4x)
0,5
0,5 x2
De los datos del problema obtenemos la siguiente ecuación: 2
4 x 0.5 x 120 2
0.5 x 4 x 120 0 1 0.5
2
0.5 x 4 x 120 0
2
x 8 x 240 0 x x
20 12
x 20 x 12 0 x 20;12 C.S 20;12 INTERPRETACIÓN: Como las dimensiones del terreno deben ser números positivos, luego la medida de cada lado del cuadrado es 12 metros. 15. Un determinado producto tiene como precio de venta por unidad, p = 300 + 20x soles. Determine el número de unidades que se deben producir para obtener un ingreso mensual de S/. 27 000. Solución:
Se debe tomar número de unidades = x INGRESO = PRECIO DE VENTA UNITARIO X NUMERO DE UNIDADES
27000 = (300 + 20) 27000 = 300 + 20 0 = 300 + 202 − 27000 ( 20) 0 = + 15 − 1350 0 = + 45 −30 0 = ( + 45)( – 30) = −45 ∨ = 30 ( ) DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CICLO 2016 - II
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Se deberán producir 30 unidades 16. Un distribuidor adquiere balones de gas a un costo de 4 dólares la unidad. Cuando el precio de venta es de 10 dólares se venden 4000 unidades en un mes. Se quiere subir los precios y se estima que por cada aumento de 1dólar en el precio se venderán 200 balones menos. Determine: ¿Qué precio se deberá fijar con el fin de obtener una utilidad total de 24 000 dólares? SOLUCIÓN Sea “n” el número de incrementos de 1 dólar sobre el precio actual Así el nuevo precio está dado por: (10 + n) = p ………..(1)
Y el número de balones vendidos a este precio está dado por: (4000 – 200n) Despejando “n” de la primera ecuación: n = p – 10 ……..(2) Entonces: Ingreso total = (precio de venta)(cantidad vendida) I = p (4000 – 200n) ……….(3) Usando (2) en (3) I = p (4000 – 200(p – 10)) I = p (4000 – 200p + 2000) I = p (6000 – 200p) Entonces: Costo total = (precio de costo)(cantidad producida) C = 4 (4000 – 200n) C = 4 (4000 – 200(p – 10)) C = 4 (4000 – 200p + 2000) C = 4 (6000 – 200p) Además: Utilidad total = Ingreso total – Costo total 24 000 = p(6000 – 200p) – 4(6000 – 200p) 24 000 = (6000 – 200p)(p – 4) 24 000 = 6000p – 24000 – 200p2 + 800p 200p2 – 6800p + 48000 = 0 p2 – 34p + 240 = 0
34 ± (34) − 4(240) 2 34 ± √ 196 34±14 = = 2 2 = 24
=
= 10 INTERPRETACIÓN: $24 o $10 esel precio que deberá fijarse al balón de gas; para obtener una utilidad total de $24 000. 17. Una Cámara Estatal del Vino compra whisky a $2 una botella y la vende a “p” dólares por botella. El volumen de ventas “x” (en cientos de miles de botellas por semana) está dado por x =24 – 2p, cuando el precio es “p”. Determine: a) ¿Qué valor de “p” da un ingreso total de $7 millones por semana?
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b) ¿Qué valor de “p” da, a la Cámara del Vino, una utilidad total de $4.8 millones semanales? SOLUCIÓN Sea x = número de botellas en cientos de miles por semana Costo total por la compra = 2 (24 – 2p) Ingreso total por las ventas = p (24 – 2p) Como las ventas son en miles de cientos entonces el ingreso simplificado quedaría: 7 000 000 / 100 000 = 70 Entonces: a) El valor de “p” que da un ingreso total de 7 millones (simplificado seria 70) Ingreso total = (precio)(cantidad) 70 = p (24 – 2p) 70 = 24p – 2p2 2p2 -24p + 70 = 0 p2 – 12p + 35 = 0 – 7 p – 5 p (p – 7)(p – 5) = 0 p= 7;5 INTERPRETACIÓN:El precio de la botella puede ser $5 o $7; para que de un ingreso total de 7 millones de dólares por semana. b) Como 4,8 millones se debe considera primero en cientos de miles: 4 800 000 Y como la cantidad es en cientos de miles, entonces reducimos a unidades: 4 800 000 / 100 000 = 48 Ahora Utilidad total = Ingreso total – Costo total 48 = p (24 – 2p) – 2(24 – 2p) 48 = 24p – 2p2 – 48 + 4p p2 – 14p + 48 = 0 – 8 p – 6 p (p – 8)(p – 6) = 0 p=8; 6 INTERPRETACIÓN:El precio de la botella puede ser $8 o $6; para que de una utilidad total de 4,8 millones de dólares por semana.
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